stat prob07 probabilitytheory_counting

PROBABILITAS :Permutasi & Kombinasi

ARIF RAHMAN

1

Populasi dan SampelPopulasi atau semesta (universe) adalah

set lengkap observasi yang menjadi perhatian peneliti.

Sampel (sample) adalah sejumlah observasi yang diambil dari populasi

Sebaran sampel mengikuti pola distribusi populasi.

2

Populasi dan Sampel3

Ruang Sampel dan Titik SampelRuang sampel (sample space) adalah satu

set lengkap semua keluaran yang mungkin terjadi dalam populasi.

Titik sampel (sample point) adalah setiap keluaran yang menjadi elemen atau anggota ruang sampel.

Ruang sampel dapat dirinci titik sampelnya, atau menggunakan interval atau pernyataan (statement / rule) jika terlalu banyak.

4

Ruang Sampel dan Titik SampelBerdasarkan prinsip kesempatan yang

sama (equally likely) bagi setiap anggota populasi untuk terpilih sebagai sampel, maka dalam ruang sampel S dengan anggota sejumlah n, probabilitas setiap titik sampel adalah sama yaitu :

p1 = p2 = ... = pn = 1/n

5

Ruang Sampel dan Titik SampelDengan setiap anggota populasi

mempunyai peluang yang sama terpilih sebagai sampel, secara acak pengambilan sampel sejumlah n dari populasi sejumlah N, mempunyai ragam ruang sampel sebanyak : N! / (n.(N-n)!)

Sehingga probabilitas memperoleh ruang sampel tertentu adalah : (n.(N-n)!) / N!

6

Ruang Sampel dan Titik SampelUntuk memprediksikan ruang sampel dan probabilitas titik sampel perlu memperhatikan metode pengambilan sampel berdasarkan :Banyaknya populasi

Populasi terbatas Populasi tak hingga (sangat besar)

Status sampel setelah diambil Pengambilan dengan pengembalian Pengambilan tanpa pengembalian

7

Ruang Sampel dan Titik Sampel

8

-1 -1 -1

N-n+2 N-n+1N-n+3N N-1 N-2

-1 -1 -1

p1(x) p2(x) p3(x) ... pn-2(x) pn-1(x) pn(x)

-1 -1 -1

N NNN N N

-1 -1 -1

p1(x) = p2(x) = p3(x) = ... = pn-2(x) = pn-1(x) = pn(x)

Tanpa Pengembalian (without replacement)

Dengan Pengembalian (with replacement)

Keluaran dan KejadianKeluaran (outcome) adalah fakta hasil

pengumpulan data dalam observasi ataupun eksperimen

Kejadian (event) adalah peristiwa yang termasuk dalam keluaran-keluaran yang mungkin (possible outcomes) terjadi saat pengumpulan data.

9

Keluaran dan KejadianKejadian E menjadi himpunan bagian dari

ruang sampel S.Probabilitas kejadian E dalam ruang sampel

S adalah sebanding dengan banyaknya titik sampel dalam kejadian E.

P(E) = N(E) / n

10

Variabel AcakVariabel acak (random variable) adalah

suatu nilai bersifat acak dalam numerik (format angka diskrit atau kontinyu) atau nonnumerik yang menandai keluaran dalam ruang sampel tertentu (finite atau infinite).

Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital miring (misal : X). Sedangkan nilai variabel acak dinotasikan dengan huruf kecil miring (misal : x).

11

Variabel AcakProbabilitas variabel acak adalah frekuensi

relatif titik sampel elemen kejadian E dalam ruang sampel S.

Aproksimasi penghitungan banyaknya anggota dari keluaran-keluaran yang mungkin (possible outcomes) baik dalam ruang sampel dan kejadian berkaitan dengan permutasi dan kombinasi.

12

Metode PenghitunganDiagram pohon (tree diagram) dan Prinsip

multiplikasi (multiplication rule)Permutasi dan Kombinasi

13

Prinsip MultiplikasiJika operasi pertama dapat dilakukan

dengan n1 cara, dan untuk setiap cara tersebut berkaitan (dilanjutkan) dengan operasi kedua yang dapat dilakukan dengan n2 cara, maka kedua operasi tersebut dapat dilakukan dalam n1.n2 cara.

...

14

Prinsip Multiplikasi...Jika operasi pertama dapat dilakukan

dengan n1 cara, dan operasi kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, dan seterusnya hingga operasi ke-k dapat dilakukan dengan nk cara, sehingga secara simultan rangkaian k operasi tersebut dapat dilakukan dengan n1.n2.···.nk cara.

