learning4man.weebly.comlearning4man.weebly.com/uploads/1/6/5/2/16527750/materi... · web...
If you can't read please download the document
TRANSCRIPT
Diferensial
Bab 23
Diferensial
DIFERENSIAL. Untuk fungsi y = f(x), didefinisikan:
(a) dx, disebut diferensial x, dengan hubungan dx = x.
(b) dy, disebut diferensial y, dengan hubungan dy = f(x)dx.
Dari definisi, diferensial peubah bebas adalah sama dengan pertambahan peubah tersebut, tetapi diferensial peubah yang bergantung tidak sama dengan pertambahan peubah tersebut. Lihatlah Gambar 23-1 di bawah ini.
Contoh 1:
Jika y = x2, dy = 2x dx sedang y = (x + x)2 x2 = 2x x + (x)2 = 2x dx + (dx)2. Suatu penjelasan geometrik diberikan dalam Gambar 23-2. Terlihat bahwa y dan dy berbeda dengan bujur sangkar kecil dengan luas (dx)2.
R
dx
=
x
y
dy
y
0
x
Q
S
P
)
(
x
x
y
y
dy
y
dx
x
x
y
,
,
,
x
+
+
+
+
)
(
(
)
x
x
x
dx
dx
d
x
x
dx
x
dx
d
x
x
x
()
dx
2
()
a
y x
=
2
dy x dx
=
1
2
d
y
x
d
x
=
1
2
()
d
()
c
Gambar 23-1
Gambar 23-2
DIFERENSIAL dy dapat dicari dengan menggunakan definisi dy = f(x)dx atau dengan bantuan ketentuan-ketentuan yang langsung diperoleh dari ketentuan-ketentuan untuk mendapatkan turunan. Beberapa di antaranya adalah:
d(c) = 0, d(cu) = c du, d(uv) = u dv + v du,
d
u
v
=
2
vduudv
v
-
, d(sin u) = cos u du, d(ln u) =
du
u
, dst.
Contoh 2: Cari dy untuk tiap fungsi berikut:
(a)y
=x3 + 4x2 5x + 6
dy=d(x3) + d(4x2) d(5x) + d(6) = (3x2 + 8x 5) dx
(b)y
=(2x3 + 5)3/2
dy=
3
2
(2x3 + 5)1/2 d(2x3 + 5) =
3
2
(2x3 + 5)1/2 6x2 dx = 9x2(2x3 + 5)1/2 dx
Lihat Soal-soal 1-5
PENDEKATAN DENGAN DIFERENSIAL. Jika dx = x relatif kecil bila dibandingkan dengan x, dy adalah pendekatan yang cukup baik untuk y.
Contoh 3:
Ambillah y = x2 + x + 1 dan misalkan x berubah dari x = 2 menjadi x = 2,01. Perubahan y yang sebenarnya adalah y = [(2,01)2 + 2,01 + 1] [22 + 2 + 1] = 0,0501. Pendekatan perubahan y, yang diperoleh dengan mengambil x = 2 dan dx = 0,01, adalah dx = 0,01, adalah dy = f(x) dx = (2x + 1)dx = [2(2) + 1] 0,01 = 0,05.
Lihat Soal-soal 6-10
PENDEKATAN AKAR-AKAR PERSAMAAN. Misalkan x = x1 adalah pendekatan yang cukup dekat dari akar r persamaan y = f(x) = 0 dan misalkan f(x1) = y1 0. Maka y1 berbeda dari 0 dengan jumlah yang kecil. Sekarang jika x1 diubah ke r, perubahan yang bersangkutan dalam f(x1) adalah y1 = -y1. Pendekatan perubahan ini dalam x1 diberikan oleh f(x1)dx = -y1 atau dx1 = -
(
)
1
1
'
y
fx
. Jadi, pendekatan kedua dan lebih baik dari akar r adalah x2 = x1 + dx1 = x1 -
(
)
1
1
'
y
fx
= x1 -
(
)
(
)
1
1
'
fx
fx
. Pendekatan ketiga adalah x3 = x2 + dx2 = x2 -
(
)
(
)
1
1
'
fx
fx
, dan seterusnya.
x
y
0
x
2
(
)
,
0
0
0
(
)
,
x
1
(
)
,
P
r
x
1
,
f
(
)
(
)
x
1
Q
Gambar 23-3
Jika x1 tidak merupakan pendekatan yang cukup dekat dari suatu akar, maka akan terlihat bahwa x2 berbeda jauh dari x1. Walaupun proses ini dari waktu ke waktu memperbaiki dirinya sendiri, akan lebih mudah untuk membuat pendekatan pertama yang baru.
Lihat Soal-soal 11-12
Soal-soal yang Dipecahkan
1.Cari dy untuk tiap-tiap fungsi berikut:
(a)y
=
3
2
21
3
xx
x
++
+
.
dy=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2332
2
2
321213
3
xdxxxxdx
x
+++-+++
+
gg
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
223
2
2
332212
3
xxdxxxxdx
x
++-++
+
=
(
)
42
2
2
726
3
xxx
x
+-+
+
dx
(b)y
=cos2 2x + sin 3x.
dy=2 cos 2x d(cos 2x) + d(sin 3x) = 2 cos 2x(-2 sin 2x dx) + 3 cos 3x dx
=-4 sin 2x cos 2x dx + 3 cos 3x dx = (-2 sin 4x + 3 cos 3x) dx
(c)y
=e3x + arc sin 2x.dy = (3e3x + 2/
2
14
x
-
) dx
Diferensiasi Soal-soal 2-5, dg menggunakan diferensial, dan dapatkan dy/dx.
2.xy + x 2y = 5.
d(xy) + d(x) d(2y) = d(5).
x dy + y dx + dx 2 dy = 0 atau (x 2) dy + (y + 1) dx = 0. Maka
dy
dx
= -
1
2
y
x
+
-
.
3.x3y2 2x2y + 3xy2 8xy = 6.
2x3y dy + 3x2y2 dx 2x2 dy 4xy dx + 6 xy dy + 3y2 dx 8x dy 8y dx = 0
dy
dx
=
222
32
8343
2268
yyxyxy
xyxxyx
-+-
-+-
4.
2
x
y
-
3
y
x
= 8.2
2
ydxxdy
y
-
- 3
2
xdyydx
x
-
= 0 dan
dy
dx
=
23
23
23
32
xyy
xyx
+
+
5.x = 3 cos cos 3, y = 3 sin sin 3.
dx = (-3 sin + 3 sin 3)d, dy = (3 cos cos 3)d, dan
dy
dx
=
coscos3
sinsin3
-
-+
6.Gunakan diferensial untuk mendekati: (a)
3
124
, (b) sin 60o1.
(a)Untuk y = x1/3, dy =
2/3
1
3
x
dx. Ambil x = 125 = 53 dan dx = -1. Maka dy =
(
)
2/3
1
3125
(-1) =
1
75
-
= -0,0133 dan secara pendekatan
3
124
= y + dy = 5 0,0133 = 4,9867.
(b)Untuk x = 60o dan dx = 1 = 0,0003 rad, y = sin x =
3
/2 = 0,866 03 dan dy = cos x dx = (0,0003) = 0,000 15. Maka secara pendekatan sin 60o1 = 0,866 03 + 0,000 15 = 0,866 18.
7.Hitung y, dy, dan y dy, bila y =
1
2
x2 + 3x, x = 2, dan dx = 0,5
y = {
1
2
(2,5)2 + 3(2,5)} {
1
2
(2)2 + 3(2)} = 2,625
y = (x + 3)dx = (2 + 3)(0,5) = 2,5y dy = 2,625 2,5 = 0,125.
8.Cari perubahan volume kubus sisi x cm yang didekati, yang disebabkan oleh pertambahan sisi-sisinya dengan 1%.
V = x3 dan dV = 3x2 dx. Jika dx = 0,01x, dV = 3x2(0,01x) = 0,03x3 cm3.
9.Cari massa yang didekati suatu pipa tembaga yang panjangnya 2 m, jika diameter dalam adalah 2,5 cm dan tebalnya 0,25 cm. Rapat massa tembaga adalah 8800 kg m-3.
Mula-mula cari perubahan volume jika jari-jari r = 1/80 diubah dengan dr = 1/400 m.
V = 2r2 dan dV = 4r dr = 4(1/80)(1/400) = /8000 m3
Massa yang ditanyakan adalah 8800(/8000) = 3,46 kg.
10.Untuk nilai x berapa
5
x
dapat dipakai sebagai ganti
5
1
x
+
, jika kesalahan yang diperbolehkan harus lebih kecil dari 0,001?
Jika y = x1/5 dan dx = 1, dy =
1
5
x-4/5dx =
1
5
x-4/5.
Jika
1
5
x-4/5 < 10-3, maka x-4/5 < 5 10-3 dan x-4 < 55 10-15.
Jika x-4 < 10 55 10-16, maka x4 >
16
10
31250
dan x >
4
4
10
31250
= 752,1.
11.Dekati akar-akar (riil) dari x3 + 2x 5 = 0 atau x3 = 5 2x.
(a)Pada sumbu-sumbu sama, gambar grafik y = x3 dan y = 5 2x.
Absis titik-titik potong kurva adalah akar-akar persamaan yang diketahui.
Dari grafik, terlihat bahwa ada satu akar yang nilai pendekatannya adalah x1 = 1,3.
(b)Pendekatan kedua akar ini adalah
x2 = x1 -
(
)
(
)
1
1
'
fx
fx
= 1,3 -
(
)
(
)
(
)
3
2
1,321,35
31,32
+-
+
= 1,3 -
0,203
7,07
-
= 1,3 + 0,03 = 1,33
Pembagian dilakukan untuk mencapai dua desimal, karena hanya ada satu nol yang segera mengikuti titik desimal. Ini sejalan dengan teorema: Jika dalam suatu pembagian, k buah buah nol segera mengikuti titik desimal dalam hasil bagi, maka pembagian dapat dilakukan sampai 2k desimal.
