integral rn

B A B 6 Integral di Rn

BAB 6

6.1 Integral Lipat Dua

6.2 Luas dan Volume

6.3 Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar

6.4 Aplikasi Integral Lipat Dua

6.5 Integral Lipat Tiga

6.6 Integral pada Koordinat Tabung dan Bola

6.7 Perubahan Peubah pada Integral Lipat

6 Integral di Rn


M o d u l M a t e m a t i k a D a s a r A2 U n i v e r s i t a s I n d o n e s i a | 2

Tujuan Instruksional Khusus Mahasiswa mampu:

1. Menjelaskan definisi funsi integral sebuah

fungsi atas persegi panjang.

2. Menggunakan integral berulang untuk meng-

evaluasi integral lipat pada daerah planar, dan

menghitung volume.

3. Membangun dan mengevaluasi integral lipat

pada koordinat polar.

4. Membangun dan mengevaluasi integral untuk

menghitung luas permukaan.


tiga pada koordinat Cartesius.

6. Menggunakan integral lipat dua dan tiga

untuk menghitung momen, pusat massa, dan

momen inersia.

7. Menggunakan koordinat bola, mengubah dari

koordinat Cartesius ke silinder atau bola dan

sebaliknya.


tiga pada koordinat silinder dan bola.

9. Mengubah urutan peubah pada integral lipat.

10. Memvisualisasi daerah irisan fungsi dua

peubah dan mengevaluasi integral tersebut

dengan bantuan TIK.

Pendahuluan

Turunan dan integral adalah salah satu bagian terpenting dari kalkulus. Di dalam bab sebelumnya telah

kita pelajari turunan dari fungsi n variabel. Pada bab ini kita akan mempelajari integral di ruang

berdimensi dua dan ruang berdimensi tiga.

Materi pada subbab 6.1 adalah penurunan integral Riemann untuk fungsi dua variabel, sifat-sifat

integral lipat dua, dan perhitungan integral lipat dua dengan menggunakan teknik integral berulang.

Subbab 6.2 berisikan aplikasi integral lipat dua pada perhitungan luas dan volume benda. Sedangkan

pada subbab 6.3 dijelaskan perhitungan integral lipat dengan menggunakan koordinat polar dan pada

subbab 6.4 diberikan beberapa contoh aplikasi integral lipat dua.

Definisi integral lipat tiga, perhitungan integral lipat tiga dengan integral berulang, dan aplikasi integral

lipat tiga dijelaskan pada subbab 6.5. Subbab 6.6 menjelaskan perhitungan integral lipat dengan

melakukan transformasi koordinat Cartesius menjadi koordinat tabung atau koordinat bola terlebih

dahulu. Sedangkan subbab 6.7 menjelaskan transformasi koordinat ke bentuk yang lebih umum.



Integral Lipat Dua, Sifat-sifat Integral Lipat Dua, Integral Lipat Dua sebagai Integral Berulang, Integral Lipat Dua atas Daerah

Bukan Persegi Panjang

Integral Lipat Dua

Pada bagian ini dijelaskan definisi integral lipat dua, perhitungan integral

lipat dua dengan integral berulang dan integral lipat dua pada daerah

yang bukan persegi panjang.

Integral Lipat Dua

Definisi Integral Lipat Dua

Pada dasarnya, penurunan bentuk integral Riemann pada fungsi dua dan

tiga variabel memiliki proses yang serupa dengan integral Riemann pada

fungsi satu variabel. Kalian dapat melihat kembali uraian mengenai

integral Riemann untuk fungsi satu variabel pada buku ajar Matematika

Dasar A1 atau pada buku Calculus karangan Edwin J. Purcell edisi 9,

subbab 4.2.

Misalkan adalah fungsi yang didefinisikan pada persegi panjang R

yang diberikan oleh

Bentuklah partisi dari R dengan garis-garis yang paralel dengan

sumbu- dan sumbu- seperti pada Gambar 1. Garis-garis ini membagi R

menjadi beberapa persegi panjang, misalkan n persegi panjang. Masing-

masing persegi panjang kita sebut sebagai , dengan

luas adalah Pilihlah titik di setiap dan bentuk

jumlah Riemann

(1)

yang berkaitan dengan jumlah volume n kotak (Gambar 2 dan 3). Sebagai

ukuran persegi panjang dari partisi , definisikan sebagai

maksimum panjang dari diagonal persegi panjang-persegi panjang .

Dengan membuat partisi yang semakin kecil sedemikian sehingga

semakin kecil meyebabkan kita memperoleh konsep yang diinginkan.

6.1

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3



DEFINISI 6.1 Integral Lipat Dua Misalkan adalah fungsi dua variabel yang didefinisikan pada persegi panjang tertutup R. Integral lipat dua dari fungsi atas persegi panjang R adalah

dengan syarat limitnya ada.

Notasi

Jika , interpretasi adalah volume benda padat

di bawah permukaan seperti pada Gambar 4.

Sifat-sifat Integral Lipat Dua

Seperti pada integral fungsi satu variabel, integral lipat dua dari fungsi

kontinu memiliki sifat-sifat aljabar yang berguna bagi perhitungan dan

aplikasi.

Gambar 4

R1 R2

R

Gambar 5

SIFAT Integral Lipat Dua 1. Integral lipat dua bersifat linier, yaitu:

a. Perkalian dengan konstanta

b. Penjumlahan dan pengurangan

2. Integral lipat dua memenuhi sifat perbandingan, yaitu

a. Jika di R maka .

b. Jika di R maka

3. Integral lipat dua memenuhi sifat aditif di persegi panjang R yang merupakan gabungan dua persegi panjang tak beririsan R1 dan R2 (Gambar 5), yaitu:



Integral Berulang

Untuk menghitung integral lipat dengan menggunakan definisi bukanlah

hal yang mudah. Ada cara yang lebih mudah untuk menghitung integral

lipat, yaitu dengan dua integral satu variabel secara berulang. Misalkan

di R dan

(2)

kita interpretasikan sebagai volume benda padat di bawah permukaan

(Gambar 6). Irislah benda padat tersebut menjadi lembaran-

lembaran bidang yang sejajar dengan bidang- seperti pada Gambar 7.

