kelas12 matematika integral
TRANSCRIPT
-
integral 1
INTEGRAL
Kompetensi Dasar :
Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu
Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan
fungsi trigonometri yang sederhana
Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva
dan volum benda putar
Indikator :
Mengenal arti Integral tak tentu
Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan
Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
Mengenal arti integral tentu
Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral
Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak
tentu
Menentukan integral dengan dengan cara substitusi
Menetukan integral dengan dengan cara parsial
Menentukan integral dengan dengan cara substitusi trigonometri
Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu
pada koordinat.
Menghitung volume benda putar
-
integral 2
INTEGRAL
Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri, teknologi, biologi
dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat dalam sejarah pertama
kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimedes seorang ilmuwan
bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 212 SM). Archimedes
menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran,
daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur dan sebagainya. Sejarah
mencatat orang yang paling berjasa dalam hal pengembangan kalkulus integral
adalah George Friederich Benhard Riemann (1826 1866).
A. Integral Taktentu
1. Integral sebagai operasi invers dari turunan.
Misalkan fungsi f adalah turunan dari fungsi F, yang berarti
dF xF x f x
dx
Pandanglah pendiferensialan fungsi-fungsi di bawah ini
3 2
3 2
3 2
3 2
' 3
5 ' 3
17 ' 3
konstanta ' 3
F x x F x f x x
F x x F x f x x
F x x F x f x x
F x x c c F x f x x
Sekarang timbul pertanyaan apakah dari hubungan 'F x f x ini jika
f x diketahui maka f x pasti dapat ditentukan ?
Suatu operasi mencari F x jika f x diketahui yang merupakan invers dari
operasi pendiferensialan disebut operasi anti derivatif, anti diferensial, anti
turunan yang biasa disebut Operasi integral.
Dari contoh di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa anti turunan dari
-
integral 3
23f x x adalah 3 , konstantaF x x c c .
Dari pengertian bahwa integral adalah invers dari Operasi pendiferensialan,
maka apabila terdapat fungsi F x yang diferensial pada interval ,a b
sedemikian hingga 'df x
F x f xdx
maka anti turunan dari f x
adalah F x c , dan biasa kita tulis dengan notasi.
f x dx F x c . Notasi adalah notasi integral tak tentu.
Catatan :
Orang yang pertama kali memperkenalkan lambang sebagai lambang
integral adalah Leibniz, yang disepakati sebagai salah seorang penemu dari
Kalkulus.
Dari contoh di atas diperoleh hasil 2 33x dx x c
Dengan memperhatikan diferensial-diferensial di bawah ini:
1
1
1
1
' 1
'
1 1' 1
1 1
'1 1
nx
nx
n
n n
n
n n
F x x c F x
F x ax c F x a
F x x c F x xn n
a aF x x c F x ax
n n
maka diperoleh integral fungsi-fungsi aljabar :
-
integral 4
1
1
1
2
13 , 1
1
14 , 1
1
Dari integral adalah invers diferensial maka
5
6
n n
n n
a
dx x c
adx ax c
x dx x c nn
x dx x c nn
f x f x dx f x dx g x dx
af x dx f x dx
Contoh 1. Tentukan 3 2x x dx
Jawab:
3 4 2
4 2
1 12 2
4 2
1
4
x x dx x x c
x x c
Contoh 2. Integralkanlah 2
33 4x
Jawab:
23 6 3
7 4
7 4
3 4 9 24 16
1 19 24 16
7 4
96 16
7
x dx x x dx
x x x c
x x x c
Mengingat pendiferensialan fungsi-fungsi yang lain; yaitu:
Jika sinf x x maka ' cosf x x
Jika cosf x x maka ' sinf x x
Jika tanf x x maka 2' secf x x
Jika cotf x x maka 2' cscf x x
Jika secf x x maka ' sec tanf x x x
-
integral 5
Jika cscf x x maka ' csc cotf x x x
Jika xf x e maka ' xf x e
Jika lnf x x maka 'f x x
Dengan mengingat integral adalah operasi invers dari pendiferensialan, maka
akan diperoleh rumus-rumus pengintegralan.
