Integral Tak Wajar

Integral Tak Wajar

Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlahreiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :

b

a

dxxf )(

a. Batas pengintegralan berhingga

b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]

Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi makaintegral tentu disebut integral tak wajar

Jenis-jenis integral tak wajar

a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga

b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga

a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak HinggaDefinisi :

b

a

b

adxxfdxxf )(lim)(

b

aab

dxxfdxxf )(lim)(

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen

(i)

(ii)

(iii)

c

cdx)x(fdx)x(fdx)x(f

b

cb

c

aadx)x(flimdx)x(flim

cdx)x(f

c

dx)x(f

dx)x(fJika dan konvergen,maka konvergen

Contoh Periksa kekonvergenan ITW

0

212 )x(

dxdxxxe

4

2

)xx(

dx

522a. b. c.

Jawab :

dxxedxxxeb

x

b

4

2

lim4

2

42

1lim

2 be x

ba.

2

1

)12(2

1

2

1lim

bb

Jadi integral tak wajar konvergen ke

b.

bxb

0

)12(2

1lim

1616

2

1

2

1 2

eeelim b

b

Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2

16

2

1 e

0

2)12(lim

0

2)12( b x

dx

x

dxb

12

1

2 5252522 xx

dx

xx

dx

)xx(

dx

1

122 52

lim52

lima

b

ba xx

dx

xx

dx

b

x

ba

x

a1

211

1

211 tan

2

1limtan

2

1lim

1tantan2

1limtan1tan

2

1lim 1

211

2111

b

b

a

a

422

1

242

1

c.

2

2

Jadi integral tak wajar konvergen ke

Soal-soal latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

024 x

dx

0 4 dxxe

1 x

dx

1

2

1

x

dxe x

a. b. c. d.

222 )1( x

dxxe. f.

)162(x

dx

2xe

xdxg.

1722 xx

dxh.

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga

(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang

Jika kontinu pada [a,b) dan maka

)x(flimbx

t

abt

b

a

dx)x(flimdx)x(f

Jika kontinu pada (a,b] dan maka

)x(flimax

b

sas

b

a

dx)x(flimdx)x(f

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan konvergen, sebaliknya dikatakan divergen

(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan

Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan

)(lim xfcx

maka

b

cdxxf

c

adxxf

b

adxxf )()()(

b

sdxxf

t

a csdxxf

ct)(lim)(lim

I II

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajarb

a

dxxf )(

konvergen.

Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar

1

0

dxx

xln

Jawab :

x

xln)x(f Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan

x

xlnlimx 0

maka

1

0

1

0

lnlim

ln

tt

dxx

xdx

x

x

tx

t

1)(ln

2

1lim 2

0

22

0)()(ln0

2

1lim tt

Integral tak wajar divergen

dxx

x

2

01

Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

Jawab

Fungsi diskontinu di x=1 dan x

xxf

1

)( x

xx 1lim1

2

1

1

0

2

0 111dxx

xdxx

xdxx

x

s

tts

dxx

xdxx

x

0

2

11 1lim

1lim

0|1|lnlim1

sss

ss

ssxxdx

x

x

0011|1|lnlim

1lim

Karena

maka integral tak wajar divergen dxx

x

2

0 1

Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan integran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contoh berikut

Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

0 1dxx

x

Jawab :Integral diatas merupakan integral tak wajar karena - batas atas integral tak hingga - integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selang pengintegralan

sehingga

0 1dxx

x

1

0

2

1 2 111dxx

xdxx

xdxx

x

2

2

101 111 limlimlim dxx

xdxx

xdxx

x

btt

s

s

Karena

0|1|lnlim|1|lnlim1

lim1

0011

ssxxdxx

xs

ss

ss

Maka integral tak wajar divergen

0 1dxx

x

Soal-soal latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

1

131

x

dx

1

1dxxxe

1

1 x

dx

1

0 21 x

dxa. b. c. d.

0

22 107xx

dxxe.

1

22 1x

dxx

1

22 1x

dxxf. g.

3

0 ln xx

dxh.

Soal-soal latihan

Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

1

131

x

dx

1

1dxxxe

1

1 x

dx

1

0 21 x

dx

g.

b. c. d.

0

22 107xx

dxxe.

1

22 1x

dxx

1

22 1x

dxx

f.

a.

3

0 ln xx

dxh.