integral dan penggunaan (update)

Download Integral dan penggunaan (update)

Post on 13-Dec-2014

241 views

Category:

Education

7 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

  • 1. Notasi : f (x) dx F (x) C f ( x) x 2 1 F ( x) x 3 3 F ( x) 1 3 x C 3 Sifat-sifat integral tak tentu x r 1 1. x r dx C r 1 , r -1 2. sin x dx cos x C 3. cos x dx sin x C 4. sec 2 x dx tan x C 5. csc 2 x dx cot x C 2
  • 2. 6. Sifat Kelinieran a f ( x) bg ( x) dx a f ( x) dx b g ( x) dx 7. Integral dengan substitusi Misal u = g(x) , du maka g ' ( x) dx f ( g ( x)) g ' ( x) dx f (u ) du F (u ) c F ( g ( x)) c Contoh : Hitung sin 2x 1 dx Misal u = 2x + 1 Sehingga du 2 dx sin 2 x 1dx dx 1 du 2 1 sin u du 2 1 1 cos u C cos 2 x 1 C 2 2 3
  • 3. Notasi Sigma ( ) Notasi sigma ( jumlah ) : n a i 1 i n a1 a2 ... an dan k k k ... k nk i 1 Sifat dan rumus sigma n n n i 1 i 1 n suku i 1 1. k ai lbi k ai l bi n 2. i i 1 n 3. i 2 i 1 n( n 1) 2 n(n 1)( 2n 1) 6 n( n 1) 4. i 2 i 1 n 3 2 Contoh : Nyatakan dalam notasi sigma, jumlah 10 buah bilangan ganjil yang pertama. Jawab: A = 1+3+5++7+9+11+13+15+17+19 10 ( 2i 1) i 1 4
  • 4. Integral Tentu Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yang menggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [ a,b ]. Langkah : 1. a a x0 x1 ... xn b ck x1 Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian x k 1 x k x k b P { a x0 , x1 , x2 ,..., b xn } disebut partisi dari [a,b]. 2. Definisikan panjang partisi P, sebagai || P || Maks | x k |, x k x k x k 1 1 k n 3. Pilih ck [ xk 1 , xk ] k = 1, 2, ..., n 5
  • 5. 4. Bentuk jumlah Riemann f (c k ) a x2 x kc1k x k b n f ( c ) x k 1 k k x k Jika || P || 0 , maka diperoleh limit jumlah Riemann n lim || P || 0 f (ck ) xk k 1 Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg b n n f (ck ) xk lim f (ck )xk f ( x) dx lim n k 1 |P||0 k 1 a 6
  • 6. Sifat integral tentu 1. Sifat linear b b b a a a p f ( x) q g( x) dx p f ( x) dx q g( x) dx 2. Jika a < b < c, maka c b c a a b f (x ) dx f (x ) dx f (x ) dx 3. a f ( x ) dx 0 dan a 4. Bila f(x) ganjil , maka b a a b f x dx f ( x ) dx a f ( x)dx 0 a 5. Bila f(x) genap, maka a a a 0 f ( x ) dx 2 f ( x ) dx 7
  • 7. TDK I Misal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x). Maka b f (x ) dx F (b) F (a ) a Contoh Selesaikan integral tentu sin 2 x dx Jawab : Misal u = 2x Maka Sehingga 2 du = 2 dx. sin 2 x dx 1 cos 2 x 2 1 sin 2 xdx 2 cos2 x 2 /2 1 cos2 cos 1 2 8
  • 8. Contoh hitung 5 | x 2 | dx 1 Jawab : x 2, x 2 f ( x ) | x 2 | ( x 2 ) , x 2 5 2 5 | x 2 | dx x 2dx x 2dx 1 1 2 1 2 2 x 2x x 2x 2 1 1 2 2 5 2 = ( (-2 + 4) (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) ( 2 4 ) ) = +9/2 = 5 9
  • 9. Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam [a,b], maka x f (t ) dt f ( x) Dx a Secara umum u( x) Dx f (t )dt f (u ( x))u ' ( x) a v( x) f (t )dt f (v( x))v ' ( x) f (u ( x))u ' ( x) Dx u ( x) dan Contoh Tentukan nilai rata-rata fungsi f ( x) x 2 x 2 1 pada selang [0,2] 2 Jawab : Misal u 2 x 1 du = 4x dx. u 2(0) 2 1 1 Bila x=0 2 x=2 u 2(2) 1 9 Sehingga rata-rata : 9 9 1 1 27 1 26 9 x 2 x 1dx 4 u du 4 u u |1 4 4 4 1 1 2 10
