INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS

INTEGRAL KOMPLEKS

Andaikan t adalah variable real.

F(t) fungsi bernilai complex dari variabel real dan ditulisF(t) = u(t) + i v(t)

dengan u, v fungsi real dari variabel real t.

Definisi:Untuk fungsi bernilai kompleks dari variabel real F(t) = u(t) + iv(t) dengan a ≤ t ≤ b didefiniskan.

b

aF(t)dt

b

au(t)dt

b

av(t)dti

b

a

b

a

dttFdttF ))(Re()(Re1.

2.

3.

4.

5.

b

a

b

a

dttFdttF ))(Im()(Im

b

a

b

a

dttFkdttkF )()( , dimana k sembarang konstanta kompleks

b

a

b

a

dttFdttF )()( , dimana a ≤ b

a

b

b

a

dttFdttF )()(

Sifat-sifat:

Lintasang(t) dan h(t) bernilai nol dan kontinu di titik

Untuk satu nilai t, (x, y) = (g(t)), h(t)) menyatakan satu titik pada bidang z. Suatu kurva himpunan titik z=x+iy dengan x = g(t), y = h(t) masing-masing fungsi real dan konstanta dari variabel real t

iyxz dan h(t))(g(t),y)(x,h(t)y

g(t)x

ba,

ba,

(g(a), h(a)) adalah titik awal(g(b), h(b)) adalah titik akhirJika t1 ≠ t2 sehingga (g(t1), h(t1)) tidak berimpit dengan (g(t2), h(t2)).(g(a), h(a)) dan (g(b), h(b)) berimpit maka akan membentuk kurva tertutup.

Tidak boleh karena kurva tidak tunggal

Tertutup tidak tunggal

Tertutup tunggal

Kurva C: ,dimana a≤t≤b.g’(t) dan h’(t) ada dan kontinu di untuk t , g’ dan h’ tidak bersama-sama nol maka C disebut kurva mulus

Kurva C merupakan rangkaian kurva mulus C1, C2, C3, . . ., Cntitik akhir Cj berimpit dengan titik awal Cj+1 untuk j = 1, 2, . . .,n–1. Maka C disebut lintasan

h(t) ig(t)z ba,

ba,

C = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C1

Jika titik awal C1 berimpit dengan titik Cn ,maka C lintasan tertutup.

Lintasan tertutup tunggal

y)dyQ(x,y)dxP(x,y)dyQ(x,y)dxP(x,ccc

c

22 ?dyxyydxx

integral lintasan tertutup

Contoh:

C adalah garis patah yang berawal dari (0, 1) melalui (1, 1)dan berakhir (1, 0)

Jawab:

dyxydxy xdyxydxy xdyxydxy x 2

c

22

c

22

c

2

21

dttdt 0dt 0dt t0

1

20

1

1

0

1

0

2

(1, 1)

C2

C1

(1, 0)

(0, 1)

C = C1 + C2C1: x = t y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1C2: x = 1 y = t dimana 1≥ t ≥ 0

03

t

3

t0

1

31

0

3

Integral lintasan kompleks juga disebut integral kontur kompleks.Fungsi f(z) = u(x, y) + i v(x, y) yang didefinisikan kontinu sepotong-sepotong pada lintasan di bidang kompleks dengan C = {z=x + iy / x = g(t), y = h(t), a ≤ t ≤ b} dengan titik awal α dan titik akhir β berturut-turut berkorespondensi dengan t = α dan t = β.

CCC

y)dyu(x,y)dxv(x,iy)dyv(x,y)dxu(x,f(z)dz

b

a

b

aC

)dtuh'(vg')dtvh'(ug'f(z)dz i

b

aC

(t)dtz' f(z(t))f(z)dz

dapat ditulis dalam integral t yang dinyatakan dengan

Jika z pada C dengan z(t) = x(t) + i y(t) dan x(t) = g(t), y(t) = h(t), a ≤ t ≤ b sehingga dz = z’(t) = dx + i dy

Sifat-sifat

1.

2.

3.

4.

βααβ CC

f(z)dzf(z)dz

CC

f(z)dzkkf(z)dz

C 2C 1C 21 (z)dzf(z)dzfdz (z)f(z)f

21 CCCf(z)dzf(z)dzf(z)dz

, k konstanta

, C = C1 + C2

Contoh:

Hitunglah jika f(z) = y – x + 6ix2 dan lintasan C terdiri atas dua penggal garis dan z = 0 sampai z = i dan z = i sampai z =1+ i.

