Matematika Teknik 2

27/04/2023 Matematika Teknik 2

Integral Cauchy

Misal fungsi f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup C arah positif, dan adalah titik interior dari C

Misal lintasan C dengan arah positif dinyatakan dengan :

2

27/04/2023 Matematika Teknik 2

Maka :

Integral Cauchy (lanjutan)

3

27/04/2023 Matematika Teknik 2

𝑓 (𝑧 0 )= 12𝜋 𝑖∫𝐶

❑ 𝑓 (𝑧)𝑧−𝑧 0

𝑑𝑧

Rumus integral Cauchy

4

27/04/2023 Matematika Teknik 2

Contoh Soal

1. Hitung dengan C berupa |z|=2 dan berlawanan jarum jam.

2. Jawab :3. Lintasan C berbentuk lingkaran dengan pusat z=0 dan jari-

jari 2. 4. Dan titik merupakan titik interior karena terletak di dalam

lingkaran C.

5

27/04/2023 Matematika Teknik 2

Lanjutan …..

Maka :

6

27/04/2023 Matematika Teknik 2

Lanjutan …..

Jadi,

7

27/04/2023 Matematika Teknik 2

Latihan

1. Hitung nilai integral dari bila dan lintasan C berupa

lingkaran |z|=4 dengan arah positif

2. Hitung nilai integral dari bila dan lintasan C berupa

lingkaran |z - i|=2 dengan arah positif

3. Hitung nilai integral dari bila dan lintasan C berupa

lingkaran |z| = 2 dengan arah positif.

8

27/04/2023 Matematika Teknik 2

RESIDU & KUTUB

• Misal f(z) analitik pada dan adalah titik singular terisolasi dari f(z) , maka fungsi f(z) dapat dideretkan menjadi deret Laurent, yaitu

dimana :

n = 1, 2, 3, …

9

27/04/2023 Matematika Teknik 2

Dan

n = 1, 2, 3, …

Bagian utama dari deret Laurent adalah suku kedua, yaitu :

10

n = 1, 2, 3, …

27/04/2023 Matematika Teknik 2

Dimana

Nilai di atas disebut RESIDU dari f(z) di dinotasikan dengan

11

27/04/2023 Matematika Teknik 2

• Titik singular terisolasi dari bagian utama deret Laurent disebut kutub (pole) order m.

• Bila suku dari bagian utama deret Laurent hanya 1 (m=1) maka titik singular terisolasi disebut kutub (pole) sederhana.

12

27/04/2023 Matematika Teknik 2

CARA MENGHITUNG RESIDU

• KUTUB SEDERHANA

Jika titik singular merupakan kutub sederhana maka fungsi f(z) dapat dituliskan

Maka residu dari f(z) di dapat dinyatakan dengan

=

13

27/04/2023 Matematika Teknik 2

CARA MENGHITUNG RESIDU

• KUTUB ORDER M

Jika titik singular merupakan kutub order mmaka fungsi f(z) dapat dituliskan

Maka residu dari f(z) di dapat dinyatakan dengan

14

27/04/2023 Matematika Teknik 2

LATIHAN

Tentukan residu di titik singular dari fungsiu berikut :

15