mater i stat is tika

BAB I STATISTIKA

1.1. PENGERTIAN STATISTIKAStatistika adalah salah satu cabang matematika terapan yang muncul dan berkembang sejak abad ke-19. Statistika mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian, analisa data dan pengambilan kesimpulan dari sifat – sifat data oleh karena itu satatistika sangat dalam berbagai bidang baik dalam kepemerintahan maupun swasta. Statistika selalu berkembang dengan data, tanpa data kita tidak dapat membuat statistika.A. SAMPEL

Adalah bagian dari obyek yang akan diamati dan diambil datanya guan pembuatan statistika.Sampel random adalah pemilihan sample yang dilakukan secara acak, sedemikian sehingga setiap unsur mempunyai peluang yang sama untuk dapat dipilih sebagai objek pengamatan.Sampel tak random adalah pemilihan sampel yang dilakukan tidak secara acak, sedemikian sehingga terdapat unsur yang dengan sengaja dipilih untuk dijadikan obyek pengamatan.

B. POPULASIPopulasi adalah keseluruhan dari obyek yang akan diambil datanya.

1.2. CARA – CARA MENGUMPULKAN DATAAda beberapa cara untuk mengumpulkan data yaitu :A. DENGAN WAWANCARA ( INTERVIEW )B. DENGAN KULSIONERMacam – macam data :A. Data primer adalah data asli yang diperoleh sendiri secara langsung

(wawancara)B. Data sekunder adalah data yang diperoleh dari data yang telah

dikumpulkan pihak lain.

1.3. CARA MENYUSUN DATA A. PIKTOGRAM

Pada diagram ini, data statistika disajikan menggunakan lambang atau gambar yang menunjukkan karakteristik data tersebut.ContohJumlah peserta UAN SMA sekabupaten Sumbang tahun 1995/1996 tercatat sebagai berikut :SMA KALIJATI : 320 siswaSMA KOTA WARINGIN : 90 siswaSMA MUHAMADDIYAH : 280 siswaSMA NEGERI : 320 siswaSMA PGRI : 315 siswaSMA SUKAMANDI : 180 siswaSMA BINAPUTRA : 180 siswaSMA ASSYFA : 30 siswa

JUMLAH PESERTA UAN SMA KABUPATEN SUMBANG 1995/1996

SMA KALIJATISMA KOTA WARINGIN SMA MUHAMADDIYAHSMA NEGERISMA PGRISMA SUKAMANDISMA BINAPUTRASMA ASSYFA

☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺

Keterangan : ☺25 siswa

B. DIAGRAM LINGKARANLingkaran dibagi menjadi juring – juring lingkaran dengan luas atau besar sudut pusat sebanding dengan data.Sebelum membuat lingkaran buatlah table perhitungan berikut untuk membantu menentukan besar sudut dan presentase dari setiap dataContoh

DEVELOPERRUMAH

SEDERHANA DIBANGUN

BESAR SUDUT JURING LING.

PERSENTASE

A 25 X3600= 750 X100%=20,83%

B 40 X3600=1200 X 100%=33,33%

C 10 X3600= 300 X100%= 8,33%

D 5 X3600= 150 X100%= 4,17%

E 40 X3600= 1200 X100%=33,33%

JUMLAH ∑f = 120 3600 100%

Jumlah persentase adalah 99,99% ini dikarnakan dijadikan pembulatan sehingga persentase tetap ditulis 100%.Diagram lingkaran sebagai berikut :

C. DIAGRAM BATANGDiagram batang biasanya disusun secara vertical, waktu ( dalam Tahun ) diletakkan pada sumbu horizontal dan jumlah ( frekuensi diletakkan pada sumbu vertical ).

21%

34%8%

4%

33%

0

5

10

15

20

25

30

35

40

1 2 3 4 5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5

D. DIAGRAM GARISCara menggambar diagram garis, hampir sama dengan menggambar diagram batang, hanya saja batang – batang tersebut dinyatakan dengan titik yang selanjutnya dihubungkan satu dengan yang lain.

E. DIAGRAM BATANG DAUN Diagram batang daun memberikan cara penyajian data cacahan yang nyaman.

CONTOH :Data berikut adalah data berat badan 20 siswa per kg.27 30 41 56 29 32 46 52 36 4531 41 53 54 48 37 35 43 46 57

BATANG DAUN 2 7 ARTINYA 272345

7 9 ( 2 ) 0 1 2 5 6 7 ( 6 )1 1 3 5 6 6 8 ( 7 )2 3 4 6 7 ( 5 )

F. HISTOGRAM DAN POLIGON FREKUENSIHistogram dan polygon frekuensi adalah dua grafik yang menggambarkan distribusi frekuensi ( pengelompokan data yang disajikan dalam suatu table).Histogram terdiri dari persegi panjang yang alasnya merupan panjang kelas interval, sedang tingginya sama dengan frekuensi masing-masing kelas interval.Poligon frekuensi adalah suatu garis patah-patah yang ditarik dari tititk titik tengah ujung batang histogram yang berurutan.

CONTOH :

Daftar distribusi frekuensi nilai ulangan matematika dari 40 siswa

Nilai ulangan Titik tengah Xi

FrekuensiFi

65 – 69 67 770 - 74 72 975 - 79 77 1280 - 84 82 785 - 89 87 490 - 94 92 1

total 40

Histogram Poligon frekuensi

G. Poligon frekuensi komulatif kurang dari dan ogif positip

Nilai ulangan

Titik tengahXi

Frekuensifi

Frekuensi kumuklatifkurang dari

65 - 69 67 7 770 - 74 72 9 1675 - 79 77 12 2880 - 84 82 7 3585 - 89 87 4 3990 - 94 92 1 40

Poligon komulatif kurang dari Ogif Positif

H. Poligon frekuensi komulatif lebih dari dan ogif negatip

Nilai ulangan

Titik tengahXi

Frekuensifi

Frekuensi komulatip lebih dari

65 - 69 67 7 4070 - 74 72 9 3375 - 79 77 12 2480 - 84 82 7 1285 - 89 87 4 590 - 94 92 1 1

Poligon komulatif lebih dari Ogif negatif

I. Merubah tabek distribusi frekuensi tunggal ke dalam bentuk tabel distribusi frekuensi berkelompok. Jika N menyatakan banyak data, k menyatakan banyak kelas interval dan J menyatakan jangkauan data , C menyatakan lebar kelas. Maka ;

k = 1 + 3,3 log NJ/R = data terbesar – data terkecilC = J / k

Latihan 1

1. Banyak rumah tinggal yang dibangun oleh perumnas disuatu daerah dalam periode 2000 – 2004 adlah sebagai berikut :

tahun 2000 2001 2002 2003 2004Banyak rumah 2400 3100 4300 5200 6100

Salin data diatas dalam pictogram

2. Data alumni tiga angkatan suatu SMA yang telah bekerja di berbagai bidang . ditunujukkan pada table berikut :

Jenis pekerjaan Banyak alumniPegawai KUD 10 %Staf tata usaha 40 %

Pramuniaga 20 %Jasa perpajakkan 5 %

Wirausaha 20 %Lain-lain 5 %

Jika jumlah alumni SMA tersebut 1040 orang . salin data diatas dalam diagram lingkaran.

3. Tabel dibawah ini menunjukkan keadaan siswa suatu sekolah :

Kelas 1 2 3Perempuan 45 50 30Laki-laki 35 30 50

Gambarlah data table diatas menggunakan diagram batang bersusun.

4. table dibawah ini menunjukkan nilai ulangan matematika sejumlah siswa

Nilai2 3 4 5 6 7 8 9

Jumlah siswa

4 6 4 8 11 9 5 3

5. berat badan seorang bayi mulai dilahirkan sampai berumur 1 tahun adalah sebagai berikut :Nama (bulan

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Berat(kg) 2,9 3,1 3,5 3,9 4,3 4,8 5,1 5,3 6,0 5,7 6,4 8 7,5

6. Buatlah diagram batang daun data yang menyatakan tinggi badan 20 siswa kelas XI dalam satuan sentimeter

162 157 163 155 156 157 160 163158 160 159 158 161 162 161 155156 157 159 154

7. Hasil nilai tes matematika kelas XI sebagai berikut :

90 87 67 76 81 70 75 48 68 6666 72 84 77 89 73 65 78 49 7261 75 57 51 93 64 86 61 58 5484 68 90 56 59 80 84 78 75 49

a. Sajikan data tersebut dalam table distribusi frekuensib. Sajikan histogram dan poligon frekuensic. Ogif positif dan ogif negative

8. Diberikan data berikut :

94 85 78 69 65 53 45 29 34 48 56 6570 79 87 94 95 88 80 72 65 58 50 3592 84 76 67 64 52 45 25 24 40 52 60 65 75 94 92 89 82 75 65 60 51 40 20

a. Sajikan data tersebut dalam tabel diatribusi frekuensi b. Sajikan indek histogram dan polygon frekuensic. Ogif positif dan ogif negative

1.4. UKURAN DATA

1.4.1 Ukuran Pemusatan Data A. Rataan ( Mean ) Rataan adalah jumlah semua data dibagi banyaknya data dan dilambangkan

dengan 1. Untuk data tunggal X , X , X ,……..X , Rumus rataan dapat ditulis :

=

2. Untuk data dalam distribusi frekuensi , Rumus rataan dapat ditulis :

=

3. Untuk data tunggal berbobot dengan menggunakan rataan sementara adalah :

= +

Contoh :

1. Diketahui data : 5, 6, 4, 8, 6, 7 Tentukan rataan data tersebut ! Jawab :

Rataan ( ) = = 6

2. Tentukan rataan hitung data berikut :

Skor 3 4 5 6 7 Frekuensi 1 7 3 5 4

Jawab :

Rataan ( ) =

=

3. Tentukan rataan data berkelompok berikut :

INTERVAL FREKUENSI

Skor ( x ) Fi Fi Xi

3 4 5 6 7

1 7 3 5 4

3 28 15 30 28

Jumlah 20 104

20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49

4 8 7 6 3 2

INTERVAL TITIK TENGAH Xi

FREKUENSI Fi

Fi Xi

20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49

22 27 32 37 42 47

4 8 7 6 3 2

88 216 224 222 126 94

Jumlah 30 970 Jawab :

Rataan ( ) =

=

4. Tentukan rataan hitung pada contoh 3 dengan menggunakan rataan sementara !

Jawab : Misal kita pilih rataan sementara ( ) = 32

INTERVAL TTK TENGAH Xi

FREKUENSI Fi

Xi- Fi(Xi- )

20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49

22 27 32 37 42 47

4 8 7 6 3 2

-10 -5 0 5 10 15

-40 -40 0 30 30 30

30 10

Rataan hitung = +

= 32 +

= 32 + 0,3

= 32,3Latihan 2

1. Tentukan rataan pada data berikut :

a. -4, 5, 7, 8, 8, 9

b. 32, 38, 46, 49, 50 c. 4, 7, 3, 6, 4, 7, 8, 9, 5, 4, 3, 6, 8, 9, 7 3, 4, 7, 7, 8, 9, 8, 9, 4, 4, 5, 4, 8, 6, 3 d.

e.

f. f.

g.