2
2
7 cos sin
8 sin cos
9 sec tan
10 csc cot
11 sec tan sec
12 csc cot csc
13
14 ln
x
xdx x c
xdx x c
xdx x c
xdx x c
x xdx x c
x xdx x c
e dx e c
dxx c
x
Contoh 3. Gradien pada titik ,x y dari suatu kurva y f x diketahui
memenuhi hubungan 2 3dy
xdx
dan melalui 3,5 .
Tentukan persamaan kurvanya.
Jawab:
Gradien kurva y f x adalah 2 3dy
xdx
2
2
Sehingga 2 3
12 3
2
3
y x dx
y x x c
y x x c
Melalui 23,5 5 3 3 3
5
c
c
Jadi persamaannya : 2 3 5y x x
-
integral 6
Jika suatu soal integral tak dapat diselesaikan dengan integral langsung,
mungkin dengan mensubstitusi variabel baru soal tersebut dapat dipecahkan.
2. Pengintegralan Dengan Substitusi
Menentukan integral fungsi yang dapat disederhanakan menjadi bentuk
n
f x d f x .
Mengacu pada rumus pengintegralan bentuk 11
, 11
n nx dx x c nn
,
maka pengintegralan 11
, 11
n nu dx u c nn
.
Contoh 1.
Tentukan 3 22x x dx
Jawab : Misalkan 3 2u x maka 2 2 13
3du x x dx du
Sehingga
3 2
1
2
1
2
93 2
12
3
1
3
1 2
3 3
22
9
x x dx u du
u du
u c
x c
Contoh 2. : 1
2 9
3
6
x dx
x x
Jawab :
2Misalkan 6 2 6
13
2
u x x du x dx
x dx du
-
integral 7
1 12 9 3
1
9
2
9
22 9
Sehingga :
13 2
6
1
2
1
1 2
2 3
36
4
dux dx
x x u
u du
u c
x x c
Contoh 3.
Integralkanlah 5sin 3xdx
Jawab:
25 2sin 3 sin 3 sin 3xdx x xdx
Misalkan cos3 3sin 3u x du xdx
1sin 3
3xdx du
Sehingga:
2 22 2
22
2 4
3 5
sin 3 sin 3 1 cos 3 sin 3
11
3
11 2
3
1 2 1cos3 cos 3 cos 3
3 9 15
x xdx x xdx
u du
u u du
x x x c
Latihan:
Tentukanlah:
1. 2
3 22 3x x dx 9. 3
sin
cos
xdx
x
2. 1
3 222x x dx 10. 2cos
sin
xdx
x
-
integral 8
3. 2
33
8
2
x dx
x 11. 3
tan
cos
xdx
x
4. 2
3 2
x dx
x 12. 2
cot
sin
xdx
x
5. 23 1 2x x dx 13.
tan 3 2
cos 3 2
x dx
x
6. 3 21 2x x dx 14. 2
sin 2
1 cos 2
xdx
x
7. 3 43 2x x dx 15. cos3
3 2sin 3
xdx
x
8. 22 3
xdx
x 16.
2
tan 1
cos
xdx
x
Tentukan pula antiderivatif dari soal-soal di bawah ini:
17. 3
4 3
xdx
x
24. 4 3cos 2 sin 2x xdx
18. 2
2
2
1
x xdx
x
25. 3 5sin 3 cos 3x xdx
19. 2
1
2 4
x dx
x x 26.
3cos3
xdx
20. 1
3
dx
a bx
27. 4sin xdx
21. 2
3
xdx
a bx
28. 4 2sin 3 cos 3x xdx
22. 5cos xdx 29. 3
21 cos3 sin3x xdx
23. 2 3sin cosx xdx 30. 3 4tan 3 sec 3x x dx
-
integral 9
3. Menentukan Hasil dari 2 2a x dx dengan Substitusi sinx t atau
cosy t
Bentuk-bentuk integral di atas dapat digunakan substitusi dengan
menggunakan bantuan sketsa geometri.
