makalah kalkulus integral tak wajar

MAKALAH KALKULUS II

INTEGRAL TAK WAJAR

Dosen : Ridha Endarani, Spd.

Disusun Oleh:

Roji Muhidin

STMIK MUHAMMADIYAHBANTEN

2013

June 12,

2013

M a k a l a h K a l k u l u s I I I n t e g r a l T a k W a j a r D o s e n : R i d h a E n d a r a n i . S p d

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt. atas limpahan

rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan dan rutinitas penulis serta

dengan segala kekurangannya, dapat menyusun makalah ini yang diharapkan dapat

membantu pribadi penulis dan mahasiswa secara umumnya dalam mempelajari

Kalkulus II tentang Integral.

Makalah ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada pribadi penulis dan

mahasiswa Jurusan Sistem Informasi, STMIK Muhammadiyah Banten yang sedang

mengikuti perkuliahan Kalkulus II. Kekurangan dan belum sempurnanya makalah ini

menjadi tuntutan penulis sehingga yang seharusnya teman-teman menerima banyak

pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari makalah ini belum dapat terwujud

seluruhnya.

Terselesaikannya penulisan makalah ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekan-

rekan seprofesi penulis di STMIK Muhammadiyah Banten, lebih-lebih teman-teman

kelas ku yang menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan makalah ini.

Semoga materi yang telah dituangkan dalam makalah ini, akan sangat berguna

bagi pribadi penulis dan mahasiswa STMIK Muhammadiyah Banten umumnya.

Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallah diperbaiki dikemudian hari.

Lebak, 12 Juni 2013

Penulis

June 12,

2013


DAFTAR ISI

Kata Pengantar ............ i

Daftar Isi .. ii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .. 1

1.2 Rumusan Masalah ............. 2

1.3 Tujuan ....................................................................................... 2

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Integral Tak Wajar.................................................... 3

2.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu........................... 5

2.3 Integral tak wajar dengan batas tak hingga................................ 8

2.4 Rumus-rumus dasar Integral...................................................... 11

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan ............................................................................... 21

3.2 Saran-saran ............................................................................... 22

DAFTAR PUSTAKA PUSTAKA . 23

June 12,

2013


BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Konon dalam sejarah matematika, pelajaran integral lebih dikenal

dengan anti-differensial atau kalo di sekolah atau perguruan tinggi, kita lebih

mengenal kata turunan dibanding kata differensial. Jadi Integral itu adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan

bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang

mengembangkan dan memperkenalkan konsep differensial dan anti-differensial

(integral) dalam ilmu matematika adalah Gottfried Wilhelm Leibniz, atau lebih

dikenal dengan Leibniz saja.

Lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal dengan

Notasi Leibniz, karena Leibniz lah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika, lambang integral seperti ini : , diambil dari huruf pertama nama si Leibniz, yaitu huruf L, namun pada zaman dahulu orang menuliskan huruf L dalam bentuk yang indah, seperti berikut :

Ilmuwan dalam Perkembangan Matematika Hitung Integral

Sejak ilmu matematika berkembang dari abad sebelum masehi sampai abad

sesudah masehi juga sampai sekarang jaman modern. Ilmu tentang integral

mengalami perkembangan yang cukup bagus. Dari integral yang dikembangkan

oleh Leibnizh pada abad sesudah masehi sampai integral yang kembangkan oleh

Henstock-kurzweill jaman modern sekarang ini . menurut sejarahnya, orang yang

tercatat pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimides,

seorang ahli matematika bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 212 SM). Ia menggunakan ide itu untuk menghitung luas daerah lingkaran, daerah

yang dibatasi parabola dan tali busur, dan sebagainya.

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang

sejarah yang cukup unik. Banyak ilmuwan, baik matematika maupun non-

matematika, yang berminat terhadap perkembangan matematika hitung integral, di

antrannya sebagai berikut.

Tokoh-Tokoh Matematika dalam integral:

1. Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari

Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah

menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup

dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen

parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide

penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.

June 12,

2013


2. Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari

Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang

hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan

hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun

konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah

lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh

terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan

hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini

dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.