15

Diagram Pohon Pelemparan Koin Tiga Trial

Ruang sampel S = {GGG, GGA, GAG, GAA, AGG, AGA, AAG, AAA}

16

Lemparan ke-1 Lemparan ke-2 Lemparan ke-3

GG

GA

AGA

AG

GA

AGA

Diagram Pohon Tiga Operasi (Atribut) Berbeda

n1.n2.n3 = 2 x 2 x 3 = 12

17

X

A

XA

XA

XA

B

XB

XB

XB

Y

A

YA

YA

YA

B

YB

YB

YB

PermutasiPermutasi (permutation) adalah susunan

seluruh atau sebagian elemen himpunan objek yang berbeda-beda.

Permutasi mengestimasi banyaknya susunan dengan r anggota yang diambil dari n objek yang berbeda dengan memperhatikan urutannya.

18

PermutasiMenggunakan notasi nPr atau Pr

n

di mana :n : banyaknya macam objekr : banyaknya tempat dalam susunan.dengan r < n.

19

)!(!rn

nPnr

Permutasi20

6)!33(

!312333

P

3 2 1-1 -1

Permutasi21

60)!35(

!534553

P

5 4 3-1 -1

KombinasiKombinasi (combination) adalah susunan

seluruh atau sebagian elemen himpunan objek yang berbeda-beda dengan pembedaan susunan hanya berdasarkan perbedaan isinya paling tidak satu objek.

Kombinasi mengestimasi banyaknya susunan dengan r anggota yang diambil dari n objek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan

23

KombinasiMenggunakan notasi nCr , Cr

n atau (rn)

di mana :n : banyaknya macam objekr : banyaknya tempat dalam susunan.dengan r < n.

24

!

)!(!!

rP

PP

rnrn

rn

nr

rr

nr

Kombinasi25

1)!33(!3

!36

12333

3 2 1-1 -1

Dianggap samatak berbeda

6

Kombinasi26

10)!35(!3

!56

34535

5 4 3-1 -1

6 cara

Permutasi SiklikPermutasi siklik atau lingkar (circular

permutation) adalah susunan seluruh elemen himpunan objek yang berbeda-beda dalam bentuk melingkar.

di mana :n : banyaknya macam objek dan banyaknya tempat dalam

susunan melingkar.

28

)!1(! n

nnPn

n

Permutasi Siklik29

6)!14(4!44

4 P

Permutasi Objek SamaPermutasi objek sama (distinct permutation)

adalah susunan seluruh elemen himpunan objek yang terdiri dari beberapa kelompok objek yang sama.

di mana :n : banyaknya macam objekn1,...nk : banyaknya objek dalam masing-masing kelompok.

dengan ni = n.

30

k

ii

k

nn

n

nnnn

nP

1

21 !

!!.!.!.

!

Permutasi Objek Sama31

20!1!1!3

!555

P

1 1 1

G1 G2 G3 Y1 R1

2 3

1 1 13 2

2 1 11 3

2 1 13 1

3 1 11 2

3 1 12 1

Kombinasi PartisiKombinasi partisi (partition combination)

adalah susunan seluruh elemen himpunan objek yang dipecah menjadi beberapa bagian (cell).

di mana :n : banyaknya macam objekn1,...nk : banyaknya objek dalam setiap bagian.

dengan ni = n.

32

k

ii

kk n

nnnn

nnnn

n

1

2121 !

!!.!.!.

!,,

Kombinasi Partisi33

20!1!1!3

!51,1,3

5

Kombinasi Objek SamaKombinasi objek sama (distinct combination)

adalah susunan seluruh elemen himpunan objek yang diambil dari bagian beberapa kelompok objek yang sama

di mana :N1,...Nk : banyaknya seluruh objek di setiap kelompok.

n1,...nk : banyaknya objek bagian setiap kelompok.

dengan ni = n, Ni = N, dan ni < Ni

34

k

k

k

k

nN

nN

nN

nnnNNN

2

2

1

1

21

21 .,,,,

Probabilitas Dadu35

P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Probabilitas Dadu36

P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6

P(1)=P(6)=1/36P(2)=P(5)=3/36P(3)=P(4)=5/36

P(1)=P(6)= 1/216P(2)=P(5)=10/216P(3)=P(4)=25/216

P(1)=P(6)= 1/7776P(2)=P(5)=126/7776P(3)=P(4)=651/7776

Probabilitas Poker37

Royal Flush – Top 5 cards in a suit

Straight Flush – 5 sequential cards in the same suit suit

4 of a kind – plus any other card

Full House – 3 of one kind, 2 of another. (Also called a “boat.”)

