diktat kalkulus integral bas

Upload: mohammad-risal-siregar

Post on 12-Jul-2015

1.634 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

BAB I. INTEGRAL TAK TERTENTU Permasalahan kita adalah mencari fungsi F yang turunannya adalah suatu fungsifyang diketahui. Jika fungsi F yang demikian ada, maka fungsi tersebut disebut anti turunan dari fungsi f.Definisi:FungsiFdisebut antiturunan ( integral tak tertentu) dari fpadasuatuinterval I jika) ( ) ( ' ) ( x f x F x Fdxd untuk semuaxdi dalam I , yang dinotasikan dengan ). ( ) ( x F dx x fContoh 1 :331x x F ) ( adalah antiturunan dari 2x x f ) ( , karena ). ( ) ( ' x f x x F 2Tetapi perhatikanbahwafungsi 20313 + x x H ) ( jugamemenuhi 2x x H ) ( ' . Ternyata, sebarang fungsiberbentukC x x H + 331) (, dengan C konstantamerupakanantiturunandarif. Dengan demikian diperoleh. C x dx x + 3 231Teorema : JikaFantiturunan ( integral tak tertentu) dari fpada intervalI , maka antiturunan yang paling umum adalah C x F + ) (, dengan C konstanta sebarang, dan dinotasikan dengan + . ) ( ) ( C x F dx x fContoh 2 :C x dx x + cos sin, karena. sin ) cos ( x C xdxd + Sifat-sifat integral tak tertentu :(i). dx x f c dx x cf ) ( ) ( DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20071(ii) . C kx kdx + .(iii).[ ] + + . ) ( ) ( ) ( ) ( dx x g dx x f dx x g x fRumus dasar :) ( 1111 +++n C xndx xn n( ) C x x dx xC x dx xC x dx xC x dx xC x dx x+ + + + + + tan sec ln secsec ln tantan secsin coscos sin2+ C x x dx x ) cot ln(csc csc+ + + + + + .lnln1csc cot cscsec tan seccot csc2Caadx aC e dx eC x dxxC x dx x xC x dx x xC x dx xxxx x+ +. arctan Caxadxa x1 12 2Contoh 3 : Tentukan dx x x ) sec (2 73 5.Penyelesaian. Dengan menggunakan sifat integral dan rumus dasar, kita peroleh dx x dx x dx x x2 7 2 73 5 3 5 sec ) sec (. tantanC x xC xx+ + 38538588Pembaca dipersilahkan memeriksa jawaban ini dengan mendiferensialkan hasil integral tersebut.Soal latihan :Periksa dengan pendiferensialan bahwa rumus berikut benar.1. Cx ax adxx a x++ +22 22 2 212. + + C x x x dx x x cos sin cos.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200723. Cx ax adxx a x+ 22 22 2 21. 4.+ + +. C x dxx11122Carilah integral tak tertentu berikut:5. . ) sin ( dx x x 2 1536. + dx x x ) 3 1 (4 3.7. + dx x x ) (343. 8. + dxxx ) (22119. dx x22 ) ( 10.+ . dx x x3 21 3DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20073BAB II. TEKNIK PENGINTEGRALANRumus-rumusdasar integral taktertentuyangdiberikan pada bab 1 hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan integral seperti+ dx x x3 21 3 atau dx xex. Pada bab ini akan dibahas teknik-teknik pengintegralan untuk fungsi-fungsi yang tidak sederhana. 2.1. Integrasi substitusiUntuk menyelesaikan integral ini, kita dapat melakukan substitusi berdasarkan aturan berikut.Aturan substitusi : Jika) (x g u adalah fungsi terdiferensialdengan daerah hasilberupa selangI dan fkontinupadaI , maka du u f dx x g x g f ) ( ) ( ' )) ( (.Dengan aturan di atas, maka kita dapat menyelesaikan + dx x x3 21 3 dengan mengambil31 x u + , sehingga diferensial u adalahdx x du23 . Dengan demikian kita punyai + + du u dx x x dx x x2 3 3 23 1 1 3

. ) ( C xC u+ + + 2332313232Contoh 1 : Carilah +dxxxsincos1.Untukmenyelesaikanintegral di atas, substitusikan x u sin + 1untuk kemudian diperoleh dx x du cos .Maka integral di atas menjadi +dxxxsincos1 = + C uuduln.Dengan demikian diperoleh +dxxxsincos1= . sin ln C x + + 1DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20074Contoh 2 : Selesaikandxxx12Penyelesaian : misal u = x2 1du = 2x dx + + C x C uududxxx) 1 ln(21ln2121122.Contoh 3: Selesaikan : dx x -2 1Penyelesaian : misalu = 1-2x du = -2 dx

C x C u C u du u + + ++ + 232312121) 2 1 (343412122 dx 2x - 1Soal latihan 2.1 :Hitung integral berikut dengan substitusi yang diberikan1. x u dx x 3 3 , cos. 2. + + 1 12232x u dx x x , ) (.3. x u dxx x,cos. 4. x u dxx2 12 134+ +,) (.Hitung integral tak tertentu berikut5. dx x62 ) (6.+ ++dxx xx22 14 1.7. dx x x ) cos(3 21. 8. +dxxx42.1..dx xex2210. + +.4 22x xdx 2.2 Integrasi ParsialSering kali kita menjumpai integran dalam bentuk perkalian fungsi-fungsi. Salah satu teknik untuk mengevalusai integral tersebut adalah dengan DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20075menggunakanteknikintegrasi bagiandemi bagianatauseringjugadigunakan istilah integral parsial. Jika fdang dua buah fungsi yang dapat didiferensialkan, maka [ ] ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( x f x g x g x f x g x fdxd+ atau[ ] ). ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( x f x g x g x fdxdx g x f Selanjutnyadenganmengintegralkanmasing-masingruasdari persamaan ini, kita peroleh[ ] dx x f x g dx x g x fdxddx x g x f ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) (atau . ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( dx x f x g x g x f dx x g x fPersamaan integral ini kita sebutrumus integrasi parsial, yang selanjutnya dengan mengambil ) (x f u dan ) (x g v rumus tersebut dapat dituliskan dengan du v uv dv u.Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikutContoh 1: Selesaikan dx x xsin. Penyelesaian:Pilihx u dandx x dv sin , sehingga diperoleh dx du dan . cos sin1C x dx x v + Oleh karena itu . sin cossin cos) cos ( ) cos ( sinC x x xC x C x x C x xdx C x C x x dx x x+ + + + + + + 1 11 1.Padailustrasi di ataskitamenambahkankonstanta1C ketika mendapatkanvdari dv . Tetapi padaakhirnyakonstanta1Ctersebut akan tereliminasi.Dengan demikian untuk selanjutnya DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20076tidak perlu menuliskan konstanta 1Cketika mendapatkan vdari dv .Contoh 2: Selesaikan dx ) 2 ln( ) 1 ( x xPenyelesaian :Misal u = ln2x dv= (x-1)dxdu = x1dxv = x x 221Jadi : du v uv dv u x x dx ) 2 ln( ) 1 (

dxxx x x x x )1)(21( )21)( 2 (ln2 2

dx x x x x ) 121( )21)( 2 (ln2

C x x x x x + + 2 241) 2 ln( )21(Contoh 3:Selesaikan dx x sin2xPenyelesaian :Misal u = x2dv = sin x dxdu = 2x v = -cos x + dx x x x x vdu uv udv x x dx cos 2 cos sin2 2(*)Perhatikan x dxxcos 2pada (*), kita gunakan integral parsial lagi.Misalu = 2x dv = cosx dxdu = 2 v = sin x