Contoh 1
Tentukan 24 x dx
Misalkan sin 2sin2
xt x t
2cosdx t
224cos 4 2cos
2
xt x t
2
2
Sehingga 4 2cos 2cos
2 2cos
2 1 cos 2
12 sin 2
2
x dx t tdt
tdt
t dt
t t c
Untuk mengembalikan hasil dalam t ini kembali ke variabel x digunakan
fungsi invers dari fungsi trigonometri, yang biasa kita kenal sebagai fungsi
siklometri.
1 1
1 1
1 1
Bahwa jika sin maka sin arcsin
cos maka cos arccos
tan maka tan arctan
f x x f x x x
f x x f x x x
f x x f x x x
Dengan hubungan jika siny x maka arcsinx y
-
integral 10
Dari persoalan di atas, dari
24 2 sin 2
2 2sin cos
x dx t t c
t t t c
sin arcsin2 2
x xt t yang berarti:
22
2
44 2arcsin 2
2 2 2
2arcsin 42 2
x x xx dx c
x xx c
Contoh 2:
Tentukan 29 4x dx
Jawab:
2 3Misalkan sin sin
3 2
3cos
2
2arcsin
3
xt x t
dx tdt
xt
229 4cos 9 4 3cos
3
xt x t
-
integral 11
2
2
2
2
3Sehingga 9 4 3cos cos
2
9cos
4
91 cos 2
4
9 1sin 2
4 2
9sin cos
4
9 2 2 9 4arcsin
4 3 3 3
9 2 3arcsin 9 4
4 3 2
x dx t tdt
tdt
t dt
t t c
t t t c
x x xc
x xx c
Contoh 3:
Tentukan 2 24
dx
x x
2
22
Misalkan tan 2 tan2
2sec
4sec 4 2sec
2
xt x t
dx tdt
xt x t
-
integral 12
2
22 2
2
2
2
1
2
2
2secSehingga
2 tan sec4
1 sec
4 tan
1sin cos
4
1sin sin
4
1sin
4
1
4sin
1
44
4
4
dx tdt
t tx x
tdt
t
t tdt
d t
t c
ct
cx
x
xc
x
Latihan:
Tentukanlah integral dari soal-soal di bawah ini:
1. 21 x dx 11. 3
2 24
dx
x
2. 225 x dx 12. 2 2 2
dx
x a x
3. 23 x dx 13. 2
52 24
x dx
x
4. 25 x dx 14. 2
32 2 2
x dx
a x
5. 29 4x dx 15.
2 29
dx
x x
6. 23 4x dx 16.
3 2 2x a x dx
-
integral 13
7. 25 3x dx 17. 1
2 24
dx
x x
8.
32 2
6
16 9xdx
x
18. 23 2x x dx
9. 2
22
x dx
x x 19.
25
dx
x
10. 3
2 24 24 27
dx
x x
20. 216 9
dx
x
4. Integral Parsial
Misalkan u dan v masing-masing fungsi yang diferensiabel dalam x , maka
diferensial dari y u v adalah :
d u v u dv v du
dan jika kedua ruas diintegralkan, akan diperoleh :
d uv udv vdu
uv udv vdu
Atau:
udv uv vdu
Rumus integral ini disebut rumus integral parsial dimana rumus ini biasa
digunakan apabila vdu mudah dicari dalam upaya mencari penyelesaian dari
udv yang secara langsung sulit.
Contoh 1.