2. dengan menggunakan rataan sementara tentukan rataan hitung data berikut : a. b.

3. Dalam suatu kelas terdiri dari 18 putra dan 22 putri, nilai rata-rata matematika yang dicapai adalah 7,2. Jika nilai rata-rata kelompok putra 6,8. Tentukan nilai kelompok putri

4. Nilai dari rata – rata ujian MTK dari 39 orang adalah 6,40. jika nilai yogo yang mengikuti ujian susulan di gabung maka rata – ratanya menjadi 6,44.tentukan besar nilai yogo

5. Pendapatan rata – rata karyawan suatu perusahan setiap bulannya Rp.600.000 jika pendapatan rata – rata karyawan putra per bulan Rp.625.000 dan pendapatan rata – rata karyawan putri per bulan Rp.585.000. tentukan perbandingan jumlah karyawan putra dengan putri

6. Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram berikut, dan tentukan rataan berat badan tersebut

Skor 4 5 6 7 8 9Frekuensi 6 8 13 9 7 2

Nilai 53 55 62 74 77 80Frekuensi 2 6 19 11 7 5

INTERVAL FREKUENSI 1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

13 15 9 11 8 16 20 8

NILAI FREKUENSI 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

1 3 15 10 7 4

NILAI FREKUENSI 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

4 9 12 8 5 2

NILAI FREKUENSI 65 67 74 78 82 87

4 9 10 8 5 4

B. MEDIANMedian adalah nilai tengah data setelah diurutkan.

Jika n adalah bilangan genap maka median

Jika n adalah bilangan ganjil maka median

Median suatu data dalam distribusi frekuensi data berkelompok da[pat ditentukan dengan rumus berikut

Keterangan : Me = median L = tepi bawah kelas median n = banyak data fk = frekuensi frekuensi sebelum kelas median fm = frekuensi kelas median p = panjang kelas interval

Contoh1. tentukan median data berikut

a. 5, 7, 4, 9, 8, 9, 6Jawab ; 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9Jadi median ada pada data ke 4 yaitu 7

b. 1, 9, 8, 1, 2, 3, 3, 6, 7, 8, 3, 6Jawab

N = 12 maka

1, 1, 2, 3, 3, 3, 6, 6, 7, 8, 8, 9

Jadi median

c. X 1 2 3 4 5 6 7 8y 4 6 8 2 3 12 5 10

Jawab; N = 50. maka median 2. Skor frekuwensi

10-14 615-19 920-24 1225-29 1530-34 635-39 3

Jawab: letak median = ½ n = ½ 50 = 25 Kelas median ; 20 – 24

L : 20 – 0.5 = 19.5 Fk : 6 + 9 = 15

Fm: 12P : 5

Latihan 3Tentukan median dari data pada soal-soal berikiut .

1. a. 9 8 6 1 4 9 8 9 7b.43 57 61 42 46 51 63 37 48 53

2. a.X 3 4 5 6 7 8 9y 14 9 10 2 156 11 8

b. X 20 23 27 31 45 49y 2 5 7 3 6 2

3 4

INTERVAL FREKUENSI2.5-2.9 53.0-3.4 173.5-3.9 184.0-4.4 104.5-4.9 75.0-5.4 3

5. 6.

NILAI FREKUENSI 41-50 351-60 761-70 1471-80 781-90 591-100 4

C. MODUSModus adalah nilai yang paling sering muncul. Modus suatu data dalam distribusi frekuensi data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut :

DimanaMo = ModusL = Tepi bawah kelas modusd1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas

sebelumnyad2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas

sesudahnyaP = Panjang kelas interval

ContohTentukan modus data berikut

JawabKelas modus = 57-63L = 57 - 0.5 = 56.5d1 = 21 - 15 = 6d2 = 21 - 13 = 8P = 7

Latihan 4Tentukan modus data pada soal berikut

1. a. 2 4 3 4 5 4 3 2 3b. 6 7 5 4 3 1

2.

3.

4.

NILAI FREKUENSI36-42 943-49 1350-56 1557-63 2164-70 1371-77 1178-84 585-91 3

NILAI 50 60 70 80 90 100FREKUENSI 7 13 19 11 4 2

INTERVAL FREKUENSI33-38 839-44 1045-50 1451-56 1657-62 2063-68 1569-74 1075-80 7

TINGGI F2.1-2.7 152.8-3.4 203.5-4.1 304.2-4.8 254.9-5.5 10

5. 6.

.

1.4.2. UKURAN LETAK DATAA. KUARTIL

Kuartil membagi ukuran berurutan menjadi empat bagian yang sama banyak. Tergambar seperti berikut

Q1 = Kuartil pertama atau Kuartil bawahQ2 = Kuartil kedua atau medianQ3 = Kuartil ketiga atau Kuartil atas

Contoh1. 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Q1 Q2 Q3

2. 4 4 4 5 5 6 7 8 8 9 10Q1 Q2 Q3

3. 2 3 3 4 7 8 9 10 Q1 Q2 Q3

4.

Kuartil suatu data dalam distribusi frekuensi data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut :

X F56789

4379225

Dimana i = 1 , 2 , 3Qi = Kuartil ke-iLQi = Tepi bawah kelas Qin = banyak dataFkQi = frekuensi kumulatif sebelum kelas Qi

FQi = frekuensi kelas Qi

p = panjang kelas interval

ContohTentukan Kuartil pertama, kedua dan ketiga

Kelas Q1 = ¼ .100 = 25 =>[46-50]Kelas Q2 = ½ .100 = 50 =>[56-60]Kelas Q3 = ¾ .100 = 75 =>[61-65]Kasih rumus

B. DIAGRAM KOTAK GARISDiagram kotak garis adalah bentuk visual dari statistic lima serangkai

Q1 Q2 Q3

. . . . .Xmin Xmaks

1 3,5 8 12,5 201 3 4 8 8 10 12 13 20

Q1 Q2 Q3

C. DESILDesil membagi ukuran berurutan menjadi sepuluh bagian yang sama banyaknya.

. . . . . . . . . . .Xmin D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 Xmaks

Desil suatu data dalam distribusi frekuensi data berkelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut :

Dimana : i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9Di = Desil ke-iLDi = Tepi bawah kelas Di

n = Banyak datafkDi = frekuensi kumulatif sebelum kelas Di

fDi = frekuensi kelas Di

p = Panjang kelas frekuensi

NILAI FREKUENSI41-4546-5051-5556-6061-6566-7071-7576-80

12151723131064

100

ContohTentukan D2 dan D7 dari data distribusi frekuensi

Latihan 5

1. Tentukan kuartil pertama, kedua dan ketiga data berikuta. 4 7 8 4 7 5 6 4 9 8 9b. 12 24 20 27 31 45 47 32 25 23c.

d.

2. Tentukan kuartil pertama, kedua, ketiga, D4 dan D7

a.

b.

3. Tentukan kuartil pertama dan D8

Nilai f21-2627-3233-3839-4445-5051-5657-6263-68

71015201614108100

Nilai 4 5 6 7 8 9Frekuensi 3 6 10 10 7 4

Skor 2 4 6 8 10 12 14Frekunsi 4 3 6 5 2 3 2

Interval F1-5 36-10 711-15 916-20 521-25 826-30 631-35 2

Skor F10-16 517-23 2024-30 831-37 2538-44 3045-51 12

4. Tentukan Q3 dan D6

5. Tentukan Q1, D3 dan D9 dari data yang ditanyakan dalam polygon frekuensi berikut

UKURAN PENYEBARAN

a. RENTANG Rentang disebut juga jangkauan atau range. Nilai rentang ditentukan dengan mengurangi nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil

R = Xmaks - Xmin

b. SIMPANGAN KUARTILSimpangan kuartil disebut jangkauan semi inter kuartil. Simpangan kuartil adalah setengah dari selisih antara kuartil atas dan kuartil bawah

c. RAGAM ( VARIANS )jika diketahui data X1, X2, X3, …, Xn maka ragam ( R ) di rumuskan

Atau

d. SIMPANGAN BAKU ( Deviasi Standar )jika diketahui data X1, X2, X3, …, Xn maka simpangan baku ( S ) dirumuskan sebagai berikut

Contoh1. Diketahui data :1, 6, 6, 8, 2, 4, 9, 4, 5

Tentukan a. Rentang b. SIMPANGAN KUARTILc. RAGAM ( VARIANS )d. SIMPANGAN BAKU ( Deviasi Standar )

Qd = ½ ( Q3 – Q1 )

R = ∑ ( X i – X ) n

R = ∑fi ( Xi – X ) 2 N

JawabData terurut urut : 1 2 4 4 5 6 6 8 9

↓ ↓ ↓Q1 = 3 Q2 = 5 Q3 = 7,5

X = 1+2+4+4+6+6+8+9 = 59

a. RENTANG = Xmaks - Xmin

= 9 – 1 = 8b. SIMPANGAN KUARTIL

= ½ ( Q3 - Q1 )= ½ ( 7,5 - 3 )= ½ ( 4,5 )= 2,25

c. RAGAM ( VARIANS )= ∑ ( X1 – X ) 2

n= ( 1-5 )2( 2-5 )2( 4-5 )2( 4-5 )2( 5-5 )2( 6-5 )2( 6-5 )2( 8-5 )2

= 16 + 9 + 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 9 + 169

= 54 = 6 9

d. SIMPANGAN BAKU ( Deviasi Standar )

2. Diketahui data Tentukan simpangan baku atau deviasi standar

Jawab :x f x.f f. 2 8 16 2,25 183 6 18 0,25 1,54 5 20 0,25 1,255 2 10 2,25 4,56 4 24 6,25 25

25 88 50,25

= ……..

3. Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut :nilai frekuensi26-30 131-35 436-40 841-45 1046-50 951-55 656-60 2

Jawab :

x 2 3 4 5 6 f 8 6 5 2 4

nilai fi xi fi xi fi

26-30 1 28 28 -16 256 25631-35 4 33 132 -11 121 48436-40 8 38 304 -6 36 28841-45 10 43 430 -1 1 1046-50 9 48 432 4 16 14451-55 6 53 318 9 81 48656-60 2 58 116 14 196 392

40 1760 2060

Rataan

Ragam (R) =

Simpangan baku ( S ) =

Latihan 6

1. Tetukan rentang, simpangan kuartil dan simpangan baku data berikut a.. 5, 8, 5, 6, 4, 9, 3, 8b. 0, 35, 41, 40, 23, 17, 10

2. Tentukan ragam dan simpangan baku dari data berikut :a.

b.

