integral lipat dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · integral lipat dua definisi integral lipat...

35
Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika Integral Lipat Dua

Upload: others

Post on 05-Nov-2020

31 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

Universitas Indonusa Esa Unggul

Fakultas Ilmu Komputer

Teknik Informatika

Integral Lipat Dua

Page 2: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 2

Integral Lipat Dua

Z=f(x,y)

x

y

z

b

a

R

c d

xkyk

1. Bentuk partisi [a,b] dan [c,d] menjadi n bagian.

2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1]

3. Bentuk jumlah Riemann.

4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann.

Jika limit ada, maka z = f(x,y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis

)y,x( kk

n

i

n

ikkk Ayxf

1 1

),(

n

i

n

ikkk

nAyxf

1 1

),(lim

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d}

n

i

n

ikkk

nR

AyxfdAyxf1 1

),(lim),(

)y,x( kk

Page 3: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 3

Integral Lipat Dua

Definisi integral lipat dua :

Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R.

n

k

kkkP

Ayxf

10

),(limJika ada, kita katakan f dapat

diintegralkan pada R. Lebih lanjut RR

dxdy)y,x(fdA)y,x(f

R

dAyxf ),(

n

k

kkkP

Ayxf

10

),(lim

yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh :

R

dydx)y,x(f

n

1k

kkkk0P

yx)y,x(flim

atau

Page 4: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 4

Arti Geometri Integral Lipat Dua

Jika z = f(x,y) kontinu, f(x,y) 0 pada persegpanjang R,

makaR

dAyxf ),( menyatakan volume benda padat yang

terletak di bawah permukaan permukaan z = f(x,y) dan

di atas R.

Page 5: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 5

Menghitung Integral Lipat Dua

Jika f(x,y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu:

(i) Sejajar bidang XOZ

y

x

z z= f(x,y)

ca

b

d

a b

z

x

A(y)

b

a

dxyxfyA ),()(

A(y)

Page 6: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 6

Menghitung Integral Lipat Dua

(Lanjutan)d

cR

dyyAAdyxf )(),(d

c

b

a

dydxyxf ),(d

c

b

a

dydxyxf ),(

Maka

R

dAyxf ),(d

c

b

a

dydxyxf ),(

Page 7: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 7

Menghitung Integral Lipat Dua

(lanjutan)

(ii) Sejajar bidang YOZ

y

x

z z= f(x,y)

ca

b

d

c d

z

y

A(x)

d

c

dyyxfxA ),()(

A(x)

Page 8: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 8

Menghitung Integral Lipat Dua

(Lanjutan)b

aR

dxxAAdyxf )(),(b

a

d

c

dxdyyxf ),(b

a

d

c

dxdyyxf ),(

Maka

R

dAyxf ),(b

a

d

c

dydxyxf ),(

Page 9: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 9

Contoh

1. Hitung integral lipat dua berikut ini :R

dAyx 22 2

dimana R = {(x,y) | 0 x 6, 0 y 4}

Jawab:

R

dAyx 22 2

6

0

4

0

22 2 dxdyyx

6

0 0

432

3

2dxyyx

6

0

2

3

1284 dxx

0

63

3

128

3

4xx 544256288

R

6

4

y

x

Page 10: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 10

Contoh

R

dAyx 22 2

4

0

6

0

22 2 dydxyx

4

0 0

623 2

3

1dyxyx

4

0

21272 dyy

0

43472 xx 544256288

Atau,

Page 11: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 11

Contoh

2. Hitung integral lipat dua berikut ini :R

dAyxsin

dimana R = {(x,y) | 0 x /2, 0 y /2}

R

/2

/2

y

x

Jawab:

R

dAyxsin

2/

0

2/

0

sin dxdyyx

2/

0 0

2/

)cos( dxyx

6

0

cos2

cos dxyy

2/

0

2/

0 2sinsin yy

22

sinsin2

sin

Page 12: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 12

Latihan

1

0

1

0

22

. dxdyexya yx

2

0

1

1

2. dxdyxyb

1

0

2

0

2 1. dxdy

x

yc

1. Hitung

2.R

dydxyxf , untuk fungsi

a. f(x,y)= (x + 2y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2]

b. f(x,y)= x2 + y2 dengan R = [0, 1] x [0, 1]

c. f(x,y)= y3 cos2x dengan R = [- /2, ] x [1, 2]