(c)Pendekatan ketiga dan keempat adalah:
x3 = x2 -
(
)
(
)
2
2
'
fx
fx
= 1,33 -
(
)
(
)
(
)
3
2
1,3321,335
31,332
+-
+
= 1,33 0,0017 = 1,3283
x4 = x3 -
(
)
(
)
3
3
'
fx
fx
= 1,3283 0,00003114 = 1,32826886
12.Dekati akar-akar 2 cos x x2 = 0.
(a)Kurva-kurva y = 2 cos x dan y = x2 berpotongan pada dua titik yang absisnya adalah kira-kira 1 dan -1. Perhatikan bahwa jika r adalah suatu akar, maka r adalah akar yang lain.
(b)Dengan menggunakan x1 = 1: x2 = 1 -
2 cos 11
2 sin12
-
--
= 1 +
(
)
(
)
20,54031
20,84152
-
+
= 1 + 0,02 = 1,02.
(c)x3 = 1,02 -
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 cos1,021,02
2 sin1,0221,02
-
--
= 1,02 +
0,0064
3,7442
= 1,02 + 0,0017 = 1,0217.
Jadi, sampai empat desimal, akar-akarnya adalah 1,0217 dan -1,0217.
Soal-soal Tambahan
13.Cari dy untuk tiap fungsi berikut.
(a)y = (5 x)3Jawab: -3(5 x)2 dx(d)y = cos bx2Jawab: -2bx sin bx2 dx
(b)y =
2
4
x
e
Jawab: 8
2
4
x
e
dx(e) y = arc cos 2xJawab:
2
2
14
x
-
-
dx
(c) y = (sin x)/xJawab:
2
cossin
xxx
x
-
dx(f) y = ln tan xJawab:
2
sin2
dx
x
14.Cari dy/dx seperti dalam Soal-soal 2-5.
(a) 2xy3 + 3x2y = 1Jawab: -
(
)
(
)
2
2
23
32
yyx
xyx
+
+
(c) arc tan
y
x
= ln (x2 + y)Jawab:
2
2
xy
xy
+
-
(b) xy = sin (x y)Jawab:
(
)
(
)
cos
cos
xyy
xyx
--
-+
(d) x2 ln y + y2 ln x = 2Jawab: -
(
)
(
)
22
22
2ln
2ln
xyyy
xxxx
+
+
15.Gunakan diferensial untuk mendekati: (a)
4
17
, (b)
5
1020
, (c) cos 59o, (d) tan 44.
Jawab: (a) 2,0315, (b) 3,99688, (c) 0,5151, (d) 0,9651
16.Gunakan diferensial untuk mendekati perubahan dalam (a) x3 jika x berubah dari 5 ke 5,01; (b) 1/x jika x berubah dari 1 ke 0,98. Jawab: (a) 0,75, (b) 0,02
17.Suatu keping lingkaran muai karena pengaruh panas sehingga jari-jarinya bertambah dari 12,5 cm ke 12,65 cm. Carilah pertambahan luas yang didekati. Jawab: 3,75 = 11,79 cm2
18.Suatu bola es jari-jari 10 cm menyusut hingga jari-jarinya 9,8 cm. Dekati pengurangan dalam (a) volume dan (b) luas permukaan. Jawab: (a) 80 cm3, (b) 16 cm2
19.Kecepatan (v ms-1) yang dicapai sebuah benda yang jatuh bebas dari jarak h m diberikan oleh v =
19,6
h
. Carilah kesalahan dalam v karena kesalahan 0,15 m pada pengukuran h sebesar 30 m. Jawab: 0,061 ms-1
20.Jika pilot terbang mengelilingi bumi pada jarak 2 km di atas khatulistiwa, berapa km lebih banyak yang ditempuhnya dibandingkan seseorang yang melintas sepanjang khatulistiwa? Jawab: 12,6 km
21.Jari-jari suatu lingkaran harus diukur kemudian luasnya dihitung. Jika jari-jarinya dapat diukur sampai 0,001 cm dan luasnya harus mempunyai ketepatan 0,1 cm2, carilah jari-jari maksimum dimana proses ini dapat digunakan. Jawab: Sekitar 16 cm
22.Jika pV = 20 dan p diukur sebesar 5 0,02, carilah V. Jawab: V = 4 0,016
23.Jika F = 1/r2 dan F diukur sebesar 4 0,05, carilah r. Jawab: 0,5 0,003
24.Carilah perubahan dalam permukaan total suatu kerucut lingkaran total jika (a) jari-jarinya tetap sedang tingginya berubah dengan jumlah yang kecil, (b) tingginya tetap sedang jari-jarinya berubah dengan jumlah yang kecil.
Jawab: (a)
22
rhdh
rh
p
+
,(b)
22
22
2
2
hr
r
rh
+
+
+
dr
25.Cari sampai 4 desimal, (a) akar riil dari x3 + 3x + 1 = 0, (b) akar terkecil dari e-x = sin x, (c) akar x2 + ln x = 2, (d) akar x cos x = 0.
Jawab: (a) -0,32222, (b) 0,5885, (c) 1,3141, (d) 0,7391
Bab 24
Penjejakan Kurva
SUATU KURVA ALJABAR BIDANG adalah kurva yang persamaannya dapat ditulis dalam bentuk
ayn + (bx + c)yn-1 + (dx2 + ex + f)yn-2 + . . . un(x) = 0
dengan un(x) adalah suatu polinomial dalam x dengan derajat n. Sifat kurva aljabar dibahas di bawah ini.
SIMETRI. Suatu kurva adalah simetrik terhadap
(1)sumbu-x; jika persamaannya tidak berubah jika y diganti oleh y.
(2)sumbu-y; jika persamaannya tidak berubah jika x diganti oleh x.
(3)titik asal, jika persamaannya tidak berubah jika x diganti oleh x dan y oleh y secara serentak
(4)garis y = x, jika persamaannya tidak berubah jika x dan y saling ditukarkan.
TITIK-TITIK POTONG. Titik-titik potong-x diperoleh dengan mengambil y = 0 dalam persamaan dan mencari x. Titik-titik potong y diperoleh dengan mengambil x = 0 dan mencari y.
LINGKUP. Lingkup horisontal diberikan oleh jangkauan x, yaitu selang x dimana kurva ada. Lingkup vertikal suatu kurva diberikan oleh jangkauan y. Suatu titik (x0, y0) disebut titik terisolasi dari kurva jika koordinatnya memenuhi persamaan kurva, sedang titik-titik lain di dekatnya tidak.
TITIK-TITIK MAKSIMUM DAN MINIMUM. Titik balik, dan kecekungan. Ini telah dibahas dalam Bab 8.
ASIMPTOT. Sebuah asimptot suatu kurva yang tak berhingga lingkupnya adalah sebuah garis yang kedudukannya didekati sebagai limit oleh suatu sekan pada kurva, bila dua buah titik potongnya dengan kurva menyusut secara tak tentu sepanjang kurva.
Suatu kurva akan mempunyai asimptot vertikal jika, bila persamaannya ditulis dalam bentuk di atas, koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah fungsi x yang tak konstan yang mempunyai satu atau lebih faktor linear (riil). Untuk tiap faktor semacam itu, ada sebuah asimptot vertikal.
Suatu kurva akan mempunyai asimptot horisontal jika, bila persamaannya ditulis dalam bentuk axn + (by + c)xn-1 + (dy2 + ey + f)xn-2 + . . . = 0, koefisien x dengan pangkat tertinggi adalah fungsi y yang tak konstan yang mempunyai satu atau lebih faktor linear (riil). Untuk tiap faktor semacam itu, ada sebuah asimptot horisontal.
Untuk memperoleh persamaan asimptot miring:
(1)Ganti y dengan mx + b dalam persamaan kurva dan susun hasilnya dalam bentuk
a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + . . . + an-1x + an = 0
(2)Pecahkan secara serentak persamaan a0 = 0 dan a1 = 0 untuk m dan b.
(3)Untuk tiap pasangan pemecahan m dan b, tulis persamaan suatu asimptot y = mx + b. Jika a1 = 0, berapapun nilai b, persamaan a0 = 0 dan a2 = 0 harus dipergunakan dalam (3).
TITIK-TITIK SINGULAR. Suatu titik singular kurva aljabar adalah sebuah titik dimana dy/dx mempunyai bentuk tak tentu 0/0.
Untuk menentukan titik singular suatu kurva, dapatkan
dy
dx
=
(
)
(
)
gx
hx
, tanpa menyederhanakan dengan menghilangkan faktor yang sama, dan cari akar-akar yang sama dari g(x) = 0 dan h(x) = 0.
Jika (x0, y0) adalah titik singular kurva, penelitian lebih lanjut disederhanakan dengan mensubstitusi x = x + x0, y = y + y0. Sekarang dalam sistem koordinat yang baru titik singular adalah titik (0, 0).
TITIK SINGULAR DI TITIK ASAL. Jika titik asal adalah suatu titik pada suatu kurva, persamaannya dapat ditulis dalam bentuk
(a1x + b1y) + (a2x2 + b2xy + c2y2) + (a3x3 + b3x2y + c3xy2 + d3y3) + . . . = 0
Jika a1 = b1 = 0, titik asal adalah titik singular kurva.
Jika a1 = b1 = 0, tetapi tidak semua a2, b2, c2 adalah nol, titik singular disebut titik ganda.
Jika a1 = b1 = a2 = b2 = c2 = 0, tetapi tidak semua a3, b3, c3, d3 adalah nol, titik singular disebut titik rangkap tiga, dan seterusnya.
KLASIFIKASI TITIK GANDA DI TITIK ASAL
A.Kasus: c2 0
(1)Ganti y dengan mx dalam suku-suku a2x2 + b2xy + c2y2 untuk memperoleh (c2m2 + b2m + a2)x2.
(2)Pecahkan c2m2 + b2m + a2 = 0 untuk m.
Jika akar-akar m1 dan m2 adalah riil dan berbeda, kurva mempunyai dua tangent yang berbeda y = m1x dan y = m2x di titik asal dan titik ganda adalah suatu simpul.
