BAB 9DERET FOURIER

Oleh :Ir. A.Rachman Hasibuan dan

Naemah Mubarakah, ST

9.1 Pendahuluan

Gambar 9.1 Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin t

Gambar 9.2 Gelombang gigi gergaji

Gelombang gergaji ini dapat dinyatakan sebagai f(t) = (V/T)t dalaminterval 0 < t < T dan oleh f(t) = (V/T)(t – T) dalam interval T < t < 2T.

9.2 Deret Fourier Trigonometri

Suatu fungsi f (t) dikatakan periodik apabila :

f(t) = f(t + nT)

dimana n adalah bilangan bulat/integer dan T adalah periode dari f (t),

Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik dengan frekuensi o dapat di

ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus atau :

ac

)tnsinbtncosa(

dc

a f(t)1n

onono

o = 2/T disebut sebagai frekuensi dasar sin not atau cos not merupakan harmonisa yang ke-n dari f (t) dan bila n merupakan bilangan ganjil disebut harmonisa ganjil dan bila genap disebut harmonisa genap

Suatu fungsi f(t) dapat dinyatakan dengan sebuah deret Fourier apabila : 1. f(t) memiliki nilai tunggal untuk setiap t. 2. Jika f(t) tidak kontinyu maka hanya terdapat jumlah diskontinuitas

terbatas pada periode T.3. Memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas dalam periode.

4. Untuk setiap t0.

syarat-syarat ini disebut sebagai syarat Dirichlet

Tt

t0

0dt|)t(f

T

0 o2

T

0 o2

T

0 oo

T

0 oo

T

0 oo

T

0 o

T

0 o

)g(.................msemua2/Tdttmcos

)f(....................nsemua2/Tdtncos

)e(................mn0dttmcosncos

)d(...................mn0dttnsinnsin

)c(....m,nsemua0dttnncostnsin

)b(......................0nsemua0dtncos

)a(............................nsemua0dtnsin

Adapun proses untuk menentukan koefisien ao ; an dan bndisebut sebagai analisa. Fourier, dimana dalam analisa Fourierini ada beberapa bentuk integral trigonometri yang sangatmembantu diantaranya :

T

0o dt)t(fT1a

T

0 on dttncos)t(fT2a

T

0 on dttnsin)t(fT2b

Dari analisa Fourir, didapat :

1nnono )tncos(Aa)t(f

1nonnonno

1nono tnsin)sinA(tncos)cosA(a)ntncos(Aa

nnn cosAa )sinA(b nnn 2n

2nn baA

n

n1n a

btan

dalam bentuk kompleks : nnnn jbaA

; dan

Maka :

Sehingga :

; ; ;

Carilah bentuk deret Fourier gelombang dibawah ini dan gambarkan juga spektrum amplitudo dan spektrum fasa dari gelombang tersebut.

Adapun deret Fourier :

1nonono )tnsinbtncosa(a f(t)

Contoh :

Jawab :

Adapun bentuk persamaan gelombang diatas :

2t101t01

)t(f

21t

21dt0dt1

21dt)t(f

T1a

0

12

0

1

0

T

0o

0

0

dttncos0

1

0tsin

n1

dttncos122dttncos)t(f

T2a

2

1

1

0

T

0 on

)1n(cosn1

0

dttnsin0

1

0tncos

n1

dttnsin122dttnsin)t(f

T2b

2

1

1

0

T

0 on

genapnhargauntuk0

ganjilnhargauntukn2

)1(1n1b n

n

Harga-harga a0, an dan bn yang telah diperoleh disubstitusikan ke persamaan umum deret fourier, maka deret Fourier dari bentuk gelombang diatas adalah :

...t5sin52t3sin

32tsin2

21)t(f

1k2n:inihaldalamtnsinn12

21)t(f

1k

untuk mendapatkan spektrum amplitudo dan spektrum fasa :

genapn0

ganjilnn2

b

ganjilnn2

nb

b

0

aAn n2

n2

n

ganjiln0genapn90

ab

tann

n1n

Telah diketahui didepan bahwa 0 = dan harga An dan n untukbeberapa harga n maka hasilnya seperti pada tabel dibawah ini.

maka spektrum amplitudo :

o 2 3 4 5 6

2

32

52

o 2 3 4 5 6

n

9.3 Kesimetrisan9.3.1 Simetris Genap

f(t) = f(-t) → untuk semua harga t

2T

2T

Gambar 9.3 Fungsi Genap

)2/T(f)2/T(f:makaT/2 thargauntuk A - f(t)

T/2 thargauntuk A - f(t)

Adapun sifat yang utama dari fungsi genap ini adalah :

2/T

0e

2/T

2/Te dt)t(f2dt)t(f

dimana notasi e pada fe(t) untuk melambangkan fungsi genap (even).

