BAB II

DIFERENSIAL PARTIAL

2.1 Fungsi Variabel :

Volume V suatu silinder berjari-jari r dengan ketinggian h dinyatakan oleh

hrV 2 .

2.2 Turunan Parsial dari Fungsi z = f(x,y)

I. Turunan Parsial dari Fungsi z = f(x,y)

Jika z = f(x,y) merupakan fungsi dari x dan y, maka

a) Turunan Parsial (pertama) dari z = f(x,y) terhadap x di setiap titik (x,y)

pada permukaan, adalah turunan (pertama) dari z = f(x,y) terhadap x

dengan menganggap y sebagai konstanta dan ditulis :

)y,x(fx,z,x

f,

x

)y,x(fatau

x

zx

atau fx

atau

0lim),(

xyxfx

x

z

x

yxfyxxf

),(),(

b) Turunan parsial (pertama) dari z = f(x,y) terhadap y di setiap titik (x,y)

pada permukaan adalah turunan (pertama) dari z = f(x,y) terhadap y

dengan menganggap x sebagai konstanta dan ditulis :

V tergantung dari dua besaran yaitu r dan h,V=V(r,h) Jika r dijaga tetap dan ketinggian hditambah, maka volume V akan bertambah. Hal inidapat dicari koefisien diferensial V terhadap hdengan syarat r dijaga konstan.

Yaitutankonsrdh

dV

dan dituliskan sebagai

h

V

h

V

disebut koefisien Turunan Partial V terhadap h.

2rh

V

(r =konstan) ; hrr

V

2 (h = konstan)

h

r

V

)y,x(fy,z,y

f,

y

)y,x(fatau

y

zy

atau fy

Atau

0lim),(

yyxfy

y

z

y

yxfyyxf

),(),(

Contoh :

1) Tentukany

x

dany

z

dari fungsi berikut :

a) 22 32 yxyxz

yxx

z34

dan yxy

z23

b) 22 yxz

yx

xxyx

x

z

2

2

122 )2()(

2

1

yx

yyyx

y

z

2

2

122 )2()(

2

1

II. Turunan Parsial dengan fungsi yang memiliki lebih dari dua variabel bebas,

misal w = F(x, y, z, u, v)

Turunan parsial (pertama) dari w terhadap x di setiap titik (x, y, z, u, v) adalah

turunan (pertama) dari w terhadap x dengan menganggap semua variabel x,

yang ditulis :

x

vuzyxFvuzyxxF

x

wx

),,,,(),,,,(lim

0

Demikian juga untuk variabel lain, misalnya Turunan parsial terhadap v, dapat

ditulis :

v

vuzyxFvvuzyxF

v

wv

),,,,(),,,,(lim

0

Contoh :

2) Tentukan turunan parsial (pertama) terhadap variabel-variabel bebas dari

fungsi berikut :

u = zxy)( , maka ln u = z ln (xy)

x

zy

xyz

x

u

u

.1

.1

(diturunkan terhadap x)

1)()(. zz xyyzxy

x

zu

x

z

x

u

y

zx

xyz

y

u

u

.1

.1

(diturunkan terhadap y)

1)()(. zz xyxzxy

y

zu

y

z

y

u

)ln(1

xyz

u

u

(diturunkan terhadap z)

)ln()()ln(. xyxyxyuz

u z

3) Turunan parsial pertama dari fungsi berikut zxyzxy)z,y,x(f 32

zyx

f3

(y dan z = konstan)

zxy

f2

(x dan z = konstan)

xyz

f32

(x dan y = konstan)

III. Diferensial total suatu fungsi

Untuk memahami diferensial suatu fungsi total maka dapat dilihat dari

contoh pertambahan kecil suatu volume selinder :

Volume V suatu silinder berjari-jari r dengan ketinggian h dinyatakan oleh

hrV 2 .

Jika r diubah menjadi rr , dan h menjadi hh , maka V akan berubah

menjadi VV . Volume yang baru akan menjadi :

hh

Vr

r

VV

hrrrhV

ditiadakantinggiberpangkatnpertambahahrrrhV

Vhrkarena

hrhrrhrrhrrhV

hrhrrhrrhrrhhr

hhrrrr

hhrrVV

2

2

222

2222

22

2

2

...)2(

maka,kecilsangatnpertambaha=,,

)22(

)22(

))(2(

)()(

Sehingga dapat disimpulkan jika fungsi )y,x(fz maka diferensial totalnya

adalah yy

zx

x

zz

,

Dimanay

zdan

x

z

adalah koefisien diferensial parsial z.