dx2sinx- sinx2xdu v - uv dv dxcos u x 2C cosx2 sinx+ + x 2 (**)Substitusi (**) ke (*) didapat : + + + C 2cosx sinxdx x x x vdu uv udv x x 2 cos sin2 2DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20077Contoh 4:Selesaikan dx x cosxePenyelesaian :Misal u = exdv = cosx dxdu = exv = sinx dx x e x e vdu uv udv x ex x xdx sin sin cos(*)Perhatikan dxx exsinpada (*)Misalu = exdv = sinx dxdu = exv = -cos x + dxcosxe cosx e - du v - uv dv dx x xu x exsin(**) Substitusi (**) ke (*) didapat : + dx dx x e x e x e x ex x x xcos cos sin cosC x e x e dx x x ex x x+ + + cos sin cos cos e dxxC x e x e x ex x x+ + cos sin cos 2dxDengan demikianC x x e x ex x+ + ) cos (sin21cosdx.Dalam beberapa kasus, untuk mendapatkan hasil integral pada ruas kanan masih diperlukan integrasi parsial lagi. Dalam situasi seperti ini, akan sangat membantu jika digunakan metode tabulasitanda Turunkan integralkan+ u dv- du v Anak panah diagonal menandakan bentuk yang dikalikan ( dalam hal ini,uv). Pada baris terakhir, anak panah horisontal menunjukkan integral terakhir yang harus dicari ( dalam hal ini DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20078du v). Sedangkan pada kolomtanda, menunjukkan urutan tanda yang dimulai dari + kemudian berganti ganti -, + ,- ...dst.Dengan demikian tabel di atas dapat dibaca + du v v u dv u Baris pertamaanak panahanak panahdiagonalmendatarContoh 5 : Tentukan dx xexSolusi, Dibuat tabel sebagai berikuttanda Turunkan integralkan+ x ex- 1 ex+ 0 ex Dari tabel diperoleh. ) (. .C e xC dx e e xe xexx x x x+ + + + 10 1Yang terkadang membingungkan adalah bagaimana menentukan bagian mana yang harus diturunkanatau mana yang diintegralkan. Untuk menentukan bentukdvyang akan diintegralkan, digunakan aturan urutan prioritas detail, yaitu dveksponensialtrigonometrialjabarinvers trigonometrilogaritmaDIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20079Pemilihanbagianyangakandiintegralkandiprioritaskan berdasarkan urutan dari atas ke bawah, sedangkan bagian yang diturunkan dari bawah ke atas.Sebagai contoh, misalkan akan dicaridx e xx 2. Pada integrandterdapat fungsi polinomial (aljabar) ,2x danfungsi eksponensial,xe . Maka dipilih bagian untuk diintegralkan adalah fungsi eksponensial, yaitudx e dvx , dan untuk diturunkan tentusajafungsi aljabar polinomial2x u . Selanjutnyadapat digunakan langkah seperti dalam metode tabulasi.Soal Latihan 2.2: Selesaikan integral berikut1. dx e xx 2 2. 2. dx x exsin.3. . dx x tg arc4.. arctan dx x x5. . sin dx x x 26. . sin dx x x 327. . ) (ln dx x28. . ) ln(sin cos dx x x9. dx x x sin2. 10 . ln dx x x22.3Integral fungsi trigonometri berpangkatPada bagian ini kita akan melihat kasus kasus integral tak tertentudari sinus, cosinus, tangens, cotangens, secans, dan cosecans berpangkat.Kasus 1 , dx xnsin atau dx xncos, dengan nbilangan ganjil.Jika nbilangan ganjil, maka n 1 adalah genap. Untuk itu kita perlukan rumus identitas 12 2 + x x sin cos.Contoh 1 : Carilah . sin dx x3Penyelesaian. Perhatikan bahwa DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200710 dx x xdx x x dx xsin ) cos () (sin sin sin22 31Jadi dx x x dx x dx x sin cos sin sin2 3Untukintegral keduapadaruaskanan, perhatikanbahwakita dapat mengambil substitusi x u cos , sehingga dx x du sin . Jadi + + 2323 2 23131C x C u du u dx x x cos sin cos.Karena integral pertama pada ruas kanan adalah 1C x + cos , maka x dx x cos sin3 + C x +331cos .Kasus 2 , dx xnsin atau dx xncos, dengan nbilangan genap.Jika n genap , kita gunakan identitas trigonometri berikut :( ) ( ) x x x x 2 1212 1212 2cos cos cos sin + Contoh 2: Carilah . sin dx x4Penyelesaian.

,_

dx x dx x dx x22 2 42 121cos ( ) (sin sin. sin sincos ( cos) cos cos (C x x xdx x xdx x x+ +

,_

,_

+ + + 4321241834 1212 2 1412 2 2 1412Kasus 3, dx xm ncos sin, dimana salah satu dari n atau mganjil.Penyelasaian kasus 3 ini sama dengan pada kasus 1,Contoh 3 : Carilah . cos sin dx x3 4Penyelesaian. DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200711 xdx x x dx x x cos cos sin cos sin2 4 3 4 . sin sincos sin cos sincos ) sin (sincos ) sin ( sinC x xdx x x dx x xdx x x xdx x x x+ 7 56 46 42 471511Kasus 4, dx xm ncos sin, dengan ndan mbilangan genapPenyelesaian kasus ini sama dengan kasus 2.Contoh 4: Carilah . cos sin dx x x2 4Penyelesaian.

,_

+ ,_

dx x x dx x x 2 1212 12122 4cos ( cos ( cos sin ( ). cos sin coscos sin cos sin (cos sin ) cos ( sin (cos sin cos sin (cos ) sin ( cos (cos ( cos cos (C x x x xdx x x x xdx x x x xdx x x x xdx x x xdx x x x+ +

,_

,_

+

,_

+ ,_

+

,_

+ ,_

+ 2481432146411612 2 4 42121812 2 4 1 42123812 4212 2 42123812 1 4 1212 2 1812 1212 2 2 14132222Kasus 5, dx xntanatau , cotdx xn dengan n bilangan bulat positif.Untuk menyelesaikan kasus ini, kita tulis ) (sec tantan tan tan12 22 2 x xx x xnn natau ). (csc cotcot cot cot12 22 2 x xx x xnn nContoh 5 : Selesaikan . tandx x3Penyelesaian.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200712. sec ln tantan sec tan) (sec tantan tan tanC x xdx x dx x xdx x xdx x x dx x+ 2222 3211Kasus 6, dx xnsecatau , cscdx xn dengan n bilangan genap positif.Untuk menyelesaikan kasus ini, kita tulis x xx x xnn n2 2 2 22 21 sec ) (tansec sec sec/ ) ( + atau . csc ) (cotcsc csc csc/ ) (x xx x xnn n2 2 2 22 21+ Contoh 6 : Selesaikan . cscdx x4Penyelesaian.. cot cotcsc csc cotcsc ) (cotcsc csc cscC x xdx x dx x xdx x xdx x x dx x+ + + 32 2 22 22 2 4311Kasus 7, dx xnsecatau , cscdx xn dengan n bilangan ganjilUntuk menyelesaikan kasus ini digunakan pengintegralan parsial.Contoh 7 : Selesaikan . cscdx x3Penyelesaian. dx x x dx x csc csc csc2 3.Dengan integral parsial kita punyaix dv x u2csc , csc , sehingga x v x x u tan , cot csc . Dengan demikian. ) cot ln(csc cot csccsc cot csc cscC x x x xdx x x x dx x+ + + 3Soal Latihan 2.3 :Selesaikan Integral berikut 1. . cos sin dx x x2 32. . cos sin dx x x3 6DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 2007133. . sin dx x44. . cos xdx55. . sec dx x46. . sin sin dx x x 2 52.4.Integrasi fungsi rasionalSeringkali ditemukan integral berbentuk fungsi rasional (pembagian dua polinomial,) () (X Mx N). Jika derajat ( pangkat tertinggi) fungi pembilang lebih besar atau sama dengan pangkat tertinggi penyebut, makadapat dilakukanpembagian polinomial dan mengintegralkan hasil pembagian tersebut. Sebagai ilustrasi,12111+ +x xxsehingga + + ,_

+ +C x x dxxdxxx1 212111ln.Pecahan parsialDalamaljabar kitatelahmengenal penjumlahanbentuk pecahan dengan menemukan pembagi bersama, misalnya.) )( () ( ) (21 52 11 3 2 223122 +++ + +++ x xxx xx xx xDengan demikian kalau kita dihadapkan pada masalah mencari integral +dxx xx21 52, maka kita dapat menggunakan pecahan parsialnya,yaitu +dxx xx21 52= . ln ln C x x dxx x+ + + ,_

++2 3 1 22312Prosespemisahanpecahan) () (X Mx Nkedalamjumlahpecahan dengan pembagi berbentuk fungsi linear atau kuadrat ini disebut dekomposisi pecahanparsial. Perludiperhatikanbahwaderajat DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200714N(x)harusselalukurangdari derajat M(x). Untukselanjutnya akan dibicarakantiga kasus berkaitandenganfaktor dariM(x), yaitu :1. Faktor-faktornya linear berbeda ( akar-akarnya real berbeda).2. Faktor-faktornya linear berulang (akarnya real ada yang sama).3. Faktor kuadrat ( ada akar imajiner).Kasus 1, Faktor linear berbedaContoh 1 :Tentukan integral + . dxx xx x6 71 232Penyelesaian. Perhatikan bahwa + ++ + dxx x xx xdxx xx x) )( )( ( 2 3 11 26 71 2232.Kita harus menemukan A,B, dan C sehingga) )( )( ( 2 3 11 22+ ++ x x xx x=2 3 1 ++++ xCxBxA.Dengan menyamakan penyebut pada kedua ruas, diperoleh). )( ( ) )( ( ) )( ( 3 1 2 1 2 3 1 22 + + + + + + + x x C x x B x x A x xdengan menyamakan koefisien suku-suku yang bersesuaian pada kedua ruas,diperoleh1 3 2 61 2 32 + + + +C B AC B AC B Ayang penyelesaianya adalah, ,541 B A dan .511 CDengan demikian diperoleh. ln ln ln C x x xxdxxdxxdxx xx x+ + + + + ++++ + 251135412 5113 541 6 71 232 DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200715Metode Heaviside.Adalah sebuah metode yang memudahkan kita untuk menemukan konstanta pada dekomposisi pecahparsial dari) () (X Mx N. Terlebihdahululu kita harus memfaktorkanM(x) ke dalambentuk faktor linear.nnnr xAr xAr x r x r xx Nx Mx N+ + ...) )...( )( () () () (112 1.Selanjutnya untuk menemukan konstantaAiyang berbsesuaian dengan bentuk iir xA , maka pada penyebut diruaskanan faktorir x kita buang dan memasukkan nilai rike dalam x pada faktor tersisa.Misalnya untuk mencari nilai Apada contoh di atas, maka faktorx+1kitabuang danmemasukkannilaix=-1 pada faktor tersisa. Jadi.) )( ( ) )( () ( ) (11 442 1 3 11 1 1 22 + + Aselanjutnya untuk mencari B, faktor yang dibuang adalah x 3 , jadi.) )( ( ) )( () (545 4162 3 1 31 3 3 22 + ++ Bsedangkan C,.) )( ( ) )( () ( ) (5115 1113 2 1 21 2 2 22 + + CDiperoleh hasil yang sama dengan sebelumnya.Perludicatat bahwametodeheavisideini hanyaberlaku untuk faktor linear berbeda.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200716Kasus 2, Faktor linear berulangContoh 2 : Tentukan integral( )dxx xx3 23) 2 (1Penyelesaian. ( )dxx xx3 23) 2 (1= +++ +) 2 ( ) 2 ( ) 2 (2 3 2xEx Dx CxBxAx3-1 = 2 2 2 2 3 3) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( + + + + x Ex x Dx Cx x Bx x Ax3-1 =+ + + +3 4) 4 6 ( ) ( x E D B A x E B=A x B A x E D C B A 8 ) 8 12 ( ) 4 2 12 6 (2 + + + 163;45;47;163;81 E D C B A( )( )dxx xx3 2321= ( ) ++ +) 2 ( 163) 2 ( 452 47163812 3 2xdxx dxx dxxdxxdx= ( )c xx xxx+ + + 2 ln1632 45) 2 ( 8) 7 (ln163812Contoh 3 : Selesaikan + + +dxx x xx16 24 932 3Penyelesaian. Perhatikan bahwa 16 24 932 3+ + + x x xx= ) ( ) ( 1 432+ + x xx= 1 4 42+++++ xCxBx A) ( ) (atau 24 1 1 4 3 ) ( ) ( ) )( ( + + + + + + x C x B x x A x .Dengan substitusi Untuk x = - 4-12 = - 3 B B = 4. DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200717 x =- 1-3 =9C C = 31. x =0 0= 4A + B + 16C A = .31jadi + + +dxx x xx16 24 932 3= 1]1

++++dxx x x ) ( ) ( ) ( 1 31444 312= . ln ln C xxx + + + + 13144431Kasus 3, Faktor kuadrat Contoh 4: Tentukan integral + + + 12 3x x xdx.Penyelesaian. Harus dicari A,B, dan C sehingga1 1 1 112 2+++++ + xC BxxAx x ) )( (.atau ) )( ( ) ( 1 1 12+ + + + x C Bx x A .Dengan menyamakan koefisien yang bersesuaian, diperoleh.,,C AC BB A+ + + 100sehingga diperoleh 2121 B A , , dan.21 CDengan demikian+ + + 12 3x x xdx= 1]1