3. Tentukan simpangan kuartil dari data berikut :a. xi fi b. interval frekuensi

25 6 1-5 326 10 6-10 427 17 11-15 1128 13 16-20 429 14 21-25 8

26-30 531-35 5

4. Tentukan ragam dan simp. bakua. x 56 57 58 59 60

f 5 7 8 3 7b. interval 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

f 3 11 15 16 3 2

c. interval 51-60 61-70 71-80 81-9091-100

f 6 8 12 10 4

5. Tentukan simpanga baku data yang disajikan dalam histogram dibawah ini.

nilai 3 4 5 6 7 8frekuensi 5 8 12 17 11 7

x 2 3 4 5f 4 6 2 8

Latihan Ulangan

1.Nilai ulangan mata pelajaran 15 siswa adalah 5, 6, 7, 9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 7, 4, 6, 5 median dari data tersebut adalah ….a. 5 b. 6,5 c. 7 d. 7,5 e. 8

2.Nilai rata-rata tes dari sekelompok siswa dan sekelompok siswa berturut-turut adalah 5 dan 7 jika rata-rata nilai di kelas tersebut adalah 6,2 maka perbandingan siswa dan siswi adalah ….a. 2 : 3 b. 3 : 4 c. 3 : 5 d. 2 : 5 e. 4 : 5

3.Hasil pendataan usia dari 12 anak balita ( dalam tahun ) diketahui : 4, 3, 4, 2, 4, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 3 kuartil atas ( Q3) dari data tersebut adalah ….a. 4 b. 3,5 c. 2 d. 1,5 e. 1

4.Dari tabel distribusi di sampinmg mediannya adalah

a . 5 4 , 5c. 57 d. 57,5 e. 58

5.Diagram berikut menunjukkan frekuensi produksi suatu barang yang dihasilkan oleh suatu pabrik selama 12 bulan. Rata-rata produksi barang tiap bulau adalah ….

a. 50 tonb. 38,33 ton

c. 37,5 ton d. 35,83 ton e. 35 ton

6.Dari table distribusi frekuensi berikut ini kuartil bawah (Q1) adalah ….

berat badan

36-45 46-55 56-65 66-75 76-85

frekuensi 5 10 12 7 6a. 50,5 b. 52,5 c. 53,5 d. 54,5 e. 55,5

nilai 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69

frekuensi 4 8 12 10 9 7

7.Dari 10 penyumbang diketahui 4 orang masing-masing menyumbang Rp. 1000.000,00 2 orang masing-masing Rp. 2000.000,00 sedangkan selebihnya msing-masing Rp. 4000.000,00. Rata-rata sumbangan tiap orang adalah ….a. Rp. 1200.000,00 b. Rp. 2400.000,00 c. Rp. 2500.000,00d. Rp. 2600.000,00 e. Rp. 2700.000,00

8.Simpangan kuartil dari data 2, 15, 4, 2, 6, 8, 12, 5, 7 adalah ….a. 3,5 b. 4 c. 5,5 d. 6 e. 6,5

9.Rata-rata pendapatan orang tua/wali 100 siswa SMA yang datanya seperti pada table adalah ….

a . R p . 1 4 0 0 . 0 0 0 , 0 01420.000,00 c. Rp. 1425.000,00d. Rp. 1430.000,00 e. Rp. 1450.000,00

10.Simpangan baku dari data tunggal dari : 3, 6, 4, 7, 5 adalah …a. ½ b. c. d. e.

11.Data di samping menunjukkan besarnya uang saku siswa suatu SMA dalam ribuan rupiah. Modusnya adalah ….

a . R p . 7 4 9 0 , 0 0c. Rp. 7600,00

d. Rp. 7750,00 e. Rp. 7800,00

12.Diagram lingkaran disamping menyatakan jenis Ekstrakurikuler di SMA yang diikuti oelh 500 siswa, banyaknyua siswa yang tidak mengikuti EKStrakurikuler PASKIBRA adalah ….a. 200 b. 250 c. 300d. 350 e. 375

13.Modus dari data histogram di samping adalah ….a. 36,5b. 36,75c. 37,5d. 38e. 38,75

14.Tabel di samping merupakan data hasil

ulangan matematika 100 siswa, maka D4 dari data disamping adalah …a.

68,5 b. 68 c. 67,5 d. 67 e. 66,5

Pendapatan (dlm ratusan) 5-9 10-14 15-19 20-24 frekuensi 10 45 30 15

uang saku 1-3 4-6 7-9

10-12

13-15

frekuensi 13 25 40 10 12

ukuran 50-54

55- 59

60-64 65-69 70-74 75-79 80-85

frekuensi 4 8 14 35 26 10 3

BAB II PELUANG

Kompetensi Dasar : 9 Merumuskan dan menggunakan kaidah pencacahanMenentukan dan menafsirkan peluang kejadian dan ketidakpastian.

1, 2, 3, 4

9.1 Menyusun dan menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah.

Indikator : Siawa dapat menyusun dan menggunakan aturan permutasi.Materi Pokok : Peluang

Kaidah pencacahan ( aturan pengsian tempat )

LANGKAH-LANGKAH

Perhatikan data yang terdiri dari 1, 2, 3, 4 jika angka-angka tersebut akan disusun dua angka dengan urutan yang berbeda dan tidak boleh ada angka yang sama, ada berapakah kemungkinan bilangan terjadi ?Untuk menyelesaikan masalah di atas dilakukan cara sebagai berikut :

1. Dengan diagram pohon

Angka yang tersedia Slot 1 Slot 2 Susunan bilangan

2 --------------- 1,2

1 3 --------------- 1,3

4 --------------- …..

1 --------------- ….

2 3 --------------- ….

4 --------------- ….

1 --------------- ….

3 2 --------------- ….

4 --------------- ….

1 --------------- ….

4 2 --------------- ….

3 --------------- 4,3 …… cara ….. cara ……. Car

Banyak cara menyusun 2 angka tersebut dapat juga ditentukan sebagai berikut : = ……….. x ……….. = …….

Slot 1 Slot 2

Berikut cobalah tentukan banyak cara menyusun angka 1, 2, 3, 4 tersebut jika disusun bilangan terdiri dari tiga angka dan empat angka berbeda. Uraikan seperti uraian di atas kemudian simpulkan hasilnya.

Gunakan kesimpulan kalian untuk meyelesaikan masalah-masalah berikut :

1. Diketahui huruf pada PELUANG.Berapa banyak cara menyusun huruf-huruf tersebut jika :ο Huruf pertama adalah huruf vokal.ο Huruf pertama adalah huruf konsonan.

……. …….

2. Dari lima angk 5, 6, 7, 8, dan 9 angka disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka, berapa banyk bilangan yang terjadi jika :ο Bilangan - bilangan tersebut boleh ada angka yang sama.ο Bilangan – bilangan tersebut tidak boleh ada angka yang sama.

3. Dalam suatu gedung terdapat 8 pintu masuk gedung.Berapa banyak sara seseorang anak dapat memasuki gedung tersebut dan keluar dari gedung tersebut jika :ο Boleh melalui pintu yang samaο Tidak boleh melalui pintu yang sama.

4. Diketahui angka 0, 1, 2, 3, 4, 5 akan disusun bilangan yang terdiri dari 3 angka. Berapa banyak bilangan yang terjadi yang nilainya lebih dari 410.


9.1 Menyusun dan menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemcahan masalah.

Indikator : Siawa dapat menyusun dan menggunakan aturan permutasi dan permutasi siklis

Materi Pokok : PeluangNotasi faktorialPermutasiPermutasi siklis

LANGKAH-LANGKAH

1. Notasi faktorial Perhatikan bentuk perkalian bilangan asli berikuit ini :2 x 1 = 1 x 2 = 2 !3 x 2 x 1 = 1 x 2 x 3 = 3 !4 x 3 x 2 x 1 = 1 x 2 x 3 x 4 = 4 ! dst.Sehingga untuk perkalian bilangan n Asli dapat dijabarkan bentuk perkalian sebagai berikut :n x (n-1) x ( n-…) x (n-…) x ………. x 3 x 2 x 1 = n!atau n ( n – 1 ) = n!

n =

Bukti

n = 2

n = 1 (agar terdefinisi 0! didefinisikan menjadi 1)

Beberapa penerapan faktorial

1. atau

2. atau

3.

4. Ubah dalam bentuk notasi faktorial

5. Hitunglah nilai n

n2 - n - 2 = 0

(n – 2)( n - 1) = 0 n = 2 atau n = -1 ( gunakan yang positif )

jadi n = 2

Untuk lebih memahami tentang notasi faktorial cobalah kalian selesaikan masalah berikut:

1. Hitunglah 5! – 3! Dan (5 – 3)! Apakah 5! – 3! = (5 – 3)!2. Hitunglah 5! + 4! Dan (5 + 4)! Apakah 5! + 4! = (5 + 4)!3. Hitunglah 6! : 2! Dan (6 - 2)! Apakah 6! : 2! = (6 - 2)!4. Hitunglah 6! x 2! Dan (6 x 2)! Apakah 6! x 2! = (6 x 2)!

5. Hitunglah

6. Nyatakan dalan notasi faktorial 5 x 6x 7 x 8x 9 x 10 =

7. Buktikan

8. Tentukan n jika

2. Permutasi

Jika dari 3 huruf A, B, C maka susunan ketiga huruf tersebut yang mungkin jika tidak boleh ada huruf yang sama adalah sebagai berikut :ABC ACB BAC BCA CAB CBA ada …………. Susunan yang berbeda.Jika ada 4 huruf A, B, C, D maka susunan keempat huruf tersebut dengan urutan yang berbeda adalah :

ABCD AC……. AD……. AB……. AC……. AD……BA…… BC……. BD……. BA……. BC……. BD……CA…… CB……. CD……. CA……. CB……. CD……DA…… DB……. DC……. DA……. DB……. DC……Bila kita perhaatikan banyak susunan hruf-huruf yang terjadi dapat dinyatakan sebagai berikut :

3 huruf disusun 3 menjadi 6 = 3 x 2 x 1 = 3P3 =

4 huruf disusun 4 menjadi 24 = 4 x 3 x 2 x 1 = 4P… =

n huruf disusun n menjadi = n(n-1) (n-2) ……… 3 x 2 x 1 =

Jadi Permutasi dan n obyek yang diambil n menjadi = …………

Selanjutnya perhatikan banyak cara menyusun huruf-huruf A, B, C jika disusun dua huruf dengan urutan berbeda sebagi berikut :AB, A…. , B…. , B….. , C….. , C……

Banyak susunan yang terjadi ………….. = …… x ……. = 3P…

Dan untuk 4 huruf A, B, C, D akan disusun 2 huruf berbeda maka susunan huruf yang terjadi adalahA….. A….. A……B….. B….. B……C….. C….. C…… Banyak susunan yang terjadi adalah …. 4P… = D…. D…. D……

Dan jika banyak obyek ada n akan disusun k unsur maka banyak susunan yang

terjadi adalah nP…. =

Dengan menggunakan rumus Permutasi di atas selesaikan masalah-masalah berikut ini.

1. Tentukan nilai daria. 7P5 b. 8P5 c. 5P5 d. 10P4

2. Dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 akan disusun nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka, jika tidak ada angka yang sama, Tentukan banyak cara menyusun No. kendaraan tersebut.

3. Dalam suatu kelas ada 8 orang calon pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, waka, sekretaris, dan bendahara, Tentukan ada berapa cara susunan pengurus kelas tersebut.

4. Dalam suatu lomba menyanyi lagu Daerah Lampung ada 7 peserta yang masuk babak final, akan dipilih juara 1, 2, dan 3, harapan 1, dan 2. Banyak cara meilih juara menyanyi tersebut.

