BAB IPENDAHULUANA. Latar BelakangDalam kehidupan sehari hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupaksaan masalah matematika. Dengan mengubahnya ke dalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan seringkali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel variabelnya. Bahkan di negara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel.Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakn matriks memudahkan kita untuk membuat analisa analisa yang mencakup hubungan variabel variabel dari suatu persoalan.Matriks pertama kali dikenalkan oleh Arthur Clayley (1821 1895) pada tahun 1859 di Inggris dalam sebuah study sistem persamaan linear dan transformasi linear. Namun pada awalnya, matriks hanya dianggap permainan karena tidak bisa diaplikasikan. Baru pada tahun 1925, 30 tahun setelah cayley meninggal, matriks digunakan pada mekanika kuantum. Selanjutnya matriks mengalami pekembangan yang pesat dan digunakan dalam berbagai bidang.

Ahli PEMROGRAMAN KOMPUTERAhli pemrograman komputer atau biasa disebut programer komputer adalah seorang yang membuat atau mengembangkan software (perangkat lunak) komputer. Programer komputer dapat disebut lebih khusus lagi sebagai prograrmer diikuti dengan bahasa pemograman yang dikuasainya, seperti programer java, programmer C++, programmer. Net, dan sebagainya. Seorang programmer komputer menulis dan mensimulasikan suatu program komputer sehingga komputer menjalankan fungsinya. Ia juga membuat, mendesain, dan menguji struktur secara logis untuk memecahkan suatu masalah dengan komputer. Pekerjaan seorang programmer bergantung software yang dibutuhkan konsumen. Sebagai contoh, software yang digunakan unruk membuat laporan keuangan dalam suatu perusahaan sangat berbeda dengan software yang digunakan untuk menampilkan kondisi cuaca pada simulator penerbangan. Meskipun software komputer dapat dibuat dalam waktu yang relatif tidak lama, namun software tersebut dapat digunkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan dalam suatu tim dibawah pengawasan programmer senior.Programmer komputer membuat software komputer berdasarkan spesifikai yang ditentukan oleh programmer senior atau sistem analisa. Setelah proses perancangan software selesai, kemudian, bahasa pemrograman yang digunakan tergantung pada tujuan programnya. Misalkan, bahasa pemrograman COBol digunakan untuk aplikasi bisnis. FORTRAN digunakan pada aplikasi sains. J2EE dan PHP adalah dua dari bahasa pemrograman yang digunakan dalam pemrograman WEB. Programmer biasanya mengetahui lebih dari satu bahasa peemrograman karena beberapa bhasa pemrograman identik sehingga mereka dapat mempelajarinya dengan mudah.Salah satu software yang dapat dibuat programmer dalam bidang sains adalah software komputer yang digunakan untuk menetukan struktur molekul HIV dengan menghitung energi ikatan antar atomnya. Sebelum membuat software tersebut, programmer harus menganalisa karakteristik molekul HIV meliputi jumlah ataom energi ikatan antar atom, dan lain lain. Algoritma software tersebut menggunakan matriks berukuran 20 x 20 untuk menghitung energi ikatan antar atom yang digunakan untuk menampilkan pengetahuan mengenai matriks operasinya.Seorang programmer komputer dapat bekerja di departemen teknologi dan inforrmasi, Perusahaan pembuat software dalam bidang enginerring dan perusahaan konsultan.

B. Rumusan MasalahDalam menyusun makalah ini penulis berusaha menulis rumusan masalah sebagai berikut:1. Apa Definisi determinan matriks ?2. Bagaimana determinan matriks jika dilakukan dengan metode sarrus ?3. Bagaimana determinan matriks jika dilakukan dengan metode minor-kofaktor ?4. Bagaimana determinan matriks jika dilakukan dengan metode CHIO ?5. Bagaimana determinan matriks jika dilakukan dengan metode eliminasi gauss ?6. Bagaimana determinan matriks jika dilakukan dengan metode Cramer ?

C. Tujuan PenulisanTulisan ini di sajikan dengan tujuan agar para pembaca, khususnya bagi mahasiswa pendidikan matematika, antara lain :1. Untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear I.2. Memahami konsep Determinan dalam Matriks, khususnya melalui metode-motede determinan.3. Memahami dasar-dasar masalah Determinan dengan penalaran logis dan menggambarkannya dengan cermat.4. Kompeten dalam mengembangkan pembelajaran Matriks pada siswanya.

