fisika statistik

Fisika Statistik untukMahasiswa MIPA

Mikrajuddin Abdullah, DR.Eng.KK Fisika Material Elektronik - FMIPA, ITB

ii

Copyright 2009 by Mikrajuddin Abdullah

All rights reserved.

ISBN . . .

untuk Ayahanda H. Abdullah Hasan (alm) dan Ibunda Hj.St.Habibah

Kata Pengantar

Buku ini disusun untuk membantu mahasiswa memahami Fisika Statistiklebih mudah. Uraian diberikan serinci mungkin, tahap demi tahap, sehinggamahasiswa dapat mengikutinya dengan mudah. Mata kuliah Fisika Statistiksampai sekarang menjadi momok bagi sebagian besar mahasiswa. ketidak-tersediaan buku yang menjelaskan materi secara rinci tampaknya menjadisalah satu penyebab terjadinya bottle neck keterlambatan kelulusan maha-siswa akibat gagal dalam menyelesaikan mata kuliah tersebut.

Buku ini hanya membahas dasar-dasar Fisika Statistik untuk memberi-kan bekal yang memadai bagi mahasiswa untuk memahami Fisika Statistiklanjut. Masih banyak kekurangan yang muncul disana-sini. oleh karena itukritik dan saran yang membangun dari pembaca sangat diharapkan untukmenyempurnakan isi buku ini.

Penyelesaian buku ini tidak lepas dari tunjangan dana Hibah PenulisanBuku Teks 2009 dari Institut Teknologi Bandung yang penulis terima. Olehkarena itu penulis sampaikan terima kasih sebesar-besarnya kepada WakilRektor Senior Bidang Akademik ITB dan Direktur Pendidikan ITB. Terimakasih juga penulis sampaikan kepada Prof. Ismunandar dan Dr. DhianDamajani atas support yang sangat berharga dalam proses penyelesaianbuku ini.

Kepada penyunting, Dr. Siti Nurul Khatimah dari Prodi Fisika ITB,penulis sampaikan terima kasih sebesar-besaranya atas masukan dan saranyang sangat berharga. Penulis juga ingin menyampaikan terima kasih kepadapara rekan-rekan dosen di Program Studi Fisika-FMIPA ITB yang secaralangsung maupun tidak langsung membantu penulis menyelesaikan bukuini.

Terima kasih secara khusus ingin penulis sampaikan pada keluarga penulis(istri, Sri Rumiyati, dan anak-anakku, Shafira Khairunnisa, Fathan Akbar,

vi

dan Ardi Khalifah) yang tiada henti-hentinya memberikan support dalamsetiap langkah pengabdian penulis dan ikut terlibat dalam pengecekan ke-salahan ketik dalam naskah buku ini.

Bandung, Desember 2009

Mikrajuddin Abdullah

Daftar Isi

1 Pendahuluan 1

2 Statistik Maxwell-Boltzmann 5

2.1 Konfigurasi Penyusunan Sistem Klasik . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Konfigurasi dengan Probabilitas Maksimum . . . . . . . . . . 14

2.3 Harga Rata-Rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Nilai Peluang Konfigurasi Maksimum . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Ruang Fasa 23

3.1 Definisi Ruang Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Elemen volume Ruang Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Energi Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 N Sistem dalam Ruang Fasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Menghitung Jumlah Keadaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Menentukan ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.7 Elemen Ruang Fasa dalam Momentum/Laju . . . . . . . . . 32

4 Parameter-Parameter Statistik 35

4.1 Menentukan Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Bagaimana Kebergantungan pada Suhu? . . . . . . . . . . 39

4.3 Menentukan dari Energi Rata-Rata . . . . . . . . . . . . . 42

4.4 Menentukan Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.5 Makna Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

viii DAFTAR ISI

5 Statistik Bose-Einstein 51

5.1 Sifat Dasar Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Konfigurasi Boson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Konfigurasi Maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 Parameter untuk Photon dan Phonon . . . . . . . . . . . . 59

6 Statistik Fermi-Dirac 63

6.1 Konfigurasi Fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2 Konfigurasi Peluang Maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7 Rapat Keadaan Sistem Kuantum 71

7.1 Ketidakpastian Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7.2 Koordinat Spasial Satu Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3 Koordinat Spasial Dua Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.4 Koordinat Spasial Tiga Dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8 Beberapa Besaran Gas 81

8.1 Laju dengan Peluang Maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.2 Laju Rata-Rata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.3 Laju Root Mean Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.4 Distribusi Partikel dalam Besaran Lain . . . . . . . . . . . . . 87

9 Aplikasi Statistik Maxwell-Boltzmann 93

9.1 Efek Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.2 Atom Magnetik dalam Medan Magnet . . . . . . . . . . . . . 97

9.3 Dipol Listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.4 Momen Magnetik Tiga Arah Orientasi . . . . . . . . . . . . . 104

9.5 Momen Magnetik Orientasi Sembarang . . . . . . . . . . . . . 106

9.6 Vibrasi Kisi dalam Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

9.7 Hopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

9.8 Persamaan Difusi Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.9 Prinsip Ekipartisi Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

DAFTAR ISI ix

9.10 Pemuaian Termal Zat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.11 Efek Suhu Pada Difraksi Sinar-X . . . . . . . . . . . . . . . . 127

9.12 Kapasitas Panas Padatan Amorf . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.13 Konduktivitas Vogel-Tamman-Fulcher . . . . . . . . . . . . . 134

10 Aplikasi Statistik Bose-Einstein 139

10.1 Radiasi Benda Hitam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

10.2 Kapasitas Panas Kristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

10.3 Kondensasi Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

11 Aplikasi Distribusi Fermi-Dirac 169

11.1 Fungsi Distribusi Fermi Dirac pada Suhu 0 K . . . . . . . . . 169

11.2 Energi Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

11.3 Distribusi Fermi Dirac pada Suhu T > 0 K . . . . . . . . . . 173

11.4 Integral Fungsi Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

11.5 Energi Rata-Rata Elektron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

11.6 Kapasitas Panas Logam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

11.7 Emisi Termionik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

11.8 Teori Bintang Katai Putih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

11.9 Paramagnetisme Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

12 Termodinamika Gas 203

12.1 Entropi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

12.2 Fungsi Partisi Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

12.3 Ungkapan Energi dalam Fungsi Partisi . . . . . . . . . . . . . 206

12.4 Energi Bebas Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

12.5 Kapasitas Panas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

12.6 Perhitungan Fungsi Partisi Klasik . . . . . . . . . . . . . . . 208

12.7 Entropi Gas Semiklasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

12.8 Fungsi Partisi Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

12.9 Fungsi Partisi Gas Semiklasik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

12.10Transformasi Penjumlahan ke Integral . . . . . . . . . . . . . 214

x DAFTAR ISI

12.11Suseptibilitas Paramagnetik Kuantum . . . . . . . . . . . . . 216

12.12Molekul Diatomik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

12.13Persamaan Saha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

13 Statistik Semikonduktor 241

13.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

13.2 Doping Semikonduktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

14 Pengenalan Ensembel 251

14.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

14.2 Dinding Assembli yang Transparan Terhadap Energi . . . . . 252

14.3 Konsep Ensembel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

14.4 Assembli Terbuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

14.5 Jenis-Jenis Ensembel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

Bab 1

Pendahuluan

Persoalan yang sering muncul pada kuliah fisika statistik di perguruan ting-gi adalah ketidaktersediaan buku referensi bahasa Indonesia yang memadai.Buku terbitan luar negeri yang biasa digunakan sebagai referensi umumnyatidak membahas topik secara detail. Hal ini sering menyulitkan mahasiswamemahami mata kuliah tersebut. Bertahun-tahun kuliah ini diajarkan olehdosen pada mahasiswa-mahasiswa fisika, persoalan yang sama selalu muncul.Bahkan mata kuliah tersebut menjadi salah satu bottle neck yang mem-perlambat kelulusan mahasiswa.

Cara pemahaman fisika statistik berbeda dengan mata kuliah fisika lainseperti gelombang, termodinamika, dan mekanika. Dalam fisika statistik kitaakan berangkat dari persoalan abstrak yang sebenarnya merupakan bahankajian orang matematika seperti permutasi dan kombinasi. Fisika statis-tik dapat dipandang sebagai persoalan statistik matematik yang diberikansyarat batas fisis, sehingga persoalan matematika murni menjadi memilikiinterpretasi fisis. Diperlukan abstraksi yang cukup tinggi untuk memahamipersoalan tersebut, dan tidak semua mahasiswa bisa melakukannya.

Sebenarnya ketika kita berhadapan dengan kumpulan partikel-partikelgas, partikel atomik atau sub atomik lainnya, kita tidak bisa menghindaridari statistik. Sebab, jumlah partikel yang kita kaji sangat besar, yaituordenya lebih dari 1020 partikel. Tiap partikel memiliki enam variabel un-tuk mendeskripsikan dengan lengkap keadaan geraknya, yaitu tiga koordinatruang dan tiga komponen momentum. Sangat tidak mungkin menjelaskandinamika partikel tersebut satu per satu dengan jumlah partikel yang luarbiasa banyak, meskipun menggunakan semua komputer yang ada di dunia

2 Pendahuluan

saat ini. Pendekatan yang diberikan oleh fisika statistik adalah melihat sifatrata-rata dari partikel-paerikel tersebut tanpa kita harus melihat partikelsecara individual.

Karena berangkat dari persoalan statistik matematis, mahasiswa seringmengalami kesulitan memulai memahami fisika statistik. Buku-buku yangtersedia sekarang kurang memberikan penjelasan yang mendetail sehinggatidak memberikan bantuan yang cukup berarti kepada para mahasiswa un-tuk memahami konsep-konsep tersebut. Dari tahun ke tahun mahasiswatetap mengalami kesulitan memahami mata kuliah ini, karena cara analisisyang berbeda dengan mata kuliah fisika lainnya. Tujuan penulisan bukuini adalah memberikan penjelasan yang lebih rinci kepada mahasiswa ten-tang penurunan persamaan-persamaan fisika statistik beserta beberapa ap-likasinya. Rumus-rumus diturunkan secara lengkap dengan penjelasan yangrinci pula dengan harapan mahasiswa dapat memahami lebih jelas. Sampaisaat ini kita kesulitan menemukan referensi yang memberikan penjelasanyang lebih rinci tentang penurunan persamaan-persamaan tersebut. Maha-siswa terpaksa harus melakukan usaha yang luar biasa untuk memahamikonsep-konsep tersebut dan tidak jarang banyak yang apatis.

Karena materi buku ini hanya diperuntukkan bagi kuliah satu semester,maka hanya dasar-dasar statistik yang dapat menjadi modal awal bagi ma-hasiswa untuk mempelajari fisika statistik lanjut yang diberikan. Topik uta-ma yang dibahas meliputi penurunan fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann,Bose-Einstein, dan Fermi-Dirac. Contoh aplikasi sederhana ketiga macamstatsitik tersebut juga diberikan. Konsep ruang fasa dan kerapatan keadaandalam ruang fasa klasik serta ruang fasa kuantum juga diberikan, karena ked-uanya digunakan untuk menghitung besaran-besaran termodinamika. Agarmahasiswa memiliki pemahaman awal tentang ensembel, maka salah satujenis ensembel dibahas di sini, yaitu ensembel kanonik.

Pada langkah penurunan distribusi Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein,dan Fermi-Dirac, modal statistik yang dibutuhkan hanya permutasi. Olehkarena itu topik yang membahas panjang lebar tentang permutasi dan kom-binasi seperti yang dijumpai di kulaih-kuliah statistik yang bersifat matem-atis tidak diberikan di sini. Hal ini dimaksudkan untuk mengurangi be-ban mahasiswa sehingga mereka bisa lebih terfokus kepada aplikasi fisis daristatistik tersebut.

Sebelum masuk ke penurunan berbagai fungsi distribusi mari kita defin-isikan beberapa istilah yang digunakan dalam buku ini. Pertama kita mende-

3finsikan sistem. Terminologi sistem yang digunakan pada buku ini mengacukepada partikel-partikel. Contohnya, jika kita membahas tentang gas makasistem adalah atom atau molekul gas. Untuk gas monoatomik, sistem adalahatom gas dan untuk gas diatomik maka atau yang mengandung atom lebihbanyak maka sistem adalah molekul gas. Jika kita membahas tentang elek-tron dalam logam maka sistem adalah elektron-elektron tersebut. Jika kitabahas tentang radiasi benda hitam maka sistem adalah foton. Jika kitabahas getaran kisi maka sistem adalah fonon.

