m4- 51 soal jawab barisan n deret

SMK Muhammadiyah Mataram (Ir. Endang Setyowati & Anwar Muhaimin, ST & Ade Sanjaya) 1

BANK SOAL MATEMATIKA

BARISAN DAN DERET

SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN SMK MUHAMMADIYAH

MATARAM 2010

Jln. Anyelir No. 2-4 Mataram Nusa Tenggara Barat


BARISAN DAN DERET

1. Dari suatu barisan aritmatika, diketahui U5 = 10, U11 + U27 48. Suku ke 18 dari

barisan tersebut adalah ....

Jawab :

U5 = 10 → a + 4 b = 10 ….. (1)

U11 + U27 = 48 → (a + 10 b) + (a + 26 b) 48

2a + 36 b = 48 ….. (2)

Persamaan (1) dan (2)

a + 4b = 10 → 2a + 8 b = 20 U18 = 6 (17 . 1)

2a + 36 b = 48 = 6 + 17

- 28 b = - 28 = 23

b = 1

a = 6

Jadi suku ke 18 adalah 23

2. Jika dari suatu barisan geometri dengan r > 0 diketahui U3 = 2 dan U5 = 6.

Maka suku k 8 dari barisan geometri tersebut adalah ....

Jawab :

U3 = ar2 = 24 U8 = ar7 ar2 = 24

U5 = ar = 6 = 96 (½)7 a (½)2 = 24

4624

2

2

==arar =

128196 a . 24

41=

412 =

r =

12896 a = 96

412 =r U8 =

43

21

=r

Jadi suku ke 8 adalah 43


3. Diketahui barisan bilangan – 7, - 11, - 15, - 19, .... rumus suku ke n adalah .....

Jawab :

a = - 7

b = - 11 – (- 7) = - 15 – (- 11) = - 4

Un = a + ( n – 1) b

= - 7 + (n – 1) – 4

= - 7 – 4n + 4

Un = - 3 – 4n

4. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama = 4 dan suku ke 5 = 324,

maka jumlah 8 suku pertama deret tersebt adalah ..... Jawab :

U5 = 324 → ar4 = 324 4r4 = 324 r4 = 81 r = 3

( )1

14

−−

=rraSn

( )13134 8

8 −−

=S

= ( )2

165614 −

S8 = 2 x 6560 = 1320 Jadi jumlah 8 suku pertama = 1320

5. Diketahui barisan aritmatika U5 = 5 dan U10 = 15. Suku ke 20 barisan tersebut

adalah .........

U5 = 5 ⇒ a + 4 b = 5

U10 = 15 ⇒ a + 9 b = 15

- 5 b = - 10

b = 2


a + 4 b = 5 U20 = - 3 + (19 . 2)

a + 8 = 5 = - 3 + 38

a = - 3 U20 = 35

6. Jumlah deret geometri tak hingga dari 8 + .....932

316

++ adalah .......

Jawab :

a = 8

32

163

932

== xr

2438

318

321

81

===−

=−

= xr

aS

Jadi jumlah tak hingga = 24

7. Barisan aritmatika U3 = 16 dan U6 = 7, maka suku kedelapan adalah ......

Jawaban :

U3 = 16 ⇒ a + 2 b = 16

U6 = 7 ⇒ a + 5 b = 7

- 3 b = 9

b = - 3

a + 2 b = 16 U8 = 22 + (7 . - 3)

a + (-6) = 16 = 22 + (- 21)

a = 22 U20 = 1

Jadi suku ke 8 = 1

8. Diketahui jumlah deret tak hingga = 156 41 , sedangkan suku pertama = 125.

Maka rasionalnya = ......


Jawab :

S = 156 41 a = 125

raS−

=1

r−=

1125

41156

r−=

1125

4625

625 – 625 r = 500

625 r = 125

r = 51

Jadi rasionya = 51

9. Diketahui deret ; 3 + 5 + 7 + .....

Jumlah 5 suku yang pertama adalah .......