Jika akar-akar adalah riil dan sama, kurva pada umumnya mempunyai tangen tunggal di titik asal dan di titik ganda tersebut
(a)cusp, bila kurva tidak terus ke titik asal.
(b)tacnode, bila kurva terus lewat titik asal.
Dalam kasus-kasus luar biasa, titik asal dapat merupakan titik yang terisolasi. Jika akar-akarnya adalah khayal, titik asal adalah titik ganda terisolasi.
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y
Node
Cusp
Cusp
Tacnode
Isolated Point
Gambar 24-1
B.Kasus: c2 = 0, a2 0.
Ganti x dengan ny dalam suku-sukunya a2x2 + b2xy dan lanjutkan seperti di A.
C.Kasus: a2 = c2 = 0, b2 0
Titik asal adalah suatu simpul, kedua tangen di sana adalah sumbu-sumbu koordinat.
Soal-soal yang Dipecahkan
ASIMPTOT
1.Cari persamaan asimptot dari y2(1 + x) = x2(1 - x).
Koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah (1 + x); garis x + 1 = 0 adalah asimptot vertikal. Tidak ada asimptot horizontal karena koefisien x dengan pangkat tertinggi adalah konstanta.
Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk memperoleh
(m2 + 1)x3 + (m2 + 2mb -1)x2 + b(b + 2m)x + b2 = 0(1)
Pemecahan serentak koefisien-koefisien dari x dengan kedua pangkat tertinggi disamakan dengan nol.
m2 + 1 = 0 dan m2 + 2mb 1 = 0
adalah khayal. Tidak ada asimptot miring. (Lihatlah Gambar 24-2 di halaman 129).
2.Cari persamaan asimptot x3 + y3 6x2 = 0.
Tidak ada asimptot horisontal maupun vertikal karena koefisien x dan y dengan pangkat tertinggi adalah konstanta. Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk mendapatkan
(m3 + 1)x3 + 3(m2b 2)x2 + 3mb2x + b3 = 0(1)
Pecahkan secara serentak m3 + 1 = 0 dan m2b 2 = 0: m = -1, b = 2. Persamaan asimptot adalah y = -x + 2.
Jika m = -1 dan b = 2 disubstitusikan ke dalam (1), persamaan menjadi -12x + 8 = 0. Maka x = 2/3 adalah absis titik potong berhingga dari kurva dengan asimptotnya (lihatlah gambar 24-3 di halaman 130).
3.Cari persamaan asimptot dari y2(x 1) x3 = 0.
Koefisien y dengan pangkat tertinggi adalah (x 1), garis x 1 = 0 adalah suatu asimptot vertikal. Tidak ada asimptot horisontal.
Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b, untuk mendapatkan
(m2 1)x3 + m(2b m)x2 + b(b 2m)x b2 = 0(1)
Pecahkan secara serentak m2 1 = 0 dan m(2b m) = 0: m = 1, b =
1
2
dan m = -1, b = -
1
2
.
Persamaan-persamaan asimptot adalah y = x +
1
2
dan y = -x -
1
2
Asimptot y = x +
1
2
memotong kurva di titik terhingga yang absisnya diberikan oleh
1
2
(
1
2
- 2)x -
1
4
= 0, yaitu x = -
1
3
. Absis titik potong terhingga dari kurva dan asimptot y = -x -
1
2
adalah juga -
1
3
. (Lihat Gambar 24-4 di bawah).
TITIK-TITIK SINGULAR
4.Selidiki y2(1 + x) = x2(1 x) untuk titik-titik singular.
Suku-suku dengan derajat terendah adalah derajat dua; titik asal adalah titik ganda.
Karena c2 0, artinya suku y2 ada, ganti y dengan mx dalam suku-suku y2 x2 dan samakan koefisien x2 dengan nol untuk memperoleh m2 1 = 0.
Maka m = 1 dan garis y = x dan y = -x adalah tangen pada kurva di titik asal. Titik asal adalah simpul. (Lihat Gambar 24-2 di halaman 129).
5.Selidiki x3 + y3 6x2 = 0 untuk titik-titik singular.
Suku derajat terendah adalah derajat dua, titik asal adalah titik ganda.
Karena c2 = 0, ganti x dengan ny dalam suku-suku derajat terendah dan samakan koefisien y2 dengan nol untuk memperoleh n2 = 0. Terdapat tangen tunggal x = 0, pada kurva di titik asal.
Titik ganda adalah sebuah cusp, karena jika y = -, persamaan x3 6x2 3 = 0, dari aturan tanda Descartes, mempunyai satu akar positif dan dua akar khayal, dan kurva tidak meneruskan ke titik asal. (Lihat Gambar 23-3 di halaman 130).
6.Selidiki y2(x 1) x3 = 0 untuk titik-titik singular.
Suku-suku deraat terendah adalah derajat dua; titik asal adalah titik ganda.
Karena c2 0, ganti y dengan mx dalam suku-suku derajat terendah dan samakan koefisien x2 dengan nol untuk memperoleh m2 = 0. Titik asal adalah cusp, karena untuk x < 0, y terdefinisikan, tetapi untuk 0 < x < 1, y adalah khayal. (Lihat Gambar 24-4 di halaman 130).
7.Selidiki y2(x2 4) = x4 untuk (a) titik-titik singular dan (b) asimptot.
(a)Titik asal adalah titik ganda. Karena a2 = b2 = 0 dan c2 0, hasil substitusi y = mx dan menyamakan dengan nol adalah m2 = 0, Titik asal adalah titik ganda terisolasi karena untuk x dekat 0, y adalah khayal.
(b)Garis-garis x = 2 dan x = -2 adalah asimptot vertikal.
Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk memperoleh
(m2 1)x4 + 2mbx3 + (b2 4m2)x2 8mbx 4b2 = 0
Pecahkan secara serentak m2 1 = 0 dan mb = 0: m = 1, b = 0 dan m = -1, b = 0. Persamaan asimptot adalah y = x dan y = -x.
Asimptot miring memotong kurva di titik asal. (Lihat Gambar 24-5 di halaman 130).
PENJEJAKAN KURVA
8.Bahas dan gambar kurva y2(1 + x) = x2(1 x).
Simetri. Kurva simetrik terhadap sumbu-x.
Titik potong. Titik potong-x adalah x = 0 dan x = 1. Titik potong-y adalah y = 0.
Lingkup. Kurva ada dalam selang -1 < x ( 1 dan untuk semua nilai y.
Titik-titik maksimum dan minimum, dan seterusnya. Kurva terdiri dari dua cabang
-1
1
0
x
y
y
x
x
x
2
(
)
+
1
1
2
=
(
)
-
Gambar 24-2
y =
1
1
xx
x
-
+
dan y = -
1
1
xx
x
-
+
. Untuk yang pertama,
dy
dx
=
(
)
(
)
2
3/21/2
1
11
xx
xx
--
+-
dan
2
2
dy
dx
=
(
)
(
)
5/23/2
2
11
x
xx
-
+-
Nilai-nilai kritis adalah x = 1 dan (-1 +
5
)/2. Titik,
(
)
1552
15
,
22
-+-
-+
adalah titik maksimum. Tidak ada titik balik. Cabang adalah cekung ke bawah.
Dari simetri, ada titik minimum di
(
)
1552
15
,
22
-+-
-+
-
dan cabang kedua adalah cekung ke atas.
Asimptot. Dari Soal 1, garis x = -1 adalah asimptot vertikal.
Titik-titik Singular. Dari Soal 4, titik asal adalah sebuah simpul, (titik ganda atau simpul) tangen adalah garis-garis y = x dan y = -x.
9.Bahas dan gambar kurva y3 x2(6 x) = 0. Lihat Gambar 24-3 di halaman 130.
Simetri. Tidak ada simetri.
Titik potong. Titik potong adalah x = 0, x = 6 dan y = 0.
Lingkup. Kurva ada untuk semua nilai x dan y.
Titik-titik maksimum dan minimum, dan seterusnya.
dy
dx
=
(
)
2/3
1/3
4
6
x
xx
-
-
dan
2
2
dy
dx
=
(
)
5/3
4/3
8
6
xx
-
-
.
Nilai-nilai kritis adalah x = 0, 4, 6; (0, 0) adalah titik minimum dan (4, 2
3
4
) adalah titik maksimum. Titik (6, 0) adalah titik balik, kurva adalah cekung ke bawah ke kiri dan cekung ke atas ke kanan.
Asimptot. Dari Soal 2, garis y = -x + 2 adalah asimptot.
Titik-titik Singular. Dari Soal 5, titik asal adalah cusp, tangen (cuspidal) adalah sumbu-y.
0
y
x
2
2
4
6
y
x
1
0
x3 + y3 - 6x2 = 0
y2(x 1) x3 = 0
Gambar 24-3
Gambar 24-4
10.Bahas dan gambar kurva y2(x 1) x3 = 0. Lihat Gambar 24-4 di atas.
Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-x.
Titik potong. Titik potong adalah, x = 0 dan y = 0.
Lingkup. Kurva ada pada selang - < x < 0 dan x > 1, dan untuk semua nilai y.
Titik-titik maksimum dan minimum, dan lain-lain. Untuk cabang y = x
1
x
x
-
,
dy
dx
=
(
)
(
)
1/2
3/2
23
21
xx
x
-
-
dan
2
2
dy
dx
=
(
)
5/2
1/2
3
41
xx
-
Nilai-nilai kritis adalah x = 0 dan 3/2. Titik (3/2, 3
3
/2) adalah titik minimum. Tidak ada titik balik.
Cabang cekung ke atas. Dari simetri, ada titik maksimum (3/2, -3
3
/2) pada cabang y = -x
1
x
x
-
dan cabang adalah cekung ke bawah.
Asimptot. Dari Soal 3, garis x = 1, y = x +
1
2
, dan y = -x -
1
2
adalah asimptot.
Titik Singular. Dari Soal 6, titik asal adalah cusp, garis y = 0 adalah tangen (cuspidal).
11.Bahas dan gambar kurva y2(x2 4) = x4.
Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-sumbu koordinat titik asal.
Titik potong. Titik-titik potong adalah x = 0 dan y = 0.
