1. PengenalanKalkulus merupakan salah satu bidang matematik yang melibatkan pengiraan atau perhitungan kuantiti-kuantiuti yang tidak diskrit. Ia mengandungi pembezaan dan pengamilan yang menggunakan algebra dan geometri koordinat. Manakala Kalkulus Pembezaan pula melibatkan penentuan kadar perubahan.Pembezaan yang dikenali sebagai differentiation atau derivate adalah pengukuran bagaimana sebuah fungsi perubahan sebagai perubahandaripada inputnya. Pembezaan boleh dianggap perubahan sesuatu kuantiti sebagai tindak balas kepadaperubahan dalam kuantiti yang lain. Pembezaanatauterbitanmerupakan suatu ukuran bagi perubahan dalam fungsiy = (x) berhubung dengan perubahan pembolehubah bebas. Perbezaan itu sendiri ditakrifkan oleh sebuah ungkapan dalam bentuk: sama seperti jika derivatif dy / dx mewakili keputusan bagi dari kuantiti by dy dx kuantiti. Ianya juga boleh ditulis sebagai:df (x) = f (x) dx

Antara Aplikasi pembezaan yang paling banyak membantu dalam kehidupan seharian kita ialah pengoptimuman. Pengoptimuman bermaksud penyelesaian masalahmeminimumatau memaksimumkansatufungsinyata dengan memilih secara sistematik nilaipemboleh ubah integerataunyatadi dalamsetyang dibenarkan. Perumusan ini, yang menggunakan fungsi objektif skalar dan bernilai nyata, berkemungkinan adalah contoh teringkas;pengitlakanteori dan teknik pengoptimuman kepada perumusan yang lain, merangkumi bidang yang besar dalammatematik gunaan. Dalam erti kata mudahnya, pengoptimuman bermaksud mencari nilai "terbaik yang tersedia" dari beberapa fungsi objektif berdasarkan domain yang ditetapkan, termasuk pelbagai jenis fungsi objektif yang berbeza dan jenis domain yang berbeza (Wikipedia). Masalah pengoptimuman boleh dinyatakan dalamtatatanda matematikseperti berikut:Diberi:Satufungsif:ARdari beberapasetAhingganombor nyataCari:Elemenx0dalamAsehinggakan:f(x0) f(x) untuk semuaxdalamA, untuk prosespeminimumanf(x0) f(x) untuk semuaxdalamA, untuk prosespemaksimuman

Rajah 1: Kemaksimuman sebuahparaboloid

2. Pengurusan Grafik

Penyelesaian aplikasi pembezaan tentang masalah maksimun dan minimum

3. Penyelesaian Bukan Rutin

1. 2x + x + y= 723x + y =72Y = 72-3xP L T V = 2x(x)(Y)V = 2x(72-3x)V = 144x6x V min

0 = 6 (48x 1)X = 6 , 48x -1 = 0 48x = 1 X = min v =

2. Perimeter A = RM 3. 002x + y = 3 Y = 3 -2xLuas A = x(y) A = x(3-2x) A = 3x 2 4x = 3X = Perimeter B = RM 2.00 Luas pagar A 3. Apabila r = 6

4.

5.

Max v = x= 1

6. Contoh Soalan Dan Penyelesaianya

Contoh 1:Seorang Pengurus sebuah kompleks 80-unit apartmen cuba untuk membuat keputusan tentang berapa sewa akan dikenakan untuk setiap apartmen. Melalui Pengalaman telah menunjukkan bahawa sewa yang kenakan ialah sebanyak RM200, dan biasanya keseluruhan unit akan penuh. Pada unit purata tambahan akan kekal kosong bagi setiap RM20 setiap peningkatan dalam sewa. Cari sewa yang harus dikenakan supaya mendapat hasil atau pulangan yang maksimun.

Nombor bilangan meningkat RM20Kadar sewaBilangan yang didudukiJumlah pendapatan

02008016000122079173802240781782032607720020.. ........ ...X200 + 20x80 x(200+20x)(80 x)

Oleh itu, kadar sewa yang patut dikenakan ialah:

Oleh itu, pulangan yang maksimun:35+10=45 =

Contoh 2:

Sebuah kotak berbentuk segiempat tepat mempunyai tapak berukuran panjang dan lebar. Diberi jumlah panjang semua tepi kotak itu ialah . Cari nilai apabila mempunyai nilai maksimum dan isipadu kotak,

7. Kepentingan Aplikasi Pembezaan

Pembezaan amat membantu kita dalam memudakan kehidupan kita dan membantu dalam pengenalan kepada pelbagai perkara baru dalam matematik dan yang utama dalam kehidupan harian kita. Pembezaan dapat diaplikasikan dalam pebagai bidang. Antaranya adalah:

a) Bidang Ekonomi

Pembezaan dapat membantu kita mengenali keuntungan yang dianggarkan dalam penjualan sesuatu barang atau modal yangperlu dikeluarkan dalam membuat sesuatu barang berdasarkan jumlah kuantitinya.Dimana Pembezaan membantu sesuatupeniaga untukmembuat keputusan dalamperniagaannya berdasarkan anggaran yang dibuatberdasarkan persamaan yang dibuat menggunakan pembezaan. Oleh itu, kita dapatmencari dan mengelakkan kerugian yang mungkin berlaku dalam sesuatu perniagaan. Malah kita juga dapat menganggarkan sama ada sesuatuperniagaan itu akan laris atau tidak berdasarkan pembinaan graf dan menganggarkan keputusan yang boleh berlaku dalam masa depan. Ini amat membantu dalam ekonomi terutamanya pada para usahawan.Disamping itu juga, pembezaan digunakan dalam menganggarkan nilai maksimum dan minimum dalamsesuatu perkara. Sebagai contoh adalah menganggarkan kuuntungan tertinggi dalam sesuatu ataupun jugakuantiti maksimum danminimum yang boleh digunakan bagimengelakkan kerugian. Manakala dalampembinaan bangunan, seseorang usahawan perlu tahu kuantiti bahan yangdigunakan dan pembezaan membantu dalam mencari nilai maksimum atau minimum bagi memastikan kualiti pengeluarannya adalah terjamin dandalam masa yang sama kita tidakmengalami kerugian. Bukan itu sahaja, penggunaan tenaga kerja serta bahan juga boleh dianggarkan menggunakan pembezaan ini. Oleh itu,secara keseluruhannya, penggunaan pembezaan dalam ekonomi adalah tidak dapat dielakkan dansemestinya dapat membantu kita dalam meningkatkan kualiti keusahawanan seseorang itu danmembantu dalam membuat keputusan.

b) Bidang Kejuruteraan

Semasa zaman Isaac Newton lagi, pelayaran kapal adalah memang berbahaya kerana kitatidak kenal akan arah membawa kapal dengan betul dan satu-satunya garis panduan yangdigunakan adalah melalui bintangdan cara itujuga adalah susahmelihatkan cuaca yang tidak menentu. Dengan adanya kalkulus ini,makaadalah lebih senang untuk pelayaran dilakukan dan arah dapat dibaca dan dikenali dengan lebih senang.Selain daripada itujuga, dalam bidang kejuruteraan, pembezaan membantu dengan banyak dimana dalam aplikasi piston, yang banyakdigunakan bukan sahaja dalam perkapalan tetapi juga kenderaan. Pembezaan membolehkan kita menemui dan mengaplikasikan piston yang digunakan dalam semua kenderaan. Penemuan ini adalah amat penting dan berguna kepadakita hasil daripada perkembangan pembezaan ini.

c) Bidang Sains

pembezaan dapat digunakan untuk mencari kadar perubahan atau rate ofchange tidak kira dalam tindak balaskimia mahupun benda lain. Pembezaan membantu seorang untuk mencari kadar tindak balas sesuatu bahan kimia terhadapbahan lain dan inimembantu kita untuk menciptaan pelbagai peralatan atau bahan kegunaan harian. Perubahan dari segi keadaan, suhu dansebagainya boleh disukat dan dikaji menggunakan pembezaan ini dan iniamatlah berguna dalam penemuan bahan-bahan baru

8. Rumusan

Aplikasi pembezaan adalah satu topik yang agak sukar untuk dikuasi jika tidak benar memahami dengan lebih mendalam dan tidak membuat latihan tambahan. Namun demikian apabila membuat tugasan ini secara tidak lansung, sedikit sebanyak membantu saya dalam memahami topic ini dengan lebih jelas. Sebelum kita boleh menggunakan kalkulus atau teknik-teknik lain untuk menyelesaikan masalah maksimum dan minimum, kita perlu menterjemah masalah ke dalam bentuk matematik yang kita boleh menyelesaikan, dan kita perlu untuk memeriksa penyelesaian matematik kami untuk melihat jika ia benar-benar satu penyelesaian masalah asal. Selalunya, bahagian-bahagian yang paling sukar masalah memahami masalah dan menterjemahkan ke dalam bentuk matematik.

Mentelahan pula, dalam topik ini kita perlu meneliti beberapa masalah yang memerlukan kefahaman, menterjemahan masalah, penyelesaian, dan memeriksa atau menyemak semula. Kebanyakan masalah ini tidak seperti yang rumit kerana mereka keperluan seorang saintis yang bekerja, jurutera atau ekonomi untuk menyelesaikan, tetapi mereka mewakili satu langkah dalam membangunkan kemahiran yang diperlukan.

9. Refleksi

Topik ini agak sukar dikuasi dan difahami. Dimana memerlukan latihan pengukuhan yang lebih bagi menguasi topik ini. Dalam aplikasi pembezaan memerlukan pemahaman konsep yang mendalam barulah dapat memahami keseluruhannya. Sebagai contoh, kita perlu tahu kaedah pembezaan dengan betul barulah dapat menjawab soalan yang ditanya. Selain daripada itu, topik pengoptimuman juga amat mencabar dimana topik ini banyak mengaplikasi dalam kehidupan sebenar. Ini kerana, apabila melibatkan soalan yang berkaitan penyelesaian masalah, agak sukar untuk memahami kehendak soalan dan kadang-kadang keliru dengan soalan dan juga kehendak soalan. Bagi saya, memerlukan lebih banyak contoh soalan yang berkaitan untuk memahami lagi topik ini.

Rujukan

i. G.A.HOW & J.T SIM, siri teks STPM, Matematik Tulen ( Longman 1997-2001)ii. Gerald L. Bradley & Karl J. Smith, International Edition, Calculus Second Edition,(Prentice Hall)iii. Wellesley-Cambridge Press, MITOPENCOURSEWARE, Calculus Online Textbook Published in 1991 iv. http://www.thestudentroom.co.ukv. http://www1.imada.sdu.dk/~hjm/MM501/Adams/kap4.pdfvi. http://www.intmath.com/applications-differentiation/7-maximum-minimum-problems.phpvii. http://simple.wikipedia.org/wiki/Differentiation#Uses_of_differentiationviii. http://ms.wikipedia.org/wiki/Pembezaan

Lampiran