mata kuliah : matematika pokok bahasan · pdf filedefinisi fungsi komposisi dari f dan g,...
TRANSCRIPT
MATA KULIAH : MATEMATIKA
POKOK BAHASAN : 1. PENDAHULUAN : PERTIDAKSAMAAN, NILAI
MUTLAK, SISTEM KOORDINAT
2. FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
3. LIMIT DAN KONTINUITAS
4. DERIVATIF
5. APLIKASI DERIVATIF
6. DERET TAYLOR DAN DERET MAC LAURIN
7. INTEGRAL TAK TENTU
8. INTEGRAL TERTENTU
9. APLIKASI INTEGRAL TERTENTU
10. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BUKU PEGANGAN : 1. Salers, S.L., and Hille, E., 1995 : Calculus One and
Several Variables, J. Wiley.
2. Purcell, E., 1985 : Kalkulus dan Geometri Analitis,
Erlangga.
KOMPONEN PENILAIAN 1. UTS : 30 %
2. UAS : 35 %
3. KUIS : 10 %
4. TUGAS/ PR : 15 %
5. KEAKTIFAN : 10 %
SANGSI-SANGSI :
1. Tidak mengikuti UTS & UAS : NILAI NOL.
2. Menyontek dan bekerja sama pada saat Ujian & Kuis :
NILAI NOL.
3. Keterlambatan maksimal 15 menit.
1
BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI
2.1. Fungsi
Apabila himpunan A dan B tak kosong, maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan
tak kosong AXBR ⊂ dengan { }BbAabaAxB ∈∈= &:),( .
Jika R adalah relasi dari A ke B dan Aa∈ berelasi dengan Bb∈ , maka dinotasikan Rba ∈),(
atau aRb atau )(aRb = .
Definisi (fungsi)
Diketahui R relasi dari A ke B. Jika setiap Aa∈ berelasi dengan tepat satu Bb∈ , maka R disebut
fungsi dari A ke B.
BAf →:
dengan
A disebut daerah asal/ domain
B disebut daerah kawan/ kodomain
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A disebut range/ daerah hasil/ image.
2.1.1. Fungsi Surjektif, fungsi Injektif, dan fungsi Bijektif
Diberikan fungsi BAf →:
(i) Jika setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut
fungsi Surjektif/ fungsi Pada (Onto function).
(ii) Jika setiap anggota himpunan B yang mempunyai kawan di A, kawannya tunggal, maka f
disebut fungsi Injektif/ fungsi 1-1 (Into function).
(iii) Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A, maka f disebut fungsi
Bijektif/ fungsi Korespondensi 1-1 (Bijektif function).
a • b • c •
•1 •2 •3
•4
2
2.1.2. Operasi pada fungsi
Diberikan skalar real α dsn fungsi-fungsi f dan g
.0)(,)(/)())(/()().())(.(
)())(()()())(()()())((
≠===
−=−+=+
xgxgxfxgfxgxfxgf
xfxfxgxfxgfxgxfxgf
αα
dengan domain :
Contoh :
Diberikan fungsi-fungsi f dan g sebagai berikut :
xxf −= 2)( dan )1ln()( −= xxg ,
Tentukan gf + dan fg / , beserta domainnya.
Penyelesaian :
2022)( ≤⇔≥−⇔−= xxxxf , didapat : { }2: ≤∈= xRxfD
101)1ln()( >⇔>−⇔−= xxxxg , didapat : { }1: >∈= xRxgD
a. )1ln(2)()())(( −+−=+=+ xxxgxfxgf
dengan domain :
{ } ]2,1(21: =≤<∈=∩=+ xRxgDfDgfD
b. xxxfxgxfg −−== 2/)1ln()(/)())(/(
dengan domain :
{ } )2,1(21:0)(:/ =<<∈=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠∩= xRxxfg
Df
DfgD
2.1.3. Fungsi Invers
Diberikan fungsi BAf →: . Kebalikan (invers) dari fungsi f adalah relasi g dari B ke A.
Jika BAf →: merupakan korespondensi 1-1, maka invers f merupakan fungsi, dinotasikan 1−f .
)()(1 xfyyfx =⇔−= . fDf
RfRf
D =−=− 1dan1 .
{ }0)(:/
.≠∩∈=
∩==−=+
=
xggDfDxgfD
gDfDgfDgfDgfDfDfDα
3
Contoh :
Tentukan 1−f dari fungsi-fungsi berikut :
1. 23
11)(+−
−=xxxf
2.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+−
=−<−
=
0,1
10,10,
)(
xx
xxx
xg
Penyelesaian :
1. 23
1123
11)(+−
−=⇔+−
−=xxy
xxxf y
xx
−=+−
⇔ 123
1
)(1
32
3232)32(
323212323
1)23)(1(
yfy
yx
yyxyxyx
xyxyxxxy
−=
−
−=⇔
−=−⇔−=−⇔
−=−−+⇔−=+−⇔
Jadi, x
xxf32
32)(1−−
=− .
2.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+−
=−<−
=
0,1
10,10,
)(
xx
xxx
xg
Untuk 0<x , 0)( >−== xxgy sehingga :
0,)(1 >−=−= yygyx .
Untuk 0=x , 1)0( −=g sehingga :
)1(10 −−= g .
Untuk 0>x , 110
1
1
1)( −=
+
−>
+
−==
xxgy
dan 0<y sehingga :
4
.01,)(11
11
1
<<−−=−−
=⇔
−=+⇔
+
−=
yygy
yx
yxyx
y
Jadi,
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<<−−−
−=>−
=−
01,11,0
0,)(1
xx
xx
xxxg
2.1.4. Fungsi Komposisi
Definisi
Fungsi komposisi dari f dan g, dinotasikan gf o , didefinisikan sebagai :
))(())(( xgfxgf =o
dengan domain :
{ }fDxggDxgfD ∈∈= )(:o .
Contoh :
1. Tentukan gf o , fg o , dan domainnya dari fungsi-fungsi berikut :
21)( xxf −= dan 22)( xxg = .
