integral dalam ruang berdimensi n integral lipat-dua atas ... · perhitungan pada integral...

Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang

Kalkulus Multivariabel IIntegral dalam Ruang Berdimensi n:


Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

2014

Atina Ahdika, S.Si, M.Si Kalkulus Multivariabel I


PendahuluanIntegral Lipat-DuaSifat-Sifat Integral Lipat-DuaPerhitungan pada Integral Lipat-DuaLatihanPustaka

Pendahuluan

Masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakanintegral pada ruang berdimensi n memiliki prinsip yang samadengan integral pada satu variabel

Kita akan menggunakan integral lipat untuk menghitungvolume benda padat, luas permukaan, dan pusat massa darilapisan tipis (lamina), dan benda-benda padat denganberbagai kerapatan

Pengintegralan berlipat ini akan disederhanakan menjadipengintegralan tunggal berurutan di mana Teorema DasarKalkulus Kedua memainkan peranan yang penting




Ingat kembali mengenai integral Riemann pada fungsi satu variabeldi mana kita membagi interval [a, b] menjadi interval-interval kecildengan panjang ∆xk , k = 1, 2, . . . , n, berdasarkan partisip : x1 < x2 < . . . < xk mengambil sebuah titik contoh xk dariinterval ke-k , kemudian

b∫a

f (x)dx = lim|p|→0

n∑k=1

f (xk)∆xk




Integral Lipat-Dua

Misalkan f (x , y) kontinu pada himpunan berbentuk persegipanjang R yaitu

R = {(x , y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}

Bentuk partisi p pada himpunan R yaitu garis-garis yang sejajardengan sumbu x dan sumbu y menjadi persegi panjang-persegipanjang kecil dengan panjang sisi-sisinya masing-masing ∆xk dan∆yk .




Misalkan luas persegi panjang ke-k yaitu ∆Ak = ∆xk∆yk . Padapersegi panjang Rk ambil sebuah titik (xk , yk) sehingga dapatditentukan bentuk jumlah Riemann-nya yaitu

n∑k=1

f (xk , yk)∆Ak




Definisi: Integral Lipat-Dua

Misalkan f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikanpada sebuah persegi panjang tertutup R. Jika

lim|p|→0

n∑k=1

f (xk , yk)∆Ak ,

ada, maka f dapat diintegralkan di R.∫∫R

f (x , y)dA disebut integral lipat-dua dari f atas R dan dapat

dinyatakan dengan∫∫R

f (x , y)dA = lim|p|→0

n∑k=1

f (xk , yk)∆Ak




Contoh:Hampirilah

∫∫R

f (x , y)dA berikut dengan menghitung jumlah

Riemann di manaf (x , y) = 64−8x+y2

16 dan R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}Penyelesaian:




Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berhubunganpada fungsi tersebut adalah sebagai berikut

(x1, y1) = (1, 1), f (x1, y1) =57

16(x5, y5) = (3, 1), f (x5, y5) =

41

16

(x2, y2) = (1, 3), f (x2, y2) =65

16(x6, y6) = (3, 3), f (x6, y6) =

49

16

(x3, y3) = (1, 5), f (x3, y3) =81

16(x7, y7) = (3, 5), f (x7, y7) =

65

16

(x4, y4) = (1, 7), f (x4, y4) =105

16(x8, y8) = (3, 7), f (x8, y8) =

89

16




Karena ∆Ak = 4, maka diperoleh∫∫R

f (x , y)dA =8∑

k=1

f (xk , yk)∆Ak

= 48∑

k=1

f (xk , yk)

=4(57 + 65 + 81 + 105 + 41 + 49 + 65 + 89)

16= 138 �




Teorema Keterintegralan

Jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup R dan jikafungsi ini kontinu di R, kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus,maka f dapat diitegralkan pada R. Secara khusus, jika f kontinudi seluruh R, maka f dapat diintegralkan di R.




Sifat-Sifat Integral Lipat-Dua

1. Bersifat lineara.∫∫R

kf (x , y)dA = k∫∫R

f (x , y)dA;

b.∫∫R

[f (x , y) ± g(x , y)]dA =∫∫R

f (x , y)dA ±∫∫R

g(x , y)dA

2. Bersifat aditif (penjumlahan) pada daerah yang salingtumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis∫∫

R

f (x , y)dA =

∫∫R1

f (x , y)dA +

∫∫R2

f (x , y)dA




3. Perbandingan pada integral lipat-dua, jika f (x , y) ≤ g(x , y)untuk seluruh (x , y) di R, maka∫∫

R

f (x , y)dA ≤∫∫R

g(x , y)dA




Perhitungan pada Integral Lipat-Dua

Jika f (x , y) = 1 di R maka integral lipat-dua merupakan luas dariR, ∫∫

R

kdA = k

∫∫R

1dA = kA(R)

Contoh:Misalkan f adalah fungsi tangga, yaitu misalkan

f (x , y) =

1 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 12 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 23 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3

Hitung∫∫R

f (x , y)dA di mana R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3}.




Penyelesaian:Buat persegi panjang R1, R2, dan R3 sebagai berikut

R1 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}R2 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2}R3 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3}




Dengan menggunakan sifat penjumlahan pada integral lipat-duadiperoleh:∫∫R

f (x , y)dA =

∫∫R1

f (x , y)dA +

∫∫R2

f (x , y)dA +

∫∫R3

f (x , y)dA

= 1A(R1) + 2A(R2) + 3A(R3)

= 1(3) + 2(3) + 3(3) = 18 �




Latihan

1. Misalkan R = {(x , y) : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2}, hitung∫∫R

f (x , y)dA di mana f (x , y) =

{2 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 23 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2

2. Misalkan:

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}

R1 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}

R2 = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}




Misalkan pula:∫∫R

f (x , y)dA = 3,∫∫R

g(x , y)dA = 5, dan∫∫R1

g(x , y)dA = 2. Hitunglah:

a.∫∫R

[3f (x , y)− g(x , y)]dA

b.∫∫R1

[2g(x , y) + 3]dA

3. Hitunglah∫∫R

(1 + x)dA di mana

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. (Petunjuk: sketsalahbenda padat tersebut).




Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem ofAdvanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: McGraw-Hill.

Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus ,Jilid 2. Jakarta : Erlangga.

Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 SolvedProblems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.


integral dalam ruang berdimensi n integral lipat-dua atas ... · perhitungan pada integral...

Documents