Jawab :

a = 3 n = 5

b = 2 S5 = .....?

Sn = ½ n (2a + (n – 1) b)

S5 = ½ 5 (2 . 3 + (4 . 2))

= ( )8625

+

= 14.25

S5 = 35

Jadi jumlah 5 suku pertama = 35


10. Diketahui barisan aritmatika 27, 24, 21, ......

Jumlah 20 suku pertama adalah .....

Jawab :

a = 27 n = 20

b = - 3 S5 = .....?

Sn = ½ . n (2a + (n – 1) b)

S20 = ½ . 20 (2 . 27 + (19 . - 3))

= 10 (54 + (- 57))

= 10 x – 3

S20 = - 30

Jadi jumlah 20 suku pertama = - 30

11. Soerang pemilik kebun memtik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya

jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n

memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang sudah dipetik selama 10

hari pertama adalah .....

Jawab :

Un = 50 + 25 n

U1 = 50 + 25 . 1 = 75 a = 75

U2 = 50 + 25 + 2 = 100 b = 25

S10 = ....?

Sn = ½ . n (2a + (n – 1) b)

S10 = ½ . 10 (2 . 75 + (9 . -25))

= 5 (150 + 225)

= 5 x 375

S10 = 1875

Jadi jumlah jeruk yang dipetik selama 10 hari pertama = 1875 buah


12. Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinyatkaan oleh Sn = 3n2 – 4n. Suku

ke sebelas deret tesebut adalah ............

Jawab :

Sn = 3n2 – 4n

S(n-1) = 3 (n – 1)2 – 4 (n – 1)

= 3 (n2 – 2n + 1) – 4 n + 4

= 3n2 – 6n + 3 – 4n + 4 = 3n2 – 10 n + 7

Un = Sn – S(n – 1)

= (3n2 – 4n) – (3n2 – 10 n + 7)

= 3n2 – 4n – 3n2 + 10 n – 7

Un = 6n – 7

U11 = 6. 11 – 7

= 66 – 7

U11 = 59

Atau Jika Sn = Pn2 + qn. Maka Un = Sn1 – P

Sn = 3n2 – 4n → Sn1 = 6n – 4

P q

Jadi

Un = Sn1 – P

= 6n – 4 – 3

Un = 6n – 7 → Un = 6. 11 – 7

= 59

13. Sebuaah perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5000 unit barang. Pada

tahun berikutnya produksinya menuru secara tetap sebesar 80 unit pertahun.

Pada tahun keberapakah perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit barang?

Jawab :

a = 5000 Un = 3000

b = - 80 n = .... ?


Un = a + (n – 1) b 3000 = 5000 + (n-1) . - 80 3000 = 5000 + (- 80) + 80 3000 = 5080 – 80 n

80 n = 2080 n = 26

Jadi pada tahun ke 26

14. Seorang karyawan perusahaan diberi upah pada bulan pertama sebesar Rp. 600.000. Karena rajin, jujur, dan trampil maka setiap bulan berikutnya upahnya ditambah Rp. 10.000. Upah karyawan tersebut pada bulan ke + 12 adalah …… Jawab : a = 600.000 n = 12 b = 10.000 U12 = …..? Un = a + (n – 1) b U12 = 600.000 + (11 . 10.000) = 600.000 + 110.000 = 710.000 Jadi upah pada bulan ke 12 = Rp. 710.000

15. Produksi pupuk organik menghasilkan 100 ton pupuk pada bulan pertama,

setiap bulannya memerlukan produksinya secara tetap 5 ton. Jumlah pupuk

yang diproduksi selama 1 tahun adalah …..

Jawab :

a = 100 n = 12 → 1 tahun = 12 bulan

b = 5 U12 = …..?

Sn = ½ n (2 a + (n – 1) b)

S12 = ½ . 12 (2 . 100 + (11 . 5)

= 6 (200 + 55)

= 6 . 255

= 1530

Jadi produksi pupuk selama 1 tahun = 1530 ton


16. Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 4 = 7 dan jumlah suku ke 6

dan ke 8 adalah 23. besar suku ke 20 adalah ….

