masalah distribusi bola ke dalam wadah sebagai …

i

MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH

SEBAGAI FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI

SKRIPSI

OLEH :

FAUZIAH BAHARUDDIN

H 111 09 003

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2013

ii

ESAHAN



SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains pada

Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin

Makassar

OLEH :

FAUZIAH BAHARUDDIN

H 111 09 003

JURUSAN MATEMATIKA



MAKASSAR

2013

iii

LEMBAR KEOTENTIKAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sesungguh-sungguhnya

bahwa skripsi yang saya buat dengan judul :



adalah benar hasil kerja saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah

dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassar, 31 Mei 2013

iv



D i s e t u j u i o l e h :

Pada Tanggal : 31 Mei 2013

v

JURUSAN MATEMATIKA



Pada hari ini, Rabu tanggal 31 Mei 2013, Panitia Ujian Skripsi menerima dengan baik

skripsi berjudul :



yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat guna memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin.


PANITIA UJIAN SKRIPSI

1. Ketua : Prof. Dr. Moh. Ivan Azis

2. Sekretaris : Dr. Nurtiti Sunusi, M.Si.

3. Anggota : Drs. Khaeruddin M.Sc.

4. Anggota : Dr. Loeky Haryanto,MS.MSc.MAT.

5. Anggota : Dr. Nurdin, M.Si.

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT dan junjungan besar

Nabi Muhammad SAW yang telah melimpahkan rahmat dan karuniaNya,

sehingga penulis masih diberikan kekuatan dan kemampuan untuk menyelesaikan

penulisan skripsi dengan judul “ Masalah Distribusi Bola ke dalam Wadah

sebagai Fungsi atau Kumpulan Fungsi “. Sebagai salah satu syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Hasanuddin.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini memerlukan proses dan

pengorbanan yang tidaklah sedikit serta adanya bantuan dan doa dari berbagai

pihak, Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih dan penghargaan

yang setinggi-tingginya kepada:

1. Ayahanda dan Ibunda tercinta Baharuddin HB, S.Sos dan A. Katenni,

yang dengan penuh kesabaran dan kasih sayang telah membesarkan dan

mendidik penulis serta selalu memberikan dukungan dan doa kepada

penulis dan menjadi motivasi terbesar bagi penulis untuk segera

menyelesaikan studi. Ucapan terima kasih juga kepada adik tercinta

Muchtar, yang selalu memberikan dukungan, doa dan perhatian kepada

Penulis.

vii

2. Bapak Drs. Khaeruddin, M.Sc. selaku dosen penasehat akademik yang

telah memberikan arahan, bimbingan dan motivasi kepada penulis selama

penulis jadi mahasiswa.

3. Bapak Dr. Loeky Haryanto, MS.MSc.MAT selaku dosen pembimbing

utama dan Bapak Dr. Nurdin, M.Si selaku pembimbing pertama yang

telah memberikan, arahan, bimbingan dan motivasi kepada penulis dalam

menyelesaikan penulisan tugas akhir ini.

4. Bapak Prof. Moh. Ivan Azis, M.Sc. , Ibu Nurtiti Sunusi, M.Si, dan

bapak Drs. Khaeruddin, M.Sc. , selaku dosen penguji yang selama

seminar telah banyak memberikan kritikan, saran dan masukan yang

sangat berharga dalam perbaikan tugas akhir ini.

5. Ibu Dr. Hasmawati, M.Si selaku ketua jurusan Matematika dan seluruh

Dosen Jurusan Matematika FMIPA Unhas atas ilmu yang telah diberikan

kepada penulis selama masa perkuliahan.

6. Pak Nasir dan Pak Sutamin selaku pegawai Jurusan Matematika yang

telah membantu Penulis dalam urusan administrasi selama masa

perkuliahan hingga saat ini.

7. Pak Rahmat, Pak Bakhtiar, Pak Anwar, Pak Iswan dan Pak Adi selaku

pegawai Fakultas (Science Bulding) yang telah membantu Penulis dalam

urusan administrasi fakultas pada masa perkuliahan hingga saat ini.

viii

8. Seluruh sahabat-sahabat terbaik penulis Ekstrim 09 (Rina, Meri, Fifi,

Icha, Ali, Edi, Jamal, Ical, Noe, Harti, Afri, Erika, Niedha, Lesdy,

Inggrid, Devita, Bunda, Nur, Lisa, Fair, Taufik, Enci, Delia, Iche,

Arni, Oghi, Isna, Evi, Teten, Idha, Vinni, Tri, Fahrun, Naser, Endy,

Nonot, Hera, Micy, Cimank, Ayu, Hasruni, A.Yuni, Vj, Intan, Nurmi,

Jejen, Jumi, Ifa, Mimi, dan Fitrah) Terima kasih atas kebersamaannya

selama ini dan telah mengisi hari-hari Penulis dengan penuh canda tawa

dan kebahagiaan. Semoga diberikan kemudahan dalam menyelesaikan

tugas akhir.

9. Kanda-kanda, teman-teman, dan adik-adik Warga Himatika FMIPA

Unhas dan Pengurus BEM FMIPA Unhas Periode 2012/2013. Terima

kasih atas perhatian, dorongan, pengalaman, cerita, dan dukungannya

selama ini.

10. Kanda-kanda, teman-teman, dan adik-adik Warga KM FMIPA Unhas

.Terima kasih atas perhatian, dorongan, pengalaman, cerita, dan

dukungannya selama ini.

11. Teman-teman seperjuangan selama KKN Gelombang 82 Kelurahan

Pajalele Kec. Tellu Limpoe Kab. Sidrap (Ridha, kak Dilla, Echa, kak

Basran, kak Alif, kak Efde, kak Dulla, dan kak Ryan) yang telah

memberikan dukungan dan banyak membantu Penulis selama di lokasi

KKN. Senang bisa bertemu dan mengenal kalian.

12. Teman-teman tentor Simply FAST Makassar terima kasih atas bantuan

dan dukungannya selama ini.

ix

13. Teman seperjuangan Rezky K.F (Icky) yang mengajarkan penulis

bagaimana turun langsung ke lapangan dalam melakukan penelitiannya.

14. Buat sahabat – sahabat REFLECT’S 05 yang telah setia berbagai cerita

dengan penulis.

15. Teman-teman seperjuangan MIPA 2009 (Jur. Matematika, Fisika,

Kimia , dan Biologi), khususnya Matematika dan Statistika yang memberi

motivasi sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan, semoga secepatnya

menyusul.

Dan kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu,

terima kasih atas partisipasinya, semoga ALLAH SWT membalas kebaikan dan

memberikan balasan yang setimpal. Aamiin.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa tugas akhir ini masih jauh dari

kesempurnaan, sehingga sangat diharapkan adanya saran dan kritik yang bersifat

membangun sebagai bahan perbaikan di masa yang akan datang.

Akhir kata, semoga tugas akhir ini ada manfaatnya bagi para mahasiswa,

khususnya bagi Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Matematika dan bagi Perguruan Tinggi.

Wassalam


Penulis

x

ABSTRAK

Penulisan skripsi ini bertujuan untuk mendapatkan perumusan banyak cara

berbeda dalam masalah distribusi bola ke dalam wadah, sesuai ketentuan atau

syarat yang diberikan pada cara distribusi atau pada fungsi-fungsi yang terkait

dengan distribusi tersebut. Tujuan lainnya adalah memberi intreprestasi beberapa

masalah distribusi bola ke wadah menjadi masalah yang berbeda (tetapi

ekuivalen) ke dalam bahasa matematis.

Kata Kunci : Fungsi, Permutasi, Koefisien Binomial, Partisi Bilangan.

xi

ABSTRACT

The goal of this skripsi is primarily to obtain the number of different ways

in distributing n balls into k urns subject to some conditions imposed on the balls

and the urns as well as on the associated functions related to the distributions.

Another goal is to find distinct interpretations, but equivalent for each distribution

into mathematical language.

Key Words : Functions, Permutations, Binomial Coefficient, Numbers Partition.

