integral garis atina ahdika, s.si, m · pdf fileberubah dari a ke b. ... lihat jumlah riemann...

Integral Garis

Kalkulus Multivariabel IIntegral Garis

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

2014

Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I

Integral Garis

Integral GarisKerjaLatihanPustaka

Integral Garis

Salah satu jenis generalisasi integral tentub∫af (x)dx diperoleh

dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkanmenjadi himpunan berdimensi dua dan berdimensi tiga.Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh denganmenggantikan [a, b] dengan kurva C pada bidang xy . Integral yangdihasilkan

∫C

f (x , y)ds disebut integral garis atau integral kurva.


Integral Garis


Misalkan C adalah sebuah kurva bidang mulus; dalam hal ini,misalkan C dinyatakan secara parametris dengan

x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b

di mana x ′ dan y ′ kontinu dan tidak secara simultan nol pada(a, b).


Integral Garis


Kita mengatakan bahwa C berorientasi positif jika arahnyaberhubungan dengan peningkatan nilai-nilai t. Andaikan Cberorientasi positif dan C hanya dapat ditelusuri sekali ketika tberubah dari a ke b. Jadi, C mempunyai titik awalA = (x(a), y(a)), dan titik akhir B = (x(b), y(b)). Perhatikanpembagian partisi P dari selang parameter [a, b] yang diperolehdengan memasukkan titik-titik

a = t0 < t1 < t2 < . . . < tn = b


Integral Garis


Partisi dari [a, b] ini menghasilkan pembagian kurva C menjadi nsubbusur Pi−1Pi di mana titik Pi berhubungan dengan ti .


Integral Garis


Misalkan ∆si melambangkan panjang busur Pi−1Pi dan misalkan|P| merupakan aturan untuk mempartisi P; yaitu misalkan |P|adalah ∆ti terbesar = ti − ti−1. Pilih sebuah titik contoh Qi (xi , yi )pada subbusur Pi−1Pi .Selanjutnya, lihat jumlah Riemann

n∑i=1

f (xi , yi )∆si


Integral Garis


Jika f taknegatif, jumlah ini akan menghampiri luas tirai vertikalmelengkung yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.


Integral Garis


Jika f kontinu pada daerah D yang mengandung kurva C , makajumlah Riemann ini memiliki sebuah limit ketika |P| → 0. Limit inidisebut integral garis dari f di sepanjang C dari A ke Bterhadap panjang busur, dalam hal ini∫

C

f (x , y)ds = lim|P|→0

n∑i=1

f (xi , yi )∆si


Integral Garis


Untuk f (x , y) ≥ 0, fungsi tersebut mewakili luas eksak dari tiraimelengkung. Hasil perhitungan terbaik dapat dicapai denganmenyatakan segala sesuatunya dengan menggunakan parameter tdan menghasilkan integral tentu biasa. Dengan menggunakands =

√[x ′(t)2] + [y ′(t)2] akan dihasilkan

∫C

f (x , y)ds =

b∫a

f (x(t), y(t))√

[x ′(t)2] + [y ′(t)2]dt


Integral Garis


Definisi dari sebuah integral garis dapat diperluas untuk kasus dimana C , meskipun tidak mulus seluruhnya, adalah mulussepotong-sepotong yaitu, terdiri dari beberapa kurva mulusC1,C2, . . . ,Ck yang digabung, seperti ditunjukkan Gambar 3.4.Kita tinggal mendefinisikan integral di sepanjang C sebagai jumlahdari integral-integral pada kurva-kurva individunya.


Integral Garis


Contoh 1:Hitung

∫C

x2y ds, di mana C ditentukan oleh persamaan parametrik

x = 3 cos t, y = 3 sin t, 0 ≤ t ≤ π/2. Tunjukkan pula bahwaparametrisasi x =

√9− y2, y = y , 0 ≤ y ≤ 3 menghasilkan nilai

yang sama.


Integral Garis


Penyelesaian:

I Parametrisasi I

∫C

x2y ds =

π/2∫0

(3 cos t)2(3 sin t)√

(−3 sint)2 + (3 cos t)2dt

= 81

π/2∫0

cos2 t sin t dt =

[−81

3cos3 t

]π/20

= 27 �


Integral Garis


I Parametrisasi II

da =

√1 +

(dx

dy

)2

dy =

√1 +

y2

9− y2dy =

3√9− y2

dy

dan

∫C

x2y ds =

3∫0

(9− y2)y3√

9− y2dy

= 3

3∫0

√9− y2y dy

= −[(9− y2)3/2]30 = 27 �


Integral Garis


Contoh 2:Sebuah kabel tipis dibengkokkan dalam bentuk setengah lingkaran

x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ π, a > 0

Jika kerapatan kabel di sebuah titik sebanding dengan jaraknyadari sumbu x , tentukan massa dan pusat massa kabel tersebut.


Integral Garis


Penyelesaian:Gunakan prinsip iris, hampiri, dan integralkan. Massa seutas kabeldengan panjang ∆s dapat dihampiri dengan δ(x , y)∆s, di manaδ(x , y) = ky adalah kerapatan di (x , y) (k adalah konstanta).Jadi, massa m di seluruh kabel adalah

m =

∫C

ky ds =

π∫0

ka sin t√a2 sin2 t + a2 cos2 tdt

= ka2π∫

0

sin t dt = [−ka2cos t]π0 = 2ka2


Integral Garis


Momen kabel tersebut terhadap sumbu x dinyatakan dengan

Mx =

∫C

y ky ds =

π∫0

ka3 sin2 t dt

=ka3

2

π∫0

(1− cos 2t)dt

=ka3

2

[t − 1

2sin 2t

]π0

=ka3π

2

Jadi,

y =Mx

m=

12ka

3π

2ka2=

1

4πa

Berdasarkan sifat simetri, x = 0, sehingga pusat massanya ada di(0, πa/4). �


Integral Garis


Contoh 3:Tentukan massa dari seutas kabel dengan kerapatan δ(x , y , z) = kzjika kabel ini mempunyai bentuk heliks C dengan parametrisasi

x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4t 0 ≤ t ≤ π


Integral Garis


Penyelesaian:

m =

∫C

kz ds = k

π∫0

(4t)√

9 sin2 t + 9 cos2 t + 16dt

= 20k

π∫0

t dt =

[20k

t2

2

]π0

= 10 kπ2 �

Satuan untuk m bergantung pada panjang dan kerapatannya.