Page 13: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 13

Sifat Integral Lipat Dua

Misalkan f(x,y) dan g(x,y) terdefinisi di persegipanjang R

1.RR

dAyxfkdAyxfk ,,

2.RRR

dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,

3. Jika R = R1 + R2 , maka

21

,,,RRR

dAyxfdAyxfdAyxf

4. Jika f(x,y) g(x,y), maka

RR

dAyxgdAyxf ,,

Page 14: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 14

Integral Lipat Dua atas Daerah

Sembarang

Ada dua tipe

Tipe I

D = {(x,y) | a x b , p(x) y q(x) }

Tipe II

D = {(x,y) | r(y) x s(y) , c y d }

Page 15: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 15

Tipe I

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

D

a b x

q(x)

p(x)

y

b

a

xq

xpD

dxdyyxfdAyxf

)(

)(

),(),(

D={(x,y)| a x b, p(x) y q(x)}

x

y

Page 16: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 16

Tipe II

Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut :

d

c

)y(s

)y(rD

dydx)y,x(fdA)y,x(f

D={(x,y)|r(y) x s(y), c y d}

x

y

D

c

d

r (y) s (y)

x

Page 17: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 17

Aturan Integrasi

Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi).

Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya.

Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama.

Page 18: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 18

Contoh

1. Hitung R

x dAey2 ,R dibatasi x= y2, y =1, sumbu y

xR R

x dAey2

1

0 0

2

2y

x dydxey

1

00

2

2 dyeyy

x

1

0

122

dyey y

2111

0

22

eeyey

x

y

x = y2

1

1

R = {(x,y)| 0 x y2, 0 y 1}

Page 19: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 19

Contoh

Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu:

R

R

x dAey2

1

0

1

2x

x dxdyey

1

0

12 dxye

x

x

1

0

dyxee xx

1

0

xxx exee

R = {(x,y)| 0 x 1, x y 1}

y x

y

x = y2

1

1

2)11(2 eee

Page 20: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 20

Contoh4

0

2

2

2

.2 dxdyex

y

Daerah integrasinya R = {(x,y)| 0 x 4, x/2 y 2}Jawab:

x R

x

y

y = x/2

4

2

y

Diubah urutan pengintegralannya, yaitu:

R = {(x,y)| 0 x 2y, 0 y 2}Sehingga 4

0

2

2

2

dxdyex

y

2

0

2

0

2

dydxey

y

142

0

2

eey

2

0

2

0

2

dyxeyy

2

0

2

2 dyey y

x=2y

Page 21: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 21

Latihan

3

1

y3

y

y dydxex.13

2

0 0

dxdy

xsin

xcosy.2

1

0

1

x

y dxdye.52

4

0

13

.6 dydxey

x

1

0

2

0

2dxdy

1x

y.3

2

0

2

0

dydx)yxsin(.4

2

0

x4

0

dxdyyx.7

2

2

0 0

dxdy

xcos

xsiny.8

Page 22: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 22

Integral lipat dalam koordinat kutub/polar

Hitung D

yx dAe22

, D={(x,y)|x2+y2 4}

Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk

diselesaikan.

Sistem Koordinat Kutub

rP(r, )

x

y

=0 (sumbu kutub)

Hubungan Kartesius – Kutubx = r cos x2+y2=r2

y = r sin = tan-1(y/x)

22 yxr

Page 23: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 23

Transformasi kartesius ke kutub

Misalkan z = f(x,y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D

D={(r, )| a r b, }

?),(D

dAyxf

Sumbu Kutub

Ak

r=b

r=a

=

=

D

Ak

rk-1

rk

Pandang satu partisi persegipanjang kutub Ak

Luas juring lingkaran dengansudut pusat adalah ½ r2

Ak = ½ rk2 - ½ rk-1

2

= ½ (rk2 - rk-1

2) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1)= r r

Jika |P| 0, maka dA = r dr d (|P| panjang diagonal Ak)

Page 24: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 24

Transformasi kartesius ke kutub

Sehingga

pk DD

ddrrrrfdAyxf )sin,cos(),(

1. Hitung D

yx dAe22

, D={(x,y)|x2+y2 4}

Contoh:

2. Hitung D

dAy , D adalah daerah di kuadran I di dalamlingkaran x2+y2=4 dan di luar x2+y2=1

Page 25: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 25

Contoh

D

yx dAe22

.1 dengan D = {(x,y)| x2+y2 4}

D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0,0) jari-jari 2. D = {(r, )| 0 r 2, 0 2 }Sehingga

D

yx dAe22

2

0

2

0

2

ddrrer

14e

2

0

2

0

2

2

1der

2

0

4

2

1

2

1de

2

2

x

y

D r

Jawab.