Jawab :

U4 = 7 → a + 3b = 7 ………. (1)

U6 + U8 = 23 → a + 5 b + a + 7 b = 23

- 2a + 12 b = 23 …… (2)

Dari (1) dan (2)

a + 3b = 7 → 2 a + 6 b = 14

2 a + 12 b = 23

- 6 b = - 9

b = 32

a + 3b = 7 U20 = 25 + (19 .

23

a + 729= =

25 +

257

a = 7 - 29 U20 = 31

= 2

914− Jadi suku ke 20 = 31

= 25

17. Diketahui barisan aritmatika U5 = 21 dan U10 = 41. Suku ke 50 pada barisan

tersebut adalah …..

Jawab :

U5 = 21 → a + 4 b = 21

U10 = 41 → a + 9 b = 41

- 5 b = - 20

b = 4


a + 4 b = 21 U50 = 5 + (49 . 4)

a + 16 = 21 = 5 + 196

a + 16 = 21 U50 = 201

a = 5

Jadi Suku 50 = 201

18. Suku ke 10 dan ke 3 suatu barisan artimatika berturut-turut 2 dan 23. Suku ke

6 barisan tersebut adalah ……

Jawab :

U10 = 2 → a + 9 b = 2

U3 = 23 → a + 2 b = 23

- 7 b = - 21

b = - 3 a + 9 b = 2 U6 = 29 + (5 . -3)

a - 27 = 2 = 29 + (- 15)

a + 27 = 2 U6 = 14

a = 29

Jadi Suku 6 adalah 14

19. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U10 = 41 dan U5 = 21. U20 barisan

tersebut adalah ….. Jawab :

U10 = 41 → a + 9 b = 41

U5 = 21 → a + 4 b = 21 5 b = 20 b = 4 a + 9 b = 41 U20 = 5 + (19 . 4)

a + 36 = 41 = 5 + 76

a = 5 U20 = 81

Jadi Suku ke 20 = 81


20. Diketahui barisan aritmatika suku ke 4 = 19 dan suku ke 9 = 39 suku ke 41

adalah ……….

Jawab :

U4 = 17 → a + 3 b = 19

U9 = 39 → a + 8 b = 39

- 5 b = - 20

b = 4

a + 3 b = 19 U41 = 7 + (40 . 4)

a + 12 = 19 = 7 + 160

a = 19 U41 = 167

Jadi Suku 41 = 167

21. Suku ke 2 suatu barisan aritmatika adalah 8 dan suku ke 10-nya = 24. Suku ke

25 barisan itu adalah …..

Jawab :

U2 = 8 → a + b = 8

U10 = 24 → a + 9 b = 24

- 8 b = - 16

b = 4

a = 6

U25 = 6 + (24 . 2)

= 6 + 48

U25 = 54



22. Dari suatu barisan artimatika diketahui suku ke 12 dan suku ke 21 berturut-

turut adalah 50 dan 86. Suku ke 101 adalah ……..

Jawab :

U12 = 50 → a + 11 b = 50

U21 = 86 → a + 20 b = 86

- 9 b = - 36

b = 4

a = 6

U101 = 6 + (100 . 4)

= 6 + 400

U50 = 406


23. Seorang ayah menabung uangnya di rumah. Setiap bulan besar tabungannya

dinaikkan secara tetap dimulai dari bulan I Rp. 50.000, bulan ke II Rp. 55.000,

bulan ke III Rp. 60.000, dan seterusnya. Jumlah tabungannya selama 10 bulan

adalah …..

Jawab :

a = 50.000 n = 10

b = 5.000 U10 = …..?

