@jimlecturer

wp.me/p4sCVe-ejimlecturer

752A4C6B

Integral Kompleks

prepared by jimmy hasugian

Review Analisis Kompleks

Sebuah Fungsi Kompleks disebut Analitik dalam domain tertentu, jika fungsi tersebut dapat diturunkan (differentiable) dalam domain tersebut.

Fungsi kompleks bersifat analitik dalam domain D, jikadan hanya jika memenuhi Persamaan Cauchy-Riemann.

Pendahuluan

Integral Kompleks merupakan salah satu bahasan yang menarikdalam Analisis Kompleks

Alasan Utama mengapa Integral Kompleks sangat penting adalahkarena integral ini dapat digunakan untuk mengevaluasi Integral Ril tertentu yang muncul dalam aplikasi namun tidak dapatdianalisis menggunakan metode kalkulus Integral Ril.

Integral Kompleks

Integral Kompleks sering juga disebut sebagai Integral GarisKompleks (atau Integral Garis), karena karakteristik Integral Kompleks memiliki kesamaan dalam pengerjaan Integral Garis

Integrand

“kurva” ataujalur integrasi

dapat dinyatakan dalampersamaan parametrik

Integral Kompleks

Biasanya dituliskan dalam bentuk:

atau

C adalah kurvadengan jalur tertutup

Asumsi UmumSemua jalur dalam Integral Kompleks dianggap sebagai“potongan yang halus” (piecewise smooth).

Sifat-sifat Integral Kompleks

Sifat-sifat Integral Kompleks

Integral Kompleks – Fungsi Analitik

Jika adalah fungsi analitik, maka akan terdapatsehingga , maka Integral Kompleks dapatdievaluasi sebagai berikut:

Integral kompleks pada kurva tertentu tidak hanya tergantungpada titik awal dan titik akhir dari kurva, namun jugadipengaruhi oleh bentuk kurva tersebut.

Contoh

Hitunglah integral kompleks berikut ini:

Apakah fungsi analitik?Apakah ada sebuah fungsi ) sehingga jika diturunkan

Hitung integral kompleks menggunakan rumus integral

Persamaan Parametrik

Kadang kala untuk mengerjakan Integral Kompleks, diperlukanpersamaan parametrik untuk menguraikan kurva C

Persamaan Parametrik

Hubungan antaradan terlihat “jelas”

Substitusi nilai kedalam persamaan kurva

Hubungan antara dantidak terlihat “jelas”

Persamaan Parametrik

Tidak terlihat “jelas” hubungan antara dan

GarisLurus

Lingkaran

Ellips

parameter

CONTOH

Hitunglah Integral kompleks berikut, pada jarak terpendek darititik ke titik

CONTOH

Persamaan Garis lurus melalui (1,1) dan (3,3)

Cauchy’s Integral Theorem (CIT)

Integral fungsi kompleks tidak hanya dipengaruhi oleh titik-titikujungnya, melainkan juga bentuk kurva C

Simple Closed Path(jalur tertutup sederhana)

Simply Connected Domain(domain terhubung sederhana)

Cauchy’s Integral Theorem (CIT)

Jika bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhanamaka untuk semua jalur tertutup sederhana di dalam , berlaku:

Jika bersifat analitik di dalam domain terhubung sederhanamaka integral bersifat bebas jalur (independent path)

Tidak adaPole di

dalam atau“pas” di C

Arah (+) BerlawananJarum Jam

Cauchy’s Integral Theorem (CIT)

Principle of Deformation of Path (PDP)(Prinsip Deformasi /Pengubahan Jalur)

Sepanjang jalur “alternatif” yang dapat dibentuk tetap beradadalam daerah terhubung sederhana (simply connected domain) , dan bersifat analitik, maka hasil integralnya akan selalu sama.

Cauchy’s Integral Theorem

Dapatkan diterapkan jika Domain yang ditinjau tidak Simply Connected Domain?

Perlu Trik Khusus….

Multiply Connected Domains

Doubly Connected Domain Triply Connected Domain

Cauchy’s Integral Formula (CIF)

Cauchy’s Integral Theorem dikembangkan lagi menjadi Cauchy’s Integral Formula.

Bagaimana jikaada Pole di

dalam kurva C

Diketahui bersifat analitik di dalam domain terhubungsederhana . Maka untuk sebarang titik di dalam sertakurva sederhana melingkupi , berlaku:

Cauchy’s Integral Formula (CIF)

PERHATIKAN kedua Integral Cauchy berikut

Cauchy’s Integral Theorem Cauchy’s Integral Formula

Pengertian yang berbeda

SeluruhIntegrand

(fungsi)

Hanya bagianyang tidak ada

Pole

Derivative of Analytic Functions

Jika adalah fungsi analitik di dalam domain , maka akanmemiliki turunan semua orde di dalam (yang juga bersifat analitik). Nilai turunan pada titik di dalam adalah:

Derivative of Analytic Functions

Dapat pula “ditulis” ulang sebagai

Pengembangan lebih lanjut dari CIF

Morera’s Theorems

Teorema ini merupakan “kebalikan” dari Cauchy’s Integral Theoram (CIT)

Jika adalah fungsi yang kontinu di dalam domain terhubung sederhana (simply connected domain) , dan jika

untuk setiap jalur tertutup di dalam ,maka bersifat analitik di dalam

Analitik

Referensi

• Erwin Kreyszig. 2011. Advanced Engineering Mathematics. Ed 10th. USA : John Wiley & Sons, Inc.