Daerah dari permukaan lembaran bergantung pada , sehingga luas

lembaran ini dapat ditulis dengan . Volume hampiran lembaran ini

(Gambar 8) adalah

dan volumenya

(3)

Luas lembaran, , dapat dihitung dengan integral satu variabel biasa,

Substitusikan fungsi ke persamaan (3) sehingga diperoleh

Ekspresi ini disebut sebagai integral berulang.

Apabila kita samakan dengan persamaan (2), diperoleh

Jika kita mengiris benda padat tersebut menjadi lembaran-lembaran yang

sejajar dengan bidang- terlebih dahulu, maka diperoleh integral

berulang dengan urutan yang berbeda, yaitu

Bagaimana kalau negatif?

Gambar 6

Gambar 7

Gambar 8



Apabila memiliki bagian yang bernilai negatif di R maka

menyatakan volume berkalian dari volume benda padat

antara bidang dengan persegi panjang R pada bidang-xy

(Gambar 9). Volume benda sebenarnya adalah

Contoh 1

Hitunglah

dimana R adalah daerah yang dibatasi oleh .

Penyelesaian

Kita akan menghitung integral lipat dengan integral berulang

Mula-mula hitung bagian di dalam dengan memperlakukan sebagai

konstanta.

Perhatikan bahwa pada ruas kanan baris pertama kita tuliskan batas

dan . Sehingga jelas bahwa adalah variabel yang sedang kita

integralkan.

Untuk menyelesaikannya, kita perlu mengintegralkan terhadap . Hal ini

mudah, karena perhitungan yang dilakukan sudah merupakan integral

satu variabel yang telah dikenal.

Gambar 9



Bagaimana hasilnya apabila kita mengubah urutan integral dengan

mengintegralkan terhadap terlebih dahulu baru kemudian terhadap ?

Coba kalian lakukan sendiri.

Contoh 2

Hitunglah


Penyelesaian

Seperti pada Contoh 1, untuk menghitung atas daerah

kita dapat menggunakan integral

berulang seperti . Mula-mula kita hitung bagian di

dalam kurung dengan memperlakukan sebagai konstanta. Kemudian

dilanjutkan dengan mengintegralkannya terhadap . Maka,

Penyelesaiannya adalah

wwiitthh((ssttuuddeenntt))::

vvaalluuee((DDoouubblleeiinntt((yy^̂22**ssiinn((xx)),,xx==00....PPii,,yy==00....11))));;

Coba kalian ulangi pekerjaan diatas dengan mengubah urutan integralnya.

Integralkan terhadap terlebih dahulu baru kemudian terhadap .

Contoh 3

Hitunglah


Urutan dan adalah penting, karena ini

menunjukkan integral mana dahulu yang akan

dikerjakan.Pengintegralan pertama melibatkan

simbol integral terdekat dengan fungsi disebelah kiri dan simbol atau

pertama di sebelah kanan fungsi.

Ingat !



Penyelesaian

Misalnya kita pandang daerah R sebagai daerah sederhana- , maka hasil

integralnya adalah

Coba kalian ulangi pekerjaan diatas dengan mengubah urutan integralnya.

Integralkan terhadap terlebih dahulu baru kemudian terhadap .

Integral Lipat Dua pada Daerah

Bukan Persegi Panjang

Sejauh ini kita telah membahas integral lipat dua di daerah R yang

berbentuk persegi panjang. Apa yang kita lakukan bila batas berupa

kurva, misalkan, seperti pada Gambar 10? Untuk masalah seperti ini kita

cukup memperhatikan daerah yang sederhana- dan daerah yang

sederhana- .

Suatu bidang datar S dikatakan sederhana- apabila dapat dinyatakan

sebagai

seperti terlihat pada Gambar 10. Perhatikan bahwa garis pada daerah

sederhana- yang sejajar dengan sumbu- memotong daerah S pada

sebuah interval (atau titik atau tidak memotong S sama sekali).

Suatu bidang datar S dikatakan sederhana- apabila dapat dinyatakan

sebagai

seperti terlihat pada Gambar 11. Sekali lagi perhatikan bahwa garis pada

daerah sederhana- yang sejajar dengan sumbu- memotong daerah S

pada sebuah interval (atau titik atau tidak memotong S sama sekali).

Gambar 12 adalah salah satu contoh bidang datar yang tidak sederhana-

maupun sederhana- .

Gambar 10

Gambar 11

Gambar 12



TEOREMA 6.1 Perhitungan Integral Lipat Dua Misalkan fungsi kontinu di S. Jika S adalah daerah yang sederhana- , maka

. Jika S adalah daerah yang sederhana- , maka

dengan syarat limitnya ada.

Berikut ini adalah teorema yang digunakan untuk menghitung integral

lipat dua dengan integral berulang atas daerah yang sederhana- atau

sederhana- .

C

Contoh 4 Misalkan D adalah segitiga yang didefinisikan oleh dan

Gunakan fungsi yang sama dengan Contoh 1, ,

kemudian hitunglah apabila D adalah segitiga.

Penyelesaian

Perhatikan bahwa batas bergantung pada . Untuk suatu nilai

tertentu, bergerak dari 0 sampai dengan seperti gambar garis

vertikal dari ke pada Gambar 13.

Segitiga D dapat dilihat sebagai daerah yang sederhana- maupun

sederhana- . Pada contoh ini, pandang D sebagai daerah yang

sederhana- . Maka batas-batas integrasinya adalah dan

. Dengan demikian integral lipat dua atas D adalah

Gambar 13



Kerjakanlah kembali soal pada Contoh 4 namun kali ini pandang D sebagai

daerah sederhana- . Apa yang harus Anda ubah?

Contoh 5

Hitunglah dengan D adalah daerah yang dibatasi oleh

parabola dan garis lurus .

