PENCOCOKAN KURVA

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK

TIM DOSEN

KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT

12

Pendahuluan

Data yang berasal dari hasil pengamatan lapangan, pengukuran atau tabel yang diambil dari buku-bukuacuan.

Nilai antara, turunan, integral mudah dicari untuk

fungsi polinom

Fungsi sulit perlu disederhanakan menjadi fungsipolinom

)()( xpxf n

n

nn xaxaxaaxp ...)( 2

210

2 11/20/2017

Pendahuluan (Cont.)

Bantuan beberapa titik dicocokan dalam kurva pn(x).

Metode pencocokan titik dengan sebuah kurva ada 2 macam:

X

Y

X

Y

Regresi Interpolasi

3 11/20/2017

Regresi

Untuk data dengan berketelitian rendah

Kurva tidak perlu melewati semua titik yang tersedia

Kurva yang dibentuk merupakan kecenderungan darisekelompok data

Dipilih kurva yang memiliki selisih antara titik data dengankurva hampiran sekecil mungkin

Ketidaktelitian disebabkan oleh : kesalahan mengukur, ketidaktelitian alat ukur atau kelakuan sistem yang diukur.

4 11/20/2017

Regresi (Cont.)

Prinsip penting yang harus diketahui dalam pencocokankurva untuk data hasil pengukuran :

– Fungsi mengandung sesedikit mungkin parameter bebas

–Deviasi fungsi dengan titik data dibuat minimum

Manfaat Pencocokan Kurva untuk data hasil pengukuran :

– Bagi ahli sains/rekayasa : mengembangkan formula empirik untuk sistem yang diteliti

– Bagi ahli ekonomi : menentukan kurva kecenderunganekonomi untuk meramalkan kecenderungan yang akandatang

5 11/20/2017

Regresi Linier

Persamaan kurva : f(x) = a + bx dari titik-titik (xi,yi).

Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran yang mengandung galat, maka dapat ditulis :

g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n

Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :

ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi)

6 11/20/2017

Regresi Linier (Cont.)

Total kuadrat deviasinya :

n

i

iii bxayrR1

22

Agar R minimum, maka haruslah :

dan 02

ii bxaya

R 02

iii bxayxb

R

Kedua persamaan dibagi -2, menjadi :

1 1 1 1

2

1 1 1

0 0

0 0

n n n n

i i i i

i i i i

n n n

i i i i i i i

i i i

y a bx y a bx

x y a bx x y ax bx

7 11/20/2017

Regresi Linier (Cont.)

Selanjutnya :

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

yxbxax

ybxa

11

2

1

111

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yxxbxa

yxbna

11

2

1

11

atau

Dalam bentuk persamaan matrik :

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

yx

y

b

a

xx

xn

1

1

1

2

1

1

2

1 1 1 1

2

2

1 1

1 1 1

2

2

1 1

n n n n

i i i i i

i i i i

n n

i i

i i

n n n

i i i i

i i i

n n

i i

i i

x y x x y

a

n x x

n x y x y

b

n x x

Solusinya:

8 11/20/2017

Regresi Kuadratik

Persamaan kurva : f(x) = a + bx +cx2 dari titik-titik (xi,yi).

Karena (xi,yi) merupakan hasil pengukuran yang mengandung galat, maka dapat ditulis :

g(xi) =yi + ei, i = 1,2,…,n

Deviasi persamaan kurva dengan nilai data :

ri = yi – f(xi) = yi – (a + bxi+cxi2)

9 11/20/2017

Regresi Kuadratik (Cont.)

n

i

iiii cxbxayrR1

222 )(

0)(2 2

iii cxbxaya

R

Total kuadrat deviasinya :

Agar R minimum, maka haruslah :

22 ( ) 0i i i iR x y a bx cx

b

0)(2 22

iiii cxbxayxc

R

10 11/20/2017

Regresi Kuadratik (Cont.)

Ketiga persamaan dibagi -2, menjadi :

ii

ii

i

iii

iii

ii

iiiii

iiiii

iii

iiiiiiiii

iiiiiiiii

iiiiii

yx

yx

y

c

b

a

xxx

xxx

xxn

yxcxbxax

yxcxbxax

ycxbxa

cxbxaxyxcxbxayx

cxbxaxyxcxbxayx

cxbxaycxbxay

2432

32

2

2432

32

2

432222

322

22

)(

)(

)(

11 11/20/2017

Linearisasi

Regresi linier hanya cocok untuk data yang memilikihubungan linier antara variabel bebas dengan variabelterikatnya.

Penggambaran grafik dan pemeriksaan data secara visual untuk memastikan apakah berlaku suatu model linier

12 11/20/2017

Linearisasi PangkatSederhana

Mencocokkan data dengan fungsi y = Cxb

)ln()ln()ln( xbCy

Cxy b

bXaY

0659.1

7139.12

2522.62447.1

2447.17

b

a

Sistem persamaan linier :

Solusinya adalah : a = 1.8515, b = 0.1981

369366.68515.1 eeC a

Jadi kurva yang dipakai :

1981.0369366.6 xy

13 11/20/2017

Linearisasi FungsiEksponensial

Mencocokkan data dengan fungsi y = Cebx

bxCy

ebxCy

Cey bx

)ln()ln(

)ln()ln()ln(

bXaY

Sistem persamaan linier :

Solusinya adalah : a = ….., b =……..