Tentukan integral-integral :
a. 3x xdx
b. sin3x xdx
-
integral 14
Jawab:
a. Misalkan u x maka du dx
Dan 3dv x maka
1 3
2 22
3 3 3 33
v xdx x d x x c
3 3
2 2
3 3
2 2
3 5
2 2
3 5
2 2
2 2Sehingga 3 3 3
3 3
2 23 3 3
3 3
2 2 23 3
3 3 5
2 43 3
3 15
x xdx x x x dx
x x x d x
x x x c
x x x c
b. Misal u x du dx
1sin 3 sin 3 cos3
3dv xdx v xdx x c
1 1Sehingga sin 3 cos3 cos3
3 3
1 1cos3 sin 3
3 9
x xdx x x x dx
x x x c
Untuk soal-soal tertentu kadang-kadang diperlukan lebih dari sekali
memparsialkan.
Contoh 2.
Tentukanlah 2 cos 2 3x x dx
Jawab:
Misalkan 2u x maka 2du xdx dan cos 2 3dv x dx
Maka 1
cos 2 3 sin 2 32
v x dx x c
-
integral 15
Sehingga:
2 2
2
1 1cos 2 3 sin 2 3 sin 2 3 2
2 2
1sin 2 3 sin 2 3
2
x x dx x x x xdx
x x x x dx i
Integral sin 2 3x x dx dapat dicari dengan memparsialkan sekali lagi
1 1sin 2 3 cos 2 3 cos 2 3
2 2
1cos 2 3 cos 2 3
2
1 1cos 2 3 sin 2 3
2 4
x x dx x d x xd x
x x x dx
x x x c ii
Dari (i) dan (ii) diperoleh :
2 2
2
1 1 1cos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3
2 2 4
1 1 1sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3
2 2 4
x x dx x x x x x c
x x x x x c
Pengembangan :
Khusus untuk pengintegralan parsial berulang bentuk udv yang turunan ke-k
dari u adalah 0 (nol), dan integral ke-k dari v ada, maka integral berulang di
atas dapat ditempuh cara praktis sebagaimana contoh di bawah ini.
Contoh 1
Tentukanlah 2 cos 2 3x x dx
Jawab :
-
integral 16
Sehingga:
2 21 1 1cos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 32 2 2
x x dx x x x x x c
Contoh 2
Integralkanlah: 4 sin 2 3x x dx
Jawab:
Sehingga:
4 4 3 21 3sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3 cos 2 32 2
3 3sin 2 3 cos 2 3
2 4
x x dx x x x x x x
x x x c
Pengayaan :
Pengintegralan fungsi-fungsi trigonometri, kecuali dengan substitusi dapat
juga digunakan rumus-rumus reduksi di bawah ini:
1. 1
2sin cos 1sin sinn
n nu u nudu udun n
2. 1
2cos sin 1cos cosn
n nu u nudu udun n
3.
1 12
1 12
sin cos 1sin cos sin cos ,
sin cos 1sin cos ,
n mn m n m
n mn n
u u mu du u udu n m
m n n m
u u nu udu n m
m n n m
-
integral 17
Bukti:
1
1
1 1
1 2
1 2 2
1 2
1 2
1. sin sin sin
sin cos
sin cos cos sin
sin cos 1 cos sin cos
sin cos 1 cos sin
sin cos 1 1 sin sin
sin cos 1 sin 1
n n
n
n n
n n
n n
n n
n n
udu u udu
ud u
u u ud u
u u n u u udu
u u n u udu
u u n u udu
u u n udu n
1 2
sin
sin sin cos 1 sin
n
n n n
udu
n udu u u n udu
Jadi 1
2sin cos 1sin sinn
n nu u nudu uduu n
Contoh 1:
Tentukanlah 3sin 5 2x dx
Jawab:
3 3
2
1sin 5 2 sin 5 2 5 2
5
sin 5 2 cos 5 21 2sin 5 2 5 2
5 3 3
1 2sin 5 2 cos 5 2 cos 5 2
15 15
