kalkulus differensial integral

Definisi integral dan differensial

KalkulusDaftar isi 1 Sejarah o 1.1 Perkembangan o 1.2 Pengaruh penting 2 Prinsip-prinsip o 2.1 Limit dan kecil tak terhingga o 2.2 Turunan o 2.3 Integral o 2.4 Teorema dasar 3 Aplikasi 4 Referesi o 4.1 Sumber o 4.2 Daftar Pustaka

Sejarah

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal. Perkembangan Sejarah kalkulus Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskow Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume dari frustrum piramid[1]. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.[2] Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar.[3] Persamaan ini kemudian mengantar Bhskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle".[4] Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. [5] Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. [6] Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari Mazhab

hal 1

Definisi integral dan differensialastronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor[7], yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.[8][9][10] Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang. Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society. Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions". Sejak itu, banyak matematikawan yang memberikan kontribusi terhadap pengembangan lebih lanjut dari kalkulus. Kalkulus menjadi topik yang sangat umum di SMA dan universitas zaman modern. Matematikawan seluruh dunia terus memberikan kontribusi terhadap perkembangan kalkulus.[11] Pengaruh penting Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

hal 2

Definisi integral dan differensialPrinsip-prinsip

Limit dan kecil tak terhinggaKalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah kuantitas yang sangat kecil. Objek ini, yang dapat diperlakukan sebagai angka, adalah sangat kecil. Setiap perkalian dengan kecil takterhingga (infinitesimal) tetaplah kecil takterhingga, dengan kata lain kecil takterhingga tidak memenuhi properti Archimedes. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi kecil takterhingga. Pada abad ke-19, konsep kecil takterhingga digantikan oleh konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari input terdekat. Dari sudut pandang ini, kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.

Turunan

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kalkulus diferensial adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari turunan atau kemiringan dari sebuah grafik. Konsep turunan secara fundamental lebih maju dan rumit daripada konsep yang ditemukan di aljabar. Dalam aljabar, seorang murid mempelajari sebuah fungsi dengan input sebuat angka dan output sebuah angka. Tetapi input dari turunan adalah sebuah fungsi dan outputnya juga adalah sebuah fungsi. Untuk memahami turunan, seorang murid harus mempelajari notasi matematika. Dalam notasi matematika, salah satu simbol yang umumnya dipakai untuk menyatakan turunan dari sebuah fungsi adalah apostrofi. Maka turunan dari f adalah f'.

. Jika input dari sebuah fungsi adalah waktu, maka turunan dari fungsi itu adalah laju perubahan di mana fungsi tersebut berubah. Jika fungsi tersebut adalah fungsi linear, maka fungsi tersebut dapat ditulis dengan y=mx+b, di mana:

hal 3


. Ini memberikan nilai dari kemiringan suatu garis lurus. Jika sebuah fungsi bukanlah garis lurus, maka perubahan y dibagi terhadap perubahan x bervariasi, dan kita dapat menggunakan kalkulus untuk menentukan nilai pada titik tertentu. Kemiringan dari suatu fungsi dapat diekspresikan:

di mana koordinat dari titik pertama adalah (x, f(x)) dan h adalah jarak horizontal antara dua titik. Untuk menentukan kemiringan dari sebuat kurva, kita menggunakan limit:

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva di titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan. Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi f(x) = x2 pada titik (3,9):

hal 4

Definisi integral dan differensialIntegralKalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral taktentu dan integral tertentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan (integration). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan. Integral taktentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu dari f ketika f adalah turunan dari F. Integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x. Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu

Jika kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak. Namun, penjumlahan Riemann hanya memberikan nilai perkiraan. Kita harus mengambil sebuah limit untuk mengdapatkan hasil yang tepat.

Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara dua titik a dan b. Jika f(x) pada diagram di samping mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir. Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan x. Untuk setiap segmel, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar x dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut. Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan jarak tempuh antara a dan b. Nilai x yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit x mendekati nol.

Simbol dari integral adalah

, berupa S yang dipanjangkan (singkatan dari "sum"). Integral tertentu ditulis sebagai

hal 5


dan dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x." Integral tak tentu, atau anti derivatif, ditulis:

. Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah konstanta),

. Teorema dasar Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung sebuah anti derivatif daripada mengaplikasikan definisi dari integral, teorema dasar kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu. Teorema dasar kalkulus menyatakan: Jika sebuah fungsi f adalah kontiniu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

Aplikasi Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum ke-dua Newton: Gaya = Massa Percepatan, mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan dengan diferensial kalkulus.

hal 6


Aplikasi Integral Tak Tentu 1. Aplikasi pada keluarga kurva.

Bila persamaan sebuah kurva y = f(x) diketahui, maka koefisien arah m di sebuah titik P(x,y) padanya diberikan dengan m = f(x).

Sebaliknya jika koefisien arah suatu kurva di titik P(x,y) diberikan oleh m = dy/dx = f(x), maka suatu keluarga kurva, y = f(x) + C didapatkan dari integrasi.