Lingkup. Kurva ada dalam selang - < y ( -4 dan 4 ( y < +. Titik (0, 0) adalah titik terisolasi.
Titik maksimum dan minimum, dan lain-lain. Untuk bagian y =
2
2
4
x
x
-
, x> 2,
dy
dx
=
(
)
3
3/2
2
8
4
xx
x
-
-
dan
2
2
dy
dx
=
(
)
2
5/2
2
432
4
x
x
+
-
Nilai kritis adalah x = 2
2
. Bagian ini cekung ke atas dan (2
2
, 4) adalah titik minimum.
Dari simetri, ada titik minimum di (-2
2
, 4) dan titiktitik maksimum di (2
2
, -4).
Asimptot, Titik Singular. Lihat Soal 7.
-2
2
0
y
x
y2(x2 4) = x4
Gambar 24-5
12.Bahas dan gambar kurva (x + 3)(x2 + y2) = 4.
Mula-mula tentukan titik singular, bila ada, dan jadikan titik singular sebagai titik asal baru sebelum membuat analisis.
dy
dx
= -
(
)
(
)
(
)
(
)
2
22323
3
xxx
xy
++++-
+
. Jika x = -2, y = 0 dan
dy
dx
mempunyai bentuk tak tentu
0
0
, titik (-2, 0) adalah titik singular.
Dengan transformasi x = x 2, y = y, persamaan menjadi y2(x + 1) + x2 3x2 = 0.
Simetri. Kurva adalah simetrik terhadap sumbu-x.
Titik potong. Titik-titik potong adalah x = 0, x = 3 dan y = 0.
Lingkup. Kurva didefinisikan dalam selang -1 < x ( 3 dan untuk semua nilai y.
Titik maksimum dan minimum, dan lain-lain.
Dari cabang y =
'3'
'1
xx
x
-
+
dy
dx
=
(
)
(
)
2
1/23/2
3'
3''1
x
xx
-
-+
dan
2
2
'
'
dy
dx
=
(
)
(
)
3/25/2
12
3''1
xx
-
-+
Nilai-nilai kritis adalah x =
3
dan 3. Titik
(
)
3,639
-
adalah titik maksimum. Cabang adalah cekung ke bawah.
Dari simetri,
(
)
3,639
-
adalah titik minimum pada cabang lain yang cekung ke atas.
Asimptot. Garis x = -1 adalah asimptot vertikal. Untuk asimptot miring, ganti y dengan mx + b untuk mendapatkan (m2 + 1)x2 + . . . = 0. Tidak ada asimptot miring. Mengapa?
Titik Singular. Titik asal adalah titik ganda jika y diganti oleh mx dalam suku-suku derajat terendah y2 3x2, hasilnya adalah (m2 3)x2. Dari m2 3 = 0, m =
3
dan tangen (simpul) adalah y =
3
x.
Dalam koordinat yang mula-mula,
(
)
32,639
--
adalah titik maksimum dan
(
)
32,639
---
adalah titik minimum. Garis x = -3 adalah asimptot vertikal. Titik (-2, 0) adalah simpul, persamaan tangen (simpul) adalah y =
3
(x + 2).
x =
-1
x =
-3
y
y
x
x
0
1
(-2, 0)
(x + 3)(x2 + y2) = 4
Gambar 24-6
Soal-soal Tambahan
Bahas dan gambar masing-masing kurva berikut.
13.(x 2)(x 6)y = 2x2
14.x(3 x2)y = 1
15.(1 x2)y = x4
16.xy = (x2 9)2
17.2xy = (x2 1)3
18.x(x2 4)y = x2 6
19.y2 = x(x2 4)
20.y2 = (x2 1)(x2 4)
21.xy2 = x2 + 3x + 2
22.(x2 2x 3)y2 = 2x + 3
23.x(x 1)y = x2 4
24.(x + 1)(x + 4)2y2 = x(x2 4)
25.y2 = 4x2(4 x2)
26.y2 = 5x4 + 4x5
27.y3 = x2(8 x2)
28.y3 = x2(3 x)
29.(x2 1)y3 = x2
30.(x 3)y3 = x4
31.(x 6)y2 = x2(x 4)
32.(x2 16)y2 = x3(x 2)
33.(x2 + y2)2 = 8xy
34.(x2 + y2)3 = 4x2y2
35.y4 4xy2 = x4
36.(x2 + y2)3 = 4xy(x2 y2)
37.y2 = x(x 3)2
38.y2 = x(x 2)3
39.3y4 = x(x2 9)3
40.x3y3 = (x 3)2
Bab 25
Rumus-rumus Integrasi Dasar
JIKA F(x) ADALAH SEBUAH FUNGSI yang turunan F(x) = f(x) pada selang tertentu dari sumbu-x, maka F(x) disebut anti-turunan atau integral tak tentu dari f(x). Integral tak tentu dari suatu fungsi tidak unik; sebagai contoh x2, x2 + 5, x2 4 adalah integral tak tentu dari f(x) = 2x karena
d
dx
(x2) =
d
dx
(x2 + 5) =
d
dx
(x2 4) = 2x. Semua integral tak tentu dari f(x) = 2x kemudian dicakup dalam x2 + C, dengan C disebut konstanta integrasi, adalah konstanta sebarang.
Simbol
(
)
fx
dx digunakan untuk menyatakan bahwa integral tak tentu dari f(x) harus dicari. Jadi ditulis
2
xdx
= x2 + C.
RUMUS-RUMUS INTEGRASI DASAR. Sejumlah rumus-rumus di bawah segera timbul dari rumus-rumus diferensiasi standar dalam bab-bab sebelum ini, sedang rumus 25 misalnya dapat diperiksa dengan menunjukkan bahwa
d
du
EMBED Equation.DSMT4
222
11
22
arc sin
u
uauaC
a
-++
=
22
au
-
Tanda nilai mutlak muncul dalam beberapa rumus. Sebagai contoh, ditulis
5.
du
u
= ln u + C
sebagai ganti
5(a).
du
u
= ln u + C, u > 05(b).
du
u
= ln (-u) + C, u < 0
dan
10.
tan
udu
= ln sec u + C
sebagai ganti
10(a).
tan
udu
= ln sec u + C, semua u sedemikian rupa, sehingga u ( 1
10(b).
tan
udu
= ln (-sec u) + C, semua u sedemikian rupa, sehingga u ( -1
1.
(
)
d
fx
dx
dx = f(x) + C
2.
(
)
uvdx
+
=
udx
+
vdx
3.
audx
=
audx
, a konstanta sebarang
4.
m
udu
=
1
1
m
u
m
+
+
+ C, m -1
5.
du
u
= ln u + C
6.
u
adu
=
ln
u
a
a
+ C, a > 0, a 1
7.
u
adu
= eu + C
8.
sin
udu
= -cos u + C
9.
cos
udu
= sin u + C
10.
tan
udu
= ln sec u + C
11.
cot
udu
= ln sin u + C
12.
sec
udu
= ln sec u + tan u + C
13.
csc
udu
= ln csc u - cot u + C
14.
2
sec
udu
= tan u + C
15.
2
csc
udu
= -cot u + C
16.
sec tan
uudu
= sec u + C
17.
csc cot
uudu
= -csc u + C
18.
22
du
au
-
= arc sin
u
a
+ C
19.
22
du
au
+
=
1
a
arc tan
u
a
+ C
20.
22
du
uua
-
=
1
a
arc sec
u
a
+ C
21.
22
du
ua
-
=
1
2
a
ln
ua
ua
-
+
+ C
22.
22
du
au
-
=
1
2
a
ln
ua
ua
+
-
+ C
23.
22
du
ua
+
= ln (u +
22
ua
+
) + C
24.
22
du
ua
-
= ln u +
22
ua
-
+ C
25.
22
au
-
du =
1
2
u
22
au
-
+
1
2
a2 arc sin
u
a
+ C
26.
22
ua
+
du =
1
2
u
22
ua
+
+
1
2
a2 ln (u +
22
ua
+
) + C
27.
22
ua
-
du =
1
2
u
22
ua
-
+
1
2
a2 ln u +
22
ua
+
+ C
Soal-soal Dipecahkan
1.
5
xdx
=
6
6
x
+ C
2.
2
dx
x
=
2
xdx
-
=
1
1
x
-
-
+ C = -
1
x
+ C
3.
3
z
dz =
1/3
zdz
=
4/3
4/3
z
+ C =
3
4
z4/3 + C
4.
32
dx
x
=
2/3
x
-
dx =
1/3
1/3
x
+ C = 3x1/3 + C
5.
(
)
2
253
xxdx
-+
= 2
2
xdx
- 5
xdx
+ 3
dx
=
3
2
3
x
-
2
5
2
x
+ 3x + C
6.
(
)
1
x
-
EMBED Equation.DSMT4
x
dx =
(
)
1/23/2
xx
-
dx =
1/2
xdx
-
3/2
xdx
=
3/2
2
8
x
-
5/2
2
5
x
+ C
7.
(
)
2
34
sds
+
=
(
)
2
92416
ssds
++
= 9
(
)
2
1
3
s
+ 24
(
)
2
1
2
s
+ 16s + C = 3s3 + 12s2 + 16s + C
8.
32
2
54
xx
x
+-
dx =
(
)
2
54
xx
-
+-
dx =
1
2
x2 + 5x -
1
4
1
x
-
-
+ C =
1
2
x2 + 5x +
4
x
+ C
9.Hitung: (a)
(
)
2
3
2
x
+
3x2 dx, (b)
(
)
2
3
2
x
+
1/2x2 dx, (c)
(
)
2
3
3
8
2
xdx
x
+
, (d)
(
)
2
3
4
2
xdx
x
+
. Ambil x3 + 2 = u; maka du = 3x2 dx.
