Matematika Dasar

Integral Dan Penggunaan

I Gede Made Wira SaputraUniversitas Putera Batam

2

Integral Tak Tentu

Notasi :

3

3

1)( xxF

2)( xxf CxxF 3

3

1)(

f x dx F x C( ) ( )

Sifat-sifat integral tak tentu

Cr

xdxx

rr

1.1

1

Cxdxx cossin.2

, r -1

Cxdxx sincos.3

Cxdxx tansec.4 2

Cxdxx cotcsc.5 2

3

6. Sifat Kelinieran

7. Integral dengan substitusi

Misal u = g(x) , maka

Contoh : Hitung

Misal u = 2x + 1 Sehingga

a f x bg x dx a f x dx b g x dx( ) ( ) ( ) ( )

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()('))((

sin 2 1x dx

dxxgdu )('

dxdu 2 dudx 21

duudxx sin2

112sin

CxCu 12cos2

1cos

2

1

4

Notasi Sigma ( )

Notasi sigma ( jumlah ) :

Sifat dan rumus sigma

dan...211

n

n

ii aaaa

k k k k nk

n sukui

n

... 1

n

i

n

i

n

iiiii blaklbak

1 1 1

.1

n

i

nni

1 2

)1(.2

n

i

nnni

1

2

6

)12)(1(.3

n

i

nni

1

23

2

)1(.4

Contoh : Nyatakan dalam notasi sigma, jumlah 10 buah bilangan ganjil yang pertama.

Jawab:A = 1+3+5++7+9+11+13+15+17+19

10

1

)12(i

i

5

Integral TentuIntegral tentu dikonstruksi dengan jumlah Rieman yangmenggambarkan luas daerah. Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [ a,b ].

bxxxa n ...10

a b

Langkah :

1. Partisi selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian

},...,,,{ 210 nxbxxxaP disebut partisi dari [a,b].

2. Definisikan panjang partisi P, sebagai

11

|,||||| kkkk

nkxxxxMaksP

],[ 1 kkk xxc 3. Pilih k = 1, 2, ..., n

1x 1kx kx

kx

kc

6

a b2x 1kx kx

kx

kc

4. Bentuk jumlah Riemann

n

kkk xcf

1

)(

0|||| P

n

P kkk xcf

10||||

)(lim

Jika , maka diperoleh limit jumlah Riemann

n

k kxkcfn

b

a

n

k kxkcfPdxxf

1)(lim

1)(

0|||lim)(

Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b], dan ditulis sbg

)( kcf

7

Sifat integral tentu

p f x q g x dx p f x dx q g x dxa

b

a

b

a

b( ) ( ) ( ) ( )

1. Sifat linear

2. Jika a < b < c, maka

f x dx f x dx f x dxa

c

a

b

b

c( ) ( ) ( )

f x dxa

a( ) 0 f x dx f x dx

a

b

b

a

( )3. dan

4. Bila f(x) ganjil , maka

a

a

dxxf 0)(

5. Bila f(x) genap, maka f x dx f x dxa

a

a( ) ( )

20

8

Teorema Dasar Kalkulus (TDK)

TDK IMisal f(x) kontinu pada [ a,b ] dan F(x) suatu anti turunan dari f(x).Maka

Contoh Selesaikan integral tentu

Jawab : Misal u = 2x du = 2 dx.

Maka

Sehingga

f x dx F b F aa

b( ) ( ) ( )

sin 2

2

x dx

1cos2cos2

12cos

2

12sin

2/2

xdxx

xdxx 2cos2

12sin

9

Contoh hitung

5

1

|2| dxx

Jawab :

22

222

x,)x(

x,x|x|)x(f

5

1

2

1

5

2222 dxxdxxdx|x|

5

2

221

2

1

221 22 xxxx

= ( (-2 + 4) – (-1/2+ 2 ) ) + ( (25/2 - 10 ) – ( 2 – 4 ) )

= ½+9/2 = 5

10

TDK II (Teorema Nilai Rata-rata Integral) Jika fungsi f kontinu pada [a,b], dan x sebuah (variabel) titik dalam

[a,b], maka

Secara umum

dan)('))(()()(

xuxufdttfDxu

a

x

)()( xfdttfDx

a

x

)('))(()('))(()()(

)(

xuxufxvxvfdttfDxv

xu

x

Contoh Tentukan nilai rata-rata fungsi pada selang [0,2]Jawab : Misal du = 4x dx.

