DISTRIBUSI ENERGI ELEKTRON BEBAS

Elektron adalah fermion dan mengikuti statistic Fermi–Dirac. Pada suhu tinggi sistem

fermion mendekati statistic Maxwell-Boltzman yang menghasilkan energi rata-rata E=12kT per

derajat kebebasan.Cara menentukan penghunian rata–rata suatu tingkat kuantum energi dari

suatu sistem fermion dapat diselesaikan dengan menggukan mekanika statistik.

a. Statistik kuantum

Untuk mendapatkan banyaknya tingkat kuantum yang tersedia bagi fermion yang

energinya antara e dan e + de, bisa digunakan alasan yang sama dalam mendapatkan gelombang

tegakndalam suatu rongga. Syarat untuk terjadinya gelombang tegak adalah panjang lintasan

dari dinding ke dinding harus merupakan kelipatan bukat j dari setengah panjang gelombang,

sehingga simpul terjadi pada tiap bidang pemantul seperti terlihat pada gambar dibawah ini. Bila

rongga itu berbentuk kubus dengan rusuk L, maka

L= jλ2atau j=2L

λ……………………….(2.1)

Gambar 1. Tiap titik dalam ruang j mewakili suatu gelombang tegak yang mungkin.

Dengan demikian kemungkinan panjang gelombang itu adalah

j x=2Lλ

=1,2,3…= jumlah12panjang gelombang arah x

j y=2 Lλ

=1,2,3…= jumlah12panjang gelombangarah y

j z=2 Lλ

=1,2,3…= jumlah12panjang gelombangarah z

Jadi jumlah gelombang tegak dalam sembarang arah adalah

j2= jx2+ j y

2+ jz2=( 2 L

λ )2

………………………………………….(2.2)

Banyaknya gelombang tegak dalam rongga yang panjang gelombangnya antara λ dan

λ+ dλ adalah g(λ)dλ. Ini bisa dihitung dari jumlah pasangan harga j x j y jz yang diperbolehkan

dalam interval λ + dλ ini. Pada gambar 1, tiap titik dalam ruang j adalah merupakan pasangan

harga-harga j x , j y , j z yang diperbolehkan itu. Bila j adalah vector dari titik asal ke titik

sembarang j x , j y , j z, maka

j=( jx2+ j y

2 + jz2)

12………………………(2.3)

Banyaknya panjang gelombang antara λ + dλ adalah sama dengan jumlaj titik – titik

pada ruang j, yang jaraknya antara j dan j + dj(kulit bola). Volume kulit bola yang jari-jarinya j

dan tebalnya dj dalah 4 π j2 dj. Karena kita hanya berkepentigan dengan oktan(1/8) kulit ini

dimana j x , j y , j z berharga positif. Karena arah polarisasi ada , maka jumlah gelombang tegak

dalam rongga ,

g ( j )dj=(2 )( 18 )( 4 π j2dj )=π j2dj…………………(2.4 )

Jumlah gelombang tegak sebagai fungsi v bisa didapat dari persamaan 2 dan 3

j=2 Lλ

= 2Lvλ

dandj=2 Lcdv

Sehingga :

g (v )dv=( 2Lvλ )

2 2 Lcdv=8π L3

c2 v2dv……………… ..(2.5)

Persamaan (2.5) g(j)dj digunakan untuk menentukan julah tibgkat kuantum yang

tersedia bagi electron yang energinya e dan de. Hubungan ini sangattepat karena electron

mempunyai dua kemungkinan spin, ms=+12

dan ms=−12

dan ini identik dengan arah polarisasi

gelombang tegak itu.

Pada elektrom, panjang gelombangnya adalah panjang gelombang deBroglie, λ=hp

.

Karena electron dalam logam dianggap memiliki kecepatan yang non-relavistik, sehingga

p=√2me, maka

j=2 Lλ

= j= 2Lph

=2L√2meh

dj= Lh √ 2m

ede………………… (2.6 )

Kini persamaan 2.4 menjadi

g ( j )dj=π j2dj

g (e )de=π ( 2 L√2meh )

2

.Lh √ 2m

ede

¿8π √2L3m

32

h3 √ede

Jumlah tingkat energi yang tersedia :

g (e )de=8 π √2v m32

h3 √ede……………………… (2.7)

Karena tiap tingkat energi hanya boleh diisi oleh satu electron, maka jumlah electron

yang mengisi tingkat-tingkat energi ini dari e=0 sampai dengan tingkat energi tertinggi yang

tersedia e=eF,

N=∫0

eF

g (e )de=¿8π √2v m

32

h3 ∫0

eF

e12 de¿

N=16 π √2 vm

32

3h3 eF32

Bila logam dalam keadaan normal atau ground state(pada OK) maka semua electron

mengisi tingkat energi terendah. Bila jumlah electron per satuan volume no lebih kecil dari

tingkat-tingkat energi yang tersedia, maka semua electron akan menempati tingkat energi

terendah sampai tingkat energi maksimum EF, atau yang disebut pula energi Fermi

EFo=h2

2m ( 3N8πv )

23……………………………(2.8)

