PROBABILITAS :Himpunan & Probabilitas

ARIF RAHMAN

1

Populasi dan SampelPopulasi atau semesta (universe) adalah

set lengkap observasi yang menjadi perhatian peneliti.

Sampel (sample) adalah sejumlah observasi yang diambil dari populasi

Sebaran sampel mengikuti pola distribusi populasi.

2

Populasi dan Sampel3

Ruang Sampel dan Titik SampelRuang sampel (sample space) adalah satu

set lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam populasi.

Titik sampel (sample point) adalah setiap keluaran yang menjadi elemen atau anggota ruang sampel.

Ruang sampel dapat dirinci titik sampelnya, atau menggunakan interval atau pernyataan (statement / rule) jika terlalu banyak.

4

Observasi dan EksperimenObservasi (observation) adalah metode

mengumpulkan data atau informasi dari fakta atau fenomena yang terjadi di sistem aktual.

Eksperimen (experiment) adalah metode mengumpulkan data atau informasi melalui eksperimentasi yang telah dirancang kondisinya terlebih dahulu

5

Observasi dan EksperimenData yang diperoleh dari pengumpulan data

biasanya menunjukkan variasi nilai suatu variable yang nilainya berbeda atau berubah secara acak dan tidak pasti.

Eksperimen acak (random experiment) adalah eksperimentasi yang menghasilkan keluaran yang berbeda, meskipun dilakukan perulangan dengan rancangan kondisi eksperimentasi yang sama

6

Faktor dan PerlakuanFaktor (factor) adalah sumber potensial

variabilitas data dalam sistem.Perlakuan (treatment) adalah segenap

pengkondisian beberapa faktor berkategori variabel terkendali (controllable variable) dengan perubahan tertentu (deliberate / purposeful changes)

7

Faktor dan PerlakuanInteraksi (interaction) adalah hubungan

interdependensi antar faktor.Level faktor (factor level) adalah nilai

spesifik dari tingkat kondisi faktor yang dirancang pada eksperimentasi.

8

Eksperimentasi dan Percobaan DasarPercobaan (trial) adalah satu kali aktivitas

pengujian pada studi investigasi ilmiah melalui pengamatan (observation) atau eksperimentasi (experiment) yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama untuk mendapatkan satu nilai informasi yang menginterpretasikan keluaran (chance outcome) yang muncul.

9

Eksperimentasi dan Percobaan DasarReplikasi (replication) adalah banyaknya

perulangan percobaan pada eksperimentasi dengan faktor-faktor dalam kondisi sama

Pengacakan (randomization) adalah pengaturan percobaan untuk dilakukan secara acak pada desain eksperimentasi

10

Keluaran dan KejadianKeluaran (outcome) adalah fakta hasil

pengumpulan data dalam observasi ataupun eksperimen

Kejadian (event) adalah peristiwa yang termasuk dalam keluaran-keluaran yang mungkin (possible outcomes) terjadi saat pengumpulan data.

11

Variabel AcakVariabel acak (random variable) adalah

suatu nilai bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau infinite).

Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital miring (misal : X). Sedangkan nilai variabel acak dinotasikan dengan huruf kecil miring (misal : x).

12

Himpunan dan Anggota HimpunanHimpunan (set) adalah gugus, gabungan

atau kumpulan objek.Anggota himpunan (element, ) adalah

objek yang menjadi bagian dari himpunan.Himpunan dinotasikan dengan huruf besar

miring (misal: A, B, dst), sedangkan anggota himpunan dinotasikan dengan dengan huruf kecil miring (misal: x, y, dst)

13

HeedcbaH ,,,,

Macam HimpunanHimpunan semesta (universe, U) adalah

himpunan umum semua objek.Himpunan kosong (null set, ) adalah

himpunan yang tidak memiliki anggotaHimpunan bagian (subset, ) adalah

himpunan yang semua anggotanya menjadi bagian himpunan yang lebih besar

14

Macam Himpunan15

U ABC

UABCBCABUA

Semesta, Ruang Sampel dan KejadianRuang sampel (S) menjadi himpunan

bagian dari himpunan semesta (U).Kejadian (E) menjadi himpunan bagian dari

ruang sampel (S).Himpunan kosong menjadi himpunan

bagian dari semua himpunan

16

UESEUS

USE

Semesta, Ruang Sampel dan Kejadian

17

SE

U

UESEUS

Operasi HimpunanKomplemen (complement) dari kejadian

(E) dalam ruang sampel (S) adalah himpunan bagian dari ruang sampel (S) yang anggotanya tidak menjadi elemen kejadian (E).