2. Tentukan gf o jika diketahui :
⎩⎨⎧
<≥+
=0,/10,1
)(xxxx
xf
dan
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−
>
−=
1,12
1,1
)(
xx
xx
x
xg
Penyelesaian :
1. 0)1)(1(02121)( ≥+−⇔≥−⇔−= xxxxxf
1atau 1 −== xx
-- ++ --
-1 1
5
Jadi, { }11: ≤≤−∈= xRxfD
RgDxxg =⇒= 22)(
4
412
)2
2(1))(())(( xxxgfxgf −=−==o
dengan domain :
{ }{ }{ }{ }[ ]2/1,2/1
2/12/1:
2/120:
1220:
)(:
−=
≤≤−∈=
≤≤∈=
≤≤∈=
∈∈=
xRx
xRx
xRx
fDxggDxgfD o
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−==
212
22
12))(())(( xxxfgxfg o
dengan domain :
{ }{ }
]1,1[11:
)(:
−=≤≤−∈=
∈∈=
xRx
gDxffDxfgD o
2. ⎩⎨⎧
<≥+
=0,/10,1
)(xxxx
xf , ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤−
>
−=
1,12
1,1
)(
xx
xx
x
xg
))(())(( xgfxgf =o
Untuk 1>x ,
011
111
1)1(1
)( >>−
+=−+−
=−
=xx
xx
xxg , sehingga :
1,1
1)(1))(())(( >
−
+=+== xx
xxgxgfxgf o .
Untuk 1≤x , 111.212)( =−≤−= xxg .
Karena 1)( ≤xg , maka dapat dibagi menjadi dua subinterval yaitu 1)(0 ≤≤ xg dan 0)( <xg
(i) 11201)(0 ≤−≤⇔≤≤ xxg
12/1
221≤≤⇔
≤≤⇔x
x
6
sehingga :
.12/1
,2)12(1)(1))(())((≤≤
=−+=+==x
xxxgxgfxgf o
(ii) 2/10120)( <⇔<−⇔< xxxg
sehingga :
.2/1,)12/(1)(/1))(())(( <−=== xxxgxgfxgf o Jadi,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−≤≤
>−+=
2/1,)12/(112/1,2
1,)1/(1))((
xxxx
xxxxgf o
2.2. Grafik Fungsi
Diberikan fungsi f.
Himpunan { }fDxxfyyx ∈= ),(:),( disebut grafik fungsi f.
2.2.1. Grafik fungsi dalam S.K. Cartesius
a. Fungsi Aljabar
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, pangkat, hasil kali,
hasil bagi, atau akar fungsi suku banyak (polinomial).
Fungsi aljabar meliputi :
1. Fungsi rasional yang dapat berupa fungsi bulat (polinomial) dan fungsi pecah.
2. Fungsi irasional
Keterangan
1. Fungsi Rasional
Fungsi suku banyak (polinomial)
Polinom berderajat n : nxnaxaaxnPxf +++== L10)()( ,
dengan n bilangan bulat tak negatif,
naaa ,,1,0 L merupakan bilangan real, 0≠na .
(i) Fungsi konstan
Polinom dengan 0=n
cxf =)( , grafiknya berupa garis lurus sejajar sumbu-x.
Contoh : 2)( =xf
7
(ii) Fungsi Linear
Polinom dengan 1=n
baxxf +=)( , grafiknya berupa garis lurus dengan gradien a dan melalui ),0( n .
Contoh : 1)( += xxf
(iii) Fungsi Kuadrat
Polinom dengan 2=n
cbxaxxf ++= 2)( , grafiknya berupa parabola. Deskriminan acbd 42 −= .
Contoh : 2)( xxf =
(iii) Fungsi Kubik
Polinom dengan 3=n
dcxbxaxxf +++= 23)( .
Contoh :
3)( xxf = ,
3)1()( += xxf
Fungsi pecah
Fungsi pecah adalah fungsi yang dapat dinyatakan sebagai hasilbagi dua fungsi suku banyak/
polinom.
mx
mbxbb
nx
naxaa
xf+++
+++=
L
L
10
10)(
Contoh :
xxf
1)( = ,
1)(
−
=
x
xxf
2. Fungsi Irasional
Contoh : 22
)( xaxf −=
8
b. Fungsi Transenden
meliputi : Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri, Fungsi Eksponen, dan Fungsi Logaritma.
(i) Fungsi Trigonometri
y
P(x,y)
r
|y|
θ
0 |x| x
Didefinisikan :
yxCotxyTanxrSecrxCos
yrCorySin
////
/sec/
=⇒==⇒==⇒=
θθθθθθ
Dari definisi di atas, dapat ditunjukkan bahwa :
θθ
θθ
θθθ
θθθ
SinCo
CosSec
SinCosCot
CosSinTan
1sec
1
=
=
=
=
θθ
θθ
θθ
2sec21
221
122
CoCot
SecTan
CosSin
=+
=+
=+
9
(ii) Fungsi Siklometri
Fungsi Siklometri adalah invers fungsi trigonometri.
Untuk domain tertentu invers fungsi trigonometri merupakan fungsi.
Didefinisikan :
),0(,cot1)2/,2/(,sec1
),0(,arccos1sec
)2/,2/(,arctan1],0[,arccos1
]2/,2/[,arcsin1
π
ππ
π
ππ
π
ππ
∈=⇔=−=
−∈=⇔=−=
∈=⇔=−=
−∈=⇔=−=
∈=⇔=−=
−∈=⇔=−=
yyCotxxarcxCoty
yySecxxarcxSecy
yySecxecxxCoy
yyTanxxxTany
yyCosxxxCosy
yySinxxxSiny
(iii) Fungsi Eksponensial
1,0,)( ≠>= aaxaxf
(iv) Fungsi Logaritma
{ }.0:1,0,log
>∈=≠>=⇔=
xRxfDaayaxxay
KUIS 1 :
1. Tentukan gf o jika diberikan fungsi-fungsi sebagai berikut :
⎪⎩
⎪⎨⎧
<≥
=0,0,)(
xxxxxf
dan
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−≤<<−+−
≥+=
1,341,122
4,2)2()(
xxxxx
xxxg
dan gambarkan grafik fungsi f, g dan gf o .
