1

TUGAS MANDIRI

INTERPOLASI LINIER

Mata Kuliah: Komputasi Numerik

Nama Mahasiswa : Yuni Susanti

NIM : 110210103

Kode Kelas : 121-TI012-M1

Dosen : Ganda Sirait S.Si., M.SI.

UNIVERSITAS PUTERA BATAM

2014

2

KATA PENGANTAR

BISMILLAHIRRAHMANIRRAHIM.

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena

limpahan rahmat dan hidayah-Nyalah sehingga makalah yang berjudul

INTERPOLASI (Interpolasi lanjar,interpolasi kuadratik,interpolasi kubik,

dan polinom lagrange) dapat tersusun dan selesai tepat pada waktunya.

Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada pihak-pihak yang terkait

yang telah membantu penyusunan makalah ini.

Akhirnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih

jauh dari sempurna. Juga kemungkinan kesalahan cetak tak dapat dihindarkan.

Karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun dari berbagai pihak sangat

diharapkan penyusun. Demikianlah, mudah-mudahan makalah ini dapat

dimanfaatkan sebaik-baiknya.

Batam, Juni 2014

Penyusun

3

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................... 2

DAFTAR ISI .......................................................................................................... 3

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 4

1.1 Latar belakang ................................................................................................... 4

BAB II PEMBAHASAN ....................................................................................... 5

2.1 Interpolasi Linier ............................................................................................... 7

2.2 Interpolasi Kuadratik ......................................................................................... 8

2.3 Interpolasi Kubik ................................................................................................ 10

2.4 Polinom Lagrange .............................................................................................. 12

BAB III PENUTUP ............................................................................................. 15

3.1 Kesimpulan .................................................................................................... 15

DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 17

4

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Permasalahan yang banyak berhubungan dengan pola suatu data

adalah fungsi yang melibatkan data.Sebagai contoh bila diketahui data-

data penjualan suatu produk, akan muncul pertanyaan adakah yang fungsi

yang menyatakanbahwa penjualan merupakan fungsi dari waktu.Contoh

kenyatan yang menunjukkan bahwa penjualan dipengaruhi oleh waktu

ialah penjualan es campur pada siang hari akan lebih baik dari pada

penjualan di malam hari.

Kenyataan tersebut dapat di katakana bahwa penjualan merupakan

fungsi dari waktu .Persoalannya adalah bagaiman menyajikan fungsi

tersebut.I ni adalah persoalan yang sangat tidak mudah untuk di pecahkan ,

karena betapa idealnya bila di ketahui suatu fungsi yang bias menyatakan

penjualan adalah fungsi waktu atau di tuliskan dengan J = F (t ).

Untuk dapat menyajikan fungsi , yang dapat di lakukan adalah

menggunakan fungsi pendekatan , yaitu fungsi yang paling sesuai untuk

menyatakan suatu data berdasarkan model fungsi tertentu seperti model

fungsi linear , fungsi eksponensial , dan fungsi polinomeal .Cara

pendekatan semacam ini di namakan dengan regeresi.

Cara pendekatan yang lain bukan untuk menyatakan fungsi tetapi

untuk mencari nilai nilai antara titik titik yang di ketahui sehingga pola

fungsinya semakin jelas terlihat atau membentuk suatu kurva .Cara

pendekatan ini di namakan dengan interpolasi .Interpolasi di gunakan

untuk menentukan titik titik yang lain berdasarkan fungsi pendekatan

yang di tentukan sebelumnya.

5

Interpolasi linear adalah suatu bentuk interpolasi untuk

menentukan titik titik antara dari titik titik yang di ketahui

menggunakan fungsi pendekatan yang berupa fungsi linear dengan

interpolasi linear akan di peroleh sejumlah titik antara dua titik , )

dan ( , ) .Interpolasi lagrange adalah suatu bentuk interpolasi dengan

fungsi pendekatan berupa fungsi polinomal lagrange.Pada transformasi

lagrange, fungsi polynomial pangkt n memerlukan n+1 titik.Bila jumlh

titiknya 2 buah ,maka interpolasi lagrange akan menjadi interpolasi

linear.Untuk mencari titik ) pada nilai x yang ditentukan dengan

diketahui n buah titik ( , ), ( , ),..,( , ) menggunakan

interpolasi lagrange.