x dx x d x
x xx d x
x x x
-
integral 18
Contoh 2:
Tentukanlah 4cos 2 3x dx
Jawab:
4 4
3
2
3
3
1cos 2 3 cos 2 3 2 3
2
cos 2 3 sin 2 31 3cos 2 3 2 3
2 4 4
cos 2 3 sin 2 31 3 1cos 2 3 sin 2 3 2 3
8 8 2 2
1 3 3cos 2 3 sin 2 3 cos 2 3 sin 2 3 2 3
8 16 16
x dx x d x
x xx d x
x xx x d x
x x x x x c
5. Pengintegralan du
u
Dari 1
ln 'f x x f xx
maka lndx
x cx
Yang berarti lndu
u cu
Contoh 1:
Tentukanlah 2
2 21 x xe e dx
Jawab: misalkan 21 xu e maka 2 2 12
2
x xdu e dx e dx du
2x 2 2 2
3
2
1 1Sehingga 1-2
2 2
1 1
2 3
11
6
x
x
e dx u du u du
u c
e c
Contoh 2:
Tentukanlah 3 cossin xxe dx
Jawab :
Misalkan 3 cos sinu x du xdx
-
integral 19
3 cos
3 cos
Sehingga sin x u
u
x
xe dx e du
e c
e c
Contoh 3:
Integralkanlah 5 ln
dx
x x
Jawab:
Misalkan 5 lndx
u x dux
Sehingga 5 ln
ln
ln 5 ln
dx du
x x u
u c
x c
Contoh 4:
Integralkanlah log 2 3x dx
Jawab:
Misalkan ln 2 3 2
log 2 3ln10 2 3 ln10
x dxu x du
x
1 12 3 2 3
2 2du dx d x u x c
Sehingga,
1 1 2log 2 3 2 3 log 2 3 2 3
2 2 2 3 ln10
1 12 3 log 2 3
2 ln10
12 3 log 2 3
2 ln10
dxx dx x x x
x
x x dx
xx x c
-
integral 20
Contoh 5:
Integralkanlah sinxe xdx
Jawab:
sin cos
cos cos
cos cos
cos sin
cos sin sin
cos sin sin
2 sin cos sin
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
e xdx ex d x
e x xd e
e x e xdx
e x e d x
e x e x xd e
e x e x e xdx
e xdx e x e x c
Jadi 1
sin sin cos2
x xe xdx e x x c
B. Integral tertentu
1. Pengertian Integral Tertentu (Integral Riemann)
Gambar di samping
memperlihatkan daerah L
yang dibatasi oleh
y f x , sumbu x dari
x a sampai dengan x b
. Untuk mencari luas
daerah L ditempuh langkah-
langkah sebagai berikut.
Langkah pertama, interval ,a b dibagi menjadi n interval dengan panjang
masing-masing interval bagian 1 2 3, , , , nx x x x . Sedang pada masing-
masing interval ditentukan titik-titik 1 2 3, , , , nx x x x . Selanjutnya dibuat
persegipanjang-persegipanjang dengan panjang masing-masing
-
integral 21
1 2 3, , , , nf x f x f x f x dan lebar masing-masing
1 2 3, , , , nx x x x sehingga :
1 1
2 2
3 3
+
1 1 2 2 3 3
Luas persegipanjang pertama
Luas persegipanjang kedua
Luas persegipanjang ketiga
Luas persegipanjang ke-
Jumlah luas seluruh persegipanjang
n n
f x x
f x x
f x x
n f x x
f x x f x x f x x
1
n n
n
i i
i
f x x
f x x
Dan untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah
pada interval ,a b , notasi sigma di atas sering kita tulis dengan notasi.
Jumlah semua luas persegipanjang b
x a
f x x .
Jika n dibuat cukup besar maka jumlah luas di atas mendekati luas daerah L.
Sehingga luas daeah L adalah nilai limit jumlah di atas.