C f(z)dz

21 CCCf(z)dzf(z)dzf(z)dz

CCC

y)dyu(x,y)dxv(x,iy)dyv(x,y)dxu(x,f(z)dz

1Cf(z)dz

1

0

dt ti1

0

0)0-(t i2

1

1

0

dt t)(1 1

0

2dt6ti 2i2

1

i2

1i2

2

1C dzzf )(

x

C2

y

C1

O

i

2Cf(z)dz

C = C1 + C2C1: x = 0 y = t dimana 0 ≤ t ≤ 1C2: x = t y = 1 dimana 0 ≤ t ≤ 1

i2

1i2

2

1C dzzf )( i

2

12

2

1

Jika C lintasan tertutup tunggal dengan arah positif dan E daerah tertutup yang terdiri atas titik di dalam dan pada C.

P(x, y) dan Q(x, y) fungsi real terdefinisi pada E beserta derivatif-derivatif parsial dari tingkat pertama kontinu pada E maka:

C : arah positif

dydx y

P

x

Qdy y)Q(x,dx y)P(x,

c E

Bukti:C lintasan tertutup tunggal yang mempunyai bentuk garis-garis // sumbu koordinat memotong C di dua titikAkan dibuktikan

c E

dxdyy

PdxyxP ),(

Kurva ABC, y = α1(x)Kurva ADC, y = α2(x)

x

C

y

D

O

B

A

c

d

a b

E

dxdyy

P

b

a

x

xdydx

y

P)(

)(

2

1

α

α

dx (x))αP(x,(x))αP(x,b

a 21

b

adxxxP )(,( 1 dxxxP

b

a )(,( 2 CdxyxP ),(

b

a

xx dxyxP )(

)(2

1),(

E

dxdyy

Q CdyyxQ ),(

Dengan jalan yang sama dapat ditunjukkan

Dengan mengambil Kurva BCD, x = β2(y)

Kurva BAD, x = β1(y)

c

dyyxQdxyxP ),(),( dxdyy

P

x

Q

E

1

dxdyy

P

x

Q

E

2

dxdyy

P

x

Q

E

3

dxdyy

P

x

Q

E

4

Perluasan:

E1

E4

E3

E2

c

dyyxQdxyxP ),(),( dxdyy

P

x

Q

E

1

dxdyy

P

x

Q

E

2

dxdyy

P

x

Q

E

3

dxdyy

P

x

Q

E

4

Catatan,Lintasan yang saling berlawanan meniadakan

Z0

2. Untuk suatu titik Z0 dan sebarang lingkaran C yang berpusat di Z0 yang ditentukan, dan C

berarah positif berlaku

i2C0

z-z

dz

... 3, 2,n ;0 C n

0 )z(z

dz

1.

2.

r Cos θ

r Sin θ

a

b

Z0

Zθ

Bukti: z0 = a + bi

r = jari-jariz dilingkaran z = x + iyx = a + r cos θy = b + r sin θz = z0 + (r cos θ + i r sin θ)

z - z0 = r cos θ + i r sin θ

0

1

zz

)sin r(cos

1

i)sin (cos

r

1 i

dzzz 0

1

2

0

)cos.sin

()sin(cos

drr

rr

2

0

)cos.cos

()sin(sin

drr

rr

i

iidi

202

0

2

0

3. Jika C lingkaran |z| = 1 dengan arah positif dan f(z) = suatu cabang dari z-1+i = e(-1+i) ln z

(| z | > 0, ) 0 < arg z <2π). Hitunglah C f(z)dz

Penyelesaian:

Untuk z pada C berlaku z = eiθ dengan 0 ≤ θ ≤ 2π.

2

0

)('))(( dzzf 2π

0

iθi)1( dθieeC dzzf )(

2π

0 θ

2π

0

θ iedθei

)ei(1 2π

Misal: z – z0 = r eiθ yang dapat dibuat dalam bentuk: z – z0 = r (cos θ + i sin θ) z = z0 + r.eiθ, 0 ≤ θ ≤ 2π

dz = i.r.eiθ dθ

dθ r.e

i.r.e

zz

1 2π

0 iθ

iθ

0

dz

2π

0dθ i

2π 0 iθ

πi2

z – z0 = r eiθ sehingga (z – z0)n = rn einθ

der

iredz

zz inn

i

n

2

00 )(

1

Petunjuk 2

deri nin 2

0

)1(1

TEOREMA CAUCHY

Jika f analitik dan f ’ kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, maka 0)( C dzzf

Contoh:Jika C keliling lingkaran | z | = 2 maka C z

dz

92

sama dengan nol. Buktikan!Bukti:

9

1)( 2 z

zf adalah fungsi yang analitik pada dan di dalam C.