(a)
(
)
3
2
x
+
3x2 dx =
2
u
du =
1
3
u3 + C =
1
3
(x3 + 2)3 + C
(b)
(
)
2
3
2
x
+
1/2x2 dx =
1
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
1/2
3
2
x
+
3x2 dx =
1
3
EMBED Equation.DSMT4
1/2
udu
=
1
3
3/2
3/2
u
+ C =
2
9
(x3 + 2)3/2 + C
(c)
(
)
2
3
3
8
2
xdx
x
+
= 8
1
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
3
2
x
+
-3 3x2 dx =
8
3
EMBED Equation.DSMT4
3
udu
-
= -
8
3
EMBED Equation.DSMT4
2
1
2
u
-
+ C = -
(
)
2
3
4
32
x
+
+ C
(d)
2
3
4
2
x
x
+
dx =
1
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
3
2
x
+
-1/43x2 dx =
1
3
EMBED Equation.DSMT4
1/4
udu
-
=
1
3
4
3
u3/4 + C =
4
9
(x3 + 2)3/4 + C
10.Hitung
2
312
xx
-
dx. Ambil 1 2x2 = u; maka du = -4x dx.
2
312
xx
-
dx= 3
1
4
-
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
12
x
-
1/2(-4x dx) = -
3
4
EMBED Equation.DSMT4
1/2
udu
= -
3
4
2
3
u3/2 + C = -
1
2
(1 2x2)3/2 + C
11.Hitung
(
)
(
)
1/3
2
3
6
xdx
xx
+
+
. Ambil x2 + 6x = u; maka du = (2x + 6) dx.
(
)
(
)
1/3
2
3
6
xdx
xx
+
+
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
6
xx
+
-1/3(2x + 6) dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
1/3
udu
-
=
1
2
3
2
u2/3 + C =
3
4
(x2 + 6x)2/3 + C
12.
32
1
x
-
x dx = -
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
1
x
-
1/3(-2x dx) = -
1
2
3
4
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
1
x
-
4/3 + C = -
3
8
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
1
x
-
4/3 + C
13.
24
2
xx
-
dx=
(
)
1/2
2
12
xx
-
dx = -
1
4
EMBED Equation.DSMT4
(
)
1/2
2
12
x
-
(-4x dx)
=-
1
4
2
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
3/2
2
12
x
-
+ C = -
1
6
EMBED Equation.DSMT4
(
)
3/2
2
12
x
-
+ C
14.
(
)
2
1
x
x
+
dx =
2
1/2
12
xx
x
++
dx =
(
)
1/21/23/2
2
xxx
-
++
dx = 2x1/2 +
4
3
x3/2 +
2
5
x5/2 + C
15.
(
)
2
2
2
1
xx
x
+
+
dx =
(
)
2
1
1
1
x
-
+
dx = x +
1
1
x
+
+ C =
2
1
x
x
+
+ 1 + C =
2
1
x
x
+
+ C
RUMUS-RUMUS 5-7
16.
dx
x
= ln x + C
17.
2
dx
x
+
=
(
)
2
2
dx
x
+
+
= ln x + 2 + C
18.
23
dx
x
-
=
1
2
ln u + C =
1
2
ln 2x - 3 + C, dengan u = 2x 3 dan du = 2 dx atau
23
dx
x
-
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
23
23
dx
x
-
-
=
1
2
ln 2x - 3 + C
19.
2
1
xdx
x
-
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
1
xdx
x
-
=
1
2
ln x2 - 1 + C =
1
2
ln x2 - 1 + ln c = ln c
2
1
x
-
20.
2
3
12
xdx
x
-
= -
1
6
EMBED Equation.DSMT4
2
2
6
12
xdx
x
-
-
= -
1
6
ln 1 2x3 + C = ln
3
6
12
c
x
-
21.
2
1
x
x
+
+
dx =
1
1
1
x
+
+
dx = x + ln x + 1 + C
22.
x
edx
-
= -
x
e
-
(-dx) = -e-x + C
23.
2
x
a
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
x
a
(2 dx) =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
ln
x
a
a
+ C
24.
3
x
e
dx =
1
3
EMBED Equation.DSMT4
3
x
e
(3 dx) =
3
3
x
e
+ C
25.
1/
2
x
edx
x
= -
1/
2
x
dx
e
x
-
= -e1/x + C
26.
(
)
3
1
x
e
+
ex dx =
3
udu
=
4
4
u
+ C =
(
)
4
1
4
x
e
+
+ C dengan u = ex + 1 dan du = ex dx, atau
(
)
3
1
x
e
+
ex dx =
(
)
(
)
3
11
xx
ede
++
=
(
)
4
1
4
x
e
+
+ C
27.
1
x
dx
e
+
=
1
x
x
edx
e
-
-
+
= -
1
x
x
edx
e
-
-
-
+
= -ln (1 + e-x) + C = ln
1
x
x
e
e
+
+ C = x ln (1 + ex) + C
Tanda nilai mutlak tidak diperlukan di sini karena 1 + c-x > 0 untuk semua nilai x.
RUMUS-RUMUS 8-17
28.
1
2
sin
x
dx = 2
1
2
sin
x
1
2
dx
= -2 cos
1
2
x
+ C
29.
cos3
xdx
=
1
3
EMBED Equation.DSMT4
cos3
x
3 dx =
1
3
sin 3x + C
30.
2
sin
x
cos x dx =
2
sin
x
(cos x dx) =
2
sin
x
d(sin x) =
3
sin
3
x
+ C
31.
tan
xdx
=
sin
cos
x
x
dx = -
sin
cos
xdx
x
-
= -ln cos x+ C = ln sec x+ C
32.
tan2
xdx
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
tan2
x
2 dx =
1
2
ln sec 2x+ C
33.
2
cot
xx
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
cot
x
2x dx =
1
2
ln sec 2x+ C
34.
sec
x
dx =
(
)
secsectan
sectan
xxx
xx
+
+
dx =
2
sectansec
sectan
xxx
xx
+
+
dx = ln sec x + tan x+ C
35.
sec
x
EMBED Equation.DSMT4
dx
x
= 2
1/2
sec
x
1
2
x-1/2 dx = 2 lnsec
x
+ tan
x
+ C
36.
2
sec2
ax
dx =
1
2
a
EMBED Equation.DSMT4
2
sec2
ax
2a dx =
tan2
2
ax
a
+ C
37.
sincos
cos
xx
x
+
dx =
(
)
tan1
x
+
dx = lnsec x+ x + C
38.
2
sin
cos
ydy
y
=
tan
y
sec y dy = sec y + C
39.
(
)
2
1tan
x
+
dx =
(
)
2
12tantan
xx
++
dx =
(
)
2
sec2tan
xx
+
dx = tan x + 2 ln sec x + C
40.
cos
x
e
ex dx =
cos
x
e
ex dx = sin ex + C
41.
3cos2
sin2
x
ex
dx = -
1
6
EMBED Equation.DSMT4
3cos2
x
e
(-6 sin 2x dx) = -
3cos2
6
x
e
+ C
42.
1cos
dx
x
+
=
2
1cos
1cos
x
x
-
-
dx =
2
1cos
sin
x
x
-
dx =
(
)
2
csccotcsc
xxx
-
dx = -cot x + csc x + C
43.
(
)
2
tan2sec2
xx
+
dx =
(
)
22
tan22tan2sec2sec2
xxxx
++
dx
=
(
)
2
2sec22tan2sec21
xxx
+-
dx = tan 2x + sec 2x x + C
44.
csc
u
du =
sin
du
u
=
11
22
2sin cos
du
uu
=
2
11
22
1
2
sec
tan
udu
u
g
= ln tan
1
2
u + C
45.
(
)
2
sec41
x
-
dx =
(
)
2
sec42sec41
xx
-+
dx =
1
4
tan 4x -
1
2
lnsec 4x + tan 4x+ x + C
46.
sectan
sec
xxdx
abx
+
=
1
b
EMBED Equation.DSMT4
sectan
sec
xxbdx
abx
+
g
=
1
b
lna + b sec x+ C
47.
csc2cot2
dx
xx
-
=
sin2
1cos2
xdx
x
-
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
sin2 2
1cos2
xdx
x
-
g
=
1
2
ln(1 cos 2x) + C
RUMUS-RUMUS 18-20
48.
2
1
dx
x
-
= arc sin x + C
49.
2
1
dx
x
+
= arc tan x + C
50.
2
1
dx
xx
-
= arc sec x + C
51.
2
4
dx
x
-
= arc sin
2
x
+ C
52.
2
9
dx
x
+
=
1
3
arc tan
3
x
+ C
53.
2
2516
dx
x
-
=
1
4
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
2
4
54
dx
x
-
=
1
4
arc sin
4
5
x
+ C
54.
2
49
dx
x
+
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
2
2
23
dx
x
+
=
1
6
arc tan
2
3
x
+ C
55.
2
49
dx
xx
-
=
(
)
2
2
2
223
dx
xx
-
=
1
3
arc sec
2
3
x
+ C
56.
2
6
1
xdx
x
-
=
1
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
2
3
3
1
xdx
x
-
=
1
3
arc sin x3 + C
57.
4
3
xdx
x
+
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
22
2
1
xdx
xx
-
=
1
2
1
3
arc tan
2
3
x
+ C =
3
6
arc tan
2
3
3
x
+ C
58.
4
1
dx
xx
-
=
1
2
(
)
2
22
2
1
xdx
xx
-
=
1
2
arc sec x2 + C =
1
2
arc cos
2
1
x
+ C
59.
(
)
2
42
dx
x
-+
= arc sin
2
2
x
+
+ C
60.
xx
dx
ee
-
+
=
2
1
x
x
edx
e
+
= arc tan ex + C
61.
32
2
343
1
xxx
x
-+
+
dx =
2
4
34
1
x
x
-+
+
dx =
2
3
2
x
- 4x + 4 arc tan x + C
62.
2
sectan
94sec
xxdx
x
+
=
1
2
(
)
2
2
2sectan
32sec
xxdx
x
+
=
1
6
arc tan
2sec
3
x
+ C
63.
(
)
2
3
1
xdx
x
+
-
=
2
1
xdx
x
-
+ 3
2
1
dx
x
-
= -
2
1
x
-
+ arc sin x + C
64.