0lim
b
xx a
L f x x
Notasi tersebut di atas biasa ditulis dengan notasi integral tertentu atau
integral Riemann :
b
aL f x dx
Contoh 8
Tunjukkan dengan jalan mengarsir daerah yang ditunjukkan oleh
3
12 1x dx
-
integral 22
Jawab: Persamaan kurva 2 1y x
Integral di atas menyajikan daerah yang
dibatasi oleh kurva 2 1y x , sumbu x,
dengan garis-garis 1 dan 2x x , seperti
daerah yang diarsir di samping.
2. Menentukan nilai b
af x dx
Untuk menentukan nilai b
af x dx
dicari sebagai berikut :
Andaikan akan dicari luas daerah yang
dibatasi oleh y f x , sumbu x dari x a
sampai dengan x b . Misalkan luas daerah
yang dicari adalah L b , maka
, dan
0
b
a
c
a
c h
a
a
a
L b f x dx
L c f x dx
L c h f x dx
L a f x dx
Luas PQRU < luas PQSU < luas PQST
, 0
f c h L c h L c f c h h
L c h L cf c f c h h
h
Jika 0h maka
0 0 0lim lim lim
' '
h h h
L c h L cf c f c h
h
f c L c f c L c f c
Oleh karena hasil tersebut berlaku untuk setiap c pada interval [a,b] maka
-
integral 23
setiap ,x a b berlaku:
' sehinggaL x f x
L x f x dx
Jika F x adalah anti turunan dari f x maka
L x F x c ................................................ (1)
Dari 0L a , berarti 0, sehingga F a c c F a
1
b b
aa
L b F b c F b F a
f x dx F x F b F a
Contoh 9
Tentukan nilai integral dari 3
12 3x dx
Jawab:
3 32
11
2 2
2 3 3
3 3 3 1 3 1 18 4
14
x dx x x
-
integral 24
Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f x , sumbu x
dan garis x a dan garis x b .
Untuk daerah di atas sumbu x atau pada
interval , 0a x b f x untuk setiap x,
sehingga 0b
x a
f x x yang berarti
b
af x dx adalah positif.
Sedang daerah yang berada di bawah sumbu x atau b x c , maka 0f x
untuk setiap x.
Sehingga 0c
x b
f x x yang berarti
c
bf x dx adalah negatif. Sehingga
nilai integral c
bf x dx untuk daerah di bawah sumbu x bernilai negatif.
Contoh 10
a. Hitung 5
13x dx
b. Hitung luas daerah yang disajikan oleh integral di atas.
Jawab:
55
2
11
2 2
13 3
2
1 1 1 15 3 5 1 3 1 12 15 3
2 2 2 2
1 12 2 0
2 2
x dx x x
-
integral 25
Karena ada daerah yang terletak di bawah sumbu x, maka nilai integral
tertentunya negatif, sehingga luas daerah yang diarsir L I II , atau
3 5
1 3
3 5
2 2
1 3
2 2 2 2
3 3
1 13 3
2 2
1 1 1 13 3 3 1 3 1 5 3 5 3 3 3
2 2 2 2
1 1 1 14 9 3 12 15 4 9
2 2 2 2
14
2
L x dx x dx
x x x x
1 1 12 2 4
2 2 2
2 2
2 2 4
Jadi luas daerahnya = 4 satuan luas.
3. Menentukan Volume Benda Putar
Perhatikan gambar di bawah ini :
Untuk menentukan volume benda putar yang dibentuk oleh y f x yang
diputar mengelilingi sumbu-X pada interval [a,b] kita bagi-bagi benda tersebut
menjadi keratan-keratan, di mana setiap
keratan mempunyai volume :
2
i i iv f x x
-
integral 26
Sehingga volume keseluruhan :
2 2 atau b b
a av f x dx v y dx
4. Panjang Busur ( Materi Pengayaan)
Aplikasi lebih lanjut dari integral tertentu adalah untuk menghitung panjang
busur dari suatu garis lengkung dari kurva y f x .
