diferensial fungsi sederhana.docx

22

Click here to load reader

Upload: uswatunkhasanah

Post on 21-Dec-2015

55 views

Category:

Documents


14 download

TRANSCRIPT

Page 1: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

OLEH KELAS I :

KELOMPOK 1

1. Ayuma Septidita 1350401011111532. Hanif Satrio Prakoso 1350401011111543. Ricky Affandi Hasibuan 1350401011111554. Fadila Prista 1350401011111565. Uswatun Khasanah 1350401011111576. Resya Eka Pratiwi 1350401011111587. Diesna Anggraeni 1350401011111598. Syah Reza Al Faisal 1350401011111609. Sanca Kumara Seta 13504010111116110.Lillian Astrian Agnes 135040101111162

JURUSAN SOSIAL EKONOMI

PROGRAM STUDI AGRIBISNIS

FAKULTAS PERTANIAN

UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG

2013-2014

Page 2: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA

A. Pengertian

Diferensial : Membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi, sehubungan

dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan (∆X

dibaca delta X ). Dapat juga digunakan untuk mempelajari titik maksimum,

titik minimum, dan titik belok. Oleh karena itu diferensial merupakan salah

satu alat analisis yang penting dalam bisnis dan ekonomi.

B. Kuosien Diferensi dan Derifatif

Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆x

Maka :

y = f (x)

y + ∆y = f (x + ∆ x )

∆y = f(x+∆x)-y

∆y = f(x+∆x)-f(x)

Apabila luas kiri dan luas kanan persamaan terakhir sama-sama di bagi Δ x

Δ yΔ x

=f ( x+∆ x )−f (x)

Δ x

Proses penurunan fungsi disebut proses pendiferensian dengan penentuan limit

suatu kuosien dalam hal pertambahan variable bebas atau mendekati 0. Maka

jika y = f (x)

Maka kuosien diferensianya.

Δ yΔ x

=f ( x+∆ x )−f (x)

Δ x

Dan turunan fungsinya

lim Δ yΔ x

=lim f ( x+∆ x )−f (x)

Δ x

Page 3: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

C. `Kaidah-Kaidah Diferensial

1. Diferensiasi Konstanta

Jika : y = k

y' = 0

ex: y = 5

y' = 0

2. Diferensiasi Fungsi Pangkat

Jika : y = xn

y' = n xn-1

ex: y = x3

y' = 3x3-1 = 3x2

3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi

Jika : y = k v dimana v = h (x)

y' = k v'

ex: y = 5 x3

y' = 5 ( 3 x3-1 )

= 15 x2

4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

Jika : y = kv dimana v = h (x)

y' = kv '

v2

ex: y = 5

x2

y' = 5(2 x)

x4

Page 4: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

5. Diferensiasi penjumlahan(pengurangan) fungsi

Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = h(x)

yʹ = uʹ ± vʹ

ex: y = 4x6 – 6x4

yʹ = 24x5 – 24x3

6. Diferensiasi perkalian fungsi

Jika : y = uv dimana u = g (x) dan v = h (x)

y' = u v' + v u'

ex: y = 4 x2 (x3) u = 4x2 v = x3

u' = 4(2x) v' = 3x2

y' = 4(x2)(3x2) + (x3)4(2x)

y' = 12x4 + 8x4 = 20x4

7. Diferensiasi pembagian fungsi

Jika y =uv dimana u = g(x) dan v = h(x)

y' = vu '−uv '

v2

ex: y = 4 x2

x3 dimana u = 4x2 dan v = x3

u' = 8x dan v' = 3x2

y' = x3 (8 x )−4 x23 x2

(x3)2

y' = 8 x4−12 x4

x6

y' = −4 x4

x4

y' = - 4

x2

Page 5: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

8. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)