Penyelesaian

Perhatikan Gambar 14.

with(plots):

implicitplot({x=y^2,x+2*y=3},x=-1..11,y=-4..4);

Daerah D adalah seperti di Gambar 14. Pandang daerah ini sebagai

daerah yang sederhana- . Maka batas-batas integrasinya adalah

dan . Dengan demikian integral lipat dua

atas D adalah

with(student):

value(Doubleint(3*x^2+6*y,x=y^2..3-2*y,y=-3..1));

Kerjakanlah kembali soal pada Contoh 5 namun kali ini pandang D sebagai

daerah sederhana- . Apa yang harus Anda ubah?

2x y

2 3x y

Gambar 14



Mencari batas integrasi

Bagian tersulit dari perhitungan integral lipat dua adalah menentukan

batas integrasi. Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menentukan

batas-batas integrasi.

Luas dan Volume dengan Integral Lipat Dua

6.2

Luas Daerah Terbatas di Bidang, Volume Benda di Bawah Permukaan, Volume Benda Antara Dua Permukaan

Menentukan Batas Integrasi Langkah-langkah untuk Menentukan Batas Integrasi A. Untuk mengevaluasi

atas daerah R , mula-mula integralkan terhadap dan kemudian terhadap . Lakukanlah langkah-langkah berikut: Langkah 1: Sketsa. Sketsakan daerah integrasi dan namakan batas-batasnya (Gambar 15). Langkah 2: Batas- dari integrasi. Bayangkan suatu garis vertikal L memotong daerah R dari bawah ke atas. Tandai nilai- pada saat L memasuki R dan saat L keluar dari R. Ini adalah batas- dari integrasi yang biasanya merupakan fungsi dari (Gambar 16). Langkah 3: Batas- dari integrasi. Pilih batas- yang memuat seluruh garis horizontal yang melalui R. Integralnya adalah (Gambar 17).

B. Untuk mengevaluasi integral lipat yang sama sebagai

integral berulang dengan urutan integrasi berubah, gunakan garis vertikal untuk menggantikan garias horizontal. Integralnya adalah (Gambar 18).

Gambar 15

Gambar 16

Gambar 17



21

3y x

5y x

Pada bagian ini dijelaskan bagaimana menggunakan integral lipat dua

untuk menghitung luas daerah terbatas di bidang dan volume benda di

bawah permukaan atau antara dua buah permukaan.

Luas Daerah Terbatas di Bidang

Jika dalam integral lipat dua atas daerah R, maka persamaan

(1) menjadi

Apabila dan menuju 0, maka hampir menutupi seluruh daerah

R, sehingga kita definisikan luas dari R seperti pada Gambar 1.

Contoh 1

Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh garis dan

(Gambar 2).

Penyelesaian

Berdasarkan Definisi 6.2, luas daerah R adalah

Luas

Kita dapat menggunakan konsep integral berulang dengan daerah

sederhana- atau dalam menentukan luasnya. Mula-mula kita gambar

daerah R , seperti Gambar 2.

with(plots):

implicitplot({y=5*x,y=(1/3)*x^2},x=-10..18,y=-7..100);

Pandang daerah ini sebagai daerah sederhana- . Garis dan

parabola berpotongan di titik (0,0) dan (15,75). Maka daerah R

memiliki batas-batas integrasi dan . Sehingga

luas daerah R adalah

Gambar 2

DEFINISI 6.2 Luas Daerah Terbatas Luas dari daerah R yang tutup, terbatas adalah

Luas

Gambar 1



with(student):

value(Doubleint(1,y=1/3*x^2..5*x,x=0..15));

Ulangi pekerjaan di atas dengan daerah R yang dibatasi oleh

dan . Berapakah luas daerah R?

Volume Benda di Bawah Permukaan

Pada Subbab 6.1 telah disinggung bahwa jika , maka

memiliki interpretasi volume di bawah permukaan

. Pada awalnya, mencari volume benda inilah yang menjadi

motivasi dari perhitungan integral lipat dua. Namun demikian, terlepas

dari motivasi perhitungan volume, integral lipat dua sebagai limit dari

jumlah Riemann tidaklah bergantung pada pemahaman mengenai

volume. Oleh sebab itu kita dapat menggunakan integral lipat dua untuk

mendefinisikan volume. Perhatikan Gambar 3.

DEFINISI 6.3 Volume di Bawah Permukaan

Misalkan fungsi kontinu dan non negatif pada daerah terbatas R. Maka volume benda padat V di bawah permukaan dan di atas bidang R didefinisikan sebagai

apabila integralnya ada.

R

f(x,y)=1

z

x

y

Gambar 3



Gambar 5

Perhitungan Volume Benda di Bawah Permukaan

Perhitungan volume benda padat untuk kasus seperti Definisi 6.3 telah

dipelajari pada Subbab 6.1.2, yaitu pada bagian integral berulang. Oleh

sebab itu, kita hanya akan memberikan contoh untuk mengulangnya.

Contoh 2 (perhitungan volume dengan daerah yang sederhana- )

Tentukan volume benda padat yang berada di atas bidang- , di bawah

bidang dan dibatasi oleh silinder seperti pada

Gambar 4.

with(plots):

implicitplot3d({z=2*y,x^2+y^2=9},x=-6..6,y=-5..5,z=0..8);

Penyelesaian

Untuk menentukan volume benda padat tersebut kita dapat

menggunakan konsep integral berulang,

Atau

Mula-mula kita Gambar dulu daerah alas R. Dari Gambar 4 dapat kita lihat

bahwa daerah alas R seperti pada Gambar 5 berikut

with(plots):

implicitplot({(x^2)+(y^2)=9},x=0..4,y=-4..4);

Gambar 6

Gambar 4



dibatasi oleh garis dan setengah lingkaran . Daerah ini

ekivalen dengan dua kali daerah kuadran pertama seperempat lingkaran

yang ditunjukkan Gambar 6. Akibatnya volume benda padat yang

memiliki daerah alas setengah lingkaran ekivalen dengan dua kali volume

benda padat yang memiliki daerah alas seperempat lingkaran. Misalkan

daerah pada Gambar 5 kita pandang sebagai daerah sederhana- . Titik

potong antara garis (sumbu- ), garis (sumbu- ), dan

seperempat lingkaran di kuadran pertama adalah dan

. Maka batas-batas integrasinya adalah

dan

. Sehingga volume benda adalah

with(student):

2*value(Doubleint(2*y,y=0..sqrt(9-x^2),x=0..3));

Coba ulangi pekerjaan di atas jika benda padat berada di atas bidang- ,

dibawah bidang dan dibatasi oleh silinder . Berapakah

volume benda padat tersebut?