Misalkan gambar di atas memperlihatkan kurva y f x , dan titik-titik A
dan B pada kurva y f x . Jika kurva y f x dan turunan-turunan
kontinu dalam interval [a,b], maka panjang busur AB dapat ditentukan sebagai
berikut :
Misalkan titik-titik ,P x y dan titik ,Q x x y y terletak pada kurva
y f x . Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan teorema
Pythagoras :
2 2s x y
Panjang busur AB dapat dinyatakan sebagai limit jumlah segmen-segmen s
yaitu :
0
2 2
0
2
0
lim
lim
lim 1
s
s
s
s s
x y
yx
x
-
integral 27
Hubungan di atas jika disjikan dalam notasi Riemann, akan menjadi :
2
1b b
a a
dys ds dy
dx
Contoh 1.
Tentukan panjang garis dengan persamaan y = x + 1 dari x = 1 sampai dengan
x = 5 !
Jawab:
Dari 1y x maka 1dy
dx. Panjang
busur AB:
25
1
52
1
5
1
5
1
1
1 1
2
2 5 2 1 2
4 2
dys dx
dx
dx
dx
x
Jadi panjang ruas 4 2AB satuan panjang.
Catatan : Kebenaran jawab ini dapat anda cek dengan menggunakan rumus
jarak dua titik A(1,2) dan B(5,6).
Untuk kurva-kurva yang disajikan dalam bentuk parameter x x t dan
y y t maka panjang busur AB dapat ditentukan dengan rumus :
2
1
2 2t
t
dx dys dt
dt dt
-
integral 28
Rumus ini diturunkan dari rumus
2
1b
a
dys dx
dx dengan menggunakan
substitusi:
dydy dy dt dt
dxdx dt dtdt
Contoh 2:
Tunjukkan bahwa keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah 2 r
Bukti :
Persamaan lingkaran di samping ini, jika disajikan
dalam persamaan parameter :
cosx r t
siny r t
Dari cos sindy
x r t r tdt
sin cosdx
y r t r tdt
. Sehingga keliling lingkarannya, digunakan rumus
untuk lingkaran di atas:
2
1
2 2
2 22 2 2 2 2
0 0
2 2
00
,
sin cos sin cos
2 0 2
t
t
dy dxs dt
dt dt
s t r t dt r t t dt
r dt r t r r
Dengan demikian terbukti bahwa keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah
2 r satuan panjang.
-
integral 29
Pilihlah jawaban dengan benar:
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva: 0x , 21x y , 1y , 3y
adalah:
a. 11
b. 40
3
c. 12
d. 32
3
e. 10
2. Hitunglah nilai dari
4
2
0
sin x dx
a. 1
8 2
b. 1
4 2
c. 1
8 4
d. 1
8 2
e. 1
4 4
3. Suatu objek bergerak sepanjang sumbu x dengan kecepatan gaya sebesar
2
1( )
1F x
x. Berapakah besar kerja yang dilakukan objek tersebut jika
bergerak dari 0x hingga 1x ?
a.
b. 16
c. ln 2
d. 4
e. ln8 ln 2
4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2x y dan 2x y adalah
a. 5
b. 3
2
c. 9
2
d.
e. 2
-
integral 30
5. Daerah yang dibatasi oleh kurva 0x , 1x y , 0y , 2y diputar
mengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terbentuk adalah
a. 26
3
b. 80
3
c. 22
3
d. 32
3
e. 62
3
6. Dengan menggunakan substitusi trigonometri, nilai dari integral 29
dx
x
adalah
a. sec d
b. 3sec
d
c. sec
d
d. 3tan d
e. tan
d
7. Nilai dari 1
0
2 xx e dx adalah
a. 1 2e
b. 1
c. 3 2e
d. 2e
e. 3
8. Nilai dari 3cos x dx adalah
a. 4sin
4
xC
b. 2 4sin sin
2 4
x xC
c. 4cos
4
xC
d. 3sin
sin3
xx C
e. 4cos
4
xC
-
integral 31
9. Hitunglah nilai dari 4
2
0
9 x x dx .