Istilah kedua yang akan kita gunakan adalah assembli. Assembli adalahkumpulan sistem-sistem dalam suatu volum tertentu. Jumlah sistem dalamassembli sangat banyak. Ordenya sekitar sama dengan orde bilangan Avo-gadro. Jumlah sistem yang sangat besar ini memungkinkan prediksi statistikuntuk sifat assembli menjadi sangat akurat. Ingat, statistik makin teliti jikasampel yang dilibatkan makin banyak.

4 Pendahuluan

Bab 2

Statistik Maxwell-Boltzmann

Isi Bab ini. Bab ini berisi perumusan statistik Maxwell-Boltzmann untukassembli yang mengandung sistem (partikel) klasik. Contoh partikel klasikadalah atom atau molekul-molekul gas. Umumnya partikel dengan massajauh lebih besar dari massa elektron dapat dianggap sebagai partikel klasik.

Tujuan Bab ini. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami bagaimanaproses membangun statistik Maxwell-Boltzmann dengan menggunakan prin-sip statistik murni yang digabungkan dengan beberapa hukum kekekalandalam fisika, seperti kekekalan energi dan jumlah partikel.

Apa yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu. Untuk memahami penu-runan fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann mahasiswa perlu memahami metodepermutasi untuk benda-benda yang dapat dibedakan, sifat yang ditunjukkanoleh sebuah besaran yang nilainya kekal (konstan), serta bagaimana mencarinilai maksimum dari sebuah fungsi (metode penurunan).

2.1 Konfigurasi Penyusunan Sistem Klasik

Kita akan berangkat dari asumsi bahwa energi yang dimiliki sistem-sistemdalam dianggap terdiri atas tingkat-tingkat energi. Tingkat-tingkat energitersebut berada dalam rentangan dari nol sampai tak berhingga. Gambar2.1 adalah ilustrasi tingkat-tingkat energi yang dimiliki assembli. Untuksistem klasik, seperti atom gas, perbedaan energi dua tingkat berdekatanmendekati nol, atau i+1 i 0. Perbedaan energi yang mendekati nolmemiliki makna bahwa tingkat energi sistem klasik bersifat kontinu. Sistem

6 Statistik Maxwell-Boltzmann

Gambar 2.1: Tingkat-tingkat energi yang dimiliki assembli.

menempati salah satu dari tingkat energi di atas. Dalam sistem klasik tidakada batasan jumlah sistem yang dapat menempati satu keadaan energi. Satukeadaan energi dapat saja kosong, atau ditempati oleh satu sistem, oleh duasistem, dan seterusnya. Bahkan semua sistem berada pada satu keadaanenergi pun tidak dilarang.

Agar sifat fisis dari assembli dapat ditentukan maka kita harus menge-tahui bagaimana penyusunan sistem pada tingkat-tingkat energi yang adaserta probabilitas kemunculan masing-masing cara penyusunan tersebut.Pemahaman ini perlu karena nilai terukur dari besaran yang dimiliki as-sembli sama dengan perata-rataan besaran tersebut terhadap semua ke-mungkinan penyusunan sistem pada tingkat-tingkat energi yang ada.

Cara menghitung berbagai kemungkinan penyusunan sistem serta proba-bilitas kemunculannya menjadi mudah bila tingkat-tingkat energi yang dimi-liki assembli dibagi atas beberapa kelompok, seperti diilustrasikan pada Gbr2.2. Di sini kita membagi atas M kelompok. Tiap kelompok memilikijangkauan energi yang cukup kecil sebagai berikut.

Kelompok pertama memiliki jangkauan energi : 0 sampai d

Kelompok kedua memiliki jangkauan energi : d sampai 2d

2.1 Konfigurasi Penyusunan Sistem Klasik 7

Kelompok ketiga memiliki jangkauan energi : 2d sampai 3d

...

Kelompok ke-s memiliki jangkauan energi : (s 1)d sampai sd

...

Kelompok ke-M memiliki jangkauan energi : (M 1)d sampai Md

Gambar 2.2: Kelompok-kelompok energi dalam assembli.

Satu kelompok energi mengandung sejumlah keadaan energi. Jumlahkeadaan energi pada kelompok yang berbeda bisa sama dan bisa berbeda.Misalkan jumlah keadaan energi pada tiap-tiap kelompok tersebut sebagaiberikut:

Jumlah keadaan pada kelompok pertama : g1

Jumlah keadaan pada kelompok kedua : g2


Jumlah keadaan pada kelompok ketiga : g3

...

Jumlah keadaan pada kelompok ke-s : gs

...

Jumlah keadaan pada kelompok ke-M : gM

Energi keadaan yang berbeda dalam satu kelompok umumnya berbeda.Tetapi karena perbedaan energi keadaan yang berbeda dalam satu kelompoksangat kecil (mendekati nol) maka kita dapat mengasumsi bahwa energidalam satu kelompok diwakili oleh satu nilai energi saja. Energi tersebutdianggap sebagai energi rata-rata keadaan dalam kelompok yang bersang-kutan. Jadi,

Energi rata-rata kelompok pertama : E1

Energi rata-rata kelompok kedua : E2

Energi rata-rata kelompok ketiga : E3

...

Energi rata-rata kelompok ke-s : Es

...

Energi rata-rata kelompok ke-M : EM

Misalkan pada konfigurasi tertentu tiap-tiap kelompok energi telah ditem-pati oleh sistem-sistem dengan distribusi jumlah sebagai berikut:

Jumlah sistem pada kelompok energi pertama : n1

Jumlah sistem pada kelompok energi kedua : n2


Jumlah sistem pada kelompok energi ketiga : n3

...

Jumlah sistem pada kelompok energi ke-s : ns

...

Jumlah sistem pada kelompok energi ke-M : nM

Deskripsi tentang jumlah sistem, jumlah keadaan dan energi pada kelompok-kelompok yang telah diuraikan di atas dapat diringkas dalam Table 2.1.

Tabel 2.1: Deskripsi jumlah sistem, jumlah keadaan, dan energi yang dimiliki tiapkelompok energi.

Kelompok ke- Jumlah keadaan Energi Jumlah sistem1 g1 E1 n12 g2 E2 n2...

......

...s gs Es ns...

......

...M gM EM nM

Jumlah total sistem dalam assembli adalah N . Karena N sistem tersebutterdistribusi pada semua kelompok energi maka terpenuhi

N =Ms=1

ns (2.1)

Energi total assembli memenuhi

U =Ms=1

nsEs (2.2)

Untuk menentukan nilai dari besaran-besaran yang dimiliki assembli ki-ta harus menentukan berapa probabilitas munculnya masing-masing kon-figurasi dalam assembli tersebut. Tiap penyusunan sistem dalam assembli


mempunyai peluang kemunculan yang persis sama. Dengan demikian, prob-abilitas kemunculan sebuah konfigurasi sebanding dengan jumlah penyusunansistem yang dapat dilakukan untuk membangun konfigurasi tersebut.

Oleh karena itu, mencari probabilitas kemunculan konfigurasi dengankondisi

Ada n1 sistem pada kelompok energi 1



...

Ada ns sistem pada kelompok energi s

...

Ada nM sistem pada kelompok energi M

ekivalen dengan mencari berapa cara penyusunan

n1 sistem pada g1 keadaan energi di kelompok energi 1



...

ns sistem pada gs keadaan energi di kelompok energi s

...

nM sistem pada gM keadaan energi di kelompok energi M


Selanjutnya kita akan menentukan jumlah cara penyusunan sistem-sis-tem yang tersebar pada tingkat-tingkat energi di atas. Untuk maksud terse-but, mari kita mulai dengan menganggap semua keadaan energi kosong(tidak di tempati sistem) dan di luar ada sejumlah sistem yang akan diisipada keadaan-keadaan tersebut. Di sini ada dua tahap proses yang terjadi.Proses I adalah membawa N buah sistem dari luar ke dalam assembli danproses II adalah menyusun sistem pada kempompok-kelompok energi yangada di dalam assembli.

Gambar 2.3: Cara membawa sistem dari luar masuk ke dalam assembli.

Proses I: Membawa N Buah Sistem ke Dalam Assembli. Mari kitahitung jumlah cara yang dapat ditempuh pada tiap proses pertama yaitumembawa N buah sistem dari luar ke dalam assembli. Proses ini tidakbergantung pada konfigurasi assembli. Yang terpenting adalah bagaimanamembawa masuk N buah sistem ke dalam assembli. Untuk menentukanjumlah cara tersebut, perhatikan tahap-tahap berikut ini.

i) Ambil satu sistem dari daftar N buah sistem yang berada di luarassembli (Gbr. 2.3). Kita bebas memilih satu sistem ini dari N buahsistem yang ada tersebut. Jadi jumlah cara pemilihan sistem yangpertama kali dibawa masuk ke dalam assembli adalah N cara.

ii) Setelah sistem pertama dimasukkan ke dalam assembli maka tersisaN 1 sistem dalam daftar di luar. Ketika membawa masuk sistemkedua ke dalam assembli kita dapat memilih salah satu dari N 1buah sistem dalam daftar. Jumlah cara pemilihan sistem ini adalahN 1 cara.

iii) Begitu seterusnya.


iv) Akhirnya, ketika sistem ke-N akan dimasukkan ke dalam assemblihanya ada satu sistem yang tersisa di luar. Tidak ada pilihan-pilihanyang mungkin sehingga jumlah cara memasukkan sistem ke-N ke dalamasembli adalah hanya 1 cara.

v) Dengan demikian, jumlah total cara membawa masuk N buah sistemke dalam assembli adalah

N (N 1) (N 2) ... 2 1 = N !

Proses II: Penyusunan Sistem di Dalam Kelompok-Kelompok En-ergi Selanjutnya kita tinjau proses kedua. Tahapan yang ditempuh seba-gai berikut. Tinjau kelompok 1 yang mengandung g1 keadaan dan ditempatioleh n1 sistem. Sebagai ilustrasi lihat Gbr. (2.4).

Gambar 2.4: Menentukan cara menyusun n1 sistem pada g1 keadaan.

Ambil partikel pertama. Kita dapat menempatkan partikel ini entah dikeadaan ke-1, keadaan ke-2, keadaan ke-3, dan seterusnya hingga keadaanke-g1. Jadi jumlah cara menempatkan partikel pertama pada kelompok-1yang memiliki g1 keadaan adalah g1 cara. Setelah partikel-1 ditempatkan,kita ambil partikel 2. Partikel ini pun dapat ditempatkan di keadaan ke-1,keadaan ke-2, keadaan ke-3, dan seterusnya hingga keadaan ke-g1. Dengandemikian, jumlah cara menempatkan partikel kedua juga g1 cara. Hal yangsama juga berlaku bagi partikel ke-3, partikel ke-4, dan seterusnya, hinggapartikel ke-n1 . Akhirnya, jumlah cara menempatkan n1 partikel pada g1buah keadaan adalah


g1 g1 g1 ... g1 (n1buah perkalian) = gn11Sejumlah gn11 cara di atas secara implisit mengandung makna bahwa uru-

tan pemilihan partikel yang berbeda menghasilkan penyusunan yang berbe-da pula. Padahal tidak demikian. Urutan pemilihan yang berbeda darisejumlah n1 partikel yang ada tidak berpengaruh pada penyusunan asal-kan jumlah partikel pada tiap bangku tetap jumlahnya. Urutan pemilihansejumlah n1 partikel menghasilkan n1! macam cara penyusunan. Dengandemikian, jumlah riil cara penyusunan n1 partikel pada g1 buah keadaanseharusnya adalah

gn11n1!

Penjelasan yang sama juga berlaku bagi buah partikel yang disusun padakeadaan. Jumlah cara penyusunan partikel tersebut adalah

gn22n2!

Secara umum jumlah cara menempatkan ns partikel di dalam kelompokenergi yang mengandung keadaan adalah

gnssns!

Akhirnya jumlah cara mendistribusikan secara bersama-sama n1 sistempada kelompok dengan g1 keadaan, n2 sistem pada kelompok dengan g2keadaan, .. , ns sistem pada gs keadaan adalah

gn11n1! g

n22

n2! g

n33

n3! g

nMM

nM !=

Ms=1

gnssns!

Dengan demikian, jumlah total cara menempatkan N buah sistem kedalam konfigurasi yang mengandung n1 sistem pada kelompok dengan g1keadaan, n2 sistem pada kelompok dengan g2 keadaan, .., ns sistem padakelompok dengan gs keadaan adalah

W ({ns}) = N !Ms=1

gnssns!

