bab iv integral 30. fungsi bernilai kompleks w(t) file128 bab iv integral integral adalah sangat...

30
128 BAB IV INTEGRAL Integral adalah sangat penting dalam mempelajari fungsi bernilai kompleks. Teori integral yang akan dikembangkan dalam bab ini adalah terkenal dalam matematika moderen. Teorema-teorema yang disajikan umumnya singkat dan padat serta buktinya sederhana. 30. FUNGSI BERNILAI KOMPLEKS w(t) Sebelum membicarakan integral dari f(z) terlebih dahulu akan diperkenalkan turunan dan integral tentu dari fungsi bernilai kompleks w dari suatu variabel t. Kita tulis (1) w(t) = u(t) + iv(t), dimana u dan v adalah fungsi berniali real dari t. Turunan w’(t), atau dt t w d , dari fungsi (1) disuatu titik t adalah didefinisikan dengan (2) w’(t) = u’(t) + iv’(t) asalkan turunan u’ dan v’ ada pada t. Dari persamaan (2), untuk setiap bilangan kompleks tak nol z 0 =x 0 + iy 0 , iv u iy x dt d t w z dt d 0 0 0 = v x u y i v y u x dt d 0 0 0 0 = v x u y dt d i v y u x dt d 0 0 0 0 = (x 0 u’ y 0 v’) + i(y 0 u’ + x 0 v’) = (x 0 + iy 0 )(u’ + iv’) Jadi, (3) t w z t w z dt d ' 0 0

Upload: trinhtruc

Post on 11-Apr-2019

233 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

128

BAB IV

INTEGRAL

Integral adalah sangat penting dalam mempelajari fungsi bernilai kompleks. Teori

integral yang akan dikembangkan dalam bab ini adalah terkenal dalam matematika

moderen. Teorema-teorema yang disajikan umumnya singkat dan padat serta buktinya

sederhana.

30. FUNGSI BERNILAI KOMPLEKS w(t)

Sebelum membicarakan integral dari f(z) terlebih dahulu akan diperkenalkan turunan

dan integral tentu dari fungsi bernilai kompleks w dari suatu variabel t. Kita tulis

(1) w(t) = u(t) + iv(t),

dimana u dan v adalah fungsi berniali real dari t.

Turunan w’(t), atau

dt

twd, dari fungsi (1) disuatu titik t adalah didefinisikan

dengan

(2) w’(t) = u’(t) + iv’(t)

asalkan turunan u’ dan v’ ada pada t.

Dari persamaan (2), untuk setiap bilangan kompleks tak nol z0 = x0 + iy0,

ivuiyxdt

dtwz

dt

d 000 = vxuyivyux

dt

d0000

= vxuydt

divyux

dt

d0000

= (x0u’ – y0v’) + i(y0u’ + x0v’) = (x0 + iy0)(u’ + iv’)

Jadi,

(3) twztwzdt

d'00

129

Berbagai sifat yang telah dipelajari dalam kalkulus, sifat diferensial untuk penjumlahan

dan perkalian dari fungsi bernilai real t dapat digunakan. Melalui sifat pada persamaan

(3), dapat diselidiki kaitan fungsi bernilai real, dan buktinya dijadikan latihan, yaitu

(4) tztz ezedt

d00

0

Kita dapat menekankan, bahwa tidak semua sifat turunan dalam kalkulus dapat

dibawah kedalam fungsi tipe (1). Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada contoh berikut.

CONTOH 1. Misalkan bahwa w(t) adalah kontinu pada interval atb, jadi komponen

fungsi u(t) dan v(t) adalah kontinu pada interval tersebut. Jika w’(t) ada dimana a < t <

b, maka teorema nilai rata-rata untuk turunan tidak dapat digunakan. Jadi tidak selalu

benar bahwa terdapat c dalam interval a < t < b sehingga,

ab

awbwcw

' .

Untuk menunjukan ini, kita hanya membutuhkan fungsi w(t) = eit pada interval 0t2.

Karena 1' itietw , ini berarti bahwa w’(t) tidak pernah nol, dan w(2) – w(0) = 0.

Definisi integral dari fungsi pada tipe (1) pada interval atb adalah

didefinisikan dengan

(5) b

a

b

a

b

a

dttvidttudttw

dimana integral masing-masing pada bagian kanan ada. Jadi

(6) b

a

b

a

b

a

b

a

dttwdttwIdttwdttw .RemdanReRe C

CONTOH 2. Melalui suatu ilustrasi,

1

0

1

0

1

0

22

3

2211 itdtidttdtit .

Tidak tepat integral dari w(t) pada interval tak terbatas didefinisikan dengan cara

yang serupa.

130

Keberadaan integral-integral dari u dan v dalam definisi (5) adalah jelas

(ensured) jika fungsi tersebut adalah kontinu titik demi titik pada interval atb.

Sehingga suatu fungsi adalah kontinu dimana-mana dalam interval kecuali mungkin

disejumlah hingga titik-titik fungsi itu tidak kontinu, yakni hanya memiliki limit satu

arah. Jelas bahwa, hanya mempunyai limit kanan dititik a dan hanya mempunyai limit

kiri dititik b. Dimana u dan v adalah kontinu titik demi titik, sehingga fungsi w

dikatakan kontinu titik demi titik.

Untuk mengantisipasi cara-cara untuk mengintegralkan suatu konstantan

kompleks dikali suatu fungsi w(t), untuk penjumlahan-penjumlahan integral seperti

fungsi-fungsi di atas, dan untuk mempertukarkan limit-limit dari integral adalah benar.