(
)
2
27
9
xdx
x
-
+
=
2
2
9
xdx
x
+
- 7
2
9
dx
x
+
= ln (x2 + 9) -
7
3
arc tan
3
x
+ C
65.
2
1030
dy
yy
++
=
(
)
2
10255
dy
yy
+++
=
(
)
2
55
dy
y
++
=
5
5
arc tan
(
)
55
5
y
+
+ C
66.
2
208
dx
xx
+-
=
(
)
2
36816
dy
xx
--+
=
(
)
2
364
dx
x
--
= arc sin
4
6
x
-
+ C
67.
2
225
dx
xx
++
=
2
2
4410
dx
xx
++
=
(
)
2
2
219
dx
x
++
=
1
3
arc tan
21
3
x
+
+ C
68.
2
1
48
x
xx
+
-+
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
22
48
x
xx
+
-+
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
246
48
x
xx
-+
-+
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
24
48
xdx
xx
-
-+
+ 3
2
48
dx
xx
-+
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
24
48
xdx
xx
-
-+
+ 3
(
)
2
24
dx
x
-+
=
1
2
ln (x2 4x + 8) +
3
2
arc tan
2
2
x
-
+ C
Tanda nilai mutlak tidak diperlukan di sini karena x2 4x + 8 > 0 untuk semua nilai x.
69.
2
2812
dx
xx
--
=
(
)
2
641236
dx
xx
-++
=
(
)
2
646
dx
x
-+
= arc sin
6
8
x
+
+ C
70.
2
3
54
x
xx
+
--
dx = -
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
26
54
x
xx
--
--
dx = -
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
242
54
x
xx
---
--
dx
=-
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
24
54
x
xx
--
--
dx +
2
54
dx
xx
--
=-
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
24
54
x
xx
--
--
dx +
(
)
2
92
dx
x
-+
=-
2
54
xx
--
+ arc sin
2
3
x
+
+ C
71.
2
23
9128
x
xx
+
-+
dx =
1
9
EMBED Equation.DSMT4
2
1827
9128
x
xx
+
-+
dx =
1
9
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
181239
9128
x
xx
-+
-+
dx +
13
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
324
dx
x
-+
=
1
9
ln (9x2 12x + 8) +
13
18
arc tan
32
2
x
-
+ C
72.
2
2
4
x
xx
+
-
dx = -
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
24
4
x
xx
--
-
dx = -
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
248
4
x
xx
-+-
-
dx
=-
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
42
4
x
xx
-
-
dx + 4
(
)
2
42
dx
x
--
= -
2
4
xx
-
+ 4 arc sin
2
2
x
-
+ C
RUMUS-RUMUS 21-24
73.
2
1
dx
x
-
=
1
2
ln
1
1
x
x
-
+
+ C
74.
2
1
dx
x
-
=
1
2
ln
1
1
x
x
+
-
+ C
75.
2
4
dx
x
-
=
1
4
ln
2
2
x
x
-
+
+ C
76.
2
9
dx
x
-
=
1
6
ln
3
3
x
x
+
-
+ C
77.
2
1
dx
x
+
= ln (x +
2
1
x
+
) + C
78.
2
1
dx
x
-
= ln x +
2
1
x
-
+ C
79.
2
49
dx
x
+
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
2
2
23
dx
x
+
=
1
2
ln (2x +
2
49
x
+
) + C
80.
2
925
dz
z
-
=
1
3
EMBED Equation.DSMT4
2
3
925
dz
z
-
=
1
3
ln 3z +
2
925
z
-
+ C
81.
2
916
dx
x
-
=
1
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
3
316
dx
x
-
=
1
24
ln
34
34
x
x
-
+
+ C
82.
2
2516
dy
y
-
=
1
4
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
4
254
dy
y
-
=
1
40
ln
54
54
y
y
+
-
+ C
83.
2
68
dx
xx
++
=
(
)
2
31
dx
x
+-
=
1
2
ln
(
)
(
)
31
31
x
x
+-
++
+ C =
1
2
ln
2
4
x
x
+
+
+ C
84.
2
4
dx
xx
-
=
(
)
2
42
dx
x
--
=
1
4
ln
(
)
(
)
22
22
x
x
+-
--
+ C =
1
4
ln
4
x
x
-
+ C
85.
2
4
ds
ss
+
=
(
)
2
24
ds
s
+-
= ln s + 2 +
2
4
ss
+
+ C
86.
2
2
9
x
x
+
+
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
24
9
x
x
+
+
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
2
9
xdx
x
+
+ 2
2
9
dx
x
+
=
2
9
x
+
+ 2 ln (x +
2
9
x
+
) + C
87.
2
23
411
x
x
-
-
dx =
1
4
EMBED Equation.DSMT4
2
812
411
x
x
-
-
dx =
1
4
EMBED Equation.DSMT4
2
8
411
xdx
x
-
-
3
2
EMBED Equation.DSMT4
2
2
411
dx
x
-
=
1
4
ln 4x2 - 11 -
311
44
ln
211
211
x
x
-
+
+ C
88.
2
2
23
x
xx
+
+-
dx =
1
2
2
24
23
x
xx
+
+-
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
22
23
x
xx
+
+-
dx +
(
)
2
14
dx
x
+-
=
2
23
xx
+-
+ ln x + 1 +
2
23
xx
+-
+ C
89.
2
2
443
x
xx
-
+-
= -
1
8
EMBED Equation.DSMT4
2
816
443
x
xx
-
+-
dx = -
1
8
EMBED Equation.DSMT4
2
84
443
x
xx
+
+-
dx +
5
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
214
dx
x
+-
=-
1
8
ln 4x2 + 4x - 3 +
5
16
ln
21
23
x
x
-
+
+ C
RUMUS-RUMUS 25-27
90.
2
25
x
-
dx =
1
2
x
2
25
x
-
+
25
2
arc sin
5
x
+ C
91.
2
34
x
-
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
34
x
-
2 dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
232
34 arc sin
22
3
xx
x
-+
+ C
=
1
2
x
2
34
x
-
+
3
4
arc sin
23
3
x
+ C
92.
2
36
x
-
dx =
1
2
x
2
36
x
-
- 18 ln x +
2
36
x
-
+ C
93.
2
35
x
+
dx =
1
3
EMBED Equation.DSMT4
2
35
x
+
3
dx
=
1
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
22
35
35ln335
22
xxxx
++++
+ C
=
1
2
x
2
35
x
+
+
53
6
ln (
3
x +
2
35
x
+
) + C
94.
2
32
xx
--
dx =
(
)
2
41
x
-+
dx =
1
2
x
+
EMBED Equation.DSMT4
2
32
xx
--
+ 2 arc sin
1
2
x
+
+ C
95.
2
445
xx
-+
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
214
x
-+
2 dx
=
1
2
EMBED Equation.DSMT4
(
)
22
21
4452ln21445
2
x
xxxxx
-
-++-+-+
+ C
=
(
)
22
21
445ln21445
4
x
xxxxx
-
-++-+-+
+ C
Soal-soal Tambahan
Lakukanlah integrasi-integrasi berikut ini.
96.
(
)
32
4325
xxx
+++
dx = x4 + x3 + x2 + 5x + C
97.
(
)
4
32
xx
--
dx = 3x x2 x5/5 + C
98.
(
)
3
23
xx
-+
dx = 2x 3x2/2 + x4/4 + C
99.
(
)
2
2
1
x
-
dx = x5/5 2x3/3 + x + C
100.
(
)
1
2
2/
xxx
-+
dx =
2
3
x2/3 -
1
4
x2 + 4x1/2 + C
101.
(
)
3
ax
+
dx =
1
4
(a + x)4 + C
102.
(
)
3/2
2
x
-
dx =
2
5
(x 2)5/2 + C
103.
3
dx
x
= -
2
1
2
x
+ C
104.
(
)
3
1
dx
x
-
= -
(
)
2
1
21
x
-
+ C
105.
3
dx
x
+
= 2
3
x
+
+ C
106.
31
x
-
dx =
2
9
(3x 1)3/2 + C
107.
23
x
-
dx = -
2
9
(2 3x)3/2 + C
108.
(
)
1/3
2
23
xx
+
dx =
3
16
(2x2 + 3)4/3 + C
109.
(
)
2
1
xx
-
dx =
1
4
x4 -
2
3
x3 +
1
2
x2 + C
110.
(
)
2
1
x
-
x dx =
1
4
(x2 1)2 + C
111.
4
1
y
+
y3 dy =
1
6
(1 + y4)3/2 + C
112.
(
)
3
3
x
+
x2 dx =
1
6
(x3 + 3)2 + C
113.
(
)
2
2
4
x
-
x2 dx =
16
3
x3 -
8
5
x5 +
1
7
x7 + C
114.
(
)
3
2
dy
y
-
=
(
)
2
1
22
y
-
+ C
115.
(
)
3
2
4
xdx
x
+
= -
(
)
2
2
1
44
x
+
+ C
116.
(
)
2
3
1
x
-
dx = x -
1
2
x4 +
1
7
x7 + C
117.
(
)
2
3
1
x
-
x dx =
1
2
x2 -
2
5
x5 +
1
8
x8 + C
118.
(
)
2
3
1
x
-
x2 dx = -
1
9
(1 x3)3 + C
119.
(
)
4
2
xx
-
(2x 1) dx =
1
5
(x2 x)5 + C
120.
32
3
3
tdt
t
+
=
9
4
(t2 + 3)2/3 + C
121.
(
)
2
1
24
xdx
xx
+
+-
=
2
24
xx
+-
+ C
122.
(
)
1/3
dx
abx
+
=
3
2
b
(a + bx)2/3 + C
123.
(
)
2
1
x
x
+
dx =
2
3
(1 +
x
)3 + C
124.
x
EMBED Equation.DSMT4
(
)
35
x
-
dx = 2x3/2(1 x) + C
125.
(
)
(
)
12
xx
x
+-
dx =
2
5
x5/2 -
2
3
x3/2 4x1/2 + C
126.
1
dx
x
-
= ln x - 1+ C
127.
31
dx
x
+
=
1
3
ln 3x + 1 + C
128.