D. Sumber DataDalam penulisan makalah ini, penulis mengambil sumber data dari media internet dan buku.

BAB II PEMBAHASANA. Definisi Determinan MatriksDeterminan matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi n elemen matriks bujur sangkar. Jika subskrippermutasi elemen matriks adalah genap (inversi genap) di beri tanda positif (+) sebaliknya jika subskrip permutasi elemen matriks adalah ganjil (inversi ganjil) di beri tanda negatif (-). Inversi terjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutan subskrip permutasi elemen matriks.Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matriks kuadrat).

det = atau det A = Notasi determinan matriks A :

Jika diketahui matriks A:A = Maka determinan matrika A :det A=atau, B. Metode SarrusPerhitungan determinan matriks dengan metode sarrus hanya dapat diterapkan pada matriks ukuran 2x2 atau 3x3. Determinan matriks yang ukurannya lebih besar dari 3x3 tidak bisa dihitung menggunakan metode sarrus.Metode sarrus disebut juga metode spaghetti) yaitu menggunakan perkalian elemen matriks secara diagonal. Perkalian elemen matriks pada diagonal turun (dari kiri atas ke kana bawah) diberi tanda positif (+) sedangkan perkalian elemen matriks pada diagonal naik (dari kri bawah ke kanan atas) diberi tanda negatif (-).1. Determinan matriks ukuran 2x2 :

A =

det (A) = = =

Atau jika diketahui matriks :

Det

Contoh :1. Tentukan determinan matriks dari : A = Solusi :det 2. Tentukan determinan dari matriks : B = Solusi :det

2. Determinan matriks ukuran 3x3 :A=

det A = =

Atau jika diketahui :

det = contoh :A. Tentukan determinan dari matriks :

Solusi :det A =

B. Tentukan determinan dari matriks : Solusi :Det A = Det A =

C. Metode Minor KofaktorPerhitungan determinan matriks dengan menggunakan metode minor kofaktor dapat diterapkan pada semua ukuran matriks bujur sangkar. Determinan matriks dapat dihitung dari minor dan kofaktor pada salah satu baris atau kolom matriks. 1. Penentuan Determinan Berbasis Baris MatriksMenghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu baris matriks.Jika diketahui suatu matriks A berukuran nn:A = Maka determinan matriks A :det (A) = det (A) = j = indek kolom

det (A) = k = salah satu baris matriksatau

contoh:1. Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke-1A = Solusi:Det A = = = (1 )(1)(0-2) + (5)( - 1)(0-0) + (0)(1)(-4 - 0)= -2 + 0 + 0 = -22. Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke-2A =

Solusi:det A = = = (2 )(-1)(0-0) + (4)( 1)(0-0) + (-1)(-1)(-2 - 0)= 0 + 0 - 2 = -23. Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke3A =

Solusi:Det A = = = (0 )(1)(-5-0) + (-2)( - 1)(-1-0) + (0)(1)(4 - 10)= 0 +-2 + 0 = -2

2. Penentuan Determinan Berbasis Kolom MatriksMenghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu kolom matriks.Jika diketahui suatu matriks A berukuran nn:A = Maka determinan matriks A :det (A) = det (A) = i = indek kolomataudet (A) = l = salah satu baris matrikscontoh:A. Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke-1A =

Solusi:Det A= == (1 )(1)(0-2) + (2)( - 1)(0-0) + (0)(1)(-5 - 0)= -2 + 0 + 0 = -2B. Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke-2A =

Solusi:Det A= == (5 )(-1)(0-0) + (4)( 1)(0-0) + (-2)(-1)(-1 - 0)= 0 + 0 - 2 = -2

C. Tentukan determinan matriks berikut menggunakan minor dan kofaktor pada kolom ke-3A =

Solusi:Det A= == (0 )(1)(-5-0) + (-2)( - 1)(-1-0) + (0)(1)(4 - 10)= 0 + 0 - 2 = -2

D. Metode CHIOPerhitungan determinan matriks dengan metode CHIO dapat diterapkan pada semua matriks bujur sangkar asalkan elemen pada tidak sama dengan nol (. Metode CHIO menghitung determinan matriks dengan cara mendekomposisi determinan yang akan dicari menjadi sub sub determinan derajat dua (2 x2) menggunakan elemen matriks baris ke-1 dan kolom ke-1 sebagai titik tolaknya. Dekomposisi tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks berukuran 2x2 berikut: , untuk n = 1, 2, 3, ..., dst.Jika A merupakan matriks bujur sangkar A berukuran n x n :A =

=Setiap dekomposisi determinan awal akan turun satu derajat, dekomposisi determinan dapat dihentikan sampai determinan tersebut menjadi berderajat dua.=Contoh:1. Tentukan determinan matriks berikut:A =

Solusi: det A = 0 2 = -2

2. Hitung determinan matriks berikut:A = Solusi:

det A Solusi :det A =

det A = det A =

E. Metode Eliminasi GaussDeterminan matriks segitiga bawah (L) dan matriks segitiga atas (U) hasil eliminasi Gauss adalah hasil perkalian elemen pada diagonal utamanya atau (aii).