Aturan-aturan yang lain, dijelaskan pada sifat berikut.

dttwdttwdttwb

c

c

a

b

a

Teorema dasar kalkulus, dari anti turunan, dapat diperluas juga dalam integral

dari tipe (5). Khususnya, misalkan bahwa fungsi

w(t) = u(t) + iv(t) dan W(t) = U(t) + iV(t)

adalah kontinu pada interval atb. Jika W’(t) = w(t) pada atb, maka U’(t) = u(t) dan

V’(t) = v(t). Juga, dari definisi (5),

aiVaUbiVbUtVitUdttwb

a

b

a

b

a .

Jadi,

(7) )()( aWbWtWdttwb

a

b

a

CONTOH 3. Karena (eit)’ = ieit, maka

iieiee iitit 44

4

0

0

131

=

2

11

2

1

22

1ii

ii .

Terakhir, suatu sifat yang paling penting adalah nilai mutlak dari suatu integral,

sebutlah

(8) b

a

b

a

dttwdttw )()( (ab).

Ketaksamaan ini jelas benar jika nilai dari integral pada bagian kiri adalah nol,

khususnya jika a = b. Selanjutnya, akan diselidiki dengan memisalkan bahwa nilainya

adalah bilangan kompleks tak nol. Jika r0 adalah modulus dan 0 adalah suatu argumen

tertentu, maka

b

a

ierwdt 0

0 .

Penyelesaian untuk r0, ditulis

(9) r0 = wdteb

a

i

0 .

Sekarang bagian kiri dari persamaan (9) adalah bilangan real, demikian juga bahagian

kanan. Selanjutnya, dengan menggunakan kenyataan bahwa bagian real dari bilangan

real adalah bilangan real itu sendiri dan dengan menggunakan (6), maka persamaan (9)

dapat ditulis menjadi

wdteb

a

i

0 = Re wdte

b

a

i

0 = dtwe

b

a

i

0Re

Persamaan (9) diperoleh dengan bentuk

(10) r0 = dtweb

a

i

0Re .

Tetapi,

;Re 000 wwewewe iii

dan juga dari persamaan (10),

132

r0 b

a

dttw .

Karena r0 merupakan nilai integral bagian kiri (8) dimana nilai integralnya tak nol, maka

pembuktian telah selesai.

Dengan sedikit modifikasi, sifat di atas dapat digunakan untuk ketaksamaan

berikut,

(11)

aa

dttwdttw

asalkan nilai integral pada persamaan (11) ada.

31. LINTASAN-LINTASAN (CONTOURS)

Itegral dari fungsi bernilai kompleks dari suatu variabel kompleks adalah didefinisikan

pada kurva dalam bidang kompleks, lebih dari pada interval pada garis real. Kelas-kelas

dari kurva adalah cukup untuk dipelajari sebagai pendahuluan dari integral pada bagian

ini.

Suatu himpunan dari titik-titik z = (x,y) dalam bidang kompleks dikatakan busur

berarah (arc) jika

(1) x = x(t), y = y(t) (atb),

dimana x(t) dan y(t) adalah fungsi kontinu dengan parameter real t. Definisi ini

merupakan suatu pemetaan kontinu dari interval atb kedalam bidang xy, atau bidang

z, dan titik-titik bayangannya naik menurut urutan dari nilai t. Selanjutnya kita, baik

sekali menggambarkan titik-titik dari C sebagai arti dari persamaan

(2) z = z(t) (atb),

dimana

(3) z(t) = x(t) + iy(t).

Sifat dasar geometri dari suatu arc selalu memberikan notasi yang berbeda untuk

parameter t dalam persamaan (2). Kenyataan ini, dapat dilihat pada contoh di bawah ini.

CONTOH 1. Garis poligonal,

133

(4)

2,x1jika,

1,x0jika,

ix

ixxz

terdiri dari garis patah dari 0 ke 1+i dan dari 1 + i ke 2 + i (gambar 26), adalah kurva

sederhana.

CONTOH 2. Lingkaran satuan

(5) z = ei (02)

yang berpusat dititik asal adalah kurva tertutup sederhana, berputar dengan arah

berlawanan arah jarum jam.

Juga lingkaran

(6) z = z0 + Rei (02),

dengan pusat z0 dengan jari-jari R (lihat bagian 5) adalah kurva tertutup sederhana.

CONTOH 3. Busur

(7) z = e-i (02)

adalah tidak sama dengan busur pada persamaan (5). Himpunan dari titik-titiknya adalah

sama tetapi lingkaran sekarang adalah berputar searah jarum jam.

CONTOH 4. Titik-titik pada busur berarah

(8) z = ei2 (02)

1+i 2+i

1 2

1

x

y

Gambar 26.

134

adalah mempunyai bentuk yang sama dengan busur berarah pada (5) dan (7), namun

busur berarah tersebut berbeda karena lingkaran ini berputar sebanyak dua kali dengan

arah berlawanan dengan jarum jam.

Misalkan turunan x’(t) dan y’(t) dari komponen-komponen fungsi (3), digunakan

untuk menjelaskan suatu busur berarah C, ada dan kontinu sepanjang interval atb.

Sifat C seperti ini disebut busur bearah yang terdiferensiabel. Dari sini, jika turunan dari

z(t) (lihat bagian 30) adalah

(9) z’(t) = x’(t) + iy’(t),

fungsi bernilai real

22''' tytxtz

adalah terintegralkan pada interval atb, panjang dari kurva diberikan dengan

(10) L = dttzb

a ' .

Persamaan (10) adalah definisi panjang busur dalam kalkulus.

Parameter yang digunakan untuk menjelaskan C adalah jelas tidak tunggal, dan

nilai dari L yang diberikan pada (10) adalah tidak berubah dengan mengganti parameter.