Komplemen juga disebut dengan negasi (negation), lawan (adjacent atau adjoint)

Dinotasikan dengan E’, Ē, ~E atau Ec

18

ExSxxE ,;'

Operasi Himpunan19

S E E’

ExSxxE ,;'

Operasi HimpunanIrisan (intersection) dua kejadian (E1 dan

E2) adalah himpunan yang anggotanya menjadi elemen kedua himpunan baik kejadian pertama (E1) maupun kejadian kedua (E2)

Dinotasikan dengan

20

2121 dan ; ExExxEE

Operasi Himpunan21

S A

B C

AB AC

BC

ABC

Operasi HimpunanGabungan (union) dua kejadian (E1 dan E2)

adalah himpunan yang anggotanya menjadi elemen salah satu atau kedua kejadian (E1 atau E2)

Dinotasikan dengan

22

2121 atau ; ExExxEE

Operasi Himpunan23

S A

B C

AB AC

BC

ABC

Operasi Boolean24

c212121

2121

2121

; XOR ; OR

; AND

EEEExxEEEExxEE

EExxEE

S A XOR B XOR C

CB

A

Operasi HimpunanHimpunan produk kartesius (cartesian

product set) adalah himpunan yang mempunyai anggota pasangan yang teratur (a,b) di mana a A dan b B

Dinotasikan dengan A x B

25

BbAabaBA dan ;,

Mutually Exclusive atau DisjointDua kejadian (E1 dan E2) bersifat saling

terpisah (mutually exclusive) jika semua anggota himpunan kejadian pertama (E1) tidak menjadi anggota himpunan kejadian kedua (E2) dan sebaliknya.

26

S

A B

AB=

IndependenDua kejadian (E1 dan E2) bersifat saling

bebas (independent) jika kemungkinan terjadinya kejadian pertama (E1) tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian kedua (E2) dan sebaliknya.

27

Hukum dalam HimpunanHukum penutup (law of closure), untuk setiap

pasang himpunan A dan B terdapat unique sets meliputi AB dan AB

Hukum identitas A = A AU = AA = AU = U

Hukum idempoten AA = A AA = AHukum komplemen AA’ = U AA’ =

(A’)’ = A U’ = ...

28

Hukum dalam HimpunanHukum komutatifAB = BA AB = BAHukum De Morgan(AB)’ = A’B’ (AB)’ = A’B’Hukum asosiatifA(BC) = (AB)C A(BC) = (AB)CHukum distributifA(BC) = (AB)(AC)A(BC) = (AB)(AC)

29

Premise Mayor dan Premise Minor Semua kejadian A

termasuk (menjadi bagian) kejadian B.

Semua kejadian C termasuk kejadian A.

Kesimpulan : Semua kejadian C termasuk

kejadian B Tidak Ada kejadian C yang

bukan kejadian A atau B Tidak ada kejadian A yang

bukan kejadian B

30

S

C

BA

Premise Mayor dan Premise Minor Semua kejadian A

termasuk (menjadi bagian) kejadian B.

Semua kejadian C termasuk kejadian B.

Kesimpulan : Tidak ada kejadian C yang

bukan kejadian B Tidak ada kejadian A yang

bukan kejadian B

31

S

C1

BA

C2

C3

Premise Mayor dan Premise Minor Semua kejadian A

termasuk (menjadi bagian) kejadian B.

Beberapa kejadian C termasuk kejadian A.

Kesimpulan : Beberapa kejadian C

termasuk kejadian B Ada kejadian C yang bukan

kejadian A Tidak ada kejadian A yang

bukan kejadian B

32

S

C1

BA

C2

C3

Premise Mayor dan Premise Minor Semua kejadian A

termasuk (menjadi bagian) kejadian B.

Beberapa kejadian C termasuk kejadian B.