1. Determinan Matriks Segitiga BawahEliminasi Gauss merubah suatu matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) melalui operasi baris elementer (OBE). A=OBE = L

det A = x x x x , = indek baris, ataudet A = x x x x , = ordo matriksDeterminan matriks A :

Contoh : 1. Hitung determinan matriks berikut : A=Solusi :

b14(-2)b24(-1)b34(-2)OBE

b13(1)b23(-1) b12(3) Jadi, det A = x x x = 3 x 2 x 1 x 1 = 62. Tentukan determinan matriks berikut : B=

Solusi : OBE

b13(1)b23(2)b14(-1)b24(-2)

b12(-2) = LJadi, det B = x x x = -8 x 2 x 4 x 2 = -1282. Determinan Matriks Segitiga AtasEliminasi Gauss merubah matriks menjadi matriks segitiga atas (U) menggunakan operasi baris elementer (OBE). A=OBE = U

Determinan matriks A :

det A = x x x x , = indek baris, ataudet A = x x x x , = ordo matriks

Contoh :1. Tentukan determinan matriks berikut : A=Solusi :A= OBE =U

b21(1)b31(-2)b41(-3)b32(3)b42(2)

b43(-2/7) = UJadi, det A = x x x = 1 x (-2) x 7 x 2 = -282. Tentukan determinan matriks berikut : B=Solusi : OBE =U

b32(-4/3)b21(-2)b31(-3)b41(-2)

b34 =UJadi, det B = x x x = 1 x (-3) x (-6) x () = - 96

3. Tentukan determinan matriks berikut : C=Solusi :

b1(1/3)b21(-1)b31(-3)det C = = 3

b23b42(2)=3 = -3

b2 (-1)b3(-1)b4 (-1/10)b43(-1)= -3=30

=30=30UJadi, det C = k( x x x ) = 30 (1 x 1 x 1 x (-1) ) = -30

4. Tentukan determinan matriks berikut : D=

b1(1/2)Solusi :

b21(-3)b31(-7)det D= = 2

b32(-3)b2(2)b3(2)= 2 = = = UJadi, det D = k( x x x ) = (1 x 1 x 4) = 2

BAB IIIPENUTUP

A. KesimpulanMatriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa analisa yang mencakup hubungan variabel variabel dari suatu persoalan. Begitu pula dengan determinan matriks baik untuk pengerjaan soal maupun yang lain, kita akan lebih dipermudah. Apalagi dengan begitu banyaknya metode-metode penyelesaian determinan matriks, tentu kita akan lebih mudah jika menghadapi berbagai persoalan yang menyangkut determinan. Metode-metode tersebut adalah metode Sarrus, metode Minor-Kofaktor, metode CHIO, dan metode eliminasi Gauss. Dari sini juga kita dapat mengetahui bahwa untuk penyelesaian persoalan determinan kita tidak hanya terpaku pada satu metode, melainkan ada beberapa metode yang sangat mudah dalam memecahkan suatu kasus determinan.

B. SaranKetika mencari bahan untuk menyusun makalah ini, semoga apa yang penulis sampaikan dalam makalah menjadi acuan untuk menyelesaikan soal-soal matematika yang berhubungan dengan determinan matriks dan memberikan manfaat dan nilai tambah kepada pembaca.Demikian uraian makalah yang dapat penulis sajikan, apabila terdapat kesalahan baik dalam penulisan maupun dalam pemaparan, penulis mohon maaf yang sebesar-besarnya. Kesempurnaan hanya milik Allah dan kekurangan pastilah milik manusia karena itu, tidak lupa kritik dan saran selalu kami harapkan untuk kesempurnaan makalah ini. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua.

Daftar Pustaka

Ruminta.MATRIKS PERSAMAAN LINIER DAN PEMROGRAMAN LINIER.Jakarta. REKAYASA SAINSKuntarti. Matematika SMA dan MA IPA 12 halaman 114 & 117. ESIS ERLANGGA.07SARTONO. MATEMATIKA SMA IPS 12 halaman 89. ERLANGGA.07

17