2. Tentukan invers dari fungsi f berikut :
10
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>
−
+
=
<
−=
1,1
13
1,2
1,1
2
)(
xx
x
xx
x
xf
Dan gambarkan grafik fungsi f dan 1−f .
3. Gambar grafik dari ||26)( xxxxf −= .
*****Selamat mengerjakan*****
BAB III LIMIT DAN KONTINUITAS
Diberikan fungsi 1)( += xxf
Grafik fungsi dari
1)( += xxf
Tabel nilai dari fungsi f
3
2
1
-1 0 1 2
Jadi, 211
lim)(1
lim =+→
=→
xx
xfx
Artinya :
ketika x semakin dekat ke bilangan 1 dengan 1≠x , maka nilai 1)( += xxf semakin dekat ke 2.
X f(x)=x+1
3 4
2 3
1,6 2,6
1,2 2,2
1,15 2,15
1,009 2,009
0,99 1,99
0,55 1,5
0 1
11
Secara umum,
⇔=→
Lxfax )(lim ” ketika x semakin dekat ke bilangan a dengan ax ≠ , maka nilai f(x) semakin dekat ke
bilangan L.
Definisi
⇔=→
Lxfax )(lim untuk setiap bilangan 0>ε , terdapat bilangan 0>δ sehingga apabila δ<−< ax0
maka berlaku ε<− Lxf )( .
Contoh
Tunjukkan bahwa : 7132
lim =+→
xx
Bukti
3223637)13(
εε <−⇒<−=−=−+ xxxx
Diambil sebarang bilangan 0>ε , terdapat bilangan 3
εδ = , sehingga apabila δ<−< 20 x , maka berlaku
εε
δ ==<−=−=−+
33323637)13( xxx
Jadi terbukti bahwa : ε<− 63x
Dengan kata lain, 7132
lim =+→
xx
■
Sifat
Jika )(lim xfax→ ada, maka limitnya tunggal.
Artinya :
Jika Lxfax =→
)(lim dan Kxfax =→
)(lim maka L = K
12
Contoh
Tunjukkan bahwa x
x
x
||
0lim→
tidak ada
Penyelesaian
untuk x > 0 diperoleh :
110
lim0
lim||
0lim =
→=
→=
→ xx
x
xx
x
x
Tetapi untuk x < 0 diperoleh : 110
lim0
lim||
0lim −=−
→=
−
→=
→ xx
x
xx
x
x
Karena limitnya tidak tunggal, maka x
x
x
||
0lim→
tidak ada ■
Sifat
Diberikan konstanta k bilangan real, Lxfax =→
)(lim , dan Kxgax
=→
)(lim , maka berlaku :
1. kkax =→lim
2. { } KLxgaxxfaxxgxfax ±=→
±→
=±→
)(lim)(lim)()(lim
3. kxkfax =→
)(lim kLxfax =→
)(lim
4. LKxgaxxfaxxgxfax =→→
=→
)(lim)(lim)()(lim
5. 0,)(lim
)(lim
)(
)(lim ≠=
→
→=→
KK
L
xg
ax
xf
ax
xg
xfax
6. untuk n bilangan asli, berlaku :
i. ( ) nL
n
xf
ax
nxfax =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→
=→
)(lim)(lim
ii. ( ) nL
n
xf
ax
nxfax−=
−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→
=−→
)(lim)(lim
13
iii. ( ) nL
n
xf
ax
nxfax/1
/1
)(lim/1)(lim =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→
=→
untuk n genap dan L > 0.
Contoh
1. 2/1)41(1
lim411
lim xx
xx
+→
=+→
52/1
)41(1
lim =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +→
= xx
2. 12
2
)13(1
lim
)12(1
lim
1312
1lim ==
+→
+→=
+
+→ x
x
xx
x
xx
Latihan
1. 822
42
2lim
−+
−→ xx
xx
2. 1
32
21
lim−
+−→ x
xx
3. xx
x
3 110
lim +−→
Penyelesaian
1. )4)(2()2)(2(
2lim
82242
2lim
+−+−
→=
−+
−→ xx
xxxxx
xx
)4()2(
2lim
++
→=
xx
x
3
2
6
4
)4(2
lim
)2(2
lim==
+→
+→=
xx
xx
2.
32
2
32
2.
13
22
1lim
13
22
1lim
++
++
−+−
→=
−+−
→x
x
xx
xxx
x
14
2
1
4
2
3221
lim
)1(1
lim322
)1(1
lim
32
2)1(
)1)(1(1
lim
32
2)1(
211
lim
32
2)1(
)32(41
lim
−=−
=++
→
+−→=
++
+−→
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−
+−→
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−
−→
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++−
+−→
=
xx
xx
x
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xx
3. xx
x
3 110
lim +−→
Substitusi : 13133 1 −=⇒+=⇒+= yxxyxy
10 →⇒→ yx
131
1lim
3 110
lim−
−→
=+−
→ y
yyx
xx
Ingat : )22)((33 babababa ++−=−
Sehingga diperoleh :
3
1
)12(1
lim
1
)12(
11
lim
)12)(1(
11
lim
131
1lim
3 110
lim
−=++
→
−=
++
−→
=
++−
−→
=
−
−→
=+−
→
yyy
yyy
yyy
yy
y
yyx
xx
15
Teorema Apit
Diberikan fungsi-fungsi f, g, dan h sehingga :
)()()( xhxgxf ≤≤ untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat a.
Jika Lxhaxxfax =→
=→
)(lim)(lim , maka Lxgax =→
)(lim
Contoh
Tentukan xxx
1sin20
lim→
Penyelesaian
Dengan menggunakan teorema apit diperoleh :
Untuk 21sin2211sin1,0 xx
xxx
x ≤≤−⇒≤≤−≠
Perhatikan bahwa :
020
lim =−→
xx
dan 020
lim =→
xx
Sehingga diperoleh : xxx
1sin20
lim→
=0
LIMIT SATU SISI
3L )(xfy =
2L
1L
1x 2x
3)(2
lim Lxfxx =→
tetapi )(1
lim xfxx→ tidak ada.