Kesimpulan : Ada kejadian C yang bukan

kejadian B Ada kejadian C yang bukan

kejadian A Tidak ada kejadian A yang

bukan kejadian B

33

S

C1

BA

C2

C3

Premise Mayor dan Premise MinorBeberapa kejadian A

termasuk kejadian B.Beberapa kejadian C

termasuk kejadian A.Kesimpulan :

Ada kejadian C yang bukan kejadian A

Ada kejadian A yang bukan kejadian B

34

S

C1

B

A

C2

C3

Himpunan dan Kejadian35

S

CB

A S={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j, k,l,m,n,o,p,q,r,s,t}20.a

.b.c

.d .e

.f .g.h

.i

.j .k

.l.m

.n

.o

.p

.q

.r

.s

A={a,b,c,d,e,m,n,o} 8B={d,e,f,g,h,i,j,o} 8C={j,k,l,m,n,o} 6

AB={d,e,o} 3AC={m,n,o} 3BC={j,o} 2

ABC={o} 1.t

AB={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,m,n,o} 13AC={a,b,c,d,e,j,k,l,m,n,o} 11BC={d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o} 12ABC={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o} 15

ProbabilitasProbabilitas kejadian E dalam ruang

sampel S, (P(E), ES), adalah peluang kejadian E menjadi keluaran percobaan dasar (trial) dalam sebuah eksperimen yang mempunyai ruang sampel S di mana kejadian E termasuk sebagai bagian dari ruang sampel tersebut.

36

SEExPEP ,)()(

ProbabilitasProbabilitas kejadian E dalam ruang

sampel S, (P(E), ES), adalah peluang empiris kejadian E yang ekuivalen dengan proporsi banyaknya elemen kejadian E, N(E). dibandingkan dengan segenap elemen ruang sampel S, N(S).

37

)()dan ;(

)();(

SNSEExxN

SNSEENEP

ProbabilitasProbabilitas kejadian E dalam ruang

sampel S, (P(E), ES), adalah total peluang semua titik sampel dalam ruang sampel S yang menjadi elemen kejadian E.

38

1)(,0)(,10 SPPEP

)(,,2,1,,)()()(

1

ENiExxPEP i

EN

ii

ProbabilitasProbabilitas kejadian E dalam ruang

sampel S, (P(E), ES), adalah frekuensi relatif kejadian E.

39

SExf

xfEfEP

Sx

Ex

r

,)(

)()()(

Probabilitas40

S

CB

A.a

.b.c

.d .e

.f .g.h

.i

.j .k

.l.m

.n

.o

.p

.q

.r

.s

P(A) = 8/20 = 0,40P(B) = 8/20 = 0,40P(C) = 6/20 = 0,30

P(AB) = 3/20 = 0,15P(AC) = 3/20 = 0,15P(BC) = 2/20 = 0,10

P(ABC) = 1/20 = 0,05.t

P(AB) = 13/20 = 0,65P(AC) = 11/20 = 0,55P(BC) = 12/20 = 0,60P(ABC) = 15/20 = 0,75

Hukum Total ProbabilitasJika A1, A2, ..., Ak menunjukkan bagian dari

ruang sampel S yang bersifat mutually exclusive, dan tidak ada titik sampel yang tidak menjadi elemennya (A1A2...Ak = S), maka total probabilitas gabungan keseluruhan adalah satu

41

exclusivemutually dan , mana di

1)(0dengan , 1)(

1

1

i

k

ii

i

k

ii

ASA

APAP

SA1

A2

A3

A4 A5

Probabilitas Gabungan Dua KejadianProbabilitas gabungan (probability of a

union) dua kejadian E1 dan E2 dalam ruang sampel S, (P(E1E2); E1S dan E2S), adalah jumlah probabilitas kejadian E1 dan probabilitas kejadian E2 dikurangi probabilitas irisan kedua kejadian tersebut

42

exclusivemutually dan , )()(dan , )()()()(

2121

21212121

EEEPEPSESEEEPEPEPEEP

Probabilitas Gabungan Dua Kejadian

43

exclusivemutually dan , )()(dan , )()()()(

2121

21212121

EEEPEPSESEEEPEPEPEEP

S

CB

A P(A)