2/T

00 dt)t(f

T2a

2/T

00n dttncos)t(f

T4a

bn = 0

didapat koefisien-koefisien Fourier-nya :

9.3.2 Simetris Ganjil

f(-t) = -f(t) → untuk semua harga t

4T

4T

Gambar 9.4 Fungsi Ganjil

)4T(f)

4T(f:maka

4T thargauntuk A - f(t)

4T thargauntuk A f(t)

Adapun bentuk umum fungsi ini adalah :

0dt)t(f2/T

2/To

dimana fo(t) hanya berupa simbol dari fungsi ganjil (Odd).

Untuk fungsi ganjil ini harga-harga :A0 = 0 an = 0

2/T

00n dttnsin)t(f

T4b

Setiap fungsi periodik f(t) dapat merupakan gabungan fungsi-fungsi genap atau ganjil saja ataupun gabungan fungsi genap atau ganjil

)t(f)t(f

ganjil

tnsinb

genap

tnsinaa)t(f oe1n

0n1n

0n0

9.3.3 Simetris Gelombang Setengah

Suatu fungsi dikatakan simetris gelombang setengah apabila :

)ganjil()t(f)2Tt(f

Gambar 9.5 Contoh gelombang setengah simetris (ganjil)

Koefisien Fourier nya :

2/T

0

0

2/T

2/T

2/T0 dt)t(fdt)t(f

T1dt)t(f

T1a 0dt)t(fdx)x(f

T1a

2/T

0

2/T

00

2/T

00

0

2/T0n dttncos)t(fdttncos)t(f

T2a

genapnuntuk.........................................0

ganjilnuntuk...........dttncos)t(fT4

dttncos)t(f)1(1T2a

2/T

00

2/T

00

nn

genapnuntuk.........................................0

ganjilnuntuk...........dttnsin)t(fT4

b

2/T

00

n

Contoh :Carilah deret Fourir dari f(t) yang tergambar di bawah ini :

Jawab :Fungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a0 = 0 = an dimana

periodenya T = 4 sehingga24

2T2

0

, maka :

2/T

00n dttnsin)t(f

T4b

2

1

1

0n dtt

2nsin0dtt

2nsin1

44b

2

ncos1n2

2tncos

n2b

1

0n

1n 2nsin

2ncos1

n12)t(f

maka terlihat bahwa deret merupakan deret Fourir sinus.

Contoh :Carilah deret Fourir dari fungsi di bawah ini :

Jawab :Fungsi adalah gelombang ganjil setengah simetris, sehingga a0 = 0 = an

dengan periode T = 4 dan24

2T2

0

f(t) = 1 → -1 < t < 1

. Maka :

2/T

00n dttnsin)t(f

T4b

Maka :

2ncos

n4

2nsin

n8b 22n

karena sin (-x) = - sin x pada fungsi ganjil dan cos (-x) = cos x padafungsi genap, maka :

...,6,4,2genapnuntuk)1(n4

...,5,3,1ganjilnuntuk)1(n

8

b2/)2n(

2/)1n(22

n

sehingga :

1nn t

2nsinb)t(f

9.4 Pemakaian Pada Rangkaian Listrik

Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya :

1. Nyatakan eksitasi dalam deret Fourier.

2. Transformasikan rangkaian dari bentuk wawasan waktu menjadi

wawasan frekuensi.

3. Cari resonse komponen dc dan ac dalam deret Fourier.

4. Jumlahkan masing-masing response secara superposisi.

Untuk mendapatkan respons steady state rangkaian terhadap eksitasi

non-sinusoidal periodik ini diperlukan pemakaian deret Fourier,

analisis fasor ac dan prinsip superposisi.

)t1cos(v 101

)t2cos(v 202

)tncos(v n0n

0v

Gambar 9.6 a) Rangkaian linier dengan sumber tegangan periodikb) Merepresentasekan deret Fourier (wawasaan waktu)

adapun pernyataan deret Fourier-nya :

1nn0n0 )tn(cosVV)t(v

0v

11v

nnv

22v

Gambar 9.7 a) Respons steady state komponen dcb) Respons steady state komponen ac (wawasan frekuensi)

1nn00 )tn(cosIni)t(i

Contoh :Rangkaian seperti di bawah ini :

Bilamana sumber tegangan vs(t) pada rangkaian berbentuk :

1k2ntnsinn12

21)t(v

1ks

Carilah v0(t).