3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari

Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang

hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain

Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga

terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan

dan lambang bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.

4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan

dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan

oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral

tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral

Riemann.

1.2 Rumusan Masalah

Pengertian Integral

Pembagian Integral Tak Wajar

Integral Tak Wajar dengan integran diskontinu

Integral Tak Wajar dengan batas integrasi di tak hingga

1.3 Tujuan

Agar kita dapat mengetahui pengertian Integral, Khususnya Integral tak

wajar

Dapat Mengetahui Pembagian Integral tak wajar

Dapat menyelesaikan Integral Tak Wajar dengan integrasi diskontinu

Dapat menyelesaikan Integral Tak Wajar dengan batas integrasi tak hingga.

June 12,

2013


BAB II

PEMBAHASAN

3.1 Pengertian Integral Tak Wajar

Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat

kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema:

Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x)

sebarang antiturunan pada I, maka

b

a

dxxf )( = )()()( aFbFxF ba

Contoh :

1.

4

2

4

2

2

2

1)1(

xxdxx

= (4- .16) (2- 4)

= -4 0

= -4

2. 2

1

2

1

1ln1

xx

dx

= ln (1+2) ln (1+1)

= ln 3 ln 2

3.

2

1 1 x

dx, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran

f(x) = x1

1 tidak terdefinisi pada x = 1.

4.

1

1x

dx, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran f(x) =

x

1

tidak terdefinisi di x = 0

June 12,

2013


Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan

teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4

dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk b

a

dxxf )( disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu

(diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik

tersebut.

Pada kasus ini teorema dasar kalkulus b

a

dxxf )( = F(b) F(a) tidak berlaku lagi.

Contoh :

1)

4

04 x

dx, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)

2)

2

1 1x

dx, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]

3)

4

0 3

2

)2( x

dx, f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)

(2,4]

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

1)

0

2 4x

dx, integran f(x) memuat batas atas di x =

2)

0

2 dxe x , integran f(x) memuat batas bawah di x = -

3)

241 x

dx, integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa bawah di x =

-

Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak

kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah

integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ).

June 12,

2013


Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan

integran diskontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi tak hingga.

3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi

integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b - ( 0 ),

sehingga b

a

dxxf0

lim)(

b

a

dxxf )(

Karena batas atas x = b - ( x b ), maka

b

a bt

dxxf lim)( t

a

dxxf )(

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1)

4

00

4

0 4lim

4 x

dx

x

dx, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga

=

4

00

42lim x

= -2 0

lim

)04()4(4

= -2 ( 4lim0

)

= -2(0-2)

= 4

Cara lain :

t

t x

dx

x

dx

04

4

0 4lim

4

= tt

x 04

42lim

= 04242lim4

tt

= -2(0)+2(2)

= 4

June 12,

2013


2)

2

224 x

dx, f(x) =

24

1

x

Fungsi di atas tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, sehingga:

maka

2

224 x

dx2

2

024 x

dx

= 2

2

024 x

dx

= 2

2

00 2

arcsinx

Lim

= 2 ( )02

=

b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi

integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a + ( 0 ),

sehingga b

a

dxxf0

lim)(

b

a

dxxf

)(

Karena batas bawah x = a + ( x a ) maka dapat dinyatakan dalam bentuk

lain:

b

a at

dxxf lim)( b

t

dxxf )(

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1)

4

3 3

3

x

dx

4

3 3

3lim

tt x

dx

= 43

3)2(3lim tt

x

= 36346lim3

tt

= 6(1) 6(0)

= 6

June 12,

2013


2)

1

0

1

00

lim

x

dx

x

dx ,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga

diperoleh:

1

0

1

00

2lim

xx

dx

=

0212lim0

= 2 0

= 2

c. f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c

Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi

integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + dan x = c -

( 0 ), sehingga

b

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxf )()()(

= 0

lim

c

a

dxxf )( +

b

c

xfLim

)(

0

Dapat juga dinyatakan dengan :

b

a bt

dxxf lim)( t

a

dxxf )( + at

lim b

t

dxxf )(

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1)

4

0

3 1x

dx, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh

1

0

4

1

33 11 x

dxdx

x

dx, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:

4

1

30

1

0

30 1lim

1lim

x

dx

x

dx

=

4

1

3

2

0

1

0

3

2

0)1(

2

3lim)1(

2

3lim

xx

June 12,

2013


= 2

3)10()1)1(lim

2

33

2

3

2

0

3

2

3

2

0)1)1(()14(lim

= )91(2

3 3

2)

8

1

3

1

,dxx f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh

dxxdxx

8

0

3

10

1

3

1

= dxxdxx

8

0

3

1

0

0

1

3

1

0

limlim

=

8

0

3

2

0

0

1

3

2

0 2

3lim

2

3lim

xx

= - 62

3

= 2

9

3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hingga

Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya

batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral

tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Intergral tak wajar dengan batas atas x = .

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable

dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak

wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

t

at

a

dxxfdxxf )(lim)(

Perhatikan contoh berikut ini :

1)

0

2 1x

dx =

t

t x

dx

0

2 4lim

June 12,

2013


=

t

t

x

02arctan

2

1lim

=

0arctan

2

1

2arctan

2

1lim

t

t

= ( . 2

- .0)

= 4

2)

1

2x

dx =

tlim

t

x

dx

1

2

=

t

t x 1

1lim

=

t

t t 11

1lim

= 1

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable

dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian

integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

a

t

a

tdxxfdxxf )(lim)(

Perhatikan contoh berikut ini:

1.

0

2xe dx =

0

2

2

1lim

t

x

te

=

t

te2

2

11.

2

1lim

= - 0

=

June 12,

2013


2.

0

2)4( x

dx=

0

)4(

1lim

tt x

=

)04(

1

)4(

1lim

tt

= 0 + 4

1

=

c. Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = -

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan

dua integral tak wajar dengan

a

a

dxxfdxxfxxf )()()( , sehingga bentuk

penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b

tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:

a

a

dxxfdxxfxxf )()()(

= t

a

a

ttt

dxxfdxxf )(lim)(lim

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:

1.

241 x

dx

=

0

0

22 4141 x

dx

x

dx

= 04lim tt

xarctg

+ tt

xarctg0

4lim

= 2

2.

12x

x

e

dxe =

0

2 1x

x

e

dxe +

0

2 1x

x

e

dxe

= t

lim

0

2 1t

x

x

e

dxe +

`lim

t

t

x

x

e

dxe

0

2 1

June 12,

2013


= t

lim (arc tgn e x )0

t+

tlim (arc tgn e x )

t

0

= 42

0

4

=

2

3.4 Rumus-rumus dasar Integral

Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan C sebuah konstanta,

dengan memperhatikan sifat-sifat operasi Aljabar fungsi (penjumlahan,

pengurangan, perkalian dan pembagian) dapat diperikan beberapa sifat Integral tak

tentu fungsi yang terintegralkan. Sifat-sifat berikut berlaku untuk syarat yang

diberikan.

1. nu du =

1

1

n

u n + C, jika n -1

2. Cn

xudxxuxu

nn

1)(

)(')(

1

, jika n -1

3. udu

= ln u + C atau Cxfdxxfxf

)(ln)(

)('