Khususnya, misalkan bahwa

(11) t = ,

dimana adalah fungsi bernilai real yang memetakan interval pada interval

atb. Asumsikan bahwa adalah kontinu dan mempunyai turunan kontinu. Juga

' >0 untuk setiap , jelas bahwa t naik mengikuti . Dengan perubahan variabel

pada persamaan (11), persamaan (10) untuk panjang dari busur diperoleh

L =

dz '' .

Juga, jika C dinyatakan sebagai

(12) z = zZ ,

maka (lihat latihan 11)

135

(13) ''' zZ ,

dan akibatnya, persamaan (10) menjadi

L =

dZ ' .

Jadi panjang dari C adalah sama jika persamaan (12) digunakan.

Jika persamaan z = z(t) (atb) menyatakan arc yang terdiferensiabelkan dan

z’(t)0 dimana-mana dalam interval a < t<b, maka vektor arah satuan

T = tz

tz

'

'

Adalah terdefinisi dengan baik untuk semua t dalam interval buka, dengan sudut dari

inklinasi arg z’(t). Juga, jika T kontinu melalui parameter t pada interval a<t<b. Rumus

untuk T ini adalah telah dipelajari dalam kalkulus dengan z(t) menyatakan suatu jari-jari

vektor. Sehingga suatu busur dikatakan mulus. Dari kemulusan busur z = z(t) (atb),

maka kita mendapatkan turunan z’(t) kontinu pada interval tutup atb dan tak nol pada

interval buka a<t<b.

Suatu lintasan, atau busur mulus titik demi titik, adalah terdiri dari sejumlah

hingga arc mulus yang dihubungkan secara bersambung. Juga, jika persamaan (2)

menyatakan lintasan, z(t) adalah kontinu, dimana turunannya z’(t) adalah kontinu titik

demi titik. Garis poligon (4) adalah sebuah contoh dari lintasan. Jika hanya nilai awal

dan nilai akhir dari z(t) adalah sama, suatu lintasan C disebut lintasan tertutup sederhana.

Sebagai contoh adalah lingkaran pada (5) dan (6), demikian juga segitiga dan empat

persegi panjang dengan arah khusus. Panjang suatu lintasan atau lintasan tertutup

sederhana adalah jumlah dari panjang busur mulus yang digunakan untuk lintasan

tersebut.

Titik-titik pada setiap kurva tertutup sederhana atau lintasan C tertutup sederhana

adalah titik-titik batas dari dua daerah yang berbeda, satu yang dimiliki adalah interior

dari C adalah terbatas, dan yang lainya adalah eksterior dari C yang tidak terbatas.

136

Pembuktian pernyataan ini diketahui melalui teorema kurva Jordan, secara geometri

buktinya tidak terlalu sulit.

LATIHAN

1. Hitung integral berikut :

(a).

2

1

21

dtit

; (b). 6

0

2

dte ti ; (c).

0

dte zt (Re z >0).

2. Tunjukkan bahwa jika m dan n adalah bilangan bulat,

nmjika2

nmjika02

0

inim ee

3. Dari definisi (5) bagian 30, dari integral fungsi bernilai kompleks dari suatu

variabel real,

00 0

1 sincos xdxeixdxedxe xxxi .

Hitung dua integral pada bagian kanan dengan menghitung integral pada bagian

kiri dan identifikasi bagian real dan bagian imajiner dari nilai yang ditemukan.

4. Buktikan diferensial berikut dengan cara yang ditentukan.

a. Gunakan aturan yang berkaitan dalam kalkulus, untuk menunjukkan bahwa

twtwtwdt

d'2

2

dimana w(t) = u(t) + iv(t) adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel real t

dan w’(t) ada.

b. Gunakan bentuk tyetyee txtxtz00 sincos 000 , dimana z0 = x0 + iy0 adalah

bilangan kompleks tetap, untuk menunjukkan tztz ezedt

d00

0 .

5. Gunakan ketaksamaan (8) bagian 30, untuk menunjukkan bahwa semua nilai dari x

dalam interval -1x1, fungsi

137

dxixxPn

n 0

2 cos11

(n = 0, 1, 2, …)

memenuhi ketaksamaan 1xPn .

6. Tunjukkan bahwa, jika w(t) = u(t) + iv(t) adalah kontinu pada interval atb, maka

a. dwdttwb

a

a

b

b.

dwdttwb

a

' ,

dimana adalah fungsi dalam persamaan (11) bagian 31.

7. Misalkan w(t) = u(t) + iv(t) menyatakan fungsi bernilai kompleks kontinu pada

interval -ata.

a. Misalkan bahwa w(t) adalah fungsi genap, yakni w(-t) = w(t) untuk setiap titik

t dalam interval yang diberikan. Tunjukkan bahwa

aa

a

dttwdttw0

2 .

b. Tunjukkan bahwa, jika w(t) adalah fungsi ganjil, yakni w(-t) = -w(t) untuk

setiap titik t dalam interval yang diberikan, maka 0

dttwa

a

.

8. Misalkan w(t) adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel real t yang kontinu

pada interval atb. Dengan memperhatikan kasus khusus dari w(t) = eit pada

interval 0t2, tunjukkan bahwa tidak selalu benar terdapat bilangan c dalam

interval a<t<b sehingga abcwdttwb

a

. Selanjutnya, tunjukkan pula bahwa

teorema nilai rata-rata untuk integral tentu dalam kalkulus tidak dapat digunakan

dalam fungsi ini. (bandingkan contoh 1 dalam bagian 30).

9. Misalkan C menyatakan setengah lingkaran z =2 dengan arah berlawanan dengan

jarum jam dan C dinyatakan dalam dua bentuk parameter, yakni

z=z() = 2ei

22

dan

138

iyyyZz 24 (-2y2).