(*)

Jawab :

ssn

n0 V

n2j5n2jV

LjRLjV

n2jn2j5

1V1V:atau

n2j5n2j

VV

s0

s

0

)902(n1)2j(

n1

2j1

n1

n2j1V:ataun2j

V1

ss

90n2Vs

90

n2

n2j5n2jV0

22

1

0n425

5n2tan4

V

dan dalam wawasan waktu :

1k2n:untuk5n2tantncos

n425

4)t(V 1

1k 220

maka dengan mensubstitusikan harga ( k = 1, 2, 3, … atau

n = 1, 3, 5,…) untuk harmonisa ganjil akan diperoleh :

Volt...)96,80t5(cos1257,0)14,75t3(cos2051,0)49,51t1(cos4981,0)t(0V

dan kalau digambarkan spektrum amplitudo-nya :

2 3 4 5 6 7

0V

9.5 Daya Rata-rata dan RMS

Untuk mendapatkan harga daya rata-rata yang diserap oleh suatu

rangkaian dengan sumber suatu fungsi periodik , yaitu :

1nn0ndc )-tn(cosVV)t(v

1mm0mdc )-tm(cosVI)t(i

sedangkan sebagaimana diketahui bahwa daya rata-rata adalah :

T0

dtviT1P

1nnnnndcdc )-(cosIV

21IVP

harga efektif (rms) dari suatu f(t) adalah :

T0

2rms dt)t(f

T1F

1n

2n

2n

20rms ba

21aF

Contoh :Rangkaian seperti di bawah ini :

Carilah daya rata-rata yang diberikan oleh sumber ke rangkaian bilamana :

A)35t3cos(6)10tcos(102)t(i

dan cari pula Vrms.

Jawab :Impedansi rangkaian :

20j1

10

2j120j

2j10

2j110

2j110

XRX.R

ZC

C

maka :

20tan4001

I.10

120tan)20(1

I.1020j1I.10

20j110.IZ.IV

12122

untuk komponen dc (ω = 0) :

I = 2 A v20)0(20tan)0(4001

)2(10V12

untuk ω = 1 rad/det, maka :

14,775

14,872010100

)1(20tan)1(4001

)1010(10Vdan1010I12

untuk ω = 3 rad/det, maka :

04,541

04,89603560

)3(20tan)3(4001

)356(10Vdan356I12

sehingga dalam wawasan waktu :

V)04,54t3cos(1)14,77tcos(520)t(v

Adapun daya rata-rata dapat dihitung dengan :

1nnnnndcdc )-(cosIV

21IVP

)35(04,54cos)6)(1(21)10(14,77cos)10)(5(

21)2(20P

P = 40 + 1,247 + 0,05 = 41,297 W

cara lain :

W30,4106,025,140101

21

105

21

1020

RV

21

RV

P222

1n

2n

2dc

Contoh :Suatu tegangan diekspresikan dengan :

...)7,78t4cos(4851,0)56,71t3cos(6345,0)45,63t2cos(8944,0)45tcos(414,11)t(v

carilah harga rms dari tegangan ini.

Jawab :

Dengan menggunakan :

1n

2n

20rms A

21aF

maka :

V649,1)4851,0()6345,0()8944,0()414,1(211V 22222

rms

9.6 Bentuk Eksponensial Deret Fourier

n

tjnn oec)t(f

Untuk mendapatkan harga rms

1n

2n

2n2

0rms 2baaF

2ba

c2

n2

nn

20

20 ac

1n

2n

20rms c2cF

Karena :

Maka :

dan

T0

tjnn dte)t(f

T1c o

Contoh :Carilah bentuk eksponensial deret Fourier dari :

)t(f)2t(f:dengan2t0;e)t(f t

Jawab :1

T2maka2TKarena 0

maka :

20

jnttT0

tjnn dtee

21dte)t(f

T1c o

2

0

t)jn1(n e

jn11

21c

1ee)jn1(2

1c n2j2n

10j1n2sinjn2cose n2j

)jn1(

51,851e)jn1(2

1c 2n

sehingga deret Fourier-nya : jnte)jn1(

51,85)t(f