Jika y = f(u) dimana u = g(x) y = u jadi y = f{g(x)}

y' =y'(u)u' dimana y'(u) adalah turunan dari fungsi u

bukan u = g(x)

ex: y = ( 4 x3 + 5 )2 dimana u = 4 x3 + 5 dan y(u) = u2

u' = 12x2 y'(u)=2u

y' = 2(4x3 + 5) 12x2

y' = (8x3 + 10) 12x2

y' = 96x5 + 120x2

9. Diferensiasi fungsi pangkat

Jika y = un dimana u = g (x)

y' = nun–1.u'

ex: y = (4x3 + 5)2

y' = 2(4x3 + 5).12x2

y' = (8x3+10).12x2

y' = 96x3+120x2

10. Deferensiasi Fungsi Log

Jika y = a log x

y' = 1

x ln a

ex: y = 5log2

y' = 1

2 ln5

11. Diferensiasi Fungsi Komposit-logaritmik

Jika y = alog u dimana u = g(x)

yʹ = alog e

u . uʹ

Page 6: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

ex: y = log( x−3x+2 ) u =

x−3x+2

uʹ =( x+2 )−(x−3)

( x+2)2 = 5

(x+2)2

yʹ = log e

( x−3x+2 ) .

5

(x+2)2

yʹ = 5 log e

( x−3 )(x+2) = 5 log e

(x2−x−6)

12. Deferensiasi Fungsi Komposit-logaritmik-berpangkat

Jika y = (alog u)n dimana u = g(x) dan n =

konstanta

yʹ = yʹ.alog e

u . uʹ dimana yʹ adalah turunan dari fungsi u

( dydu )bukan u = g(x)

ex: y = (log 5x2)2 misalkan u = 5x2 uʹ= 10x

yʹ = 2 (log 5x2) . log e

5 x2 . (10x)

yʹ = 20 x ( log5 x2) loge

5 x2 = 4x( log5 x2) loge

13. Logaritma Fungsi Logaritmik-Napier

Jika y = ln x kasus ini khusus dari kaidah 10

yʹ = 1x ingat! ln x =e log x

ex: y = ln 9

yʹ = 19

14. Deferensiasi Fungsi Komposit-Logaritmik-Napier

Jika y = ln u dimana u = g(x)

Page 7: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

yʹ = 1u . uʹ

ex: y = ln ( x−3x+2 ) misalnya u =

x−3x+2 uʹ =

5

( x+2 )2

yʹ = 1

x−3x+2

. 5

( x+2 )2 = x+2x−3 .

5

( x+2 )2

yʹ = 5

( x−3 )(x+2)= 5

x2−x−6

15. Deferensiasi Fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-berpangkat

Jika y = (ln u)n dimana u = g(x) dan n = konstanta

yʹ = yʹ . 1u . uʹ dimana yʹ adalah turunan dari

fungsi u

( dydu )bukan u = g(x)

ex: y = (ln 5x2)3u = 5x2 uʹ = 10x

yʹ = 3(ln 5x2)2 . 1

5 x2 . (10x)

yʹ = 30 x

5 x2 . (ln 5x2)2 = 6x (ln 5x2)2

16. Diferensiasi Exponensial

Jika y = ax dimana a = konstanta

yʹ = ax ln a

ex: y = 6x

yʹ = 6x ln 6

17. Diferensiasi Exponensial

Jika y = au dimana a = g(x)

yʹ = au ln a .uʹ

ex: y = 93 x2−4 misalkan u = 3 x2−4 uʹ = 6x

Page 8: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

yʹ = 93 x2−4 (ln 9 )(6 x )

yʹ = (6 x ) 93 x2−4 ( ln 9 )

18. Diferensiasi Fungsi Kompleks

Jika y = uv

yʹ = vuv-1 . uʹ + uv . ln u . vʹ

ex: y = 4 xx3

misalkan u = 4x uʹ = 4

v = x3 vʹ = 3x2

yʹ = (x¿¿3)(4 x¿¿ x3−1)¿¿ . 4 + 4 xx3

. ln 4x . (3x2¿

yʹ = 16 xx3+2 + 12 xx3+2 ln 4 x

yʹ = 4 xx3+2(4+3 ln 4x)

Nb:

Turunan pertama = yʹ

Turunan kedua = yʺ

Turunan ketiga = yʺʹ ........... dst.