  • 10. Menghitung Luas Daerah 1. Misalkan daerah y f ( x) 0, x a, x b dan sumbu X Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh: b f(x) D x Luas D = f ( x)dx a 2. Misalkan daerah y f ( x) 0, x a, x b dan sumbu X x b Luas D = f ( x)dx a
  • 11. 3. Misalkan grafik dungsi dinyatakan dalam peubah y, yakni x v( y ) 0 dan sumbu Y b Luas D = v( y)dx a 4. Misalkan grafik dungsi dinyatakan dalam peubah y, yakni x v( y ) 0 dan sumbu Y b Luas D = v( y)dx a 12
  • 12. Contoh : Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh f ( x) x x 6 x dan sumbu X, Pada selang [-2,0] untuk f ( x ) 0 dan pada selang [0,3] untuk f ( x ) 0 3 2 Jawab : 0 3 2 0 L f ( x)dx f ( x)dx 0 3 ( x x 6 x)dx ( x 3 x 2 6 x)dx 3 2 2 0 4 x 4 x3 x3 2 0 x 3x |2 3x 2 |3 0 4 3 4 3 16 63 253 3 4 12 13
  • 13. 5. Misalkan suatu daerah dibatasi oleh 2 buah grafik fungsi, a. Dibatasi oleh grafik y=f(x), y=g(x), x=a dan x=b f ( x) g ( x) untuk x [a, b] b Luas D= (h( x) g ( x))dx a b. Dibatasi oleh grafik x=w(y), x=v(y), y=c dan y=d w( y ) v( y ) untuk y [c, d ] d Luas D= (h( y) g ( y)) dy c 14
  • 14. Contoh : Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y x4 dan y x2 2 Jawab : x 4 x 3 L 2 2 2 dx 125 6 15
  • 15. Volume Benda Putar Metoda Cakram a. Daerah y f ( x ), y 0, x a dan x=b diputar terhadap sumbu x Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas diputar terhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal dan jari-jari f(x). Daerah D sehingga V f 2 ( x) x b V f ( x) dx 2 Benda putar a 16
  • 16. b. Daerah x w( y ), x 0, y c dan y=d diputar terhadap sumbu x Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi g(y) dan alas diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal dan Jari-jari g(y). Daerah D sehingga V w2 ( y) y d d V w( y ) dy c 2 c Benda putar 17
  • 17. Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari x 2 dan tebal x y x2 x x 2 2 Sehingga V ( x 2 ) 2 x x 4 x Volume benda putar 2 32 V x dx x | 5 5 0 4 5 2 0 18
  • 18. Metoda Kulit Tabung Diketahui y f ( x), y 0, x a dan x b Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar Jika irisan berbentuk persegi panjang dengan tinggi f(x) dan alas x serta berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal x f(x) D b a Daerah D sehingga V 2 x f ( x) x b Benda putar V 2 xf ( x)dx a
  • 19. Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh y x 2 , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y Jika irisan dengan tinggi x 2 ,tebal x dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi x 2 , tebal x dan jari-jari x y x2 x D x x 2 2 Sehingga V 2 x x 2 x 2 x 3 x Volume benda putar 2 V 2 x dx 3 0 2 2 x 4 |0 8 20
  • 20. Persamaan parameter kurva dibidang x = f(t), y = g(t) ,a t b Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti diatas disebut mulus jika (i) f' dan g' Ada dan kontinu pada selang[a,b] (ii) f' dan g' tidak secara bersamaan bernilai nol pada selang(a,b) a. Jika persamaan kurva y=f(x), a x b b b L [ f ' (t )] [ g ' (t )] dt 2 2 a a 2 2 dx dx dy dy [ ]2 [ ]2 dt ( ) 2 (1 )dt 1 f ' ( x) dx dt dt dt dx a a b b b. Jika persamaan kurva x=g(y), c y d d L [ f ' (t )] [ g ' (t )] dt 2 c d c 2 d c [ dx 2 dy 2 ] [ ] dt dt dt 2 d dy 2