turunan di rn 1

Download Turunan Di Rn 1

Post on 30-Oct-2014

161 views

Category:

Documents

13 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Fungsi n VariabelLimit dan Kekontinuan Turunan Parsial Aturan Rantai Turunan Berarah dan Vektor GradienHanya digunakan di Universitas Indonesia

Mahasiswa mampu 1. Memodelkan suatu situasi nyata serta menjelaskan makna setiap suku dalam ekspresi fungsi tersebut. 2. Merepresentasikan sebuah fungsi dua peubah sebagai grafik permukaan, dan membuat sketsa kurva ketinggian dengan bantuan TIK. 3. Memvisualisasikan grafik permukaan dan kurva ketinggian secara tepat. 4. Menghitung turunan parsial dan gradien 5. Menggunakan gradien untuk mencari bidang singgung, turunan berarah, dan menginterpretasikan secara geometriHanya digunakan di Universitas Indonesia

Mahasiswa mampu: 6. Menggunakan aturan rantai untuk mengevaluasi turunan fungsi n peubah. 7. Mencari dan mengklasifikasikan titik kritis dari fungsi multivariabel dengan menggunakan uji turunan kedua. 8. Menggunakan metode Lagrange untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi multivariabel dengan kendala. 9. Menggunakan metode kuadrat terkecil untuk melakukan prediksi.Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Fungsi dua variabel : adalah aturan f yang mengaitkan setiap pasangan terurut di daerah asal D yang berupa bidang dengan tepat sebuah bilangan real, ditandai oleh

Himpunan nilai-nilai f disebut jangkauan. disebut variabel bebas fungsi dan z adalah variabel terikat.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Tentukanlah daerah asal dari fungsi .

Penyelesaian Daerah asal dari f adalah semua (x,y) sedemikian sehingga y ^2 -x 0 dan titik (2,0) tidak termasuk.

y2 x

Dari ketaksamaan y^ 2- x diperoleh daerah adadaaa .

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Grafik fungsi dua variabel adalah gambar dari persamaan berupa permukaan di ruang dengan koordinat titiknya adalah yang memenuhi persamaan . Setiap titik di daerah asal berkorespondensi dengan tepat satu titik z.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Sketsalah grafik dari

Penyelesaian : Cari titik-titik potong bidang terhadap sumbu-sumbu koordinat Cartesius seperti berikut :

Titik potong bidang dengan sumbu x, y dan z adalah : (0,0,6),(0,12,0),(18,0,0).

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Sketsalah grafik dari .

Penyelesaian Mula-mula gambar grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan . Berikutnya gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda, misalnya z=1, z=2, z=3, dst., dengan daerah alas berbentuk lingkaran x^2/+/y^2/=/9-z/

z 9 y2

z 8 z 6 z7 z 5 z 3

z4 z2

z 1

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

z 9 y2

Bila kita perhatikan kedua grafik ini, grafik persamaan menjadi grafik paraboloida.

z 8 z 6 z7 z 5 z 3

z4 z2

z 1

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

.

Sketsalah grafik dari .

Penyelesaian Grafik ini ekivalen dengan grafik persamaan 2x^2+y^2+2z^2=4 di atas bidang z=0 Gambar dulu grafik ketika x=0 (atau y=0) yaitu grafik persamaan y^2+2z^2=4 Gambar kurva untuk nilai z tetap yang berbeda-beda dengan daerah alas berbentuk elipsHanya digunakan di Universitas Indonesia

Grafik persamaan f menjadi grafik elipsioda.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Untuk menggambar permukaan dari fungsi seringkali amat sukar. Cara lain yang lebih mudah adalah dengan menggambarkan peta kontur. Setiap bidang z=c memotong permukaan di suatu kurva. Proyeksi kurva ini di bidang-xy disebut kurva ketinggian. Himpunan kurva-kurva ketinggian inilah yang disebut sebagai peta kontur.Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Sketsalah peta kontur untuk seperti pada Contoh 3. Penyelesaian: Gambarlah kurva-kurva dari pada ketinggian z=-4; -3; -2; 1; 0; 1; 2; 3; dan 4 Kurva-kurva ini berbentuk lingkaran.

Peta kontur

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Peta Kontur

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Secara intuitif, ide limit untuk fungsi dua variabel serupa dengan ide limit pada fungsi satu variabel. Suatu nilai fungsi f(x,y) dikatakan mendekati L apabila (x,y) juga mendekati titik (a,b). Masalah : pada limit fungsi dua variabel, (x,y) menghampiri (a,b) dari segala arah.

y

b

a

x

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Fungsi f(x,y) dikatakan memiliki limit L apabila (x,y) mendekati (a,b) jika: untuk setiap > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap (x,y) di daerah asal f yang memenuhi maka

Penulisannya adalah

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Misalkan Maka:

dan

Jika m, n adalah bilangan bulat dan n0 , makaHanya digunakan di Universitas Indonesia