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL…………………………………………………………i

LEMBAR PENGESAHAN………………………………………………….…ii

KATA PENGANTAR…………………………………………………………vi

ABSTRAK……………………………………………………………………..x

ABSTRACT…………………………………………………………………...xi

DAFTAR ISI……………………………… .................................................... xii

PENDAHULUAN………………….. ................................................................. 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ......................................................................................... 4

1.3 Batasan Masalah ........................................................................................... 6

1.4 Tujuan Penelitian ......................................................................................... 6

1.5 Manfaat Penelitian ....................................................................................... 7

TINJAUAN PUSTAKA……………… .............................................................. 8

2.1 Definisi Fungsi ............................................................................................. 8

2.2 Jenis – jenis fungsi ....................................................................................... 9

2.3 Permutasi .................................................................................................... 13

2.4 Prinsip Inklusi dan Eksklusi ....................................................................... 15

2.5 Koefisien Binomial .................................................................................... 20

2.6 Bilangan Stirling ........................................................................................ 23

2.7 Partisi Bilangan ........................................................................................... 25

HASIL DAN PEMBAHASAN ......................................................................... 28

3.1 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Tanpa

Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait ................................................ 28

3.2 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Sebagai Fungsi

Injektif ...................................................................................................... 31

xiii


Surjektif ................................................................................................... 32

3.4 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Bisa

Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait .................... 35

3.5 Distribusi n Bola yang Tidak Bisa Dibedakan ke dalam k Wadah yang

Bisa Dibedakan Dengan Syarat Paling Banyak Satu Wadah Berisi Satu

Bola Sebagai Fungsi Injektif.................................................................... 37

3.6 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan ke dalam k Wadah yang Bisa

Dibedakan Dengan Syarat Paling Sedikit Satu Wadah Berisi Satu Bola

Sebagai Fungsi Surjektif .......................................................................... 40

3.7 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa

Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau Paling Sedikit 1 bola Dalam

Wadah ...................................................................................................... 43


Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait .................... 45

3.9 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang tidak Bisa

Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif atau paling banyak 1 bola dalam

wadah ....................................................................................................... 47

3.10 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang juga Tidak

Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau paling sedikit 1 bola dalam

wadah ....................................................................................................... 48

3.11 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak .........

Bisa Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait ............ 50

3.12 Distribusi Bola yang tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak Bisa

Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif ......................................................... 52

PENUTUP…………………………………………………………………….53

4.1 Kesimpulan ................................................................................................. 53

4.2 Saran ........................................................................................................... 54

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari manusia melihat dan mengenali

berbagai bentuk objek di sekitarnya. Objek dikenali berdasarkan perbedaan

titik-titik pada tempat yang berbeda dan ukuran yang berbeda. Sering ada

keinginan untuk mengetahui cara-cara sekumpulan objek dapat

diklasifikasikan berdasarkan suatu kriteria sehingga terjadi partisi atas

objek-objek tersebut menjadi beberapa kelompok yang berbeda dan saling

lepas satu sama lain.

Setiap partisi seperti diatas membentuk sekumpulan atau sebuah

fungsi dari himpunan objek-objek ke himpunan lain sebagai akibat

klasifikasi berdasarkan suatu kriteria (Lihat Gambar 1).

Gambar 1. Klasifikasi Obyek-Obyek Sebagai Fungsi, Setiap Kelompok Yang

Dihasilkan Diberi Label Berbeda

◉ Bola 3

◉ Bola 1

◉ Bola 2

◉ Bola 4

◉ Bola 5

◉ Bola 6

◉ Bola 7

█ Wadah 1

█ Wadah 2

█ Wadah 4

█ Wadah 3

2

Aturan pengawanan dari fungsi bersama-sama syarat atau kendala yang

dikenakan pada objek atau pada label kelompok yang terbentuk menjadi

kriteria untuk menentukan cara pengelompokkan.

Lebih jauh, berbagai masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari

ternyata ekuivalen dengan masalah menghitung banyaknya fungsi yang

terbentuk berdasarkan ukuran dari kelompok yang berlabel sama. Masalah

yang sejenis atau tidak sejenis di klasifikasi berdasarkan banyak label (yang

digunakan dan tidak digunakan) dan mungkin dengan tambahan beberapa

syarat atau kriteria lain (injektif, surjektif, dan sebagainya) yang dikenakan

pada fungsi-fungsi tersebut.

Semua masalah ini dikelompokkan ke dalam masalah pengisian

(occupancy problem) yang merupakan bagian dari masalah enumerasi di

dalam teori kombinatorik dan matematika diskrit. Dalam masalah pengisian,

banyak masalah pencacahan dapat dirumuskan sebagai menghitung jumlah

distribusi bola ke dalam wadah.(Thomas A. Dowling, 1991).

Matematikawan Paul R. Halmos mengatakan bahwa semua masalah

kombinatorik adalah masalah distribusi bola ke dalam wadah. McMahon

secara lebih tegas mengelompokkan beberapa masalah kombinatoriks yang

bisa dinyatakan dalam model distribusi bola dan wadah. Walaupun saat ini

komentar Halmos tidak tepat, tetapi komentar tersebut menggambarkan

pentingnya masalah distribusi bola ke dalam wadah. Bola di sini berasosiasi

sesuai dengan objek dan wadah berasosiasi dengan tingkat.

3

Dari Gambar 1, masalah pengisian dapat dinyatakan dalam bahasa

fungsi dari himpunan bola-bola ke himpunan wadah-wadah. Misalkan N

adalah himpunan bola sebanyak n dan sedangkan K adalah himpunan wadah

sebanyak k. Dalam hal ini, sebuah distribusi dinyatakan sebagai satu atau

sekumpulan fungsi f: N → K. Himpunan semua fungsi yang terbentuk sangat

tergantung pada asumsi-asumsi atau syarat-syarat yang diberikan sebagai

berikut:

1. Apakah masing-masing bola bisa dibedakan?

2. Apakah masing-masing wadah bisa dibedakan?

3. Apakah fungsi yang diinginkan bersifat 1-1, pada, atau sembarang?

Sebagai ilustrasi misalkan diberikan asumsi bahwa bola - bola dan

wadah-wadah bisa dibedakan satu sama lain. Banyak cara distribusi ini

(banyak fungsi yang berbeda) sudah diketahui banyak orang yaitu nk

.(Thomas A. Dowling, 1991)

Beberapa contoh masalah yang terkait cara distribusi dengan

kemungkinan sebanyak nk

o Banyak kata dengan panjang n pada alphabet berisi sebanyak k huruf

dengan pengulangan.

o Banyak fungsi injektif dari himpunan berukuran n ke himpunan

berukuran k.

Namun, jika bola-bola diasumsikan identik, tetapi wadah-wadah bisa

dibedakan, maka banyak cara distribusi adalah C(k + n - 1, n).

4

Dari diskusi ini, penulis mengangkat masalah dengan judul

“ MASALAH DISTRIBUSI BOLA KE DALAM WADAH SEBAGAI

FUNGSI ATAU KUMPULAN FUNGSI “

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana menghitung banyak cara berbeda untuk mendistribusikan

bola ke dalam wadah, sesuai dengan syarat dan ketentuan yang

diberikan?

2. Bagaimana memberi intreprestasi masalah distribusi bola ke dalam

wadah ke dalam bahasa matematis?

3. Bagaimana rumusan hubungan antara beberapa konsep matematika yang

terkait dengan masalah distribusi bola ke dalam wadah berdasarkan

pustaka-pustaka yang ada?

Masalah menghitung banyak cara distribusi bola ke dalam wadah

dalam pertanyaan di atas bisa dinyatakan sebagai masalah menghitung

banyaknya fungsi atau kumpulan fungsi-fungsi f: N → K dengan syarat dan

ketentuan yang diberikan, di mana N adalah himpunan sebanyak n bola dan

sedangkan K adalah himpunan semua k wadah.

Tanpa ada persyaratan apapun, banyak fungsi yang berbeda adalah

kn. Informasi yang diperlukan untuk menjawabnya berbentuk asumsi atau

persyaratan tertentu pada fungsi-fungsi ini.

5

Berdasarkan asumsi atau persyaratan ini, masalah yang akan dibahas

terbagi atas 12 submasalah yang bisa dinyatakan melalui skema berikut:

Tabel 1 submasalah untuk distribusi bola ke wadah

Ke-12 submasalah tersebut sebenarnya telah dibahas oleh berbagai

buku teks, walaupun biasanya tidak lengkap. Dalam penulisan ini, sumber

utama penulisan adalah berbagai buku teks (Aigner, 2007), (vanLint, 1993),

tulisan yang bersumber dari situs suatu universitas dan catatan elektronik

(Wagner, diakses 2012), (Dowling, 1991), (Sprugnoli, 2006). Isi skripsi ini

akan menguraikan secara lebih lengkap dan sistematis tentang ke-12

submasalah yang berhubungan dengan distribusi bola ke dalam wadah.

Kriteria untuk

n = banyak bola

k = banyak wadah

Tanpa syarat 1 – 1 Pada (onto)

n berlabel

k berlabel

Submasalah 1

(kn fungsi -

fungsi)

Submasalah 2 Submasalah 3

n tdk berlabel

k berlabel

Submasalah 4 Submasalah 5 Submasalah 6

n berlabel

k tdk berlabel


n tdk berlabel

k tdk berlabel


6

1.3 Batasan Masalah

1. Setiap cara distribusi yang dibahas menghasilkan bentuk fungsi atau

kumpulan fungsi-fungsi. Artinya, setiap bola harus distribusikan, tak ada

bola yang tertinggal. Ini adalah bahasa lain untuk menyatakan syarat

suatu pengawanan adalah sebuah fungsi.

2. Untuk setiap submasalah, diberi batasan khusus. Misalnya untuk

submasalah (3, 6, 9, dan 12), banyak bola yang dapat ditempatkan dalam

wadah paling sedikit 1.