Tunjukkan bahawa Z(y) = z y , dimana

2arctan

24arctan

2

t

y

yy .

Juga, tunjukkan bahwa fungsi ini mempunyai turunan positif, melalui syarat

yang diberikan pada persamaan (11) bagian 31.

10. Tunjukkan persamaan (13) bagian 31, untuk turunan dari zZ .

Petunjuk: Tulis iyxZ dan gunakan aturan rantai fungsi bernilai

real dari variabel real.

11. Misalkan bahwa fungsi f(z) adalah analitik dititik z0 = z(t0) pada busur berarah

mulus z = z(t) (atb). Tunjukkan bahwa, jika w(t) = f[z(t)], maka w’(t) = f’[z(t)]

z’(t) dimana t = t0.

12. Misalkan y(x) adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada interval 0x1

dengan persamaan

0xjika0

1,x0jikasin3

xx

xy

a. Tunjukkan bahwa persamaan z = x+iy(x) (0x1) menyatakan suatu busur

berarah C1 beririsan dengan sumbu real dititik-titik z = 1/n (n = 1, 2, 3, …) dan

z = 0, seperti yang ditunjukkan pada gambar 27.

y

31

210 1 x

Gambar 27

139

b. Tunjukkan bahwa busur berarah C1 dalam bagian (a) adalah mulus.

Petunjuk : Selidiki kekontinuan dari y(x) di x = 0, dan tunjukkan bahwa

3

2

3 sin0 xx jika x>0. Dengan cara serupa gunakan ini untuk

menemukan y’(0) dan tunjukkan bahwa y’(x) continu di x = 0.

32. INTEGRAL LINTASAN

Sekarang, kita akan mempelajari integral dari fungsi bernilai kompleks dari variabel

kompleks z. Suatu integral didefinisikan dalam bentuk nilai dari f(z) sepanjang lintasan

C, dari titik z = z1 sampai dengan titik z = z2 dalam bidang kompleks. Oleh karena itu,

suatu integral garis secara umum nilainya bergantung pada lintasan C sama dengan

fungsi f. Dan ditulis,

C

dzzf atau 2

1

C

C

dzzf ,

notasi tersebut sering digunakan ketika nilai dari integral tidak bergantung pada

pemilihan lintasan diantara dua titik. Integral dapat didefinisikan secara langsung

melalui limit dari suatu jumlah, namun dalam bagian ini kita memilih definisi seperti

diatas yang berkaitan dengan bagian pendahuluan (bagian 30).

Misalkan persamaan

(1) z = z(t) (atb)

menyatakan suatu lintasan dari titik z1 = z(a) ketitik z2 = z(b). Misalkan pula fungsi f(z)

kontinu titik demi titik pada interval atb. Kita definisikan integral garis atau integral

lintasan dari f sepanjang C, yakni :

(2) dttztzfdzzfb

aC ' .

Sebagai catatan, karena C adalah lintasan, maka z’(t) adalah kontinu titik demi titik pada

interval atb, dan keberadaan dari integral pada persamaan (2) dijamin.

140

Nilai dari integral lintasan adalah invariant terhadap perubahan dalam

menyatakan lintasan jika perubahan tersebut serupa dengan persamaan (12) bagian 31.

Hal ini dapat ditunjukkan dengan cara yang serupa seperti pada bagian 31 dalam

menunjukkan invariant dari panjang busur berarah.

Dari definisi (2) dan sifat dari integral fungsi bernilai kompleks w(t) yang telah

dijelaskan dalam bagian (30) bahwa

(3) CC

o dzzfzdzzfz 0 ,

untuk setiap konstanta kompleks z0, dan

(4) CCC

dzzgdzzfdzzgzf .

Berhubungan dengan lintasan C yang digunakan pada integral (2), lintasan –C

adalah terdiri dari himpunan titik-titik yang sama dengan C tetapi urutannya terbalik.

Lintasan –C bergerak dari titik z2 ketitik z1. Lintasan –C mempunyai bentuk parameter z

= z(-t) (-bt-a). Jadi

dttztzfdzzfC

a

b

' ,

dimana z’(-t) menyatakan turunan dari z(t) pada t yang dihitung di –t. Dengan perubahan

dari variabel dalam integral sebelumnya (lihat latihan 6(a), bagian 31), kita peroleh

(5) dzzfdzzfCC

.

Misalkan bahwa lintasan C terdiri dari lintasan C1 dan lintasan C2, dengan

lintasan C1 dari titik z1 ketitik z0 dan C2 dari titik z0 ketitik z2, titik awal dari C2

merupakan titik akhir dari C1. Maka terdapat bilangan real c, dimana z0 = z(c), sehingga

C1 adalah dinyatakan dengan z = z(t) (atc) dan C2 adalah dinyatakan dengan z = z(t)

(ctb). Maka

b

c

c

aC

dttztzfdttztzfdzzf '' ,

hal ini menjelaskan bahwa

141

(6) 21 CCC

zfzfdzzf .

Kadang-kadang lintasan C disebut jumlah dari C1 dan C2 dan dinotasikan dengan C1+C2.

Jumlah dari dua lintasan C1 dan –C2 adalah terdefinisi dengan baik jika C1 dan C2

mempunyai titik akhir yang sama, dan ditulis dengan C1-C2.

Terakhir, dari definisi (2) di atas dan sifat (8), bagian (30),

dttztzfdzzfb

aC

' .

Juga, untuk setiap konstanta non negatif M sehingga nilai dari f pada C memenuhi

ketaksamaan Mzf ,

b

aC

dttzMdzzf ' .

