FUNGSI TRIGONOMETRIK

MAKALAH

Untuk memenuhi tugas matakuliah

Fungsi Kompleks

yang dibina oleh Ibu Indriati Nurul Hidayah, S.Pd., M,Si

Oleh:

Kelompok V

M. Sihabudin 309312422750

Rino Kitanto 309312426745

Rizki Imansyah Putra 309312422758

Saniagus Munendra 309312417508

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

NOPEMBER 2011

FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRIK

Dengan menggunakan rumus euler

Maka ,

Dua persamaan berikut kita eliminasi ,

Kurangkan, diperoleh

Maka,

Dengan cara serupa, diperoleh

Kedua rumus tersebut dapat dikatakan mewakili bentuk kompleks fungsi nyata sinus dan

cosinus. Untuk fungsi kompleks trigonometri, didefinisikan dengan mengganti (pada

fungsi nyata trigonometri di atas) dengan , yaitu

Definisi Fungsi Kompleks Trigonometri

untuk semua bilangan kompleks

Empat fungsi trigonometri yang lain didefinisikan :

dengan syarat penyebut pada empat bentuk terakhir tidak sama dengan nol.

Contoh Soal

Contoh 1 :

Tentukan nilai .

Jawab :

Dengan menggunakan definisi ,

Contoh 2 :

Tentukan yang memenuhi .

Jawab :

Dengan menggunakan definisi ,

maka diperoleh :

misalkan , maka diperoleh

Menggunakan rumus , diperoleh

maka,

Diperoleh solusinya yaitu

Contoh 3 (soal 10A, halaman 80, nomor 10.11.a)

Gunakan definisi fungsi kompleks untuk menuliskan bilangan-bilangan berikut dalam

bentuk

a.

Jawab :

menurut definisi

Ingat, identitas euler yaitu , sehingga

Dalam bentuk yang diinginkan, maka

Contoh 4 (soal 10A, halaman 81, nomor 10.12)

Carilah turunan keenam fungsi trigonometrik dan nyatakan dalam suku-suku

trigonometrik pula

Jawab :

Non Contoh (contoh yang bukan merupakan fungsi kompleks trigonometri)

Yaitu, fungsi-fungsi kompleks yang tidak memenuhi definisi fungsi kompleks trigonometri

(selain yang didefinisikan pada definisi fungsi kompleks trigonometri)

Misalnya, fungsi linear yaitu : , atau fungsi kompleks yang lain,

FUNGSI KOMPLEKS HIPERBOLIK

Definisi fungsi kompleks hiperbolik

dan

Empat fungsi hiperbolik yang lain didefinisikan

Hubungan Fungsi Kompleks Hiperbolik Dengan Fungsi Kompleks Trigonometrik

yaitu,

Bukti :

dan

Penulisan dan dalam bentuk

Misalkan,

Dengan langkah serupa,

Sifat-sifat Dan Bukti Pada Fungsi Kompleks Trigonometri

1)

bukti :

Karena , maka

Karena sesuai definisi

karena

, maka tentu saja

jadi,

kedua ruas di logaritma natural kan! Diperoleh ,

2)

bukti :

Karena

, maka

Karena sesuai definisi

maka

jadi,

kedua ruas dilogaritmanaturalkan! Diperoleh ,

3)

bukti :

4)

bukti :

5)

bukti :

maka ,

6)

bukti :

7)

bukti :

8)

Bukti :

Perhatikan

9)

Bukti :

10)

bukti :

11)

bukti :

Sifat-sifat yang lainnya mengenai fungsi kompleks trigonometri dan fungsi kompleks

hiperbolik

12) Identitas dasar Hiperbolik :

Bukti :

13)

Bukti :

14)

Bukti :

15) (soal nomor 10.30.a)

Bukti:

Perhatikan bahwa

Maka,

16) (soal nomor 10.30.b)

Bukti :

Perhatikan bahwa

Maka,

17)

Bukti :

18)

Bukti :

Bukti :

Bukti :

Contoh penggunaan sifat :

Gunakan sifat – sifat yang telah ada untuk menunjukkan bahwa

sin 3z = 3 sin z (cos2 z – sin2 z)

Jawab :

sin 3z = sin (2z + z) = (sin 2z)(cos z) + (sin z) (cos 2z)

= (2 sin z cos z)(cos z) + (sin z)(cos2 z – sin2 z)

= 2 sin z cos2 z + sin z cos2 z – sin3 z

= 3 sin z cos2 z – sin3 z

= 3 sin z (cos2 z – sin2 z)

PERBEDAAN FUNGSI KOMPLEKS TRIGONOMETRI DAN FUNGSI NYATA TRIGONOMETRI

Perbedaan terbesar terletak pada batas nilainya

Jika pada fungsi nyata trigonometri kita mengenal untuk

(begitu juga untuk cos)

Pada fungsi kompleks trigonometri, kita tidak mengenal hal itu (not bounded)

Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang besar?

Fungsi Sinus

Supaya bernilai real yang besar, maka harus 0, sehingga atau

Ambil, , maka

Supaya bernilai real yang besar, maka tentu saja harus bernilai besar

Karena itu fungsi naik untuk , maka pilih adalah bilangan yang sangat

besar

akan bernilai besar

Semakin besar , maka nilai akan semakin bernilai real yang besar

Kapan fungsi kompleks trigonometri bernilai real yang kecil?

Tentu saja, tinggal memilih , yaitu

akan bernilai kecil

Hati-hati

Hitunglah !

Dengan sifat yang sudah kita miliki, maka

, karena 30 ini adalah bilangan real (bukan derajat)

(jadi, jika menghitung dengan kalkulator, ubah deg menjadi rad)

Ingat , bentuk , dengan