Volume Benda diantara Dua Permukaan

Sejauh ini kita telah membahas bagaimana menghitung volume benda

padat antara permukaan dan bidang datar R. Bagaimana jika

kita ingin menghitung volume benda diatas daerah R tetapi terletak di

bawah permukaan dan di atas permukaan ,



23x y

23 4x y

dimana seperti pada Gambar 7? Volume benda yang terletak di

antara dua permukaan seperti pada Gambar 7 dapat dihitung dengan

mengurangkan volume benda padat di bawah permukaan

dengan volume benda padat di bawah permukaan ,, sehingga

diperoleh

Ini tentu saja bukan sesuatu hal yang asing bagi kita, karena kita pernah

mempelajari luas daerah di antara kurva untuk integral fungsi satu

variabel pada Matematika Dasar A1. Hal yang serupa juga terjadi pada

masalah volume antara dua buah permukaan. Perlu diperhatikan bahwa

rumus volume di atas juga berlaku apabila , atau dan sekaligus

memiliki nilai negatif di sebagian R ataupun seluruh R.

Contoh 3

Tentukan volume benda padat yang berada di antara bidang dan

juga dibatasi oleh permukaan dan (Gambar 7).

Penyelesaian

Seperti pada Contoh 2, kita menggunakan konsep integral berulang untuk

menentukan volume benda padat tersebut. Akan tetapi pada contoh ini

benda padat berada di antara dua permukaan, yaitu bidang di

bagian atas dan bidang di bagian bawah. Mula-mula kita gambar

dulu daerah alas R. Dari Gambar 7 dapat kita lihat bahwa daerah alas R

adalah seperti Gambar 8. Misalnya kita pandang daerah tersebut sebagai

daerah sederhana- . Titik potong parabola dan parabola

adalah dan . Maka batas-batas integrasinya

adalah

dan

Sehingga volume benda padat yang berada di antara dua permukaan

tersebut adalah

Gambar 7

Gambar 8



Contoh 4

Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh paraboloida

, dibatasi di atas oleh paraboloida dan

dibatasi juga oleh bidang-bidang seperti

pada Gambar 9.

with(plots):

implicitplot3d({z=6-(x^2)-(y^2),z=(x^2)+(y^2)+10,x=-

2,x=2,y=-2,y=2},

x=-2..2,y=-2..2,z=-4..20);

Penyelesaian

Sama juga seperti pada Contoh 4, kita gunakan konsep integral berulang

untuk menghitung volume benda padat yang berada diantara dua

permukaan.

Seperti biasa, mula-mula kita gambar dulu daerah alas R. Dari Gambar 9

dapat kita lihat bahwa daerah alas R adalah seperti Gambar 10.

with(plots):

implicitplot({x=-2,x=2,y=-2,y=2},x=-2.2..2.2,y=-2.2..2.2);

Misalkan kita pandang daerah tersebut sebagai daerah seder-hana-y. Titik

potong garis-garis adalah

. Maka batas-batas integrasinya adalah

dan . Sehingga volume benda padat tersebut

adalah

Gambar 9

Gambar 10



with(student):

value(Doubleint(x^2+y^2+10-(6-x^2-y^2),y=-2..2,x=-2..2));

Coba ulangi pekerjaan di atas jika benda padat yang terletak di antara

permukaan dan permukaan juga

dibatasi oleh bidang-bidang seperti pada

Gambar 11. Berapakah volume benda padat tersebut?

Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar

Beberapa daerah R, seperti lingkaran dan kardioda (Gambar 1) lebih

mudah apabila dinyatakan dengan menggunakan koordinat polar

6.3

Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar, Integral Berulang pada Koordinat Polar, Integral Berulang untuk Daerah Sembarang

Gambar 11



daripada koordinat Cartesius. Pada subbab ini kita akan mempelajari

perhitungan integral lipat dengan menggunakan koordinat polar.

Integral Lipat Dua pada Koordinat Polar

Perhatikan daerah integral R seperti pada Gambar 2.

Daerah R seperti itu disebut sebagai daerah persegi polar. Untuk bentuk-

bentuk R seperti ini, perhitungan integral lebih mudah dilakukan dengan

menggunakan koordinat polar. Oleh sebab itu kita perlu melakukan

transformasi koordinat Cartesius ke koordinat polar. Persegi polar R

adalah daerah yang ditentukan oleh ketaksamaan

(4) dan

Misalkan kita akan menghitung volume benda padat di bawah permukaan

(5)

dimana R adalah daerah persegi polar seperti pada (4) dan fungsi

kontinu yang non negatif. Permukaan kita tuliskan kembali

dalam koordinat polar menjadi

Serupa dengan langkah perhitungan volume pada Subbab 6.1, bagilah R

menjadi persegi-persegi polar R1, R2, …, Rn. Misalkan sisi-sisi dari setiap

persegi polar Rk adalah dan . Luas daerah A(Rk) adalah

dengan adalah rata-rata jari-jari Rk, lihat Gambar 3.

Maka, volume benda adalah

Jika kita ambil limit norm partisinya menuju nol maka diperoleh volume

benda padat

(6)

Samakan persamaan (5) dengan persamaan (6) maka didapat persamaan

untuk mencari volume dalam koordinat polar

Gambar 1

Gambar 2

Gambar 3

Gambar 4



Integral Berulang pada Koordinat Polar

Rumus volume benda padat yang diperoleh di atas akan dihitung dengan

integral berulang seperti pada subbab 6.1 namun kali ini dengan

menggunakan koordinat polar.