Perhatikan bahwa :
2)(
1
lim Lxfxx
=+→
dibaca : limit fungsi f ketika x mendekati x1 dari kanan
dan
16
1)(
1
lim Lxfxx
=−→
dibaca : limit fungsi f ketika x mendekati x1 dari kiri
Definisi
1. 0,0)(lim >∃>∀⇔=−→δεLxf
ax sehingga fDx∈∀ dengan ),( aax δ−∈ berlaku :
ε<− Lxf )( .
2. 0,0)(lim >∃>∀⇔=+→
δεLxfax
sehingga fDx∈∀ dengan ),( δ+∈ aax berlaku :
ε<− Lxf )( .
Contoh :
1. Diberikan fungsi 22
)(−
−=
xx
xf .
Tentukan nilai limit fungsi f untuk 2→x dan 3→x
Jawab
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<−
−
−−
≥−
−
−
=−
−=
02,2
)2(
02,2
2
22
)(
xx
x
xx
x
xx
xf
⎩⎨⎧
<−≥
=2,12,1
)(xx
xf
1
2
-1
17
a. 11
2
lim)(
2
lim =+
→
=+
→ x
xf
x
tetapi 11
2
lim)(
2
lim −=−+
→
=−
→ x
xf
x
b. 11
2
lim)(
3
lim =+
→
=+
→ x
xf
x
dan 11
2
lim)(
3
lim =+
→
=−
→ x
xf
x
2. Diberikan fungsi ⎪⎩
⎪⎨⎧
<+
≥−=
3,32
3,1)(
xx
xxxf
Tentukan nilai limit fungsi f untuk 3→x
Jawab
21
3
lim)(
3
lim =−+
→
=+
→
x
x
xf
x
tetapi 1232
3
lim)(
3
lim =+−
→
=−
→
x
x
xf
x
3. 00
lim =+→x
x dan x
x −→0lim tidak ada
Dari Ketunggalan Limit diperoleh teorema berikut :
Teorema
Lxfax
xfax
Lxfax =−→=+→
⇔=→
)(lim)(lim)(lim
Akibat
Jika )(lim)(lim xfax
xfax −→
≠+→ maka )(lim xfax→ tidak ada.
Dari ketiga contoh di atas dapat diambil kesimpulan :
1. )(
2
lim xf
x →
tidak ada sebab )(
2
lim)(
2
lim xf
x
xf
x−
→
≠+
→
1)(
3
lim =
→
xf
x
sebab 1)(
3
lim)(
3
lim =−
→
=+
→
xf
x
xf
x
18
2. )(
3
lim xf
x →
tidak ada sebab )(
3
lim)(
3
lim xf
x
xf
x−
→
≠+
→
3. xx 0lim→
tidak ada
LIMIT TAK HINGGA
DAN LIMIT MENUJU TAK HINGGA
Perhatikan fungsi x
xf 1)( =
xy /1= 1
-1 0 1
-1
Perhatikan bahwa :
+∞=+
→
=+
→ xx
xf
x
1
0
lim)(
0
lim , −∞=−
→
=−
→ xx
xf
x
1
0
lim)(
0
lim . Jadi,xx
1
0
lim
→
tidak ada.
dan
01
lim)(lim =
∞→
=
∞→ xx
xf
x
, 01
lim)(lim =
−∞→
=
−∞→ xx
xf
x
Definisi (Limit Tak Hingga)
1. ∞=→
)(lim xfax jika 0,0 >∃>∀ δM sehingga fDx∈∀ dengan δ<−< ||0 ax berlaku :
Mxf >)(
2. −∞=→
)(lim xfax
jika 0,0 >∃>∀ δM sehingga fDx∈∀ dengan δ<−< ||0 ax berlaku :
Mxf −<)(
Contoh
1. ∞=+−→ |1|1
1lim
xx
19
2. ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−→=
−→ 11
21
0lim
231
0lim
xxxxxx
−∞=→
−=
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−→=
21
0lim
21
0lim
11
0lim
xx
xxxx
Definisi (Limit Menuju Tak Hingga)
1. Lxfx
=∞→
)(lim jika 0,0 >∃>∀ Mε sehingga Mx >∀ berlaku : ε<− Lxf )( .
2. Lxfx
=−∞→
)(lim jika 0,0 >∃>∀ Mε sehingga Mx −<∀ berlaku : ε<− Lxf )( .
Sifat
0lim =±∞→ nx
cx
Contoh
1.
2121
.223
122lim223
122lim
x
xx
xxx
xx −
+
∞→=
−
+
∞→
32
0302
223
212
lim =−+
=−
+
∞→=
x
xx
20
2. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−∞→
xxxx
22lim
( )( )
111
2211
2lim
1
1.
222lim
222lim
22
222
lim
22
22.22lim
=+
=−+∞→
=
−+∞→=
−+∞→=
−+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
∞→=
−+
−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−∞→
=
xx
x
x
xxx
xx
xxx
xx
xxx
xxx
x
xxx
xxxxxx
x
Latihan
1. 7422
322lim
++
−−
∞→ xx
xxx
2. 17325657326
lim+++
−+−
−∞→ xxx
xxxx
3. 2735
273lim
+++
−+
−∞→ xxx
xxx
Penyelesaian
1.
2121
.7422
322lim
7422
322lim
x
xxx
xxxxx
xxx ++
−−
∞→=
++
−−
∞→
21
002001
2742
2321
lim =++−−
=++
−−
∞→=
xx
xx
x
21
2. 17325657326
lim+++
−+−
−∞→ xxx
xxxx
−∞=+++−+−∞
=+++
−+−
−∞→=
+++
−+−
−∞→=
0001000
51
47
221
565
47
22
lim
5151
.17325657326
lim
xxx
xxxx
x
x
xxxx
xxxx
3.