1.4 Tujuan Penelitian

1. Mendapatkan perumusan banyak cara berbeda dalam masalah distribusi

bola ke dalam wadah, sesuai ketentuan atau syarat yang diberikan pada

caa distribusi bola ke dalam wadah tersebut.

2. Memberi intreprestasi beberapa masalah distribusi bola ke dalam wadah

ke bentuk masalah yang berbeda (tetapi ekuivalen).

3. Merumuskan hubungan antara beberapa konsep matematika yang terkait

dengan masalah distribusi bola ke dalam wadah, sesuai dengan hasil

studi literatur.

7

1.5 Manfaat Penelitian

1. Memberikan batasan-batasan yang tegas antara suatu masalah dengan

masalah lain apabila kedua masalah sama-sama bisa dirumuskan dalam

bentuk distribusi bola ke dalam wadah (klasifikasi masalah).

2. Masalah distribusi bola ke dalam wadah dapat di intreprestasikan

kebeberapa masalah yang ekuivalen.

3. Memberikan alat (mathematical tools) pada konsep matematika lain

yang terkait dengan konsep distribusi bola ke dalam wadah

8

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Fungsi

Fungsi merupakan keadaan khusus dari suatu relasi. Diberikan

himpunan N dan K. Suatu fungsi f dengan daerah asal N dan daerah kawan K

didefinisikan sebagai himpunan pasangan-pasangan (n,k) dimana n N dan

k K yang memenuhi syarat:

1. Untuk setiap n N terdapat k K sedemikian sehingga (n, k) f.

2. Untuk setiap (n1, k1) f dan (n2, k2) f berlaku implikasi:

jika n1 = n2 maka k1 = k2.

Dari semua pasangan tersebut, himpunan N disebut daerah asal (domain)

dan himpunan K disebut daerah kawan (ko-domain) dari fungsi.

Pemetaan dari N ke K yang diberi simbol f bisa dinyatakan sebagai

f: N K atau N f

K

Gambar 2.1

N : Domain K : Kodomain

9

Fungsi f: N K bisa juga ditafsirkan sebagai aturan pengawanan antara

setiap unsur n N dengan satu dan hanya satu k K. Unsur sekawan k dari n

biasa ditulis sebagai k = f(n). Karena tidak setiap nilai y memiliki kawan x dan

himpunan semua nilai y yang memiliki kawan disebut daerah jangkauan (range)

dari fungsi f.

Contoh 2.1:

Misalkan N = {a, b, c,d} dan K = {1,2,3}. Sebuah fungsi f: N K bisa

digambarkan oleh gambar berikut.

Didalam Gambar 2.2, tersirat

f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 2, dan f(d) = 3

Daerah hasil f adalah {1,2,3} atau ditulis

secara formal f [N] = {1,2,3}.

Gambar 2.2

2.2 Jenis – jenis fungsi

Ditinjau dari cara mengawankannya, fungsi dapat dibedakan menjadi

3 jenis yaitu fungsi injektif, surjektif, dan bijektif. Jenis fungsi tersebut ada

kaitannya dengan sifat pemetaan dari daerah asal ke daerah hasil.

a.

b.

c.

d.

d.

1

2

3

N K f

10

a. Fungsi Injektif

Misalkan f suatu fungsi dari N ke K. Jika setiap unsur – unsur dalam N

berkawan secara tunggal ke suatu unsur dalam K artinya tidak ada dua buah

elemen dalam N yang mempunyai peta yang sama di K maka f disebut

fungsi injektif.

Secara formal,

fungsi f: N K disebut injektif (satu – satu) jika untuk setiap a,b ε N

berlaku jika f(a) = f(b) maka a = b atau jika untuk setiap a,b ε N berlaku

jika f(a) f(b) maka a b

Contoh 2.2:

Misalkan fungsi f: RR didefinisikan oleh rumus 3)( xxf .Maka f

adalah fungsi satu – satu karena pangkat tiga dari dua bilangan riil yang

berbeda juga berbeda.

f Keterangan : f merupakan fungsi injektif

f(1) = 1

f(-1) = -1

f(2) = 8

f(-2) = -8.

Gambar 2.3

x.

R R

f(x)=x3

11

b. Fungsi Surjektif

Misalkan f suatu fungsi dari N ke K, jika f(N) = K, artinya jika

setiap unsur K muncul sebagai bayangan dari sekurang – kurangnya satu

unsur dalam N, maka dikatakan “ f suatu fungsi surjektif dari N ke K “.

Fungsi f ini juga disebut fungsi pada (onto function).

Secara formal, fungsi f: N K disebut fungsi surjektif (fungsi pada )

jika untuk setiap k ∈ K terdapat n ∈ N sehingga k = f(n).

Contoh 2.3:

Misalkan fungsi f: RR didefinisikan oleh rumus 3)( xxf .

Keterangan : f merupakan fungsi surjektif, jadi himpunan prapeta

setiap y (f 1

(y)) tidak pernah kosong, misalnya

f 1

(0) = {3}

f 1

(1) = {4}

f 1

(2) = {5}

f 1

(3) = { 6}.

Gambar 2.4

x.

R R

f(x)=x-3

f

12

a. Fungsi Bijektif

Fungsi f : N → K dikatakan fungsi bijektif jika f bersifat injektif

(satu – satu) dan surjektif (pada). Pada fungsi bijektif, setiap anggota K

mempuyai tepat satu pra-peta di N.

Contoh 2.4 :

Misalkan fungsi f: RR didefinisikan oleh rumus xxf log)( ,

dengan x = {0.01, 0.1, 0, 10, 100, 1000}

Keterangan : f merupakan fungsi bijektif

f (0) = 0

f (0.1) = -1

f (10) =1

f (0.01) = -2

f (100) = 2

f (1000) = 3

Gambar 2.5

0.

0.1.

10.

0.01.

100.

1000

R R

0

-1

1

-2

2

3

f

f

13

2.3 Permutasi

Dalam matematika, penyusunan obyek yang terdiri dari beberapa

unsur dengan memperhatikan urutan disebut dengan permutasi.

Misalkan S adalah himpunan dengan n objek

Misalkan k ≤ n. Permutasi k objek dari himpunan S adalah susunan objek-

objek berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri dari k objek anggota

himpunan S

Notasi Permutasi k objek dari n objek yang berbeda dilambangkan

knP

, P(n,k) , atau n

kP

2.3.1 Permutasi n objek dari n objek yang berbeda

Masalah yang dibahas di sini dapat dipandang sebagai masalah

menempatkan n bola berlabel ke dalam n wadah yang juga berlabel

dimana setiap wadah hanya bisa diisi tepat 1 bola.

wadah ke- 1 2 ……………… n – 1 n

Tahap pertama adalah mengisi wadah ke-1, tahap kedua adalah mengisi wadah ke-2, dan

seterusnya sampai tahap ke-n .

14

Tahap Pengisian wadah ke- Banyak cara

1 1 n

2 2 n – 1

… … …

n – 1 n – 1 2

n N 1

Sehingga berdasarkan Prinsip kaidah perkalian, banyak cara mengisi

wadah tersebut adalah

!1.2)....2).(1.( nnnn

2.3.2 Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n

Masalah yang dibahas di sini dapat dipandang sebagai masalah

memilih k diantara n bola berlabel kemudian menempatkan ke dalam n

wadah yang juga berlabel dimana setiap wadah hanya bisa diisi tepat 1

bola.

Wadah ke- 1 2 ……………… k – 1 k

15

Sehingga berdasarkan Prinsip kaidah perkalian, banyak cara mengisi

wadah tersebut adalah n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) =

( Charalambides, 2002).

2.4 Prinsip Inklusi dan Eksklusi

Diberikan himpunan semesta S yang berhingga. Banyaknya anggota

himpunan gabungan antara himpunan A S dan himpunan B S

merupakan jumlah banyaknya anggota dalam himpunan A dan B dikurangi

banyaknya anggota di dalam irisannya. Dengan kata lain,

Tahap Pengisian wadah ke- Banyak cara

1 1 n

2 2 n – 1

… … …

k – 1 k – 1 n - (k - 2) = n – k + 2

k K n – (k – 1) = n – k + 1

Tahap pertama adalah mengisi wadah ke-1, tahap kedua adalah mengisi wadah ke-2, dan

seterusnya sampai tahap ke-k .

)!(

!

kn

n

!( , )

( ) !

nP n k

n k

16

|A ∪ B|= |A| + |B| - |A ∩ B|.

Gambar 2.6 Diagram dua himpunan

Selanjutnya di uraikan bagaimana cara-cara menentukan banyaknya

anggota didalam gabungan beberapa himpunan berhingga. Hasil ini

kemudian akan dikembangkan menjadi sebuah prinsip yang dinamakan

Prinsip Inklusi-Eksklusi.

Sebelum membicarakan banyak unsur didalam gabungan n himpunan,

dengan n sebagai bilangan bulat positif, sebuah rumusan bagi banyaknya

anggota dalam gabungan 3 himpunan A, B, C S ,

|A ∪ B ∪ C|

akan diturunkan.