Karena integral pada bagian kanan menyatakan panjang L dari lintasan (lihat bagian 31),

dari sini bahwa modulus dari integral f sepanjang C tidak melebihi ML,

(7) .MLdzzfC

Hal ini jelas bahwa ketaksamaan terjadi jika nilai dari f pada C, Mzf .

Sebagai catatan, semua garis atau garis edar atau jalur (path) dari integral adalah

dipertimbangkan sebagai lintasan dan yang diintegralkan adalah fungsi yang kontinu

titik demi titik yang didefinisikan pada lintasan-lintasan, suatu bilangan M yang

ditampilkan pada persamaan (7) akan selalu ada. Ini disebabkan karena fungsi tzf

adalah kontinu pada interval tertutup dan terbatas atb dimana f adalah kkontinu pada

C; dan sehingga fungsi selalu mencapai maksimum yang bernilai M pada interval. Juga

zf mempunyai suatu nilai maksimum pada C dimana f kontinu pada C. Sekarang,

dengan cara serupa juga benar untuk fungsi f yang kontinu titik demi titik pada C.

142

Integral tentu dalam kalkulus dapat diinterprestasikan sebagai luas. Kecuali

dalam kasus khusus, tidak berhubungan dengan interprestasi, goemetri atau fisika adalah

disediakan untuk integral dalam bidang kompleks.

33. CONTOH-CONTOH

Contoh 1. Carilah nilai integral

(1) I = dzzC

dimana C adalah setengah bagian kanan dari lingkaran z =2, dari z = -2i ke z = 2i

(gambar 28), yakni

z = 2ei

22

.

Dari definisi (2) bagian 32,

I =

dee ii '222

2

;

karena ii ee dan (ei)’=iei,

maka ini berarti bahwa, I = ididiee ii

44222

2

2

2

.

Sebagai catatan bahwa jika suatu titik z pada lingkaran z =2, maka diperoleh

bahwa zz = 4, atauz

z4

. Jadi hasil I = 4i dapat juga ditulis

(2) C

iz

dz .

143

CONTOH 2. Dalam contoh ini, misalkan bahwa C1 menyatakan lintasan OAB seperti

pada gambar 29 dan akan dihitung integral

(3) 1C ABOA

dzzfdzzfdzzf

dimana f(z) = y-x-i3x2(z=x+iy)

Segmen OA dapat dinyatakan dalam bentuk parameter melalui z = 0+iy (0y1); jadi

x=0 dititik-titik pada segemen. Nilai dari f(z) dapat dibawah kepersamaan parameter y

dan diperoleh persamaan f(z) = y (0y1). Akibatnya,

1

0

1

02

iydyiyidydzzf

OA

.

Pada segmen AB, z = x+i (0x1); dan juga

idxxidxxdxxixdzzfAB

2

1311.31

1

0

1

0

1

0

22 .

Sehingga, persamaan (3) kita peroleh

(4) 2

1

1

idzzf

C

.

Jika C2 menyatakan segmen OB dari garis y = x, dengan bentuk parameter z =

x+ix (0x1),

2i

-2i

C

x

y

Gambar 28

y

0

x

i 1+i

0

Gambar 29

C2

C1

A

B

144

(5) idxxidxixidzzfC

113131

0

21

0

2

2

.

Jelas bahwa integral dari f(z) sepanjang dua lintasan C1 dan C2 mempunyai nilai yang

berbeda walaupun mereka mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama.

Selanjutnya nilai integral dari f(z) atas lintasan tertutup sederhana OABO, atau

C1 – C2, adalah

2

1

21

idzzfdzzf

CC

.

CONTOH 3. Kita mulai dengan memisalkan C sebagai arc mulus sembarang z = z(t)

(atb) dari titik tetap z1 ketitik tetap z2. Secara terurut kita hitung integral

dttztzzdzIC

b

a

' ,

dari latihan 4(a) bagian 31,

tztztz

dt

d'

2

2

.

Jadi,

22

222azbztz

I

b

a

.

Tetapi z(b) = z2 dan z(a) = z1; dan juga2

21

22 zz

. Ini berarti, bahwa nilai dari integralnya

hanya bergantung pada titik-titik akhir dari C, dan dengan kata lain tidak bergantung

pada arc yang diberikan, kita dapat menulis

(6) 2

1

z

z

zdz2

21

22 zz

.

(bandingkan dengan contoh 2, dimana nilai dari suatu integral dari satu titik tetap ke

yang lain bergantung pada segmen yang diberikan).

145

Persamaan (6) adalah juga benar jika C menyatakan lintasan yang tidak perlu

mulus diman lintasan tersebut terdiri dari sejumlah hingga busur berarah yang mulus Ck

(k = 1, 2, …,n) yang dihubungkan secara bersambung (end to end). Secara umum,

misalkan bahwa Ck bergerak dari zk ke zk+1. Maka

(7)

n

k

nkkn

k CC

zzzzzdzzdz

k1

21

21

221

1 22,

diman z1 merupakan titik awal dari C dan zn merupakan titik akhir dari C.

Dari persamaan (7) di atas bahwa integral dari f(z) mengelilingi setiap lintasan

tertutup sederhana dalam bidang mempunyai nilai nol. (bandingkan dengan contoh 2,

dimana nilai dari integral dari fungsi diberikan mengelilingi segmen tertutup adalah

tidak nol). Hal ini akan dijelaskan pada bagian selanjutnya jika integral dari lintasan

tertutup sederhana mempunyai nilai nol. Pertanyaan ini merupakan pusat dari teori

fungsi bernilai kompleks.