6

BAB II

PEMBAHASAN

Interpolasi

7

2.1 INTERPOLASI LINEAR.

Bentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan

dua titik data dengan garis lurus.tekhnik ini dinamakan interpolasi

linear,dilukiskan secara grafis pada gambar diatas dengan memakai

segitiga-segitiga sebangun sehingga diperoleh:

)

=

)

, yang dapat disusun ulang menjadi:

)=f )+ )

(x- )

Cara penulisan (x) menunjukkan bahwa ini adalah polinom interpolasi

orde pertama (interpolasi lanjar).Perhatikan bahwa disamping menyatakan

kemiringan garis yang menghubugkan titik-titik, bentuk [f( )-f( )]/(

) adalah hampiran (aproksimasi) beda hingga terbagi dari turunan

pertama.Umumnya semakin kecil selag diantara titik-titik data, semakin

baik hampirannya.

8

Algoritma Interpolasi

1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing

(x0,y0) dan (x1,y1)

2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari

3) Hitung nilai y dengan : ) = f ) + )

(x- )

4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)

Contoh:

Taksirlah 2 (ln 2) dengan memakai interpolasi linear.yaitu dengan

menginterpolasi antara ln 1=0 dan ln 2,5=0,91629

Penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan di atas ,interpolasi

interpolasi dari =1 sampai =2,5

maka; (2) = ln(1) + ) )

(2-1)

= 0 +

(1)

= 0,61086

2.2 Interpolasi Kuadrat

Interpolasi Kuadratik (polinom orde kedua) digunakan untuk mencari

titik-titik antara dari 3 buah)

9

P1 ( ), P2( )dan P3( ) ,polinom kuadrat yang digunakan

untuk persamaan ini ialah:

(x)= ) )

)(P.12.3).

Suatu prosedur yang sederhana dapat dipaki untuk menentukan nilai

koefisien-koefisiennya.Untuk

(P.12.3) dengan x= dapat dipakai menghitung ;

).(P.12.4)

(P.12.4) dapat disubstitusikan ke (P.12.3) yang dapat dohitung pada x =

untuk

) )

(P.12.5)

Akhirnya, (P.12.4) dan (p.12.5) dapat disubstitusikan ke (P.12.3) yang

dapat dihitung pada x= dan dipecahakn(setelah melakukan manipulasi

aljabar:

) )

) )

(P.12.)

Contoh:

Cocokkan polinom orde kedua terhadap tiga titik yang dipakai dalam

contoh persamaan interpolasi linear:

=1 f( )=0

=4 f( )=1,3862944

=6 f( ) =1,7917595

Pakailah polinom tersebut untuk menghitung ln 2

10

Penyelesaian: Dengan menerapkan persamaan (12.4) maka;

=0

Persamaan (12.5) menghasilkan: =

=0,46209813

Dan persamaan (12.6) menghasilkan:

=

= -0,051873116

Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke (P,12.3) dihasilkan rumus

kuadrat

(x) =0+0,46209813(x-1)-0,051873116(x-1)(x-4) yang dapat dihitung

pada x=2 untuk

(x) =0,56584436

Algoritma Interpolasi Kuadratik:

1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3)

2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari

3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari

interpolasi kuadratik:

4) Tampilkan nilai x dan y

2.3 Interpolasi Kubik

11

Misal diberikan empat buah titik data , )(, , ), , ), dan

( , ).Polinom yang mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom

kubik yang berbentuk :

)= + x+ +

(P.5.9)

Polinom ) ditentukan dengan cara berikut:

1.Sulihkan ( , ) kedalam persamaan (p.5.9), i=0,1,2,3. Sehingga

diperoleh empat buah persamaan dengan empat buah parameter yang

tidak diketahui yaitu

=

Contoh :

maka untuk mencari nilai x=45 maka,

12

2.4 POLINOM INTERPOLASI LAGRANGE

Polinom interpolasi lagrange hanyalah perumusan ulang darri

polinom newton yang menghindari komputasi beda-beda terbagi.secara

singkat dapat dinyatakan dengan:

) = ) ).(12.20)

Dengan

(x) = )

(12.21)

Dimana menunjukkan hasilkali dari.Misalnya versi linear (n-1) adalah

) =

f( )+

)(12.22)