(2.3)


Sekarang kita tinjau assembli yang terisolasi dari lingkungan. Tidakada pertukaran partikel maupun energi antara assembli dan lingkungan.Dengan demikian, jumlah sistem N dan energi total U yang dimiliki assemblikonstan. Akibatnya nilai diferensial keduanya nol, atau

N =Ms=1

ns = 0 (2.4)

U =Ms=1

Esns = 0 (2.5)

2.2 Konfigurasi dengan Probabilitas Maksimum

Sekarang kita mencari yang memiliki probabilitas kemunculan paling besar.Kita menganggap bahwa konfigurasi yang dibentuk oleh sistem-sistem dalamassembli yang menghasilkan besaran makroskopik adalah konfigurasi den-gan probabilitas maksimum tersebut. Cara yang dilakukan adalah mencarikumpulan ns sedemikian sehingga W maksimum. Tetapi karena W meru-pakan perkalian sejumlah faktor maka akan lebih mudah jika kita memaksi-malkan lnW . Sebab jika lnW maksimum maka W pun maksimum. Dengancara demikian kita peroleh

lnW ({ns}) = lnN ! + lnMs=1

gnssns!

= lnN ! + ln{gn11n1! g

n22

n2! ... g

nMM

nM !

}= lnN ! + ln

(gn11n1!

)+ ln

(gn22n2!

)+ ...+ ln

(gnMMnM !

)= lnN ! +

Ms=1

ln(gnssns!

)

= lnN ! +Ms=1

{ln gnss lnns!}

= lnN ! +Ms=1

{ns ln gs lnns!}

(2.6)

2.2 Konfigurasi dengan Probabilitas Maksimum 15

Karena baik N maupun ns merupakan bilangan-bilangan yang sangat be-sar maka untuk mempermudah perhitungan kita dapat menggunakan pen-dekatan Stirling. Pendekatan tersebut berbentuk lnN ! = N lnN N ,lnns = ns lnns ns sehingga kita dapatkan bentuk aproksimasi

lnW ({ns}) = N lnN N +Ms=1

{ns ln gs ns lnns + ns} (2.7)

Dengan demikian, diferensial dari lnW ({ns}) menjadi

lnW = N lnN N + Ms=1

{ns ln gs ns lnns + ns}

= 0 0 +Ms=1

{ns ln gs + ns ln gs ns lnns ns lnns + ns}

=Ms=1

{ns ln gs + ns 0 ns lnns ns

(1nsns

)+ ns

}

=Ms=1

{ns ln gs ns lnns}

=Ms=1

{ln gs lnns}ns

=Ms=1

ln(gsns

)ns

(2.8)

Karena kita harus menerapkan syarat batas kekekalan energi dan jumlahpartikel, maka solusi untuk ns dicari dengan menggabungkan persamaan(2.4), (2.5), dan (2.8). Penggabungan tersebut dilakukan dengan menerap-kan pengali Langrange sebagai berikut

lnW ({ns}) + N + U = 0 (2.9)

Substitusi persamaan (2.4), (2.5), dan (2.8) ke dalam persamaan (2.9) diper-oleh

Ms=1

ln(gsns

)ns +

Ms=1

ns + Ms=1

Esns = 0


yang dapat disederhanakan menjadi

Ms=1

{ln(gsns

)+ + Es

}ns = 0 (2.10)

Karena kondisi ini berlaku untuk nilai ns berapapun maka persamaan (2.10)dijamin nol asal tiap suku dalam tanda sumasi berharga nol, atau

ln(gsns

)+ + Es = 0

ln(gsns

)= Es

gsns

= exp ( Es)

yang menghasilkan ungkapan untuk ns sebagai berikut

ns = gs exp (+ Es) (2.11)

Jadi konfigurasi yang memiliki peluang kemunculan paling besar adalahyang memiliki jumlah sistem pada tiap kelompok energi yang memenuhipersamaan (2.11). Gambar 2.5 adalah ilustrasi yang menggambarkan jum-lah partikel yang menempati berbagai kelompok energi.

2.3 Harga Rata-Rata

Banyak sekali yang diperbolehkan ketika menempatkan N sistem ke dalamM kelompok energi. Contoh konfigurasi tersebut adalah semua sistem men-empati kelompok energi pertama sedangkan semua kelompok energi lainnyakosong, atau semua kelompok ditempati oleh sistem dalam jumlah yangsama banyak, dan sebagainya. Tiap konfigurasi memiliki peluang kemuncu-lan yang berbeda-beda. Peluang kemunculan terbesar terjadi pada konfig-urasi yang mengandung sistem pada tiap kelompok energi yang memenuhipersamaan (2.11).

Misalkan X adalah salah satu sifat sebuah assembli. Nilai X yangkita ukur merupakan perata-rataan nilai X pada semua konfigurasi yangmungkin. Misalkan nilaiX beserta peluang kemunculan konfigurasi dilukiskanpada Tabel 2.2.

2.3 Harga Rata-Rata 17

Gambar 2.5: Jumlah partikel yang menempati tiap kelompok energi.

Perlu diperhatikan di sini bahwa jumlah konfigurasi yang mungkin tidaksama dengan jumlah sistem atau jumlah kelompok energi dalam assembli.Nilai rata-rata X memenuhi hubungan

X = {X(konfig 1)P (konfig 1) +X(konfig 2)P (konfig 2) + +X(konfigR)P (konfigR)}/{P (konfig 1) + P (konfig 2) + ...+ P (konfigR)}

=

Rt=1

X(konfig t)P (konfig t)Rt=1

P (konfig t)(2.12)

Perhitungan nilai X di atas sangat sulit. Namun apabila kita dapatmenunjukkan bahwa salah satu konfigurasi yang mungkin, yaitu konfigurasi


Tabel 2.2: Nilai X beserta probabilitas kemunculannyaKonfigurasi ke-i Nilai X Probabilitas kemunculan

1 X(konfig 1) P (konfig 1)2 X(konfig 2) P (konfig 2)...

......

t X(konfig t) P (konfig t)...

......

R X(konfigR) P (konfigR)

dengan probabilitas maksimum, memiliki nilai yang jauh lebih besar daripa-da probabilitas konfigurasi-konfigurasi lainnya, maka perhitungan menjadisangat sederhana. Misalkan P (konfig t) = Pmaks dan terpenuhi syarat-syarat berikut ini:

P (konfig 1)

2.4 Nilai Peluang Konfigurasi Maksimum 19

2.4 Nilai Peluang Konfigurasi Maksimum

Yang menjadi pertanyaan kita adalah benarkah probabilitas dengan mak-simum memiliki nilai yang sangat besar daripada konfigurasi lainnya. Jikaya, berarti kita dapat menggunakan persamaan (2.13) bahwa nilai rata-ratasifat assembli sama dengan nilai pada konfigurasi maksimum. Namun ji-ka tidak maka penyederhanaan yang kita impikan tidak terwujud. Padabagian ini kita akan perlihatkan bahwa probabilitas konfigurasi maksimumbenar-benar memilkiki nilai yang jauh lebih besar daripada konfigurasi lain-nya. Mari kita uraikan lnW di sekitar lnWmaks menggunakan deret Taylorsebagai berikut

lnW = lnWmaks +Ms=1

d lnWdns

]ns,maks

ns

+12

Ms,q

2 lnWnsnq

]ns,maksnq,maks

nsnq + ...

(2.14)

Karena W hanya fungsi variable ns saja maka

2 lnWnsnq

= s,qd2 lnWdn2s

(2.15)

dengan s,q adalah delta Kronecker yang memenuhi s,q = 1 jika s = q dans,q = 0 jika s 6= q. Dengan demikian kita dapatkan bentuk aproksimasiuntuk lnW sebagai berikut

lnW = lnWmaks +Ms=1

d lnWdns

]ns,maks

ns

+12

Ms,q

s,qd2 lnWdn2s

]ns,maksnq,maks

nsnq + ...

= lnWmaks +Ms=1

d lnWdns

]ns,maks

ns

+12

Ms

d2 lnWdn2s

]ns,maks

n2s + ...

(2.16)


Pada titik maksimum terpenuhi

Ms=1

d lnWdns

]ns,maks

ns = 0 (2.17)

sehingga persamaan (2.16) menjadi

lnW = lnWmaks +12

Ms

d2 lnWdn2s

]ns,maks

n2s + ... (2.18)

Dengan menggunakan persamaan (2.7) kita akan dapatkan

d lnWdns

=Ms=1

(ln gs lnns)

d2 lnWdnsdnq

=Ms=1

(d ln gsdnq

d lnnsdnq

)

=Ms=1

(0 1

ns

dnsdnq

)

=Ms=1

(0 1

nss,q

)= 1

nq

ataud2 lnWdnsdns

=d2 lnWdn2s

= 1ns

(2.19)

Dengan demikian persamaaan (2.18) dapat ditulis menjadi

lnW lnWmaks = 12Ms

1nsn2s + ...

ln(

W

Wmaks

)= 1

2

Ms

(nsns

)2ns + ...

(2.20)

2.4 Nilai Peluang Konfigurasi Maksimum 21

Gambar 2.6: Variasi jumlah cara menempatkan sistem terhadap konfigurasipenyusunan sistem dalam tingkat-tingkat energi assembli.

Jika kita asumsikan bahwa untuk semua nilai s, penyimpangan jumlahsistem pada tiap kelompok energi terhadap jumlah sistem dalam konfigurasimaksimum bernilai sama maka

nsns=

sehingga diperoleh

ln(

W

Wmaks

)= 1

2

Ms

2ns + ...

ln(

W

Wmaks

)= 1

22

Ms

ns = 122N


atauW

Wmaks= exp (2N/2) (2.21)

Persamaan (2.21) dapat diilustrasikan pada Gbr. 2.6.

Sebagai ilustrasi, misalkan rasio deviasi jumlah sistem pada tiap-tiapkelompok energi terhadap jumlah pada konfigurasi maksimum adalah =1010. Dengan rasio ini maka |ns gs exp[+ Es]| 1010 untuk semua sdari 1 sampai M . Ini adalah rasio penyimpangan yang sangat kecil. Jumlahsistem dalam suatu assembli seorde dengan bilangan Avogadro, atau N 1023. Dengan nilai ini maka

W

Wmaks= exp (1020 1023/2) = exp(500) 0

Jadi dengan rasio deviasi = 1010 kali konfigurasi maksimum, probabilitaspeluang konfigurasi tersebut hampir nol. Hal ini membuktikan bahwa nilaisifat assembli pada konfigurasi maksimum sama dengan nilai rata-rata sifatassembli.

Soal Latihan

1. Dari persamaan distribusi Maxwell-Boltzmann, ns = gs exp[+ Es]

a) Jelaskan apa yang direpresentasikan oleh ns, gs, dan Es.

b) Buktikan bahwa parameter harus berharga negatif.

2. Buktikan bahwa parameter dapat ditulis = ln{N/ gs exp[Es]}.3. Jika i adalah indeks untuk keadaan dalam assembli, perlihatkan bahwa

jumlah sistem yang menempati keadaan ke-i adalah ni = exp[+Ei].

Bab 3

Ruang Fasa

Isi Bab ini. Bab ini berisi diskusi tentang ruang fasa, yaitu ruang yangmengandung koordinat posisi dan momentum. Keadaan gerak sebuah ben-da sebenarnya lebih lengkap dinyatakan dalam koordinar ruang fasa karenakoordinat tersebut sekaligus memberikan informasi tentang posisi dan mo-mentum partikel sekaligus.

Tujuan Bab ini. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami apa ituruang fasa, bagaimana mencari volume ruang fasa, dan menentukan kerap-atan keadaan dalam ruang fasa. Mahasiswa juga mahir dalam melakukantransformasi kerapatan keadaan dari variable momentum ke variable energi.

Apa yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu. Tidak ada pengetahuanpendahuluan yang lebih khusus untuk memahami isi bab ini.

3.1 Definisi Ruang Fasa

Sebelum masuk lebih jauh untuk mencari besaran-besaran fisis suatu assem-bli, mari kita diskusikan satu jenis ruang yang dinamakan ruang fasa. Ruangfasa adalah ruang yang dibentuk oleh ruang spasial dan ruang momentumatau ruang spasial dan ruang kecepatan. Kita perlu memahami ruang fasakarena sebenarnya keadaan sistem statistik yang telah dan akan kita bahasadalah keadaan sistem tersebut dalam ruang fasa.