Sn = ½ n (2 a + (n – 1) b)

S12 = ½ . 10 (2 . 50.000 + (9 . 5000)

= 5 (100.000 + 45.000)

= 6 . 145.000

= 725.000

Jadi jumlah tabungan selama 10 bulan = Rp. 725.000


24. Dari barisan geometri diketahui suku ke-5 adalah 25 dan suku – 7 adalah 625. Suku ke-3 barisan tersebut adalah ….. Jawab :

U5 = 25 → ar4 = 25

U7 = 625 → ar6 = 625

251

62525

6

4

==arar

2511

2 =r

r = 5 ar4 = 25 a . 54 = 25 a . 625 = 25

a = 251 , maka

U3 = ar2

= 25.251

= 2525

U3 = 1

25. Jika suku pertama barisan geometri = 16 dan suku ke tiga = 36, maka suku ke

5 adalah ………

Jawab :

U1 = a = 16

U3 = 36

ar2 = 36

16 r2 = 36

r2 = 49

1636

=

r = 23


Maka,

U5 = ar4

= 4

23.16 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 1681.16

U5 = 81

26. Diketahui barisan geometri dengan suku pertama = 4 dan suku ke 5 = 324,

maka jumlah 8 suku pertama dari yang bersesuaian adalah …….

Jawab :

U1 = a = 4 Sn = ( )1

1−−

rra n

U5 = ar4 = 324 S8 = ( )13

134 8

−−

4.r4 = 324 = ( )2

134 8 −

r4 = 4

324 = 2 (6560)

r4 = 81 S8 = 13120

r = 4 81

r = 3 Jadi jumlah 8 suku pertama = 13120

27. Pada barisan geometri suku ke-5 = 162 dan suku ke-2 = - 6, maka rasio

barisan tersebut adalah ….

Jawab :

U5 = 162 → ar4 = 162

U2 = - 6 → ar = - 6

6162

6

4

−=

arar

r3 = - 27 r = - 3 Jadi rasionya = - 3


28. Suku ke 2 dan ke 5 barisan geometri berturut-turut adalah – 6 dan 48. Suku ke

4 barisan geometri itu adalah ….

Jawab :

U2 = - 6 → ar = - 6

U5 = 48 → ar4 = 48

486

4

−=

arar

811

3 −=

r

r = 3 8− U4 = ar3

r = - 2 = 3 . (-2)3

ar = - 6 = 3 . - 8 a . - 2 = 6 U4 = - 24

a = 3

Jadi suku ke-4 = - 24

29. Sebuah deret geometri terdiri 8 suku. Jumlah 3 suku pertama 210 dan jumlah 3

suku terakhir = 6720. Jumlah 2 suku pertama deret itu adalah ….

Jawab :

Deretnya : a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ar6 + ar7

a + ar + ar2 = 210 dan ar5 + ar6 + ar7 = 6720

a (1 + r + r2) = 210 ar5 + (1 + r + r2) = 6720

maka : ( )( ) 6720

2101

125

2

=++++

rrarrra

2311

5 =r

r = 2 → a (1 + 2 + 22) = 210

a. 7 = 210

a = 7

210

a = 30


a + ar = 30 + 30 . 2

= 30 + 60

= 90

Jadi jumlah 2 suku pertama = 90

30. Suku ke 2 dan ke 7 suatu barisan geometri berturut-turut 9 dan 288. Rasio

barisan itu adalah …..

Jawab :

U2 = 9

U7 = 288

2889

6 =arar

3211

5 =r

r = 5 32

r = 2

31. Dari suatu barisan geometri diketahui U3 = 6 dan U5 = 54. Suku pertama

barisan tersebut adalah …..

Jawab :

U3 = 6 ar2 = 6

U5 = 54 a. 32 = 6

546

4

2

=arar a . 9 = 6

911

2 =r

a = 96

r = 3 a = 32

Jadi suku pertama = 32


32. Suku ke 2 dan suku ke 5 suatu barisan geometri. Berturut-aturut 14 dan 112ª.

Suku ke 7 barisan tersebut adalah …..