Hal ini berlaku umum dan untuk fungsi dengan tiga variabel bebas

)w,y,x(fz maka ww

zy

y

zx

x

zz

h

r

V

2rh

V

(r =konstan) ; hrr

V

2 (h = konstan)

Jika r adalah pertambahan kecil dari r , h adalahpertambahan kecil dari h dan V adalahpertambahan kecil dari V.

r , h , V = pertambahan sangat kecil

Contoh :

Tentukan diferensial total dari fungsi : xyyxz 333

yxx

z33 2

xyy

z33 2

Jadi yy

zx

x

zz

yxyxyx )(3)(3 23

Contoh : Suatu permukaan mempunyai panjang (x) = 35 cm dan lebar (y) = 25

cm. Tentukan harga pendekatan luasnya, jika x bertambah 0,02 cm dan

y berkurang 0,03 cm.

Penyelesaian :

x 0,02 cm , y -0,03 cm, x = 35 cm, y = 25 cm

Rumus : L = pl = xy = 35 x 25 = 875 cm2

xy

Ly

x

L

;

Maka : 255,0)03,0(35)02.0(25 cmyy

Lx

x

LL

Luas Pendekatannya = 875-0,55 = 874,45cm2

Contoh : Jika I=V/R dengan V=220 volt dan R = 50 ohm. Tentukan Nilai I, jika

V bertambah 1 volt dan R berkurang 0,5 ohm

Penyelesaian :

V 1 volt , R -0,5 ohm , V= 220 volt , R = 50 ohm

Maka ),( RVfI

4,450

220

R

VI ; 02,0

50

11

RV

I; 044,0

50

22022

R

V

R

I

064,0)5,0(088,0)1(02,0

RR

IV

V

II

I sebenarnya = II = 4,4 +0,064 = 4,464 ampere

IV. Aturan Rantai / Fungsi Komposit

Bila sebuah fungsi ),( yxfz , sedangkan )(),( tyytxx , dimana z juga

merupakan fungsi dari t maka ))(),(( tytxfz ,

Jika ),( yxfz maka diketahui yy

zx

x

zz

,

Sekarang dibagi kedua ruas dengan t didapat :t

y

y

z

t

x

x

z

t

z

Jika 0t maka persamaan itu menjadidt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

merupakan total

derivatif z terhadap t.

Demikian juga untuk bentuk ),,( zyxfw sedangkan x,y,z, .. merupakan fungsi

dari t , maka w adalah :

....

dt

dz

z

w

dt

dy

y

w

dt

dx

x

w

dt

dw

Contoh : carilahdt

dz? Jika tytxyxyxz cos,sin;53 22

Penyelesaian :

Dimana : yxy

zyx

x

z103;32

tdt

dyt

dt

dxsin;cos

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

= tytyx sin)103(cos)32(

Pergantian Variabel

Jika ),( yxfz , sedangkan x = g(r,s), dan y = h(r,s) maka z fungsi yang dapat

diturunkan terhadap variabel bebas r dan s.

Jika ),( yxfz maka yy

zx

x

zz

, maka dapat dihitung differensial total

s

zdan

r

z

. Cara memperolehnya sebagai berikut :

Bagikan kedua ruas dengan r didapat diferensial totalnya adalah :

r

y

y

z

r

x

x

z

r

z

, bila 0r , maka

dr

dxmenjadi

r

x

dandr

dymenjadi

r

y

Sehingga dapat ditulis :

dr

dy

y

z

dr

dx

x

z

dr

dz

Begitu halnya dengan membagi kedua ruas dengan s , dengan cara yang sama

didapat :

ds

dy

y

z

ds

dx

x

z

ds

dz

Contoh :

Jika 22 yxz , dengan cosrx dan 2sinry , carilahdr

dzdan

d

dz

dr

dy

y

z

dr

dx

x

z

dr

dz

;

d

dy

y

z

d

dx

x

z

d

dz

xx

z2

yy

z2

cosdr

dx; 2sin

dr

dy;

sinr

d

dx ;

cos2r

d

dy

Sehingga :

2sin2cos2 yxdr

dz

cos4sin2 yrxrd

dz

Fungsi Implisit

Diferensial Parsial dapat juga digunakan untuk mencari koefisien diferensial dari

suatu fungsi implisit. Untuk mendapatkandx

dymaka 0),,( yxf , fungsi f

dideferensialkan terhadap x dan menerapkan aturan rantai.