Page 26: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 26

Contoh

D

dAy.2 dengan D adalah persegipanjang kutubdi kuadran I di dalam lingkaran x2+y2=4di luar x2+y2=1

D = {(r, )| 1 r 2, 0 /2}

Sehingga

D

dAr2/

0

2

1

sin ddrrr

3

7cos

3

7 2/

0

2/

0

2

1

3 sin3

1dr

2/

0

sin183

1d

21 x

y

D

r

Page 27: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 27

Latihan

1. Hitung 1

0

1

0

22

2

4x

dxdyyx

2. Hitung 1

0

1

0

22

2

)sin(

y

dydxyx

3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x2+y2 dan di dalam tabung x2 + y2 = 9dengan menggunakan koordinat kutub.

Page 28: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 28

D daerah sembarang/umum

1. D={(r, )| 1( ) r 2( ), }

2. D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)}

Sumbu Kutub

r= 2( )

r= 1( )

=

=

D

Sumbu Kutub

r=b

r=a

= 2(r)

= 1(r)D

Page 29: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 29

Tuliskan daerah integrasi dalam

koordinat polar

1 2

1

D={(r, )| 0 r 2 cos ,– /2 /2}

Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1,0) dan berjari-jari 1 D

Jadi, (x – 1)2 + y2 = 1

x2 – 2x + 1 + y2 = 1

x2 + y2 = 2x

r2 = 2r cos

r2 – 2r cos =0

r (r – 2 cos )=0

r = 0 atau r = 2 cos

Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2

Sehingga,

Page 30: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 30

Tuliskan daerah integrasi dalam

koordinat polar

D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}

= /4

1 2 x

y

D

x = 1 x = 2

y = 0 y = 22 xx

y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0

(x – 1)2 + y2 = 1

ini merupakan lingkaran pusat (1,0), jari-jari 1

Sehingga koordinat polarnya adalah

Untuk batas r dihitung mulai

x = 1 r cos = 1 r = sec

Untuk batas (dari gambar) =0 = /4

hingga r = 2 cos

Page 31: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 31

Tuliskan daerah integrasi dalam

koordinat polar

D={(r, )| 0 r 2 sin ,0 }

1

1

2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0,1) dan berjari-jari 1

Jadi, x2 + (y – 1)2 = 1

x2 + y2 – 2y + 1 = 1

x2 + y2 = 2y

r2 = 2r sin

r2 – 2r sin =0

r (r – 2 sin )=0

r = 0 atau r = 2 sin

Untuk batas (dari gambar) =0 =

Sehingga,

Page 32: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 32

Tuliskan daerah integrasi dalam

koordinat polar

1

1

D={(r, )| 0 r sec ,0 /4}

x = 0 x = 1

y = 0 y = x

Sehingga koordinat polarnya adalah

Untuk batas r

x = 1 r cos = 1 r = sec

Untuk batas (dari gambar) =0 = /4

D

Page 33: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 33

Contoh

1. Hitung 2

1

xx2

022

2

dydxyx

1

Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y:

x = 1 x = 2

y = 0 y = 22 xx

y2 = 2x – x2 x2 + y2 – 2x = 0

(x – 1)2 + y2 = 1

ini merupakan lingkaran dengan pusat (1,0), jari-jari 1

= /4

1 2 x

y

D

Koordinat polarnya adalah

D={(r, )| sec r 2 cos ,0 /4}

Page 34: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 34

Contoh (Lanjutan)

2

1

2

022

2

1xx

dxdyyx

4/

0

cos2

sec

.1

ddrrr

4/

0tanseclnsin2

4/

0

cos2

secdr

4/

0

seccos2 d

Sehingga,

0tan0secln0sin24

tan4

secln4

sin2

1ln12ln22

1.2 12ln2

Page 35: Integral Lipat Dua - ueu5069.weblog.esaunggul.ac.id · Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang

3/31/2013 KALKULUS LANJUT 35

Latihan

1. Hitung S

ddrr , S daerah dalam lingkaran r = 4 cosdan di luar r = 2

2. Hitung 1

0

12

x

dydxx

3. Hitung D

dAyx 224 , D daerah kuadran I darilingkaran x2+y2=1 antaray=0 dan y=x

(dengan koordinat kutub)