P(B)

P(AB)

P(AB) = P(A)+P(B)– P(AB)

Probabilitas Gabungan Tiga KejadianProbabilitas gabungan (probability of a

union) tiga kejadian E1, E2 dan E3 dalam ruang sampel S, (P(E1E2E3); E1 , E2 , E3

S), adalah jumlah probabilitas masing-masing kejadian dikurangi probabilitas irisan setiap pasangan dua kejadian dan ditambah probabilitas irisan serentak ketiga kejadian

44

)()()()()()()()(

3213231

21321321

EEEPEEPEEPEEPEPEPEPEEEP

Probabilitas Gabungan Tiga Kejadian

45

S

CB

A

)()()()()()()()(

3213231

21321321

EEEPEEPEEPEEPEPEPEPEEEP

P(A) P(B)

P(AB)

P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)– P(AB)–P(AC)–P(BC)+ P(AB C)

P(C)

P(AC) P(BC)

P(ABC)

Probabilitas Gabungan Dua dan Tiga Kejadian

46

S

CB

A.a

.b.c

.d .e

.f .g.h

.i

.j .k

.l.m

.n

.o

.p

.q

.r

.s

P(A) = 8/20 = 0,40P(B) = 8/20 = 0,40P(C) = 6/20 = 0,30

P(AB) = 3/20 = 0,15P(AC) = 3/20 = 0,15P(BC) = 2/20 = 0,10

P(ABC) = 1/20 = 0,05.t

P(AB) = P(A)+P(B)–P(AB) = (8/20 + 8/20 – 3/20) = 13/20 = 0,65P(AC) = P(A)+P(C)–P(AC) = (8/20 + 6/20 – 3/20) = 11/20 = 0,55P(BC) = P(B)+P(C)–P(BC) = (8/20 + 6/20 – 2/20) = 12/20 = 0,60P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)–P(AB)–P(AC)–P(BC)+P(A B C)= 15/20 = 0,75

Probabilitas Gabungan Kejadian JamakProbabilitas gabungan (probability of a

union) beberapa kejadian E1, E2,... dan Em dalam ruang sampel S, (P(E1E2...Em); ES dan E mutually exclusive) di mana semua kejadian saling mutually exclusive adalah sebesar jumlah probabilitas segenap kejadian tersebut

47

m

ii

m

m

ii

EP

EPEPEPEP

1

211

)(

)()()()(

Probabilitas Kejadian dengan KomplemennyaProbabilitas gabungan (probability of a

union) kejadian E dengan kejadian komplemennya E’ dalam ruang sampel S, (P(EE’); ES) adalah sebesar total probabilitas atau sama dengan 1.

48

)'(1)(1)'(

EPEPEEP

Probabilitas BersyaratProbabilitas Bersyarat (conditional

probability) kejadian E2 jika kejadian E1 terjadi dalam ruang sampel S, (P(E2|E1); E1S dan E2S), adalah sebesar probabilitas irisan kejadian E1 dengan kejadian E2 dibandingkan pada probabilitas kejadian E1.

49

)()()|(

1

2112 EP

EEPEEP

Probabilitas Bersyarat50

S A

B C

AB

)()()|(

1

2112 EP

EEPEEP

Probabilitas Bersyarat51

S

CB

A.a

.b.c

.d .e

.f .g.h

.i

.j .k

.l.m

.n

.o

.p

.q

.r

.s

P(A) = 8/20 = 0,40P(B) = 8/20 = 0,40P(C) = 6/20 = 0,30

P(AB) = 3/20 = 0,15P(AC) = 3/20 = 0,15P(BC) = 2/20 = 0,10

.t

P(A|B) = P(AB) / P(B) = (3/20) / (8/20) = 3/8 {d,e,o} / {d,e,f,g,h,i,j,o}P(B|C) = P(BC) / P(C) = (2/20) / (6/20) = 2/6 {j,o} / {j,k,l,m,n,o}P(C|A) = P(AC) / P(A) = (3/20) / (8/20) = 3/8 {m,n,o} / {a,b,c,d,e,m,n,o}

Aturan MultiplikasiAturan multiplikasi (multiplication rule)

menunjukkan bahwa probabilitas irisan dua kejadian dapat diperoleh dari probabilitas bersyarat dikalikan dengan probabilitas kejadian syaratnya

52

)().|()().|()( 22111221 EPEEPEPEEPEEP

Aturan Total ProbabilitasAturan total probabilitas (total probability

rule) menunjukkan jika A1, A2, ..., Ak sebagai bagian dari ruang sampel S yang bersifat mutually exclusive, dan kejadian E berada dalam ruang sampel tersebut, maka total probabilitas kejadian E adalah jumlah probabilitas irisan kejadian E dengan masing-masing bagian Ai.