Jawab:

U2 = 14 ar = 14 U7 = ar6

U5 = 112 a. 2 = 14 = 7 . 26

11214

4 =arar a = 7 = 7 . 64

811

3 =r U7 = 448

r = 2

Jadi suku ke 7 = 448

33. Diketahui jumlah deret geometri tak hingga = 10 dan suku pertamanya 2.

Rasio dari deret tersebut adalah …..

Jawab :

S = r

a−1

10 = r−1

2

10 (1 – r) = 2

10 – 10 r = 2

- 10 r = - 8

r = 54

108=

−−

Jadi rasionya = 54

34. Suatu barisan geometri diketahui suku ke 2 = 2, sedangkan suku ke 6 = 81 .

Rasio positif barisan geometri tersebut adalah ….


Jawab :

U2 = 2 → ar = 2

U6 = 81→ ar5 =

81

16

8111

4 ==r

r4 =161

r = 21

Jadi rasionya = 21

35. Jumlah tak hingga dari deret geometri 12 + 8 + 5 31 + …. adalah …..

Jawab :

a = 12

r = 32

128=

S = r

a−1

=

321

12

−

=

31

12

S = 12 x 3 = 36

Jadi jumlah tak hingga = 36


36. Jumlah deret geometri tak hingga dari 8 + ...932

316

++ adalah …..

Jawab :

a = 8

r = 32

163

932

=x

S = r

a−1

=

321

8

− Jadi Jumlah tak hingga = 24

=

318

S = 28

37. Jumlah deret geometri tak hingga : 1 + .....91

31

++ adalah …..

Jawab :

a = 1

r = 31

S = r

a−1

=

321

1

− Jadi Jumlah tak hingga =

23

=

321

S = 23


38. Jumlah deret geometri tak hingga 8 + 4 + 2 + ….. adalah ….

Jawab :

a = 8

r = 21

84=

S =

211

8

−

=

218 Jadi jumlah tak hingga = 16

S = 16

39. Jumlah tak hingga deret geometri 1 + ....100

1100

1101

+++ adalah ….

Jawab :

a = 1

r = 101

S =

1011

1

−

=

1091 Jadi jumlah tak hingga =

910 =

911

S = 9

10

40. Jumlah deret geometri tak hingga 4

125 . Jika rasionya 51 , maka suku

pertamanya adalah ….

Jawab :

S = 4

125


r = 51

S = r

a−1

4125 =

511−

a

4125 =

54a Jadi suku pertamanya = 25

4a = 100

a = 25

41. Jumlah deret geometri tak hingga 3

320 . Jika suku pertamanya 80, maka

rasionya adalah …..

Jawab :

S = 3

320

a = 80

S = r

a−1

3320 =

r−180

3320 (1 – r) = 80

803

3203

320=− r

380

3240320

3320

=−

=r

r = 41

3203

3080

=x

Jadi rasionya = 41


42. Jumlah bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 adalah ….

Jawab :

Deretnya 4 + 8 + 12 + …. + 96

a = 4

b = 4

Un = 96

Un = a + (n – 1) b Sn = )(21

nUan +

96 = 4 + (n – 1) 4 S24 = )964(24.21

+

96 = 4 + 4n – 4 = 12 x 100

96 = 4 n S24 = 1200

n = 24 Jadi jumlah deret tersebut = 1200

43. Jumlah bilangan asli terdiri 2 angka yang habis dibagi 5 adalah …

Jawab :

Deretnya : 10 + 15 + 20 + …. ++ 95

a = 10

b = 5

Un = 95

Un = a + (n – 1) b Sn = )(21

nUan +

95 = 10 + (n – 1) 5 S20 = )9510(18.21

+

95 = 10 + 5n – 5 = 9 x 105

95 = 5 + 5 n S20 = 945

95 – 5 = 5n Jadi jumlah deret tersebut = 945

90 = 5 n

n = 18


44. Jumlah bilangan asli antara 10 dan 100 yang habis dibagi 8 adalah …

Jawab :