++++dxx xx1 1 212212) (= . ln ln C x tg arc x x + + + +211411212DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200718Conoth 5 :Selesaikan ( )( )( )+ + dxx x xx x2 2 13 222Penyelesaian.( )( ) 2 2 13 222+ + x x xx x=( ) 1 2 22++ ++xCx xB AxDiperoleh 54;57;59 C B AJadi :( ) ( ) + +++ + dxx x xdx xdxx x xx x1542 257592 2 13 22 22( ) + ++ +++ + 2 2 592 21592 2592 2 2x xdxx xdx xdxx xxMaka : ( )( )+ + dxx x xx x2 2 13 222( ) + +++ ++ ++1 542 2 572 2 592 21 221592 2 2xdxx xdxx xdxdxx xx= ( ) + + + + 1 ln541 1 522 2 ln10922xxdxx x =( ) c x x x x ln 1 ln541 tan522 2 ln1091 2+ + + +Kasus 4, faktor kuadrat berulangContoh 6:Selesaikan ( )( )+ dxx x xx225 42Penyelesaian. Tulis ( )225 42+ x x xx=( )( )( )5 44 25 44 22 22+ + ++ + +x xE x Dx xC x BxASelanjutnya tentukan A,B,C,D, dan E. ( sebagai latihan)DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200719Soal latihan 2.4:Tentukan integral berikut :1.+ ++dxx xx71 22. 2. + +. dxx xx6 71 233.+x x dx3. 4. + + . dxx x xx x4 52 20 252 325. ++ .) )( (dxx xx x223 219 22 36. dxx x xx+ ) ( 5 422.7. Matematikawan Jerman, Karl Weiertrass (1815 1897) mengamati bahwa substitusi) tan( x u21 akan mengubah sebarang fungsi rasional dari sin x dan cos x menjadi fungsi rasional biasa dari t .a. Jika ) tan( x u21, < < x, gambarlah segitiga siku-siku atau gunakan kesamaan trigonometri untuk menunjukkan bahwa2 21211121uuxux++ ) sin( , ) cos(.b. Tunjukkan bahwa2 221211uuxuux++ sin , cos .c. Tunjukkan bahwa duudx212+.Gunakan subsitusi dalam soal 7 untuk menyelesaikan integral berikut8. xdxsin 5 39. x xdxcos sin 4 3. DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 2007202.5.Integrasi fungsi irrasionalBentuk irrasional satu sukuJika integral hanya memuat bentuk irrasional dari satu macam suku, misal x, maka gunakan substitusinx y , dengan n adalah kelipatan persekutuan terkecil dari pangkat-pangkat akar.Contoh 1: a. + xdx1. b. .) (C x tg arcx xdx+ + + +1 21 2 ( Gunakan substitusi1 + x y).c. +.xdx x13 ( Gunakan substitusi 6 x u ). Penyelesaian :a. Dengan substitusix y diperolehx y 2dan dy y dx 2 , sehingga + xdx1 =. ln ln C x x C y yydy y+ + + + +1 2 2 1 2 212c.Substitusi u = 6 / 1 6x x u6 = xdx du5u 6 Sehingga :+dxxx13= ++duuudu uuu3753216 ) 6 (1 +dxxx13= ++ + duuuudu du u34166 6= + ++ + duu u uuudu du u) 1 )( 1 (66 624DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200721= Cuu u u u u ++ + + + +32121tan341 ln 1 ln 2 3561 2 2 5 =Cxx x x x x ++ + + + +32121tan341 ln 1 ln 2 3566116131613165.Jika c bx2ax + + adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran.Jika c bx ax + +2adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran, maka kita dapat melakukan substitusi sebagai berikut :ax2 + bx + c = a (x2+)acxab+= a (x + 2)2ab-)44(2a ac b Substitusi yang digunakan adalah : u = x+ab2 Contoh 2:Selesaikan+ 2 6 ) 3 (2x x xdxPenyelesaian :+ 2 6 ) 3 (2x x xdx= 72) 3 x ( ) 3 x (dxMisalu = x 3du = dx+ 2 6 ) 3 (2x x xdx=72u udu=77712u udu=Cu+7sec711DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200722= Cx+73sec711Jikab xa x++ adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran.Jika b xa x++ adalah satu-satunya bentuk irrasional pada integran maka kita dapat melakukan substitusi : u = b xa x++Contoh 3:Selesaikan +dxxx 32Penyelesaian :Misalu = 32+xx u2 = 32+xx (x 3)2 = 22151]1

u 2u du = dxxx x2) 3 () 2 ( ) 3 (+ =dxx2) 3 (5 =dx5) 1 (2 2 udx = duuu2 2) 1 (10 Jadi : +dxxx 32= duuu2 22) 1 (10 = +++2 2) 1 (251 25) 1 (251 25uduuduuduudu= Cuuuu +++ + ++ ) 1 ( 251 ln25) 1 ( 251 ln25DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200723 = Cuuuu+++1511ln252 = Cxx x x x+++11]1

+ 3256 2 1 2ln252Substitusi trigonometriBentuk substitusi2 2x a t a x sin 2 2a x t a x sec 2 2x a +t tg a x Contoh 1. Selesaikan dx x29.Penyelesaian. Misalkant x sin 3 , maka dt t dx cos 3 dan t t t x cos ) (cos sin 3 9 9 9 92 2 2 . Dengan demikian kita peroleh dx x29= dt t dt t t29 3 3 cos cos . cos= + dt t ) cos ( 2 1219=C t t + + ) sin ( 22129.Contoh 2: BuktikanC aaxsin dxa2 1 - 2+ + 2222 2xx ax .Bukti :

2 2x a Dari gambar diatas didapat :DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 2007

ax u 24Sin u = ax u = arc sin axa sin u = x a cos u du = dxJadi du du) cosu (a u cos a u a dx x a2 2 2 2cos C u ua a+ + + ) 2 sin21(2 22 2cos2u)du (1C cosu) + + uax asin (sin212

C ++ ax aaxax a2 212(sin2 C a2xaxsina2 1 -2+ + 22x (terbukti)Contoh 3 : Selesaikan dxxx229Penyelesaian :Substitusi: d dx x cos 3 sin 3 ( ) d cos 3sin 3sin 3 32 22 2 2= d cos 3sin 3sin 1 32 22= d 22sincos= d2cot=( ) d ec1 cos2=c + cotConoth 4:Selesaikandx x+52Penyelesaian. Substitusi : tan 5 x d dx2sec 5 DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20072552+ x =5 tan 52+ =1 tan 52+ = sec . 5dx x+52= d2sec 5 sec 5= d3sec 5 dengan inti parsial= c + + + tan sec ln25tan sec25Conoth 5 :Selesaikan 2 2 33 x xdxPenyelesaian. Substitusi : sec 3 x

d dx tan sec 3 2 23 x = 2 2 23 sec 3 =1 sec 32 = 3 tan 2 2 33 x xdx= dtan 3 . sec 3tan sec 33 3= d d22cos271sec1271= ( ) d+ 2 cos 127121= c +

,_

+ 2 sin21541.Soal Latihan 2.5 :Gunakan substitusi trigonometri untuk menunjukkan rumus-rumus berikut :1. Caxx a dx+ arcsin2 2. 2. Caxarcaa x xdx+ sec12 2DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 2007263. C a x xa x dx+ + 2 22 2ln4. C a x xa x dx+ + + +2 22 2ln5.Cax ax axdx x a + + arcsin2 222 2 2 26.C x a xax axdx x a + + + + + +2 222 2 2 22 2ln7.. ln C a x xaa xxdx a x + + 2 222 2 2 22 2Selesaikan integral berikut : 8.+ .) ( 2 6 32x x xdx9. . dxxx21610. +. dxxx231611. + dx x x 42 312. + dxx xdx13 62. 13.+ +2 22 2 ) ( x xdx.14. dx x x+915. dx x x+ + 9 ) 5 (16. dxxx+ 2 317.dxxx+ 4118. dxx x + 2 ) 1 (119. dxx x+ + 5 412