53

Aturan Total Probabilitas54

k

iii

kk

k

AEPAP

AEPAPAEPAPAEPAPAEPAEPAEPEP

1

2211

21

)|().(

)|().()|().()|().()()()()(

SA1

A2

A3

A4 A5

E

Teorema BayesProbabilitas bersyarat kejadian E2 jika

kejadian E1 terjadi dalam ruang sampel S berbanding lurus dengan probabilitas bersyarat kejadian E1 jika kejadian E2 terjadi dalam ruang sampel S dikalikan rasio probabilitas kejadian E2 dibandingkan probabilitas kejadian E1.

55

)()().|()|(

1

22112 EP

EPEEPEEP

Teorema BayesBerdasarkan aturan total probabilitas, jika

A1, A2, ..., Ak sebagai bagian dari ruang sampel S yang bersifat mutually exclusive, maka probabilitas bersyarat kejadian Ar jika kejadian E terjadi dalam ruang sampel S adalah

56

k

iii

rrr

AEPAP

APAEPEAP

1

)|().(

)().|()|(

Kejadian BebasDua kejadian bersifat saling bebas

(independent), jika kemunculan kejadian E1 tak mempengaruhi probabilitas kejadian E2

P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B)

Dua kejadian bersifat saling bebas tidak terikat (independent), jika probabilitas irisan adalah perkalian kedua probabilitasnya.P(AB) = P(A).P(B)

57

Kejadian BebasSejumlah kejadian, E1, E2, ... , Ek bersifat

saling bebas tidak terikat (independent), jika probabilitas irisannya ekuivalen dengan perkalian probabilitasnya

58

k

ii

k

ii

kk

APAP

APAPAPAAAP

11

2121

)(

)(.).().()(

Aturan Umum Kejadian BebasBila kejadian E1 mempunyai probabilitas p1, dan kejadian E2 mempunyai probabilitas p2, di mana kejadian E1 dengan E2 bersifat saling bebas tidak terikat (independent)Aturan perkalian (rule of product)P(E1 dan E2) = p1 × p2

Aturan penjumlahan (rule of sum)P(E1 atau E2) = p1 + p2

59

Aturan Umum Kejadian BebasBila n kejadian, E1,E2,...,En mempunyai probabilitas p1,p2,...,pn dan bersifat saling bebas tidak terikat (independent)Aturan perkalian (rule of product)P(E1E2...En) = p1 × p2 ×...× pn

Aturan penjumlahan (rule of sum)P(E1E2...En) = p1 + p2 +...+ pn

60

Probabilitas Marjinal dan JoinProbabilitas marjinal (marginal probability)

adalah probabilitas masing-masing kejadian tanpa memperhatikan kejadian lainnya.

Probabilitas join (joint probability) adalah probabilitas dua atau beberapa kejadian terjadi bersama dalam satu waktu yang ekuivalen dengan probabilitas irisan serentak.

61

)( 21 kAAAP

Probabilitas Marjinal dan Join62

other)(

tindependen )(.).().(exclusivemutually

)(

21

2121

k

ik

i

k

AAAPAAPAPAPA

AAAP

Probability Inequalities63

2

11)(k

kXkP

Chebyshev’s theorem

Boole’s inequality

n

ii

n

ii EPEP

11

Markov’s inequality

0dan nonnegatifacak variabel jika aXaXEaXP

Probability Inequalities64

0untuk )()(

0untuk )()(.

.

ttMeaXP

ttMeaXPat

at

Chernoff’s bounds

Jensen’s inequality

)()( xEfxfE

65

Terima kasih ...Terima kasih ...

... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???