Untuk menyusun rumus ini perlu diperhatikan bahwa |A| + |B| + |C|

membilang tiap anggota A, B dan C tepat satu kali. Tetapi anggota-irisan

setiap pasang himpunan (A ∩ B, A ∩ C dan B ∩ C) terbilang dua kali.

Selanjutnya amati jumlahan

|A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C|.

17

Di dalam jumlahan ini, setiap unsur yang berada di dalam tepat dua

himpunan (tidak berada di dalam himpunan ketiga) terbilang tepat satu

kali. Tetapi unsur-unsur yang berada di dalam ketiga himpunan (berada di

dalam A ∩ B ∩ C) di dalam ke tiga himpynan A ∩ B, A ∩ C dan B ∩ C

terbilang tiga kali, padahal ketika menghitung |A| + |B| + |C| totalnya

terbilang tiga kali. Jadi di dalam ekspresi

|A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C|,

unsur-unsur A ∩ B ∩ C tidak terbilang (atau terbilang nol kali) sehingga

untuk menghitung

|A ∪ B ∪ C|

harus ditambahkan |A ∩ B ∩ C| sehingga diperoleh

|A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Gambar 2.7 Diagram tiga himpunan

18

Secara umum berlaku,

Teorema 2.1 (Prinsip Inklusi-Eksklusi)

Misalkan n

AAAA ...321

adalah himpunan berhingga, maka

|...|321 n

AAAA

....)1(...321

1 11

1

n

nji nkji

kjiji

ni

iAAAAAAAAAA

n

(Charalambides, 2002).

Contoh 2.5 :

Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak lebih 1000 yang habis

dibagi oleh 5, 7 atau 11 ?

Jawab :

Misalkan 1

A himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama

dengan 1000 yang habis dibagi 5, 2

A himpunan bilangan bulat positif

yang lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis dibagi 7, dan 3

A

himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 1000

yang habis dibagi 11. Dengan demikian 321

AAA adalah himpunan

bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis

dibagi 5, 7, atau 11, dan 321

AAA adalah himpunan bilangan bulat

positif yang lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis dibagi 5, 7,

atau 11

21AA adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil atau

sama dengan 1000 yang habis dibagi 5 dan 7, 31

AA adalah himpunan

19

bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis

dibagi 5 dan 11, dan 32

AA adalah himpunan bilangan bulat positif yang

lebih kecil atau sama dengan 1000 yang habis dibagi 7 dan 11.

1

1000200

5A

, 2

1000142

7A

, 3

1 0 0 09 0

1 1A

1 2

1000 100028

(5, 7 ) 35A A

kpk

,

1 3

1000 100018

(5,11) 55A A

kpk

2 3

1000 100012

(7 ,11) 77A A

kpk

1 2 3

1000 10002

(5, 7 ,11) 385A A A

kpk

321323121321321AAAAAAAAAAAAAAA

376212182890142200321

AAA

Jadi, terdapat 376 bilangan bulat positif yang lebih kecil atau sama

dengan 1000 yang habis dibagi 5, 7, atau habis dibagi 11.

20

2.5 Koefisien Binomial

Definisi 2.1 (Fungsi faktorial)

Didefinisikan

0! = 1

dan untuk setiap bilangan bulat positif n berlaku

! ( 1)( 2)...(2)(1)n n n n (2.1)

Permutasi k dari n dengan n ≥ k, dilambangkan oleh simbol P(n,k),

didefinisikan sebagai banyaknya cara memilih k obyek yang berbeda dari n

obyek yang berbeda dimana urutan obyek sangat diperhatikan. P(n,k) juga

bisa didefinisikan sebagai banyaknya pemetaan satu-satu yang berbeda dari

daerah asal X dengan |X| = k ke daerah hasil Y dengan |Y| = n. Dari definisi

ini bisa dibuktikan

P(n,k) = n(n − 1)(n − 2)…(n − k + 1). (2.2)

Definisi 2.2 (Koefisien Binomial)

Untuk setiap bilangan bulat tak negatif dengan k dan n dengan k ≤ n,

bilangan-bilangan bulat.

n

k =

n!

k! n − k ! (2.3)

disebut koefisien binomial.

Koefisien binomial bisa digunakan untuk mencari banyaknya

subhimpunan yang berbeda dengan banyak elemen k dari himpunan dengan

n elemen.

21

Contoh 2.6 :

Menghitung banyak subhimpunan dari himpunan {a, b, c, d} yang

banyak elemennya ada 2. Semua subhimpunan adalah {a,b}, {b,c},

{c,d}, {a,c}, {a,d}, dan {b,d}, semuanya berjumlah 6. Dengan koefisien

binomial, banyak subhimpunan dengan 2 elemen adalah 4

2 =

4!

2!2! = 6.

Teorema 2.2 (Binomial)

Untuk setiap 𝑎,b ∈ ℝ dan bilangan bulat positif n ,

a + b n = n

k akb

n−knk = 0 (2.4)

Bukti:

Ketika menjabarkan a + b n, koefisien A(n; k) dari knkba

diperoleh dari

penjumlahan suku-suku hasil perkalian n faktor yang berbentuk

aa…aabb..b, aa..abab..bb, …, bb..bbaa..a

yang terdiri atas k faktor-faktor a dan (n – k) faktor-faktor b. Namun,

karena perkalian di ℝ bersifat komutatif (misalnya:

babaa = aaabb = a3b2), semua bentuk hasil perkalian dari n faktor tersebut

sama nilainya. Untuk mengetahui banyaknya n faktor dengan hasil yang

sama, digunakan cara semacam berikut:

Karena bersifat komutatif, maka

a + b n = A n; k akbn−k

n

k = 0

dimana A(n; k) merupakan banyaknya bentuk perkalian dari n faktor di

atas dengan nilai yang sama, yaitu akbn−k

.

22

Nilai dari A(n; k) diperoleh dengan menghitung banyaknya cara

memasukkan k variabel a ke n faktor hasil perkalian a dan b. Untuk setiap

bentuk perkalian dengan nilai knkba

, terdapat satu dan hanya satu

subhimpunan

niiik

,...,2,1,...,,21

Sedemikian sehingga semua k faktor a dalam bentuk perkalian knkba

berada pada posisi kiii ,...,,

21 , Misalnya bentuk perkalian abaab

bersesuaian dengan subhimpunan .5,4,3,2,14,3,1 Dengan

demikian, cara memperoleh A(n; k) sama dengan cara memperoleh

koefisien binomial n

k . Dengan kata lain, persamaan (2.4) berlaku. ■

Ada banyak penerapan dari teorema binomial. Misalnya untuk

menghitung banyaknya semua subhimpunan yang dimiliki dari himpunan

dengan n elemen,

n

k

n

k = 0

= n

k 1

k.1

n−k =

n

k = 0

1+1 n = 2n,

atau dalam komputasi pada teori peluang, untuk menghitung peluang

mendapatkan k kali sukses di antara n kali percobaan, dsb. (Aigner, 2007).

23

2.6 Bilangan Stirling

Konsep faktorial k! mensyaratkan k bulat tak negatif. Generalisasi

terhadap faktorial k! dengan k bulat tak negatif dilakukan dengan

memperlonggar persyaratan bilangan bulat tak negatif k menjadi sembarang

bilangan real t dan kemudian mengelompokkan atas dua jenis faktorial

sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan real t dan bilangan bulat positif n, faktorial

naik adalah polinom derajat n yang didefinisikan dan diberi lambang seperti

berikut

nt = t(t +1)(t + 2)...(t + n 1)


Demikian pula faktorial turun adalah polinom derajat n berikut

nt = t(t 1)(t 2)...(t n + 1).

Jika n t, maka

,n

t P t n ( lihat ekspresi 2.2 ).

Dengan faktorial turun, bilangan Stirling jenis pertama s(n,k)

didefinisikan sebagai koefisien dari jumlahan di ruas kanan kesamaan

n

k

kntknst

0

),(

24

sedangkan bilangan Stirling jenis kedua S(n,k) didefinisikan sebagai

koefisien di ruas kanan kesamaan

0

( , )

n

n k

k

t S n k t


Teorema berikut memberikan definisi lain dari bilangan Stirling jenis kedua.

Teorema 2.3

Bilangan Stirling jenis kedua Sn,k adalah banyaknya partisi suatu

himpunan berukuran n atas k subhimpunan.

Pembuktian bahwa teorema di atas memberikan definisi kedua dari Sn,k

bisa dilihat di dalam (Fifik 2013, Teorema 3.5). Inti pembuktian kedua definisi

Sn,k bisa dinyatakan secara rekursif dengan relasi rekurensi yang sama dan

nilai awal yang sama.

25

2.7 Partisi Bilangan

Partisi dari suatu bilangan bulat adalah cara untuk menuliskan bilangan

tersebut sebagai jumlah dari bilangan bulat positif. Fungsi partisi p(n) ialah

jumlah partisi yang bisa dimiliki oleh suatu bilangan bulat positif n.