Bila sifat limit kita aplikasikan pada fungsi polinom atau fungsi rasional, maka menghitung limit fungsi apabila dapat dilakukan dengan menghitung nilai fungsi di . Contoh: Carilah

Penyelesaian:

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

1. Carilah

2. Tunjukkan

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Tunjukkan bahwa f yang didefinisikan sebagai tidak memiliki limit di titik asal (0,0). Penyelesaian:

Fungsi f memiliki nilai di seluruh bidang kecuali di titik asal (0,0). Nilai f di sumbu-x, kecuali di titik asal, adalah Akibatnya,

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Nilai f di sumbu-y, kecuali di titik asal, adalah

Sehingga, nilai limit fungsi jika menuju titik asal dari sumbu-y adalah

Jadi, fungsi f tidak memiliki limit di (0,0) karena terdapat sembarang titik dekat (0,0) yang bernilai 1, sedangkan titik lain yang juga dekat dengan (0,0) memiliki nilai -1.Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Jika fungsi memiliki nilai limit yang berbeda dari dua lintasan mendekati , maka tidak ada.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Tunjukkan bahwa fungsi

tidak memiliki limit di titik asal (0,0).

Petunjuk: Carilah nilai fungsi f di garis y=mx, dengan m konstanta yang berubah-ubah dan x0.Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Untuk setiap nilai m , fungsi f bernilai konstan sepanjang garis y=mx, x0 karena

Nilai limit fungsi f pada saat y=mx berubah-ubah sesuai dengan nilai m, sebab

Akibatnya, f tidak punya limit di (0,0).Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Fungsi f dikatakan kontinu di titik (a,b) jika1. f terdefinisi di (a,b) 2. 3. ada

Fungsi f dikatakan kontinu apabila f kontinu di setiap titik di daerah asal.Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Secara intuitif, fungsi dua variabel yang kontinu tidak memiliki lompatan, perubahan yang fluktuatif atau perilaku tak terbatas di sekitar (a,b). Fungsi polinom selalu kontinu di setiap di bidang. Fungsi rasional juga kontinu di seluruh bidang kecuali di titik-titik yang memberikan nilai pembaginya sama dengan nol. Dengan menggunakan sifat limit, kita dapat mengatakan bahwa penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian fungsi-fungsi kontinu juga kontinu (dengan mengasumsikan bahwa pembagi nol diabaikan). Hanya digunakan di UniversitasIndonesia

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Bidang y=y0 (PQR) memotong permukaan z=f(x,y) di kurva z=f(x,y0) (busur QR). Kurva ini adalah grafik dari fungsi z=f(x,y0) yang merupakan fungsi satu variabel x. Turunan parsial f terhadap x di titik (x0,y0) adalah turunan biasa dari f(x,y0) terhadap x di x0.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

1.

Nilai turunan parsial dari f terhadap x pada titik (x0,y0) memiliki arti geometri: Kemiringan kurva z=f(x,y0) (busur QR) di titik

pada bidang y=y0 (PQR). ATAU 2. Laju perubahan dari f di (x0,y0) terhadap x dengan menganggap y tetap yaitu y=y0.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Turunan Parsial terhadap x

Turunan Parsial terhadap y

Turunan parsial f(x,y) terhadap x pada titik (x0,y0) adalah

Turunan parsial f(x,y) terhadap y pada titik (x0,y0) adalah

dengan asumsi limitnya ada.

dengan asumsi limitnya ada.

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Carilah nilai dari f/x dan f/y di (2,3) dari Penyelesaian : Untuk mencari f/x, pandang y sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap x : Untuk mencari f/y, pandang x sebagai suatu konstanta kemudian turunkan f terhadap y:

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

1.

Cari turunan parsial dari

dan

di

2.

Tentukan

dan

dari

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Pada fungsi satu variabel,jika fungsi terturunkan di suatu titik maka fungsi tersebut kontinu di titik tersebut. Berbeda dengan fakta tersebut, pada fungsi dua atau lebih variabel, turunan parsial terhadap x dan terhadap y di suatu titik tidak menjamin kekontinuan fungsi di titik tersebut. Jika turunan parsial dari z=f(x,y) ada dan turunan parsial tersebut kontinu di seluruh cakram yang berpusat di (x0,y0), barulah kita katakan fungsi kontinu di (x0,y0). Perhatikanlah contoh berikut.Hanya digunakan di UniversitasIndonesia

Misalkan dan ada di titik asal (0,0), yaitu: adalah 0, kecuali di

Nilai f sepanjang garis titik (0,0). Maka,

Karena dan tak kontinu di (0,0). Namun demikian, turunan parsial ada di titik asal (0,0).

maka f dan

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Ada 4 macam turunan orde dua dari fungsi dua variabel

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Carilah turunan parsial kedua dari fungsi

Penyelesaian :

Hanya digunakan di Universitas Indonesia

Pada fungsi dua variabel, keterturunan juga berkaitan dengan eksistensi bidang singgung. Namun, keterturunan fungsi dua variabel memerlukan lebih dari sekedar turun