5. Jika (n + 1 ) P3 = nP4 , Tentukan n

Permutasi dengan beberapa objek yang sama

Jika n unsur terdapat k unsur yang sama maka banyaknya permutasi menjadi

Dan jika unsur yang sama lebih dari satu unsur yang sama, maka banyak permutasi

menjadi

Misal huruf-huruf pada kata BEBERAPA Unsur yang sama B = 2, E = 2, dan A = 2

Maka banyaknya permutasi adalah

Dengan memperhatikan cara menentukan banyaknya permutasi dengan beberapa objek yang sama selesaikan masalah berikut ini :

1. Dari angka 081541522336, Tentukan banyaknya permutasi.

2. Dari huruf-huruf pada kata STATISTIKA

3. Dalam rak buku terdapat 3 buku Biologi, 4 buku Fisika, 5 buku Matematika,

tentukan banyaknya permutasi.

Permutasi Siklis

Jika dari n unsur akan disusun secara melingkar maka banyaknya permutasi menjadiP = ( n – 1 ) !Perhatikan gambar berikut : ada 3 siswa A, B, dan C akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar maka posisi duduk ketiga siswa tersebut ada berapa kemungkinan seperti Gb

A A B B C C

B C C B A C C A A B B A

Gb.1 Gb. 2 Gb.3 Gb.4 Gb.5 Gb.6

Pada gb.1 dan gb.2 A sebagai titik tetap maka hanya B dan C yang berputar tempat (permutasi). Jadi P = 2! = ( 3-1)!Pada gb.3 dan gb.4 B sebagai titik tetap maka yang berputar tempat …….. dan ……..Pada gb.1 dan gb.2 A sebagai titik tetap maka yang berputar tempat …….. dan ……..

Selesaikan soal berikut dengan menggunakan permutasi siklis.

1. Dari 6 orang pengurus OSIS akan mengadakan rapat, satu orang sebagai pemimpin dan semua peserta duduk mengelilingi meja. Berapa banyak cara mereka duduk.

2. 8 Orang siswa mengelilingi Api unggun, jika dua orang selalu duduk berdekatan, ada berapa cara mereka duduk mengelilingi api unggun.

3. Ada 3 kelompok,penggemar Matematika 3 siswa, penggemar Bahasa 2 siswa, dan penggemar Kimia 4 siswa, jika ketiga kelompok tersebut duduk mengelilingi sebuah meja dan setiap anggota kelompok tidak boleh terpisah, tentukan banyak cara mereka duduk.


9.1 Menyusun dan menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemcahan masalah.

Indikator : Siawa dapat menyusun dan menggunakan aturan permutasi dan permutasi siklis

Materi Pokok : PeluangKombinasi

LANGKAH-LANGKAH

Jika suatu unsur disusun tanpa membedakan urutan maka susunan tersebut disebut kombinasi. Misal, Dari huruf A, B, C akan disusun 2 huruf tanpa memperhatikan urutan, maka susunan yang terjadi adalah :AB = BA, AC = ….. , …… = ……. Sehingga banyak susunan yang ada …………Demkian juga jika ada 4 unsur A, B, C, D disusun 3 unsur seperti diatas, maka susunan yang terjadi adalah :ABC = BC… = CA… , ABD = BD… = D….. , ACD = AD… = A….. dst.Dari penjabaran tersebut didapat :

3 unsur yang diambil (disusun) 2 unsur = 3 =

4 unsur yang diambil (disusun) 3 unsur = … =

Maka jika ada n unsur akan disusun k unsur, banyak susunanyang terjadi adalah :

Penulisan tersebut dapat ditulis menjadi nCk =

(kombinasi n objek (unsur) yang diambil (disusun) k unsur).Dengan rumus Combinasi tersebut selesaikan soal berikut :

1. Tentukan nilai dari a. 9C1 b. 8C4 c. 12C7 d. 12C9

2. Dari 9 orang calon peserta LCT akan dipilih 3 orang sebagai wakilnya.Tentukan : a. Banyak cara memilih 3 orang tersebut dari 9 orang

b. Jika satu orang sudah pasti ditunjuk ada berapa cara memilih.3. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola berwarna merah dan 4 bola berwarna

putih, akan diambil 2 bola sekaligus, Tentukan berapa cara mengambil bola terbut Jika :a. Yang terambil keduanya berwarna merahb. Yang terambil keduanya berwarna putihc. Yang terambil 1 merah dan 1 putih.

4. Dalam suatu acara Reuni terdapat 40 perserta yang hadir. Tentukan banyaknya salam jabat tangan yang terjadi jika semua peserta berjabat tangan.

5. Dari 10 siswa dan 7 siswi calon Paskibra akan dipilh 2 siswa dan 3 siswi, Tentukan banyak cara memilih.

6. Dalam suatu acara akan dipilih 4 orang sebagai Panitia dari 4 Pria dan 7 Wanita, Bila dalam Panitia tersebut diharuskan paling sedikit dua orang Wanita, maka banyak cara pemilihan tersebut adalah.

7. Tentukan nilai n dari persamaan berikut :a. nC2 = 45 b. (n + 1)c4 = nC3 c. nC3 = 7n


9.2 Menentukan Peluang kejadian dan berbagai situasi dan tafsirannya. Merumuskan dan menggunakanaturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian majemuk.

Materi Pokok : PeluangPeluang suatu kejadian dan komplemenya.

LANGKAH-LANGKAH

Dalam suatu percobaan, kumpulan ( himpunan ) dari semua hasilyang mungkin muncul disebut Ruang Sampel .

Misal : Dalam percobaan melantunkan :a. koin ( mata uang logam )

Hasil yang mungkin : { Angka, Gambar } n (s) = …b. Satu buah dadu

Hasil yang mungkin : { 1, …, …., ….,….., 6 }….. n(s) = ……c. 1 Koin dan 1 Dadu

HaSil yang mungkin : {(1,A),(2,A),(……),(……),(……),(……),(1,G), (2,G),(……),(……),(……),(……) = ….. n(s) =…..

Setiap anaggota ruang sampel disebut Kejadian ( titik sampel )Jika dan setiap percobaan di atas akan ditentukan besar peluang dari setiap kejadian, maka peluangnya dapat ditentukan sebagai berikut :

a. Peluang munculnya Angka : P (A) =

b. Peluang munculn ya Angka genap : P (13) =

c. Peluanmg munculnya Gambar dan Angka genap pada Dadu =

Jadi jika suatu kejadian A terjadi sebanyak n(A) dan seluruh kejadian yang

mungkin mencul dalam suatu percobaan adalah n(s) Maka P(A) = .

Dan untuk peluang kejadian yang bukan A P(A1) =

Dengan menggunakan pemahaman tentang Ruang Sampel, titik sampel dan peluang kejadian di atas cobalah kalian selesaikan persoalan berikut :

1. Dalam pelemparan 2 buah dadu seklaigus sebanyak satu kali, Tentukan :a. Ruang sampel, banyak titik sampelb. Himpunan kejadian muncul mata dadu dengan jumlah 12c. Himpunan kejadian muncul mata dadu dengan jumlah 3 dan 7

2. Dalam pelemparan sebuah uang logam sebanyak 3 kali, Tentukan :a. Ruang sampelb. Himpunan kejadian muncul sisi mata uang 2 angkac. Himpunan kejadian muncul sisi mata uang paling sedikit 1 angka

3. Tentukan peluang kejadian 1c, 2b, dan 2c

4. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih, akan diambil 3 bola sekaligus, Tentukan :a. Ruang sampelb. Himpunan kejadian terambil 3 bola merahc. Himpunan kejadian terambil 3 bola putihd. Himpunan kejadian terambil 2 bola merah dan 1 putihe. Himpunan kejadian terambil 1 bola merah dan 2 putihf. Peluang kejadian b, c,d, e.

5. Sepasang suami istri merencanakan untuk mempunyai 3 orang anak, Tentukan peluang untuk mendapatkan anak :a. 2 anak perempuan dan 1 anak laki-lakib. anak pertama laki-lakic. anak kedua perempuan.

KISARAN NILAI PELUANG

Untuk suatu kejadian yang tidka mempunyai titik sampel atau { }, maka peluang kejadian tersebut adalah 0 ( tidak terjadi ). Sedaangkan untuk kejadian ynag semua titik sampelnya sama dengan R (s), maka peluang kejadiannya adalah1 ( pasti terjadi ), sehingga berkisaaar antara 0 sampai 1 ( 0 P(A) 1 )

Frekuensi Harapan

Bila suatu pecobaan dilakukkan sebanyak n kali, maka frejuensi harapan untu kejadian A (fh A) ditentukan dari P(A) x n.

Misal pada pelantunan ( pelemparan ) mata unag logam sebanyak 100 kali, maka frekuensi harapan munculnya angka adalah :fh ( A ) = P(A) x n

= ½ x 100fh ( A ) = 50Dengan mengunakan fh (A), selesaikan soal berikut :

1. Sebuiah dadu dilempar 600 kali, tetnukan frekuensi harapan

muncul mata dadu <5.

2. Dari percobaan melempar sebuah dadu, muncul mata dadu 4 sebanyak 12 kali.

Tentukan berapa banyk percobaan tersebut dilakukan.

3. Produsen lampu memperkirakan setiap memproduksi 1000 lampu terdapat 7

lampu mati, jika tercatat ada 168 lampu yang mati, Berpapa banyak lampu

yang diproduksi


9.2 Menentukan Peluang kejadian dan berbagai situasi dan tafsirannya. Merumuskan dan menggunakanaturan penjumlahan dan perkalian dalam peluang kejadian majemuk.

Indikator : Sisiwa dapat menetukan peluang dua kejadiana. saling lepasb. saling bebasc. bersyarat

LANGKAH-LANGKAHDua kejadain A dan B pada percobaan melantunkan sebuah dadu sebnayk satu kaliA = kejadian muncul mata dadu prima A = { 2, 3, 5 )B = kejadian muncul mata dadu genap B = { 2, 4, 6 }

Peluang kejadian A B dapat ditentukan sebagai berikut :n( A B ) = n(A) + n(B) – n(A B)

P( A B ) =

=

=

= P(A) + P(B) – P(A B)

Jadi untuk peluang kejadian A dan B sembarang berlaku :

P( A ) + P( B ) – P( A B )

a. Peluang dua kejadian yang saling lepas

Pada kejadian A dan B sembarang jika n( A B) = 0 atau { }, maka kejadian A dan B disebut dua kejadian saling lepasMisal : A. = kejadian muncul mata dadu ganjil { 1, 3, 5 }

B = Kejadian muncul mata dadu genap { 2, 4,, 6 }Sehinggga A dan B saling lepas ( saling asing ) dan berlaku rumus

P( A B ) = P( A ) + P( B )

Dengan memahami dua kejadian saling lepas. Cobalah kalian lengkapi dan tentukan peluangnya.1. Pada pelemparan sebuah dadu satu kali

A.= kejadian muncul mata dadu < 3 A { ………………….} n(A) = ………..

B.= kejadian muncul mata dadu > 4 B { ………………….} n(B) = ……….. A B = …………… maka A dan B kejadian ……………..