CONTOH 4. Misalkan C menyatakan path setengah lingkaran

z = 3ei (0)

dari titik z = 3 ketitik z = -3 (lihat gambar 30). Walaupun cabang dari bagian (36)

(8) f(z) = 2

ier (r>0. 0<<2)

dari fungsi bernilai banyak 2

1

z adalah tidak terdefinisi pada titik awal z = 3 dari lintasan

C, integral

(9) dzzIC 2

1

Gambar 30

x

y

3-3

146

dari cabang tersebut ada. Untuk integral adalah kontinu titik demi titik pada C. Kita akan

tunjukan dengan menghitung z() = 3ei, limit-limit kanan dari bagian real dan bagian

imajiner dari fungsi

2

sin32

cos33 2

iezfi

(0<)

di = 0 adalah 3 dan 0 masing-masing. Juga f[z()] adalah kontinu pada interval

tutup 0 dimana nilai = 0 adalah didefinisikan sebagai 3 . Akibatnya,

0

2

3

0

2 3333 deidieeIi

ii

;

dan

0

2

3

0

2

3

3

2

ii

ei

de = ii

13

2

Terakhir, maka

iI 132 .

CONTOH 5. Misalkan CR adalah path setengah lingkaran z = Rei (0), dan

2

1

z merupakan cabang (8) dari akar fungsi kuadrat yang digunakan dalam contoh 4.

Tanpa mencari nilai dari integral, dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

(10)

RCR

dzz

z0

1lim

2

2

1

.

Jika z =R>1, ReRzi

22

1

dan 111 222 Rzz .

Akibatnya, titik-titik pada CR dimana integral terdefinisi,

RMz

z

12

2

1

dimana12

R

RM R .

Karena panjang dari CR adalah bilangan L = R, dan dari sifat (7) bagian 32, bahwa

147

.12

2

1

LMdzz

zR

CR

Tetapi

21

1

2 11.

1 2

2

R

R

R

RRLM

R

RR

,

dan jelas bahwa bagian kanan bentuk di atas menuju nol asalkan R menuju takhingga.

Ini berarti (10) telah dibuktikan.

LATIHAN

Untuk fungsi f dan lintasan C dalam latihan 1 sampai dengan 6, gunakan bentuk

parameter yang diberikan untuk C, untuk menghitung dzzfC

.

1. z

zzf

2 dan C adalah

a. setengah lingkaran z = 2ei (0);

b. setengah lingkaran z = 2ei (2)

c. lingkaran z = 2ei (02)

2. f(z) = z-1 dan C adalah busur berarah dari z = 0 sampai z = 2 yang terdiri dari

a. setengah lingkaran z = 1 + ei (2)

b. Segmen 0x2 dari sumbu real.

3. f(z) = exp( z ) dan C adalah batas dari bujur sangkar dengan titik-titik sudut 0, 1,

1+i, dan i, orientasi C berlawanan dengan arah jarum jam.

4. f(z) adalah dinyatakan dengan persamaan

0yjika4

0yjika1

yzf dan C adalah

busur berarah dari z = -1-i sampai dengan z = 1+i sepanjang kurva y = x3.

5. f(z) = 1 dan C sembarang lintasan dari setiap titk z1 kesetiap titik tetap z2 dalam

bidang.

148

6. f(z) adalah cabang z-1+i =exp[(-1+i)log z] 2arg0,0 zz dan C adalah

lingkaran satuan 1z dengan arah positif.

7. Dengan menggunakan hasil pada latihan nomor 2 bagian 31, hitunglah integral

dzzzn

C

m

dimana m dan n adalah bilangan bulat dan C adalah lingkaran satuan

1z dengan arah berlawanan dengan jarum jam.

8. Hitunglah integral I dalam contoh 1 bagian 33 dengan menggunakan bentuk C :

iyyz 24 (-2y2) (lihat juga latihan 9 bagian 31)

9. Misalkan C adalah busur berarah dari lingkaran 2z dari z = 2 ke z = 2i terletak

dalam kuadran pertama. Dengan tanpa menghitung integral, tunjukkan bahwa

312

C

z

dz

10. Misalkan C menyatakan segmen garis dari z = i ke z =1. Dengan memperhatikan

bahwa semua titik pada segmen garis, titik tengah adalah closest to origin,

tunjukkan bahwa 244

Cz

dzdengan tanpa menghitung integral.

11. Tunjukkan bahwa jika C adalah batas dari segitiga dengan titik-titik sudut 0, 3i,

dan –4, serta orientasinya berlawanan dengan arah jarum jam, maka

60C

z dzze

12. Misalkan C dan C0 menyatakan lingkaran z = Rei (02) dan z = z0 + Rei

(02) masing-masing. Gunakan bentuk parameter tersebut untuk menunjukkan

bahwa dzzzfdzzfCC

0

0 dimana f adalah kontinu titik demi titik pada C.

149

13. Misalkan C0 menyatakan lingkaran Rzz 0 berlawanan dengan jarum jam.

Gunakan bentuk parameter z = z0 + Rei (-) dari C0 untuk menurunkan

rumus integral berikut.

a. izz

dz

C

20 0

; b. ,...21,n0

1

0

0

dzzzn

C

c. aa

Ridzzz

aa

C

sin21

0

0

, dimana a adalah bilangan real yang lebih besar

dari nol dan dimana cabang utama dari integral dan nilai utama dari Ra adalah

diambil.