5151
.2735
273lim
2735273
lim
x
xxxx
xxxxxx
xxx +++
−+
−∞→=
+++
−+
−∞→
00001
000
52
47
211
52
47
21
lim
=+++
−+=
+++
−+
−∞→=
xxx
xxxx
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
Teorema
1. 1sin0
limsin0
lim =→
=→ x
xxx
xx
2. 1tan0
limtan0
lim =→
=→ x
xxx
xx
Contoh
1.
x
xxxxx
xxxxx
x 1
1.
3tan42sin3
0lim
3tan42sin3
0lim
++
→=
++
→
135
3.4123
3tan41
2sin3
0lim =
++
=+
+
→=
xx
xx
x
22
2. xx
xxx
xxxx
x cos1cos1.
tancos1
0lim
tancos1
0lim
++−
→=
−
→
21
21.1.1.1
cos11.
tan.sin.sin
0lim
.)cos1)(tan(
2sin0
lim
)cos1)(tan(
2sin0
lim
)cos1)(tan(
2cos10
lim
==+→
=
+→=
+→=
+−
→=
xxx
xx
xx
x
xx
xxxx
x
xxxx
x
xxxx
x
3. xx
xx
xxx
x.
3tan5sin
0lim
3tan5sin
0lim
→=
→
35
31.5
3tan.5sin
0lim ==→
=x
xx
xx
Bilangan Alam (e)
Ingat : Rumus Binomial Newton
Untuk setiap ℜ∈ba, dan Ν∈n berlaku :
nbbnannbnnana
nbann
bnan
bnan
bnan
kbknan
k knnba
++−−+−+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
L
L
22!2
)1(1
0222
111
00
0)(
Untuk 1=a dan n
b 1= , diperoleh :
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+=
−∑=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
nn
nnnnnn
k
nknn
k knn
n
112111!
12111!3
111!2
12
110
11
LL
en
n
nn==++++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞→......718,2
!1
!31
!21211lim L
23
Untuk Ν∈nm, dengan nm ≥ berlaku :
m
mn
n ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +≤⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ + 1111
Untuk ℜ∈x , Ν∈nm, dan mxn ≤≤ berlaku :
m
mx
xn
n ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +≤⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +≤⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ + 111111
Dengan teorema Apit diperoleh :
ex
xx=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ +
∞→11lim
Dengan cara yang sama,
( )
aex
xa
x
exxx
ex
xx
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
∞→
=+→
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
−∞→
1lim
11
0lim
11lim
Contoh
1. 35
1211lim
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
++
∞→
xxx
, substitusi : 12
1+
=x
y
0→⇒∞→ yx
21
212
1
1212
1
−=⇒
−=⇒
=+⇒+
=
yx
yyx
yxyx
y
Sehingga diperoleh :
3512
11lim+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
++
∞→
xxx
= ( ) 321
2151
0lim +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
→yy
y
24
( )
( ) ( )
( )
( ) 252
51
10
lim
25
11
0lim
21
10
lim25
10
lim
21
25
10
lim
eyyy
yyy
yy
yyy
yyy
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+→
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+→
=
+→
+→
=
++→
=
2. 43
12212lim
431212lim
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−+−
∞→=
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−+
∞→
xx
xx
xxx
x
4312
21lim+
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−+
∞→=
xxx
substitusi : 12
2−
=x
y
0→⇒∞→ yx
211
22
2212
2
+=⇒
+=⇒
=−⇒−
=
yx
yyx
yxyx
y
25
Sehingga diperoleh :
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) 331
1lim
311lim
211
1lim3
1lim
2113
1lim
421131lim
4312
21lim
eyyx
yyx
yx
yyx
yyx
yyx
xxx
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+∞→
=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+∞→
=
+∞→
+∞→
=
++∞→
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
∞→=
+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
−+
∞→
Teorema
Jika 0)(lim =→
xfcx
dan ±∞=→
)(lim xgcx
, maka
( ))().(lim
)()(1limxgxf
cxexgxfcx
→=+→
Contoh
Tentukan 232
1lim +−→
xxx
xx
Penyelesaian
( ) 232)1(1
1lim232
1lim
+−−+
→=+−
→
xxx
xx
xxx
xx
Diambil : 1)( −= xxf dan 232
)(+−
=xx
xxg
Sehingga : 011
lim =−→
xx
dan ∞=+−→ 2321
limxx
xx
26
Jadi,
( )
1)1)(2()1(
1lim
232)1(
1lim
232)1(1
1lim232
1lim
−=−−
−
→=
+−−
→=
+−−+
→=+−
→
exxxx
xe
xxxx
xe
xxx
xx
xxx
xx
KONTINUITAS
Definisi
Fungsi f dikatakan kontinu di titik ax = jika :
)()(lim afxfax
=→
Dengan kata lain, fungsi f kontinu di titik ax = jika memenuhi syarat-syarat berikut :
1. f(a) ada
2. )(lim xfax →
ada
3. )()(lim afxfax
=→
Selanjutnya, titik ax = disebut titik kontinuitas
Jika salah satu syarat tidak dipenuhi, maka f dikatakan diskontinu di ax = .
Secara grafik, fungsi f kontinu di titik ax = jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak
terpotong di titik ( ))(, afa
)(xfy = a 1x 2x 3x 4x b
27
Fungsi f kontinu di 1x dan di setiap titik di dalam (a,b) kecuali di titik-titik 2x , 3x , 4x .
1. )(2
lim xfxx →
tidak ada
2. )3()(3
lim fxfxx
≠→
3. Nilai fungsi )4(xf tidak ada
Contoh
1. x
xxf 12)( −= diskontinu di x = 0 sebab )0(f tidak terdefinisi
2. Fungsi ⎩⎨⎧
≥<
=0,10,0
)(xx
xH
diskontinu di x = 0 sebab )(0
lim xHx →
tidak ada
3.
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥+
<<−+−≤+
=
1,2211,12
1,1)(
xx
xxxx
xf
a. diskontinu di x = -1 sebab )(1
lim xfx −→
tidak ada
b. kontinu di x = 1
Teorema
Jika fungsi f dan g kontinu di a, k sebarang konstanta real,
maka :
i. fgkfgf ,,± kontinu di a
ii. f/g kontinu di a dengan syarat 0)( ≠ag .