D. Hakikat Derivatif dan Difernsial

Kuofien diferensi Δ xΔ y

adalah lereng dari kurva y= f (x). Sedangkan

derivative d yd x

adalah lim Δ yΔ x

untuk Δ x → 0

Diferensial dari x : dx = Δ x

Diferensial dari y : dy = dydx

Δ x

E. Derivatif dari Derivatif

Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali.turunan pertama turunan

dai fungsi awal atau fungsi asli. Turunan kedua adalah turunan dari turunan

pertama dan turunan ketiga adalah turunan dari turunan kedua, begitu

selanjutnya.

Fungsi awal : y = f(x)

Turunan pertama : y’ ≡ f’(x) ≡dydx

≡df ( x )

dx

Page 9: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

Turunan kedua : y’’ ≡ f’’(x) ≡ d2 ydx2 ≡

d2 f ( x )dx2

F. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya

1. Fungsi Menaik dan Menurun pada fungsi non linier

Turunan pertama dari fungsi non linier dapat dipergunakan untuk

menentukan apakah kurvanya menaik atau menurun dan menentukan letak

titik ekstrim.

Jika nilai yʹ > 0 fungsi menaik

yʹ < 0 fungsi menurun

yʹ = 0 berada pada titik ekstrim

jika fʹ (a) > 0 untuk x < a titik ekstrimnya titik maksimum

jika fʹ (a) < 0 untuk x > a

jika fʹ (a) > 0 untuk x > a titik ekstrimnya titik minimum

jika fʹ (a) < 0 untuk x < a

Contoh :

Y = f(x) = x3 – 4x2 + 12x – 5

Apakah fungsi menaik atau fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7 dan

selidiki juga pada x = 6?

yʹ = fʹ (x) = x2 – 8x + 12

fʹ (5) = (5) 2 – 8 (5) + 12 = - 3< 0 maka f(x) Menurun pada x = 5

fʹ (7) = (7) 2 – 8 (7) + 12 = 5 > 0 maka f(x) Menaik pada x = 7

fʹ (6) = (6) 2 – 8 (6) + 12 = 0 maka f(x) berada pada titik ekstrim

karena fʹ (x) < 0 untuk x < 6 dan f ’ (x) > 0 untuk x > 6 maka titik

ekstrimnya adalah titik minimum

2. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik

Fungsi Parabola y = f(x) akan mencapai titik ekstrim pada yʹ = 0

Jika yʺ < 0 parabola terbuka ke bawah (titik maksimum)

Page 10: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

Jika yʺ > 0 parabola terbuka ke atas (titik minimum)

Contoh :

i. y = x2 – 8x + 12

yʹ = 2x – 8 yʺ = 2 > 0 titik minimum

ii. y = - x2 + 6x + 4

yʹ = - 2x + 6 yʺ = - 2 < 0 titik maksimum

3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik

Fungsi kubik y = f( x ) mencapai titik ekstrim pada yʹ = 0

Jika yʺ < 0 pada yʹ = 0 titik ekstrimnya maksimum

Jika yʺ > 0 pada yʹ = 0 titik ekstrimnya minimum

Fungsi kubik ada pada titik belok pada yʺ = 0

Contoh :

f(x) = x3 – 3x2 + 8x – 3 (fungsi kubik)

Jika yʹ = x2 – 6x + 8 = 0

(x – 2) (x – 4) = 0

x1 = 2 dan x2 = 4

Untuk x = 2 → yʺ = 2 x – 6 = 2 (2) – 6 = - 2 < 0

Untuk x = 2 → y = f(2) = (2)3 – 3(2)2 + 8(2) – 3 = 9

maka pada titik (2 ; 9) fungsi tsb. ada pada titik maksimum

untuk x = 4 → yʺ = 2 x – 6 = 2 (4) – 6 = 2 > 0

untuk x = 4 → y = f( 4) =(4)3 – 3(4)2 + 8(4) – 3 = 45

maka pada titik (4; 45) fungsi tsb. ada pada titik minimum

G. Hubungan Antar Fungsi dan Derivatifnya

Y = x3 – 4x2 + 12x – 5 Fungsi kubik

Yʹ = x2 – 8x + 12 Fungsi kuadrat (turunan pertamanya)

Yʺ = 2 x – 8 Fungsi linier (turunan keduanya)

Yʺʹ = 2 Konstanta (turunan ketiganya)

Page 11: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

PENERAPAN EKONOMI DIFERENSIAL SEDERHANA

A. Elastisitas

Elastisitas merupakan persentase perubahan y yang disebabkan oleh

persentase perubahan x.