20. dxx xx 28 93 221. dxx xx+ ++ 5 4 352.2. 6. Pertumbuhan dan PeluruhanSalah satu penerapan integral adalah untuk menyelesaikan persamaan yang muncul pada model matematika yang melibatkanhukumpertumbuhan atau peluruhan. Hukumini muncul bilalajupertubahanjumlahsuatukuantitas terhadap waktuberbandinglurusdengankuantitasyangadapadasaat DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200727diberikan. Sebagai contoh dalam biologi, dengan kondisi tetentu, laju pertumbuhan bakteri berbanding lurus dengan jumlah bakteriyang ada pada setiap saat. Di dalam reaksi kimia, sering terjadi keadaandimanalajureaksi berbandinglurus dengan jumlah zat yang ada. Dalam kasus seperti di atas, jika waktu dinyatakan dengan tsatuan, dan jumlah kuantitas yang ada pada setiap saat dinyatakan dengan xsatuan, maka dipunyai persamaan kxdtdx, dimakakkonstanta danx >0untuk setiapt0. Jikax bertambah untuktyangbertambah, makak >0, dan kita peroleh hukum pertumbuhan wajar. Sedangkan jika x berkurang bilatbertambah, maka k< 0 dan diperolehhukum peluruhan wajar. Misalkankita akanmenyelesaikanpermasalahan pada contoh berikut.Contoh 1 : Lajupertumbuhanradiumberbandinglurusdenganjumlahzat yang ada setiap saat. Jika 60 mg radium tersedia sekarang dan waktu paruhnya adalah 1690 tahun, maka berapa jumlah radium yang ada 100 tahun kemudian.Penyelesaian :Misalkan t tahun telah berlangsung sejak sekarang, dan x adalah banyaknya radium dalam ttahun. Maka kita punyai persamaan kxdtdx . Terlebih dahulu akan kita selesaikan persamaan ini. Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis dengan kdtxdx. Dengan mengintegralkan kedua ruas, diperoleh dt kxdxDIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200728atauktkt cc ktCe xe e xe xc kt x+ +lndengan C = ce.t 0 100 1690x 60 ? 30Selanjutnya dengan memperhatikan syarat batas yang diberikan ( lihat tabel), kita perolehuntuk t = 0, maka ..C Cek 060 Selanjutnya untuk t = 1690, kita punyai ke169060 30 atau k = - 0,00041 (tunjukkan).Diperoleh., te x00041 060untuk t = 100, . ,,6 5760041 0e xJadi 100 tahun sejak sekarang akan terdapat 57,6 mg radium.Contoh 2 : Bakteri yangberkembangdalamsuatupembiakanbertambah denganlajuberbandinglurusdenganjumlahbakteri yangada padasaat itu. Jikaawalnyaada1000bakteri, danjumlahnya menjadi duakali lipat dalamwaktu30menit, berapajumlah bakteri setelah 2 jam?Penyelesaian : ( Kerjakan sebagai latihan).Contoh 1 di atas menggambarkan suatu fungsi yang dikatakan mempunyaipeluruhan eksponensial. Pada contoh tersebutk0, sehinggakitaperolehfungsi yang dikatakan mempunyaipertumbuhan eksponensial, karena jika k DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200729>0, maka ktt te C t f lim ) ( lim, yang berarti) (t f x akan membesar tanpa batas.Selanjutnya akan kita lihat jika suatu kuantiotas bertambah denganlajuberbandinglurus denganselisihsuatubilangan positifAdengan ukuran kuantitas tersebut. Jika waktu dinyatakandengantsatuandanjumlahkuantitaspadasetiap saatadalahxsatuan, makadiperolehpersamaan ) ( x A kdtdx , dengan k konstanta positif dan x < A untuk setiap t.Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentukkdtx Adx. Dengan mengintegralkan kedua ruas, kita peroleh .) ln () ln (k tk t ce C A xe e x Ac k t x Ac k t x Ak d tx Ad x + dengan A,B, dan kkonstanta positifserta x=f(t) menyatakan jumlah kuantitas pada saat t. Hasil ini memberikan suatu fungsi pertumbuhan terbatas, karena ..lim) ( lim ) ( limAC Ae C ACe A t fkttktt t 0Dengandemikianx=f(t) akanmendekatiAdari kiri ( lihat gambar).f(t) ADIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200730 A - CktCe A t f ) (

0 t Contoh 3 :Untuk menempuh ujian, seorang mahasiswa belajar tergesa-gesa selama 3 jam untuk menguasai 60 fakta. Menurut ahli psikologi, laju ingat seseorang berbanding lurus dengan jumlah fakta yang harusdiingat. Jikapadamulanyatidakadafaktayangdiingat oleh mahasiswa tersebut dan mahasiswa itu mampu mengingat 15faktadalam20menit pertama, maka:(a) berapabanyak faktayangmampudiingat dalam1jam?. (b) Mampukahmahasiswatersebut mengingat 60faktadalam3 jam?Penyelesaian :Misalkan jumlah yang akan dihafal adalah x fakta dalam t menit, maka dipunyai persamaan) ( x kdtdx 60, dimanakkonstanta positif dan x < 60 untuk setiap t. Dengan demikian kita peroleh ktCe x 60.Karena x = 0 saat t = 0 , makadiperoleh C = 60.t 0 20 60 180x 0 15 ? ?Dengan mengganti Cdengan 60, kita peroleh.kte x 60 60Karena x = 15 bila t = 20 , maka75 060 60 152020, kkeesehingga diperoleh DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200731. ) , () (202075 0 60 6060 6020ttke x (a). Untuk t = 60, . ,,) , () , () (6875 343125 25 60421875 0 60 6075 0 60 6060 603202060 ke xJadi dalam 1 jam mahasiswa tersebut mampu menghafal 34 fakta.(b). Dalam 180 menit,. ,,) , () , () (49491 555050813 4 60075084688 0 60 6075 0 60 6060 6092020180 ke xDengan demikian mahasiswa tersebut hanya mampu menghafal 55 fakta dalam waktu 3 jam, artinya mahasiswa tersebut tidak mampu menggingat60 fakta dalam 3 jam.( Berapa waktu yang diperlukan mahasiswa tersebut untuk dapat menghafal ke-60 fakta?)Soal Latihan 2.6 : 1. Di dalamsuatu pembiakan bakteri, laju pertumbuhan bakteri berbandinglurusdenganjumlahbakteri yangada. Jika mula-mula ada 2000 bakteri dan jumlahnya menjadi dua kali lipat setelah 20 menit, berapa lama waktu yang diperlukan agar jumlah bakteri menjadi 1.000.000 ?2. Seorang pekerja baru di bagian produksi dapat melakukan tugas khusus sedemikian rupa sehingga jika diproduksi x satuan tiap hari setelah t hari dalam bagian produksi , maka DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200732) ( x kdtdx 90, dimana k suatu konstanta positif danx < 90 untuk semua0 t . Pada hari pekerja itu mulai bekerjatelah 60 satuan diproduksi, dan setelah bertugas 5 hari pekerja itu memproduksi 75 satuan setiap hari, makaa. Selesaikan persamaan ) ( x kdtdx 90( Petunjuk : ubah persamaan kebentukdt kxdx) (90, kemudian selesaikan dengan mengintegral kedua ruas ). b. Berapa satuan yang diproduksi oleh pekerja itu setiap hari setelah ia bekerja 9 hari? ( Petunjuk : gunakan persamaan pada jawaban (a)).c. Perlihatkan bahwa pekerjaitu menghasilkan hampir 90 satuan setiap hari setelah bekerja selama 30 hari?3. Dalam kimia,hukum aksi massamemberikan suatu terapan pengintegralan penggunaaka pecahan parsial. Berdasarkan syarat-syarat tertentu terbukti bahwa suatu larutan A bereaksi dengan larutan B untuk membentuk larutan C dengan cara sedemikian sehingga laju perubahan jumlah C sebanding dengan perkalian dari sisa jumlah A dan sisa jumlah B pada setiap waktu yang diberikan. Singkatnya, jikax adalah jumlah zat C yang terbentuk padat satuan waktu, maka diperoleh persamaan ) )( ( x b x a kdtdx atau dt kx b x adx ) )( (, kkonstantaa. Jika a = 10dan b = 8, selesaikan integral dt kx xdx) )( ( 8 10..DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200733b.Yakinkan anda bahwa hasil no.3 dapat dinyatakan dengan kte Kxx2810,Kkonstanta.( ingat , ln ln lnBAB A dan jika kBA lnmaka keBA). Dengan demikianjika dalam 10 menit terbentuk 2 gram larutan C, berapa larutan C terbentuk setelah 20 menit ?( Petunjuk : Terlebih dahulu substitusikan t = 0 , x = 0 untuk mendapatkan K ).BAB III.INTEGRAL TERTENTUDiberikaninterval [a,b] =} : { b x a R x . HimpunanP= } ,..., , {nx x x1 0dengansifatb x x x x an < < < < ...1 0 disebut partisi pada[a,b]. PartisiPtersebut akanmembagi [a,b] menjadin selang bagian, yaitu] , ],...[ , [ ], , [n nx x x x x x1 2 1 1 0 . Untuk selang bagian ke-i,] , [i ix x1 mempunyai panjang selang 1 i i ix x x. Panjang setiap selang bagian ke-idapat dibuat sama, yaitu n a b x / ) ( .Misalkantitiksampel*ix] , [i ix x1 , makajika f fungsi yang didefinisikan untukb x a , integral tertentu f dari a sampai b didefinisikan denganDIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200734 banii inx x f dx x f1) ( lim ) (*.Jumlahnii ix x f1) (* dinamakan jumlah Riemann.Contoh 1: a. Tentukan jumlah Riemann dari 2x +1 dengan mengambil titik sampel berupa titik ujung kanan dengan a = 0 dan b = 2, dan n = 4. b. Hitung +211 2 dx x ) (.Penyelesaian. a. Dengan n = 4, lebar tiap interval adalah 2140 24 a bx dan titik-titik ujung kanan adalah , , , , , 5 1 1 5 03 2 1 x x x dan 24 x. Sehingga jumlah Riemann adalah41 ii ix x f ) (*=x f x f x f x f + + + ) ( ) , ( ) ( ) , ( 2 5 1 1 5 0 =7252231 + + + .b. Dengan n selang bagian kita punyain n n a bx2 0 2 .Jadi , / , / , n x n x x 6 3 02 1 0 dan secara umum n i xi/ 3 . Maka diperoleh +211 2 dx x ) (= ninniin n nif x x f1 12 2) ( lim ) ( lim = ) ) ( ( lim 12221+ nin ninDIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200735= ) ( lim 14 21+ nin nin =