Teorema
Fungsi polynomial, fungsi pecah rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi
trigonometri kontinu pada domain masing-masing.
Contoh
1. 22)( ++= xxxf kontinu pada R
28
2. 1)( −= xxf kontinu pada ),1[ ∞
3. 1243
)(−
+=
x
xxf kontinu pada { }1&1 ≠−≠ℜ∈ xxx
BAB IV DERIVATIF/ TURUNAN
Definisi
Diberikan fungsi f dengan domain Df dan Dfa∈ .
Derivatif fungsi f di a, ditulis )(af ′ , didefinisikan sbb :
hafhaf
haf )()(
0lim)( −+
→=′ , asalkan limitnya ada.
Contoh
Diberikan fungsi xxf =)( , tentukan )0(f ′
Penyelesaian
hh
h
hh
h
hfhf
h
hfhf
hf
0lim
0
0lim
)0()(
0lim
)0()0(
0lim)0(
→=
−
→=
−
→=
−+
→=′
Karena ⎩⎨⎧
<−≥
=⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−
≥=
0,10,1
0,
0,
hh
hh
hhh
hhh
hh
Sehingga,
11
0
lim
0
lim =+
→
=+
→ hhh
h
Tetapi,
1)1(
0
lim
0
lim −=−−
→
=−
→ hhh
h
Karena limit kanan ≠ limit kiri, maka )0(f ′ tidak ada.
29
Latihan
Diberikan fungsi 32)( −= xxf , tentukan )2(f ′
Fungsi Turunan
Dari definisi turunan, untuk Dfa∈ ,
hafhaf
haf )()(
0lim)( −+
→=′ ….. (1)
Jika limit (1) ada, maka untuk { }ada)(afDfaD ′∈= dapat dibentuk fungsi f ′ pada D, yang disebut
fungsi turunan, yaitu : h
xfhxfh
xf )()(0
lim)( −+
→=′ ….. (2)
Contoh
{ } .....)(,0,)( =′≥∈== xfxRxDfxxf
Penyelesaian
0,2
1
10
lim
)()(
0lim
.0
lim
0lim
)()(
0lim)(
>=
++→=
++
−+
→=
++
++−+
→=
−+
→=
−+
→=′
xx
xhxh
xhxhxhx
h
xhxxhx
hxhx
h
hxhx
h
hxfhxf
hxf
Jika pada (1) diambil hax += , maka didapat :
axafxf
axaf
−−
→=′ )()(lim)( ….. (3)
Jika pada (2) diambil )(xfy = dan xh Δ= , maka didapat :
xxfxxf
xxf
Δ−Δ+
→Δ=′ )()(
0lim)( ….. (4)
30
Namakan )()( xfxxfy −Δ+=Δ , didapat :
xy
xxf
ΔΔ
→Δ=′
0lim)(
Apabila nilai xy
x ΔΔ
→Δ 0lim ada, maka nilainya dapat ditulis dengan notasi Leibnitz
dxdy .
Teorema
Jika fungsi f mempunyai turunan di titik ax = , maka fungsi f kontinu di titik ax = .
Sebaliknya tidak berlaku,
Counter example :
xxf =)( kontinu di titik 0=x , tetapi )0(f ′ tidak ada.
Rumus dasar dan sifat turunan
1. f fungsi konstan, yaitu kxf =)( .
0
0lim
)()(
0lim)(
=Δ−
→Δ=
Δ−Δ+
→Δ=′
xkk
x
xxfxxf
xxf
Jadi, 0)( =′ xf .
2. n
xxf =)( dengan n bilangan bulat 1
)(−
=′⇒n
nxxf
3. jika u dan v masing-masing mempunyai turunan dan k sebarang konstanta real, maka :
.0)(asalkan
,2
)]([
)().()().()()()()().(
)().()().()()().()().()(.)()(.)().(
)()()()()()().(
≠
′−′=′⇒=
′+′=′⇒=
′=′⇒=
′±′=′⇒±=
xvxv
xuxvxvxuxfxvxuxfiv
xuxvxvxuxfxvxuxfiiixukxfxukxfii
xvxuxfxvxuxfi
Aturan Rantai
1. Diketahui )(ufy = dengan )(xgu = maka :
)(.....)()()(.....)()(
iixgxxguiufuufy
−Δ+=Δ−Δ+=Δ
sehingga,
xu
uy
xy
ΔΔ
ΔΔ
=ΔΔ .
31
0)(
0 →Δ⇒→Δ uii
x sehingga diperoleh :
dxdu
dudy
xu
xuy
x
xu
uy
x
xy
xdxdy
.
0lim
0lim
.0
lim
0lim
=
ΔΔ
→ΔΔΔ
→Δ=
ΔΔ
ΔΔ
→Δ=
ΔΔ
→Δ=
Jadi, dxdu
dudy
dxdy .= dengan )(ufy = dan )(xgu = .
2. Jika f dan g mempunyai turunan, maka gf o juga dapat mempunyai turunan, yaitu :
[ ] )()).(())(()()( xgxgfxgfxgf ′′=′=′o
Contoh
.....,13)( =+=dxdyxxf
Penyelesaian
CARA I
13 += xy , y dapat dipandang sebagai fungsi f dan g dengan )()( xgxf = dan 13)( += xxg , f dan
g mempunyai turunan. ))(())(( xgfxgfy o== .
Sehingga :
132
23
23.)(2
1
)()).(()()(
+=
=
′′=′=′=
x
xdxdy
xxgdx
dy
xgxgfxgfydxdy
o
CARA II
Dengan notasi Leibnitz
13 += xy , misal 13 += xu , didapat uy =
32
ududy
xdxdu
21
23
=
=
Sehingga :
132
23
23.2
1
.
