diferensial fungsi sederhana.docx
TRANSCRIPT
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
OLEH KELAS I :
KELOMPOK 1
1. Ayuma Septidita 1350401011111532. Hanif Satrio Prakoso 1350401011111543. Ricky Affandi Hasibuan 1350401011111554. Fadila Prista 1350401011111565. Uswatun Khasanah 1350401011111576. Resya Eka Pratiwi 1350401011111587. Diesna Anggraeni 1350401011111598. Syah Reza Al Faisal 1350401011111609. Sanca Kumara Seta 13504010111116110.Lillian Astrian Agnes 135040101111162
JURUSAN SOSIAL EKONOMI
PROGRAM STUDI AGRIBISNIS
FAKULTAS PERTANIAN
UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG
2013-2014
DIFERENSIAL FUNGSI SEDERHANA
A. Pengertian
Diferensial : Membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi, sehubungan
dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan (∆X
dibaca delta X ). Dapat juga digunakan untuk mempelajari titik maksimum,
titik minimum, dan titik belok. Oleh karena itu diferensial merupakan salah
satu alat analisis yang penting dalam bisnis dan ekonomi.
B. Kuosien Diferensi dan Derifatif
Jika y = f(x) dan terdapat tambahan variabel bebas x sebesar ∆x
Maka :
y = f (x)
y + ∆y = f (x + ∆ x )
∆y = f(x+∆x)-y
∆y = f(x+∆x)-f(x)
Apabila luas kiri dan luas kanan persamaan terakhir sama-sama di bagi Δ x
Δ yΔ x
=f ( x+∆ x )−f (x)
Δ x
Proses penurunan fungsi disebut proses pendiferensian dengan penentuan limit
suatu kuosien dalam hal pertambahan variable bebas atau mendekati 0. Maka
jika y = f (x)
Maka kuosien diferensianya.
Δ yΔ x
=f ( x+∆ x )−f (x)
Δ x
Dan turunan fungsinya
lim Δ yΔ x
=lim f ( x+∆ x )−f (x)
Δ x
C. `Kaidah-Kaidah Diferensial
1. Diferensiasi Konstanta
Jika : y = k
y' = 0
ex: y = 5
y' = 0
2. Diferensiasi Fungsi Pangkat
Jika : y = xn
y' = n xn-1
ex: y = x3
y' = 3x3-1 = 3x2
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika : y = k v dimana v = h (x)
y' = k v'
ex: y = 5 x3
y' = 5 ( 3 x3-1 )
= 15 x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
Jika : y = kv dimana v = h (x)
y' = kv '
v2
ex: y = 5
x2
y' = 5(2 x)
x4
5. Diferensiasi penjumlahan(pengurangan) fungsi
Jika y = u ± v dimana u = g(x) dan v = h(x)
yʹ = uʹ ± vʹ
ex: y = 4x6 – 6x4
yʹ = 24x5 – 24x3
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika : y = uv dimana u = g (x) dan v = h (x)
y' = u v' + v u'
ex: y = 4 x2 (x3) u = 4x2 v = x3
u' = 4(2x) v' = 3x2
y' = 4(x2)(3x2) + (x3)4(2x)
y' = 12x4 + 8x4 = 20x4
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y =uv dimana u = g(x) dan v = h(x)
y' = vu '−uv '
v2
ex: y = 4 x2
x3 dimana u = 4x2 dan v = x3
u' = 8x dan v' = 3x2
y' = x3 (8 x )−4 x23 x2
(x3)2
y' = 8 x4−12 x4
x6
y' = −4 x4
x4
y' = - 4
x2
8. Diferensiasi fungsi komposit (fungsi di dalam fungsi)
Jika y = f(u) dimana u = g(x) y = u jadi y = f{g(x)}
y' =y'(u)u' dimana y'(u) adalah turunan dari fungsi u
bukan u = g(x)
ex: y = ( 4 x3 + 5 )2 dimana u = 4 x3 + 5 dan y(u) = u2
u' = 12x2 y'(u)=2u
y' = 2(4x3 + 5) 12x2
y' = (8x3 + 10) 12x2
y' = 96x5 + 120x2
9. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = un dimana u = g (x)
y' = nun–1.u'
ex: y = (4x3 + 5)2
y' = 2(4x3 + 5).12x2
y' = (8x3+10).12x2
y' = 96x3+120x2
10. Deferensiasi Fungsi Log
Jika y = a log x
y' = 1
x ln a
ex: y = 5log2
y' = 1
2 ln5
11. Diferensiasi Fungsi Komposit-logaritmik
Jika y = alog u dimana u = g(x)
yʹ = alog e
u . uʹ
ex: y = log( x−3x+2 ) u =
x−3x+2
uʹ =( x+2 )−(x−3)
( x+2)2 = 5
(x+2)2
yʹ = log e
( x−3x+2 ) .