Definisi 2.3 :

Partisi dari bilangan n adalah sebuah barisan yang diberi lambang

= <λ1, λ2, … , λk > (2.5)

dan memenuhi sifat

i. n = λ1 + λ2 + … + λk , dan

ii. λ1 ≥ λ2 ≥ … ≥ λk ≥ 1 .

Jadi, = λiki = 1 adalah bilangan asli yang dipartisi menjadi

barisan . Jadi jika adalah partisi dari bilangan asli n maka = n.

Apabila adalah partisi dari n atas jumlahan sebanyak k suku yaitu,

= (λ1, λ2, … , λk) , dikatakan adalah partisi-k. Dalam hal ini,

1 ≤ k ≤ n. (Aigner, 2007)

Par n dinotasikan sebagai himpunan semua partisi dari n. Jika n = 0,

maka Par n hanya memuat partisi kosong, yang diberi notasi (Di sini

bukan lambang himpunan kosong, tetapi partisi kosong).

Demikian pula Par(n;k) dinotasikan sebagai himpunan semua partisi

-k dari n, ukuran (banyak partisi di dalam) masing-masing himpunan Par n

dan Par(n;k) adalah

p n = Par n dan p n;k = Par(n;k) (2.6)

26

Dari definisi, Par(0) = Par(0;0) = {} sehingga ukuran himpunan ini adalah

p(0) = p(0;0) = 1. Jika n > 0, semua partisi di dalam Par n tidak boleh

kosong. Ini berarti p(n;0) = 0. (Aigner, 2007)

Contoh 2.7:

Untuk n = 5, diperoleh 7 partisi (unsur-unsur Par(5)) yakni,

<5> <4, 1> <3, 2> <3, 1, 1> <2, 2, 1> <2, 1, 1, 1> <1, 1, 1, 1, 1> ;

sehingga p 5 = Par 5 = 7.

Par(5, 1) = {< 5 >} 𝑝(5, 1) = 1,

Par(5, 2) = {< 4, 1 >, < 3, 2 >} 𝑝(5, 2) = 2,

Par(5,3)={< 3, 1, 1 >, < 2, 2, 1 >} 𝑝(5, 3) = 2,

Par(5, 4) = {< 2, 1, 1, 1 >} 𝑝(5, 4) = 1,

Par(5, 5) = {< 1, 1, 1, 1, 1 >} 𝑝(5, 5) = 1.

Partisi bilangan bisa dinyatakan melalui diagram Ferrer. Diagram

Ferrer untuk partisi ini dibuat dengan cara meletakkan n buah titik pada k

baris dengan aturan sebagai berikut: sebanyak λ1 titik diletakkan pada baris

pertama, sebanyak λ2 titik pada baris kedua, … hingga sebanyak λk titik pada

baris ke-k dan semuanya dimulapi dari kolom yang sama, kolom paling kiri.

Diagram Ferrer untuk ∈ Par(n;k), diagram mempunya k baris.

27

Contoh 2.8 :

Partisi = (6, 3, 3, 2, 1) ∈ Par(15;5) dinyatakan oleh diagram Ferrer

berikut

Gambar 2.8 Diagram Ferrer = (6, 3, 3, 2, 1)

(Aigner, 2007).

● ● ● ● ● ●

● ● ●

● ● ●

● ●

●

28

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Distribusi Bola yang Berbeda dan Wadah yang Berbeda Tanpa

Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait

Di sini akan dibahas distribusi bola dan wadah sebagai fungsi tanpa

ada asumsi atau persyaratan yang diberikan untuk fungsi tersebut atau untuk

cara memasukkan bola. Lebih jauh, bola-bola dan wadah-wadah bisa

dibedakan satu sama lain.

Teorema 3.1

Jika masing-masing bola dan wadah bisa dibedakan, banyak cara

distribusi n bola b1, b2, ..., bn ke dalam k wadah w1, w2, ..., wk adalah

sama dengan banyaknya semua fungsi

f: {b1, b2, ..., bn) {w1, w2, ..., wk};

yaitu kn.

Bukti:

Himpunan semua cara distribusi berkawan 1-1 dengan himpunan fungsi-

fungsi f yang mengawankan setiap bi dengan wj dengan mendefinisikan f(bi)

= wj jika dan hanya jika bola bi dimasukkan ke dalam wadah wj. Karena

wadah untuk setiap bola bisa bebas dipilih salah satu di antara k wadah, ada

sebanyak k pilihan untuk setiap bola. Karena cara memilih setiap bola saling

bebas satu sama lain dan terdapat n bola, dengan menggunakan prinsip

29

perkalian disimpulkan bahwa banyak cara distribusi bola yang berbeda

adalah kn. ■

Beberapa contoh masalah yang ekuivalen dengan menghitung

banyak cara distribusi bola yang bisa dibedakan ke dalam wadah yang juga

bisa dibedakan, masing-masing dengan kemungkinan cara sebanyak kn:

1. Menghitung banyak kata (untaian simbol-simbol) dengan panjang n

atas suatu alphabet berisi sebanyak k simbol. Setiap simbol bisa

dinyatakan sebagai bola sedangkan posisi simbol dalam kata bisa

dinyatakan sebagai wadah

2. Menghitung banyak simpul pohon berakar dengan sifat, setiap

simpul memiliki sebanyak k cabang (anak). Pada tingkat 0 hanya

terdapat 1 = k0 simpul. Pada level 1 terdapat sebanyak k simbol dan

pada level ke n terdapat sebanyak kn simpul.

3. Menghitung banyak subhimpunan dari himpunan H = {h1, h2, …,

hn} yang berukuran n. Hasilnya adalah 2n sebab ada hubungan 1-1

antara subhimpunan A H dengan himpunan semua untaian biner

x1x2…xn yang didefinisikan sebagai berikut: xi = 1 jika dan hanya

jika hi A. Jadi banyaknya subhimpunan dari H sama dengan

banyaknya untaian biner panjang n. Misalnya jika H = {1, 2, 3, 4,

5}, maka subhimpunan berkawan dengan 00000 dan

subhimpunan {3, 5} berkawan dengan 00101, dst.

30

Contoh 3.1

Setiap fungsi f : N K dengan |N |= 3, |K|=2 bisa diinterprestasikan sebagai

sebuah distribusi 3 bola ke dalam 2 wadah. Ada 23 fungsi yang berbeda yang

berarti ada 32 8 distribusi yang berbeda.

Gambar 3.1

Banyaknya fungsi yang berbeda adalah nk = 2

3 = 8.

31


Injektif

Setiap fungsi injektif dapat diinterpretasikan sebagai cara distribusi n

bola berlabel ke dalam k wadah yang juga berlabel dengan syarat paling

banyak satu bola di dalam setiap wadah.

Teorema 3.2

Jika n

bbbN ,...,,21

dan k

wwwK ,...,,21

, maka terdapat

)1)...(2)(1( nkkkkkn

fungsi injektif dari N K.

Bukti:

Untuk k n, Banyak fungsi injektif f : N K diperoleh dengan prinsip

perkalian dalam kombinatorik. Karena terdapat k pilihan untuk f(b1), k 1

pilihan untuk f(b2), k 2 pilihan untuk f(b3), …, dan k – (n – 1) = k – n +

1 pilihan untuk f(bn), maka ada sebanyak n

k = k(k 1) … (k – n + 1)

cara yang berbeda untuk memilih nilai-nilai fungsi, dengan kata lain n

k

fungsi injektif yang berbeda. ■

Karena N dan K adalah himpunan berhingga maka fungsi injektif f : N K

ada jika dan hanya jika |N| |K|. Jadi ketika k < n, didefinisikann

k = 0.

Berdasarkan Teorema 3.2, disimpulkan jika N adalah suatu himpunan dengan

n bola berlabel dan K adalah suatu himpunan k wadah berlabel, maka banyak

32

cara distribusi bola ke dalam wadah dengan syarat paling banyak satu bola

dalam wadah adalah nk .

Contoh 3.2

Setiap fungsi inrjektif f : {b1, b2, b3} {w1, w2, w3, w4} bisa

diinterpretasikan sebagai cara menempatkan 3 bola berlabel b1, b2, b3 ke

dalam 4 wadah w1, w2, w3, w4.

Jika ketiga bola diurutkan sebagai triple (b1, b2, b3), diperoleh empat cara

menempatkan bola, seperti gambaran di dalam diagram berikut :

Wadah 1 Wadah 2 Wadah 3 Wadah 4

b1 b2 b3

b1 b2 b3

b1 b2 b3

b1 b2 b3

Karena ada 3! cara berbeda mengurutkan bola berlabel, total banyaknya

cara distribusi bola ke dalam 4 wadah yang berlabel adalah

34 4.3! 4 ! 24 .

Dari sini diperoleh kesamaan

34 4 !

Secara umum berlaku jika k = n + 1 maka

nk = k!