+=
=
=
x
xdxdy
xudx
dydxdu
dudy
dxdy
Latihan
.....,)142(2sin =−=dxdyxy
Turunan Fungsi Implisit
Fungsi eksplisit berbentuk : )(xfy = , sedangkan bentuk implisitnya adalah : 0)( =− xfy atau
.0),( =yxF
Langkah penurunan fungsi implisit :
1. Asumsikan y merupakan fungsi x dan diferensiabel
2. Turunkan kedua ruas terhadap x
3. Selesaikan dxdy ke dalam x dan y.
Contoh
......633 =⇒=+dxdyxyyx
Penyelesaian
xy
xy
xy
xydxdy
xydxdyxy
ydxdyx
dxdyyxxy
dxdyx
dxd
22
22
623
236
236)623(
662323)6(33
−
−=
−
−=⇔
−=−⇔
+=+⇔=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
33
Latihan
......4)23( =⇒=+dxdyxyx
Turunan Fungsi Invers
Misalkan )(xfy = mempunyai invers, yaitu )(ygx = , maka didapat :
,)()(
1)()(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Δ−Δ+
=−Δ+
Δ=
ΔΔ
xxfxxfxfxxf
xyx
dengan )()( ygyygx −Δ+=Δ , sehingga jika 0→Δy maka 0→Δx , diperoleh:
x
xfxxf
xxxxfxy
xxdy
dx
Δ
−Δ+
→Δ
=
ΔΔ+→Δ
=ΔΔ
→Δ=
)()(lim
0
1)(
10
lim0
lim Jadi,
dxdydy
dx 1=
Contoh
xxfy == )( , tentukan dxdy dan
dydx
Penyelesaian
xdxdy
21
=
x
dxdydy
dx 21==
Turunan Fungsi Trigonometri
Misalkan f(x) = sin(x) =→ )(' xf …..?
xxxx
x
xxfxxf
xxf
Δ−Δ+
→Δ=
Δ−Δ+
→Δ=′
)sin()sin(0
lim
)()(0
lim)(
x
xxxxxx Δ
−Δ+Δ=
→Δ
)sin()sin().cos()cos().sin(lim0
34
[ ]
)cos(20.1).sin()cos(
1)cos()sin(lim)sin(lim).sin()cos(
1)cos(1)cos(.1)cos(lim).sin()cos(
)sin().cos(lim1)cos()sin(lim
00
0
00
x
xx
xx
xxxx
xx
xxxx
xxx
xxx
xx
x
xx
=
+=
+ΔΔ
ΔΔ
+=
+Δ+Δ
Δ−Δ
+=
ΔΔ
+Δ
−Δ=
→Δ→Δ
→Δ
→Δ→Δ
Jadi, )cos()(' xxf =
Rumus-rumus dasar
1. )cos()(')sin()( xxfxxf =⇒=
2. )sin()(')cos()( xxfxxf −=⇒=
3. )(sec)(')tan()( 2 xxfxxf =⇒=
4. )(cos)(')cot()( 2 xecxfxxf −=⇒=
5. )tan().sec()(')sec()( xxxfxxf =⇒=
6. ).cot().(cos)(')(cos)( xxecxfxecxf −=⇒=
Contoh
Tentukan )(xf ′ jika x
xxfsec
1tan)( −=
Penyelesaian
xxxxxxxf
x
xdxdxx
dxdx
xf
xxxf
2
2
2
sectan.sec)1(tansec.sec)('
sec
)(sec).1(tan)1(tan.sec)('
sec1tan)(
−−=
−−−=
−=
35
xxxf
xxxxxf
xxxxxf
xxxxxf
sectan1)('
sectan)1(secsec)('
sectantansec)('
sectan)1(tansec)('
22
22
2
+=
+−−=
+−=
−−=
Latihan
Tentukan dxdy dari fungsi-fungsi berikut:
1. xxy 55 tan5tan5 +=
2. 5 5sec xy =
3. )23()sin( 222 +=+ xyyx
Turunan Fungsi Siklometri
Misalkan )sin(xarcy = , berarti )sin( yx = .
...=dxdy
22 1)(sin1)cos( xyydydx
−=−==
Jadi, 21
11
xdydxdx
dy
−==
Dengan cara sama diperoleh:
1
1)(cos.5
1
1)sec(.4
11)cot(.3
11)tan(.2
1
1)cos(.1
2
2
2
2
2
−
−=⇒=
−=⇒=
+−
=⇒=
+=⇒=
−
−=⇒=
xxdxdyxecarcy
xxdxdyxarcy
xdxdyxarcy
xdxdyxarcy
xdxdyxarcy
36
Contoh
Tentukan turunan dari fungsi )sin(.1 2 tarcts −=
Penyelesaian
222
2
22
2
1
)arcsin(11
1.112
2).arcsin(
))(arcsin(.11).arcsin(
)sin(.1
t
tt
tt
t
ttdtds
dttdt
dttdt
dtds
tarcts
−−=
−−+
−
−=
−+−
=
−=
Latihan
Tentukan turunan dari fungsi ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=xxy
11arctan
Turunan Fungsi Logaritma
xxx
xxax
xxxa
xxxa
xxxaxxa
xy
xy
xdxdy
xdanaaxay
1)1log(
1
)log(
)log(1)log()log(0
lim
.0,1,0,log
⋅ΔΔ
+=ΔΔ+
=
Δ+⋅
Δ=
Δ−Δ+
=ΔΔ
=ΔΔ
→Δ=
>≠>=
K
Sehingga diperoleh
xe
xx
xx
xy
dxdy
a
xxx
x
a
xxx
a
xx
1
)log(
])1(limlog[
)1log(limlim
1
0
1
00
=
Δ+=
Δ+=
ΔΔ
=
⋅Δ
→Δ
⋅Δ
→Δ→Δ
)ln(1
loglog1log1 Jadi,
axae
xe
xdxdy
e
ea =⋅=⋅=
xdxdyxxea e 1lnlog: diperoleh diambil Jika =⇒==
37
Contoh
Tentukan ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=xaxay
dxdy lnfungsi dari
Penyelesaian
xaxauy
xaxay
+−
==+−
= :ln);ln(
22
2
2
2)(
2)(
)()(1
xaa
xaa
xaxa
xaxaxa
u
dxdu
dudy
dxdy
−−
=
+−
−+
=
+−−+−
⋅=
⋅=
22
22
2
)()(
1)1(1
)ln()ln()ln(
atau
xaa
xaxaxaxaxadx
dy
xaxaxaxay
−−
=
−−−+−
=
+−−
−=
+−−=+−
=
Latihan
1. Tentukan xydxdy lnfungsi dari =
2. Tentukan xxydxdy
=fungsi dari
38
Turunan Fungsi Eksponensial
Misalkan yxberartiaay ax log0, =>=
K=
=
==→=→=
====
+
dxdy
ey
eee
eedxdyeyea
aaayaydy
dxdxdy
xx
xxx
x
2sin2
Contohlog
)ln( diambil jika
)ln(.)ln(.)ln(.