Sehingga P( A B ) = ……………………

2. Dalam pelemparan 2 buah dadu 1 kaliA = Kejadian muncul mata dadu dengan jumlah 12B = Kejadian muncul mata dadu dengan jumlah kelipatan 4A = { }B = { }n(A) = …………….. n(B) = …………………..Jadi dua kejadian A dan B Dan P( A B ) = …………………..

3. Pada satu set kartu bridge akan diambil satu kartu secara acak.A = Kejadian terambil kartu 10 n(A) = ………………B = Kejadian terambil kartu 2 n(B) = ……………….P( A B ) = ……………………..

4. Sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih akan diambil 3 kelereng sekaligu secara acak.A = Kejadian terambil 3 putih n(A) = ………….

B = Kejadian terambil 2 putih dan 1 merah n(B) = …………..C = Kejadian terambil 1 putih dan 2 merah n(C) = …………..Peluang kejadian terambil paling sedikit satu putih ……………………P( A B C) = ……………………..

= …………………….. = ……………………..

Jika D = kejadian terambil tidak satupun putihn(D) = ……………….P(D) = ………………..

Bandignkan P( A B C) = 1 –P(D)

Bagaimana hasilnya ?Maka D ( terambil 3 merah ) adalah kejadian ………………………

b. Peluang dua kejadian saling bebas

Jika dua kejadian A dan B terjadi secara bersama, maka dua kejadian tersebut dua kejadian saling lepas.Misal : Pada pelemparan dua buah dadu warna merah dan warna putih.

A = kejadian muncul mata dadu 3 pdaa dadu merahB = Kejadian muncul mata dadu 4 pada dadu putihA = { (3,1), , (3,6) } n(A)

= 6B = { (1,4), , (6,4) } n(B)

= …Karena A dan B saling lepas maka berleku :

P( A B ) = P( A ) x P( B )

Sehingga :

P( A B ) =

= ……….. x ……….. = …………

atau

P( A B ) =

=

= ………

Dengan memahami dua kejadian saling bebas dan peluang dua kejadian saling bebas, lengkapilah dan tentukan peluang dari kejadian berikugan1. Pada pelemparan satu keping uang logam dan sebuah dadu dilempar secara

bersamaan satu kali :A = Kejadian muncul gambar pada uang logamB = Kejadaian muncul mata dadu 5Maka : A = { (1,G), } n(A) =

B = { (5,G), } n(B) = n (s) =

Sehingga : P( A B ) = P( A ) x P( B ) = …… x ………

= …….

2. Pada pelemparan dau buiah dadu yang dilemparkan satu kaliA = Kejadian muncul angka ganjil pada dadu 1B = Kejadaian muncul angka genap pada dadu 2Maka : A = { (1,1),

(3,1), (5,1), }B = { (1,2), (1,4), (1,6), }

A B = { ( ), }n(A) = n(B) = n(s) = n(A B) =

P( A B ) = P( A B ) = P( A ) x P( B )

= ……….. = …… x ……… = ……. = …….

3. Dalam kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Kotak dua berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari tiap kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak.Maka : Bnayak cara mengambil 2 bola merah pada kotak I

Banyak cara mengambil 2 bola biru pada kotak IIn(A) = P(A) = n(B) = P(B) = n(s1) = P(A dan B) = ……………………….. n(s2) = = ……………

c. Peluang dua kejadian bersyarat

Jika suatu kejadian dapat terjadi setelah kejadian lain terjadi, maka kejadian tersebut disebut Kejadian bersyarat.Misal :Dalam suatu kotak terdapat 4 bola merah dan 2 bola biru, akan diambil sebuah bola tidak dikembalikan.kemiduan diambil lagi satu bola yang berati pengambilan kedua terjadi setelah pengambilan pertama terjadi, Jika :A : Kejadian terambil bola merah pertamaB : Kejadian terambil bola merah kedua.Kejadian B dipengaruhi kejadian A, atau B/AA dan B saling bebas.

P( A dan B ) = P(A) x P(B/A) atau P (B/A) =

Dengan memahami konsep kejadian bersyarat dan cara menetukan peluangnya, lengkapilah cara penyelesaian berikut dan tentukan pwluangnya :

1. Dalam sebuah kotak terdapat 3 butior kelereng merah ( m1, m2, m3 ) dan 4 butir kelereng kuning ( k1, k2, k3, k4 ) Daari kotak tersebut akan diambil satu kelereng ( tanpa pengembalian ) kemudian diambil satu butir kelereng. Berapakah :n(s1) = n(m1) = ( m1, m2, m3 ) n(m1) = n(m2) = ( …………) n(m2) = n(s2) =P( m1 m2 ) = P( m1) x P( m2/m1)

=

=

Tentukan pula jika yang terambil keduanya kuning dan jika yang terambil satu merah dan satu kuning.

2. Dari 4 siswa Putra da 2 Putri akan ditentukan 2 orang yang berhak menerima beasiswa, Tentukan pelunag yang ditunjuk keduanya Putri.

3. Dalam satu bok terdapat 3 disket paket Ws, 4 disket Lotus, dan 5 disket Data Base, semua disket tanpa label dan berwarna sama, akan diambil satu disket 2 kali tanpa pengembalian. Berapakah peluang kedua disket :a. Paket pertama dan kedua samab. Paket kedua Data Base.

Latihan Ulangan

1.Seorang ingin melakukan pembicaraan melalui telepon ada 5 pesawat telpon dan 6 nomor sambung yang berbeda. Banyaknya cara melaukuan sambungan pembicaraan yang berbeda adalah ….a. 6 b. 11 c. 30 d. 56 e. 65

2.Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 disusun bilangan (tanpa berulang ) yang terdiri dari 3 angka jika masing-masing bilangan itu lebig dari 430, maka banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah ….a. 126 b. 131 c. 144 d. 149 e. 168

3.Banyaknya susunan huruf yang berbeda yang dapat dibentuk dari huruf “MALAKA” adalah ….a. 24 b. 48 c. 120 d. 360 e. 720

4.Himpunan A terdiri dari 15 anggota banyaknya himpunan bagian darim A yang terdiri dari 3 anggota adalah ….a. 18 b. 45 c. 125 d. 355 e. 455

5.Dikethui kombinasi nC4 = nC3 nilai n adalah ….a. 6 b.7 c. 8 d. 9 e. 10

6.Diketahui =9, maka nilai n adalah ….

a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 127. Jika (n + 3)P3 = (n + 2)P4 untuk n > 0, maka nilai n adalah ….

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

8.Dari 7 tangkai bungan yang berbeda-beda warnanya, akan dibentuk rangkaian bunga yang terdiri dari 3 warna yang berbeda. Banyaknya cara menyususn rangkaian bunga tersebut adalah ….a. 30 b. 35 c. 42 d. 70 e. 210

9.Pengurus suatu oraganisai terdiri dari seorang ketua, seorang wakil, dan seorang bendahara. Banyaknya susuna pengurus yang mungkin terbentuk dari 8 orang calon, dengan syarat tidak ada jabatan rangkap adalah ….a. 336 b. 320 c. 236 d. 56 e. 24

10.Diketahui nC2 = (n +1)C3, maka nilai n adalah …..a. 1 b. 2 c. 4 d. 5 e. 6

11.Sebuah dadu dilempar satu kali, peluang munculnya mata dadu ganjil adalah ….a. 1/6 b. 2/6 c. 3/6 d. 4/6 e. 5/6

12.Sebuah kotak berisi 10 bola yang diberi nomor 1 sampai 10, Dua bola diambil dari kotak itu berulang 90 kali. Frekuensi harapan untuk memperoleh jumlah angka-angak pada bola iotu ganjil adalah ….a. 30 kali b. 40 kali c. 45 kali d. 50 klai e. 60 kali

13.Sebuah dadu dan sekeing uang logam dilempar sekali bersama di atas meja. PEluang munculya mata adadu empat dan gambar pada mata uang logam adalah ….a. 1/24 b. 1/12 c. 1/8 d. 2/3 e. 5/6

14.Seperangakat kartu remi terdiri dari 52 kartu, Jika diambil sebuah kartu secara acak. Peluang terambil kartu As atau kartu berwarna merah adalah ….a. 1/13 b. 11/26 c. 13/26 d. 7/13 e. 15/26

15.Kotak A berisi 4 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Kotak B berisi 6 kelereng merah dan 2 kelereng putih. Dari masing-masing kotak diambil sebuah kelereng, maka peluang terambil kelereng merah dari kotak A dan kelereng putih dari kotak B adalah..a. 1/56 b. 1/7 c. 1/8 d. 4/21 e. 15/26

16.Sebuah kotak berisi 6 bola puith dan 3 bola biru. Jika diambil 3 bola sekaligus secara acak dari kotak itu, peluang terambil 3 bola putih adalah ….a. ¼ b. 5/21 c. 1/3 d. ½ e. 10/17

17.Sebuah kotak berisi 6 bola merah dan 4 bola putih. Dari kotak itu diambil 2 bola secara acak dengan pengembalian. Jika pengamilan dilakukan sebanyak 90 kali, maka frekuensi harapan yang terambil 1 bola merah dan 1 bola putih adalah ….a. 12 kali b. 24 kali c. 45 kali d. 48 kali e. 72 kali

18.Dua dadu dilempar bersama satu kali. Peluang munculnya mata dadu 6 atau 8 adalah ….a. 1/9 b. 1/6 c. 5/18 d. 2/3 e. 5/6

19.Sebuah kotak berisi 5 bola putih dan 4 bola biru, jika diambil 3 bola sekaligus secara acak dari kotak itu, maka peluang terambil 3 bola putih adalah ….a. 1/3 b. 5/12 c. 5/21 d. 3/42 e. 5/42

20.Sebuah kotak A berisi 2 kelreng merah dan 3 kelereng putih, Sebuah kotak B berisi 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih. Dari masing-masing kotak diambil sebuah kelereng, maka peluang yang terambilnya kelereng merah dari kota A dan kelereng putih dari kotak B adalah ….a. 31/40 b. 2/5 c. 3/8 d. 3/20 e. 5/40

BAB III . TRIGONOMETRI

Standar Kompetensi : Memahami dan menggunakan manipulasi aljabar untuk merancang rumus Trigonometri dan menyusun bukti.

Kompetensi Dasar : 10.1 Merancang dan menggunkan rumus dengan dua sudut dalam pemecahan masalalah Trigonometri.