Misalkan kita memiliki sebuah partikel. Posisi partikel dapat diterang-kan dengan lengkap oleh tiga koordinat ruang, yaitu x, y dan z. Tetapi posisisaja tidak lengkap mendeskripsikan dinamika partikel. Kita juga memerlu-

24 Ruang Fasa

kan informasi tentang kecepatan partikel tersebut. Kecepatan partikel dapatdidefinisikan dengan lengkap oleh tiga koordinat kecepatan, yaitu vx, vy,danvz. Dengan demikian, dinamika sebuah partikel dapat dijelaskan secaralengkap oleh enam buah koordinat, yaitu tiga koordinat ruang: x, y, dan z,serta tiga koordinat kecepatan: vx, vy, dan vz. Kita dapat menggabungkanenam koordinat tersebut dalam satu ungkapan, yaitu (x, y, z, vx, vy, vz).

Karena momentum merupakan perkalian massa dan kecepatan, yaitu~p = mv maka alternatif lain untuk mendeskripsikan dinamika partikel se-cara lengkap adalah memberikan tiga koordinat spasial dan tiga koordinatmomentum. Sumbu koordinat ruang fasa tersebut dapat digambarkan se-cara skematik seperti pada Gbr. 3.1. Dalam deskripsi ini, dinamika partikeldapat dijelaskan dengan lengkap jika tiga koordinat spasial dan tiga koor-dinat momentum dapat ditentukan. Keenam koordinat tersebut digabungdalam satu ungkapan (x, y, z, px, py, pz).

Gambar 3.1: Ilustrasi koordinat ruang fasa.

Ruang yang direpresentasikan oleh koordinat posisi saja disebut ruangspasial. Ruang yang diungkapkan oleh koordinat momentum saja disebutruang momentum. Ruang yang direpresentasikan oleh gabungan koordinatruang dan momentum disebut ruang fasa.

3.2 Elemen volume Ruang Fasa 25

3.2 Elemen volume Ruang Fasa

Jika ruang fasa dibangun oleh ruang spasial tiga dimensi dan ruang momen-tum tiga dimensi maka:

Elemen volume ruang spasial adalah: dVs = dxdydy

Elemen volume ruang momentum adalah: dVp = dpxdpydpz

Elemen volume ruang fasa menjadi: d = dVsdVp = dxdydzdpxdpydpz

Jika ruang fasa dibangun oleh ruang spasial dua dimensi dan ruang mo-mentum dua dimensi maka:

Elemen volume ruang spasial adalah: dSs = dxdy

Elemen volume ruang momentum adalah: dSp = dpxdpy

Elemen volume ruang fasa menjadi: d = dSsdSp = dxdydpxdpy

Ruang ini digunakan untuk mendeskripsikan keadaan partikel yang bergerakpada bidang.

Jika ruang fasa dibangun oleh ruang spasial satu dimensi dan ruangmomentum satu dimensi maka:

Elemen volume ruang spasial adalah: dXs = dx

Elemen volume ruang momentum adalah: dPp = dpx

Elemen volume ruang fasa adalah: d = dXsdPp = dxdpx

Ruang ini digunakan untuk mendeskripsikan keadaan partikel yang bergerakpada kawat tipis atau tabung tipis.

Perhatikan bahwa yang dimaksud elemen volume pada penjelasan di atasbisa bermakna umum. Untuk kasus tiga dimensi, yang dimaksud elemenvolume adalah elemen volume yang umumnya kita kenal. Untuk kasus duadimensi, yang dimaksud elemen volume adalah elemen luas, sedangkan untukkasus satu dimensi, yang dimaksud elemen volume adalah elemen panjang.

26 Ruang Fasa

3.3 Energi Kinetik

Tinjau elemen kecil volume dalam ruang fasa yang dibatasi oleh koordinat-koordinat berikut ini:

Antara x sampai x+ dx

Antara y sampai y + dy

Antara z sampai z + dz

Antara px sampai px + dpx

Antara py sampai py + dpy

Antara pz sampai pz + dpz

Volume ruang fasa elemen tersebut adalah

d = dxdydzdpxdpydpz (3.1)

Di dalam elemen volume tersebut, komponen momentum partikel adalahpx, py, dan pz. Dengan demikian, energi kinetik partikel yang berada dalamelemen volume tersebut adalah

E =12mv2

=12m(v2x + v

2y + v

2z

)=

12m

([mvx]

2 + [mvy]2 + [mvz]

2)

=1

2m(p2x + p

2y + p

2z

)(3.2)

3.4 N Sistem dalam Ruang Fasa

N Sistem dalam Ruang Fasa

Di atas kita bahas hanya satu sistem dalam ruang fasa. Bagaimana jikaterdapat N sistem? Tiap sistem akan memiliki 6 koordinat fasa yang bebasyang terdiri dari 3 koordinat ruang dan 3 koordinat momentum.

Koordinat sistem pertama (x1, y1, z1, p1x, p1y, p1z)

3.4 N Sistem dalam Ruang Fasa 27

Koordinat sistem kedua (x2, y2, z2, p2x, p2y, p2z)

...

dan seterusnya

Jika sistem pertama berada pada elemen volume yang dibatasi oleh koor-dinat-koordinat berikut ini

Antara x1 sampai x1 + dx1

Antara y1 sampai y1 + dy1

Antara z1 sampai z1 + dz1

Antara p1x sampai p1x + dp1x

Antara p1y sampai p1y + dp1y

Antara p1z sampai p1z + dp1z

maka volume elemen ruang fasa yang menjadi lokasi sistem tersebut adalah

d1 = dx1dy1dz1dp1xdp1ydp1z

Dengan cara yang sama maka akan kita peroleh elemen volume ruang fasayang ditempati sistem kedua adalah

d2 = dx2dy2dz2dp2xdp2ydp2z

dan seterusnya. Dari hasil ini maka kita dapatkan elemen total ruang fasayang ditempati oleh buah sistem adalah

d = dx1dy1dz1dp1xdp1ydp1zdx2dy2dz2dp2xdp2ydp2z dxNdyNdzNdpNxdpNydpNz

=Ni=1

dxidyidzidpixdpiydpiz

=Ni=1

di

(3.3)

28 Ruang Fasa

Di dalam elemen ruang fase tersebut, energi masing-masing sistem adalah

E1 =1

2m(p21x + p

21y + p

21z

)E2 =

12m

(p22x + p

22y + p

22z

)EN =

12m

(p2Nx + p

2Ny + p

2Nz

)Dengan demikian energi total N sistem yang menempati ruang fasa dalampersaman (3.3) adalah

E = E1 + E2 + ...+ EN

=Ni=1

Ei

=Ni=1

12m

(p2ix + p

2iy + p

2iz

) (3.4)

3.5 Menghitung Jumlah Keadaan

Pada penurunan fungsi distribusi kita sudah membagi energi atas kelompok-kelompok energi dari kelompok ke-1 hingga kelompok ke-M . Tinjau sebuahsistem dengan energi E = (p2x+p

2y+p

2z)/2m . Penulisan energi di atas dapat

dibalik sebagai berikut

p2x + p2y + p

2z =

(2mE

)2(3.5)

Bandingkan persamaan (3.5) dengan persamaan untuk bola berikut ini

X2 + Y 2 + Z2 = R2 (3.6)

Persamaan (3.5) dan (3.6) persis sama. Pada persamaan (3.5), yangberperan sebagai jari-jari adalah

2mE (Gbr. 3.2). Ini berarti, dalam ko-

ordinat momentum, nilai-nilai px, py, dan pz yang memberikan E yang kon-stan adalah yang berada pada permukaan bola dengan jari-jari

2mE. Satu

kulit bola mewakili satu nilai energi. Makin besar jari-jari bola maka makinbesar energi yang dimiliki sistem yang berada pada kulit bola momentumtersebut.

3.5 Menghitung Jumlah Keadaan 29

Gambar 3.2: Bola pada ruang momentum. Jari-jari bola adalah

2mE.

Jika kita bagi energi assembli atas kelompok-kelompok energi maka tiapkelompok akan diwakili oleh kulit bola dengan ketebalan tertentu. Mari kitaambil elemen volume pada kulit bola dengan jari-jari

2mE dan ketebalan

d(

2mE) (Gbr. 3.3). Luas kulit bola tersebut adalah

Sp = 4pi(

2mE)2

= 8pimE (3.7)

Tebal kulit bola adalah

d(

2mE)

=

2md(

E)

=

2m 12E1/2dE

=

2m2

E1/2dE

(3.8)

30 Ruang Fasa

Gambar 3.3: Elemen volume dalam ruang momentum berupa kulit bola.

Dengan demikian, volume kulit bola adalah

dVp = Spd(

2mE)

= 8pimE

2m2

E1/2dE

= 2pi(2m)3/2E1/2dE

(3.9)

Volume ruang fasa yang ditempati oleh sistem yang berada pada kulitbola momentum serta dalam elemen volume spasial dVs = dxdydz adalah

d = dxdydz 2pi(2m)3/2E1/2dE (3.10)

Volume ruang fasa yang ditempati oleh sistem pada semua ruang spasial,tetapi tetap berada dalam kulit bola momentum diperoleh dengan mengin-

3.6 Menentukan ns 31

tegralkan persamaan (3.10) pada elemen ruang spasial. Hasilnya adalah

p =dxdydz 2pi(2m)3/2E1/2dE

= 2piV (2m)3/2E1/2dE(3.11)

dengan V =dxdydz adalah volume total ruang spasial yang tidak lain

merupakan volume assembli itu sendiri.

Kita belum mengetahui berapa kerapatan keadaan dalam ruang fasa.Untuk sementara kita menganggap kerapatan keadaan tersebut adalah B.Jumlah keadaan dalam elemen ruang fasa p sama dengan volume ruangfasa dikali kerapatannya, yaitu

Bp = 2piV B(2m)3/2E1/2dE (3.12)

Persamaan (3.12) mirip dengan persamaan untuk mencari massa denganmengalikan rapat massa dan volume. Jika kelompok-kelompok energi yangkita bangun di dalam assembli diwakili oleh kulit bola maka kita dapatmenyamakan dalam persamaan (2.11) dengan Bp pada persamaan (3.12).Akhirnya, kita dapatkan ungkapan untuk gs sebagai

gs = 2piV B(2m)3/2E1/2dE (3.13)

3.6 Menentukan ns

Setelah mengetahui bentuk gs dalam fungsi kontinu yaitu yang tertuangdalam persamaan (3.13), selanjutnya kita akan menentukan ns dalam ben-tuk kontinu juga. Dalam bentuk diskrit, hubungan antara ns dan gs adalahns = gs exp [+ Es]. Pada hubungan ini, n s menyatakan jumlah sistem.Sekarang kita mendefisikan karapat sistem, yaitu jumlah sistem per satu-an energi. Untuk kerapatan sistem kita gunakan symbol n(E). Dengandemikian, jumlah sistem dalam kulit bola yang dibatasi oleh energi E danE + dE adalah n(E)dE. Dengan mengganti ns dengan n(E)dE dan gs den-gan persamaan (3.13) kita dapatkan hubungan antara jumlah sistem dankerapatan keadaan dalam bentuk kontinu sebagai berikut

n(E)dE = 2piV B(2m)3/2E1/2dE e+E= 2piV B(2m)3/2 e+EE1/2dE

(3.14)

32 Ruang Fasa

3.7 Elemen Ruang Fasa dalam Momentum/Laju

Persamaan (3.11) menyatakan elemen volume ruang fasa dinyatakan dalamvariabel energi. Kita juga dapat menyatakan elemen volume tersebut dalamvariabel momentum atau laju. Kita mulai dari hubungan E = p2/2m se-hingga

E1/2 =(

12m

)1/2p (3.15)

dE =1mpdp (3.16)

Substitusi persamaan (3.15) dan (3.16) ke dalam persamaan (3.11) diperolehungkapan elemen ruang fasa dinyatakan dalam momentum sebagai berikut.

p = 2piV (2m)3/2

(1

2m

)1/2p 1

mpdp

= 4piV p2dp(3.17)

Mengingat hubungan antara momentum dan laju p = mv maka dp =mdv. Konsekuensinya, kita dapat menulis elemen ruang fasa dalam koordi-nat laju sebagai berikut,

v = 4piV (mv)2(mdv)

= 4piV m3v2dv(3.18)

Dengan menggunakan persamaan (3.18) maka kita dapatkan gs = Bp =4piBVm3v2dv dan kerapatan keadaan menjadi

n(v)dv = gse+E

= 4piBVm3v2dv e+(mv2/2)

= (4piBVm3e)v2emv2/2dv

(3.19)

Hasil yang kita peroleh di atas akan sering kita jumpai pada bab-bab berikut-nya, khususnya saat melakukan transformasi dari penjumlahan diskrit keintegral kontinu.