2
3
2
xdx
x
+
=
3
2
ln (x2 + 2) + C
129.
2
3
1
xdx
x
-
= -
1
3
ln 1- x3 + C
130.
1
1
x
x
-
+
dx = x 2 ln x + 1 + C
131.
2
22
2
xx
x
++
+
dx =
1
2
x2 + 2 ln x + 2 + C
132.
2
1
22
x
xx
+
++
dx =
1
2
ln (x2 + 2x + 2) + C
133.
2121
dxdx
xx
-
-+
= ln
21
21
x
x
-
+
+ C
134.
4
x
adx
=
1
4
EMBED Equation.DSMT4
4
ln
x
a
a
+ C
135.
4
x
edx
=
1
4
e4x + C
136.
2
1/
3
x
e
x
dx = -
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
1/
x
e
+ C
137.
2
2
x
e
-+
x dx = -
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
2
x
e
-+
+ C
138.
3
2
x
xedx
=
1
3
EMBED Equation.DSMT4
3
x
e
+ C
139.
(
)
2
1
x
e
+
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
x
e
+ 2
x
e
+ x + C
140.
(
)
xe
ex
-
dx = ex -
1
1
e
x
e
+
+
+ C
141.
(
)
2
1
x
e
+
ex dx =
1
3
(ex + 1)3 + C
142.
2
2
3
x
x
e
e
+
dx =
1
2
ln (e2x + 3) + C
143.
2
1
x
x
e
e
+
dx =
1
2
e2x + 2x -
2
1
2
x
e
+ C
144.
1
1
x
x
e
e
-
+
dx = ln (ex + 1)2 x + C
145.
2
2
1
3
x
x
e
e
-
+
dx = ln (e2x + 3)2/3 -
1
3
x + C
146.
(
)
1
dx
xx
-
= ln
(
)
2
1
C
x
-
, C > 0
147.
1/3
dx
xx
+
=
3
2
ln C(x2/3 + 1), C > 0
148.
sin2
x
dx = -
1
2
cos 2x + C
149.
cos
EMBED Equation.DSMT4
1
2
x dx = 2 sin
1
2
x + C
150.
sec
3x tan 3x dx =
1
3
sec 3x + C
151.
2
csc2
x
dx = -
1
2
cot 2x + C
152.
22
sec
xxdx
=
1
2
tan x2 + C
153.
2
tan
x
dx = tan x x + C
154.
tan
EMBED Equation.DSMT4
1
2
x dx = 2 ln sec
1
2
x + C
155.
csc3
x
dx =
1
3
ln csc 3x cot 3x + C
156.
b
sec ax tan ax dx =
b
a
sec ax + C
157.
(
)
2
cossin
xx
-
dx = x +
1
2
cos 2x + C
158.
sin
ax cos ax dx =
1
2
a
sin2 ax + C = -
1
2
a
cos2 ax + C = -
1
4
a
cos 2ax + K
159.
3
sin
x cos x dx =
1
4
sin4 x + C
160.
4
cos
x sin x dx = -
1
5
cos5 x + C
161.
4
tan
3x csc2 3x dx =
1
6
tan6 x + C
162.
4
cot
3x csc2 3x dx = -
1
15
cot5 3x + C
163.
1
2
1sin
dx
x
-
= 2(tan
1
2
x + sec
1
2
x) + C
164.
1cos3
dx
x
+
=
1cos3
3sin3
x
x
-
+ C
165.
1sec
dx
ax
+
= x +
1
a
(cot ax csc ax) + C
166.
2
sec
EMBED Equation.DSMT4
x
a
tan
x
a
dx =
1
2
a tan2
x
a
+ C
167.
2
sec3
tan3
x
x
dx =
1
3
ln tan 3x + C
168.
5
sec
csc
x
x
dx =
1
4
sec4 x + C
169.
tan2
x
e
sec2 2x dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
tan2
x
e
+ C
170.
2sin3
x
e
cos 3x dx =
1
6
EMBED Equation.DSMT4
2sin3
x
e
+ C
171.
2
5
dx
x
-
= arc sin
5
5
x
+ C
172.
2
5
dx
x
+
=
5
5
arc tan
5
5
x
+ C
173.
2
5
dx
xx
-
=
5
5
arc sec
5
5
x
+ C
174.
2
1
x
x
edx
e
-
= arc sin ex + C
175.
2
4
1
x
x
edx
e
+
=
1
2
arc sin e2x + C
176.
2
49
dx
x
-
=
1
3
arc sin
3
2
x
+ C
177.
2
94
dx
x
+
=
1
6
arc tan
3
2
x
+ C
178.
4
sin8
9sin4
x
x
+
dx =
1
12
arc tan
2
sin4
3
x
+ C
179.
2
2
sec
14tan
xdx
x
-
=
1
2
arc sin (2 tan x) + C
180.
2
49ln
dx
xx
-
=
1
3
arc sin ln x3/2 + C
181.
42
2
2
21
xx
x
-
+
dx =
1
3
x3 x +
2
2
arc tan x
2
+ C
182.
2
cos2
sin28
xdx
x
+
=
2
8
arc tan
sin2
22
x
+ C
183.
(
)
2
23
613
xdx
xx
-
++
=
(
)
2
26
613
xdx
xx
+
++
- 9
2
613
dx
xx
++
= ln (x2 + 6x + 13) -
9
2
arc tan
3
2
x
+
+ C
184.
(
)
2
1
343
xdx
xx
-
-+
=
1
6
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
64
343
xdx
xx
-
-+
-
2
9129
dx
xx
-+
=
1
6
ln (3x2 4x + 3) -
5
15
arc tan
32
5
x
-
+ C
185.
2
276
xdx
xx
+-
= -
2
276
xx
+-
+ 3 arc sin
3
6
x
-
+ C
186.
(
)
2
54
1248
xdx
xx
-
--
=
2
1248
xx
--
-
1
2
arc sin (2x 3) + C
187.
2
4
dx
x
-
=
1
4
ln
2
2
x
x
-
+
+ C
188.
2
49
dx
x
-
=
1
12
ln
23
23
x
x
-
+
+ C
189.
2
9
dx
x
-
=
1
6
ln
3
3
x
x
+
-
= C
190.
2
259
dx
x
-
=
1
30
ln
35
35
x
x
+
-
+ C
191.
2
4
dx
x
+
= ln (x +
2
4
x
+
) + C
192.
2
425
dx
x
-
=
1
2
ln 2x +
2
425
x
-
+ C
193.
2
169
x
-
dx =
1
2
x
2
169
x
-
+
8
3
arc sin
3
4
x
+ C
194.
2
16
x
-
dx =
1
2
x
2
16
x
-
- 8 ln x +
2
16
x
-
+ C
195.
2
49
x
+
dx =
1
2
x
2
49
x
+
+
9
4
ln (2x +
2
49
x
+
) + C
196.
2
23
xx
--
dx =
1
2
(x 1)
2
23
xx
--
- 2 ln x 1 +
2
23
xx
--
+ C
197.
2
124
xx
+-
dx =
1
2
(x 2)
2
124
xx
+-
+ 8 arc sin
1
4
(x 2) + C
198.
2
4
xx
+
dx =
1
2
(x + 2)
2
4
xx
+
- 2 ln x + 2 +
2
4
xx
+
+ C
199.
2
8
xx
-
dx =
1
2
(x - 4)
2
8
xx
-
- 8 ln x 4 +
2
8
xx
-
+ C
200.
2
6
xx
-
dx =
1
2
(x - 3)
2
6
xx
-
+
9
2
arc sin
3
3
x
-
+ C
Bab 26
Integrasi Bagian
INTEGRASI BAGIAN. Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat dideferensiasi
d(uv) = u dv + v du
u dv = d(uv) v du
(i)
u
dv = uv -
v
du
Untuk menggunakan (i) dalam menghitung suatu integrasi yang ditanyakan, integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi dua bagian, satu bagian adalah u dan bagian lain, bersama dengan dx, adalah dv. (Untuk alasan ini, integrasi dengan menggunakan (i) disebut integrasi bagian). Dua aturan umum dapat ditulis:
(a)bagian yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasi.
(b)
v
du tidak boleh lebih sulit dari pada
u
dv.
Contoh 1: Cari
2
3
x
xe
dx.
Ambil u = x2 dan dv =
2
x
e
x dx; maka du = 2x dx dan v =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
x
e
. Sekarang dengan aturan di atas,
2
3
x
xe
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
3
x
xe
-
2
x
xe
dx =
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
3
x
xe
-
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
x
e
+ C
Contoh 2: Cari
(
)
2
ln2
xdx
+
.
Ambil u = ln (x2 + 2) dan dv = dx; maka du =
2
2
2
xdx
x
+
dan v = x. dengan aturan,
ln
(x2 + 2)dx =x ln (x2 + 2) -
2
2
2
2
xdx
x
+
= x ln (x2 + 2) -
2
4
2
2
x
-
+
dx
= x ln (x2 + 2) 2x + 2
2
arc tan x/
2
+ C
Lihat Soal-soal 1-10.