10.2 Merancang rumus Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dan sudut ganda.

Indikator : Siswa dapat membuktikan rumus Trigonometri jumlah dan selisih dua sudut

Materi Pokok : TrigonometriA. Rumus-rumus fungsi Trigonometri untuk jumlah

dan selisiho Rumus Cos ( a b )o Rumus Sin ( a b )o Rumus Tg ( a b )

LANGKLAH-LANGKAH

1. Rumus Cos ( a + b )

Perhatikan gambar berikut :

Pada gb. Adalah lingkaran dengan pusat O (0,0) dan jari-jari r satu-satuan.Titik A, B, C, dan D terletak pada lingkaran sehingga : AOB = a radian, maka Koordinat A ( r Cos a, r Sin a ) BOC = b radian, AOC = AOB + BOC = ……. + ……. , Koord. B (r……. , r……… ) AOD = - b radian,. Koord. D ( r Cos (-b), r………. ) BOD = BOA + AOD = ………. + ………

= …….. , jadi AOC = BOD

Sehingga panjang AC = BD

AC = atauAC2 = ( XC – XA )2 + ( YC – YA )2

= ( r Cos ( a b ) - ……… )2 + ( rSin (a b ) - ………. )2

= r2 Cos2(…….) – 2 r Cos (…..) + 1 + r2Sin2(……)= r2 (Cos2……. + Sin2 (…….) + 1 – 2 rCos(……)= ….(…..) + 1 – 2 Cos ( …… )= 2 – 2 Cos ( ……… )

BD = atauBD2 = ( XD – XB )2 + ( YD – YB )2

= ( r Cos -b ) – r Cos a )2 + ( rSin-b –rSin a)2

= r2 Cos2(-b) …… – 2 r2 Cos…… Cos…… + r2Cos2 + r2 Sin 2 (-b) – 2r2Sin… Sin…. + r2Sin2

= r2 (Cos2……. + Sin2……. + r2 ( Cos2….. + Sin2….) – 2r2Cos…Cos…. – 2Sin….. Sin….= 1(…..) + 1(….) – 2 Cos….. Cos….. + 2Sin…… + Sin ……= 2 – 2 Cos ……. Cos…… + 2Sin……. + Sin…..

Karena AC2 = BD2 maka :

2 – 2 Cos ( a + b ) = 2 –2Cos a Cos b + 2 Sin a Sin b - 2 Cos ( a + b ) = -2 Cos a Cos b + 2 Sin a Sin bJadi Cos (a + b ) = Cos a Cos b – Sin a Sin b

2. Rumus Cos ( a – b )Dari rumus Cos ( a – b ) Jika sudut b diganti dengan (-b) maka menjadi :Cos ( a + (-b) ) = Cos….. Cos……. – Sin ……. Sin…….Jadi Cos (a - b ) = Cos ….. Cos….. + Sin….. Sin……

Penerapan rumus Cos ( a b ) juga berlaku untuk sudut dalam ukkuran derajat dengan menggunakan rumus Cos (a + b ) dan Cos (a - b ) Tentukan nilai fungsi di bawah ini !

1. Cos 75o = Cos ( 45 + 30 )o

= Cos….. Cos…… - Sin……. Sin….. = ……………. - …………..

= ¼ - ¼ = ¼ ( - )2. Cos 15o = Cos ( 45 – 30 )o atau Cos 15o = Cos ( 45 – 30 )o

= == =

3. Cos 1050 = Cos ( 60 + 45 )o = =

4. Cos 135o= Cos ( 90 + 45 )o atau Cos 135o = Cos ( ….. - …… ) = = = =

5. Cos 165o= Cos ( 120 + 45 )o atau Cos 165o = Cos ( …… - …… ) = =

= =

6. Jika diketahui Tg a = 2,4 Tg b = , a dan b sudut lancip.

Tentukan : a. Cos ( a + b ) dan Cos ( a – b ) ( Ingat ! Perbandingan Sin, Cos, Tg )7. Jika usudut a dan b adalah sudut lancip, ao – bo = 30o , Cos ao : Cos bo = 2 : 3 Tenukan sudut a dan b8. Jika a dan b sudut lancip,a + b = 60o dan Cos ao:Cos bo = 1,Tentukan a

dan b

3. Rumus Sin ( a + b )Dari relasi sudut Cos ( 90 - a ) = Sin a, maka untuk

Cos ( 90 – ( a + b) = Sin ( a+ b ) , sehinggaRumus Sin ( a + b ) = …….. Cosb + ……….. Sin b

4. Rumus Sin ( a – b )Dari rumus Sin ( a + b ) jikka sudut b diganti (-b) maka akan didapat :Sin ( a + ( -b ) ) = Sin …….. Cos ……… + Cos ……… Sin ……Jadi Sin ( a – b ) = Sin ….. Cos……. – Cos …… Sin ……….

Dengan menggunakan rumus Sin ( a + b ) dan Sin ( a – b ) Tentukan nilai fungsi berikut 1. Sin 75o = Sin ( 45 + 30)o

= =

2. Sin 15o = Sin ( 45 – 30 )o

==

3. Jika Sin a = dan Sin b = , a dan b sudut lancip, Tentukan :

a. Sin ( a + b ) b. Sin ( a – b )

4. Jika Sin = dan Sin = - , dengan dikuadran II dan dikudran III,

Tentukan : a. Sin ( + ) b. Sin ( - ) c. Cos ( + ) d. Cos ( - )

5. Rumus Tg ( a + b )

Dari rumus Sin ( a + b ) dan Cos ( a + b ), maka

Tangen ( a+ b ) =

=

=

=

Jadi Tg ( a + b ) =

6. Rumus Tg ( a – b )Dari rumus Tg ( a + b ) jika sudut b diganti –b maka menjadi

Tg ( a + (-b) ) =

Jadi Tg ( a – b ) =

Dengan menggunakan rumus Tg ( a + b ) dan Tg ( a – b ), tentukan nilai fungsi berikut :1. Tg 75o 2. Tg 15o

3. Jika Sin a = dan Cos b = , a dan b sudut lancip.

a. Tg ( a + b ) b. Tg ( a - b )

4. Jika Sin a = dan Cos b = , a di kuadran III dan b di kuadran IV, Tentukan :

a. Tg ( a + b ) b. Tg ( a - b )




10.3 Menggunakan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dan sudut ganda.

Indikator : Siswa dapat merancang membuktikan rumus Trigonometri sudut ganda

Materi Pokok : TrigonometriRumus-rumus fungsi Trigonometri untuk sudut ganda

LANGKAH-LANGKAH :

1. Rumus Sin 2a

Dari rumus sin ( a + b ), jika sudut b diganti dengan sudut a, maka didapat : Sin ( a + a ) = Sin a Cos a + Cos a Sin aJadi sin 2a = 2 Sin…… Cos……

2. Rumus Cos 2a

Dari rumus Cos( a + b ), jika sudut b diganti dengan sudut a, maka didapat :Cos ( a + a ) = Cos……. Cos….. – Sin ….. Sin…..

Jadi Cos 2a = Cos2….. – Sin2 (1)Atau jika Sin2a = 1 – Cos2aMaka Cos 2a = Cos2 a – (1 – Cos2a) Cos 2a = 2 Cos2 a - 1 (2)Atau jika Cos2 a = 1 - Sin2 a Maka Cos 2a = Cos2 a - Sin2 a

= ( 1 - Sin2 a ) – Sin a = 1 – 2 ……..

3. Rumus Tg 2aDari rumus Tg ( a + b ), jika sudut b diganti dengan sudut a, maka didapat :

Tg ( a + a ) =

Jadi Tg 2a =

Dengan menggunakan rumus sudut rangakap, coba kalian lengkapi bentuk rumus Trigonometri berikut dan jika mungkin tentukan nilainya :1. Sin 3a = Sin ( 2a + a )

= Sin 2a . Cos a + Cos…..Sin….= ( 2 Sin …Cos…. ) Cos + ( 1 – 2 Sin2 a ) Sin a= 2 Sin …. Cos…..... + ……. – 2 Sin….……= 2 Sin a ( 1 – Sin2 a ) + …… - 2 Sin….……= 2 Sin … - 2 Sin….…… + Sin … - 2 Sin ….……

Jadi Sin 3a = 3 Sin … - 4 Sin.……2. Cos 3a = Cos ( 2a + a )

= Cos 2a . Cos a + Sin…..Sin= ( 2 Cos2 a - 1 ) Cos a - ( 2 Sin …. Cos… ) Sin…..= 2 Cos……. – Cos…. – 2 Sin….…… Cos= 2 Cos……. – Cos…. – 2 ( 1 - Cosa a ) Cos …= 2 Cos……. – Cos…. – 2 Cos … + 2 Cos……= 4 Cos…… - 3 Cos …..

3. Jika Sin a = , Tentukan nilai dari sin 3a ( a di Kuadaran

I )

4. Jka Cos a = , Tentuka nilai dari Cos 3a ( a di Kuadaran I )

5. Jika Sin a = , a sudut lancip, Tentukan :

a. Sin 2a b. Cos 2a c. Tg 2a6. Jika Tg x = p, Tentukan nilai dari ( x di kuadran I ) a. Sin 2x b. Cos 2x c. Tg 2x

7. Jika Cos = , 90o 180o, Tentuka nilai dari :

a. Cos 2 b. Sin 2 c. Tg 2

Rumus-rumus untuk setengah sudut

Dari rumus sudut rangkap dapat diturunkan analog sebagai berikut : 1. Rumus Sin a

Jika Sin 2a = 2 Sin a Cos a, maka Sin a = 2 Sin ½ a Cos ½ a

9. Rumus Cos a

Jika Cos 2 a = Cos2a – Sin2a, maka Cos a = Cos2 ½ a – Sin2 ½ a...........................(1) Cos 2 a = 1 – 2 Sin2 a, maka Cos a = 1 – 2 Sin2 ½ a .......................................(2) Cos 2 a = 2 Cos2 a – 1, maka Cos a = 2 Cos2 ½ a – 1 ....................................(3)

2 Sin a Cos b = Sin (a + b) + Sin (a - b)

Dari (2) didapat 1 – 2 Sin2 ½ a = 1 - Cos a Sin ½ a =

Dari (3) didapat 2 Cos2 ½ a – 1 = 1 + Cos a Cos ½ a =

10. Rumus Tg a

Jika Tg 2a = , maka Tg a =

Dengan menggunakan rumus fungsi trigonometri untuk setengah sudut, Tentukan nilai fungsi trigonometri berikut :1. Nilai dari

a. 2 Sin 15o Cos 15o b. Cos2 22 ½o - Sin2 22 ½o

c. d. Cos 67 ½o

2. Jika diketahui Tg = , sudut lancip, Tentukan nilai dari :

a. Sin ½ b. Cos ½ c. Tg ½

3. Jika , Tentukan niali dari Tg ½




Indikator : Siswa dapat menyatakan perkalian sinus dan Cosinus dalam jumlah atau selisih Sinus dan Cosinus

Materi Pokok : TrigonometriRumus-rumus perkalian Sin dan CosRumus penjumlahan atau perngurangan Sin dan Cos

LANGKAH-LANGKAH

1. Rumus perkalian Sin dan Cos

Dari rumus Sin ( a + b ) = Sin a Cos b + Cos…Sin… dan rumus Sin ( a – b ) = Sin a Cos b - Cos…Sin… + Sin (a + b) + Sin (a - b) = 2 Sin a Cos b

Jika kedua rumus di atas dikurangkan maka akan didapat : Atau 2 Cos a Sin B = ……….. - ………….