22 )9(

2)('

z

zzf juga kontinu pada dan di dalam C

menurut teorema Cauchy maka 0)( C dzzf

TEOREMA CAUCHY-GOURSAT

Jika f(z) analitik pada D, himpunan titik-titik di lintasan tertutup tunggal C dan titik interiornya maka 0)( C dzzf

Bentuk lain dari Teorema CAUCHY-GOURSATJika f fungsi analitik suatu domain terhubung tunggal D maka untuk setiap lintasan tertutup C yang seluruhnya di dalam D berlaku 0)( C dzzf

Contoh pada hal. 76

TeoremaJika C lintasan tertutup tunggal yang berarah positif dan Cj lintasan tertutup tunggal berarah positif di

dalam interior C, sedemikian sehinggaInt(Cj) ∩ Int(Ck) = Ø untuk j ≠ k (j, k = 1, 2, ..., n) dan

jika f analitik pada daerah D dan didalam C kecuali di dalam daerah Int(Cj), j = 1, 2, ..., nMaka

C dzzf )(

1

)(j

C j dzzfC

Teorema ini dikenal sebagai perluasan teorema C-G (CAUCHY-GOURSAT).

Akibat perluasan teorema CAUCHY-GOURSAT, diberikan lintasan tertutup tungal C1 dan C2 terletak pada Int C.Jika f analitik pada C1 , C2 dan pada daerah diantara mereka maka sebarang lintasan tertutup tunggal C pada Int C1 mengelilingi C2 berlaku:

1

)(C

dzzf 2

)(C

dzzf C dzzf )(

C2

C

C1

Contoh:Buktikan bahwa jika C suatu lintasan tertutup sepanjang bujur sangkar dengan titik sudut

ii2

1

2

1,

2

1

2

1 ,

2

1

2

1, i .

2

1

2

1i dan

dengan arah positif maka C

iz

dzπ2

Penyelesaian:

Dibuat lingkaran γ dengan pusat O jari-jari lebih kecil ½ dengan arah positif

O

γ

x

y

i2

1

2

1

i2

1

2

1

i2

1

2

1

i2

1

2

1

41

Dengan mengambil z0 = 0 dan

R =

Fungsi f(z) = z

1 adalah fungsi analitik kecuali di O, f(z)

analitik di C dan γ daerah diantara kedua lintasan

menurut perluasan Teorema CAUCHY-GOURSAT

C zdz

γπi

z

dz2

γ

πiz

dz2

TeoremaJika fungsi f analitik di suatu titik, maka f mempunyai derivatif dari semua tingkat yang juga analitik dititik itu.

TeoremaJika f di definisikan dan analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah positif dan z0 titik sebarang dalam C sehingga berlaku.

dzzz

zf

izf

00 2

1 )()(

π

Integral Cauchy

TeoremaJika f didefinisikan dan analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C yang berarah positif, maka untuk semua z di dalam fungsi f mempunyai derivatif dari segala tingkat yang juga analitik di dalam C. Untuk setiap n positif bulat nilai turunan f(n)(z) dengan C arah positif berlaku

( ) dzzz

zf

i

nC nò +- 1

0

)(

2

!p

=)( 0zf n

Contoh:Tentukan C

dzzz

z231 ))((

C adalah:

(a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2(b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2

Penyelesaian:

r=2C

O x

y

(a) lingkaran C1 dengan persamaan | z | = 2

C: lingkaran | z | = 2, dengan fungsi f(z) diambil

23)(

z

zzf analitik pada C dan di dalam

4

1untuk zo= 1

ii

fidzzz

zC

2

1

4

2)1(.2

)3)(1( 2

f(zo) =

( ) dzzz

zf

izf

Cò -=

0

0

)(

2

1)(

p

(b) lingkaran C2 dengan persamaan | z – 4 | = 2 C: lingkaran | z – 4 | = 2 dengan f(z) diambil 1

)(

z

zzf

terdefinisi dan analitik di C

z0 = 3 dan f’(3 )4

1

dz

zz

zf

izf

C

20

0

)(

2

!1)('

ii

fidzzz

zC

2

1

4

2)3('.2

)3)(1( 2

4

C

O x

y maka 2)1(

1)('

z

zf

COMPILED BY PRAMUDJONO

MASIH KURANG JELAS ?

Lihat latihan soal 5 hal 55 Untuk memahami kerjakan latihan itu untuk lebih jelas

kerjakan tugas berikut, Minggu Depan (Individu)

1. Hitung, untuk C adalah

a. Busur seperempat lingkaran dengan pusat O dari titik (0, -1) sampai (1,0)

b. Garis patah dari (0, -1) ke (0,0) dan dari (0,0) ke (1,0).

2. Jika C adalah lintasan dari (-1,0) ke (1,0) kemudian mengelilingi lingkaran = 1 dengan arah positif kembali ke (1,0). Tentukan

Tugas 1

C

dzz.

iz 1

C

iz

dz

1

3. Tentukan

dengan C adalah lingkaran =3

4. Tentukan

dengan C adalah =2

5. Tentukan deret Laurent dari

Tugas 1

C

dzziz

}2

23{

z

C zz

dz2)4(

3z

4

.cos

z

iz

TUGAS 2 Minggu Depan (KELOMPOK)1 (satu) Kelompok Maksimum 3 orang, dikumpulkan pada saat kuis