kalkulus - integral tentu (ppt)

Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia

Mahasiswa mampu:

mencari antiturunan fungsi dan menggunakan antiturunanuntuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu peubahterpisah,

menggunakan definisi untuk menghitung integral tentu sebagailimit penjumlahan,

menghitung jumlah Riemann dengan menggunakan titikevaluasi kiri, kanan, dan tengah dengan bantuan TeknologiInformasi dan Komputer (TIK) dan menggunakannya untukmenjelaskan pengertian intuitif dari integral tentu,

menghitung integral dengan menggunakan sifat integral tentu, aturan pangkat, dan substitusi umum,

membangun dan mengevaluasi integral untuk menghitung luasbidang datar, volume benda putar, luas permukaan benda putar, kerja yang dilakukan oleh perubahan gaya, momen dan pusatmassa lamina datar dan sentroit dari daerah bidang datar.

2Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia

Matematika Dasar A1 Universitas Indonesia 3


Turunan

Antiturunan

Definisi. Fungsi F disebut suatu antiturunan

fungsi f pada interval I jika DxF(x) = f(x) pada I,

yaitu: F(x) = f(x) untuk setiap x di I.


Contoh.


anti

turunan

dari

anti turunan umum dari

.

Sembarangbilangan

real

Antiturunan fungsi f(x)

Contoh. Carilah jika .


tandaintegral

integran(fungsi yang

diintegralkan)integral

terhadap x

Teorema. Aturan pangkat

Jika r adalah bilangan rasional dan r -1, maka

Contoh. Carilah dan .


Teorema.

Teorema. Kelinearan integral tak-tentu

Misalkan fungsi f dan g mempunyai antiturunan

(integral tak-tentu) dan k adalah konstanta, maka


Contoh. Carilah .

Tulis |x|= kx, dengan k = 1


Teorema. Aturan pangkat yang diperumum

Misalkan g adalah fungsi yang terdiferensialkan dan

r adalah bilangan rasional dan r -1. Maka

Contoh. Carilah


Persamaan diferensial orde-satu yang dapat dipisah


persamaan yang tidak-diketahuinya

(the unknown) adalah fungsi

dan melibatkanturunan dari fungsi

yang tidak-diketahuitersebut.

Contoh. Buktikanlah bahwa y = sin x + C, y = 1, dan

y = -1 adalah solusi persamaan diferensial

Penyelesaian.


.

Contoh. Dari ketinggian berapa dari permukaan bumisuatu bola harus dilepas agar mencapai permukaan bumidengan kecepatan -50 m/det? Percepatan gravitasi bumidimisalkan -10 m/det2.

Misalkan h(t): ketinggian bola dari permukaan bumi pada saat t

percepatan bola: h(t) = -10, h(0) = 0 m/det kecepatan bola saat t:

karena h(0) = 0 maka C1 = 0 sehingga h(t) = -10 t kecepatan menyentuh bumi = -50 m/s, h(t) = -10 t = -50,

maka t = 5.

jarak yang ditempuh bola setelah t detik:

karena h(5) = 0 maka C2 = 125.

jadi ketinggian awal bola adalah 125 m.


.

.

Notasi sigma

Teorema. Kelinearan jumlah

Jika c adalah konstanta, maka


Beberapa rumus jumlah yang penting


Diberikan daerah A yang dibatasi

kurva y = x2 + 2, sumbu-x, sumbu-

y, dan garis x = 1. Ingin dicari

luas A.

Luas A dapat diaproksimasi

dengan bantuan persegi panjang.


aproksimasikiri

aproksimasitengah

aproksimasikanan

Contoh. Aproksimasilah daerah A

yang dibatasi kurva y = x2 + 2, sb-x,

sb-y, dan x = 1 menggunakan 5

persegi panjang kiri, kemudian

dengan n persegi panjang kiri, lalu

hitung luas A yang sesungguhnya.

Interval [0, 1] dibagi menjadi 5 sub-

interval sama panjang:


i 0 1 2 3 4

xi 0 0,2 0,4 0,6 0,8

f(xi) 2 2,04 2,16 2,36 2,64

L(Pi)=f(xi) xi 0,4 0,408 0,432 0,472 0,528

Menggunakan persegi panjang kiri: x = 1/n.

Luas daerah A yang sesungguhnya:


i 0 1 2 1 xi 0 1/n 2/n (n 1)/n

f(xi) 2 2+(1/n)2 2+(2/n)2 2+((n1)/n)2

Panjang

subinterval

tidak harus

sama

Daerah

boleh

berada di

atas/bawah

sumbu-x


Titiksampel

Definisi. Misalkan f adalah fungsi yang didefinisikan

pada interval tutup [a, b]. Jika

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a, b].

Lebih lanjut, disebut integral tentu/

integral Riemann f dari a ke b dan diberikan oleh

|P|: panjang maksimum dari subinterval dalam partisi P.


Definisi.

Catatan


Teorema. Teorema keterintegralan

Jika f terbatas pada [a, b] dan f kontinu pada [a, b]

(kecuali pada sejumlah hingga titik), maka f

terintegralkan pada [a, b]. Secara khusus, jika f

kontinu pada seluruh interval [a, b], maka f

terintegralkan pada [a, b].

Contoh. Periksalah apakah fungsi

terintegralkan pada interval

Pada

f terbatas

f kontinu kecuali pada x = -2, -1, 0, 1, 2


f terinte-gralkan

kalkulus - integral tentu (ppt)

Documents