4. eu du = e

u + C

5. au du =

u

a u

ln+ C

6. u dv = uv - v du

7. sin du = - cos u + C

8. cos u du = sin u + C

9. sec2 u du = tan u + C

10. csc2 u du = - cot u + C

11. sec u tan u du = sec u + C

12. csc u cot u du = - csc u + C

13. tan u du = ln usec + C

14. cot u du = ln usin + C

June 12,

2013


15. sec u du = ln uu tansec + C

16. csc u du = ln uuc cotsec + C

17. 22 uadu

= arc sin

a

u +C

18. 22 uadu

=

a

1 arc tan

a

u + C

19. 22 uadu

a2

1 ln

au

au

+ C

20. 22 audu

a2

1 ln

au

au

+ C

21. 22 au

du= ln (u + 22 au ) + C

22. 22 au

du= ln (u + 22 au ) + C

23. 22 ua du = u 22 au C

a

ua arcsin

2

1 2

24. 22 auudu

=

a

1 arc sec

a

u+ C

25. 22 au du = u 22 au 222 ln

2

1auua + C

26. 22 au du = u 22 au 222 ln

2

1auua + C

27. sin2 u du =

2

1u

4

1sin 2u + C

28. cos2 u du =

2

1u + sin 2u + C

29. tan2 u du = -u + tan u + C

30. cot2 u du = - u cot u + C

31. sin3 u du = -

3

1( 2 + sin

2 u ) cos u + C

32. cos3 u du =

3

1( 2 + cos

2 u ) sin u + C

June 12,

2013


33. tan3 u du =

2

1 tgn

2 u + ln ucos + C

34. cot3 u du = -

2

1 cot

2 u - ln usin + C

35. sec3 u du =

2

1 sec u tan u +

2

1 ln uu tansec + C

36. csc3 u du = -

2

1 csc u cot u +

2

1 ln uuc cotsec + C

37. sin au sin bu du = )(2)sin(

ba

uba

-

)(2

)sin(

ba

uba

+ C, jika a

2 b2

38. cos au cos bu du = )(2)sin(

ba

uba

+

)(2

)sin(

ba

uba

+ C, jika a

2 b2

39. sin au cos bu du = - )(2)cos(

ba

uba

-

)(2

)cos(

ba

uba

+ C, jika a

2 b2

40. sinnu du = -

n

uun cossin 1 +

n

n 1 sin

n-2 u du

41. cosn u du =

n

uun sincos 1 +

n

n 1 cos

n-2 u du

42. tann

u du = 1

1

n tan

n-1 u -

2tann u du jika n 1

43. cot n u du = -

1

1

n cot

n-1 u -

2cot ngn u du jika n 1

44. sec n u du =

1

1

n sec

n-2 u tgn u +

1

2

n

n sec

n-2 u du, jika n 1

45. csc n u du= -

1

1

n csc

n-2 u cot u +

1

2

n

n csc

n-2 u du, n 1

46. sin n

ucos m

u du = - mn

uu mn

11 cossin +

mn

n

1 sin

n-2 u cos

m u du,

n -m

47. u sin u du = sin u u cos u + C

48. u cos u du = cos u + u sin u + C

49. un sin u du = -u

n cos u + n u

n-1 cos u du

50. un cos u du = u

n sin u + n u

n-1 sin u du

June 12,

2013


51. sin u d(sin u) = 21

sin 2 u + C

52. cos u d(cos u) = 21

cos 2 u + C

53. tan u d(tan u) = 21

tan 2 u + C

54. cot u d(cot u) = cot2 u + C

55. sec u d(sec u) = sec2 u + C

56. csc u d(csc u) = csc2 u + C

57. 22 au du =

2

u 22 au 2

2a ln 22 auu + C

58. uau 22

du = 22 au - a ln

u

uua 22 + C

59. 22 audu

= ln 22 auu + C

60. uau 22

du = 22 au - a arc sec a

u + C

61. u2 22 ua du =

8

u(2a

2 u2) 22 ua -

8

4aln 22 uau + C

62. 222

au

u

du =

2

u 22 ua 2

2a ln 22 uau + C

63. 222 auudu

=

ua

au2

22 + C

64. 222

u

au du = -

u

au 22 - ln 22 uau + C

65. 2

3

22 )( au

du

= 222 aua

u

+ C

66. 22 ua

udu= -

22 ua + C

67. (22 au )3/2 du =

8

u (2u

2 5a2) 22 au + 8

3 4a ln 22 auu + C

June 12,

2013


68. 22 ua du =

2

a 22 ua + u

a 2arc sin

-1

a

u + C

69. 222

ua

u

du = -

2

a 22 ua + u

a 2arc sin

-1

a

u + C

70. uua 22

du = 22 ua - a ln u

uaa 22 + C

71. u2 22 ua du =

8

u (2u

2- a

2) 22 ua +

8

4a arc sin

-1 a

u + C

72. 222 uaudu

= -

ua

ua2

22 + C

73. 222

u

au du = -

u

au 22 - arc sin

-1

a

u + C

74. 22 uaudu

= -

a

1 ln

u

uaa 22 + C

75. uu

du

1 = ln

x

x

11

11 + C

76. uu

1du = 2 u - 2 arc tan u + Cl

77. )1( uu

du= 2 ln (1+ u )

78. 2

3

22 )( ua

du

= 222 uaa

u

+ C

79. (22 ua )3/2 du =

8

u (5a

2- 2u

2) 22 ua +

8

3 4a arc sin

-1

a

u + C

80. ueu du = (u-1)e

u + C

81. un e

u du = u

n e

u n u

n-1 e

u du

82. ln u du = u ln u u + C

83. un ln u du =

1

1

n

u n ln u -

2

1

)1(

n

u n + C

June 12,

2013


84. eau

sin bu du = 22 ba

eau

(a sin bu b cos bu) + C

85. eau

cos bu du = 22 ba

eau

(a cos bu + b sin bu) + C

86. arc sin -1

u du = u arc sin -1

u + 21 u + C

87. arc tan u du = u arc tan u - 21

ln 21 u + C

88. arc sec u du = u arc sin u ln 21 uu + C

89. u arc sin u du = (2u2 1) arc sin u +

4

u 21 u + C

90. u arc tan u du = (u2

+ 1) arc tan u - 2

u + C

91. u arc sec u du = 2

2uarc sec u 12 u + C

92. u arc sin u du = 1

1

n

u n arc sin u -

1

1

n

2

1

1 u

u ndu + C, jika n -1

93. un

arc tan u du = 1

1

n

u n arc tan u -

1

1

n

2

1

1 u


94. un arc sec u du =

1

1

n

u n arc sec u -

1

1

n

12

1

u


95. sinh u du = cosh u + C

96. cosh u du = sinh u + C

97. tanh u du = ln (cosh u ) + C

98. coth u du = ln usinh + C

99. sech u du = arc tan usinh + C

100. csch u du = ln 2tanh

u + C

101. sinh2 u du = sinh u -

2

u + C

June 12,

2013


102. cosh 2 u du = sinh u +

2

u + C

103. tanh2 u du = u - tanh u + C

104. coth2 u du = u coth u + C

105. sech2 u du = tanh u + C

106. csch2 u du = -coth u + C

107. sech u tgnh u du = - sech u + C

108. csch u coth u du = - csch u + C

109. u(au+b)-1

du = 2a

b

a

u ln bau + C

110. u(au + b)-2

du =

bau

bbau

aln

12

+ C

111. u(au+b)n

du = 2

1)(

a

bau n

12 n

b

n

bau+ C, jika n -1, -2

112. nuadu

)( 22 =

1221222 )()12(

)()1(2

1nn ua

dun

ua

u

na+ C, n 1

113. u bau du = Cbaubaua 2

3

2))(23(

15

2

114. un bau du =

bauunbbauu

na

nn 12

3

)()32(

2 + C

115. bau

udu

= baubau

a )2(

3

22

+ C

116. bau

duu n

=

)12(

2

na bauu n -nb

dubau

u n 1

117. bauu

du

=

b

1 ln

bbau

bbau

+ C

118. bauu

dun

= -

bauu

du

bn

an

unb

baunn 11 )22(

)32(

)1( + C, jika n 1

119. 22 uau = arc

n

auau

au 2222

sin a

au + C

June 12,

2013


120. 22 uaudu

= arc sin

a

au + C

121. un 22 uau =

2

)2( 23

21

n

uauu n

2

)12(

n

an

21 2 uauu n du

122. 22 uauduu n

= - 2

1

2 uaun

u n

+

n

an )12(

2

1

2 uau

duu n

+ C

123. uuau 22

= 22 uau a arc sin a

au + C

124. nuuau 22

=

naun

uau

)23(

)2( 23

2

du

u

uau

an

nn 1

22

)32(

3

125. )2( 2uauu

du

n =

21

2

2)12(

1

)21(

2

uuu

du

an

n

una

uau

nn

126. ( 22 uau )2 =

122

)2(1

nuaun

nadu

127. 42 )2( uaudu

=

2

3

2

2

22

2

)2()2(

32

)2(uau

du

an

nuau

n

au n du

128. 12

1tanln

1cossin

u

uu

du + C

129. uuu

du

2

1tan1ln

cossin1

+ C

130. du

u

udu2sin1

sin= 2

4

1 ln

2232

tan

2232

tan

2

2

u

u

+ C

131. uuduu

cos1

cossin cos u + ln (1-cos u) + C

132. sin u du = - u2 cos u + 2 sin u + C

133. udu

sin21 =

322

tan

322

tan

ln3

3

u

u

+ C

June 12,

2013


134. udu

sin2=

3

12

2

3

2

utgn

arctgn + C

135. udu

sin53 =

32

tan

12

tan3

ln4

1

u

u

+ C

136. udu

sin35 = arctan

2

1

4

32

tan5 u

+ C

137. uudu