Contoh :

Mencaridx

dy …dari persamaan 02 32 yxyx , diasumsikan z = 0, sehingga

pesamaannya menjadi 32 2 yxyxz , sekali lagi dapat dilihat hubungan dasar

),( yxfz maka yy

zx

x

zz

. Dengan demikian bila kedua ruas dibagi

dengan x maka menjadi persamaan :

x

y

y

z

x

x

x

z

x

z

Jika 0x , maka :dx

dy

y

z

x

z

dx

dz

Karena z = 0, maka 0dx

dz, sehingga persamaan di atas menjadi :

dx

dy

y

z

x

z

0 ….. sehingga

yz

xz

dx

dy

Maka : bila 02 32 yxyx

yxx

z22

, 232 yxy

z

Sehingga,

232

22

yx

yx

dx

dy

IV. Turunan Parsial Derajat Tinggi

1) Turunan Parsial Derajat Tinggi

),( yxfz

Turunan parsial kedua diberikan simbol sebagai berikut :

fxxzx

z

xx

zxx

2

2

fyxzy

z

xyx

zyx

2

fxyzx

z

yxy

zxy

2

Turunan parsial ketiga diberikan simbol sebagai berikut :

fxxxzx

z

xx

zxxx

2

2

3

3

fyxxzyx

z

xyx

zyxx

2

2

3

fyyxzy

z

yxy

zyyx

2

2

2

3

Contoh :

1) Hitunglah turunan parsial kedua :

xy

z

yx

z

x

z

22

2

2

,, dan2

2

y

z

dari 22 52 yxyxz

Penyelesaian :

yxzy

zyxz

x

zyx 25;54

42

2

fxxzx

z

xx

zxx ; 5

2

fyxzy

z

xyx

zyx

52

fxyzx

z

yxy

zxy ; 2

2

2

fyyzy

z

yy

zyy

JACOBIAN :

Bila f(x,y,u,v) dan g(x,y,u,v)

Matrik Jacobian

v

g

u

gv

f

u

f

v,u

g,fj

Determinan Jacobian

v

g

u

gv

f

u

f

v,u

g,fj

Bentuk Matrix Jacobian :

x

fJ

Contoh : cosrx , sinry ; Tentukan determinan jacobiannya :

Jawab :

cosr

x

,

sinrx

sinr

y

, cosrr

y

Matrix Jacobian :

cosrsin

sinrcosy

r

y

x

r

x

,r

y,xj

Determinan Jacobian :

cosrsin

sinrcosy

r

y

x

r

x

,r

y,xj

= )sinr.(sin)cosr.(cos

= 122 )sin(cosr

Garis Singgung dan Bidang Singgung

Kurva bidang didefinisikan dengan persamaan :

)t(hz),t(gy),t(fx

Pada titik )z,y,x(P 0000 untuk 0tt

Persamaan Garis Singgung :

dt

dzzz

dt

dyyy

dt

dxxx 000

Persamaan Bidang Normal :

0000 )zz(dt

dz)yy(

dt

dy)xx(

dt

dx

Contoh : Carilah persamaan garis singgung dan bidang normal pada kurva

32 ,, tztytx dititik 1t

Penyelesaian :

Pada titik t=1 atau (1,1,1), maka 1dt

dx, 22 t

dt

dy; 33 2 t

dt

dx, maka

Persamaan garis singgung :

dt

dzzz

dt

dyyy

dt

dxxx 000

=3

1

2

1

1

1 zzyx

Persamaan bidang normal :

0000 )zz(dt

dz)yy(

dt

dy)xx(

dt

dx

06)1(3)1(2)1( zyx

Contoh Soal :

Tentukan persamaan garis singgung kurva 322332 xxxy dititik P, x = 1,y = 0.

2626

xx

y

x10266 , jadi m = 10

Garisnya melalui P ialah x = 1, y = 0. maka

)1

(1

xxmyy

)1(100 xyPersamaan garis singgungnya adalah :

1010 xy

Untuk kemiringan garis normal adalah sbb :

mm

11

dari persoalan tadi maka persamaan garis normalnya pada titik P, x = 1, y = 0.)