Untuk memudahkan membandingkan energi Fermi dengan energi termal kT, maka

didefinisikan suatu suhu Fermi TF, dimana kTF = EFo

Dari persamaan (2.8) dapat dilihat bahwa pada dasarnya energi Fermi EF dapat

ditentukan oleh banyaknya electron persatuan volume N/V. Beberapa logam ternyata memiliki

harga energi Fermi dalam orde beberapa elektronvolt, sperti pada tabel dibawah ini:

Daftar energi Fermi beberapa Logam

Logam Simbol Energi Fermi, eV

Lithium Li 4,72

Natrium Na 3,12

Alumunium Al 11,8

Kalium K 2,14

Cesium Cs 1,53

Tembaga Cu 7,04

Seng Zn 11,0

Perak Ag 5,51

Emas Au 5,54

b. Fungsi Distribusi Partikel Bebas

Distribusi partikel dalam komartemen diskrit terjadi secara acak. Partikel-partikel ini

dapat memiliki gabungan dari dua karakter dengan dua kemungkinan seperti bagan dibawah ini:

Dalam proses alih-alih electron dalam zat padat ini maka perlu diperhatikan 3 hal dasar

yang penting:

1. Partikel-partikel identik yang masih terbedakan satu dengan yang lain dan tidak

berinteraksi, berarti fungsi gelombangnya tidak banyak bertindihan dan mengikuti

statistic Maxwell-Boltzmann.

2. Bila fungsi gelombangnya partikel-partikel itu cukup banyak bertindihan, maka partikel

tersebut tak dapat terbedakan satu dengan yang lain sehingga digunakan mekanika

kuantum.

Sistem partikel yang fungsi gelombangnya bertindihan ini dapat dibedakan menjadi dua

kategori:

a) Partikel-partikel identik dengan spin bulat(utuh) atau nol. Partikel tak bisa dibedakan satu

dengan yang lain dan tidak berinteraksi, dan disebut boson. Pada boson ini berlaku

distribusi partikl yang masuk kategori ini antara lain foton dan fonon.

b) Partikel-partikel identik yang spinnya kelipatan ganjil dari ½ juga tak terbedakan satu

sama lain dan berinteraksi, partikel ini disebut fermion. Pada Fermion berlaku fungsi

Tak terbedakan

(indistinguishable)Dapat dibedakan

(distinguishable)

Berinteraksi

(interacting)

Tak Berinteraksi

(non interacting)

distribusi Fermi-Dirac. Electron termasuk dalam ketegori ini, maka itu perilaku electron

bebas dalam logam mengikuti statistic Fermi- Dirac.

Suatu sistem berisika sejumlah energi E. Jumlah partikel yang energinya e dalam sistem

ini adalah

n(e) = g(e) f(e)………………………………..(2.9)

dimana n(e) = jumlah partikel dengan energi e

g(e) = jumlah tingkat-tingkat energi e

= rata-rata statistic yang berkenaan dengan energi e

f(e) = fungsi distribusi

= jumlah rata-rata partikel dalam tiap tingkat energi e

= pelung menempati tiap tingkat energi e

Bila distribusi energinya kontinu bukan diskrit, maka g(e) diganti dengan g(e)de yaitu

jumlah tingkat-tingkat energianatar e dan e+de

1. Distribusi Maxwell-Boltzmann

Fungsi distribusi Maxwll-Boltzmann menyatakan bahwa rata-rata jumlah artikel fMB(e)

dalam suatu tingkat energi e dalam suatu sistem partikel(yang tak terbedakan) pada suhu mutlak

T adalah:

f MB (e )=A exp ( ekT )……………………… ..(2.10)

Harga A tergantung pada jumlah partikel yang berperan dalam sistem itu dan k adalah

konstanta Boltzmann (k= 1x 10-23 J/K). gabungan dari persamaan (2.9) dan (2.10) menghasilkan

n(e), yaitu jumlah partikel identik dan dapat dibedakan dalam suatu sistem energinya e pada suhu

T.

n (e )=A g(e)exp(−ekT )……………………… ..(2.11)

Jumlah molekul-molekul yang energinya anatara e dan e+de adalah

n (e )de=[g (e )de ] [ f (e )]

¿ A g(e )exp (−ekT )de……………………… ..(2.12)

2. Fungsi distribusi Bose-Einstein

Boson tidak mengikuti prinsip larangan dan fungsi gelombangnya tidak dipengaruhi

oleh pertukaran pasangan diantaranya. Oleh karena itu pada setiap tingkat kuantum bisa berada

boson berapa saja. Pada sisten boson, keberadaan suatu partikel dalam suatu tingkat kuantum

tertentu meningkatkan peluang partikel yang lain untuk ditemukan dalam tingkay yang sama.

