BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat atau menemui benda yang mengalami

gerak jatuh bebas, misalnya gerak buah yang jatuh dari pohon, gerak benda yang dijatuhkan

dari ketinggian tertentu, bahkan seorang atlet terjun payung yang sedang melakukan aksinya

juga dikatakan melakukan gerak jatuh bebas. Gerak jatuh bebas adalah gerak sebuah benda

yang jatuh dari suatu ketinggian tertentu. Disebut jatuh bebas karena gerak ini bebas dari

adanya gaya dorong. Semakin ke bawah gerak benda semakin cepat. Percepatan yang dialami

bendapun selalu sama, yakni sama dengan percepatan gravitasi bumi yaitu 9.8 m/s2.

1.2 Tujuan

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk menyelesaikan kasus fisis dalam hal ini

penerjun payung yang melakukan gerak jatuh bebas dimana mencari seberapa jauh penerjun

jatuh setelah t=10s dengan menggunakan Metode Integrasi Trapezoida berbasis MATLAB

BAB II

DASAR TEORI

2.1 Gerak Jatuh Bebas

Gerak jatuh bebas adalah salah satu bentuk gerak lurus dalam satu dimensi yang

dipengaruhi oleh gaya gravitasi.

Penerjun payung yang sedang melakukan aksinya dengan melompat dari sebuah

pesawat yang sedang terbang akan jatuh ke bawah menuju permukaan bumi. Para penerjun

payung memanfaatkan gaya gesekan untuk melakukan aksinya. Dimana para penerjun

payung menggunakan parasut yang bertujuan untuk menghambat gerak jatuh bebas penerjun

payung dengan memanfaatkan gaya gesek udara dengan parasut sehingga penerjun payung

jatuh dengan gerak yang melambat.

2.2 Integral Numerik

2.2.1 Metode Trapezoida

Integral terhadap suatu fungsi, f(x), yang dievaluasi dari a hingga b dapat dinyatakan oleh

rumus berikut ini :

.....................(1)

Pendekatan numerik yang paling dasar dalam memecahkan masalah integral adalah metode

Trapezoida, yang dirumuskan sebagai berikut :

….....(2)

dimana x0=a, x1=b dan h=b - a. Akan tetapi, suku yang terakhir pada ruas kanan dimana

terdapat faktor turunan ke-2, f'', seringkali diabaikan dengan tujuan agar persamaan (2)

menjadi lebih sederhana.

………….(3)

Akibatnya pendekatan Trapezoida hanya bekerja efektif pada fungsi-fungsi yang turunan

keduanya bernilai nol (f''= 0). Gambar (2.2.1) memperlihatkan prinsip metode trapezoida

dalam bentuk grafik. Sementara, script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (3).

Gambar 2.2.1 Metode Trapezoida

Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f(x) dengan batas bawah integral adalah a

dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoida menghitung

integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan

luas trapesium di bawah kurva f(x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan

teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang

trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak

kelemahan metode trapezoida.

Gambar 2.2.2 Script dari persamaan 3

BAB III

METODE

3.1 Rancangan Program

Program dijalankan dengan menggunakan MATLAB 7.8.0 (R2009a) dimana metode yang

digunakan adalah Metode Integrasi Trapezoida.

Menuliskan Script

function [ output_args ] = tgs( input_args )

%UNTITLED4 Summary of this function goes here

% Detailed explanation goes here

function y= f(t)

g=9.8;

m=70;

c=7;

y=(m*g/c)*(1-exp(-(c/m)*t));

end

clear all

clc

% Integrasi Numerik Metode Trapezoida multigrid

% by : Laila Mufida

disp('')

disp('+++++++++++++++++++++++++++++++++')

disp('=======INTEGRASI NUMERIK=========')

disp('')

disp('MASUKKAN BATAS INTEGRAL')

a= input('Masukan batas bawah='); %batas bawah integral

b= input('Masukan batas atas='); %batas atas integral

n= input('Masukan jumlah grid=');%jumlah grid yang diinginkan

x0 = a;

x1 = b;

h=(b-a)/n;

I='f(x0)+f(x1)';

x=a;

sigma=0;

for i=1:n-1

x=x+h;

sigma=sigma+2*f(x);

end

x=a:h:b;

f(x);

disp('')

disp('')

disp('Nilai Fungsi Setiap titik')

disp('-------------------------')

disp('| x | f (x) |')

disp('-------------------------')

disp([x' f(x)'])

disp ('LUAS DAERAH INTEGRASI')

integral=(I+sigma)*h/2

%plot grafik kurva integrasi numerik

plot(x,f(x));

hold on

stem(x,f(x))

grid on

xlabel('x','fontsize',14,'fontname','Arial')

ylabel('f(x)','fontsize',14,'fontname','Arial')

title('KURVA INTEGRASI','fontname','Arial','fontsize',16)

end

Dari Script tersebut akan didapatkan hasil nilai fungsi setiap detik dan kurva integrasi

numerik

BAB IV

HASIL dan PEMBAHASAN

Seorang penerjun payung melakukan aksi acrobat di udara. Kecepatan penerjun sebagai

fungsi waktu dengan pengaruh hambatan udara dapat ditulis sebagai :

v (t )=mgc

(1−e−( c/m ) t)

Dengan

v = kecepatan penerjun dalam m/s

t = percepatan gravitasi 9.8 m/s2

m = massa penerjun, 70 kg

c = koefisien hambatan udara, 7 kg/s

Karena kecepatannya adalah turunan pertama dari jarak maka untuk menentukan jarak

tempuh penerjun selama waktu tertentu , t, dapat dilakukan dengan mengintegralkan fungsi

kecepatan terhadap waktu sebagai berikut :

v = y’

y = ∫0

t

v (t ) dt=∫0

tmgc

(1−e−( c

m )t)dt

Tentukan seberapa jauh penerjun jatuh setelah 10s dengan menggunakan metode integrasi

Trapezoida

Script

function [ output_args ] = tgs( input_args )

%UNTITLED4 Summary of this function goes here

% Detailed explanation goes here

function y= f(t)

g=9.8;

m=70;

c=7;

y=(m*g/c)*(1-exp(-(c/m)*t));

end

clear all

clc

% Integrasi Numerik Metode Trapezoida multigrid

% by : Laila Mufida

disp('')

disp('+++++++++++++++++++++++++++++++++')

disp('=======INTEGRASI NUMERIK=========')

disp('')

disp('MASUKKAN BATAS INTEGRAL')

a= input('Masukan batas bawah='); %batas bawah integral

b= input('Masukan batas atas='); %batas atas integral

n= input('Masukan jumlah grid=');%jumlah grid yang diinginkan

x0 = a;

x1 = b;

h=(b-a)/n;

I='f(x0)+f(x1)';

x=a;

sigma=0;

for i=1:n-1

x=x+h;

sigma=sigma+2*f(x);

end

x=a:h:b;

f(x);

disp('')

disp('')

disp('Nilai Fungsi Setiap titik')

disp('-------------------------')

disp('| x | f (x) |')

disp('-------------------------')

disp([x' f(x)'])

disp ('LUAS DAERAH INTEGRASI')

integral=(I+sigma)*h/2

%plot grafik kurva integrasi numerik

plot(x,f(x));

hold on

stem(x,f(x))

grid on

xlabel('x','fontsize',14,'fontname','Arial')

ylabel('f(x)','fontsize',14,'fontname','Arial')

title('KURVA INTEGRASI','fontname','Arial','fontsize',16)

end

Tampilannya ketika di run :

Dengan terlebih dulu mengisi batas integral dimana pada saat t=10s

Masukan batas bawah=0

Masukan batas atas=10

Masukan jumlah grid=10

Tampilan Grafik atau Kurva

BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dengan menggunakan Metode Integrasi Trapezoida kita dapat mengetahui seberapa

jauh penerjun jatuh setelah 10s dimana ditampilkan juga kurva integrasi numeriknya dimana

didapatkan kurva sesuai dengan metode integrasi trapezoida

5.2 Saran

Dapat mengembangkan dengan menyelesaikan kasus fisis tersebut di atas

menggunakan berbagai macam metode yang lain dan membandingkan hasil yang diperoleh

apakah menghasilkan perolehan yang sama pula.

DAFTAR PUSTAKA

Suparno,Suprianto. 2013. Komputasi untuk Sains dan Teknik Menggunakan Matlab edisi IV.

Depok : Departemen Fisika-FMIPA Universitas Indonesia.

Sanjaya, Mada. 2014. Komputasi Fisika untuk Sains dan Teknik Menggunakan

Matlab.Yogyakarta : Andy Publisher