ma1201 matematika 2a - · pdf filesasaran kuliah hari ini 7.5 integral fungsi rasional...
TRANSCRIPT
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
25 Januari 2017
Kuliah yang Lalu
7.3 Integral Trigonometrik
Menghitung beberapa integral trigonometrik
7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan
Menghitung integral dengan teknik substitusiyang merasionalkan
1/29/2014 2(c) Hendra Gunawan
Sasaran Kuliah Hari Ini
7.5 Integral Fungsi Rasional
Menghitung integral fungsi rasional denganmenggunakan pecahan parsial
7.6 Strategi Pengintegralan
Memiliki strategi apa yang harus dilakukanbila dihadapkan pada suatu bentuk integral
1/29/2014 3(c) Hendra Gunawan
7.5 INTEGRAL FUNGSI RASIONALMenghitung integral fungsi rasional denganmenggunakan pecahan parsial
MA1201 MATEMATIKA 2A
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Menghitung Integral Fungsi Rasional
Fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsipolinom. Secara umum, fungsi rasional dapatdituliskan sebagai
dengan P, Q dan R polinom, dan derajat R < derajat Q.
Integral dari P(x) dapat diperoleh denganmudah. Karena itu, untuk menghitung integral dari f(x), kita perlu mengetahui bagaimanamenghitung integral dari R(x)/Q(x).
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 5
,)()()(
)(
xQ
xRxPxf
Contoh/Latihan
1. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 6(c) Hendra Gunawan
dx
x
x
1
12
dx
xdx
x
xdx
x
x
1
1
11
1222
.tan)1ln( 12
21 Cxx
2. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 7(c) Hendra Gunawan
dx
xx
xx
)1(
12
2
Dekomposisi atas Faktor Linear
3. Misalkan kita hendak menghitung
Perhatikan bahwa
Jadi
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 8
.1
12
dxx
.11)1)(1(
1
1
1 21
21
2
xxxxx
dx
xdx
xdx
x 1
1
1
1
1
121
21
2
.|1|ln|1|ln21
21 Cxx
4. Tentukan
Petunjuk: Tuliskan dan
carilah nilai A dan B yang memenuhinya.
1/29/2014 9(c) Hendra Gunawan
dx
xx )1(
1
1)1(
1
x
B
x
A
xx
5. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 10(c) Hendra Gunawan
dx
xxx
x
)2)(1(
22
6. Tentukan
Petunjuk: Tuliskan dan
carilah nilai A, B dan C yang memenuhinya.
1/29/2014 11(c) Hendra Gunawan
dx
xx )1(
12
1)1(
122
x
CBx
x
A
xx
7. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 12(c) Hendra Gunawan
dx
xxx )52(
12
8. Tentukan
Petunjuk: Tuliskan
carilah nilai A, B dan C yang memenuhinya.
1/29/2014 13(c) Hendra Gunawan
dx
xx )1(
12
11)1(
1222
x
C
x
B
x
A
x
C
x
BAx
xx
9. Tentukan
Petunjuk: Faktorkan dahulu x3 – 1.
1/29/2014 14(c) Hendra Gunawan
dx
x 1
13
Persamaan Diferensial Logistik
Pada Semester I, kita membahas persamaandiferensial y’ = ky yang terkait dgn pertumbuhansuatu populasi y = y(t). Di sini kita mengasumsi-kan bahwa ruang tidak terbatas, sehinggapopulasi dapat bertumbuh terus (tak terbatas).
Bila ruang terbatas, maka ada kapasitas maksi-mum L, dan persamaan diferensialnya menjadi
y’ = ky(L – y), yang dikenal sebagai persamaandiferensial logistik.1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 15
10. Suatu populasi bertumbuh sesuai dgn per-samaan logistik y’ = 0.01y(250 – y). Populasi awaldiketahui 100. Tentukan populasi pada saat t = 5.
Jawab:
1/29/2014 16(c) Hendra Gunawan
7.6 STRATEGI PENGINTEGRALANMemiliki strategi apa yang harus dilakukanbila dihadapkan pada suatu bentuk integral
MA1201 MATEMATIKA 2A
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 17
Berbeda dengan turunan, tidak ada aturan pengintegralanyang berlaku secara umum.Bila kita dihadapkan pada suatu bentuk integral tak tentumaka yang dapat kita lakukan adalah:0. Bila mungkin, sederhanakan dulu bentuk integrannya.1. Coba hitung integral tsb dgn teknik substitusi, bila ada
substitusi yg dpt mengubah integral tsb ke salah satubentuk baku yang kita kenal.
2. Bila teknik substitusi gagal, coba hitung integral tsbdengan pengintegralan parsial.
3. Bila integral mengandung bentuk akar, coba substitusiyang merasionalkan.
4. Jika integrannya merupakan fungsi rasional, hitunglahintegralnya dengan mendekomposisi integrannya atasfaktor-faktor linear dan/atau kuadratiknya.
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Contoh/Latihan
1. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 19
dxxe x2
2. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 20
dxx
xln
3. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 21
2.x x dx
4. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 (c) Hendra Gunawan 22
dxx
x2cos
2sin
5. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 23(c) Hendra Gunawan
2169 x
dx
6. Tentukan
Jawab:
1/29/2014 24(c) Hendra Gunawan
dx
x
x
49 4