Integral Garis


Kerja

Andaikan gaya yang bekerja pada sebuah titik (x , y , z) dalamruang dinyatakan dengan medan vektor

F (x , y , z) = M(x , y , z)i + N(x , y , z)j + P(x , y , z)k

di mana M,N, dan P kontinu. Kita akan menentukan kerja Wyang dilakukan oleh F pada sebuah partikel yang bergerak disepanjang kurva berorientasi yang mulus, C .


Integral Garis


Misalkan r = x i + y j + zk adalah vektor posisi untuk titikQ(x , y , z) pada kurva tersebut (Gambar 3.5). Jika T adalah vektorsinggung satuan dr/ds di Q, maka F . T adalah komponensinggung dari F di Q.


Integral Garis


Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel tersebutdari Q dalam jarak pendek ∆s di sepanjang kurva tersebut dapatdihampiri sebesar F . T∆s, dan konsekuensinya kerja yangdilakukan untuk memindahkan partikel dari A ke B di sepanjang Cdidefinisikan dengan

∫C

F . T ds. Dengan T = (dr/dt)(dt/ds),

sehingga rumus alternatif untuk kerja adalah sebagai berikut

W =

∫C

F . T ds =

∫C

F.dr

dtdt =

∫C

F.dr

dengan dr = dx i + dy j + dzk, maka

F .dr = (M i + Nj + Pk).dx i + dy j + dzk = Mdx + Ndy + Pdz

sehingga

W =

∫C

F.dr =

∫C

Mdx + Ndy + Pdz


Integral Garis


Contoh 1:Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya hukum kuadratinvers

F (x , y , z) =−cr|r|3

=−c(x i + y j + zk)

(x2 + y2 + z2)3/2= M i + Nj + Pk

untuk menggerakkan sebuah partikel di sepanjang kurva garis lurusC dari (0, 3, 0) ke (4, 3, 0) seperti ditunjukkan gambar.


Integral Garis


Penyelesaian:Di sepanjang C , y = 3 dan z = 0, sehingga dy = dz = 0. Denganmenggunakan x sebagai parameter, diperoleh

W =

∫C

Mdx + Ndy + Pdz = −c∫C

x dx + y dy + z dz

(x2 + y2 + z2)3/2

= −c4∫

0

x

(x2 + 9)3/2dx =

[c

(x2 + 9)1/2

]40

=−2c

15�


Integral Garis


Contoh 2:Hitung integral garis ∫

C

(x2 − y2) dx + 2xy dy

di sepanjang kurva C yang persamaan parametriknya adalahx = t2, y = t3, 0 ≤ t ≤ 3

2 .Penyelesaian:Karena dx = 2t dt dan dy = 3t2 dt,∫C

(x2 − y2) dx + 2xy dy =

3/2∫0

[(t4 − t6)2t + 2t5(3t2)]dt

=

3/2∫0

(2t5 + 4t7)dt =8505

512≈ 16.61 �


Integral Garis


Contoh 3:Hitunglah

∫C

xy2 dx + xy2 dy di sepanjang lintasan C = C1 ∪ C2

seperti ditunjukkan gambar. Hitung pula integral ini di sepanjanglintasan lurus C3 dari (0, 2) ke (3, 5).


Integral Garis


Penyelesaian:

I Pada C1, y = 2, dy = 0, dan

∫C1

xy2 dx + xy2 dy =

3∫0

4x dx = [2x2]30 = 18

I Pada C2, x = 3, dx = 0, dan

∫C2

xy2 dx + xy2 dy =

5∫2

3y2 dy = [y3]52 = 117

Kita dapat menyimpulkan bahwa∫C2

xy2 dx + xy2 dy = 18 + 117 = 135


Integral Garis


I Pada C3, y = x + 2, dy = dx , sehingga

∫C3

xy2 dx + xy2 dy = 2

3∫0

x(x + 2)2dx

= 2

3∫0

(x3 + 4x2 + 4x)dx

= 2

[x4

4+

4x3

3+ 2x2

]30

=297

2

Perhatikan bahwa kedua lintasan dari (0, 2) ke (3, 5) menghasilkannilai yang berbeda untuk integral ini. �


Integral Garis


Latihan

1. Hitunglah setiap integral garis berikut

a.∫C

(x3 + y)ds; C adalah kurva x = 3t, y = t3, 0 ≤ t ≤ 1

b.∫C

xey ds; C adalah ruas garis dari (−1, 2) ke (1, 1)

c.∫C

(x + 2y)dx + (x − 2y)dy ; C adalah ruas garis dari (1, 1) ke

(3,−1)


Integral Garis


Pustaka

I Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

I Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem ofAdvanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: McGraw-Hill.

I Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus ,Jilid 2. Jakarta : Erlangga.

I Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 SolvedProblems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.


integral garis atina ahdika, s.si, m · pdf fileberubah dari a ke b. ... lihat jumlah riemann...

Documents