RUMUS REDUKSI. Usaha yang diberikan dalam penggunaan integrasi bagian berturut-turut (lihat Soal 9) untuk menghitung suatu integral dapat banyak dikurangi dengan penggunaan rumus reduksi. Umumnya, rumus reduksi menghasilkan integral baru dengan bentuk yang sama dengan aslinya tetapi dengan eksponen yang bertambah atau berkurang. Suatu rumus reduksi berhasil bila akhirnya ia menghasilkan suatu integral yang dapat dihitung. Beberapa rumus reduksi adalah:
(A)
(
)
22
m
du
au
=
2
1
a
EMBED Equation.DSMT4
(
)
(
)
(
)
11
2222
23
22
22
mm
umdu
m
mauau
--
-
+
-
-
, m 1
(B)
(
)
22
m
au
du =
(
)
22
21
m
uau
m
+
+
2
2
21
ma
m
+
EMBED Equation.DSMT4
(
)
1
22
m
au
-
du, m -1/2
(C)
(
)
22
m
du
ua
-
= -
2
1
a
EMBED Equation.DSMT4
(
)
(
)
(
)
11
2222
23
22
22
mm
umdu
m
muaua
--
-
+
-
---
, m 1
(D)
(
)
22
m
ua
-
du =
(
)
22
21
m
uua
m
-
+
-
2
2
21
ma
m
+
EMBED Equation.DSMT4
(
)
1
22
m
ua
-
-
du, m -1/2
(E)
mau
ue
du =
1
a
umeau -
m
a
EMBED Equation.DSMT4
1
m
u
-
eau du
(F)
sin
m
u du = -
1
sincos
m
uu
m
-
+
1
m
m
-
EMBED Equation.DSMT4
2
sin
m
-
u du
(G)
cos
m
u du =
1
cossin
m
uu
m
-
+
1
m
m
-
EMBED Equation.DSMT4
2
cos
m
-
u du
(H)
sin
m
u cosn u du=
11
sincos
mn
uu
mn
+-
+
+
1
n
mn
-
+
EMBED Equation.DSMT4
sin
m
u cosn-2 u du
= -
11
sincos
mn
uu
mn
-+
+
+
1
m
mn
-
+
EMBED Equation.DSMT4
2
sin
m
-
u cosn u du, m -n
(I)
m
u
sin bu du = -
m
u
b
cos bu +
m
b
EMBED Equation.DSMT4
1
m
u
-
cos bu du
(J)
m
u
cos bu du =
m
u
b
sin bu -
m
b
EMBED Equation.DSMT4
1
m
u
-
sin bu du
Lihat Soal 11.
Soal-soal yang Dipecahkan
1.Cari
x
sin x dx.
Kita mempunyai pilihan-pilihan berikut;
(a) u = x sin x, dv = dx; (b) u = sin x, dv = x dx; (c) u = x, dv = sin x dx.
(a) u = x sin x, dv = dx. Maka du = (sin x + x cos x) dx, v = x, dan
x
sin x dx = x x sin x -
x
(sin x + x cos x) dx
Integral yang dihasilkan tidak semudah yang asli dan pilihan ini ditolak.
(b)u = sin x, dv = x dx. Maka du = cos x dx, v =
1
2
x2, dan
x
sin x dx =
1
2
x2 sin x -
1
2
x2 cos x dx
Integral yang dihasilkan tidak semudah yang asli dan pilihan ini ditolak.
(c)u = x, dv = sin x dx. Maka du = dx, v = -cos x, dan
x
sin x dx = -x cos x -
-
cos x dx = -x cos x + sin x + C
2.Cari
x
xe
dx.
Ambil u = x, dv = ex dx. Maka du = dx, v = ex, dan
x
xe
dx = xex -
x
e
dx = xex ex + C
3.Cari
2
x
ln x dx.
Ambil u = ln x, dv = x2 dx. Maka du =
dx
x
, v =
3
3
x
, dan
2
x
ln x dx =
3
3
x
ln x -
3
3
x
dx
x
=
3
3
x
ln x -
1
3
EMBED Equation.DSMT4
2
x
dx =
3
3
x
ln x -
1
9
x3 + C
4.Cari
x
EMBED Equation.DSMT4
1
x
+
dx.
Ambil u = x, dv =
1
x
+
dx. Maka du = dx, v =
2
3
(1 + x)3/2, dan
1
xx
+
dx =
2
3
x(1 + x)3/2 -
2
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
3/2
1
x
+
dx =
2
3
x(1 + x)3/2 -
4
15
(1 + x)5/2 + C
5.Cari
arc
sin x dx.
Ambil u = arc sin x, dv = dx. Maka du = dx/
2
1
x
-
, v = x, dan
arc
sin x dx = x arc sin x -
2
1
xdx
x
-
= x arc sin x +
2
1
x
-
+ C
6.Cari
2
sin
x dx.
Ambil u = sin x, dv = sin x dx. Maka du = cos x dx, v = -cos x, dan
2
sin
x dx = -sin x cos x +
2
cos
x dx
= -sin x cos x +
(
)
2
1sin
x
-
dx = -
1
2
sin 2x +
dx
-
2
sin
x dx
Pindahkan integral dari kanan,
2
2
sin
x dx = -
1
2
sin 2x + x + C dan
2
sin
x dx =
1
2
x -
1
4
sin 2x + C
7.Cari
2
sec
x dx.
Ambil u = sec x, dv = sec2 x dx. Maka du = sec x tan x, v = tan x, dan
2
sec
x dx = sec x tan x -
sec
x tan2 x dx = sec x tan x -
sec
x (sec2 x 1)dx
=sec x tan x -
2
sec
x dx +
sec
x dx
Maka 2
2
sec
x dx = sec x tan x +
sec
x dx = sec x tan x + ln sec x + tan x + C
dan
2
sec
x dx =
1
2
(sec x tan x + ln sec x + tan x ) + C
8.Cari
2
x
sin x dx.
Ambil u = x2, dv = sin x dx. Maka du = 2x dx, v = -cos x, dan
2
x
sin x dx = -x2 cos x + 2
x
cos x dx
Untuk hasil integral, ambil u = x dan dv = cos x dx. Maka du = dx, v = sin x, dan
2
x
sin x dx = -x2 cos x + 2{x sin x -
sin
x dx}
= -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
9.Cari
3
x
e2x dx.
Ambil u = x3, dv = e2x. Maka du = 3x2 dx, v =
1
2
e2x, dan
3
x
e2x dx =
1
2
x3e2x -
3
2
EMBED Equation.DSMT4
2
x
e2x dx
Untuk hasil integral, ambil u = x2 dan dv = e2x dx. Maka du = 2x dx, v =
1
2
e2x, dan
3
x
e2x dx =
1
2
x3e2x -
3
2
EMBED Equation.DSMT4
222
1
2
xx
xexedx
-
=
1
2
x3e2x -
3
4
x2e2x +
3
2
EMBED Equation.DSMT4
2
x
xedx
Untuk hasil integral, ambil u = x dan dv = e2x dx. Maka du = dx, v =
1
2
e2x, dan
3
x
e2x dx =
1
2
x3e2x -
3
4
x2e2x +
3
2
EMBED Equation.DSMT4
22
11
22
xx
xeedx
-
=
1
2
x3e2x -
3
4
x2e2x +
3
4
xe2x -
3
8
e2x + C
10.(a)Ambil u = x, dv =
(
)
22
m
xdx
ax
; maka du = dx, v =
(
)
(
)
1
22
1
22
m
max
-
-
m
, dan
(
)
2
22
m
xdx
ax
=
(
)
(
)
1
22
22
m
x
max
-
-
m
1
22
m
-
EMBED Equation.DSMT4
(
)
1
22
m
dx
ax
-
(b)Ambil u = x, dv = x(a2 x2)m-1 dx; maka du = dx, v =
1
2
m
(a2 x2)m, dan
2
x
(a2 x2)m-1 dx =
2
x
m
(a2 x2)m
m
1
2
m
EMBED Equation.DSMT4
(
)
22
m
ax
dx
11.Cari (a)
(
)
5/2
2
1
dx
x
+
, (b)
(
)
3/2
2
9
x
+
dx.
(a)Karena Rumus Reduksi (A) mereduksi eksponen di penyebut dengan 1, maka rumus ini digunakan dua kali untuk memperoleh
(
)
5/2
2
1
dx
x
+
=
(
)
3/2
2
31
x
x
+
+
2
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
3/2
2
1
dx
x
+
=
(
)
3/2
2
31
x
x
+
+
2
3
EMBED Equation.DSMT4
(
)
1/2
2
1
dx
x
+
+ C
(b)Dengan menggunakan Rumus Reduksi (B),
(
)
3/2
2
9
x
+
dx =
1
4
x
(
)
3/2
2
9
x
+
+
27
4
EMBED Equation.DSMT4
(
)
1/2
2
9
x
+
dx
=
1
4
x
(
)
3/2
2
9
x
+
+
27
8
{x
(
)
1/2
2
9
x
+
+ 9 ln (x +
2
9
x
+
)} + C
Soal-soal Tambahan
12.
x
cos x dx = x sin x + cos x + C
13.
arc
cos 2x dx = x arc cos 2x -
1
2
EMBED Equation.DSMT4
2
14
x
-
+ C
15.
arc
tan x dx = x arc tan x - ln
2
1
x
-
+ C
16.
2
x
EMBED Equation.DSMT4
1
x
-
dx = -
2
105
(1 x)3/2(15x2 + 12x + 8) + C
17.
(
)
2
2
1
xedx
x
+
=
1
x
e
x
+
+ C
18.
x
arc tan x dx =
1
2
(x2 + 1) arc tan x -
1
2
x + C
19.
2
x
e-3x dx = -
1
3
e-3x(x2 +
2
3
x +
2
9
) + C
20.
3
sin
x dx = -
2
3
cos3 x sin2 x cos x + C
21.
3
x
sin x dx = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x 6 sin x + C
22.
xdx
abx
+
=
(
)
2
22
3
bxaabx
b
-+
+ C
23.
2
1
xdx
x
+
=
2
15
(3x2 4x +8)
1
x
+
+ C
24.
x
arc sin x2 dx =
1
2
x2 arc sin x2 +
1
2
EMBED Equation.DSMT4
4
1
x
-
+ C
25.
sin
x sin 3x dx =
1
8
sin 3x cos x -
3
8
sin x cos 3x + C
26.
sin
(ln x) dx =
1
2
x(sin ln x cos ln x) + C
27.
ax
e
cos bx dx =
(
)
22
sincos
ax
ebbxabx
ab
+
+
+ C
28.
ax
e
sin bx dx =
(
)
22
sincos
ax
eabxbbx
ab
-
+
+ C
29.(a)Tulis
(
)
2
22
m
adx
ax
=
(
)
(
)
222
22
m
axx
ax
m
dx =
(
)
1
22
m
dx
ax
-
EMBED Equation.DSMT4
m
EMBED Equation.DSMT4
(
)
2
22
m
xdx
ax
dan gunakan Soal 10(a) untuk mendapatkan rumus reduksi (A).
(b)Tu