Soal Latihan

1. Jelaskan apa yang dimaksud ruang fasa dan mengapa ruang fasa pen-ting dalam fisika statistik.

3.7 Elemen Ruang Fasa dalam Momentum/Laju 33

2. Sebuah assembli mengandung N sistem. Ada berapa koordinat ruangfasa yang diperlukan untuk menggambar assembli tersebut?

3. Berapa energi kinetik suatu sistem yang memiliki koordinat ruang fasaantara (x, y, z, px, py, pz) sampai (x+ dx, y + dy, z + dz, px + dpx, py +dpy, pz + dpz).

4. Misalkan kerapatan keadaan dalam ruang fasa adalah B, berapa jum-lah keadaan dalam elemen ruang fasa antara (px, py, pz) sampai (px +dpx, py + dpy, pz + dpz) pada seluruh ruang spasial.

5. Kembali ke soal no. 4, berapa jumlah keadaan dalam ruang fasadengan energi kinetik antara E sampai E + dE dalam seluruh ruangspasial?

34 Ruang Fasa

Bab 4

Parameter-ParameterStatistik

Isi Bab ini. Bab ini berisi penentuan parameter dan yang terdapatdalam fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann. Parameter-parameter terse-but telah diperkenalkan untuk mengakomodasi hukum kekekalan energi danjumlah partikel yang dimiliki assembli.

Tujuan Bab ini. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami bagaimanamenentukan parameter dan dalam fungsi distribusi Maxwell-Boltzmanndan alasan-alasan yang digunakan dalam proses penentuan parameter-para-meter tersebut.

Apa yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu. Pemahaman tentang isiBab 2 dan Bab 3 sangat penting untuk mengikuti penjelasan dalam bab ini.Juga pemahaman tentang konsep entropi yang dipelajari di termodinami-ka serta dasar prinsip ekipartisi energi yang dipelajari pada gas ideal jugasangat membantu dalam memahami isi bab ini.

4.1 Menentukan Parameter

Ketika mencari konfigurasi dengan probabilitas terbesar, kita memperke-nalkan dua pengali Lagrange, yaitu dan untuk mengakomodasi syaratbatas bahwa jumlah sistem dan energi assembli harus konstan. Pertanyaanberikutnya adalah adakah makna fisis parameter-parameter tersebut? Inilahyang kita bahas sekarang.

36 Parameter-Parameter Statistik

Sudah kita tunjukkan bahwa jumlah sistem yang menempati kelompokenergi dengan energi rata-rata Es dan mengandung keadaan sebanyak gsmemenuhi persamaan (2.11) yaitu ns = gse+Es . Secara fisis kita meyakinibahwa tidak mungkin ada sistem yang memiliki energi tak berhingga. Olehkarena itu jika Es maka haruslah ns 0. Ini hanya mungkin terpenuhijika parameter bernilai negatif. Lalu, bergantung pada besaran apakahparameter ?

Gambar 4.1: Dua buah assembli terisolasi digabung setelah membuka masing-masing satu sisinya. Pada batas dua assembli diijinkan pertukaran energi tetapitidak diijinkan pertukaran partikel.

Setelah mengetahui bahwa nilai parameter harus negatif mari kitamencari bentuk ekspresi dari parameter tersebut. Untuk mempermudahmari kita tinjau dua assembli terisolasi dan berada pada suhu yang samaT . Kesamaan suhu bermakna bahwa kedua assembli berada dalam kesetim-bangan termal. Assembli pertama memiliki N1 sistem dan assembli keduamengandung N2 sistem. Kemudian salah satu sisi masing-masing assem-bli dilepas dan dua assembli dikontakkan pada sisi yang dilepas tersebut.

4.1 Menentukan Parameter 37

Setelah dikontakkan dua assembli menjadi sebuah assembli baru yang tetapterisolasi dari lingkungan. Misalkan pada permukaan kontak dua assem-bli dipasang dinding sedemikian rupa sehingga tidak ada pertukaran sistemantara dua assembli namun pertukaran energi diperbolehkan. Akibatnya,sebelum dan sesudah dua assembli disatukan, jumlah partikel di assemblikiri maupun assembli kanan tidak berubah. Tetapi energi yang dimilikimasing-masing assembli awal bisa berubah (lihat Gbr. 4.1).

Karena assembli gabungan terisolasi dari lingkungan maka pertukaranenergi antar dua assembli awal tidak mengubah energi total assembli gabun-gan. Dengan persyaratan di atas kita dapatkan beberapa konstrain berikutini

N1 =s

n1s = konstan (4.1)

N2 =s

n2s = konstan (4.2)

U = U1 + U2 =s

n1sE1s +s

n2sE2s = konstan (4.3)

Apabila kita nyatakan dalam bentuk diferensial, persamaan (4.1) sampai(4.3) berbentuk

N1 =s

n1s = 0 (4.4)

N2 =s

n2s = 0 (4.5)

U =s

E1sn1s +s

E2sn2s = 0 (4.6)

Sebelum ke dua assembli digabung maka jumlah penyusunan sistem padakeadaan-keadaan energi di masing-masing assembli memenuhi persamaan(2.3), yaitu

W1 = N1!s

(gn1s1sn1s!

)(4.7)

W1 = N2!s

(gn2s2sn2s!

)(4.8)

Ketika dua assembli digabung maka probabilitas penyusunan sistem-sistempada assembli gabungan tersebut merupakan perkalian probabilitas penyusunanpada masing-masing assembli awal, yaitu

W = W1W2


atau bila diungkapkan dalam notasi logaritma menjadi

lnW = lnW1 + lnW2 (4.9)

Kita akan mencari konfigurasi dengan probabilitas maksium dengan mem-perhatikan tiga konstrain pada persamaan (4.4) sampai (4.6). Ini men-syaratkan pengenalan tiga pengali Langrange 1, 2, dan . Syarat maksi-mum memenuhi persamaan

lnW + 1N1 + 2N2 + U = 0 (4.10)

Dengan menggunakan persamaan (4.9) maka

lnW = lnW1 + lnW2

=s

lnW1n1s

n1s +s

lnW2n2s

n2s(4.11)

Substitusi persamaan (4.4), (4.5), (4.6), dan (4.11) ke dalam persamaan(4.10) diperoleh

s

lnW1n1s

n1s +s

lnW2n2s

n2s + 1s

n1s

+2s

n2s +

[s

E1sn1s +s

E2sn2s

]= 0

yang dapat disederhanakan menjadis

[ lnW1n1s

+ 1 + E1s

]n1s +

s

[ lnW2n2s

+ 2 + E2s

]n2s = 0

(4.12)Agar persamaan (4.12) selalu terpenuhi untuk variasi n1s dan n2s berapapun maka suku dalam kurung pada harus nol, atau

lnW1n1s

+ 1 + E1s = 0 (4.13)

lnW2n2s

+ 2 + E2s = 0 (4.14)

Persaman (4.13) dan (4.14) mengandung yang sama. Ini mengisya-ratkan bahwa jika merupakan fungsi parameter termodinamika

4.2 Bagaimana Kebergantungan pada Suhu? 39

maka parameter yang menentukan haruslah yang tidak berubahsebelum dan sesudah dua assembli digabung. Parameter tersebuthanya suhu!! Sebelum dan sesudah dua assembli digabung suhunya sama.Jadi kita simpulkan bahwa hanya merupakan fungsi suhu, atau

= (T ) (4.15)

4.2 Bagaimana Kebergantungan pada Suhu?

Setelah kita mengetahui bahwa merupakan fungsi suhu maka langkah se-lanjutnya adalah menentukan kebergantungan terhadap suhu secara ek-splisit. Untuk maksud mari kita lihat assembli pada Gbr. 4.2 berikut ini. Didalam assembli kita letakkan sebuah pemanas yang dapat mensuplai kalorke dalam assembli.

Gambar 4.2: Kalor disuplai ke dalam assembli.

Energi dalam yang dimiliki assembli adalah U . Jika ke dalam assem-bli diberikan tambahan kalor dQ maka kalor akan mengubah energi dalamassembli dan melakukan kerja pada assembli tersebut. Hubungan antaraperubahan energi dalam, kalor yang diberikan dan kerja yang dilakukanmemenuhi hukum I termodinamika, yaitu dU = dQ + dW . Dengan meng-gunakan definisi dW = pdV maka


dU = dQ pdV (4.16)Karena ada kemungkinan volume assembli berubah ketika menyerap kalor

maka tingkat energi dalam assembli juga mungkin berubah. Akibatnya, en-ergi rata-rata sistem dalam satu kelompok energi, yaitu Es, juga mungkinberubah sehingga secara umum terpenuhi Es 6= 0. Dengan demikian.Mengingat U =

snsEs maka secara umum dalam bentuk diferensial dari

U adalah

U =s

Esns +s

nsEs (4.17)

Bagaimana hubungan persamaan (4.16) dan (4.17)? Masih ingat pela-jaran fisika modern saat membahas partikel kuantum yang terperangkapdalam kotak (sumur potensial)? Di situ dibahas bahwa tingkat energi par-tikel dalam kotak bergantung pada ukuran kotak. Makin besar ukuran kotakmaka tingkat-tingkat energi makin rapat dan menjadi kontinu ketika ukurankotak menuju tak berhingga (Gbr. 4.3). Khusus untuk kotak satu dimen-si, energi tiap tingkat energi memenuhi Ei i2/L di mana i adalah indekkeadaan (bilangan kuantum) dan L adalah lebar kotak. Kelakuan serupajuga dapat diterapkan di sini.

Ketika dalam assembli disuplai kalor, perubahan tingkat energi dalamassembli semata-mata disebabkan perubahan ukuran spasial assembli. Jadi,perubahan tingkat energi dalam assembli, yaitu Es merupakan kontribusidari perubahan ukuran assembli. Dengan demikian, korelasi antara per-samaan (4.16) dan (4.17) menjadi sebagai berikut:

Suku pertama pada persamaan (4.17) merupakan kontribusi dari pem-berian kalor

Suku kedua dalam persamaan (4.17) merupakan kontribusi dari pe-rubahan volume assembli.

Dengan demikian kita dapat mengambil kesimpulan berikut inis

Esns = Q (4.18)

s

nsEs = pdV (4.19)

4.2 Bagaimana Kebergantungan pada Suhu? 41

Gambar 4.3: Pada kotak kecil, jarak antar tingkat energi lebar sedangkan padakotak besar jarak antar tingkat energi sempit.

Jika kita menganggap bahwa dinding assembli sangat tegar sehinggatidak terjadi perubahan volume pada saat penyerapan kalor Q maka

U = Q (4.20)

Dengan demikian, syarat konfigurasi dengan probabilitas maksimum menja-di

lnW + N + Q = 0 (4.21)

Untuk assembli yang terisolasi, jumlah sistem tidak berubah sehinggaN = 0. Akibat dari pembatasan tersebut maka persamaan (4.21) menjadi lnW + Q = 0 atau

lnW = Q (4.22)

Ingat, lnW merupakan sebuah fungsi sehingga lnW merupakan difer-ensial sejati, yaitu merupakan selisih dua nilai berdekatan. Tetapi Q bukanmerupakan diferensial sejati. Q tidak dapat dinyatakan sebagai selisih duanilai dari sebuah fungsi. Dengan demikian tampak bahwa ruas kiri dankanan persamaan (4.22) tidak konsisten. Agar konsisten maka ruas kananpun harus merupakan diferensial sejati. Dalam pelajaran termodinamika,


sudah dibahas bahwa Q bisa diubah menjadi diferensial sejati jika dibagidengan suhu. Jadi, walaupun Q bukan diferensial sejati tetapi Q/T meru-pakan diferensial sejati. Di termodinamika dibahas bahwa Q/T merupakansebuah besaran termodinamika yang bernama entropi. Dengan demikian,agar ruas kanan persamaan (4.22) menjadi diferensial sejati maka haruslah 1/T . Dan karena kita menunjukkan bahwa berharga negatif, makabentuk umum sebagai fungsi suhu manjadi

= 1kT

(4.23)

dengan k sebuah konstanta. Nanti akan kita buktikan bahwa k tidak laindaripada konstanta Boltzmann.