Flush – 5 cards in a suit, not sequential

Straight – 5 cards in a numerical row, not the same suit

P(2)=P(3)=...=P(J)=P(Q)=P(K)=P(A)=4/52P(♠)=P(♣)=P(♥)=P(♦)=13/52P(2♠)=...=P(A♦)=1/52


--------------------------------------------------------------------------Poker Hand Different Combinations Probability Odds AgainstRoyal Straight Flush 4 .0000015391 649,729:1Other Straight Flush 36 .0000138517 72,193:1Four of a kind 624 .0002400960 4,164:1Full House 3,744 .0014405762 693:1Flush 5,108 .0019654015 508:1Straight 10,200 .0039246468 254:1Three of a kind 54,912 .0211284514 46:1Two Pairs 123,552 .0475390156 20:1One Pair 1,098,240 .4225690276 1.4:1High card only (None of above) 1,302,540 .5011773940 1:1Total 2,598,960 1.0000000000 --------------------------------------------------------------------------

000000385,01084769,3

960.598.21

5521)poker(

7

P


960.598.25

52)sampel ruang(

N

4sama} jenis);AK,Q,J,10,{()Flush Royal( N3649sama} jenis);KQ,J,,10,9(),...,A,2,3,4,5{()FlushStraight ( N

108.5)FlushStraight ()Flush Royal(!5

)910111213(4)Flush(

NNN

200.10)FlushStraight ()Flush Royal()44444(10)Straight( NNN

540.302.1200.10108.5364888.317.1)Straight()Flush()FlushStraight ()Flush Royal(

!5)1652()1252()852()452(52)CardHigh (

NNNN

N

S

RF

StraightFlush

Straight

Flush

different numbers


960.598.25

52)sampel ruang(

N

624)452(44

13)kind a ofFour (

N

912.54!2

)852()452(34

13)kind a of Three(

N

240.098.1!3

)1252()852()452(24

13)pair One(

N


960.598.25

52)sampel ruang(

N

552.123)852(!2

24

1224

13)pairs Two(

N

744.324

1234

13)House Full(

N

Roulette Wheel42

18 Red numbers 18 Black numbers 2 Green numbers (0,00)

P(Black)=P(Red)=18/38

P(1)=P(2)=...=P(36)=P(0)=P(00) =1/38

Roulette Wheel43

Roulette Wheel44

Bet name Winning spaces Payout0 0 37 to 100 00 37 to 1Straight up Any single number 37 to 1Row 00 0, 00 36 to 2Split any two adjoining numbers vertical or horizontal 36 to 2Basket 0, 1, 2 or 00, 2, 3 or 0, 00, 2 35 to 3Street any three numbers horizontal 35 to 3Corner any four adjoining numbers in a block 34 to 4Top line 0, 00, 1, 2, 3 33 to 5Six line any six numbers from two horizontal rows 32 to 61st column 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34 26 to 122nd column 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35 26 to 123rd column 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 26 to 121st dozen 1 through 12 26 to 122nd dozen 13 through 24 26 to 123rd dozen 25 through 36 26 to 12Snake 1, 5, 9, 12, 14, 16, 19, 23, 27, 30, 32, 34 26 to 12Odd 1, 3, 5, ..., 35 20 to 18Even 2, 4, 6, ..., 36 20 to 18Red 1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36 20 to 18Black 2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35 20 to 181 to 18 (Low) 1, 2, 3, ..., 18 20 to 1819 to 36 (High) 19, 20, 21, ..., 36 20 to 18

Formasi Barisan45

A B C D

E F G

H I J K

A B C D

E F G

H I J K

A B C

D

E F

G

H I J

K

D C B A

G F E

K J I H

D C B A

G F E

K J I H

Formasi BarisanBanyaknya susunan = (Permutasi 11 orang

diambil 11 orang) / (Kombinasi susunan yang sebenarnya sama)

46

4!11

S

Permainan Bola Voli47

A B C D E F

G H I J K L

M N O P Q R

1

6

5

2

3

4

5

6

1

4

3

2

Permainan Bola VoliBanyaknya susunan = (Kombinasi 18 orang

diambil 12 pemain) X (Kombinasi Partisi 12 pemain menjadi dua tim) X (Permutasi siklik 6 pemain di tim 1) X (Permutasi siklik 6 pemain di tim 2)

48

)!16)!.(16.(6,6

12.

1218

S

Permainan Bridge Patkawan49

1

2

3 4

1

4

3

2

A B C D

E F G H

Closed RoomOpen Room

U

Permainan Bridge PatkawanBanyaknya susunan = (Permutasi 8 orang

diambil 8 orang)

50

!8S

51

Terima kasih ...Terima kasih ...

... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???

stat prob07 probabilitytheory_counting

Engineering