# fungsi gamma, fungsi beta, integral fungsi+gamma.pdffungsi gamma, fungsi beta, integral dirichlet...

Post on 26-Sep-2019

9 views

Category:

## Documents

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

• Fungsi Gamma, Fungsi Beta, Integral Dirichlet

Kalkulus 3 Teknik Industri

1

• FUNGSI GAMMA

2

• 3

1 2 3( ) lim , 0, 1, 2, ( 1)( 2) ( )n

znz n z z z z z n

      

    

v Adalah generalisasi dari fungsi faktorial n! untuk nilai non- integer.

Definisi # 1

• 1

1 2 3( ) lim , 0, 1, 2, ( 1)( 2) ( )

1 2 3( 1) lim ( ) lim ( 1)( 2) ( 1) ( 1)

( 1) ( )

1 2 3(1) lim

n

n n

n

z

z

nz n z z z z z n

n nzz n z z z z n z n

z z z

n



 



      

    

          

   

   

    

Note that 1 2 3 n  

1 (2) 1 (1) 1, ( 1)

(3) 2 (2) 2 1, (4) 3 (3) 3 2 1, (5) 4 (4) 4 3 2 1, .

n n

     

                  etc

, and

4

Sifat faktorial:

 ( ) 1 !n n   ( 1) !n n  atauMaka

Perhatikan dan

• 5

Disebut juga definisi bentuk integral Euler

Leonard Euler

     

ln ln1 1 1 1

1 1 0

iyiy t iy tz x x x

z x

t t t t e t e

t t x

   

 

  

    for integral to converge

Catatan:

0

1( ) , Re 0t zz e t dt z 

   

Definisi # 2

•  

0

0

1

0

2

1

2 1 2

1

( ) , Re 0

( ) 2 , Re 0

1( ) ln , Re 0 ln 1 /

t z

s z

z

z e t dt z

z e s ds z t s

z ds z t s s

 

 

  

   

       

The following three integral definitions are all equivalent :

(let )

(let )

6

• 1

1 1 ( )

z z n

n

zze e z n

  

      

7

Definition # 3

The Weierstrass product form can be shown to be equivalent to definitions #1 and #1.

0.5772156619  where is the Euler -Mascheroni constant.

• 8

( ) (1 ) sin

z z z

 

   

Tetapkan z = 1/2:

(1 / 2)  

Bentuk yang sering digunakan adalah (1/2).

Gunakan formula di atas:

( ) (1 ) sin

z z z

 

   

Formula Refleksi Euler

• 9 Note: There are simple poles at z = 0, -1, -2,…    1Res

!

n

n n 

  

x y

 z

• 10

(x) and 1 / (x)

Oleh karena (z) tidak bernilai 0 maka (1 / (z) adalah analitik di mana-mana).

Catatan : (x) tidak bernilai 0.

• 11

Formula Sterling (deret asimtotis untuk z besar):

  2 3 4 1 1 1 139 5712 1

12 288 51840 2488320 z zz z e

z z z zz          

   

 , argz z  constant

Berlaku untuk

  3 5 1 1 1 1ln ln ln 2 2 12 360 1260

zz z z z z z z

          

 

Dengan me-ln-kan kedua ruas, diperoleh:

  2 3

ln 1 2 3 w ww w    Note :

• 12

         ! 1 2 3 2 1n n n n   

  0

! 1 t xx x e t dt 

    

  0

! 1 t zz z e t dt 

    

Integer

Bilangan real

Bilangan kompleks

1x  

 Re 1z  

Rangkuman generalisasi faktorial

• 13

  0

! 1 t zz z e t dt 

     Bilangan kompleks

 Re 1z  

  0

! 1

( ) (1 ) sin

t zz z e t dt

z z z

 

    

   

 Bilangan kompleks 0, 1, 2z    

• Fungsi Gamma (1)

14

• Fungsi Gamma (1)

15

• Fungsi Gamma (2)

16

• Fungsi Gamma (2)

17

• FUNGSI BETA

18

• Fungsi Beta

1 1 1

0 ( , ) (1 )p qp q x x dx   

p dan q disebut parameter bentuk.

( , ) ( , )p q q p  

( ) ( )( , ) ( ) p qp q p q

   

 

Pada x = 0, suku ini… • bernilai 0 jika p > 1 • memiliki sebuah singularitas jika 0 < p < 1.

Pada x = 1, suku ini… • bernilai 0 jika q > 1 • memiliki sebuah singularitas jika 0 < q < 1.

0 1

• • Dengan menggunakan transformasi x=sin2 θ diperoleh:

20

• Fungsi Beta (1)

21

• Fungsi Beta (1)

22

• Fungsi Beta (2)

23

• Fungsi Beta (2)

24

• Fungsi Beta (3)

25

• Fungsi Beta (3)

26

• INTEGRAL DIRICHLET

27

• Definisi

Jika V menyatakan daerah tertutup , x ≥ 0,y ≥ 0, z ≥ 0, di mana a>0, b>0, c>0, p>0, q>0, r>0 maka:

Integral di atas disebut integral Dirichlet (Kasus khusus: a=b=c=p=q=r=1)

≤ 1

Recommended