4.3 Menentukan dari Energi Rata-Rata

Cara lain menentukan parameter adalah menggunakan konsep energi rata-rata yang diturunkan menggunakan teori kinetik gas ideal. Satu atom ataumolekul gas yang hanya melakukan gerak translasi dalam tiga arah koordinatruang memiliki energi kinetik rata-rata

E =32kT (4.24)

dengan T suhu mutlak dan k konstanta Boltzmann. Kita bisa mendapatkanenergi rata-rata tersebut dengan menggunakan kosep kerapatan keadaanyang telah kita pelajari pada bab terdahulu. Mari kita lakukan di sini.Dalam Bab 3 kita sudah menurunkan jumlah partikel yang berada dalamjangkauan energi antara E sampai E + dE adalah

n(E)dE = 2piV B(2m)3/2 e+EE1/2dE

4.3 Menentukan dari Energi Rata-Rata 43

Energi rata-rata partikel dapat dinyatakan dalam bentuk

E =

0

En(E)dE

0

n(E)dE

=

0

E 2piV B(2m)3/2 e+EE1/2dE0

2piV B(2m)3/2 e+EE1/2dE

=2piV B(2m)3/2 e

0

eEE3/2dE

2piV B(2m)3/2 e0

EE1/2dE

=

0

eEE3/2dE

0

EE1/2dE

(4.25)

Mari kita selesaikan integral pada pada persamaan (4.25) dengan meli-hat pembilang terlebih dahulu. Untuk menyelesaikan integral tersebut kitamisalkan

eEdE = dx (4.26a)

E3/2 = y (4.26b)

Dengan melakukan integral pada dua sisi persamaan (4.26) diperoleh

x =1eE

dan dengan melakukan diferensial pada persamaan (4.26b) diperoleh

dy =32E1/2dE

Selanjutnya kita gunakan aturan rantai untuk integralydx = xy xdy.

Dengan aturan ini maka kita dapat menulis bagian pembilang persamaan


(4.25) sebagai

0

eEE3/2dE =[

1eEE3/2

]0

0

(1eE

)(32E1/2dE

)

=[

1e3/2 1

e003/2

] 3

2

0

E1/2eEdE

(4.27)

Karena negatif maka e 0 dan menuju nol lebih cepat daripadamembesarnya 3/2 sehingga perkalian e3/2 0. Dengan sifat inimaka suku pertama di sisi kanan persamaan (4.27) yaitu yang berada didalam kurung siku nilainya nol dan integral pembilang di persamaan (4.25)menjadi

0

eEE3/2dE = 32

0

E1/2eEdE (4.28)

Substitusi persamaan (4.28) ke dalam persamaan (4.25) didapatkan energirata-rata sistem menjadi

E =

0

eEE3/2dE

0

EE1/2dE

= 32

0

eEE1/2dE

0

EE1/2dE

= 32

Karena energi rata-rata ini harus sama dengan 3kT/2 maka 3/2 = 3kT/2sehingga diperoleh ungkapan untuk

= 1kT

yang persis sama dengan persamaan (4.23). Hasil ini pun membuktikanbahwa konstanta k benar-benar merupakan konstanta Boltzmann karenaberasal dari ungkapan energi rata-rata sistem.

4.4 Menentukan Parameter

Setelah mengetahui ungkapan untuk gs, kita siap menentukan parameterpengali Lagrange . Kita mulai dari hubungan ns = gse+Es . Selanjutnya

4.4 Menentukan Parameter 45

kita lakukan penjumlahan untuk semua s yang mungkin

s

ns =s

gse+Es = e

s

gseEs

Penjumlahan di ruas kiri adalah jumlah total sistem. Jadi

N = es

gseEs (4.29)

Mari kita fokuskan pada suku penjumlahan di ruas kanan persamaan(4.29). Kita ganti gs dengan bentuk kontinu yang diberikan oleh persamaan(3.13). Penjumlahan selanjutnya diganti dengan integral pada semua jangkauanenergi yang mungkin, yaitu dari E = 0 sampai E =. Bentuk integral yangdimaksud adalah

N = e

0

2piV B(2m)3/2eEE1/2dE

= 2piV B(2m)3/2e

0

eEE1/2dE

(4.30)

Untuk menyelesaikan integral (4.30) mari kita mendefinisikan E = ysehingga

E = y

(4.31a)

dE = 1dy (4.31b)

dan

E1/2 =( y

)1/2=( 1

)1/2y1/2 (4.31c)

Dengan mensubstitusi persamaan (4.31a) sampai (4.31c) maka suku integral


di ruas kanan persamaan (4.30) menjadi

0

eEE1/2dE =

0

ey( 1

)1/2y1/2

( 1

)dy

=( 1

)3/2 0

eyy1/2dy

=( 1

)3/2(

32

)di mana (x) adalah fungsi gamma. Dapat dibuktikan secara analitik (walaupunagak panjang) dan juga sudah ditabelkan bahwa (3/2) =

pi/2 sehingga

0

eEE1/2dE =( 1

)3/2pi2

(4.32)

Akhirnya, substitusi persamaan (4.32) ke dalam (4.30) diperoleh

N = 2piV B(2m)3/2e( 1

)3/2pi2

(4.33)

Karena kita sudah membuktikan = 1/kT maka

N = 2piV B(2m)3/2e(kT )3/2pi

2= V B(2pimkT )3/2e

Dengan demikian parameter memenuhi

e =N

V B(2pimkT )3/2

atau

= ln

[N

V B(2pimkT )3/2

](4.34)

Hingga saat ini kita sudah lengkap menentukan parameter-parameterfungsi distribusi klasik yang semula merupakan pengali Lagrange yang diper-kenalkan untuk memperhitungkan jumlah partikel konstan dan energi totalkonstan.

4.5 Makna Parameter 47

Gambar 4.4: Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann (kurva) dan hasil pengukuranuntuk assembli gas cesium (simbol).

Substitusi persamaan (4.23) dan (4.34) ke dalam persamaan (3.17) kitadapatkan bentuk lengkap dari fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann menjadi

n(v)dv = 4piBVm3N

BV (2pimkT )3/2v2emv

22kT

=4piNm3/2

(2pikT )3/2v2emv

2/2kT

(4.35)

Gambar 4.4 adalah pembuktian secara eksperimen fungsi distrubisi Max-well-Boltzmann untuk gas cesium. Gas dalam ruang dengan suhu tertentudikeluarkan dari lubang kecil. Distribusi laju atom/molekul gas yang kelu-ar diukur dan dibandingkan dengan fungsi Maxwell-Boltzmann yang diplotpada suhu yang sama. Terdapat kesesuaian yang sangat baik antara hasilpengamatan dan prediksi teoretik.

4.5 Makna Parameter

Mari kita lihat lebih eksplisit lagi makna parameter . Karena N sistemmenempati ruang dengan volume V maka volume rata-rata yang ditem-


pati satu sistem adalah N/V . Jika dianggap satu sistem menempati ruangberbentuk kubus dengan panjang sisi l maka volume kubus adalah l3 danmemenuhi l3 = V/N . Jika sistem menempati pusat kubus, maka jarak rata-rata antar sistem sama dengan panjang sisi kubus, yaitu l.

Energi rata-rata sistem dalam ruang tiga dimensi adalah 3kT/2. Energiini berasal dari energi kinetik sistem tersebut. Jadi

Energi kinetik rata-rata = p2/2m = 3kT/2

ataup =

3mkT (4.36)

Panjang gelombang de Broglie rata-rata yang dimiliki sistem adalah

=h

p

=h

3mkT

(4.37)

Dengan demikian, parameter memenuhi

e =N/V

Bh3(2pi/3)3/2 (3mkT )3/2

h3

=1/`3

Bh3(2pi/3)3/2 13

=1

Bh3(2pi/3)3/2

(

`

)3(4.38)

Tampak dari persamaan (4.38) bahwa nilai bergantung pada rasiopanjang gelombang de Broglie termal sistem dengan jarak rata-rata antarsistem. Pada suhu yang sangat rendah, momentum sistem sangat kecil se-hingga panjang gelombang de Broglie sangat besar. Akibatnya e jauh lebihbesar dari satu. Sebaliknya, pada suhu sangat tinggi, momentum sistem san-gat besar sehingga panjang gelombang de Broglie sangat kecil. Akibatnya,nilai e jauh lebih kecil daripada satu.

Soal Latihan

1. Buktikan bahwa panjang gelombang termal de Broglie memenuhi =h/

3mkT .

4.5 Makna Parameter 49

2. Buktikan bahwa ln(/`) dengan adalah panjang gelombangtermal de Broglie dan ` adalah jarak rata-rata antar sistem.

Bab 5

Statistik Bose-Einstein

Isi Bab ini. Bab ini berisi perumusan statistik Bose-Einstein untuk assem-bli boson, yaitu partikel kuantum dengan spin merupakan kelipatan bulatdari ~ = h/2pi. Contoh partikel boson adalah foton, fonon, dan atom helium.

Tujuan Bab ini. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami bagaimanaproses membangun statistik Bose-Einstein dengan menggunakan prinsip statis-tik murni yang digabungkan dengan prinsip kekekalan dalam fisika sepertikekekalan energi dan jumlah partikel.

Apa yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu. Untuk memahami penu-runan fungsi distribusi Bose-Einsten mahasiswa perlu memahami prinsippermutasi untuk benda-benda yang tidak dapat dibedakan, sifat yang ditun-jukkan oleh sebuah besaran yang nilainya kekal (konstan), serta bagaimanamencari nilai maksimum dari sebuah fungsi. Pemahaman tentang penu-runan distribusi Maxwell-Boltzmann juga merupakan modal berharga untukmemahami penurunan distribusi Bose-Einstein secara lebih mudah.

5.1 Sifat Dasar Boson

Penyusunan partikel yang kita bahas pada bab sebelumya berlaku untuk par-tikel dapat dibedakan. Partikel semacam ini dikenal dengan partikel klasik.Contoh partikel klasik adalah atom dan molekul gas. Dapat dibedakan disini bukan berarti kita dapat melihat dengan mata telanjang bahwa jikaada dua partikel maka kita dapat membedakan mana partikel A dan manapartikel B. Dengan mata telanjang atau bahkan dengan mikroskop pun ki-

52 Statistik Bose-Einstein

ta tidak dapat membedakan satu partikel dengan partikel lainnya. Dapatdibedakan di sini hanya dari sudut pandang teori (konsep). Jika ada duapartikel yang memiliki energi berbeda dipertukarkan maka kita menganggapakan mendapatkan penyusunan yang baru.

Kalau kita melangkah ke partikel sub atomik seperti proton dan elektronmaka sifat dapat dibedakan menjadi hilang. Pertukaran dua partikel yangmenempati tingkat energi berbeda tidak menghasilkan jenis penyusunanbaru. Dikatakan partikel-partikel ini tidak terbedakan.

Sifat partikel sub atomik yang tidak dapat dibedakan dapat dipahamidari konsep gelombang partikel. Panjang gelombang de Broglie partikel-partikel tersebut memenuhi = h/mv dengan m massa partikel dan v lajupartikel. Karena m untuk partikel sub atomik sangat kecil maka panjanggelombang cukup besar. Panjang gelombang yang besar menyebabkanfungsi gelombang dua partikel yang berdekatan tumpang tindih (berimpi-tan). Kalau dua fungsi gelombang tumpang tindih maka kita tidak dapatlagi membedakan dua partikel yang memiliki fungsi-fungsi gelombang terse-but.

Kondisi sebaliknya dijumpai pada partikel klasik seperti molekul-molekulgas. Massa partikel sangat besar sehingga sangat kecil. Akibatnya tidakterjadi tumpang tindih fungsi gelombang partikel-partikel tersebut, sehinggasecara prinsip partikel-partikel tersebut dapat dibedakan.

Akan kita lihat nanti bahwa pada suhu yang sangat tinggi partikel subatomik berperilaku seperti partikel klasik. Pada suhu yang sangat tinggi ke-cepatan partikel sangat besar sehingga panjang gelombangnya sangat kecil.Akibatnya, tumpang tindih gelombang partikel-partikel menjadi hilang danpartikel menjadi terbedakan.

Sistem kuantum yang akan kita bahas ada dua macam, yaitu boson danfermion. Boson adalah sistem yang memiliki spin kelipatan bulat dari ~.Sistem ini tidak memenuhi prinsip ekslusi Pauli sehingga satu tingkat energidapat ditempati oleh partikel dalam jumlah berapa pun. Sebaliknya, fermionmemiliki spin yang merupakan kelipatan gajil dari ~/2. Sistem ini memenuhiprinsip ekslusi Pauli. Tidak ada dua partikel atau lebih yang dapat memilikikeadaan yang sama.

5.2 Konfigurasi Boson 53

5.2 Konfigurasi Boson

Mari kita mulai dengan munurunkan statistik untuk boson. Statistik ini di-namakan statistik Bose-Einstein. Agar dapat menentukan fungsi distribusiBose-Einstein, kita terlebih dahulu harus menentukan konfigurasi denganprobabilitas paling besar. Konfigurasi ini memiliki probabilitas yang jauhlebih besar daripada konfigurasi-konfigurasi lainnya sehingga hampir seluruhwaktu sistem boson membentuk konfigurasi tersebut. Sifat rata-rata assem-bli dapat dianggap sama dengan sifat pada konfigurasi maksimum tersebut.