Surjektif

Teorema 3.3

33

Jika masing-masing bola dan wadah bisa dibedakan, banyak cara

distribusi n bola b1, b2, ..., bn ke dalam k wadah w1, w2, ..., wk adalah

k!S(n, k)

Bukti :

Diberikan fungsi f : N K Pertama kali didefinisikan himpunan

f 1

[ w] = { b N | f(b) = w} N.

Dari definisi, f surjektif jika dan hanya jika untuk setiap w K, f 1

[w]

. Padahal himpunan-himpunan f 1

[w] saling lepas dan gabungannya

sama dengan N. Ini berarti himpunan-himpunan f 1

[ w1], f 1

[ w2], … , f

1[wk] membentuk partisi pada N sehingga setiap fungsi surjektif

bersesuaian dengan tepat satu partisi semacam.

Jika unsur-unsur w1, w2, …, wk diurutkan secara tetap, maka berdasarkan

definisi bilangan Stirling jenis kedua (lihat Fifik Astuti,2013 Definisi 3.2

dan 3.3 misalnya), banyaknya partisi yang berbeda adalah S(n, k). Tetapi

untuk urutan w1, w2, …, wk lain, diperoleh partisi f 1

[ w1], f 1

[ w2], … , f

1[wk] yang berbeda. Karena ada k! urutan w1, w2, …, wk yang berbeda,

maka total ada k!S(n, k) partisi yang berbeda. Ini membuktikan terdapat

fungsi surjektif yang berbeda. ■

Contoh 3.3

34

Setiap fungsi surjektif f : N K dengan |N| = 5, |K| = 3 bisa

diinterprestasikan sebagai sebuah distribusi 5 bola ke dalam 3 wadah dengan

syarat paling sedikit 1 bola dalam wadah.

Fungsi Surjektif f : {1, 2, 3, 4, 5} {1, 2, 3} terdefinisi oleh partisi

1 1 1( (1), (2), (3))f f f

. . .

({1,2},{3},{4,5}) ({1,2,3},{4},{5})

. Banyaknya S(5,3) .

. . dipermutasi

…

({4,5},{1,2},{3}) ({5}, {1,2,3},{4})

Banyaknya S(5,3)

1

2

3

4

5

2

3

1

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5

2

3

1

1

2

3

4

5

1

2

3

35

Gambar 3.2

Karena ada 3! urutan yang berbeda, maka total banyak fungsi ada

3!S(5,3) fungsi surjektif yang berbeda yakni 150 cara berbeda.

3.4 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Bisa

Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait

Teorema 3.4

Banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa dibedakan ke dalam k

wadah (yang bisa dibedakan) adalah

n

kn 1

Bukti :

Karena masing-masing bola identik atau tidak bisa dibedakan sedangkan

wadah bisa dibedakan maka terdapat asosiasi antara setiap cara disitribusi n

bola ke dalam k wadah dengan sebuah untaian biner yang panjangnya n + k

1 sesuai skema berikut:

36

No. Wadah 1 | Wadah 2 | … | Wadah k Untaian Biner

Yang Berasosiasi 1. bbb … bb | - | - | - 111…11000…00

(semua n bola berada di dalam Wadah 1)

2. bbb…b | b | - | - 111…10100..00

(n 1 bola di dalam Wadah 1, 1 bola di dalam Wadah 2)

....

M. - | - | - | bbb ... 000..00111…11

(semua n bola ke dalam Wadah k)

Untaian biner yang bersesuaian dengan suatu distribusi bola diperoleh dengan cara

mengganti lambang bola b dengan bit-1 dan mengganti pagar | (pembatas wadah)

dengan bit-0. Jadi disimpulkan bahwa banyaknya cara distribusi penempatan n bola

tak berlabel sama ke dalam sebanyak k wadah dengan banyaknya untaian biner

panjangnya n k + 1 yang memuat n bit-1. Berdasarkan rumus koefisien binomial,

banyaknya untaian biner panjang n + k 1 tersebut adalah

M =

n

kn 1. ■

Contoh berikut memberi ilustrasi pembuktian di atas

Contoh 3.4

Dengan n = 3, k = 3 banyak cara distribusi 3 bola tidak bisa dibedakan ke

dalam 3 wadah yang bisa dibedakan dan untaian biner yang berasosiasi bisa

dinyatakan melalui daftar berikut

37

No Wadah 1 Wadah 2 Wadah 3 Untaian

Biner

1, bbb 11100

2. bb b 11010

3. bb b 11001

4. b b b 10101

5. b bb 01011

6. bb b 01101

7. bbb 01110

8. b bb 10011

9. b bb 10110

10. bbb 00111

Gambar 3.3

Banyak cara distribusi yang berbeda adalah M = 10 cara.

3.5 Distribusi n Bola yang Tidak Bisa Dibedakan ke dalam k Wadah yang

Bisa Dibedakan Dengan Syarat Paling Banyak Satu Wadah Berisi Satu

Bola Sebagai Fungsi Injektif

Teorema 3.5


wadah (yang bisa dibedakan) dengan syarat paling banyak satu bola

dalam satu wadah adalah

n

k

38

Bukti :

Dengan syarat tambahan paling banyak satu wadah berisi satu bola,

maka n k. Jika semua k wadah, namakan wadah x1, wadah x2, ... wadah xk

disusun secara berurutan dalam bentuk

x1 x2 ... xk;

kemudian lambang xi untuk wadah ke-i yang berisi bola diganti bit-1 dan

wadah xj yang kosong diganti bit-0, maka terbentuk untaian biner panjang k

yang banyaknya bit-1 adalah n (banyak wadah yang berisi) dan banyaknya

bit-0 adalah k n (banyak wadah tidak terisi). Karena untaian yang berbeda

menyatakan distribusi yang berbeda, maka banyaknya distribusi yang berbeda

dalam kasus ini sama dengan banyaknya untaian biner dengan panjang k dan

memuat sebanyak n k bit 1, yaitu

n

k. ■

Contoh 3.5

Setiap fungsi f : N K dengan |N|=3, |K|=5 bisa diinterprestasikan sebagai

sebuah distribusi 3 bola ke dalam 5 wadah, dimana dalam hal ini bola

identik atau tidak bisa dibedakan sedangkan wadah bisa dibedakan dengan

syarat paling banyak satu bola dalam satu wadah.

39

Asosiasi antara cara distribusi dengan untaian biner bisa dinyatakan

melalui daftar berikut :

No Wadah 1 Wadah 2 Wadah 3 Wadah 4 Wadah 5 Untaian

Biner

1. b b b - - 11100

2. - b b b - 01110

3. - b b - b 01101

4. - b b b - 01110

5. b - b b - 10110

6. b b - b - 11010

7. b b - - b 11001

8. b - - b b 10011

9 b - b - b 10101

10. - - b b b 00111

Gambar 3.4. Wadah yang berisi bola dinyatakan oleh bit-1

Jadi, banyak cara yang berbeda adalah 10 cara.

40

3.6 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan ke dalam k Wadah yang

Bisa Dibedakan Dengan Syarat Paling Sedikit Satu Wadah Berisi Satu

Bola Sebagai Fungsi Surjektif

Teorema 3.6

Banyak cara distribusi n bola yang tidak berlabel dengan k wadah berlabel

dengan syarat paling sedikit satu bola dalam satu wadah adalah

1

1

n

k

Bukti :

Cara 1

Isi semua k wadah dengan satu bola, tersisa n k bola yang akan

didistribusikan ke dalam k wadah. Menurut hasil 3.4, banyak cara

mendistribusikan n k bola ke dalam k wadah adalah

( ) ( 1) 1

1 1

n k k n

k k

. ■

Walaupun persyaratan paling sedikit satu bola dalam satu wadah adalah

syarat perlu dan cukup mendapatkan fungsi surjektif dari himpunan semua bola

kehimpunan semua wadah, tetapi banyak distribusi bola ke dalam wadah di atas,

yaitu 1

1

n

k

tidak menyatakan banyaknya fungsi surjektif yang berbeda. Sebab

setiap cara distribusi berkorespondensi 1-1 dengan sekumpulan (keluarga)

fungsi-fungsi surjektif. Contoh berikut memberikan ilustrasi fakta ini.

41

Contoh 3.6

Pandang distribusi sebanyak n = 5 bola tidak berlabel ke dalam k = 3 wadah

di mana setiap wadah berisi paling sedikit satu bola. Jadi terdapat sebanyak

4

2 = 6 cara distribusi, masing-masing cara bisa dilambangkan sebagai

triple

(a1, a2, a3)

di mana ai, i = 1, 2, 3; menyatakan banyak bola di dalam wadah ke-i. Ini

berarti a1 + a2 + a3 = 5. Ke-6 cara distribusi tersebut adalah (1, 1, 3), (1, 2,

2), (1, 3, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1).