Bila x=0 x=2

Sehingga rata-rata :

12)( 2 xxxf12 2 xu

11)0(2 2 u91)2(2 2 u

4

26

4

1

4

27|

4

1

4

112 9

1

9

1

9

1

2 uuduudxxx

11

Menghitung Luas Daerah

1. Misalkan daerah dan sumbu X bxaxxfy ,,0)(

f(x)

Dx

Luas D dihampiri oleh jumlah luas persegi panjang. Dengan mengambil limitnya diperoleh:

b

a

dxxf )(Luas D =

2. Misalkan daerah dan sumbu X bxaxxfy ,,0)(

Luas D = b

a

dxxf )(x

12

3. Misalkan grafik dungsi dinyatakan dalam peubah y, yakni dan sumbu Y 0)( yvx

b

a

dxyv )(Luas D =

4. Misalkan grafik dungsi dinyatakan dalam peubah y, yakni dan sumbu Y

Luas D =

0)( yvx

b

a

dxyv )(

Contoh :Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh dan sumbu X,Pada selang [-2,0] untuk dan pada selang [0,3] untuk

xxxxf 6)( 23 0)( xf 0)( xf

Jawab :

0

2

3

0

)()( dxxfdxxfL

30

234

02

234

|334

|334

xxx

xxx

0

2

3

0

2323 )6()6( dxxxxdxxxx

12

253

4

63

3

16

13

5. Misalkan suatu daerah dibatasi oleh 2 buah grafik fungsi,

a. Dibatasi oleh grafik y=f(x), y=g(x), x=a dan x=b

Luas D= b

a

dxxgxh ))()((

)()( xgxf untuk ],[ bax

14

b. Dibatasi oleh grafik x=w(y), x=v(y), y=c dan y=d )()( yvyw untuk ],[ dcy

d

c

dyygyh ))()((Luas D=

Contoh :Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh dan 4xy

Jawab :

6

12524

3

2

2

dxxxL

15

22 xy

16

Volume Benda Putar

Metoda Cakram axyxfy ,0),(a. Daerah dan x=b diputar terhadap sumbu x

Benda putar

Daerah D

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas diputarterhadap sumbu x akan diperoleh suatu cakram lingkaran dengan tebal dan jari-jari f(x).sehingga

xxfV )(2

b

a

dxxfV 2)(

17

Daerah D

c

d

b. Daerah dan y=d diputar terhadap sumbu xcyxywx ,0),(

Benda putar

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi g(y) dan alas diputarterhadap sumbu y akan diperoleh suatucakram lingkaran dengan tebal danJari-jari g(y).

sehingga

yywV )(2

d

c

dyywV 2)(

18

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu x

2xy

2xy

2x

2x

Jika irisan diputar terhadap sumbu x akan diperoleh cakram dengan jari-jari dan tebal 2x x

Sehingga

xxxxV 422 )( Volume benda putar

2

0

20

54

5

32|

5 xdxxV

19

bx

Metoda Kulit Tabung

Diketahui dan

f(x)

a b

D

Jika D diputar terhadap sumbu y diperoleh benda putar

Daerah D

Benda putar

axyxfy ,0),(

Jika irisan berbentuk persegi panjangdengan tinggi f(x) dan alas serta berjarakx dari sumbu y diputar terhadap sumbu y akan diperoleh suatu kulit tabung dengan tinggi f(x), jari-jari x, dan tebal

x

x

sehingga

xxfxV )(2

b

a

dxxxfV )(2

20

Contoh: Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah D yang dibatasi oleh , sumbu x, dan garis x=2 diputar terhadap sumbu y

2xy

2xy

x 2

2x

D

x

Jika irisan dengan tinggi ,tebal dan berjarak x dari sumbu y diputar terhadapsumbu y akan diperoleh kulit tabung dengan tinggi , tebal dan jari-jari x

2x

2x x

Sehingga

xxxxxV 32 22

Volume benda putar

2

0

20

43 8|2

2 xdxxV

x

21

Panjang KurvaPersamaan parameter kurva dibidang x = f(t), y = g(t) bta ,Definisi : Suatu kurva dalam bentuk parameter seperti diatas disebut mulus jika

(i) 'f 'gdan Ada dan kontinu pada selang[a,b]

(ii) 'f 'gdan tidak secara bersamaan bernilai nol pada selang(a,b)

a. Jika persamaan kurva y=f(x), bxa

dttgtfLb

a 22 )]('[)]('[ dt

dt

dy

dt

dxb

a 22 ][][

dttgtfLd

c 22 )]('[)]('[

dxxfdtdx

dy

dt

dx b

a

b

a

2'2

2 )(1)1()(

b. Jika persamaan kurva x=g(y), dyc

dtdt

dy

dt

dxd

c 22 ][][

dyxfdtdy

dx

dt

dy d

c

d

c

2'

2

2 )(11)(

c. Jika persamaan kurva x=f(t), y=g(t) dan

dttgtfLb

a 22 )]('[)]('[

bta

22

Contoh :2/32xy antara x =1/3 dan x=7

Jawab :2/13x

dx

dy

7

3/1

7

3/1

22/1 9131 dxxdxxL duu7

3/1

2/191

31

5.1317

3/1

5.1

91 37)8512(|

5.1

)91(

x

dxdu

xu

9

91

Thank You !