Kita tetap membagi tingkat energi sistem-sistem dalam assembli atas Mkelompok sebagai berikut:

Kelompok-1 memiliki jumlah keadaan g1 dan energi rata-rata E1

Kelompok-2 memiliki jumlah keadaan g2 dan energi rata-rata E2

...

Kelompok-s memiliki jumlah keadaan gs dan energi rata-rata Es

...

Kelompok-M memiliki jumlah keadaan gM dan energi rata-rata EM

Kita akan menentukan berapa cara penyusunan yang dapat dilakukan jika:

Ada n1 sistem di kelompok-1

Ada n1 sistem di kelompok-2

...

Ada ns sistem di kelompok-s

...

Ada nM sistem di kelompok-M


Gambar 5.1: Penyusunan orang dan kursi analog dengan penyusunan boson dalamtingkat-tingkat energi. Untuk merepresentasikan sistem boson, bagian paling bawahharus selalu kursi.

5.2 Konfigurasi Boson 55

Mari kita tinjau kelompok-1 di mana terdapat g1 keadaan dan n1 sistem.Mari kita analogikan satu keadaan sebagai sebuah kursi dan satu sistem di-analogikan sebagai sebuah benda yang akan diletakkan di kursi tersebut.Satu kursi dapat saja kosong atau menampung benda dalam jumlah berapasaja. Untuk menghitung jumlah penyusunan benda, kita dapat melakukan-nya sebagai berikut.

Dari Gbr 5.1, apa pun cara penyusunan yang kita lakukan, yang beradadi ujung bawah selalu kursi karena benda harus disangga oleh kursi (sistemharus menempati tingkat energi). Oleh karena itu, jika jumlah total kursiadalah g1 maka jumlah total kursi yang dapat dipertukarkan hanya g1 1karena salah satu kursi harus tetap di ujung bawah. Bersama dengan orangsebanyak n1, maka jumlah total benda yang dapat dipertukarkan dengantetap memenuhi sifat boson adalah (g1 1) + n1 = g1 + n1 1. Akibatnya,jumlah cara penyusunan benda yang dilakukan adalah (g1 + n1 1)!.

Karena sistem boson tidak dapat dibedakan satu dengan lainnya, makapertukaran sesama orang dan sesama kursi tidak menghasilkan penyusunanyang berbeda. Jumlah penyusunan sebanyak (g1 + n1 1)! secara implisitmemperhitungkan jumlah pertukaran antar orang dan antar kursi. Jumlahpertukaran antar orang adalah n1! dan jumlah pertukaran antar kursi adalahg1!. Oleh karena itu, jumlah penyusunan yang berbeda untuk n1 boson didalam g1 keadaan hanyalah

(g1 + n1 1)!n1!g1!

(5.1)

Hal yang sama berlaku untuk kelompok-2 yang mengandung g2 keadaandengan populasi n2 sistem. Jumlah cara penyusunan yang berbeda sistem-sistem ke dalam keadaan-keadaan tersebut adalah

(g2 + n2 1)!n2!g2!

(5.2)

Terakhir hingga kelompok energi ke-M , jumlah cara penyusunan yang berbe-da untuk nM sistem dalam gM keadaan adalah

(gM + nM 1)!nM !gM !

(5.3)

Akhirnya, jumlah total cara penyusunan yang berbeda secara bersamaan n1sistem di dalam g1 keadaan, n2 sistem di dalam g2, . . . , nM sistem dalam


gM keadaan adalah

(g1 + n1 1)!n1!g1!

(g2 + n2 1)!n2!g2!

. . . (gM + nM 1)!nM !gM !

=Ms=1

(gs + ns 1)!ns!gs!

(5.4)

Kita harus juga memperhitungkan jumlah cara membawa N sistem dariluar untuk didistribusikan ke dalam tingkat-tingkat energi di atas. Jumlahcara pengambilan N sistem adalah N ! cara. Karena sistem tidak dapatdibedakan maka jumlah tersebut harus dibagi dengan N !, sehingga jumlahtotal cara membawa N sistem ke dalam tingkat-tingkat energi di dalamassembli adalah N !/N ! = 1. Akhirnya, kita dapatkan jumlah penyusunansistem-sistem dalam assembli boson adalah

W =Ms=1

(gs + ns 1)!ns!gs!

(5.5)

5.3 Konfigurasi Maksimum

Selanjutnya kita akan menentukan konfigurasi dengan peluang kemunculanpaling besar. Ambil logaritma ruas kiri dan kanan persamaan (5.5)

lnW = lnMs=1

(gs + ns 1)!ns!gs!

=Ms=1

ln[

(gs + ns 1)!ns!gs!

]

= lnMs=1

ln (gs + ns 1)! lnns! ln gs!(5.6)

Kemudian kita gunakan pendekatan Stirling untuk melakukan penyeder-hanaan sebagai berikut

ln(gs + ns 1)! = (gs + ns 1) ln(gs + ns 1) (gs + ns 1)ln gs! = gs ln gs gslnns! = ns lnns ns

Dengan pendekatan tersebut maka persamaan (5.6) menjadi

lnW =Ms=1

[(gs + ns 1) ln(gs + ns 1) (gs + ns 1)

gs ln gs + gs ns lnns + ns](5.7)

5.3 Konfigurasi Maksimum 57

Jumlah total sistem serta energi total assembli memenuhi N =Ms=1

ns

dan U =Ms=1

nsEs. Untuk assembli yang terisolasi sehingga tidak ada per-

tukaran sistem maupun energi antara assembli dan lingkungan. Jumlah sis-tem maupun energi assembli konstanta. Pembatasan ini dapat dinyatakandalam bentuk diferensial berikut ini

N =Ms=1

ns = 0 (5.8)

U =Ms=1

Esns = 0 (5.9)

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan memaksi-mumkan lnW . Dengan memperhatikan konstrain pada persamaan (5.8) dan(5.9) maka konfigurasi dengan probabilitas maksimum memenuhi

lnW + N + U = 0 (5.10)

Selanjutnya dengan mengambil diferensial persamaan (5.7) kita peroleh

lnW =Ms=1

[(gs + ns 1) ln(gs + ns 1) (gs + ns 1)

gs ln gs + gs ns lnns + ns](5.11)

Mari kita hitung suku per suku yang terkandung dalam persamaan (5.11).

i)

(gs + ns 1) ln(gs + ns 1)=

ns(gs + ns 1) ln(gs + ns 1) ns

=[ln(gs + ns 1) + (gs + ns 1)

1(gs + ns 1)

]ns

= [ln(gs + ns 1) + 1] ns


ii)

(gs + ns 1) = ns

(gs + ns 1) ns = ns

iii)

gs ln gs =

nsgs ln gs ns = 0

iv)

ns lnns =

nsns lnns ns

=[lnns + ns 1

ns

]ns

= [lnns + 1] ns

Persamaan (5.11) selanjutnya menjadi

lnW =Ms=1

[ln(gs + ns 1) + 1] ns ns 0 + 0 [lnns + 1] ns + ns

=Ms=1

[ln(gs + ns 1) lnns] ns

=Ms=1

ln[gs + ns 1

ns

]ns

(5.12)

Karena gs >> 1 dan ns >> 1 maka gs + ns 1 = gs + ns sehinggapersamaan (5.12) dapat disederhanakan lebih lanjut menjadi

lnW =Ms=1

ln[gs + nsns

]ns (5.13)

Substitusi persamaan (5.8), (5.9), dan (5.13) ke dalam persamaan (5.10)diperoleh

Ms=1

ln[gs + nsns

]ns +

Ms=1

ns + Ms=1

Esns = 0

5.4 Parameter untuk Photon dan Phonon 59

atauMs=1

{ln[gs + nsns

]+ + Es

}ns = 0 (5.14)

Kesamaan di atas harus berlaku untuk semua variasi ns. Ini dijamin jikabagian di dalam kurung selalu nol, yaitu

ln[gs + nsns

]+ + Es = 0

atau

gs + nsns

= exp ( Es)gs + ns = ns exp ( Es)

gs = ns [exp ( Es) 1]Dan akhirnya didapatkan ungkapan untuk jumlah populasi pada tiap-tiaptingkat energi sebagai berikut

ns =gs

exp ( Es) 1 (5.15)

Ternyata untuk assembli boson, parameter juga berbentuk = 1/kT .Dengan demikian, bentuk lengkap fungsi distribusi Bose-Einstein untuk as-sembli boson adalah

ns =gs

exp (+ Es/kT ) 1 (5.16)

5.4 Parameter untuk Photon dan Phonon

Kita perhatikan untuk parameter pada persamaan (5.16). Ada satu kekhusu-san untuk assembli foton (kuantisasi gelombang elektromagnetik) dan fonon(kuantisasi getaran atom dalam kristal) dan ini berimplikasi pada nilai pa-rameter . Dalam suatu kotak, foton bisa diserap atau diciptakan olehatom-atom yang berada pada dinding kotak (Gbr. 5.2). Akibatnya, jumlahfoton dalam satu assembli tidak harus tetap. Jumlah foton bisa bertam-bah, jika atom-atom di dinding memancarkan foton dan bisa berkurang jikaatom-atom di dinding menyerap foton. Untuk sistem semacam ini pembat-asan bahwa jumlah total sistem dalam assembli konstan sebenarnya tidakberlaku.


Gambar 5.2: Foton dapat diserap oleh atom-atom pada dinding dan sebaliknyaatom-atom pada dinding dapat memproduksi foton. Dengan demikian jumlah foton(sistem) dalam assembli tidak tetap.

Pada penurunan fungsi distribusi Bose-Einstein kita telah mengasum-sikan bahwa jumlah sistem dalam assembli selalu tetap, yaitu N = 0.Konstrain ini dimasukkan dalam persamaan dengan memperkenalkan faktorpengali Lagrange . Oleh karena itu, agar konstrain ini tidak diberlakukanuntuk assembli dengan jumlah sistem tidak tetap, seperti foton atau fononmaka nilai harus diambil nol. Dengan nilai ini maka fungsi distribusi untuksistem semacam ini menjadi

ns =gs

exp (Es/kT ) 1 (5.17)

Fungsi distribusi yang diungkapkan oleh persamaan (5.17) akan kitapakai secara langsung ketika membahas sifat statistik foton dan fonon (getarankisi). Aplikasi-aplikasi tersebut akan kita bahas dalam Bab 10.

Soal Latihan

1. Tentukan semua konfigurasi penyusunan yang mungkin untuk tiga bo-son pada tiga tingkat energi E1, E2, dan E3, serta energi yang berkai-tan dengan masing-masing konfigurasi tersebut.

5.4 Parameter untuk Photon dan Phonon 61

2. Berapa batas jumlah sistem boson yang dapat menempati suatu keadaan?

3. Sebutkan contoh boson dan spin yang dimilikinya

4. Secara umum, fungsi distribusi untuk boson adalah ns = gs/{exp[Es]1}. Tetapi, untuk foton, fungsi distribusi adalah ns = gs/{exp[Es]1}. Jelaskan mengapa exp[] tidak muncul dalam fungsi distribusifoton?

Bab 6

Statistik Fermi-Dirac

Isi Bab ini. Bab ini berisi perumusan statistik Fermi-Dirac untuk assemblifermion, yaitu partikel kuantum dengan spin merupakan kelipatan ganjil dari~. Partikel ini memiliki satu sifat khas, yaitu memenuhi prinsip eksklusiPauli. Bersadarkan prinsip ini maka tidak ada fermion yang boleh memi-liki sekumpulan bilangan kuantum yang sama. Satu keadaan energi hanyaboleh ditempati maksimum oleh dua fermion dengan syarat arah spin harusberlawanan. Contoh partikel fermion adalah elektron, proton, dan positron.

Tujuan Bab ini. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami bagaimanaproses membangun statistik Fermi-Dirac dengan menggunakan prinsip statis-tik murni yang digabungkan dengan prinsip kekekalan dalam fisika sepertikekekalan energi dan jumlah partikel.

Apa yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu. Untuk memahami penu-runan fungsi distribusi Fermi-Dirac mahasiswa perlu memahami prinsip per-mutasi untuk benda-benda yang tidak dapat dibedakan, sifat yang ditun-jukkan oleh sebuah besaran yang nilainya kekal (konstan), serta bagaimanamencari nilai maksimum dari sebuah fungsi. Pemahaman tentang penu-runan distribusi Maxwell-Boltzmann serta Bose-Einstein juga merupakanmodal berharga untuk memahami penurunan distribusi Fermi-Dirac secaralebih mudah.