,_

+ n innin128lim= 48 4421 82 2 + + ,_

++ ) ( lim) (limnnnn nnn n.Dalamnotasibadx x f ) (,f(x) disebutintegran,adanbdisebut batas bawah dan batas atas. Sedangkan lambangdx menunjukkan pengintegralan terhadap peubah x. Faktanya kita dapat mengganti peubahxdengan sebarang peubah, misal badt t f ) ( atau badu u f ) ( yang tidak mengubah nilai integral.Sifat-sifat integral tertentu :1.0 aadx x f ) (.2.dx x f dx x fabba ) ( ) (.3.) ( a b c dx cba , dengan c konstanta sembarang4. + +bababadx x g dx x f dx x g dx x f )] ( ) ( )] ( ) ( [.5. babadx x f c dx x cf ) ( ) (, dengan c konstanta sembarang.6. +babccadx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (.Contoh 2 : Tentukan . ) ( 4 1 3 1 2 1 2212121 + + + dx dx x dx xTeorema dasar kalkulus I (TDK I): DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200736Jika fkontinu pada [a,b], maka fungsigyang didefinisikan oleh xab x a dt t f x g , ) ( ) (kontinu pada [a,b] dan terdiferensial pada [a,b] dan ) ( ) ( ' x f x g .TDK I dapat ditulis xax f dt t fdxd) ( ) ( jika f kontinu.Contoh 3: Turunan dari + xdt t x g03 21 ) ( adalah 3 21 x x g + ) ( ' .Contoh 4 : Tentukan turunan dari + 221xxdt t x gsin) ( .Penyelesaian.) ( ) (sin , ,sinsin sinv G u Fx v x u dt t dt tdt t dt tdt t dt t dt tv ux xxxxx + + + + + + + + 2020202020202 21 11 11 1 122 2Mengingat aturan rantai[ ]. sin coscos) ( ) (2 42 21 1 21 2 1+ + + + x xx v x udxdvdvdGdxdududFv G u FdxdTeorema dasar kalkulus II (TDK II): Jikafkontinupada[a,b], maka] babaa F b F x F dx x f ), ( ) ( ) ( ) ( denganFantiturunan sebarang darif, yaitu suatu fungsi sedemikian sehingga ) ( ) ( ' x f x F .Contoh 4 : ] 102 2021 0 1 2`x dx x.Soal Latihan :DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200737Gunakan definisi integral tertentu untuk menghitung integral berikut1. 212 dx x) (2. +5021dx x ) (3. +2122 3 dx x x ) (. 4. 213 dx x.Gunakan TDK I untuk mencari turunan fungsi berikut5. + xdt t x g02 1 ) (6. + 215 42 dt t x g ) ( ) (7. + 2031xdr r x g ) ( 8. xdt t t x h22 sin ) (Gunakan TDK II untuk menghitung integral berikut9. + +5023 2 1 dx x x ) (10. 411dxx.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200738BAB IV.PENGGUNAAN INTEGRAL4.1. Luas area datarPerhatikan daerah di bawah kurva ) (x f y di antara dua garis tegak x = adan x = bdi atas sumbu x , dengan f fungsi kontinu. Sepertipada saa mendefinisikan integraltertentu, kita bagi interval [a,b] menjadi nsub interval dengan lebar sama dan selanjutnya kita hampiri sub interval ke-Idengan persegi panjang dengan lebarn a b x / ) ( dan tinggi ) (*ix f (lihat gambar, kitabolehsajamengambil semuatitiksampleberupa titik ujung, yakni i ix x *). Dengan demikian jumlah Riemann nii ix x f1) (*merupakanhampiranluasdari daerahdibawahkurva) (x f y tersebut.y ) (x f y 0a1 ix*ixixbxHampiran akan semakin baik, mendekati luas sesungguhnya, jika n. Oleh karena itu luas daerah di bawah kurva ) (x f y di antara dua garis tegak x = adan x = bdi atas sumbu xdidefinisikan sebagai nilai limi dari jumlah luas persegi panjang tersebut, yaitu banii indx x f x x f L ) ( ) ( lim*1.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200739Contoh1: Tentukanluas daerahyangdibatasi olehy=2x ,sumbu x,x = 1 danx = 3 Penyelesaian. y x y 2 0 13xLuasnya adalah 312 dx x=] 8312 x satuan luasUntuk daerah yang dibatasi oleh dua kurva ) (x f y 1dan ) (x g y 2 di antara dua garis tegak x = adan x = b dengan f dangkontinudan) ( ) ( x g x f untuksemuaxpada[a,b] luasnya adalah banii indx x f x g x x f x g L )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ lim* *1.y y2 = g(x) L= ba(y2 y1) dx L y1 = f(x)atau 0a bx

