integral fungsi rasional1

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL 2009

Writing by [email protected] ‐ UMP Halaman 1

INTEGRAL FUNGSI RASIONAL

Jika deketahui suatu fungsi )()()(

xgxfxF = dimana f(x) dan g(x) merupakan polinom (suku

banyak) maka fungsi F(x) disebut sebagai fungsi pecahan rasional. Jika derajat dari f(x)

lebih kecil daripada derajat g(x), maka F(x) disebut fungsi rasional sebenarnya (proper

rational function), sebaliknya jika derajat dari f(x) lebih besar daripada derajat g(x), maka

F(x) disebut fungsi rasional tak sebenarnya (improper rational function).

Suatu fungsi rasional tak sebenarnya selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari

suatu polinom dan suatu fungsi yang sebenarnya dengan melakukan operasi pembagian

biasa.

Misalnya, 12

3

+xx

1)1(

2

2

+−+

=x

xxx 11

)1(22

2

+−

++

=x

xxxx

12 +−=

xxx

Untuk menghitung integral fungsi pecahan rasional yang sebenarnya, harus diusahakan

fungsi tersebut sebagai fungsi penjumlahan pecahan sederhana (partial fraction), dimana

penyebutnya berbentuk (ax + b)n atau (ax2 + bx + c)n, dengan n bilangan bulat positif.

Bentuk dari pecahan sederhana tersebut tergantung pada faktor g(x), penyebut fungsi

tersebut.

Beberapa bentuk kasus g(x) adalah sebagai berikut :

1. Faktor-faktor linier yang berbeda

Bentuk g(x) adalah :

g(x) = (a1x + b1)(a2x + b2)…(anx + bn).

dengan bentuk g(x) tersebut, maka F(x) dapat dibentuk seperti berikut :

nn

n

bxaA

bxaA

bxaA

xF+

+++

++

= ...)(22

2

11

1

2. Faktor-faktor linier yang berulang

Jika pada g(x) terdapat (ax + b) berulang sebanyak m kali, misalnya

g(x) = (ax + b)m, maka



mm

baxA

baxA

baxAxF

)(...

)()( 2

21

+++

++

+=

3. Faktor kuadrat yang berbeda

Dalam kasus ini, g(x) berbentuk

g(x) = (a1x2 + b1x + c1) (a2x2 + b2x + c2) ... (anx2 + bnx + cn)

maka nnn

nn

cxbxaBxA

cxbxaBxA

cxbxaBxAxF

+++

++++

++

+++

= 222

22

22

112

1

11 ...)(

4. Faktor kuadrat yang berulang

Jika terdapat faktor kuadrat yang berulang m kali pada g(x), misalnya g(x) = (ax2

+ bx + c)m, maka :

mmm

cbxaxBxA

cbxaxBxA

cbxaxBxAxF

)(...

)()()( 222

222

11

+++

++++

++

+++

=

Contoh :

∫ += dx

xxI

1.1 2

3

Pada inregral ini, integrand merupakan fungsi rasional tak sebenarnya, dan

berdasarkan pada yang telah dibahas di atas, maka

∫ +dx

xx

12

3

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= dx

xxx

12 ∫ ∫ +−= dx

xxdxx

12 ∫ +−= dx

xxx

121

22

untuk menyelesaikan ∫ +dx

xx

12 digunakan metode substitusi, yaitu misalnya

u = x2+1, maka du = 2x dx, sehingga x

dudx2

=

dengan demikian, ∫ +dx

xx

12 ∫= xdu

ux

2. ∫= u

du2

∫=udu

21 Cu += ln

21

Cx ++= 1ln21 2

Jadi ∫ +dx

xx

12

3

∫ +−= dx

xxx

121

22 Cxx ++−= 1ln

21

21 22



( )∫ −−

+= dx

xxxI

1241.2 2

bentuk g(x) pada integral di atas sesuai dengan bentuk kasus 1, karena

1242 −− xx = (x – 6)(x + 2) adalah 2 faktor linier yang berbeda.

Dari bentuk tersebut, maka ( )124

1)( 2 −−+

=xx

xxF )2)(6(

1+−

+=

xxx

2621

++

−=

xA

xA

)2)(6()6()2( 21

+−−++

=xx

xAxA

)2)(6(62 2211

+−−++

=xx

AxAAxA

)2)(6(62 2121

+−−++

=xx

AAxAxA

)2)(6()62()( 2121

+−−++

=xx

AAxAA

)2)(6(1+−

+=

xxx

Dengan demikian, 1)62()( 2121 +=−++ xAAxAA sehingga :

A1 + A2 = 1 dan 2A1 – 6A2 = 1

⇔ A1 =1 - A2 2A1 – 6A2 = 1

2(1 - A2) – 6A2 = 1

2 – 2A2 – 6A2 = 1

2 – 8A2 = 1

2 – 1 = 8A2 8A2 = 1 81

2 =A

A1 + A2 = 1 181

1 =+A 87

8111 =−=A

Jadi ( )∫ −−

+= dx

xxxI

1241

2 dxxA

xA )

26( 21

++

−= ∫ dx

xAdx

xA

2621

++

−= ∫∫

∫∫ ++

−= dx

xdx

x )2(81

)6(87 , dengan menggunakan substitusi u = x – 6 dan v

= x + 2, maka du = dx dan dv = dx.

Sehingga ∫∫ ++

−dx

xdx

x )2(81

)6(87 ∫ ∫+=

vdv

udu

81

87 Cvu ++= ln

81ln

87

Cxx +++−= 2ln816ln

87



Soal :

∫ +−+

= dxxxx

xI44

)4(.1 23 bentuk g(x) sesuai dengan kasus (2) yaitu mengandung faktor

linier yang berulang.

xxx 44 23 +− 22 )2(.)2( −=−= xxxx

dxxxxdx

xxxx

∫∫ −+

=+−

+223 )2(

444

)4( ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

+= dxx

AxA

xA

2321

)2(2

∫ −+−+−

= dxxx

xAxxAxA2

322

1

)2()2()2(

∫ −+−++−

= dxxx

xAxAxAAxAxA2

322

2112

1

)2(244

∫ −+−+−+

= dxxx

AxAAAxAA2

13212

21

)2(4)24()(

Untuk menyelesaikan integrasi di atas perlu dicari faktor A1, A2, dan A3 seperti

berikut :

221321

221

)2(4

)2(4)24()(

−+

=−

+−+−+xxx

xxAxAAAxAA

(A1+ A2) = 0

-(4 A1 + 2A2 - A3) = 1 ↔ -4 A1 - 2A2 + A3 = 1

4 A1 = 4

Dengan demikian diperoleh A1 = 1, A2 = -1, dan A3 = 3

Sehingga ∫ +−+ dx

xxxx

44)4(

23 ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

+= dxx

AxA

xA

2321

)2(2

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−

−= dxxxx 2)2(

32

11 2)2(3

2 −+

−−= ∫∫∫ x

dxxdx

xdx

∫ −+−−= 2)2(

32lnlnx

dxxx dengan menggunakan substitusi u = x-2, maka

du = dx sehingga

Cx

Cu

CuCuduuudu

xdx

+−

−=+−=+−=+−

===−

−−−∫∫∫ 211

11

)2(112

22

Jadi ∫ +−+ dx

xxxx

44)4(

23 Cx

xxx

dxxx +−

−−−=−

+−−= ∫ 232lnln

)2(32lnln 2

integral fungsi rasional1

Education