64 Statistik Fermi-Dirac

6.1 Konfigurasi Fermion

Kita sudah menurunkan fungsi distribusi untuk sistem kuantum boson yangmempunyai sifat bahwa bilangan kuantum spin merupakan kelipatan bulatdari ~. Pada bagian ini kita akan menurunkan fungsi distribusi untuk sistemkuantum fermion dengan bilangan kuantum spin merupakan kelipatan ganjildari ~/2. Salah satu sifat yang dimiliki fermion adalah terpenuhinya prinsipekslusi Pauli. Tidak boleh lebih dari satu fermion memiliki keadaan kuan-tum yang sama. Satu keadaan hanya boleh kosong atau hanya ditempatioleh satu fermion. Konsekuensi dari prinsip eksklusi Pauli adalah jumlahfermion harus lebih sedikit atau sama dengan jumlah keadaan. Ini berbedadengan sistem klasik atau boson di mana tidak ada pembatasan jumlah par-tikel yang menempati keadaan tertentu. Berapa pun jumlah keadaan yangtersedia, maka keadaan tersebut dapat menampung partikel klasik maupunboson yang jumlahnya berapa pun. Untuk menurunkan fungsi distribusiFermi-Dirac kita pun akan memulai dengan membagi keadaan-keadaan ataskelompok-kelompok sebagai berikut:

Kelompok-1 mengandung g1 keadaan dengan energi rata-rata E1

Kelompok-2 mengandung g2 keadaan dengan energi rata-rata E2

...

Kelompok-s mengandung gs keadaan dengan energi rata-rata Es

...

Kelompok-M mengandung gM keadaan dengan energi rata-rata EM

Jumlah sistem yang menempati masing-masing keadaan misalkan

n1 sistem menempati keadaan-1

n2 sistem menempati keadaan-2

...

ns sistem menempati keadaan-s

6.1 Konfigurasi Fermion 65

...

nM sistem menempati keadaan-M

Karena satu keadaan maksimum menampung satu sistem maka harus ter-penuhi n1 g1, n2 g2, . . . , ns gs, . . . , nM gM

Selanjutnya kita akan menentukan berapa cara menyusun n1 sistem pa-da g1 keadaan, g2 sistem pada g2 keadaan, . . . , nm sistem pada gm keadaan.Tinjau kelompok-1. Di sini ada g1 keadaan dan menampung n1 sistem. Kem-bali kita menganalogikan keadaan sebagai kursi dan sistem sebagai orangyang duduk pada kursi-kursi tersebut, seperti diilustrasikan pada Gbr. 6.1.

Untuk menentukan jumlah cara menempatkan orang pada kursi-kursitersebut, kita tempelkan orang pada kursi-kursi tesebut. Pada satu kursihanya boleh ditempeli satu orang. Penempelan ini menjamin bahwa tidakboleh lebih dari satu orang berada pada satu kursi. Akibatnya kita dapatkan

Ada n1 buah kursi yang ditempeli orang

Ada g1 n1 buah kursi yang kosong.

Kemudian kita melakukan permutasi semua kursi yang ada baik yangkosong maupun yang ditempeli orang. Karena orang sudah menempel pa-da kursi maka permutasi tidak memungkinkan munculnya satu kursi yangmenampung lebih dari satu orang. Jumlah kursi yang dipermutasi adalahg1 kursi sehingga menghasilkan jumlah permutasi sebanyak g1! cara. Tetapi,karena (g1n1) buah kursi kosong tidak terbedakan dan n1 buah kursi yangditempeli orang juga tidak dapat dibedakan maka jumah permutasi g1 buahkursi harus dibagi dengan permutasi (g1n1) buah kursi kosong dan n1 buahkursi yang ditempeli orang untuk mendapatkan penyusunan yang berbeda.Jadi, jumlah penyusunan yang berbeda hanyalah

g1!(g1 n1)!n1! (6.1)

Dengan cara yang sama kita dapatkan jumlah cara penyusunan n2 sistempada g2 keadaan adalah

g2!(g2 n2)!n2! (6.2)

Begitu seterusnya. Akhirnya, jumlah total cara penyusunan secara bersama-sama n1 sistem pada g1 keadaan, n2 sistem pada g2 keadaan, . . . , nm sistem


Gambar 6.1: Contoh penyusunan fermion analog dengan penyusunan kursi. Seba-gian kursi ditempeli orang (keadaan yang diisi fermion) dan sebagian kursi kosong(keadaan yang tidak ditempati fermion).

pada gm keadaan adalah

g1!(g1 n1)!n1!

g2!(g2 n2)!n2! ...

gM !(gM nM )!nM ! =

Ms=1

gs!(gs ns)!ns!

(6.3)

6.2 Konfigurasi Peluang Maksimum 67

Selanjutnya kita perlu menentukan berapa cara membawa N sistem dariluar untuk didistribusikan ke dalam keadaan-keadaan di dalam assembli.Seperti yang kita bahas pada assembli boson, untuk partikel tidak terbe-dakan jumlah cara tersebut adalah N !/N ! = 1. Akhirnya, jumlah carapenyusunan fermion untuk konfigurasi di atas adalah

W =Ms=1

gs!(gs ns)!ns!

atau dalam notasi logaritma

lnW =Ms=1

ln[

gs!(gs ns)!ns!

](6.4)

6.2 Konfigurasi Peluang Maksimum

Jumlah total sistem dalam assembli dan energi total assembli masing-masing

adalah N =Ms=1

ns dan U =Ms=1

Esns. Untuk sistem terisolasi di mana tidak

terjadi pertukaran partikel maupun energi antara assembli dan lingkunganmaka jumlah partikel selalu konstan dan energi total juga konstan. Dengandemikian bentuk diferensial dari N dan U adalah

N =Ms=1

ns = 0 (6.5)

U =Ms=1

Esns = 0 (6.6)

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan memak-simalkan W atau lnW dengan memperhatikan konstrain pada persamaan(6.5) dan (6.6). Sebelum kearah itu kita coba sederhanakan pada persamaan(6.4).

lnW =Ms=1

ln gs! ln(gs ns)! lnns!


Selanjutnya kita gunakan pendekatan Stirling untuk menyederhanakan fak-torial, yaitu

ln gs! = gs ln gs gsln(gs ns)! = (gs ns) ln(gs ns) (gs ns)

lnns! = ns lnns nsDengan demikian bentuk lnW dapat diaproksimasi sebagai berikut

lnW =Ms=1

gs ln gs gs (gs ns) ln(gs ns) + (gs ns) ns lnns + ns

=Ms=1

gs ln gs (gs ns) ln(gs ns) ns lnns(6.7)

Selanjunya, ambil diferensial kedua ruas persamaan (6.7)

lnW =Ms=1

[gs ln gs] [(gs ns) ln(gs ns)] [ns lnns] (6.8)

Mari kita hitung satu per satu suku dalam persamaan (6.8)

i)

[gs ln gs] =

ns[gs ln gs] ns = 0

ii)

[(gs ns) ln(gs ns)] = ns

[(gs ns) ln(gs ns)] ns

=[ ln(gs ns) + (gs ns) 1(gs ns)

(1)]ns

= [ln(gs ns) + 1] ns

iii)

[ns lnns] =

ns[ns lnns] ns =

[lnns + ns 1

ns 1]ns = [lnns + 1] ns

6.2 Konfigurasi Peluang Maksimum 69

Dari hasil di atas maka bentuk lnW dapat ditulis dalam bentuk lebihsederhana sebagai berikut

lnW =Ms=1

0 + [ln(gs ns) + 1] ns [lnns + 1] ns

=Ms=1

[ln(gs ns) lnns] ns

=Ms=1

ln[gs nsns

]ns

(6.9)

Konfigurasi dengan probabilitas maksimum diperoleh dengan mencarisolusi untuk persamaan lnW + N + U = 0, atau

Ms=1

ln[gs nsns

]ns +

Ms=1

ns + Ms=1

Esns = 0

Ms=1

{ln[gs nsns

]+ + Es

}= 0

(6.10)

Agar persamaan (6.10) selalu nol untuk variasi ns yang sembarang makaharus terpenuhi

ln[gs nsns

]+ + Es = 0

gs nsns

= exp ( Es)

yang memberikan ungkapan untuk ns sebagai

ns =gs

exp ( Es) + 1 (6.11)

Berlaku juga pada fungsi distribusi fermion bahwa parameter memenuhi = 1/kT . Dengan parameter ini maka kita dapat menulis persamaan(6.11) secara lebih eksplisit sebagai

ns =gs

exp (+ Es/kT ) + 1 (6.12)

Persamaan (6.12) merupakan bentuk umum fungsi distribusi Fermi-Diracuntuk fermion.


Soal Latihan

1. Tentukan semua konfigurasi penyusunan yang mungkin untuk tigafermion pada empat tingkat energi E1, E2, E3, dan E4, serta ener-gi yang berkaitan dengan masing-masing konfigurasi tersebut.

2. Sebutkan contoh fermion dan spin yang dimilikinya

3. Buktikan bahwa pada assembli fermion jumlah keadaan lebih banyakdaripada jumlah sistem.

4. Suatu assembli fermion memiliki M keadaan dan N sistem. Sebutkanbagaimana cara penyusunan sistem-sistem tersebut pada suhu T = 0K.

5. Berdasarkan fungsi Fermi-Dirac ns = gs/{exp[Es]+1}, buktikanbahwa ns gs.

Bab 7

Rapat Keadaan SistemKuantum

Isi Bab ini. Bab ini berisi diskusi tentang kerapatan keadaan sistem kuan-tum, yang meliputi boson dan fermion. Salah satu perbedaan dengan sistemklasik adalah terpenuhinya prinsip ketidakpastian Heisenberg pada sis-tem kauntum. Namun akan tampak bahwa, tidak ada perbedaan signifikanantara kerapatan keadaan sistem klasik dan sistem kuantum. Perbedaanhanya terletak pada keberadaan elemen ruang fasa minimal yang diijinkanbagi sistem kuantum.

Tujuan Bab ini. Tujuan bab ini adalah mahasiswa memahami bagaimanamenurunkan kerapatan keadaan sistem kuantum dan bagaimana mendap-atkan kerapatan keadaan tersebut dari kerapatan keadaan sistem klasik.

Apa yang Perlu Dikuasai Lebih Dahulu. Untuk memahami bab inilebih baik, mahasiswa diharapkan memahami terlebih dahulu isi Bab 3.

7.1 Ketidakpastian Heisenberg

Setelah membahas beberapa aplikasi statistik Maxwell-Boltzmann yang ber-laku untuk partikel klasik, kita akan membahas beberapa aplikasi assemblikuantum yang diungkapkan oleh distribusi Bose-Einstein dan Fermi-Dirac.Namun, sebelum melangkah lebih jauh membahas beberapa aplikasi assemblikuantum tersebut, mari kita tentukan dahulu kerapatan keadaan. Kerap-atan keadaan menjadi penting ketika kita akan menghitung besaran-besaran

72 Rapat Keadaan Sistem Kuantum

termodinamika assembli tersebut. Dan yang paling sering kita jumpai adalahketika kita berpindah dari penjumlahan yang bersifat diskrit ke integral yangbersifat kontinu.

Karena merupakan partikel kuantum maka pada boson maupun fermionkita harus menerapkan prinsip-prinsip mekanika kuantum. Salah satu prin-sip dasar mekanika kuantum adalah prinsip ketidak pastian Heisenberg yangdapat ditulis sebagai

px h (7.1)

Prinsip ini menyatakan bahwa perkalian antara ketidakpastian momentumdan posisi tidak boleh lebih kecil dari konstanta Planck. Implikasinya adalahkita tidak mungkin mendefinisikan sebuah keadaan kuantum jika keadaantersebut memuat ukuran momentum dan ukuran posisi sedemikian sehing-ga perkaliannya kurang dari h. Dengan perkataan lain, nilai terkecil dariperkalian p dan x yang bisa mendefisinisikan sebuah keadaan adalah h.Dari hasil ini kita selanjunya bisa menentukan berapa jumlah kedaan kuan-tum dalam ruang fase dengan volume tertentu. Kita akan membahas untukruang fasa yang mengandung koordinat spasial satu, dua, dan tiga dimensi.

7.2 Koordinat Spasial Satu Dimensi

Misalkan kita memiliki assembli yang hanya boleh bergerak bebas dalam satuarah. Posisi partikel dalam assembli tersebut dinyatakan dengan ko-ordinatx. Dengan demikian, momentum partikel hanya memiliki satu

fisika statistik

Documents