Peluang boson untuk berada dalam suatu tingkat energi e adalah

f MB (e )= 1

eαeekT−1

……………………(2.13)

Atau

f MB (e )= 1

A eekT−1

, dimana A=eα

Persamaan (2.13) disebut fungsi distribusi Bose-Einstein. Besaran A bergantung pada

sifat-sifat sistem tertentu dan merupakan fungsi dari T. Pada distribusi Bose-Einstein bentuk

eksponensial eekT itu dominan sehingga A hamper-hampir tidak bergantung pada T. harga α dari

persamaan (2.13) bergantung pada jumlah partikel yang diperhitungkan. Tetapi fonon dalam

rongga tidak kekal karena setiap saat bisa tercipta dan lenyap. Oleh karena itu meskipun jumlah

radiasi dalam rongga itu tetap, tetapi jumlah foton yang sesuai dengan energi ini dapat berubah.

Karena foton bersifat tidak kekal, berarti α=0, sehingga eα=1. Maka dari itu fungsi distribusi

untuk foton menjadi :

f ( v )= 1

eekT−1

…………………………… ..(2.14)

Atau f ( v )= 1

ehvkT−1

Pada suhu rendah dan pada E yang besar, dengan mengasumsikan A=1, maka factor

eksponensial menjadi sangat besar sehingga fBE 0. Ini berarti pada suhu rendah, peluang

terisinya tingkat energi besar adalah nol. Sedangkan untuk E≃0, factor eksponensial mendekati

1, penyebut menjadi sangat kecil dan fBE ~. Berarti pada suhu kecil semua partikel berusaha

mengisi tingkat enenrgi terendah yang disebut dengan efek “ kondensasi”.

3. Fungsi Distribusi Fermi-Dirac

Fermion mengikuti prinsip larangan, sehingga bila terjadi pertukaran dari setiap

pasangan, maka tanda dari fungsi gelombang sistem itu berubah. Fungsi gelombang seperti ini

disebut asimetrik. Hanya boleh satu fermion saja yang berada dalam tingkat kuantum tertentu

dari sistem itu.

Peluang fermion untuk menempati tingkat energi e menjadi

f FD (e )= 1

A eekT+1

…………………………………. (2.15 )

Persamaan (2.15) ini disebut fungsi distribusi Fermi-Dirac. Besaran A merupakan fungi

dari suhu T. kebergantungan A pada T bersifat eksponensial sehingga A dapat dituliaskan :

A=e−eFkT sehingga distribusi Fermi-Dirac menjadi

f FD (e )= 1

ee−eFkT +1

……………………(2.16)

Dimana eF disebut energi Fermi.

Untuk mengetahui bagaimana penghunian tingkat-tingkat yang energinya lebih kecil

dari eF dan yang lebih besar dari eF, maka kita andaikan suatu fermion pada T=0.

T=0, untuk e > eF, maka ee−eFkT = e sehingga f FD (e )=0 dan

Untuk e < eF ,maka ee−eFkT = e− =0 sehingga f FD (e )=1

Ini berarti pada T=0 peluang untuk menempati tingkat energi yang lebih besar dari eF

adalah nol. Dengan kata lain, tingkat energi yang lebih besar dari eFkosong. Sedangkan peluang

untuk menempati tingkat energi samapai degan eF sama dengan 1, atau berarti semua tingkat

energi sampai dengan eF terisi semua. Tetapi karena peluang penghunian ini hanya satu per

tingkat kuantum maka fermion tidak mengembun pada tingkat energi terendah.

Pada gambar 2 terlihat distribusi fMB, fBE dan fFD sebagai fungsi dari energi. Dari ketiga

gambar tersebut terlihat bahwa pada E yang semua besar fungsi distribusi itu mendekati nol.

Pada E yang kecil, fungsi distribusi membesar, bahkan fBE ~ dan inilah yang disebut efek

kondensasi, dimana semua pertikel berusaha menempati tingkat kuantum terendah. Sedangkan

fFD tidak pernah lebih besar dari 1.

Gambar 2. a. Fungsi Distribusi Maxwell-Boltzmann

b. Fungsi distribusi Bose-Einstein

c. Fungsi Distribusi Fermi-Dirac

Gambar 3 memperlihatkan fungsi distribusi fFD(E) pada beberapa suhu. Pada gambar 3a

terlihat fungsi fFD pada suhu T=0. Semua tingkat energi yang lebih kecil dari eF terisi penuh,

sedang tngkat energi yang lebih besar dari eF kosong. Pada suhu yang lebih tinggi suhu distribusi

menjadi lebih menyebar dan beberapa tingkat di atas fungsi eF sebagian terisi, ini berarti fFD>0.

Sedangkan pada tingkat energi dibawah eF menjadi kosong, yang berarti disini fFD <1. Makin

tinggi suhu fFD menjadi semakin menyebar seperti terlihat pada gambar 3b dan 3c.

Gambar 3 penghunian tataran elektronik menurut distribusi Fermi-Dirac (a) tingkat

penghunian pada suhu T=0.(b) dan (c).

Dari persamaan 2.16 kita dapat lihat bahwa bila e = eF maka fFD menjadi sama dengan

sama dengan ½ dan ini tidak tergantung pada suhu. Berdasarkan pandangan ini kita dapat pula

mendefinisikan energi Fermi eF adalah suatu tingkat energi yang peluang untuk penghuniannya

adalah 0,5.