Sebagai contoh, jika (a1, a2, a3) = (1, 1, 3) maka ini berarti ada 1 bola di

dalam wadah 1 dan wadah 2, serta 3 bola di dalam wadah 3. Seandainya

bola-bola diberi label b1, b2, b3, maka satu cara distribusi ini sebenarnya

gabungan dari fungsi - fungsi surjektif berikut :

1. f1 dengan f11

(w1) = {b1}, f11

(w2) = {b2}, f11

(w3) = {b3, b4, b5};

2. f2 dengan f21

(w1) = {b1}, f21

(w2) = {b3}, f21

(w3) = {b2, b4, b5};

3. f3 dengan f31

(w1) = {b1}, f31

(w2) = {b4}, f31

(w3) = {b2, b3, b5};

4. f4 dengan f41

(w1) = {b1}, f41

(w2) = {b5}, f41

(w3) = {b2, b3, b4};

5. f5 dengan f51

(w1) = {b2}, f51

(w2) = {b1}, f51

(w3) = {b3, b4, b5};

…, dan seterusnya (total semuanya 25 fungsi surjektif yang termasuk dalam

satu cara distribusi (1, 1, 3) ini).

42

Cara 2 (Pembuktian Teorema 3.4)

Setelah semua wadah diisi masing-masing dengan satu bola, tersisa n k bola

yang harus didistribusikan ke dalam k wadah. Nyatakan distribusi n k bola tak

berlabel sebagai k-triple

(a1, a2, …, ak)

Dengan ai 1 dan a1 + a2 + …+ ak = n k. Seperti pembuktian Teorema 3.4,

buat pagar sebanyak k 1 dan distribusikan n k di antara k 1 pagar. Dengan

mengganti lambang pagar dengan simbol y dan lambang bola dengan x, terbentuk

untaian dengan panjang (n k) + (k 1) yang terdiri atas n k simbol x dan k 1

simbol y. Karena untaian yang berbeda melambangkan distribusi yang berbeda,

semuanya ada ( ) ( 1) 1

1 1

n k k n

k k

cara distribusi yang berbeda. ■

43


Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau Paling Sedikit 1 bola Dalam

Wadah

Teorema 3.7

Banyak cara distribusi n bola yang berlabel dengan k wadah yang tidak

berlabel dengan syarat paling sedikit satu bola dalam satu wadah adalah

,n kS

Bukti :

Misalkan f : N K dan didefinisikan himpunan

f 1

[ w] = { b N | f(b) = w} N.

Jelas f surjektif jika dan hanya jika untuk setiap w K, f 1

[w] . Padahal

himpunan-himpunan f 1

[w] saling lepas dan gabungannya sama dengan N.

Ini berarti himpunan-himpunan f 1

[ w] dengan w K membentuk partisi

pada N. Menurut Fifik Astuti (2013), banyaknya partisi yang berbeda adalah

bilangan stirling jenis kedua ( , )S n k . ■

44

Contoh 3.7 :

Setiap fungsi f : N K dengan |N| = 4, |K| = 2 bisa diinterprestasikan

sebagai sebuah distribusi 4 bola ke dalam 2 wadah dengan syarat paling

sedikit 1 bola dalam wadah (fungsi surjektif) atau di simbolkan S(4,2).

Andaikan N adalah suatu himpunan yang terdiri atas empat elemen yaitu

{a,b,c,d}, untuk memperoleh nilai dari S(4,2) terlebih dahulu

menentukan partisi-partisi dari 4 ke dalam 2 himpunan bagian yang tidak

kosong, yaitu

{{a, b, c},{d}}

{{a, b, d},{c}}

{{a, c, d},{b}}

{{b, c, d},{a}}

{{a, b},{c, d}}

{{a, c},{b, d}}

{{b, c},{a, d}}

Jadi, banyaknya cara ada S(4,2) = 7 cara.

45


Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait

Teorema 3.8

Banyak cara distribusi n bola yang berlabel dengan k wadah yang tidak

berlabel adalah

,

1

k

n j

j

S

Bukti:

Misalkan N = {b1, b2, …, bn} dan K adalah sembarang himpunan dengan |K| = k.

Setiap distribusi bola berlabel ke dalam k wadah akan menyebabkan N terpartisi

atas j subhimpunan, di mana j {1, 2, ..., k} menyatakan banyak wadah yang

terisi dan k n.

Misalkan j tetap. Akan dihitung banyaknya semua distribusi yang bersesuaian

dengan partisi pada himpunan N atas j subhimpunan j {1, 2, ..., k}

Setiap partisi pada N atas j subhimpunan bersesuaian dengan sekumpulan fungsi

di mana setiap fungsi f di dalam kumpulan ini memiliki sifat: hanya terdapat j

nilai yang berbeda, katakan i1, i2, ..., ij sehingga ke-j subhimpunan yang saling

lepas tersebut adalah f1

(i1),f1

(i2), ..., f1

(ij) dan f1

(i1)∪ f1

(i2) ∪ …∪ f1

(ij) = N.

Dengan kata lain, f1

(i1),f1

(i2), ..., f1

(ij) membentuk partisi pada himpunan N atas

j subhimpunan.

Karena setiap partisi pada N atas j subhimpunan bersesuaian dengan satu fungsi

sedangkan setiap fungsi bersesuaian dengan satu cara distribusi, maka setiap

46

partisi pada N atas j subhimpunan bersesuaian dengan satu cara distribusi, padahal

berdasarkan Teorema 2.3 tentang bilangan Stirling jenis kedua, banyak partisi

yang berbeda pada himpunan dengan n unsur atas j subhimpunan adalah Sn,j.

Kesimpulannya, untuk suatu nilai j yang tetap, banyak distribusi yang berbeda

adalah Sn,j. Tetapi karena ada sebanyak k kemungkinan nilai j {1, 2, ..., k} atau j

= min {n,k}, maka banyak distribusi bola tak berlabel ke dalam sebanyak k n

wadah yang berlabel adalah Sn,1 + Sn,2 + ... + Sn,k. ■

Contoh 3.8

Pandang distribusi sebanyak n = 4 bola berlabel b1, b2, b3, b4 ke dalam k = 3

wadah tak berlabel. Misalkan j = 2, maka ada sebanyak S4,2 = 7 cara distribusi

ke-5 bola ke dalam wadah, di mana sebanyak j = 2 wadah terisi dan sebanyak

3 2 = 1 wadah kosong. Jadi, semua kemungkinan bola bisa digambarkan

melalui skema berikut.

b1 b2 b3 b4 b1, b2 b1, b3 b1, b4

b2, b3, b4 b1, b3, b4 b1, b2, b4 b1, b2, b3 b3, b4 b2, b4 b2, b3

Gambar 3.5 Ke-7 kemungkinan cara menempatkan 4 bola kedalam 2 dari 3

wadah (satu wadah kosong ).

47

3.9 Distribusi Bola yang Bisa Dibedakan dan Wadah yang tidak Bisa

Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif atau paling banyak 1 bola dalam

wadah

Teorema 3.9

Jika n k maka banyak cara distribusi n bola yang bisa dibedakan ke

dalam k wadah yang tidak bisa dibedakan adalah 1 tetapi Jika n > k maka

solusi 0.

Misalkan n bola berlabel b1, b2, ..., bn didistribusikan ke dalam k wadah

tidak berlabel dan paling banyak satu bola di dalam 1 wadah. Jika n > k, maka

distribusi bola tidak mungkin terjadi dan jika n k, maka hanya ada satu

macam distribusi: setiap bola masuk ke dalam n di antara k wadah. ■

Contoh 3.9

Mustahil bisa menempatkan sebanyak n = 4 bola b1, b2, b3 dan b4 ke

dalam k = 3 wadah jika setiap wadah berisi paling banyak 1 bola. Tetapi jika

k = 5, hanya ada satu cara menempatkan ke-4 bola tersebut: setiap bola

berada di dalam salah satu wadah, tidak penting wadah yang mana (karena

wadahnya tak berlabel).

48

3.10 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang juga Tidak

Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Surjektif atau paling sedikit 1 bola

dalam wadah

Teorema 3.10


wadah yang juga tidak bisa dibedakan dengan syarat paling sedikit

1 bola dalam wadah adalah

;p n k

Bukti :

Karena semua k wadah terisi, maka banyak cara distribusi n bola

tidak bisa dibedakan ke dalam k wadah yang juga tidak bisa dibedakan

dengan paling sedikit satu bola di dalam setiap wadah adalah sama dengan

banyaknya keluarga fungsi-fungsi surjektif dengan daerah asal N dan daerah

hasil K dengan kesamaan sifat: memiliki k nilai i1, i2, ..., ik yang berbeda.

Setiap distribusi mendefinisikan satu partisi terhadap bilangan n sebagai

jumlahan k bilangan-bilangan, katakan n =<λ1, λ2, ..., λk > artinya n = λ1 + λ2

+ ... + λk, (lihat Definsi 2.3) sebab ada sebanyak λ1 bola yang bernilai i1, ada

sebanyak λ2 bola yang bernilai i2, ..., ada sebanyak λk bola yang bernilai ik.