a. 147
2
b. 98
3
c. 6
d. 392
3
e. 8
3
10. Nilai dari
1 2
2
0
xxe dx
a. 1 1
2 4e
b. 21
4e
c. 21
14
e
d. 1
4
e. 3
4
11. Hitunglah nilai dari
4
2 4
0
tan secx x dx
a. 2 2
ln 12 2
b. 2 2
ln 12 2
c. 7
40
d. 4
35
e. 4
12. Carilah luas area yang dibatasi oleh kurva 23x y , 2 2x y , 2y ,
dan 3y seperti gambar di bawah ini:
-
integral 32
a. 8
b. 24
c. 40
d. 56
e. 64
13. Nilai dari
4
4
0
tan sec x x dx adalah
a. 2
b. 2 4
32 1024
c. 1
4
d. 3
4
e. 5
6
14. Carilah luas area antara parabola 216y x dan 2 4y x x .
a. 38
b. 72
c. 96
d. 102
e. 128
15. Hitunglah nilai dari cos
0
sin xxe dx
a. 1e e
b. 1e
c. 1 1e
d. 1
1e
e. 1
ee
-
integral 33
16. Carilah solusi untuk persamaan dy x
dx y dengan kondisi 3 4y .
Dengan demikian nilai dari 0y
a. 0
b. 1
c. 3
d. 5
e. 6
17. Hitunglah nilai dari 1
lne
dxx x
.
a. 0
b. 1
e
c. 1
d. e
e.
18. Hitunglah 1
1 2dx
x x.
a. 1
ln 2 ln 13
x x C
b. ln 1 ln 2x x C
c. 1
ln 1 ln 23
x x C
d. 2ln 2x x C
e. 1tan 1,5x C
19. Nilai dari
4
2
0
cos x dx adalah
a. 8
b. 1
8 2
c. 1
8 4
d. 1
8 4
e. 1
8 2
-
integral 34
20. Hitunglah integral 3 ln x x dx
a. 23 ln lnx x x C
b. 4 4
ln4 4
x xx C
c. 4 4lnx x x C
d. 4 4
ln4 16
x xx C
e. 2 23 lnx x x C
21. Carilah nilai integral tertentu 1
1
sinx x dx
a. 1
b. 2
c. 2
d. 2
2 2
e. 0
22. Carilah luas area yang dibatasi oleh fungsi 28f y y dan
2 5g y y .
a. 22
3
b. 32
3
c. 16
3
d. 12
e. 30
23. Carilah nilai dari integral
4
2 2
0
sin cos x x dx
a. 32
b. 0
c. 1
32 32
d. 2
32 32
e. 2
32 32
-
integral 35
24. Carilah nilai dari integral 1
0
xxe dx
a. e
b. 2
e
c. 0
d. 1e
e. 1
25. Carilah nilai dari integral 8
3
3
1
xdx
x
a. 32
b. 3 8 3 3
c. 7
d. 62
e. 12
26. Hitunglah luas area yang dibatasi oleh kurva 2 2y x dan 3y x dengan
batasan 0x hingga 2x .
a. 1
b. 0
c. 2
3
d. 1
3
e. 1
6
27. Hitunglah integral 2
1
3 4dx
x x
a. 22 3 4x x C
b. 1 2sin 3 4x x C
c. 1tan 2x C
d. 1sin 2x C
e. 1tan 1x C
28. Jika y adalah penyelesaian dari 5
2
2'
xy
y, 1 1y , maka nilai y untuk
2x adalah
a. 4
b. 0
c. 1
d. 2
e. 3
-
integral 36
29. Jika 0b dan 2
0 0
b b
x dx x dx , maka area yang diarsir pada gambar di
bawah ini adalah
a. 1
12
b. 1
6
c. 1
4
d. 1
3
e. 3
2
30. Carilah nilai dari integral 1
2
01
xdx
x.
a. 1
b. 4
c. 12
tan2
d. log 2
e. log 2