Contoh 1

Tentukan volume benda padat di atas daerah

(lihat Gambar 5) dan di bawah

permukaan seperti Gambar 4.

with(plots):

implicitplot3d(z^2+x^2+y^2=25,x=0..5,y=0..5.5,z=0..5);

implicitplot({x^2+y^2=4,x^2+y^2=25},x=0..5,y=0..5);

Penyelesaian

Untuk menghitung volume benda padat tersebut kita gunakan konsep

integral berulang untuk koordinat polar yakni

Karena , maka

Gambar 5



with(student):

value(Doubleint(sqrt(25-r^2)*r,r=2..5,theta=0..Pi/2));

Integral Berulang untuk Daerah Sembarang

Pada subbab 6.1 telah dijelaskan bagaimana cara mencari batas-batas

integrasi pada daerah sembarang dengan terlebih dahulu memandang

daerah R sebagai daerah sederhana- atau sederhana- .

Untuk daerah sembarang R dengan koordinat polar kita dapat melakukan

hal yang serupa dengan daerah sembarang pada koordinat Cartesius,

hanya kali ini daerah R dipandang sebagai daerah sederhana-r dahulu,

kemudian daerah sederhana-θ. Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2

Tentukan volume benda padat yang berada diantara paraboloida

paraboloida dan paraboloida seperti

Gambar 6 di samping.

with(plots):

implicitplot3d({z=25-x^2-y^2,z=-25+x^2+y^2},x=-5..5,y=-

5..5,z=-25..25);

Penyelesaian

Sama halnya seperti menentukan volume pada koordinat Kartesius, pada

koordinat polar pun hal pertama yang kita lakukan adalah menggambar

proyeksi benda padat tersebut pada bidang- untuk menentukan batas-

batas integrasinya.

Maka kita dapatkan daerah alas R seperti Gambar 7.

Karena r bergerak dari ke dan θ bergerak dari ke

, maka volumenya adalah

Gambar 6

Gambar 7



with(student):

value(Doubleint(sqrt(50-2*r^2)*r,r=0..5, theta=0..2*Pi));

Coba kalian ulangi pekerjaan diatas jika benda padat berada diantara

permukaan dan permukaan seperti

pada Gambar 8.

Gambar 8



Mencari batas integrasi

Cara menentukan batas integrasi koordinat polar adalah serupa dengan

koordinat Kartesius.

Contoh 3

Tentukan batas-batas integrasi untuk menentukan volume benda padat

yang berada diantara bola dan silinder

seperti Gambar 12 berikut.

Penyelesaian

Untuk menentukan batas-batas integrasinya, mula-mula kita Gambar dulu

proyeksi benda padat tersebut pada bidang- yakni daerah alas R seperti

Gambar 13.

Karena dan maka untuk lingkaran kecil

diperoleh

Karena maka

Gambar 12

Gambar 9

Gambar 10

Mencari Batas Integrasi Koordinat Polar Menentukan batas integrasi pada koordinat polar. Untuk

menghitung integral atas daerah R dalam

koordinat polar, pertama integralkan terhadap r kemudian

terhadap . Langkah-langkah untuk menentukan batas-batas

integrasi adalah sebagai berikut: 1. Gambar. Gambarkan R dan berilah batas-batas kurva.

(Gambar 9) 2. Batas-r dari integrasi. Gambarkan garis L dari titik awal

memotong R pada arah jari-jari r yang membesar. Tandai jari-jari dimana L memasuki R dan keluar R (perhatikan

Gambar). Ini biasanya bergantung pada sudut yang

dibuat antara garis L dan sumbu- positif. (Gambar 10)

3. Batas- dari integrasi. Cari nilai terkecil dan terbesar

yang membatasi R. Ini adalah batas- dari integrasi.

(Gambar 11) Maka integralnya adalah

Gambar 11



Jadi, bergerak dari jari-jari lingkaran kecil ke jari-jari lingkaran besar

yakni dari ke seperti yang ditunjukkan pada Gambar

13. Sedangkan bergerak dari ke . Sehingga batas-batas

integrasi untuk menentukan volume adalah dan

atau

Tentukan batas-batas integrasi untuk menentukan volume benda padat

yang berada diantara bola dan silinder

seperti Gambar 14 berikut.

Luas daerah dalam koordinat polar

Jika adalah fungsi kostan bernilai 1, maka integral F atas R adalah

luas daerah R yaitu,

Contoh 4

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh loop seperti

Gambar 15.

with(plots):

polarplot(3*cos(2*theta),theta=0..2*Pi);

Penyelesaian

Untuk menentukan luas daerah R seperti yang ditunjukkan pada Gambar

15, kita gunakan konsep yang sama seperti mencari volume benda padat

hanya saja fungsi bernilai konstan yakni 1.

Gambar 13

Gambar 14

Gambar 15



3cos 5r

Sehingga luas daerah R adalah

with(student):

value(Doubleint(r,r=0..3*cos(2*theta),theta=0..2*Pi));

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh loop seperti

Gambar 16.

Aplikasi Integral Lipat

Sejauh ini aplikasi integral lipat dua yang telah dibahas adalah mencari

luas daerah dan volume benda padat. Pada bagian ini kita akan

mempelajari aplikasi lain dari integral lipat dua, yaitu menghitung massa,

pusat massa , momen inersia dan luas permukaan.

Massa Benda

Perhitungan massa telah dipelajari di aplikasi integral fungsi satu variabel

namun dengan kondisi khusus yaitu kepadatan lamina yang konstan.

Disini akan dipelajari untuk kondisi yang lebih umum yaitu kepadatan

yang berubah-ubah.

6.4

Massa Benda, Pusat Massa, Momen Inersia, Luas Permukaan

Gambar 16



Misalkan suatu lamina sebesar daerah S di bidang- dan kepadatannya

(massa per satuan luas) di adalah . Maka massa lamina

tersebut adalah

Contoh 1

Sebuah lamina dengan dibatasi oleh kurva dan kurva

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Tentukan massa lamina

tersebut.

Penyelesaian

Untuk menghitung massa lamina tersebut kita gunakan konsep integral

berulang dengan formula

Misalnya kita pandang lamina tersebut sebagai daerah sederhana- . Mula-

mula kita tentukan dulu batas-batas integrasinya. Kurva dan

berpotongan di titik dan . Maka batas-batas integrasinya

adalah dan . Sehingga massa lamina tersebut

adalah

Pusat Massa Misalkan kerapatan lamina yang melingkupi daerah S adalah .