34. ANTI TURUNAN

Meskipun nilai dari integral lintasan dari suatu fungsi f(z) dari titik tetap z1 ke titik tetap

z2 umumnya bergantung pada path yang diambil, namun terdapat juga fungsi yang

mempunyai integral dari z1 ke z2 tidak tergantung dari path. (ingat contoh 2 dan 3 bagian

33). Contoh-contoh juga masih mengilustrasikan kenyataan bahwa nilai dari integral

path tertutup adalah kadang-kadang nol, tetapi tidak selalu nol. Teorema dibawah ini

selalu mempertimbangkan kapan suatu integral adalah tidak tergantung pada path dan

selain itu kapan suatu integral sekitar path tertutup mempunyai nilai nol.

Dalam pembuktian teorema kita selalu menemukan suatu perluasan dari teorema

dasar kalkulus untuk mempermudah perhitungan berbagai integral lintasan. Perluasan ini

melibatkan konsep dari suatu antiturunan dari suatu fungsi kontinu f dalam suatu domain

D, atau suatu fungsi F sedemikian sehingga F’(z) = f(z) untuk semua z dalam D. Sebagai

catatan bahwa suatu antiturunan adalah dibutuhkan suatu fungsi analitik, anti turunan

suatu fungsi f yang diberikan adalah tunggal kecuali untuk penjumlahan konstanta

kompleks. Hal ini disebabkan karena dari pengurangan F(z) – G(z) = 0 dari dua anti

turunan F(z) dan G(z) adalah nol. Dan berdasarkan teorema bagian 20, suatu fungsi

analitik adalah konstan dalam domain D jika turunannya adalah nol seluruh D.

150

Teorema

Misalkan bahwa suatu fungsi f adalah kontinu pada domain D. Jika satu dari pernyataan

berikut benar, maka pernytaan yang lain juga benar.

a. f mempunyai antiturunan F di D

b. integral dari f(z) sepanjang lintasan-lintasan yang terletak sepenuhnya dalam D

dan memanjang dari titik tetap z1 ketitik tetap z2 semuanya mempunyai nilai

yang sama.

c. Integral dari f(z) sekitar lintasan tertutup yang terletak sepenuhnya dalam D

semuanya mempunyai nilai nol.

Sebagai catatan bahwa teorema tersebut tidak mengklaim bahwa setiap pernyataan

adalah benar untuk sembarang fungsi f dan domain D yang diberikan. Yang diketahui

adalah dari teorema di atas adalah benar semua atau tidak benar semua. Untuk

membuktikan teorema di atas cukup dibuktikan bahwa pernyataan (a) mengakibatkan

pernyataan (b), pernyataan (b) mengakibatkan pernyataan (c), dan pernyataan (c)

mengakibatkan pernyataan (a).

Sekarang, asumsikan bahwa pernyataan (a) benar. Jika suatu lintasan C dari z1 ke

z2 terletak dalam D dan benar-benar suatu arc yang mulus dengan bentuk parameter z =

z(t) (atb), kita ketahui dari latihan 11, bagian 31. bahwa

tztzftztzFtzFdt

d''' (atb).

Karena teorema dasar kalkulus dapat diperluas kedalam fungsi bernilai kompleks dari

variabel real (bagian 30), maka

azFbzFtzFdttztzfdzzfb

a

b

aC

' .

Dimana z(b) = z2 dan z1 = z(a), maka nilai dari integral lintasan di atas adalah F(z2)-

F(z1); dan nilainya jelas tidak tergantung dari lintasan C sepanjang C menuju dari z1 ke

z2 dan terletak dalam seluruh D. Jadi,

151

(1) 122

1

2

1

zFzFzFdzzfz

z

z

z

.

Hasil ini adalah juga benar untuk C adalah sembarang lintasan, tidak perlu mulus dan

terletak dalam D. Khususnya, jika C terdiri dari sejumlah hingga arc yang mulus Ck (k =

1, 2, …,n), setiap Ck bergerak sepanjang titik zk ketitik zk+1, maka

111

11

zFzFzFzFdzzfdzzf n

n

kkk

n

k CC k

.

(Bandingkan dengan contoh 3 bagian 33). Kenyataan ini bahwa pernyataan (b) telah

ditunjukkan.

Untuk membuktikan pernyataan (b) mengakibatkan pernyataan (c), kita misalkan

z1 dan z2 menyatakan dua titik pada lintasan tertutup C yang terletak dalam D dan

bentuk dua path, dengan setiap path titik awalnya z1 dan titik akhirnya z2 sehingga C =

C1-C2 (gambar 31). Asumsikan bahwa pernyataan (b) benar, dan tulis

(2) 1 2C C

dzzfdzzf , atau

(3) 1 2

0C C

dzzfdzzf .

Jadi, integral dari f(z) sekitar lintasan tertutup C = C1-C2 mempunyai nilai nol.

D

C2

C1z1

z2

y

x

Gambar 31

152

Terakhir, kita akan tunjukkan pernyataan (c) mengakibatkan pernyataan (a). Asumsikan

bahwa pernyataan (c) benar, dengan menggunakan kebenaran pernyataan (b). Misalkan

C1 dan C2 menyatakan sembarang dua lintasan yang terletak dalam D, dari titik z1 ke z2

dan dari pernyataan (c), persamaan (3) benar (lihat gambar 31). Selanjutnya persamaan

(2) benar. Oleh karena integral tidak bergantung pada path dalam D, maka kita dapat

mendefinisikan fungsi

dssfzFz

z

0

pada D. Untuk membuktikan teorema secara lengkap, tinggal ditunjukkan bahwa F’(z) =

f(z) untuk setiap z dalam D. Kita bekerja disini dengan memisalkan z+ z sembarang

titik, berbeda dengan z, terletak dalam suatu lingkungan dari z yaitu cukup kecil yang

termuat dalam D. Maka

zz

z

z

z

zz

z

dssfdssfdssfzFzzF00

,

dimana path dari integral dari z ke z+ z dapat dipilih melalui segmen garis (gambar

32). Dimana

zdszz

z

(lihat latihan 5 bagian 33), kita dapat menulis

zdszfz

zfzz

z

1;

dan dari sini bahwa

zz

z

dszfsfz

zfz

zFzzF 1.