111
Penyelesaian
2
2
sin2
2sin2
)cos(2
)2cos2.(
sin2;
xx
u
uxx
exx
xxedxdu
dudy
dxdy
xxudenganeyey
+
+
+=
+=⋅=
+===
Turunan Fungsi Parameter
Fungsi )(xfy = sering dinyatakan dalam bentuk parameter yaitu :
)()(
thxtgy
==
dengan t suatu parameter
dtdx
dtdy
dtdxdt
dydxdt
dtdy
dxdy
=
⋅=⋅=1
Contoh
tey
text
t
cos
sin
=
= ⟩ K=dxdy
Penyelesaian
tetetete
dtdx
dtdy
dtdxdt
dydxdt
dtdy
dxdy
ttey
ttex
tt
tt
cossinsincos
1
cos
sin
+−
==
⋅=⋅==
=
39
tttt
dxdy
cossinsincos Jadi,
+−
=
Turunan Tingkat Tinggi
Diberikan fungsi )(xfy =
xxfxxfxf
x Δ−Δ+
=→Δ
)()(lim)('0
ada, maka nilai limitnya
disebut TURUNAN TINGKAT I dari ).(xf
2
2)()("
dxyd
dxdx
dydxf == disebut TURUNAN TINGKAT II dari ).(xf
M
n
nn
dxydxf =)()( disebut TURUNAN TINGKAT –n dari ).(xf
Contoh
K=→−== )()1ln()( )( xfxxfy n
Penyelesaian
xdxdyxf
−−
==1
1)('
22
2
)1(1)()("xdx
dydxd
dxydxf
−−
===
32
2
3
3
)1(2)()('''xdx
yddxd
dxydxf
−−
===
nx
nxnf
xdxyd
dxd
dxydxf
)1(
)!1()()(
)1(3.2)()( 43
3
4
4)4(
−
−−=
−−
===
M
40
Latihan
1. Tentukan 2
2
dxyd dari fungsi berikut :
2ty
ex t
=
=
2. Tentukan )()( xf n dari fungsi xxf sin)( =
3. Hitunglah derivative dari fungsi-fungsi berikut ini :
a. ⎩⎨⎧
−≥+−<−
=1,12
1,)(2
xxxxxG
di titik 1−=x
b. |2|)( −= xxH di titik 2=x
c. 032 =+−+ xyxy
d. 5)sin( xyyx =+
e. )1sin( 3 += xy
f. 1++= xxy
KUIS
......=⇒
dx
dy
222)22( yxyx −=+
1
DERET TAYLOR DAN DERET MACLAURIN
Teorema
Misalkan f mempunyai turunan sampai tingkat (n+1) pada selang I dan Ia∈ maka )(xf
dapat dituliskan sebagai :
)()(!
)(.....)(!2
)()(!1
)()()()(
2 xRaxn
afaxafaxafafxf nn
n
+−++−′′
+−′
+=
dengan 1)1(
)()!1(
)()( ++
−+
= nn
n axn
cfxR disebut suku sisa dan c suatu titik antara x dan a.
Dengan kata lain fungsi f bisa didekati oleh :
nn
axn
afaxafaxafafxf )(!
)(.....)(!2
)()(!1
)()()()(
2 −++−′′
+−′
+≈
Rumus di atas disebut deret Taylor dari f(x) di sekitar ax = .
Jika 0=a maka deret Taylor menjadi :
nn
xn
fxfxffxf!
)0(.....!2
)0(!1
)0()0()()(
2 ++′′
+′
+=
Deret di atas disebut deret Maclaurin.
Jadi deret Maclaurin dari f(x) adalah deret Taylor f(x) di sekitar 0=x .
Rumus-rumus deret Maclaurin dari beberapa fungsi :
1. .....!3!2
132
++++=xxxex
2. .....!5!3
sin53
−+−=xxxx
3. .....!4!2
1cos42
−+−=xxx
4. .....11
1 32 ++++=−
xxxx
5. .....11
1 32 +−+−=+
xxxx
6. .....11
1 6422 +−+−=
+xxx
x
2
Contoh
Tentukan deret Taylor fungsi xxf ln)( = di sekitar 1=x
Penyelesaian
......)1(!
)1(.....)1(!2
)1()1(!1
)1()1()()(
2 +−++−′′
+−′
+= nn
xn
fxfxffxf
n
nn
n
nn
xnxf
xnnxf
fxxf
fxxf
fxxf
fxxffxxf
)!1()1()(1.2.3).....2)(1()1()(
3.2)1(/3.2)(
2)1(/2)(
1)1(/1)(
1)1(/1)(01ln)1(ln)(
1)(
1)(
)4(4)4(
3
2
−−=⇒
−−−=
−=⇒−=
=′′′⇒=′′′
−=′′⇒−=′′
=′⇒=′==⇒=
++
MMM
Jadi,
......)1()1(.....)1(41)1(
31)1(
21)1(ln)(
......)1(!
)!1()1(.....)1(!42.3)1(
!32)1(
!21)1(
!110)(
1432
1432
+−−
++−−−+−−−==
+−−−
++−−−+−−−+=
+
+
nn
nn
xn
xxxxxxf
xn
nxxxxxf