Maka, koordinat dari pusat massa didefinisikan sebagai

Gambar 1



dan

Contoh 2

Tentukan pusat massa dari lamina yang bentuknya seperti ditunjukkan

pada Contoh 1.

Penyelesaian

Untuk menentukan pusat massa , kita gunakan rumus

dan

.

Pada Contoh 1 telah diperoleh bahwa massa lamina adalah . Mula-

mula kita cari dulu momen dan momen sebagai berikut



Maka, pusat massa lamina adalah

dan

atau

Momen Inersia

Misalkan S adalah lamina dan L garis lurus yang mungkin terletak atau

tidak terletak di bidang- . Maka momen inersia dari S terhadap sumbu

L adalah

dimana yang menyatakan jarak tegak lurus ke L dari titik

.

Pada kasus khusus dimana L adalah sumbu- , maka

Dalam kasus ini momen inersia disebut sebagai momen inersia polar

dari S dan ditulis menjadi . Dengan demikian momen inersia polar

didefinisikan sebagai

Ini memberikan

dimana

dan



Dalam hal ini adalah momen inersia terhadap sumbu- dan adalah

momen inersia terhadap sumbu- .

Contoh 3

Tentukan momen inersia terhadap sumbu- , sumbu- dan sumbu-

sebuah lamina yang ditunjukkan pada Gambar 1.

Penyelesaian

Untuk menentukan momen inersia, kita gunakan rumus

dan

Maka momen inersia lamina tersebut terhadap sumbu- , sumbu- , dan

sumbu- adalah

Tentukan massa, pusat massa, dan momen inersia terhadap sumbu- dan

sebuah lamina yang ditunjukkan pada Gambar 2 dengan kerapatan

. Lamina dibatasi oleh kurva dan (kuadran

pertama).

Gambar 2



Luas Permukaan

Salah satu penggunaan integral lipat dua adalah untuk menghitung luas

permukaan yang didefinisikan oleh atas daerah tertentu.

Misalkan D adalah permukaan yang akan dicari luasnya. D didefinisikan

pada daerah tutup terbatas S di bidang- seperti pada Gambar 3.

Misalkan pula mempunyai turunan parsial dan yang kontinu. Maka

luas daerah D adalah

Contoh 4

Untuk menentukan luas permukaan kerucut , kita gunakan

rumus

dengan dan . Sehingga luas permukaan kerucut

tersebut adalah

Gambar 3



Integral Lipat Tiga

Konsep-konsep yang telah dipelajari pada integral fungsi satu variabel

dan integral lipat dua dapat diperluas ke integral lipat tiga.

Integral Lipat Tiga pada Koordinat Kartesius

Misalkan adalah fungsi yang didefinisikan pada kotak K di ruang-

seperti pada Gambar 1. Fungsi sendiri tidak lagi dapat divisualisasikan

karena terletak di ruang berdimensi empat.

Bentuklah partisi terhadap kotak K dengan masing-masing sisi sejajar

dengan sumbu koordinat. Partisi-partisi ini, sebut Ki, berbentuk kotak.

Langkah selanjutnya adalah serupa dengan yang dilakukan pada integral

lipat dua. Misalkan titik di kotak Ki dan adalah

volume kotak Ki. Jika adalah norm partisi dan

ada, maka integral lipat tiga didefinisikan sebagai

Seperti yang telah dinyatakan di atas bahwa konsep pada integral lipat

dua juga berlaku pada integral lipat tiga, maka sifat kelinieran, sifat aditif

terhadap himpunan yang beririsan hanya di batasnya, dan sifat

perbandingan juga berlaku pada integral lipat tiga.

Integral lipat tiga sebagai integral berulang

Perhitungan integral lipat tiga juga dihitung dengan integral berulang

seperti pada integral lipat dua.

Integral Lipat Tiga pada Koordinat Kartesius, Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang, Massa dan Pusat Massa, Momen

6.5

Gambar 1



Contoh 1

dan K adalah kotak yang berisi titik-titik

yang memenuhi . Hitunglah

.

Penyelesaian

Misalkan kita hitung

dengan urutan - - , maka nilai

dengan

adalah

with(student):

value(Tripleint(2*x*y+x*z,x=1..5,y=2..3,z=0..4));

Contoh 2

Dengan benda padat K seperti pada Contoh 1 yaitu

,

hitunglah kembali dengan urutan mengintegralkan -

- .

Penyelesaian



Perhatikan Contoh 1 dan Contoh 2. Bandingkan hasil keduanya. Kemudian

coba kalian hitung kembali dimana

dan dengan mengubah urutan integralnya yakni -

- dan - - . Bagaimana hasilnya?

Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang

Misalkan D daerah tutup terbatas di ruang. Misalkan pula D adalah

daerah sederhana- , yaitu setiap garis yang sejajar dengan sumbu-z

memotong daerah D pada suatu interval. Sehingga D dapat dinyatakan

sebagai

dimana S adalah proyeksi D pada bidang- . Maka

dapat ditulis sebagai maupun tergantung dari

urutan integrasi yang dipilih pada S. Jika S adalah daerah sederhana-

yang dinyatakan sebagai

maka



Jika S adalah daerah sederhana- , maka urutan integrasinya berubah.

Perhatikan bahwa untuk integral lipat tiga terdapat enam kemungkinan

urutan integrasi.

Contoh 3

Hitunglah dengan dan D adalah benda

padat yang dibatasi oleh bidang dan bidang

seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2 di samping.

Penyelesaian

Misalnya kita pandang benda padat D sebagai daerah sederhana- .

Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar sumbu- pada Gambar 2.

Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas integrasi

terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan

.

Selanjutnya, misalkan kita integralkan terhadap . Perhatikan garis

horizontal biru yang sejajar dengan sumbu- pada Gambar 2. Ujung-ujung

garis horizontal biru merupakan batas-batas integrasi terhadap . Jadi

kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan . Garis

horizontal biru bergerak sepanjang sumbu- dari sampai . Jadi

batas-batas integrasi terhadap adalah dan . Maka

adalah

Gambar 2



Contoh 4

Hitunglah dengan dan D adalah benda

padat yang dibatasi oleh bidang dan

bidang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3 berikut.