Tetapi F kontinu dititik z. Juga untuk setiap bilangan positif , terdapat bilangan

positif sehingga

z-sasalkanzfsf .

153

Akibatnya, jika titik z+ z adalah cukup dekat ke z juga z , maka

z

zzf

z

zFzzF 1;

Jadi,

zfz

zFzzFz

0

lim

atau F’(z) = f(z).

35. CONTOH-CONTOH

Contoh-contoh berikut mengilustrasikan teorema dalam bagian 34 dan khususnya

penggunaan remus (1) di atas, yang mana merupakan perluasan teorema dasar kalkulus.

Contoh 1. Fungsi kontinu f(z) = z2 mempunyai anti turunan F(z) = z3/3 sepanjang

bidang. Jadi

iiz

dzz

ii

13

21

3

1

3

3

1

0

31

0

2

untuk setiap lintasan dari z=0 ke z = 1+i.

z0

s z

s

z+ z

D

y

x

Gambar 32

154

Contoh 2. Fungsi2

1

zadalah kontinu disetiap titik kecuali dititik asal, mempunyai

turunanz

1 dalam domain 0z . Akibatnya

212

111 2

1

2

1zzzz

dzz

z

z

z

(z1 0, z2 0)

untuk setiap lintasan dari z1 ke z2 dan tidak melalui titik asal. Khususnya 02

Cz

dz

dimana C adalah lingkaran z = 2ei (-).

Sebagai catatan, integral dari fungsi f(z) = 1/z mengelilingi lingkaran yang sama

tidak dapat dihitung dengan cara yang serupa. Untuk semua turunan dari setiap cabang

F(z) dari logz adalah 1/z (bagian (26)), F(z) tidak terdiferensiabel, atau definisi yang

sama sepanjang potongan cabang. Khususnya, jika sudut = dari titik asal digunakan

untuk potongan cabang, F’(z) lemah untuk keberadaan titik dimana sudut irisan

lingkaran C. Jadi C tidak terletak dalam suatu domain yang dimiliki seluruh F’(z) = 1/z,

dan kita tidak dapat menggunakan secara langsung dari suatu anti turunan.

Contoh 3. Misalkan D domain Argzz ,0 , terdiri dari seluruh bidang yang

memuat titik asal dan sumbu real negatif. Cabang utama Log z dari fungsi logaritma

bernilai banyak melalui suatu anti turunan dari fungsi kontinu seluruh D. Juga dapat

ditulis

iiiiLogiLogLogzz

dz i

i

i

i

22ln

22ln22

2

2

2

2

dimana path pengintegralan dari –2i sampai 2i, untuk hal lain, arc

22

irez

dari lingkaran dalam contoh 2 (bandingkan contoh 1 bagian 33, dimana dimana integral

ini telah dihitung dengan menggunakan bentuk parameter untuk arc).

Contoh 4. Misalkan kita menggunakan suatu anti turunan untuk menghitung integral

155

(1) dzzC

1

2

1

dimana yang diintegralkan adalah cabang

(2)

200,r22

1

i

erz

dari fungsi akar kuadrat dan dimana C1 adalah suatu lintasan dari z = -3 ke z = 3, kecuali

untuk titik akhir, terletak di atas sumbu x (lihat gambar 33). Seluruh pengintegralan

adalah kontinu titik demi titik pada C1, dan oleh karena itu integralnya ada, cabang (2)

dari 2

1

z adalah tidak terdefinisi pada sudut = 0, khususnya dititk z = 3. Tetapi cabang

yang lain,

2

3

2-0,r2

1

i

erzf

adalah terdefinisi dan kontinu dimana-mana pada C1. Nilai dari f1(z) disemua titik pada

C1 kecuali z = 3 sama dengan mengitegralkan (2); juga pengitegralan dapat diganti

kembali dengan f1(z). Dimana suatu anti turunan dari f1(z) adalah fungsi

2

3

2-0,r

3

2

3

22

3

2

3

1

i

errzzF .

Kita dapat menulis kembali

ieezFdzzfdzzi

i

C

13232 2

3

1

2

103

31

3

3

1

.

(bandingkan dengan contoh 4 bagian 33)

156

Integral (1) atas lintasan C2 dari z = -3 ke z = 3 dibawah sumbu x mempunyai

nilai yang lain. Dalam kasus ini, kita mengintegralkan kembali dengan cabang

2

5

20,r2

2

i

erzf ,

yang mempunyai nilai terletak dalam cabang (2) dibawah half plane. Fungsi analitik

2

5

20,r

3

2

3

22

3

2

3

2

i

errzzF

adalah suatu anti turunan dari f2(z). Jadi

ieezFdzzfdzzi

i

C

13232 2

3

2

2

133

31

3

3

1

.

Perlu dicatat bahwa integral dari fungsi (2) mengelilingi lintasan tertutup C2 – C1

mempunyai nilai 34132132 ii .

36. TEOREMA CAUCHY-GOUSTRAT

Dalam bagian 24, kita telah mengetahui bahwa jika suatu fungsi kontinu f mempunyai

suatu anti turunan dalam suatu domain D, integral dari f(z) mengelilingi sembarang

30

C1

C2

x-3

y

Gambar 33

157

lintasan C yang seluruhnya terletak dalam D mempunyai nilai nol. Dalam bagian ini kita

hadirkan suatu teorema yang memberikan sifat yang lain pada suatu fungsi f