Untuk memperoleh suatu kurva tunggal dari keluarga kurva di atas, maka diperlukan suatu informasi untuk mendapatkan suatu nilai C. Hal ini dapat diperoleh dari penentuan bahwa keluarga kurva itu harus melalui suatu titik yang diketahui.

2. Aplikasi pada gerakan suatu benda.

Bila suatu persamaan s = f(t), di mana s adalah jarak yang ditempuh oleh suatu benda yang bergerak pada waktu t, maka

Persamaan kecepatan pada waktu t: v = ds/dt = fl(t)

Persamaan percepatan pada waktu t: a = dv/dt = d2s/dt2 = fll(t)

hal 7


Sebaliknya, jika kecepatan pada waktu t itu diketahui, bersamaan pada posisi kecepatan itu, maka biasanya pada waktu t=0 persamaan gerak benda akan diketahui.

Contoh Soal-Jawab:

1. Tentukan persamaan kurva yang mempunya koefisien arah m = dy/dx = - 2x dan melalui titik P(1,1).

Jawab:

dy/dx = - 2x dy = - 2x dx dy = -2x dx y = -x2 +C melalui titik P(1,1) 1 = - 12 + C C = 2 Jadi persamaan kurva yang dimaksud adalah y = - x2 + 2 (Parabola)

2. Sebuah bola digelindingkan dengan kecepatan awal 8 m/det. Percepatan gesekan = 2 m/det2.

Ditanyakan : seberapa jauh bola itu menggelinding ?

Jawab:

dv/dt = -2 dv = -2 dt dv = -2dt v = -2t + C1

hal 8

Definisi integral dan differensialKecepatan awal = 8 m/det, jadi untuk t = 0 v = 8 = C1. Sehingga diperoleh kecepatan pada saat t : v = -2t + 8.

Karena v = ds/dt, maka ds/dt = -2t + 8 ds = (-2t+8) dt s = - t2 + 8t + C2 . (i)

Saat awal (t=0) adalah s = 0, jadi dari (i) diperoleh 0 = 0 + 0 + C2 C2 = 0 Sehingga diperoleh persamaan jarak pada saat t : s = - t2 + 8t Saat bola berhenti ( v=0 ), jadi -2t + 8 = 0 t = 8/4 = 2

Ini berarti bola menggelinding selama 4 detik. Sehingga jauh yang ditempuh oleh bola adalah

s = - 42 + 8 .4 = - 16 + 32 = 16 m.

Soal-Soal Latihan

1.

Tentukan persamaan keluarga kurva yang mempunyai koefisien arah m

hal 9

Definisi integral dan differensialdan tentukan persamaan suatu kurva yang melalui suatu titik P di bawah ini: a). m=2x ; P(1,5) d). m=1/x2; P(1,2) g). m=2y/x; P(2,8) b). m=x ; P(9,18) e). m=x/y ; P(4,2) c). m=(x-1)2;P(3,0) f). m=x2/y2; P(3,2)

h). m=xy/(1+x2) ; P(3,5)

2. a). Suatu kurva y = 2. Tentukan persamaan kurva yang melalui titik P(2,6) dan mempunyai koefisien arah m = 10.

b). Suatu kurva y = 6x 8. Tentukan persamaan kurva itu yang melalui titi P(1,0) dan mempunyai koefisien arah m = 4.

3.

Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dari Titik O pada saat t=0, dengan kecepatan v. Tentukan jarak yang ditempuh oleh partikel itu selama waktu dari t=t1sampai t=t2 seperti berikut: a). v=4t + 1; (t1,t2)=(0,4) b). v=6t + 3; (t1,t2)=(1,3) c). v=3t2 + 2t; (t1,t2)=(2,4) d). v=t + 5; (t1,t2)=(4,9) e). v=2t - 2; (t1,t2)=(0,5) f). v=t2-3t+2; (t1,t2)=(0,4)

4.

Suatu partikel bergerak sepanjang garis lurus dari titik O (pada t =0) dengan kecapatan awal v0 dan percepatan a. Tentukan s pada saat t !

a). a = 32; v0 = 2

b). a = -32; v0 = 96

hal 10

Definisi integral dan differensialc). a = 12t2+6t; v0 =-3 d). a = 1/t; v0 = 4

hal 11


Integral Tentu (Definit Integral)

b

Simbol

f(x) dxa

dibaca Integral Tentu atau Definite Integral pada x, dari x = a sampai x = b.

Fungsi f(x) disebut integrand, dan a serta b adalah masing-masing batas bawah dan batas atas integrasi. Sifat-sifat Integral Tentu:a

1.

f(x) dx = 0a

b

a

2.a

f(x) dx =

- f(x) dxb

b

b

3.a

c f(x) dx

=

c f(x) dx, untuk sembarang konstanta c.a

b

b

b

4.

{ f(x) g(x) } dxa

=a

f(x) dx

g(x) dxa

c

b

b

5.

f(x) dxa

+c

f(x) dx

=a

f(x) dx ,

a

kalkulus differensial integral

Documents