Penyelesaian

Misalnya kita pandang benda padat D sebagai daerah sederhana- .

Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar sumbu- pada Gambar 3.


terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan

atau .


horizontal biru yang sejajar sumbu- pada Gambar 3. Ujung-ujung garis

horizontal biru merupakan batas-batas integrasi terhadap . Jadi kita

mengintegralkan terhadap sepanjang dan . Garis

horizontal biru bergerak sepanjang sumbu- dari titik ujung ke titik

ujung lainnya yang merupakan perpotongan bidang dan

bidang dengan bidang yaitu di sampai

. Jadi batas-batas integrasi terhadap adalah dan

. Maka adalah

Gambar 3



with(student):

value(Tripleint(x+y,y=0..2-x,z=x^2..3-x^2,x=-0.5

*sqrt(6).. 0.5*sqrt(6)));

Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 3 dan Contoh 4 dengan

mengubah urutan integralnya yaitu - - dan - - . Bagaimana

batas-batas integrasinya? Bandingkan volume yang dihasilkan dengan

Contoh 3 dan Contoh 4.

Massa dan Pusat Massa

Konsep massa dan pusat massa yang telah dipelajari pada bidang dapat

dengan mudah diperluas ke benda padat. Misalkan D adalah benda padat

dengan kepadatan (massa per satuan volume) . Rumus integral

untuk menghitung massa ( ), momen ( ) terhadap bidang- dan

koordinat dari pusat massa adalah

Untuk mencari dan dapat menggunakan rumus yang serupa.

Contoh 5

Misalkan D adalah benda padat yang dibatasi oleh

seperti yang ditunjukkan Gambar 3 dengan kepadatan

. Tentukan massa , momen terhadap bidang- , dan

koordinat sebagai pusat massa.



Penyelesaian

Misalkan kita pandang benda padat D sebagai daerah sederhana- .

Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar dengan sumbu- pada

Gambar 4. Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas

integrasi terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang

dan .


horizontal biru yang sejajar dengan sumbu- pada Gambar 4. Ujung-ujung

garis horizontal biru merupakan batas-batas integrasi terhadap . Jadi

kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan atau

(kuadran 1). Garis horizontal biru bergerak sepanjang sumbu-

dari titik ujung ke titik ujung lainnya perpotongan bidang dan

bidang yaitu sepanjang sampai . Jadi batas-batas

integrasi terhadap adalah dan . Maka diperoleh, Massa

benda padat adalah

Gambar 4



Momen terhadap bidang- adalah

Koordinat dari pusat massa adalah

Coba kalian ulangi pekerjaan di atas untuk menentukan momen terhadap

bidang- dan bidang- juga untuk menentukan koordinat

dan dari pusat massa.

6.6 Integral pada Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

Apabila benda padat D memiliki simetri terhadap sumbu maka

perhitungan integral lipat tiga lebih mudah dilakukan dengan koordinat

tabung. Sedangkan bila D memiliki simetri terhadap titik, maka

6.6

Koordinat Tabung, Koordinat Bola



perhitungan integral lipat tiga lebih mudah dilakukan dengan koordinat

bola. Pada subbab ini akan dijelaskan perhitungan integral lipat tiga

dengan menggunakan koordinat tabung atau koordinat bola.

Koordinat Tabung

Misalkan daerah D adalah daerah yang sederhana- yang dapat

dinyatakan sebagai

Dimana S adalah proyeksi D pada bidang- . Ingat kembali bahwa integral

lipat tiga untuk daerah D seperti ini adalah

.

Jika daerah S di bidang- adalah daerah yang lebih mudah dinyatakan

sebagi koordinat polar (Gambar 1), maka koor-dinat Cartesius

ditransformasikan menjadi koordinat tabung yang dihubungkan

melalui persamaan

Akibatnya, fungsi ditransformasikan menjadi

dan

Misalkan D adalah benda padat yang sederhana- dan S, proyeksi D pada

bidang- , adalah daerah yang sederhana- seperti pada Gambar 2. Jika

kontinu di D maka

Hal yang perlu diingat di sini adalah bahwa elemen volume dalam

koordinat Cartesius berubah menjadi

dimana adalah elemen luas pada koordinat polar.

Integrasi dengan koordinat polar sangat berguna untuk menghitung

volume benda putar.

x

y

z

P(r,θ,z)

θ

r z

Koordinat tabung

Gambar 1

Gambar 2



Contoh 1

Tentukan volume daerah yang dibatasi di bagian atas oleh , , di

bagian bawah oleh setengah bola , dan diselimuti oleh

silinder seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.

Penyelesaian

Untuk menentukan volume benda padat D menggunakan koordinat

tabung, mula-mula kita tentukan batas-batas integrasi terhadap .

Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar dengan sumbu- pada

Gambar 3. Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas

integrasi terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap z sepanjang

Atau

Selanjutnya kita tentukan batas-batas integrasi untuk . Perhatikan garis

warna kuning pada Gambar 3. Jari-jari bergerak dari ke

dengan besar sudut perputaran . Maka diperoleh

Gambar 3



with(student):

value(Tripleint(r,z=sqrt(9-r^2)..5,r=0..3,

theta=0..2*Pi));

Contoh 2

Sebuah benda padat seperti ditunjukkan pada Gambar 4 yang dibatasi di

atas oleh kerucut , dibatasi di bawah oleh , dan

diselimuti silinder memiliki kepadatan massa

. Tentukan massa benda padat tersebut.

Penyelesaian

Untuk menentukan massa benda padat D, kita menggunakan perhitungan

dengan koordinat tabung. Mula-mula kita tentukan batas-batas integrasi

terhadap . Perhatikan garis vertikal merah yang sejajar dengan sumbu-

pada Gambar 4. Ujung-ujung garis vertikal merah merupakan batas-batas

integrasi terhadap . Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang

dan atau .

Selanjutnya kita tentukan batas-batas integrasi untuk . Perhatikan garis

warna kuning pada Gambar 4. Jari-jari bergerak dari ke

dengan besar sudut perputaran . Maka diperoleh

Gambar 4



Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 1 yakni menentukan volume

benda padat D dengan menggunakan benda padat D pada Contoh 2.

Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 2 yakni menentukan massa

benda padat D dengan menggunakan benda padat D pada Contoh 1 bila

kepadatan massanya .

Koordinat Bola

Jika daerah integrasi D simetri terhadap titik maka koordinat bola akan

lebih mudah untuk digunakan. Hubungan antara koordinat Kartesius

dengan koordinat bola diberikan sebagai:

Dengan mengubah integral berulang menjadi ,

kita peroleh integral lipat tiga dalam koordinat bola

Contoh 3

Tentukan volume benda padat D yang dibatasi oleh setengah bola

, setengah bola , bidang dan

bidang seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5 berikut.



Penyelesaian

Untuk menentukan volume benda padat D dengan menggunakan

perhitungan koordinat bola, mula-mula kita tentukan batas-batas

integrasi terhadap . Perhatikan garis merah pada Gambar 5. Ujung-ujung

garis vertikal merah merupakan batas-batas integrasi terhadap .

Dari persamaan setengah bola diperoleh


Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan .

Selanjutnya kita tentukan batas-batas integrasi untuk dan . Perhatikan

garis warna kuning pada Gambar 5. bergerak dari ke .

Sedangkan bergerak dari ke . Perhatikan garis warna

hijau pada Gambar 3. Maka diperoleh

Gambar 5



with(student):

value(Tripleint((rho^2)*sin(phi),rho=2..4,theta=0..Pi,phi=

0..Pi/2));

Contoh 4

Misalkan D adalah benda padat yang dibatasi oleh setengah bola

, silinder dan bidang seperti yang

ditunjukkan pada Gambar 6. Tentukan massa benda padat tersebut bila

kepadatan massanya atau

Penyelesaian

Untuk menentukan massa benda padat D dengan menggunakan

perhitungan dengan koordinat bola, mula-mula kita tentukan batas-batas

integrasi terhadap jari-jari . Perhatikan garis merah pada Gambar 6.


terhadap .

Dari persamaan silinder diperoleh

Gambar 6




Jadi kita mengintegralkan terhadap sepanjang dan .

Selanjutnya kita tentukan batas-batas integrasi untuk dan . Perhatikan

garis warna kuning pada Gambar 6. bergerak dari ke .

Sedangkan bergerak dari ke . Perhatikan garis warna hijau

pada Gambar 6. Maka diperoleh massa benda padat adalah

Coba kalian ulangi pekerjaan pada Contoh 4 yaitu menentukan massa

benda padat dengan menggunakan benda padat pada Contoh 3 bila

kepadatan massanya adalah .



Perubahan Peubah pada Integral Lipat

Pada Subbab 6.2 dan 6.6 kita telah melakukan transformasi koordinat

untuk melakukan integral lipat. Perubahan ini merupakan kasus khusus

saja, yaitu

koordinat Cartesius ke koordinat polar

koordinat Cartesius ke koordinat tabung

koordinat Cartesius ke koordinat bola

Pada bagian ini akan dipelajari transformasi koordinat yang lebih umum.

Transformasi dari Bidang- ke Bidang-

Misalkan kita akan menghitung

Perubahan variabel untuk integral lipat dua ini ditentukan oleh fungsi

kontinu terturunkan T dari bidang- ke bidang- , yaitu T

mengasosiasikan titik dengan melalui

dimana

dan .

Fungsi T adalah fungsi bernilai vektor dengan inputnya berupa vektor

juga, sehingga fungsi ini disebut transformasi dari ke . Titik

merupakan peta dari melalui transformasi T.

Jika tidak terdapat dua buah titik di bidang- yang memiliki peta yang

sama di bidang- maka T dikatakan trasformasi satu-satu. Dalam kasus

seperti ini, kita dapat menyatakan dan dalam dan , yaitu

dan

yang merupakan transformasi invers dari bidang- ke bidang- .

Transformasi dari Bidang- ke Bidang- , Perubahan Variabel pada Integral Lipat Dua, Perubahan Variabel pada Integral Lipat

Tiga

6.7



Perubahan Variabel pada Integral Lipat Dua

Hal-hal yang diperlukan untuk mengubah variabel pada integral lipat dua

adalah:

1. Fungsi terintegrasi

2. Diferensial

3. Daerah integrasi.

Perubahan integrasi ini dinyatakan pada teorema berikut

Contoh 1

Misalkan dan .

Tentukan dalam fungsi .

Penyelesaian

Kita akan menggunakan rumus :

untuk mendapatkan transformasi integral dalam fungsi sebagai

berikut

Mula-mula kita tentukan dulu nilai Jacobian seperti berikut

TEOREMA 6.2 Perubahan Variabel untuk Integral Lipat Dua Misalkan T adalah transformasi satu-satu dari ke yang memetakan daerah terbatas D di bidang- pada daerah terbatas R di bidang- . Jika T adalah , maka

dimana adalah determinan Jacobi yang bernilai



Maka

Bentuk di atas adalah bentuk yang sudah sering kita jumpai, yakni bentuk

integral dalam koordinat polar.

Misalkan dan Coba kalian tentukan bentuk

dalam fungsi .

Perubahan Variabel pada Integral Lipat Tiga

Teorema perubahan variabel untuk interal lipat dua dapat diperluas

untuk integral lipat tiga, bahkan untuk dimensi yang lebih tinggi. Misalkan

T adalah transformasi satu-satu dari ke yang memetakan daerah

terbatas D di bidang- ke daerah terbatas R di bidang- . Misalkan

pula

maka

dimana adalah determinan

Contoh 2

Misalkan , dan . Tentukan bentuk

dalam fungsi .



Penyelesaian

Kita akan menggunakan rumus

untuk mendapatkan transformasi integral dalam fungsi sebagai

berikut

Mula-mula kita tentukan dulu nilai jacobian seperti berikut

Maka

Bentuk di atas adalah bentuk integral dalam koordinat silinder.

Coba kalian ulangi langkah transformasi di atas bila ,

, dan . Tentukan bentuk integralnya dalam

fungsi .

integral rn

Documents