Dan versi orde kedua adalah :

(x) = ) )

f )

) )

) ) f( ) +

) )

) )f( )(12.23)

Persamaan (12.20) dapat diturunkan secara langsung dari polinom

newton (kotak 12.1).Namun, penalaran yang mendasari rumus lagrange

dpat langsung ditangkap dengan menyadari bahwa tiap suku Li(x) akan 1

pada x = dan 0 pada titik-titik contoh lainnya. Jadi, tiap hasilkali

Li(x)f( ) menerima nilai f ) pada titik contoh .akibatnya

,penjumlahan semua hasilkali yangdinyatakn oleh persamaan (12.20)

merupakan polinom orde ke-n unik yang secara eksak melalui seluruh n+1

titik data.

Polinom interplasi lagrange daoat diturunkan kangsung dari rumus

newton.ini akan dilakukan untuk kasus orde pertama ,

) = f( ) + (x- ) f[ (B.12.1.1)

13

Supaya menurunkan bentuk lagrange ,bedaa-beda terbagi dirumuskan

ulang.misalnya. beda terbagi pertama ,f[ ) )

dapat

dirumuskan sebagai :

f[ = )

)

. ..(B.12.1.2)

yang diacu sebagai bentuk simetri,dengan mensubstitusikan persamaan

(12.1.2) ke persamaan (B.12.1.1) akan dihasilkan:

(x)=f( )+ )

) )+

)

) )

Akhirnya dengan mengelompokkan suku-suku yang serupa dan

penyederhanaan akan dihasilkan bentuk lagrange :

(x)=

)+

)

Contoh:

Gunakan polinom interpolasi lagrange orde pertama dan kedua untuk

menghitung ln 2 berdasarka data yang diberikan dalam contoh interpolasi

kuadrat.

=1 f( )

=4 f( )=1,3862944

=6 f( )=1,7917595

Penyelasaian: polinom ord pertama (p.12.22) adalah:

) =

f( ) +

)

Karena itu taksiran pada x=2adalah

(2) =

)

) = 0,4620981

14

Dengan cara yang serupa ,polinom orde kedua dikembagkan sebagai

(persamaan 12.23)

(2) = ) )

) )

) )

) ) (1,3862944) +

) )

) ) (1,7917595)

15

BAB III

P E NU TU P

3.1 KESIMPULAN

Adapun kesimpulan dari makalah ini ialah:

1. Interpolasi didefinisikn sebagai cara untuk mengestimasi nilai dari

fungsi yan diberikan oleh

Kelompok data.

2. Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis

lurus.Misal diberikan dua

buah titik ( ) dan ( ), polinom yang menginterpolasikan

dua buah titik ini ialah:

)=f )+ )

(x- )

3. Interpolasi kuadrat ialah digunakan untuk mencari titik-tiik antara dari

3 buah titik yaitu

P1( ),p2( ), dan p3( ) .polinom yang digunakan untuk

persamaan ini ialah:

(x)= ) ) )

4. Interpolasi kubik ialah digunakan untuk mencari empat buah titik

data.misalnya diberikan titik-

titik ( ),( ),( ),dan ( ).polinom yang

mengintrpolasikan titik-titik tersebut ialah:

)= + x+ +

16

5. Polinom lagrange ialah perumusan ulang darri polinom newton yang

menghindari komputasi beda-beda terbagi.secara singkat dapat dinyatakan

dengan:

) = ) ( )

Dengan :

(x) = )

Dimana menunjukkan hasilkali dari.Misalnya versi linear (n-1) adalah

) =

f( )+

)(12.22)

Dan versi orde kedua adalah :

(x) = ) )

f )

) )

) )f( ) +

) )

) )f( )(12.23)

17

DAFTAR PUSTAKA

Triatmodjo, Bambang ( 1996). Metode Numerik. Yogyakarta: Beta Offset.

Susila, I Nyoman ( 1994). Dasar Dasar Metode Numerik.

Yogyakarta:Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.

Basuki, Achmad Drs.(2000). Metode Numerik dan Algoritma komputasi.

Yogyakarta: Andi Offset.

Ikhsan, Imam.(2010). Interpolasi Llinear, Kuadrat, Kubik & Polinom

Lagrange.Makasar:UIN.