Sin (a + b) - Sin (a - b) = 2 Cos… Sin…

2 Cosa Cos a = Cos ( ) + Cos ( )

Dari rumus Cos ( a + b ) = Cos a Cos b - Sin… Sin … dan rumus

Cos ( a + b ) = Cos a Cos b + Sin… Sin … +

Cos (a + b) + Cos (a - b) = 2 Cos … Cos …

Jika kedua rumus dikurangkan maka akan didapat :Cos (a + b) - Cos (a - b) = -2 Sin … Sin …

Dengan menggunakan rumus yang kalian dapat, selesaikan soal berikut :Tentukan nilai fungsi Trigonometri tanpa mengunakan tabel atau kalkulator 1. 2 Sin 75o Cos 15o = Sin ( ) + Sin ( ) = Sin ( ) + Sin ( ) = ….. + …… = …..2. 2Cos 75o Cos 15o = 4 Cos 75o Cos 15o

= 2 . 2 Cos 75o Cos 15o

= 2 ( Cos ………. + Cos ………….) = 2 ( …………. + …………….. ) = 2 ( …… ) = …….3. Nilai dari Cos50o Cos 40o - Sin 70o Cos 10o

4. 2 Cos ( + ) Cos ( ¾ - ) adalah ………..5. Nilai dari 4 Sin 20o Sin 40o Sin 80o

6. Nilai dari 4 Sin 10o Sin 50o Sin 70o

7. Sin2 195o Sin 75o Cos 75o

2.Rumus Penjumlahan dan pengurangan Sinus dan Cosinus

Jika a + b = A dan a – b = B, maka akan didapat :a + b = A a + b = Aa - b = B + a – b = B – 2a = ( A + B ) 2b = (A – B ) a = ½ ( A + B ) b = ½ (A – B )

Dengan menggunakan rumus nilai tersebut msks rumus.Sin ( a + b ) dan Sin ( a – b ) = 2 Sin a Cos b dapat ditulis menjadiSin A + Sin B = 2 Sin ½ (A + B ) Cos ½ (A + B ) Sin A – Sin B = 2 Cos…………. Sin …………..Cos A + Cos B = 2 Cos…………. Cos …………..Cos A - Cos B = -2 Sin…………. Sin …………..

Dengan mengikuti pola rumus di atas cobalah selesaikan soal berikut :1. Sin 75o + Sin 15o = Sin ½ ( 75o + 15o ) Cos ½ ( 75o + 15o ) = 2 Sin ….. Cos…… = 2 ……… = …..2. Cos 75o + Cos 15o 8. Tg 75o - Tg 15o 3. Sin 105o - Sin 15o 9. Tg 105o - Tg 15o 4. Cos 105o + Cos 15o 10. Sin ( + x ) – Sin ( - x )5. Sin 195o + Sin 75o 11. Cos ( ¾ + y ) + Cos ( ¾ - y )6. Tg a + Tg b 12. Cos ( 4x + y ) + Cos ( 4x - y )7. Tg a - Tg b

-2 Sin a Sin b = Cos ( ) - Cos ( )

Latihan Ulangan

1. tan = ….

a. 2- b. ½ + c. d. ½ e.

2. 2sin 112,5o cos 112,5o = ….

a. ½ b. ½ c. -½ d. -½ e.

3. Diketahui sinӨ = 5/13 dan Ө terletak di kuadran II maka …. a. cosӨ = 12/13 b. tanӨ = -5/13 c. cos2Ө = 120/169

d. sin2Ө = -120/169 e. tan2Ө = 169/120

4.

a. sin x – cos x b. sin x + cos x c. sin 2x + cos 2xd. sin 2x – cos 2x e. sin x

5. Jika tan α = p maka tan 4 α = ….

a. 4p(1-5p2) b. c. d. e.

6. Diketahui tan 22,5o = -1, tan 45o = ….

a. 1 b. 1- c. ¼ -½ d. e.

7. 4 cos 5x cos 3x = …a. 2cos 8x cos 2x b. 2cos 4x cos x c. 4cos 4x cos xd. 4cos 8x cos 2x e. 8cos 8x cos x

8. 6sin 112,5o sin22,5o = …

a. b. 3 c. d. e.

9. sin 3x + sin 7x = ….a. 2sin 5x cos(-2x) b. -2cos 5x sin 2x c. 2cos 5x sin 2xd. -2sin 5x cos(-2x) e. 2sin 5x cos 2x

10. Nilai dari cos 15o – sin 15o = nilai dari ….a. 0 b. cos 60o c. - cos 60o d. cos45o e. -

cos45o

11. tan 15o + tan 75o = ….a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

12. cos (x – y ) sin (x + y) = ….a. ½ cos 2x + ½ cos 2y b. ½ sin 2x + ½ sin 2y c. 2 sin 2x + 2 sin 2yd. 2 sin x + 2 sin y e. 2 cos x + 2 cos y

BAB. IV LINGKARAN

Standar Kompetensi : Memahami, menyusun dan menggunakan persamaan lingkaranbeserta garis singgungnya.

Kompetensi Dasar :11. Merumuskan persamaan dan gris singgung lingkran dan menggunakannya dalam pmecahan masalah.

11.1 Merumuskan persamaan lingkran dan menggunakanny dalam pemecahan masalah

Indikator : Siswa dapat :o Merumuskan persamaan lingkaran dengan pusat

( 0,0 ) dan (a,b )o Menentukan pusat dsan jari-jari lingkran yang

persamaannya diketahuio Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi

kriteria tertentuo Menetukan posisi titik dan garis terthadap lingkrano Menentukan persamaan garis singgung lingkaran

Materi pokok : Lingkaran dengan pusat ( o,0 ) dan jari-jari rPesamaan lingkarang dengan pusat ( a,b ) dsan jari -jari rPerssamaan umum lingkaranPersamaan garis singgung lingkaran

LANGKAH-LANGKAH1. Lingkaran dengan pusat ( 0,0 ) dan jari-jari rPerhatiukan gb. Berikut :

Pada gambar di titik P ( x , y ) terletak pada lingkran dengan persamaan sebagai berikut :L = { tempat kedudukan titik P ( x,y ) sedemikian hingga OP = r }L = { P ( x,y ) / OP2 = r2 }L = { P ( x,y ) / OP1

2 + OP1 2 = r2 }L = { P ( x,y ) / ( x – 0 )2 + ( y – 0 )2 = r2 }L = { P ( x,y ) / x

2 + ………. = ……}

Jadi tempat kedudukan titik P ( x,y ) adalah lingkran dengan persamaan x2 + y2 = r2 dengan pusat O ( 0,0 ) dan jari-jari r

Perhatikan gambar berikut :

Pada gambar 1Titik P ( x , y ) terletak di dalam lingkaran, Sehingga tempat kedudukan titik P ( x , y ) adalah : x2 + y2 < r2

ada gambar 2Titik P ( x , y ) terletak pada lingkaran, Sehingga tempat kedudukan titik P ( x , y ) adalah : x2 + y2 = r2

Pada gambar 3Titik P ( x , y ) terletak di luar lingkaran, Sehingga tempat kedudukan titik P ( x , y ) adalah : x2 + y2 > r2

Dengan menggunakan persaman lingkaran dengan Pusat ( 0,0 ) dan jari-jari r, selesaikan / tentukanlah hal-hal sebagai berikut :1. Tentukan persaman lingkaran berikut jika :

a. Pusat O ( 0,0 ), r = 2

b. Pusat O ( 0,0 ), r = c. Pusat O ( 0,0 ), r = 2

2. Tenmtukan letak titik berikut terhadap lingkran x2 + y2 = 9 a. A ( 2,3 ) b. B ( -1,2 ) c. C ( 0,-3 )3. Jika titik tersebut terletak pada lingkaran yang diketahui, tentukan nilai a.

a. A ( a,3 ) pada lingkaran x2 + y2 = 9b. B ( -1,2 ) pada lingkaran x2 + y2 = 13c. C ( a,b ) pada lingkaran x2 + y2 = 25

4. a Tentukan tempat kedudukan titik P ( x,y ) sedemikian sehingga PB = 2PA, jika A ( 1,0 ) dan B ( 4,0 ) b. Tentukan tempat kedudukan titik P ( x,y ) sedemikian sehingga Pa = 2PB, jika A ( 4,0 ) dan b ( 0,1 )

5. a Lingkaran L1 dan L2 adalah konsentris ( sepusat ) dengan L1 = x2 + y2 = 8 tetapi jari-jari L2 2 x r1. Tentukan persamaan L2.

b. Diketahui L1 dan L2 adalah konsentris ( sepusat ) dengan L1 = x2 + y2 = 48 jika r2 = ½ r1 tentukan persamaan L2

3. Persamaan umum lingkaran

Jika persamaan lingkaran dengan pusat ( a,b ) dan jari-jari r duraikan maka akan didapat :( x - a )2 + ( y – b )2 = r2

x2 – 2a x + a2 + y2 – 2b y + b2 = r2

x2 + y2 – 2a x – 2b y + a2 + b2 - r2 = 0

Jika -2a = A -2b = B a = - ½ A b = - ½ B

a2 + b2 – r2 = c( - ½ A )2 + ( - ½ B )2 – c = r¼ A2 + ¼ B2 – c = r2

Maka persamaan menjadi :x2 + y2 + Ax + By + C = 0Dengan pusat ( - ½ A , - ½ B ) dan jari-jari r = .Persamaan lingkaran tersebut merupakan bentuk umum persamaan lingkaran.

Dengan menggunakan konsep di atas, Tentukan penyelesaian soal di bawah ini.1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan.

a. L = x2 + y2 – 8x – 10y + 32 = 0b. L = x2 + y2 – 6x – 18y + 89 = 0c. L = x2 + y2 + 2x – 6y - 17 = 0

2. Tentukan koordinat titik yang diketahui posisinya terhadap lingkaran berikut ini :a. ( a,0 ) yang terletak pada L L = x2 + y2 – 4x + 6y - 23 = 0b. ( -2,b ) yang terletak di dalam L = L = x2 + y2 + 4x – 8y - 5 = 0

3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A ( 3,2 ) B ( 9,2 ) dan C ( 9,8 )4.a Diketahui L1 dan L2 konsentris L1 = L = 9x2 + 9y2 – 18x + 72y + 152 = 0 diktahui r2 = 3r1, Tentukan persamaan L2

4.b Diketahui L1 = L = 4x2 + 4y2 + 4x – 20y - 102 = 0 diketahui r2 = ½ r1, Tentukan persamaan lingkaran L2

4. Persamaan garis singgung Lingkaran4.1 Posisi garis singgung terhadap lingkaranPerhatikan gambar di bawah ini :

Pada gb 1 : garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan yaitu A ( x1 ,y1 ) dan B (x2 , y2 )

Pada gb 2 : aris g memotong lingkaran di satu titik C ( x3 , y3 ) dikatakan gari g menyinggung lingkaran.

Pada gb 3 : garis g tidak menyinggung maupun memotong lingkaran.