Deretnya : 16 + 24 + 32 + 40 + …. + 96

a = 16

b = 8

Un = 96

Un = a + (n – 1) b Sn = )(21

nUan +

96 = 16 + (n – 1) 8 S11 = )9616(11.21

+

96 = 16 + 8n – 8 = 1122

11 x

96 = 8 + 8 n S11 = 616


88 = 8 n

n = 11

45. Jumlah dari deret 4 + 6 + 8 + 10 + …. + 90 adalah ….

Jawab :

a = 4

b = 2

Un = 90

Un = a + (n – 1) b Sn = )(21

nUan +

90 = 4 + (n – 1) 2 S44 = )904(44.21

+

90 = 4 + 2n – 2 = 11 x 94

90 = 2 + 2 n S44 = 1034


88 = 2 n

n = 44


46. Jumlah dari deret aritmatika adalah 120. Jika suku pertama 3 dan bedanya 2,

maka banyaknya suku pada deret tersebut adalah….

Jawab :

Sn = 120

a = 3

b = 2

Sn = ½ n (2 a + (n – 1) b)

120 = ½ n (6 + (n – 1) . 2)

120 = ½ n ( 6 + 2n – 2)

120 = ½ n (4 + 2n)

120 = 2 n + n2

n2 + 2 n – 120 = 0

(n – 10) (n + 12) = 0

n – 10 = 0 atau n + 12 = 0

n = 10 n = - 12 → tidak dipakai

Jadi banyanya suku = 10

47. Jumlah suatu deret aritmatika adalah 100. Jika suku pertama 2 dan bedanya 3,

maka banyaknya suku pada deret tersebut adalah ….

Jawab :

Sn = 100 a = 2 b = 3

Sn = ½ n (2 a + (n – 1) b)

100 = ½ n (4 + (n – 1) . 3)

100 = ½ n ( 4 + 3n – 3)

100 = ½ n (1 + 3n)

100 = 2

23

21 nn +

200 = n + 3n2

3n2 + n – 2000 = 0

(3n + 25) (3n - 34) = 0

(3n + 25) (n – 8) = 0

x 2


3n + 25 = 0 atau n - 8 = 0

n = 325

− n = 8

Jadi banyanya suku = 8

48. Jumlah suatu deret geometri adalah 126. Jika rasionya 2 dan suku pertama 2,

maka banyaknya suku pada deret tersebut adalah ….

Jawab ;

Sn = 126 r = 2 a = 2

Sn = ( )1

1−−

rra n

126 = ( )12

122−−n

126 = 2 (2n – 1)

2126 = 2n – 1

63 = 2n - 1 Jadi banyaknya suku = 6

64 = 2n

26 = 2n → n = 6

49. Jumlah suatu deret geometri adalah 1275. Jika suku pertamanya 5 dan

rasionya 2, maka banyaknya suku adalah ….

Sn = 1275 r = 2 a = 5

Sn = ( )1

1−−

rra n

1275 = ( )12125

−−n

51275 = 2n – 1

255 = 2n - 1 Jadi banyaknya suku = 8

256 = 2n

28 = 2n → n = 8


50. Suku terakhir suatu barisan geometri adalah 320. Jika suku pertama 5 dan

rasionya 2, maka suku ke berapakah 320 tersebut?

Jawab :

Un = 320 a = 5 r = 2

Un = arn-1

320 = 5 . 2n-1

5320 = 2n-1

64 = 2n-1

26 = 2n-1 Jadi suku ke 7

6 = n – 1

n = 7

51. Pada barisan geometri suku pertama 2 dan rasionya 3. Suku keberapakah yang

nilainya 486?

Jawab :

Un = 486 a = 2 r = 3

Un = arn-1

486 = 2 . 3n-1

2486 = 3n-1

243 = 3n-1

35 = 3n-1 Jadi suku ke 6 yang nilainya 486

5 = n – 1

n = 6

m4- 51 soal jawab barisan n deret

Documents