L=ba[g(x) f(x)]dxContoh 2 : Gambarlah dan tentukan luas daerah yang dibatasi oleh DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200740 y = sin x pada kuadran I. Jawab : L = 0sin x dx = 1 satuan luasContoh 3 : Gambarlah dan tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 dan y = xJawab : yy = x2y = x cari titik potong kedua kurva : x2 = x01 x x2 x = 0x = 0 dan x = 1 Jadi luasnya adalah L = 10(x - x2) dx=103 231211]1

x x= 61satuan luas.Soal latihan 4.1:DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200741Tentukan luas daerah yang dibatasi :1. y = x2 + 1 dan y = 3x +12. y = 3x3 + 3x2 dan y = 4x3. y = x2 4x + 3 , sumbu x dan garis x = 54. Segitiga dengan titik-titik sudut A(3,4), B(2,-3), dan C(1,0)5. y2 = x dan y = x + 26. y2 = x dan y = 2-x pada kuadran I7. y = x3 dan y = x4.2. Volume Benda PutarMetode cakram(i). Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x pada [a,b] diputar terhadapsumbu x, adalahVolume = Luas alasxtinggi= r2 tDIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 20071. Tunjukkan bahwa jika daerah yang dibatasi olehkura y = f(x) dan y = g(x),x = a , dan x = b ( lihat gambar ) diputar terhadap sumbu y adalah y y = f(x) [ ] dx x g x f x Vbay ) ( ) ( 2 y = g(x) 0a b x42y iVx= [f(*ix )]2 ix 0 a b xni 1iVx =ni 1[f(*ix )]2 ix ix (i) Volume daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x pada [a,b] diputar terhadapsumbu x, adalah [ ][ ] ba xxnii inxdx x f Vx x f V212*) () ( lim (ii). Volume daerah yang dibatasi oleh kurva x = g(y), sumbu y pada [c,d], diputarterhadapsumbu y, adalah [ ]dc yydy y g V2) ( .(iii). Daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 dan y2 , maka f2(x)y f1(x)Vx= ba[y22 y12 ] dxDIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200743 = ba[f22 (x) f12 (x) ] dx

Dan secara sama akan dipunyai Vy = ba[x22 x12 ] dy= ba[g22 (y) g12 (y) ] dyContoh 1: Tentukan vulome yang diperolehjikadaerahyang dibatasi oleh kurva y = x2+ 1 , sumbu x dari x = 0 sampai x = 2 diputar terhadapsumbu x.Penyelesaian : y y = x2 + 1

10 2 x Vx = 20(x2 + 1)2dx= 203 532511]1

+ + x x x= 15206 satuan volumeDIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200744Contoh 2 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasioleh y = x dan y = x2 diputar terhadap sumbu x .Penyelesaian :Dari contoh 3 bagian 4.1, makaVx =10[x2 (x2)2] dx = [ ]105 35131x x = 152 satuan volumeMetode Kulit(i).Daerah Yang dibatasi oleh kurva y = f(x), garis x = a dan x = b, sera sumbu x,diputar terhadap sumbu y. Maka volume benda yang dihasilkan dapat dihitungsebagai berikut :

abx xi-1 xi

Interval [a.b] dibagi menjadi n bagian sub interval yaitu ; a = x0, x1, x2, , xn= b yang masing-masing panjangnyaix = xi xi-1. Makajikaluasanpada[xi-1,xi] diputar mengelilingi sumbuy, maka diperoleh tabung Vi , yang volumenya adalah Vi = xi2 f(ti) - xi-12 f(ti),dengan ti [xi-1, xi]= (xi2 xi-12) f(ti) DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200745dan jika diambil ti = 21 i ix x + , maka Vi = (xi2 xi-12) f(ti)=(xi xi-1) (xi + xi-1)f (21 i ix x +)=2(xi xi-1) (21 i ix x + ) f (21 i ix x +)= 2(ix) (ti) f(ti)Sehingga diperoleh

ni 1Vi = 2 ni 1(ti) f(ti) (ix)Sedangkan volume sesungguhnya adalah Vy= nlim

ni 1(ti) f(ti) (ix)atauVy= 2 bax f(x)dx (ii). Daerah yang dibatasi oleh dua kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) pada [a,b]diputarterhadap sumbu y adalah :[ ] baydx x g x f x V ) ( ) ( 2.Contoh 3 :Tentukan volume yang terjadi jikadaerah yang dibatasioleh kurva y = x2 4x + 4dan y = 2x 1diputar terhadap sumbu y.Penyelesaian :Titik potong kedua kurvaadalah x2 4x + 4 = 2x 1 x2 4x + 4 2x + 1 = 0DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200746 x2 6x + 5 = 0(x 5) ( x 1)= 0Jadi titik potongnya (1,1) dan (5,9).Volumenya adalah Vy = 251 x [(2x 1) (x2 4x + 4 )]dx = 251 [ x3 + 6x2 5x]dx = 2 512 3 4252411]1

+ x x x = 2 1]1

+ + } 1 .251 . 2 1 .41{ } 5 .255 . 2 5 .41{2 3 4 2 3 4 = 64 satuan volumeSoal Latihan 4.2 :Selanjutnya untuk 2 5, tentukan volume benda putar yang DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 2007Pada gambar , Amenyatakan daerahx y 2, dany=1, B menyatakan daerah yang dibatasi oleh kurva 2x y , dan x y 2, dan C daerah yang dibatasi oleh kurva 2x y , sumbu x ,dan x = 1. Tentukan luas masing-masing daerah A, B, dan C.

yang dibatasi olehsumbu y ,kurvay

1(1,1)A B C 0 1 x471. A diputar terhadap sumbu y dengan metode cakram dan cincin.2. B diputar terhadap sumbu ydengan metode cakram dan cincin.3. C diputar terhadap sumbu y dengan metode cakram dan cincin.4. B diputar terhadap garisy=1 dengan metode cakram dan cincin.Tentukan volume benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh5. y = x2 + 2 dan y = 3x +2 diputar terhadap sumbu x, sumbu y.6. y2 = 1 x2 dan y = 1 xpada kuadran I diputar terhadap sumbu x.7. y = x2 dan y = 1 dan x =2 diputar terhadap garis y = -3.8. 2y = x2 dan y2 = 10 x diputar terhadap sumbu y.9. y = x2 dari x = 0 s.d x = 2 diputar terhadap sumbu x ; sumbu y.10. Segitiga dengan titik sudut (2,-2) , (5,1), dan (-1,4) diputar terhadap sumbu x ; sumbu y. Panjang BusurAkan dihitung panjang busur AB dari kurva y = f(x) pada [a,b]

y= f(x) DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200748P1Pi-1 Pi B = Pn A=P0 0a x1 xi-1 xi b xDiambil partisi P={a = x0, x1, x2, , xn = b } pada [a,b], sehingga terdapat titik A=P0P1, , Pn = B yang terletak pada kurva.Panjang busur AB didekati oleh jumlah panjang n buah tali busur P0 , P1, ,Pn-1 , Pn , yaitu :ni 12 2) ( ) ( y xi i + atauni 122) () (1xyii+. xiUntuk 0 P atau n diperoleh Panjang busur ABadalah :S = nlim ni 122) () (1xyii+ xi

