kalkulus lanjut 2 integral lipat 3
TRANSCRIPT
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
1/11
Integral Lipat TigaSecara umum integral Lipat tiga dinyatakan dengan
dan merupakan suatu fungsi tiga variabel dalam daerah
terdiri dari titik-titik (x,y,z) dan volumenya V !alam hal ini f
tunggal dan kontinu "ntegral Lipat tiga merupakan perluasan
integral tunggal dan integral lipat dua #ika f(x,y,z) $ % maka
yang dapat diartikan sebagai ukuran volume daerah & terse
∫∫∫ R
dv z y x f ),,(
∫∫∫ ∫∫∫ = R R
dvdv z y x f ),,(
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
2/11
Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Cartesius
"ntegral Lipat tiga dalam koordinat 'artesius dinyatakan dengan
atau
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ =
=
=
=
=
=
=
R
b z
a z
z y y
z y y
z y x x
z y x x
dxdydz z y x f dv z y x f 2
1
2
1
2
1
)(
)(
),(
),(
),,(),,(
∫ ∫ ∫ =
=
=
=
=
=
=b y
a y
y z z
y z z
y z x x
y z x x
dxdzdy z y x f 2
1
2
1
2
1
)(
)(
),(
),(
),,(
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ =
=
=
=
=
=
= R
b z
a z
z x x
z x x
z x y y
z x y y
dydxdz z y x f dv z y x f 2
1
2
1
2
1
)(
)(
),(
),(
),,(),,(
∫ ∫ ∫ =
=
=
=
=
=
=b x
a x
x z z
x z z
x z y y
x z x y
dydzdx z y x f 2
1
2
1
2
1
)(
)(
),(
),(
),,(
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
3/11
atau
erubahan dan urutan integrasi dv men*adi bentuk dydxdz dan seterusnya berakibat pada perubahan batas-batas integ
lipat tiga tersebut #ika integral lipat tiga dengan batas-ba
real, maka perubahan urutan tanda integrasi mengi
perubahan batas-batasnya
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ =
=
=
=
=
=
= R
b x
a x
x y y
x y y
x y z z
x y z z
dzdydx z y x f dv z y x f 2
1
2
1
2
1
)(
)(
),(
),(
),,(),,(
∫ ∫ ∫ =
=
=
=
=
=
=b y
a y
y x x
y x x
y x z z
y x z z
dz z y x f 2
1
2
1
2
1
)(
)(
),(
),(
),,(
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
4/11
Integral Lipat Tiga (Koordinat Cartesius)
+onsep yang diu*udkan dalam integral tunggal dan lipat-dua melu
ke integral lipat-tiga, dan bahkan ke lipat n.
erhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didenisikan ata
bebentuk balok B dengan sisi-sisi se*a*ar sumbu-sumbu koordinat
menggambarkan grak f (dimensi empat yang diinginkan), teta
menggambar B (.ambar %) /entuklah suatu partisi P dari B deng
bidang-bidang melalui B se*a*ar bidang koordinat, *adi memotong B k
balok bagian 0 satu yang khusus diperlihatkan pada gambar % ada
contoh (dan perhatikan pen*umlahan &ieman
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
5/11
!engan adalah volume 2ndaikan norma partisi 33 ini adalah panterpandang dari semua balok bagian 4aka kita denisikan integral lipat t
asalkan limit ini ada
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
6/11
CONTOH 1 Hitung dengan B adalah balok
B =
Penyelesaian
=
=
=
5erdapat enam urutan pengintegralan yang mungkin 6ang mana sa*a diantmenghasilkan *aaban
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
7/11
a. Daerah umum erhatikan suatu daerah S terbatas dan tertutup di
tiga dan dilingkungi di dalam suatu balok B, seperti diperhatikan pa
2ndaikan f(x, y, z) didenisikan ada S dan berikan f nilai nol di S.
denisikan
"ntegral di ruas kanan didenisikan pada catatan pembukaan kita, tetap
baha integral tersebut mudah untuk di hitung Sebenarnya, *ika himo
rumit, kita mungkin tidak mampu melakukan perhitungan itu
2ndaikan S adalah himpunan z sederhana (garis-garis tegak memotong S
garis tunggal) dan andaikan adalah proyeksinya pada bidang xy (.ambar
4aka
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
8/11
Sebagai tambahan, jika adalah himpunan y sederhana (seperti diperlihatkan
Gambar ), kita dapat mengulang tulis integral lipat dua sebelah luar sebagai sebuah integra
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
9/11
CONTOH 2 9itung integral lipat tiga untuk f(x, y, z) $ 7xyz dalam dae
yang dibatasi oleh tabung parabola z $ 7dan bidang-bidang z $ :, y $ x, dan y $ :
enyelesaian !aerah pe*al S adalah suatu himpunan z sederhana d
proyeksinya pada bidang xy adalah y sederhana ( *uga x sederhana) #a
=
=
=
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
10/11
-
8/15/2019 Kalkulus Lanjut 2 Integral Lipat 3
11/11
S;+"2< !2< 5;&"42 +2S"9