Kondisi pada gb di atas secara aljabardi tentukan sebagai berikut :Pada gb (1) Jika garis g = ax + b disubtitusikan kepersamaan longkaran maka

akan didapat Dikriminan > 0.Pada gb. (2) Jika garis g = ax + b disubtitusikan kepersamaan lingkaran

maka akan didapat Dikriminan = 0Pada gb (3) Jika garis g = ax + b disubtitusikan kepersamaan longkaran maka

akan didapat Dikriminan < 0Jadi agar garis menyinggung lingkaran, syarat yang harus dipenuhi adalah D = 0

4.2 Persamaan garis singgung lingkaran di suatu lingkaran.a. Pada lingkaran dengan pusat O (0,0 ).Pada gambar adalah lingkaran dengan pusat ( 0,0 ) dan jari r = x2+ y2 = r2

Garis g melalui titik P ( x1,y1 ), titik P ( x1,y1 ) terletak pada lingkaran sehingga berlaku x1

2+ y12 = r2

Gradien garis OP adalah , karena g

OP maka gradien garis g x mOP = -1

mg x = -1

mg =

mg = -

Persamaan garis singgung g adalah :y – y1 = m ( x – x1 )

y – y1 = - ( x – x1 )

y – y1 =

y1y – y2 = -x1x + x12

x1x + y1y = x12 + y2

Sehingga x1x + y1y = r2 Jadi persamaan garis singgung lingkaran x2+ y2 = r2 di titik P ( x1,y1 ) adalah :x1x + y1y = r2

Misalkan diketahui persaman lingkaran x2+ y2 = 9, maka persamaan garis singgung di titik ( 0,3 ) adalah : ( x1 = 0 , y1 = 3 )Pers. Garis singgung = x1x + y1y = r2

0. x + 3y = 9 3y = 9

y = 3

b. Pada lingkaran dengan pusat ( a,b ) dan jari-jari r Pada gambar adalah lingkaran dengan persamaan ( x-a )2 + ( y-b )2 = r2 titik P ( x1 , y1 ) terletak L, Sehingga berlaku ( x-a )2 + ( y-b )2 = r2 garis singung g melalui titik P ( x1 , y1 ) .

m AP =

m g x m AP = -1 ( g AP )

m g x = -1

m g =

m g =

Perhatikan garis singung di P ( x1 , y1 ) adalah :y – y1 = m g ( x – x1 )

y – y1 = - ( x – x1 )

( y – y1 ) ( y – b ) = - ( x1 – a ) ( x – x1 )

( x1 – a ) ( x – x1 ) + ( y1 – b ) ( y – y1 ) =

4.3 Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien diketahui

a. Pada lingkaran dengan Pusat O ( 0,0 ) dan Jari-jari r

Jika garis y = mx + c menyinggung lingkaran L = x2+ y2 = r2 maka harus dipenuhi

bahwa :

x2 + ( mx + c )2 = r2

x2 + m2x2 + + 2 mcx + c2 – r2 = 0

( 1 + m2 ) x2 + 2 mcx + c2 – r2 = 0

Dengan syarat menyinggung D = 0, Untuk D = 0 maka akan diperoleh nilai c sebagai berikut :

D = b2 – 4 ac

0 = ( 2 mc2 – 4 ( 1 + m2 ) ( c2 – r2 )

0 = 4m2c2 - ( 4 + 4m2 ) ( c2 – r2 )

0 = 4m2c2 - 4 c2 – 4 r2 - 4m2c2 + 4m2 r2

4 c2 = 4 r2 + 4m2 r2

c2 = r2 + m2 r2

c2 = r2 ( 1 + m2 )

c =

c = Sehingga persamaan garis singgung lingkaran menjadi : y = mx Misal diketahui lingakaran L = x2+ y2 = 16 , Tentukan persaman garis isnggung lingkaran yang mempunyai gradien garis = 3Jawab : Dari persaman lingkaran didapat r = 4, m = 3, maka persamaan garis singgung :

y = mx

y = 3x y = 3x

b. Pada lingkaran dengan Pusat ( a,b ) dan jari-jari r

Jika garis y = mx + c adalah garis singgung lingakaran yang persamaannya L = ( x – a )2 + ( y – b )2 = r2 , Maka y = mx + c harus memenuhi persamaan lingkaran tersebut. Dan dengan syarat D = 0 maka akan didapat persamaan garis singgung sebagai berikut :( y – b ) = m ( x- a ) Miasal diketahui persamaan lngkaran L = ( x – 1 )2 + ( y + 2 )2 = 9, Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang mempunyai gradien 2.Jawab : Dari persamaan lingkaran didapat P ( 1, -2 ) , r = 3 , dan m = 2.

Maka persamaan garis singgung lingakran adalah :L ( y – b ) = m ( x- a )

( y + 2 ) = 2 ( x – 1 ) ( y + 2 ) = 2 ( x – 1 ) y + 2 = 2 ( x – 1 ) + y = 2x – 2 – 2 y = 2x – 4

4.4 Persamaan garis singgung lingkaran di titik luar lingakranContoh :Diketahui lingakran L = x2+ y2 = 25, Tentukan persamaan garis singgung di titik ( -1 , 7 )Jawab : titik ( -1 , 7 ) L = ( -1 )2 + ( 7 )2 = 1 + 49 = 50 > 25

Jadi titik ( -1 , 7 ) terletak di luar lingakran, misalkan garis singgung tersebut melalui titik ( -1 , 7 ) mempunyai gradien m, sehingga persaman garis singgung :

y – 7 = m ( x + 1 )y = mx + m + 7 disubtitusikan dengan lingkaran didapat :x2 + ( mx + m + 7 )2 = 25

x2 + m2x2 + m2 + 49 + 2m2x + 14mx + 14m = 25( 1 + m2 ) x2 + ( 2m2 + 14m ) x + ( m2 + 14 m + 24 ) = 0

Syarat D = 0

D = b2 – 4 ac = ( 2m2 + 14m )2 – 4(1 + m2 ) ( m2 + 14m + 24 ) = ( 2m2 + 14m )2 – (4 + 4m2 ) ( m2 + 14m + 24 ) = 4m4 + 56m3 + 196m2 – ( 4m2 + 56m + 96 + 4m4 + 56m3 + 96m2 ) = 4m4 + 56m3 + 196m2 – ( 100m2 + 56m3 + 4m4 + 56m + 96 ) = 4m4 + 56m3 + 196m2 – 100m2 - 56m3 - 4m4 – 56m - 96 D = 96m2 – 56 m – 960 = 96m2 – 56 m – 96 0 = 12m2 – 7m – 12 = 00 = ( 4m + 3 ) ( 3m – 4 )

m = - ¾ , atau m =

Sehingga persamaan garis singgung adalah :

y = x + + 7 y = - ¾ x - - ¾ + 7

3y = 4x + 4 + 21 4y = -3x – 3 + 283y = 4x + 25 4y = -3x + 25

Soal-Soal Latihan

1. Gambarkan tiap pasangan garis dari lingkaran berikut dan tentukan posisi garis terhadap lingakaran.

a. g = y = 1 L = x2 + y2 = 4b. g = y = 2 L = x2 + y2 = 4c. g = y = -3 L = x2 + y2 = 4d. g = y = -1 ½ L = x2 + y2 = 4

2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran berikut ini :a. L = x2 + y2 = 5 melalui titik ( 1,-2 )b. L = x2 + y2 = 25 melalui titik ( -3,4 )c. L = x2 + y2 = 24 melalui titik ( 22,4 )d. L = ( x – 1 )2 + ( y – 4 ) 2 = 25 melalui titik ( -3,1 )e. L = ( x – 2 )2 + ( y – 1 ) 2 = 10 melalui titik ( -3,4 )f. L = x2 + y2 – 4x – 2y – 3 = 0 melalui titik ( 4,3 )

3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran beriktu jika diketahui gradien

garis singgung

a. L = x2 + y2 = 1 m = 1b. L = x2 + y2 = 16 m = 2c. L = x2 + y2 = 9 garis singgung sejajar dengan garis 4x – 3y + 12 = 0d. L = x2 + y2 = 9 garis singgung tegak lurus dengan garis 4x – 3y + 12

= 0e. L = ( x –4 )2 + ( y – 2 ) 2 = 1 m = 1f. L = ( x – 1 )2 + ( y + 4 ) 2 = 36 garis singgung sejajar dengan 5x + 12y +

10 = 0

4. Tentuka pesamaan garis singgung lingakarana. L = x2 + y2 = 25 di titik ( 0,10 )b. L = ( x – 3 )2 + ( y – 4 ) 2 = 5 melalui titik ( 0,0 )c. x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0 melalui titik ( 0,0 )

Latihan Ulangan

1. Lingkaran 3x2 + 3y2 + 6x – 3ay = 12 mempunyai jari-jari 3, nilai a = ….

a. -2 b. -1 c. 2 d. 3 e. 4

2. Lingkaran yang berpusat di (-3,p) dan r = 5 menyinggung garis 3x – 4y = 8, nilai p =

a. -2 b. -1 c. 2 d. 3 e. 4

3. Lingkaran x2 + y2 – 2mx + 4 = 0 mempunyai jari-jari 4 dan menyinggung garis x = y, nilai m = ….

a. 2 b. 2√2 c. 4 d. 4√2 e. 8

4. Persamaan garis singgung di titik (4,1) pada lingkaran x2+ y2 + 6x + 4y = 45 adalah …

a.7x – 3y = 31 b.7x – 3y + 31 = 0c. 7x + 3y =-31 d. 7x + 3y =31 e. 3x – y =31

5. Lingkaran x2 + y2 – 2px + 4 = 0 mempunyai jari-jari 4 menyinggung garis y = x.

nilai p = ….

a. 2 b. 2√2 c. 4 d. 4√2 e. 8

6. Persamaan lingkaran yang meluli titik (3,2) , (-1,0) dan (0,3) adalah ….

a. x2 + y2 – 2x + 2y + 4 = 0 b. x2 + y2 – 2x - 2y + 3= 0 c. x2 + y2 + 2x - 2y = -3

d. x2 + y2 + 2x - 2y - 3= 0 e. x2 + y2 + 2x + 2y - 4 = 0

7. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang melalui titik (7,1) adalah

a. x – 2y = 25 dan x + 3y = 25 b. 4x – 3y = 25 dan 3x + 4y = 25

c. 2x – 4y = 25 dan 2x + 4y = 25 d.7 x + y = 25 dan 7x -7y = 25

e 7 x - y = 25 dan 7x +7y = 25

8. Salah satu persamaman gais singgung lingakran yang berpusat di (1,-2) dan berjari-jari 3 serta tegak lurus garis 3x -4y = 5 adalah ….

a. 4x + 3y = 13 b. 4x + 3y = -13 c. 4x + 3y = 17

d. 4x - 3y = 17 e. 4x - 3y = 13

9. Diketahui titik A(-2,3) dan B(4,5) persamaan garias singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 68 = 0 yang tegak lurus garis AB adalah ….

a. y = -3x + 3 ±9√10 b. y = -3x - 3 ±9√10 c. y = - 1/3x – 11/3 ±3√10

d. y = - 1/3x – 7/3 ±3√10 e. y = - 1/3x – 11/3 ±9√10

10. Salah satu garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (-2,3) melalui (-5,7) dan tegak lurus garis 2x –y + 5 = 0 adalah ….

a. 2x – y + 5 = 0 b. x + 2y – 4 + 5√5 = 0 c. y – 2x – 4 + 5√5 = 0

d. 2y – x +5√5 = 0 e. 2y + x - 5√5 = 0

mater i stat is tika

Documents