Jadi banyak cara distribusi n bola tak berlabel ke dalam k wadah tak

berlabel dengan setiap wadah berisi paling sedikit satu bola adalah p(n; k). ■

49

Banyak cara membagi himpunan ganda (multiset) yang terdiri atas n

unsur sama dengan banyak cara partisi bilangan n atas k bilangan positif

sesuai Definsi 2.3. Fakta ini melandasi contoh berikut.

Contoh 3.10

Berdasarkan Contoh 3.7, banyak cara distribusi sebanyak n = 4 bola

berlabel a, b, c, d ke dalam k = 2 wadah tak berlabel dengan paling

sedikit satu bola di dalam wadah adalah S4,2 = 7 cara yang sesuai

dengan 7 cara partisi himpunan {a, b, c, d} atas 2 subhimpunan

berikut:

{{a, b, c},{d}}

{{a, b, d},{c}}

{{a, c, d},{b}}

{{b, c, d},{a}}

{{a, b},{c, d}}

{{a, c},{b, d}}

{{b, c},{a, d}}

Tetapi jika label dari bola dihapus, yaitu semua label bisa diganti dengan

simbol yang sama, misalnya x, maka hanya terdapat dua cara partisi

sebuah himpunan ganda (multiset) dengan 4 unsur atas 2 subhimpunan

ganda

{{x, x, x},{x}} dan {{x, x},{x, x}}.

50

Dalam hal ini, setiap cara distribusi bersesuaian dengan suatu partisi

bilangan positif, misalnya (1, 2) = <3,1> dari bilangan 4 (sebab 4 = 3 +

1, lihat Definsi 2.3) atau partisi {{x, x, x},{x}}. Selanjutnya setiap partisi

bersesuaian dengan satu keluarga fungsi-fungsi. Misalnya {{x, x, x},{x}}

bersesuaian dengan keluarga fungsi-fungsi {f1, f2, f3, f4} dengan 2 nilai i1

dan i2 yang memenuhi:

(f11

(i1), f11

(i2)) = ({a, b, c},{d})

(f21

(i1), f21

(i2)) = ({a, b, d},{c})

(f31

(i1), f31

(i2)) = ({a, c,d},{b})

(f41

(i1), f41

(i2)) = ({b,c,d},{a})

3.11 Distribusi Bola yang Tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak

Bisa Dibedakan Tanpa Mensyaratkan Sifat Fungsi yang Terkait

Teorema 3.11


wadah yang juga tidak bisa dibedakan adalah

1

;

k

j

p n j

Bukti:

Jika hanya j wadah yang terisi, maka banyak cara distribusi n bola

tidak berlabel ke dalam k wadah juga tak berlabel, sama dengan

banyaknya keluarga fungsi-fungsi dari N ke K dengan kesamaan sifat:

memiliki j nilai i1, i2, ..., ij yang berbeda. Setiap nilai mendefinisikan satu

partisi terhadap bilangan n sebagai jumlahan j bilangan-bilangan,

51

katakan n = λ1λ2...λj (artinya n = λ1 + λ2 + ... + λj, lihat Definsi 2.3 yang

berarti ada sebanyak λ1 bola yang bernilai i1, ada sebanyak λ2 bola yang

bernilai i2, ..., ada sebanyak λj bola yang bernilai ij.

Jadi banyak cara distribusi n bola tak berlabel ke dalam k wadah tak

berlabel, hanya j k wadah yang terisi adalah p(n; j). Karena ada

sebanyak k kemungkinan nilai j = 1, 2, ..., k maka banyak cara distribusi

n bola tak berlabel ke dalam k wadah tak berlabel adalah

p(n; 1) + p(n; 2) + ... + p(n; k). ■

Contoh 3.11

Tanpa ada syarat yang diberikan untuk fungsi-fungsi yang terlibat, maka

ini berarti setiap wadah bisa terisi oleh sebanyak sembarang j bola

dengan j {1, 2, …, n}.

Dalam Contoh 3.10 diberikan contoh banyak cara distribusi sebanyak n

= 4 bola ke dalam k = 2 wadah dengan syarat setiap wadah berisi paling

sedikit 1 bola. Syarat ini ekuivalen dengan syarat sifat surjektif pada

fungsi-fungsi f:N K yang terlibat. Hasilnya, banyak cara distribusi

bola ke dalam wadah adalah p(4, 2) = 2.

Karena di dalam kasus ini tidak diberikan syarat apapun, maka bisa

ditebak bahwa setiap cara distribusi bola dalam subkasus ini untuk n = 4

dan k = 2 bersesuaian dengan salah satu dari partisi-partisi himpunan

ganda berikut:

{{x, x, x, x}}, {{x, x, x},{x}} dan {{x, x},{x, x}}

52

yang masing-masing bersesuaian dengan partisi: (4), (3, 1) dan (2,2).

Jadi banyaknya cara distribusi adalah p(4, 1) + p(4, 2) = 1 + 2 = 3.

3.12 Distribusi Bola yang tidak Bisa Dibedakan dan Wadah yang Tidak

Bisa Dibedakan Sebagai Fungsi Injektif

Teorema 3.12

Jika n k maka banyak cara distribusi n bola yang tidak bisa

dibedakan ke dalam k wadah yang juga tidak bisa dibedakan adalah 1

tetapi jika n > k maka solusi 0.

Misalkan n bola tak berlabel didistribusikan ke dalam k wadah

tidak berlabel dan paling banyak satu bola di dalam 1 wadah. Jika n > k,

maka distribusi bola tidak mungkin terjadi dan jika n k, maka hanya ada

satu macam distribusi, setiap bola masuk ke dalam n di antara k wadah. ■

Contoh 3.12

Sama seperti Contoh 3.9, mustahil bisa menempatkan sebanyak n = 4

bola tidak berlabel ke dalam k = 3 wadah jika setiap wadah berisi paling

banyak 1 bola. Tetapi jika k = 5, hanya ada satu cara menempatkan ke-4

bola tersebut: setiap bola berada di dalam salah satu wadah, tidak penting

wadah yang mana (karena wadahnya tak berlabel).

53

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan dan studi literatur terhadap analisis

keterkaitan konsep distribusi bola ke dalam wadah maka diperoleh hasil-hasil

berikut:

1. Banyak cara berbeda pada distribusi bola ke dalam wadah bisa dibagi

ke dalam 12 submasalah, sesuai ketentuan atau syarat yang

diberikan. Solusi setiap masalah bisa digambarkan oleh tabel berikut.

Kriteria untuk

n = banyak bola

k = banyak

wadah

Tanpa syarat 1 – 1 Pada (onto)

n berlabel

k berlabel

nk

nk k!S(n, k)

n tdk berlabel

k berlabel

n

kn 1

n

k

1

1

n

k

n berlabel

k tdk berlabel ,

1

k

n j

j

S

Banyak cara

adalah 0 jika

n > k dan 1

jika n k.

,n kS

n tdk berlabel

k tdk berlabel

1

;

k

j

p n j

Jika n > k

maka solusi 0

Jika n k,

maka solusi 1

;p n k

54

2. Setiap cara distribusi bersesuaian dengan satu fungsi atau dengan satu

keluarga himpunan fungsi-fungsi yang saling lepas. Untuk setiap

submasalah, banyak fungsi atau banyak keluarga fungsi-fungsi memiliki

penafsiran dan interpretasi masing-masing. Misalnya satu keluarga

fungsi-fungsi bisa diinterpretasikan sebagai partisi terhadap sebuah

bilangan bulat positif.

3. Berbagai konsep matematika terkait dengan masalah distribusi bola ke

dalam wadah, khususnya konsep konsep permutasi, koefisien binomial,

bilangan Stirling (jenis kedua), dan partisi bilangan.

4.2 Saran

1. Diharapkan ada penelitian lanjutan yang lebih mendalam pada salah satu

submasalah.

2. Perlu dikaji lebih jauh berbagai kemungkinan interpretasi nyata, bukan

sekedar interpretasi matematis dari setiap submasalah distribusi bola ke

dalam wadah.

3. Perlu digali lebih jauh hubungan antara banyaknya cara distribusi bola ke

dalam wadah dengan banyaknya cara mengambil bola dari dalam wadah,

dengan hubungan antara banyaknya cara distribusi bola dengan teori

peluang.

55

DAFTAR PUSTAKA

Aigner, Martin, A Course in Enumeration, Springer-Verlag, 2007

Charalambides, A. Charalambides, Enumerative Combinatorics, CRC

Press,2002

Renzo, Sprugnoli, An Introduction to Mathematical Methods in

Combinatorics, 2006.

www.dsi.unifi.it/~resp/Handbook.pdf pada tanggal 2 Maret 2010

Thomas, A. Dowling, Applications of Discrete Mathematics, McGraw-Hill,

1991

Wagner, Carl, Basic Combinatorics, 2012

www.math.utk.edu/~wagner/papers/comb.pdf diakses pada tanggal

25 September 2012.

Par(5)

masalah distribusi bola ke dalam wadah sebagai …

Documents