Integral Dalam Ruang Dimensi n

Integral

Invers dari Diferensial yaitu anti difernsial = Integral

Definisi:

Jika f(x) ≥ 0, menyatakan luas daerah di

bawah kurva y=f(x) antara a & b.

Jika f(x,y) ≥ 0, menyatakan volum benda

pejal daerah di bawah permukaan z=f(x,y) & di atas

segi empat R

Contoh:

1. Tentukan luas R di bawah kurva y=x -2x³+2 di

antara x=-1 dan x=2

2. Tentukan luas daerah R yang dibatasi oleh (x³/3)-

4, sumbu x, x=-2 dan x=3

3. Jika f(x,y) = x²+2y², x dibatasi pada x=0 dan

x=3, y dibatasi pada y=0 dan y=3, berapa vol.

benda pejal?

Integral Ganda pd Persegi Panjang

Misal: R merupakan sebuah segi empat dgn sisi2

sejajar pd sumbu2 koordinat.

R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Bentuk suatu partisi P dari R menggunakan sarana

berupa garis2 sejajar sumbu x & y, yg membagi R

menjadi n buah segi empat bagian, dinamai Rk , di

mana k = 1,2,3,…,n.

Misal: Δxk & Δyk merupakan panjang sisi2 Rk, maka

luas segi empat Rk = ΔAk = Δxk.Δyk

Cont’d

c d

a

b

z

y

x

(xk yk)

Rk R

Cont’d

Jika (x, y) pada Rk adalah , maka bentuk

penjumlahan Riemann:

Untuk semua (x, y) ≥ 0, dgn jumlah volume n.

Cont’d

Sifat2 Integral Ganda

1. Linier

2. Penjumlahan pd segi 4 yg saling tumpang tindih hnypd 1

ruas garis

3. Pembanding prilaku, jika f(x,y) ≤ g(x,y), maka:

Penting:

Jika f(x,y) = 1 pada R, maka integral

ganda merupakan luas R.

Contoh:

1. Jika f berupa fungsi tangga, misal:

Hitung luasan daerah di bawah tangga dgn R={(x,y)|0≤x

≤3, 0≤x ≤3}

2. Hitung volume benda di bawah kurva f(x,y)=(64-8x+y²)/16,

dengan R = {(x,y): 0≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}

Penting: