laporan fisika komputasi 2, 2014.pdf

METODE NUMERIK PERSAMAAN DIFERENSIAL

BERORDE N

16 April 2014

Oleh :

Ahmad Samsudin

1127030003

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

2014

ABSTRAK

Nama : Ahmad Samsudin (1127030003)

Teman Sekelompok : Endah kinarya (1127030018)

: Fani Anggraeni (1127030022)

: Fitri Rahayu (1127030025)

: Iin Musyfiqoh (112703007)

Nama Asisten Dosen : Ujang Permana

Pada praktikum ini yaitu Metode Numerik Persamaan Diferensial Bero-

rde N, tujuan dari praktikum ini yaitu memecahkan persamaan diferensial

biasa menggunakan metode Euler dengan Matlab, mengetahui memecahkan

persamaan diferensial biasa menggunakan metode Runge Kutta orde 4, dapat

mengaplikasikan untuk simulasi sistem dinamik fenomena fisika. Hasil dari

praktikum ini yaitu saya dapat mengetahui dan dapat mengoperasikan fungsi

matematika pada matlab, dapat menghitung contoh-contoh soal yang berhu-

bungan dengan fisika menggunakan metode euler dan metode RK4.

Kata Kunci : Fisika, Matlab, Euler,RK4, Diferensial

i

DAFTAR ISI

ABSTRAK i

DAFTAR ISI ii

DAFTAR GAMBAR iii

1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Tujuan Praktikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 LANDASAN TEORI 4

3 METODE PERCOBAAN 6

3.1 Waktu dan Tempat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.2 Alat dan Bahan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Diagram Alir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.4 Prosedur Percobaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 HASIL DAN PEMBAHASAN 8

5 PENUTUP 20

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

DAFTAR PUSTAKA 20

ii

DAFTAR GAMBAR

4.1 Program Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Program Script Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Program Script Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.4 Output Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.5 Grafik Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.6 Program Metode RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.7 Program scipt Metode RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


4.9 Output Metode RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.10 Grafik Metode RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.11 Fungsi M-File Sistem Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


4.13 Program eksekusi Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.14 Grafik ruang fase metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . 15

4.15 Grafik time series metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . 16

4.16 Sistem massa-pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.17 Fungsi program RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.18 Program RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.19 Program run RK4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.20 Diagram fase sistem pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.21 Diagram fase sistem pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

iii

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam praktikum sebelumnya tealah dilakukan pengambilan data prak-

tikum yang berhubungan dengan alat, namun pada praktikum ini melakukan

pemecahan persamaan diferensial biasa. Dalam kehidupan mahasiswa fisika

banyak sekali persoalan yang harus diselesaikan dengan persamaan diferansi-

al. Untuk menyelsaikan persamaan diferensial ini ada dua cara menyelesaikan-

nya yang pertama yaitu menggunakan metode euler dimana dalam metode ini

tingkat eror cukup besar, yang kedua yaitu metode RK4, Pada saat memba-

has metode Euler untuk penyelesaian persamaan diferensial, kita telah sampai

pada kesimpulan bahwa truncation error metode Euler terus membesar sei-

ring dengan bertambahnya iterasi (ti). Dikaitkan dengan hal tersebut,metode

Runge-Kutta Orde-4 menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan

pertumbuhan truncation error yang jauh lebih kecil.

Oleh sebeb itu saya sebagi seorang mahasiswa fisika Uin Sunan Gunung

Djati Bandung fakultas sains dan teknologi melakukan praktikum fisika kom-

putasi II ini supaya bisa menggunakan matlab untuk mendukung perkembang-

an pembelajaran yang membutuhkan penyelesaian masalah diferensial dengan

cara program matlab.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang kami bahas pada praktikum Metode Numerik

Persamaan Diferensial Berorde N yaitu :

1

1.3. Batasan Masalah 2

1. Bagaimana memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan me-

tode Euler dengan Matlab?

2. Bagaimana memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan me-

tode Runge Kutta orde 4?

3. Bagaimana mengaplikasikan untuk simulasi sistem dinamik fenomena

fisika?

1.3 Batasan Masalah

Batasan masalah yang kami bahas pada praktikum Metode Numerik

Persamaan Diferensial Berorde N yaitu :

1. Dapat memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan metode

Euler dengan Matlab.

2. Mengetahui memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan me-

tode Runge Kutta orde 4.

3. Dapat mengaplikasikan untuk simulasi sistem dinamik fenomena fisika.

1.4 Tujuan Praktikum

Tujuan dari praktikum Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N

yaitu :

1. Dapat memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan metode

Euler dengan Matlab.

2. Mengetahui memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan me-

tode Runge Kutta orde 4.

3. Dapat mengaplikasikan untuk simulasi sistem dinamik fenomena fisika.

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan laporan ini lebih ditekankan pada hasil dan pembahasan

pada tiap bab :

1. Bab 1 menjelaskan gambaran umum tentang simulasi yang dilakukan.

Ahmad Samsudin

1.5. Sistematika Penulisan 3

2. Bab 2 membahas teori yang melandasi dan mendukung simulasi.

3. Bab 3 adalah metode percobaan.

4. Bab 4 adalah hasil dan pembahasan.

5. Bab 5 merupakan penutup yang terkandung padanya kesimpulan.

Ahmad Samsudin

Bab 2

LANDASAN TEORI

Matlab merupakan bahasa pemrogaman yang dikembangkan oleh The

Mathwork .Inc. Bahasa pemograman ini banyak digunakan untuk perhitung-

an numerik keteknikan, komputasi simbolik, visualisasi grafis, analisis data

matematis, statistika, simulasi pemodelan, dan desain GUI (graphical user in-

terface). Pada praktikum Sistem Instrumentasi ini matlab hanya digunakan

untuk membantu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan bidang

instrumentasi elektronika walaupun Matlab merupakan alat yang sangat am-

puh untuk berbagai macam keperluan scientific ataupun engineering lainnya.

Pada bab ini dibahas tentang persamaan diferensial biasa, ordinary diffe-

rential equations (ODE) yang diklasifikasikan kedalam masalah nilai awal (ini-

tial value) dan masalah nilai batas (boundary value), dimana kedua keadaan ini

solusinya dispesifikasi pada waktu awal (initial time). Banyak hukum-hukum

fisika yang sangat pas diformulasikan dalam bentuk persamaan diferensial.

Lebih lanjut, tidak mengherankan bahwa solusi komputasi numerik dari per-

samaan persamaan diferensial menjadi bagian yang umum dalam pemodelan

sistem-sistem fisika.

Dalam penyelesaian persamaan diferensial ada dua buah cara untuk me-

nyelesaikannya, yaitu dengean metode euler dan metode RK4 :

1. Metode Euler adalah metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Mi-

salnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan

dalam interval [a,b], namun dalam matlab metode euler ini memiliki

tingkat eror yang cukup tinggi.

2. Metode RK4, pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian

persamaan diferensial, kita telah sampai pada kesimpulan bahwa trun-

4

5

cation error metode Euler terus membesar seiring dengan bertambahnya

iterasi (ti). Dikaitkan dengan hal tersebut,metode Runge-Kutta Orde-

4 menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan

truncation error yang jauh lebih kecil.

Ahmad Samsudin

Bab 3

METODE PERCOBAAN

3.1 Waktu dan Tempat

Praktikum Modul Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N

ini berlangsung pada hari rabu tanggal 16 Maret 2014, pukul 15.30 sampai

dengan selesay. Praktikum ini dilakukan di laboratorium fisika Fakultas Sains

dan Teknologi Uin Sunan Gunung Djati Bandung.

3.2 Alat dan Bahan

1. Komputer/laptop

2. Software MATLAB

3. Modul atau Buku Panduan Praktikum

6

3.3. Diagram Alir 7

3.3 Diagram Alir

Membuka software Matlab pada laptop atau PC

Tunggu sampai matlab siap untuk melakukan kerja

Membuka editor dalam matlab

Masukan program persamaan Euler dan RK4 pada editor

Lihat hasilnya pada command window

Analisis Hasil

3.4 Prosedur Percobaan

Untuk melakukan praktikum ini ada beberapa langkah atau prosedur seperti

berikut ini :

1. Bukalah software Matlab pada laptop atau PC.

2. Tunggu sampai matlab siap untuk melakukan kerja.

3. Membuka editor dalam matlab.

4. Masukan program persamaan Euler dan RK4 pada editor.

5. Lihat hasilnya pada command window.

Ahmad Samsudin

Bab 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada praktikum ini yaitu mengenai Metode Numerik Persamaan Diferen-

sial Berorde N, dimana dalam penyelsaian masalah persamaan diferensial ini

ternyata dapat diselesaikan menggunakan sebuah program yaitu menggunak-

an sebuah software Matlab. Dalam penyelsaian persamaan diferensial dapat

menggunakan dua buah cara yang pertama yaitu menggunakan metode Euler

dan yang kedua yaitu metode RK4.

1. Metode Euler Sebagai contoh penyelesaian persamaan diferensial

dengan metode euler yaitu Jika ditentukan batas interval 0 ≤ t ≤ 10, dengan

syarat awal t(0)=0, dimana N = 20.

Penyelesaian untuk contoh soal diatas yaitu dengan membuat sebuah fungsi

dalam editor matlab seperti berikut :

8

9

Gambar 4.1: Program Metode Euler

Gambar 4.2: Program Script Metode Euler

Ahmad Samsudin

10

Gambar 4.3: Program Script Metode Euler

Setelah memasukan program seperti diatas dan kemudian dirun kemudi-

an akan menghasilkan output pada comand window seperti berikut :

Gambar 4.4: Output Metode Euler

Dari ouput tersebut kemudian dapat dikonversi menjadi sebuah grafik

gerak jatuh bebas dengan solusi eksak dan metode euler. Untuk grafiknya

Ahmad Samsudin

11

dapat dilihat seperti gambar dibawah ini :

Gambar 4.5: Grafik Metode Euler

Kemudian untuk contoh soal diatas jika diselesaikan dengan persamaan

diferensial metode Runge Kutta Orde 4 (RK4) maka program yang harus

dimasukan dalam editor matlab adalah sebagai berikut :

Gambar 4.6: Program Metode RK4

Ahmad Samsudin

12

Gambar 4.7: Program scipt Metode RK4


Setelah program dimasukan dalam editor matlab maka kemudian ada-

lah merun atau menjalankan program, dan hasil yang didapat pada comand

window adalah sebagai berikut :

Ahmad Samsudin

13

Gambar 4.9: Output Metode RK4

Dari ouput tersebut kemudian dapat dikonversi menjadi sebuah grafik

gerak jatuh bebas dengan solusi eksak dan metode RK4. Untuk grafiknya

dapat dilihat seperti gambar dibawah ini :

Gambar 4.10: Grafik Metode RK4

Ahmad Samsudin

14

Contoh aplikasi sistem persamaan diferensial orde satu terkopel adalah

persamaan Lorenz tahun 1963, dalam praktikum ini yaitu menggunakan pro-

gram seperti gambar dibawah ini :

Gambar 4.11: Fungsi M-File Sistem Lorenz


Ahmad Samsudin

15

Gambar 4.13: Program eksekusi Lorenz

Setelah dirun maka output yang akan dihasilkan adalah dua buah grafik

yaitu yang pertama adalah grafik ruang fase metode Runge Kutta dan grafik

time series metode Runge Kutta, untuk output dapat dilihat dengan gambar

dibawah ini :

Gambar 4.14: Grafik ruang fase metode Runge Kutta

Ahmad Samsudin

16

Gambar 4.15: Grafik time series metode Runge Kutta

Untuk contoh berikutnya yaitu mencari solusi numerik posisi dan kece-

patan tiap saat menggunakan metode Runge Kutta orde 4 dan buat grafik dari

solusi yang diperoleh dari sistem pegas seperti gambar berikut :

Gambar 4.16: Sistem massa-pegas

Ahmad Samsudin

17

Untuk solusi contoh soal diatas yaitu dapat menggunakan program dalam

editor sebagai berikut :

Gambar 4.17: Fungsi program RK4

Gambar 4.18: Program RK4

Ahmad Samsudin

18

Gambar 4.19: Program run RK4

Setelah program dimasukan dalam editor matlab maka kemudian ada-

lah merun atau menjalankan program, dan hasil yang didapat adalah sebagai

berikut :

Gambar 4.20: Diagram fase sistem pegas

Ahmad Samsudin

19

Gambar 4.21: Diagram fase sistem pegas

Dari beberapa contoh soal diatas dapat dibuktikan bahwa metode euler

dan metode runge kutta dalam diferensial dapat diselesaikan dengan menggu-

nakan matlab dengan cara memasukan program kedalam editor matlab, dan

output dari program itu dapat berupa grafik maupun data angka.

Ahmad Samsudin

Bab 5

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Dari praktikum Metode Numerik Persamaan Diferensial Berorde N ini dapat

disimpulkan bahwa :

• Praktikan dapat mengetahui bagaimana cara Memecahkan persamaan

diferensial biasa menggunakan metode Euler.

• Praktikan dapat Memecahkan persamaan diferensial biasa menggunakan

metode Runge Kutta orde

• Praktikan dapat Mengaplikasikan untuk simulasi sistem dinamik feno-

mena fisika.

• Persoalan fisika yang berhubungan dengan diferensial dapat diselesaikan

dengan etode euler dan RK4 menggunakan software matlab.

5.2 Saran

Saran dari saya sebagai mahasiswa fisika yang ingin memajukan teknologi

serta ilmu-ilmu khususnya dibidang fisika, ingin belajar lebih lanjut dengan

persamaan diferensial menggunakan metode euler dan RK4.

20

DAFTAR PUSTAKA

[1] Aminudin, J., 2008, Dasar-Dasar Fisika Komputasi Menggunakan Matlab,

Yogyakarta, Gava Media.

[2] Sanjaya,M., 2013, Komputas Numerik Berbasis MATALAB, Universitas

Islam Negeri Sunan Gunung Djati, Bandung.

[3] Santoso Tri Budi., 2009, Dasar-Dasar Operasi Matlab, Jakarta, Erlangga.

[4] Suparno, S., 2008, Komputasi Untuk sains dan TEknik, Depok, FMIPA-

UI.

[5] http://Scrib.com.PersamaanDiferensial.htm(Diakses pada taanggal 16

April 2014)

21

laporan fisika komputasi 2, 2014.pdf

Documents