fungsi gamma, fungsi beta, integral fungsi+gamma.pdffungsi gamma, fungsi beta, integral dirichlet...

Download Fungsi Gamma, Fungsi Beta, Integral fungsi+gamma.pdfFungsi Gamma, Fungsi Beta, Integral Dirichlet Kalkulus

Post on 26-Sep-2019

9 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Fungsi Gamma, Fungsi Beta, Integral Dirichlet

    Kalkulus 3 Teknik Industri

    Universitas Gunadarma

    1

  • FUNGSI GAMMA

    2

  • 3

    1 2 3( ) lim , 0, 1, 2, ( 1)( 2) ( )n

    znz n z z z z z n

          

        

    v Adalah generalisasi dari fungsi faktorial n! untuk nilai non- integer.

    Definisi # 1

  • 1

    1 2 3( ) lim , 0, 1, 2, ( 1)( 2) ( )

    1 2 3( 1) lim ( ) lim ( 1)( 2) ( 1) ( 1)

    ( 1) ( )

    1 2 3(1) lim

    n

    n n

    n

    z

    z

    nz n z z z z z n

    n nzz n z z z z n z n

    z z z

    n

    

     

    

          

        

              

       

       

        

    Note that 1 2 3 n  

    1 (2) 1 (1) 1, ( 1)

    (3) 2 (2) 2 1, (4) 3 (3) 3 2 1, (5) 4 (4) 4 3 2 1, .

    n n

         

                      etc

    , and

    4

    Sifat faktorial:

     ( ) 1 !n n   ( 1) !n n  atauMaka

    Perhatikan dan

  • 5

    Disebut juga definisi bentuk integral Euler

    Leonard Euler

         

    ln ln1 1 1 1

    1 1 0

    iyiy t iy tz x x x

    z x

    t t t t e t e

    t t x

       

     

      

        for integral to converge

    Catatan:

    0

    1( ) , Re 0t zz e t dt z 

       

    Definisi # 2

  •  

    0

    0

    1

    0

    2

    1

    2 1 2

    1

    ( ) , Re 0

    ( ) 2 , Re 0

    1( ) ln , Re 0 ln 1 /

    t z

    s z

    z

    z e t dt z

    z e s ds z t s

    z ds z t s s

     

     

      

       

           

    The following three integral definitions are all equivalent :

    (let )

    (let )

    6

    Ketiga definisi berikut adalah ekivalen

  • 1

    1 1 ( )

    z z n

    n

    zze e z n

      

          

    7

    Definition # 3

    The Weierstrass product form can be shown to be equivalent to definitions #1 and #1.

    0.5772156619  where is the Euler -Mascheroni constant.

  • 8

    ( ) (1 ) sin

    z z z

     

       

    Tetapkan z = 1/2:

    (1 / 2)  

    Bentuk yang sering digunakan adalah (1/2).

    Gunakan formula di atas:

    ( ) (1 ) sin

    z z z

     

       

    Formula Refleksi Euler

  • 9 Note: There are simple poles at z = 0, -1, -2,…    1Res

    !

    n

    n n 

      

    x y

     z

  • 10

    (x) and 1 / (x)

    Oleh karena (z) tidak bernilai 0 maka (1 / (z) adalah analitik di mana-mana).

    Catatan : (x) tidak bernilai 0.

  • 11

    Formula Sterling (deret asimtotis untuk z besar):

      2 3 4 1 1 1 139 5712 1

    12 288 51840 2488320 z zz z e

    z z z zz          

       

     , argz z  constant

    Berlaku untuk

      3 5 1 1 1 1ln ln ln 2 2 12 360 1260

    zz z z z z z z

              

     

    Dengan me-ln-kan kedua ruas, diperoleh:

      2 3

    ln 1 2 3 w ww w    Note :

  • 12

             ! 1 2 3 2 1n n n n   

      0

    ! 1 t xx x e t dt 

        

      0

    ! 1 t zz z e t dt 

        

    Integer

    Bilangan real

    Bilangan kompleks

    1x  

     Re 1z  

    Rangkuman generalisasi faktorial

  • 13

      0

    ! 1 t zz z e t dt 

         Bilangan kompleks

     Re 1z  

      0

    ! 1

    ( ) (1 ) sin

    t zz z e t dt

    z z z

     

        

       

     Bilangan kompleks 0, 1, 2z    

  • Fungsi Gamma (1)

    14

  • Fungsi Gamma (1)

    15

  • Fungsi Gamma (2)

    16

  • Fungsi Gamma (2)

    17

  • FUNGSI BETA

    18

  • Fungsi Beta

    1 1 1

    0 ( , ) (1 )p qp q x x dx   

    p dan q disebut parameter bentuk.

    ( , ) ( , )p q q p  

    ( ) ( )( , ) ( ) p qp q p q

       

     

    Pada x = 0, suku ini… • bernilai 0 jika p > 1 • memiliki sebuah singularitas jika 0 < p < 1.

    Pada x = 1, suku ini… • bernilai 0 jika q > 1 • memiliki sebuah singularitas jika 0 < q < 1.

    0 1

  • • Dengan menggunakan transformasi x=sin2 θ diperoleh:

    20

  • Fungsi Beta (1)

    21

  • Fungsi Beta (1)

    22

  • Fungsi Beta (2)

    23

  • Fungsi Beta (2)

    24

  • Fungsi Beta (3)

    25

  • Fungsi Beta (3)

    26

  • INTEGRAL DIRICHLET

    27

  • Definisi

    Jika V menyatakan daerah tertutup , x ≥ 0,y ≥ 0, z ≥ 0, di mana a>0, b>0, c>0, p>0, q>0, r>0 maka:

    Integral di atas disebut integral Dirichlet (Kasus khusus: a=b=c=p=q=r=1)

    ≤ 1