Rumus Elastisitas:

η=EyEx

= limΔ x →0

(∆ yy )

(∆ xx )

=dydx

.xy

Rumus singkat:

η= yʹ .xy

1. Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan

barang, akibat adanya perubahan harga.

Rumus elastisitas permintaan :

η=Qd ʹ .p

Qd

Elastis jika d > 1

Inelastis jika d < 1

Uniter jika d = 1

Contoh :

Fungsi permintaan akan suatu barang Qd = 25 – 3P2 Tentukan elastisitas

permintaannya pada tingkat harga P = 5

Jawab :

Qd = 25 – 3P2

Qdʹ = (-6P)

Untuk P = 5, Qd = 25 – 3(5)2 = -50

Qd ʹ = -6(5) = -30

η=(−30 ) . 5(−50 )

=3 ( elastis )

Artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %,

maka permintaannya akan turun sebanyak 3 % .

Page 12: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

2. Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang

yang ditawarkan, jika ada perubahan harga.

Rumus Elastisitas Penawaran:

η=Qsʹ .p

Qs

Contoh :

Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan oleh Qs = - 200 + 7P2

Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10

Jawab :

Qs = - 200 + 7P2

Qsʹ = 14P

Pada P = 10, Qs = -200 + 7(10)2 = 500

Qsʹ = 14(10) = 140

η=140 .10

500=2,8 ( elastis )

Artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 % , maka

jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.

3. Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang

dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.

Rumus Elastisitas Produksi:

η=Pʹ .XP

Contoh :

Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6X2 – X3

Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi

(input) sebesar X = 3

Jawab :

P = 6X2 – X3

Pʹ = 12X – 3X2

Pada X = 3, P = 6(3)2 – (3)3 = 27

Page 13: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

Pʹ = 12(3) – 3(3)2 =

η=9 .3

27=1 (uniter)

Artinya pada tingkat penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %,

maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %

B. Biaya Marjinal / Marginal Cost ( MC )

Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika

jumlah produksi ditambah 1 unit.

Rumus biaya marjinal:

MC=C ʹ

Contoh:

Biaya total C = f(Q) = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4

Biaya Marjinal MC = Cʹ = 3Q2 – 6Q + 4

Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ?

Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?

Jawab:

MC minimum pada MC ‘ = 0

MC ʹ = 6Q – 6 = 0

6Q = 6

Q = 1

MC minimum = 3Q2 – 6Q + 4 = 3(1)2 – 6(1) + 4 = 6

Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1

unit.

C. Penerimaan Marginal / Marginal Revenu (MR)

Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah

produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit.

Rumus penerimaan marjinal:

MR=R'

Contoh :

fungsi permintaan suatu barang P = 16 – 2Q

Page 14: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?

Jawab :

Fungsi Penerimaan Total (R) = P . Q = (16 – 2Q)(Q)

= 16Q – 2Q2

Penerimaan Marjinal (MR) = Rʹ = 16 – 4Q

R akan maksimum jika MR = 0, => 16 – 4Q = 0

=> 4Q = 16

=> Q = 4

R Maks = 16Q – 2Q2 = 16(4) – 2(4)2 = 32

Jadi besarnya penerimaan total maksimum sebesar Rp. 32,00

D. Keuntungan Maksimum (π)

Fungsi keuntungan (π) = R – C

π akan optimum jika πʹ = 0

Jika πʺ < 0 maksimum = keuntungan maksimum

Jika π ʺ > 0 minimum = kerugian maksimum

Contoh :

jika fungsi penerimaan R = - 2 Q 2 + 1000 Q

Dan fungsi biaya total C = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000

Berapakah tingkat keuntungan maksimum ?

Jawab :

π = R – C

π = (-2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2.000)

π = -Q3 + 57Q2 - 315Q – 2.000

Keuntungan maks πʹ = 0

π=0, => -3Q2 + 114Q – 315 = 0

- Q 2 + 38 Q – 105 = 0

( - 3 Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0

Q1 = 1 Q2 = 35

Page 15: DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA.docx

DAFTAR PUSTAKA

Mairy, Du. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta :

BPFE