1(

1xxmyy

)1(10

10 xy

Persamaan garis normalnya adalah :110 xy 110 xy

Bidang Singgung dan Garis Normal :

Persamaan bidang singgung pada permukaan 0),,( zyxF pada titik

),,( 0000 zyxP ,

0)()()( 000

zzz

Fyy

y

Fxx

x

F

Persamaan Garis Normal :

z

Fzz

y

Fyy

x

Fxx

000

Contoh : 1123 22 yxz pada titik (2,1,3)

01123),,( 22 zyxzyxF

Carilah persamaan bidang singgung dan garis normal :

Penyelesaian :

126

xx

F; 44

yy

F; 1

z

F

dimana :m1= kemiringan garis normalm = kemiringan garis singgung

Persamaan bidang singgung :

0)()()( 000

zzz

Fyy

y

Fxx

x

F

→ 0)3(1)1(4)2(12 zyx

→ 25412 zyx

Persamaan Garis Normal :

z

Fzz

y

Fyy

x

Fxx

000

1

3

4

1

12

2

zyx

Turunan Arah dan Harga Ekstrim

Turunan Berarah ),( yxf di titik P atau P’ dengan arah diberikan oleh :

sincosy

z

x

z

ds

dz

Tutunan berarah untuk fungsi ),( yxf dititik ),,( zyxP

dengan arah ),,( diberikan oleh :

coscoscosz

F

y

F

x

F

ds

dF

Contoh : Carilah turunan 22 6yxZ pada titik P’ (7,2) dengan arah 450

Penyelesaian :

sincosy

z

x

z

ds

dz

= sin12cos2 yx

Pada titik P’ (7,2) dengan arah 045

25)22

1).(2.(12)2

2

1).(7.(2

ds

dz

Gradien dari Fungsi :

Turunan Berarah fungsi ),( yxf dalam arah s yang membentuk sudut

diberikan oleh :

sincosy

z

x

z

ds

dz

ds

dzadalah fungsi dari . Arah yang memberikan

s

z

maksimum dinamakan

gradien dari ),( yxf . Untuk mendapatkan gradien dari ),( yxf dicari turunan

terhadap dan menyamakan dengan nol.

0cossin

y

z

x

z

ds

dz

xz

yz

tan

xz

yz

arc

tan

Arah adlah gradien dari ),( yxf

Titik maksimum atau minimum

Mencari titik maksimum atau minimum relatif dari fungsi ),( yxf :

0

x

fdan 0

y

f

22

2

2

2

2

yx

f

y

f

x

f

Dimana,

∆< 0 Titik Pelana (saddle point)

∆= 0 Tidak dapat disimpulkan

∆> 0 dan 02

2

x

fTitik minimum

∆> 0 dan 02

2

x

fTitik maksimum

Contoh : 2564),( 22 yxyxyxf

Carilah titik maksimum atau minimum

Penyelesaian :

042

xx

f → 2x

062

yy

f → 3y

22

2

x

f, 2

2

2

y

f, 0

2

yx

f

40)2)(2(22

2

2

2

2

yx

f

y

f

x

f

∆> 0, 02

2

x

f

Jadi titik (2,3) merupakan titik minimum

pada titik (-1,-2)

220)1)(2(22

2

2

2

2

xxyx

f

y

f

x

f, ∆< 0

Jadi titik (-1,-2) merupakan titik pelana (sadle point).

Fungsi

yy

xx

yxf 223

),(23

Mempunyai titik minimun di (1,-2)

Dan titik pelana (sadle point) di (-1,-2)

Contoh : yy

xx

yxf 223

),(23

Carilah titik stasioner (maksimum atau minimum)

Penyelesaian :

012

xx

f02

yy

f

x= 1, y = -2, dan x=-1, y = -2

,22

2

xx

f

12

2

y

f, 0

2

yx

f

Pada titik (1,-2)

220)1)(2(22

2

2

2

2

xxyx

f

y

f

x

f

∆> 0, 0222

2

xx

f

Jadi titik (1,-2) merupakan titik minimum.

Metode Lagrange

Untuk menentukan harga ekstrim dari fungsi :

- f(x,y)

- dengan syarat g(x,y,z) = 0

),,(),,(),,( zyxgzyxfzyxF

,0

x

g

x

f ,0

y

g

y

f ,0

z

g

z

f

λ= pengali lagrange

Contoh : 222),,( zyxzyxf

Tentukan minimum ),( yxf dengan syarat 01622 zyx

Penyelesaian :

)1622(),,( 222 zyxzyxzyxF

0

x

F, 022 x , x

0

x

F, 02 y ,

2

1y

0

x

F, 022 z , z

Subsitusi :

016)(22

1)(2 ,

932 ;

932x ;

916y ;

932z

),,( zyxf minimum81

2304

9

32

9

16

9

32222