09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 1

Matematika Teknik IKode Mata Kuliah : TE 3218

SKS : 3

Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks

Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta dapat menerapkan metode penyelesaiannya

Pokok Bahasan : PD orde satu, PD separable, PD eksak, PD linier homogen dan non-homogen, sistem persamaan diferensial. Integral garis riil, teorema Green, integral permukaan, teorema Stokes, teorema Gauss, integral garis kompleks, deret Laurent, metode integral residu.

Kepustakaan : 1. Kreyzig, Erwin, Advanced Engineering Mathematics, 8th

Edition, John Wiley & Sons Inc.,1999.2. Pipes,L.A, Applied Mathematic for Engineer and Physicis,

McGraw-Hill,1976

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 2

Matematika Teknik I

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 3

Persamaan Diferensial Biasa danOrdenya

Persamaan diferensial biasa diartikan sebagai suatupersamaan yang melibatkan turunan pertama ataulebih dari fungsi sembarang y terhadap variabel x.Contoh :

• y’ = cos x• y” + 4y = 0• x2y’’’y’ + 2exy” = (x2 + 2)y2 dx

dyy ='

Orde suatu persamaan diferensial ditentukan dari turunantertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut.

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 4

SatuDimensiGelombangPersamaan2

22

2

2

xuc

tu

∂∂

=∂∂

SatuDimensiLaplacePersamaan02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yu

xu

SatuDimensiPanasAliranPersamaan2

22

xuc

tu

∂∂

=∂∂

Istilah biasa membedakan dengan persamaandiferensial parsial

Contoh :

DuaDimensiPoissonPersamaan),(2

2

2

2

yxfyu

xu

=∂∂

+∂∂

TigaDimensiLaplacePersamaan02

2

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

zu

yu

xu

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 5

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 6

Konsep Penyelesaian

Suatu fungsi y = g(x) dikatakan suatu penyelesaianpersamaan diferensial orde pertama yang diberikan padainterval a<x<b, jika g(x) didefinisikan dan dapatdideferensiasikan seluruhnya pada selang tersebutsehingga persamaan tersebut menjadi suatu identitas,jikay dan y’ masing-masing digantikan dengan g dan g’

Contoh :Buktikan bahwa fungsi y = g(x) = x2 merupakan penyelesaianpersamaan diferensial orde pertama xy’ = 2y

g’ = 2xSekarang subtitusikan g dan g’ ke persamaan diferensial

x(2x) = 2x2 (terbukti)

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 7

Penyelesaian ImplisitKadang-kadang suatu penyelesaianpersamaan diferensial muncul sebagai fungsiimplisit, yaitu secara implisit diberikan dalambentuk

G(x,y) = 0ContohFungsi terhadap x secara implisit diberikanoleh : x2 + y2 – 1 = 0 merupakan penyelesaianimplisit dari persamaan diferensial yy’ = -xpada selang -1 < x < 1

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 8

Penyelesaian Umum dan PenyelesaianKhusus

Contoh :y’ = cos x

Dengan mengintegralkan maka didapat penyelesaiannya :y = sin x + c (c = konstanta sembarang)

Bila c = 0 maka penyelesaiannya adalah y = sin xBila c = 1,5 maka penyelesaiannya adalah y = sin x + 1,5 dan

sebagainyaBila c belum diketahui/ditentukan disebut Penyelesaian UmumBila c sudah diketahui/ditentukan disebut Penyelesaian

Khusus

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 9

Suatu persamaan diferensial orde pertama dapatmempunyai lebih dari satu penyelesaian

Penyelesaian y’ = cos xy = sin x + c

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 10

Penyelesaian SingularDalam beberapa kasus terdapat penyelesaian lain dari persamaan yang diberikan oleh penyelesaiantersebut ternyata tidak dapat diperoleh denganmemberikan nilai tertentu pada sembarangkonstanta dari penyelesaian umum, penyelesaianyang demikian disebut penyelesaian singular daripersamaan tersebut.Contoh :

y’2 – xy + y = 0mempunyai penyelesaian umum

y = cx - c2

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 11

Penyelesaian singular

Setiap penyelesaian khusus menggambarkansuatu garis singgung pada parabola yang digambarkan oleh penyelesaian singular

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 12

Persamaan Diferensial TerpisahBeberapa persamaan diferensial dapat dirubah kedalam bentuk :

g(y)y’ = f(x)g(y)dy = f(x)dx

Persaman ini disebut persamaan diferensial terpisahDengan mengintegralkan maka didapat

dxdyy ='

∫ ∫ += cdxxfdyyg )()(

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 13

xyy

Contoh

2'ldiferensiapersamaanSelesaikan

:

−=

cx

cx

eAAey

ey

cxy

xdxy

dyxydxdy

==

=

+−=

−=−=

−

+−

2

2

2ln:didapatintegrasiDengan

22

:anPenyelesai

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 14

Persamaan Diferensial Eksak

Suatu persamaan diferensial orde pertamaberbentuk :

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0Dikatakan eksak jika ruas kiri persamaantersebut merupakan diferensial total ataueksak

dyyudx

xudu

∂∂

+∂∂

=

dari suatu fungsi u(x,y)

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 15

dyyudx

xudu

∂∂

+∂∂

=Syarat Eksak

xN

yM

eksakSyaratyx

uxN

xyu

yM

NyuM

xu

∂∂

=∂∂

∂∂∂

=∂∂

∂∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

22

09/10/2007 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 16

Contoh : 02. 2 =+ xydydxya

eksaktersebutpersamaanmaka,Karena

22

xN

yM

yxNy

yM

∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

Apakaheksak ?02)34(. 2 =++ xydydxyxb

a.

b.

eksaktidaktersebutpersamaanmaka,Karena

26

2,34

2

2

xN

yM

yxNy

yM

xyNyxM

∂∂

≠∂∂

=∂∂

=∂∂

=+=