cossin1 = ln

2tan1

2tan

u

u

+ C

138. udu

cos2 = )

2tan3arctan(

3

2 u + C

139. C

u

u

du

3

42

tan5

arctan3

2

sin45

140. Cu

u

du

2tan

3

3arctan

3

32

cos2

141. Cu

u

du

)

2tan5arctan(

5

52

23

142. Cu

u

uu

udu

coscos1

ln)cos1(cos

sin 2

2

143.

uu

uduutan1ln

tan1

sec)tan2(2

22

Cu

3

1tan2arctan

3

2

144.

2sin1

x

dx 2(tan C

xx )

2sec

2

145.

Cx

x

x

dx

3sin3

3cos1

3cos1

June 12,

2013


146. Cx

x

xdx

222sin

arctan8

2

82sin

2cos2

147. 2

1

tan41

sec

2

2

x

xdxarc sin(2 tan x) + C

148. C

x

x

xdx

3

4sinarctan

12

1

4sin9

8sin 2

2

149. axdx

sec1 = x +

a

1(cot ax-csc ax) + C

150. Ca

xadx

a

x

a

x

22 tan2

1tansec

June 12,

2013


BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Dalam kalkulus, integral takwajar adalah limit dari integral tentu dengan

batas pengintegralan mendekati bilangan riil tertentu, atau atau, pada beberapa kasus, keduanya.

Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk

atau dalam bentuk

dengan limit diambil pada salah satu batas atau keduanya. (Apostol 1967, 10.23).

Integral takwajar juga dapat terjadi pada titik dalam domain pengintegralan, atau

pada beberapa titik seperti itu.

Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral

yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai integral Riemann), karena

adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas

adalah takhingga..

Bentuk b

a

dxxf )( disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu

(diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik

tersebut.

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga

Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan

integran diskontinu dan dengan batas integrasi tak hingga.

Integral tak wajar dengan integran diskontinue, yaitu diantaranya :

f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

f(x) kontinu di [a,c) (c,b] dan tidak kontinu di x = c

Integral tak wajar dengan batas tak hingga, yaitu seperti:

Intergral tak wajar dengan batas atas x = .

Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -

Integral tak wajar batas atas x = dan batas bawah di x = -

June 12,

2013


3.2 Saran-Saran

Demikian makalah ini kami selesaikan sebagai salah satu tugas perkuliahan

pada semester 2 ini. Namun kami sebagai penyusun , menyadari terdapat

kekurangan maupun kekhilafan atau kesalahan, baik dalam penyelesaian maupun

pemaparan dari makalah kami ini.

Dari itu, kami sangat mengharap dari para pembaca atau pendengar sekalian,

baik teman-teman maupun Ibu Dosen sebagai pembimbing dalam mata kuliah ini,

untuk turut serta dalam memberikan kritik yang membangun dan saran yang baik

tentunya agar kedepanya nanti kami akan dan bisa menjadi lebih maju dan baik dari

sebelumnya. Amin Ya Rabbal Alamin.!

June 12,

2013


DAFTAR PUSTAKA

Dale Varberg., Edwin J. Purcell. 2001. Kalkulus Jilid I (edisi 7). Alih Bahasa I

Nyoman Susila. Batam: Interaksara.

Koko Martono, 1993. Kalkulus Integral I. Bandung: Alva Gracia

Achsanul Inam, 2000. Kalkulus I. Malang: UMM Press.

makalah kalkulus integral tak wajar

Documents