atau S = ba21

,_

+dxdydxSecara sama untuk kurva x = g(y) pada [c,d], dapat dicari S =

,_

+dcdydx21 dyContoh 1 : Tentukan panjang busur kurva y = x + 2 dari x = 1 sampai x = 4Penyelesaian :PanjangnyaS = +4121 1 dx=[ ]412 x= 3 2satuan panjang.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200749Soal Latihan 4.3:1. Tentukan panjang busur y = x2 pada [1,3]2. Tentukan keliling daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = x dan y = x.3. Dengan menggunakan integral tentukan panjang sisi-sisi segitiga yang titik-titik sudutnya(-2,2), (3,4), dan (2,-3).4.4Nilai rata-rata fungsiNilai rata-rata dari sebanyak n bilangan ny y y ,..., ,2 1 adalah ny y yyn+ + +...2 1.Tetapi bagaimanajikainginmenghitungnilai rata-ratafungsi ) (x f y , b x a . Untuk mengetaahui nilai rata-rata fungsi tersebut, kita bagi [a,b] menjadinselang bagian, yaitu ] , ],...[ , [ ], , [n nx x x x x x1 2 1 1 0 denganpanjangsetiapselangbagian ke-i sama, yaitu n a b x / ) ( . Misalkan titik sampel *ix] , [i ix x1 , maka rata-rata bilangan ) ( ),..., ( ), (* * *nx f x f x f2 1adalah nx f x f x fn) ( ... ) ( ) (* * *+ + +2 1. Karenan a b x / ) ( , makadapat kita tulis x a b n ) ( sehingga nilai rata-rata menjadi[ ] x x f x x f x x fa bxa bx f x f x fnn + + + + + +) ( ... ) ( ) () () ( ... ) ( ) (* * ** * *2 12 11= niix x fa b11) (*Selanjutnya nilai rata-ratafpada interval [a,b] didefinisikan sebagai nf lim baniidx x fa bx x fa b) ( ) (*1 11.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200750Contoh 1: Tentukan nilai rata-rata fungsi12 + x x f ) ( pada interval [1,3].Penyelesaian : 11]1

+ +3131323163 2111 31 1xxdx x dx x fa bfba) ( ) (.Diperoleh teorema berikut.Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral. Jikaffungsi kontinu pada [a,b] maka terdapat sebuah bilangan c pada [a,b] sedemikian sehingga ) )( ( ) ( a b c f dx x fba .Contoh 2 : Karena12 + x x f ) ( kontinu pada interval [1,3], maka terdapatcpada [1,3] sedemikian sehingga +3121 3 1 ) )( ( ) ( c f dx x. Pada kasus ini, c dapat ditemukan secara eksplisit. Dari contoh 1 kita ketahui bahwaf(c) = frata-rata = 316. Jadi c2 + 1 = 316 atau c2 = 313. Dengan demikian cyang memenuhi teorema nilairata-rata untuk integral adalah c =313.BAB V. INTEGRAL TAK WAJARJika f terintegral pada [a,b] maka badx x f ) ( disebut improper integral jika :(i). Batas pengintegralannyatak hingga, atau(ii). f mempunyai ketakkontinuan tak terhingga di [a,b]DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200751Dengan demikian terdapat 2 jenis integral tak wajar :Jenis 1: Interval pengintegralan tak terhinggaDefinisi :a. Jika tadx x f ) ( ada untuk setiapa t , maka ta atdx x f dx x f ) ( lim ) ( asalkan limit ini ada.b. Jika tadx x f ) ( ada untuk setiapb t , maka btbtdx x f dx x f ) ( lim ) ( asalkan limit ini ada.Integral tak wajaradx x f ) (dan bdx x f ) (dikatakan konvergenjika limit terkait ada ( berupa bilangan berhingga) dandivergenjika limit tersebut tidak ada (nilainya tak terhingga)c. Jika kedua integral adx x f ) ( dan adx x f ) (konvergen, maka dx x f ) ( +aadx x f dx x f ) ( ) ( .Contoh 1 : Hitung 121dxx.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200752Penyelesaian. Menggunakan bagian (a) pada definisi, kita mempunyai 121dxx=1111 1112 ,_

,_

1]1 t xdxxtt tt tlim lim lim.Contoh 2 : Hitung +0211dxx.Penyelesaian. Menggunakan bagian (b) pada definisi, kita mempunyai +0211dxx=] ( )( )2 20 011002 ,_

+ tx dxxtttt tarctan arctan limarctan lim limContoh 3 : Hitung 02dx xex.Penyelesaian. Menggunakan bagian (b) pada definisi, kita mempunyai 0 02 2txtxdx xe dx xe limKemudian harus dihitung integral di ruas kanan. Dengan substitusi kita punyaixdx du x u 22 ,sehingga 02dx xex21212 222 200

,_

11]1 tttuttuteeduelimlim limContoh 4 : Hitung +dxx 412.Penyelesaian. Menggunakan bagian (c) pada definisi, akan lebih mudah jika kita pilih a = 0, sehingga kita mempunyai DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200753 ++++0202 2414141dxxdxxdxxSelanjutnya kita hitung kedua integral di ruas kanan secara terpisah, +0241dxx=2 2020212 21410 02 ,_

,_

,_

1]1+ txdxxtttt tarctan arctan limarctan lim lim+0241dxx=20202 212 2141002 ,_

,_

,_

1]1+ arctan arctan limarctan lim limtxdxxtt tt tKarena kedua integral konvergen maka inegral di atas konvergen dan ++ 2 2412dxx.Jenis 2 : Integran tak kontinuDefinisi :a. Jika f kontinu pada [a,b)dan tak kontinu di b , maka tabab tdx x f dx x f ) ( lim ) (asalkan limit ini ada.b. Jika f kontinu pada (a,b] dan tak kontinu di a , maka +btbaa tdx x f dx x f ) ( lim ) (asalkan limit ini ada.c. Jika f tak kontinu di cpada [a,b] denganb c a < < , maka + bccabadx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) (DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200754Contoh 5 : Hitung 5331dxx.Penyelesaian. Perhatikan bahwa integran, 3 1 x x f / ) ( tak kontinu di ujung kiri interval [3,5], maka menurut definisi 2, kita punyai 5331dxx =]52523 23ttttxxdx + + lim lim( ).lim2 23 3 22 +ttContoh 6 : Tunjukkan bahwa725 xdx divergen.Penyelesaian. Perhatikanbahwaintegrantakkontinudix=5, sehingga menurut definisi c, kita punyai +7552725 5 5 xdxxdxxdxdimana]. ln ) ln( limln ln limln lim lim 3 53 555 555252552ttxxdxxdxttttttAmati bahwa ) ln( lim tt55,karena0 5 t jika 5 t . Jadi 525 xdx divergen. Akibatnya anpa perlu menghitung 755 xdx dapat kita simpulkan bahwa 725 xdx divergen.DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200755Kadang-kadang kita menemukan bentuk integral tak wajar yang merupakan campuran antara jenis1 dan jenis 2, misalnya 121) (x dx.Integral di atas mempunyai interval pengintegralan tak terhingga danjugaintegrannyatakkontinudix=1yangmerupakan batas bawah integral. Inegral tak wajar bentuk seperti ini biasa disebut integral tak wajar jenis campuran. Untuk menyelesaikan integral tersebut, integral dapat kita tulis 121) (x dx= 2121) (x dx+221) (x dx.Penyelesaiannya diserahkan pembaca sebagai latihan. Soal Latihan : Jelaskan mengapa integral berikut tak wajar dan selesaikan1. 12dx e xx2. +4026 x xdx3. +dxxx124. 2221 x dxTentukan apakah integral berikut konvergen atau divergen. Hitunglah integral yang konvergen5. dx e xx326. dxx xx+ +03 2 ) )( (7.9139 xdx8. dxx x12ln9. 224 x dx10. 4216 x xdxDIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200756DAFTAR PUSTAKAStewart, James, Kalkulus, Jilid 1 edisi 4, Erlangga , 1998Leithold, Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Jilid 2 , Erlangga, 2000Purcell J.E & Dale Varberg, Kalkulus dan GeometriAnalitik, Jilid 1, Erlangga, 1984DIKTAT KALKULUS INTEGRAL yudiari 200757