Jadi kurva yang dipakai :

007.16

7139.12

416.1426.8

26.87

b

a

....... aa eeC

bxCey

14 11/20/2017

Interpolasi

(n+1) buah titik berbeda (x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn).

Menentukan polinom pn(x) yang menginterpolasi semuatitik-titik tersebut sedemikian rupa sehingga :

yi = pn(xi) untuk i=0,1,2,..,n

Selanjutnya p(x) dapat digunakan untuk menghitunghampiran y(x).

Jika x0<xk<xn, maka p(xk) disebut nilai interpolasi.

Jika xk<x0 atau xk>xn, maka p(xk) disebut nilai ekstrapolasi.

Interpolasi bermanfaat untuk mencari nilai hampiransebagai pengisi kaitan data yang hilang.

15 11/20/2017

Interpolasi Linier

Interpolasi dua buah titikdengan sebuah garislurus. Misal (x0,y0) dan(x1,y1).

Persamaan garis lurusyang terbentuk :

p1(x) = a0 + a1x

a0 dan a1 dicari dengancara berikut :

1101

0100

xaay

xaay

Dengan proses eliminasidan subtitusi didapatkan:

01

10010

01

011

xx

yxyxa

xx

yya

Setelah disubtitusi dalampersamaan dan dilakukansedikit otak-atik aljabardidapatkan :

)()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

yyyxp

X

Y

(x0,y0)

(x1,y1)

16 11/20/2017

Interpolasi Kuadratik

dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilaia0,a1 dan a2.

2

2

22210

1

2

12110

0

2

02010

yxaxaa

yxaxaa

yxaxaa

➢ Interpolasi tiga buah titik dengan sebuahpersamaan polinom kuadrat. Misal (x0,y0), (x1,y1) dan (x2,y2).

➢ Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :p2(x) = a0 + a1x + a2x

2

➢ Persamaan dari 3 titik dengan a0, a1 dan a2

adalah sebagai berikut :

Y

X

(x0,y0)

(x1,y1)

(x2,y2)

17 11/20/2017

Interpolasi Kubik

Interpolasi empat buah titik dengan sebuah persamaanpolinom kubik. Misal (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), dan (x3,y3).

Persamaan polinom kuadrat yang terbentuk :

p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x

3

Persamaan dari 4 titik dengan a0, a1, a2 dan a3 adalahsebagai berikut :

3

3

33

2

32210

2

3

23

2

22210

1

3

13

2

12110

0

3

03

2

02010

yxaxaxaa

yxaxaxaa

yxaxaxaa

yxaxaxaa

Dengan metode eliminasi Gauss, didapatkan nilaia0,a1 dan a2.

Y

X

(x0,y0)

(x1,y1)

(x2,y2)

(x3,y3)

18 11/20/2017

Resume

Interpolasi linier, kuadratik, kubik dan seterusnya relatif kurangdisukai disebabkan persamaan yang diperoleh (terutama yang berderajat tinggi) akan berkondisi buruk.

19 11/20/2017

Interpolasi Lagrange

Nama diambil dari penemunya Joseph Louis Lagrange (Perancis)

Bentuk umum derajat <n untuk (n+1) titik berbeda :

))...()()...()((

))...()()...()((

)(

)()(

)(...)()()()(

1110

1110

0

1100

0

niiiiiii

nii

ji

jn

ijj

i

nn

n

i

iin

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx

xx

xxxL

xLyxLyxLyxLyxp

Contoh Kasus :Diberikan fungsi y = f(x) dengan 3 buah titik data dalam tabel berikut :

tentukan nilai f(3.5)!

X 1 4 6

Y 1.5709 1.5727 1.5751

20 11/20/2017

function Lagrange (x:real; n: integer): real;vari, j : integer;P, L : real;begin

P = 0;for i:=0 to n do

beginL :=1;for j:=0 to n doif i<>j thenL:=L*(x-x(j))/(x(i)-x(j));

endforP:=P+y(i)*L;

endfor;Lagrange :=P;

end.

Interpolasi Lagrange

Kurang disukai karena :Jumlah komputasi

yang dibutuhkanuntuk satu kali interpolasi besar.

Hasil komputasi padaderajat yang lebihrendah tidak bisadigunakan untukmenghitung derajatyang lebih tinggi.

21 11/20/2017

Interpolasi Newton

Bentuk umum :

(i) Rekurens :

pn(x) = pn-1(x)+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)

(ii) Basis :

p0(x) = f(x0) = y0

],,...,,[

...

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfa

xxxfa

xxfa

xfa

nnn

0

02111011

],...,,[],...,,[],,...,,[

...

],[],[],,[

)()(],[

xx

xxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnnn

ki

kjji

kji

ji

ji

ji

Bentuk umum juga dapat ditulis :

],,...,,[))...()((

...],,[))((],[)()()(

011110

012100100

xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

nnn

n

22 11/20/2017IKG2E3 KOMPUTASI NUMERIK

Tabel SelisihTerbagi Newton

i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3 …

0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,x1,x0] …

1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1] …

2 x2 f(x2) f[x3,x2] …

3 x3 f(x3) …

… … …

ST : Selisih TerbagiContoh Kasus :Diberikan data pada tabel dibawah ini, taksirlah nilaifungsi di x = 2.5! Dengan polinom newton orde 4.

xi 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

f(xi) 1.0000 0.5403 -0.4161 -0.9900 -0.6536

23 11/20/2017

THANK YOU