5
(x+2)2
yʹ = 5 log e
( x−3 )(x+2) = 5 log e
(x2−x−6)
12. Deferensiasi Fungsi Komposit-logaritmik-berpangkat
Jika y = (alog u)n dimana u = g(x) dan n =
konstanta
yʹ = yʹ.alog e
u . uʹ dimana yʹ adalah turunan dari fungsi u
( dydu )bukan u = g(x)
ex: y = (log 5x2)2 misalkan u = 5x2 uʹ= 10x
yʹ = 2 (log 5x2) . log e
5 x2 . (10x)
yʹ = 20 x ( log5 x2) loge
5 x2 = 4x( log5 x2) loge
13. Logaritma Fungsi Logaritmik-Napier
Jika y = ln x kasus ini khusus dari kaidah 10
yʹ = 1x ingat! ln x =e log x
ex: y = ln 9
yʹ = 19
14. Deferensiasi Fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
Jika y = ln u dimana u = g(x)
yʹ = 1u . uʹ
ex: y = ln ( x−3x+2 ) misalnya u =
x−3x+2 uʹ =
5
( x+2 )2
yʹ = 1
x−3x+2
. 5
( x+2 )2 = x+2x−3 .
5
( x+2 )2
yʹ = 5
( x−3 )(x+2)= 5
x2−x−6
15. Deferensiasi Fungsi Komposit-Logaritmik-Napier-berpangkat
Jika y = (ln u)n dimana u = g(x) dan n = konstanta
yʹ = yʹ . 1u . uʹ dimana yʹ adalah turunan dari
fungsi u
( dydu )bukan u = g(x)
ex: y = (ln 5x2)3u = 5x2 uʹ = 10x
yʹ = 3(ln 5x2)2 . 1
5 x2 . (10x)
yʹ = 30 x
5 x2 . (ln 5x2)2 = 6x (ln 5x2)2
16. Diferensiasi Exponensial
Jika y = ax dimana a = konstanta
yʹ = ax ln a
ex: y = 6x
yʹ = 6x ln 6
17. Diferensiasi Exponensial
Jika y = au dimana a = g(x)
yʹ = au ln a .uʹ
ex: y = 93 x2−4 misalkan u = 3 x2−4 uʹ = 6x
yʹ = 93 x2−4 (ln 9 )(6 x )
yʹ = (6 x ) 93 x2−4 ( ln 9 )
18. Diferensiasi Fungsi Kompleks
Jika y = uv
yʹ = vuv-1 . uʹ + uv . ln u . vʹ
ex: y = 4 xx3
misalkan u = 4x uʹ = 4
v = x3 vʹ = 3x2
yʹ = (x¿¿3)(4 x¿¿ x3−1)¿¿ . 4 + 4 xx3
. ln 4x . (3x2¿
yʹ = 16 xx3+2 + 12 xx3+2 ln 4 x
yʹ = 4 xx3+2(4+3 ln 4x)
Nb:
Turunan pertama = yʹ
Turunan kedua = yʺ
Turunan ketiga = yʺʹ ........... dst.
D. Hakikat Derivatif dan Difernsial
Kuofien diferensi Δ xΔ y
adalah lereng dari kurva y= f (x). Sedangkan
derivative d yd x
adalah lim Δ yΔ x
untuk Δ x → 0
Diferensial dari x : dx = Δ x
Diferensial dari y : dy = dydx
Δ x
E. Derivatif dari Derivatif
Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali.turunan pertama turunan
dai fungsi awal atau fungsi asli. Turunan kedua adalah turunan dari turunan
pertama dan turunan ketiga adalah turunan dari turunan kedua, begitu
selanjutnya.
Fungsi awal : y = f(x)
Turunan pertama : y’ ≡ f’(x) ≡dydx
≡df ( x )
dx
Turunan kedua : y’’ ≡ f’’(x) ≡ d2 ydx2 ≡
d2 f ( x )dx2
F. Hubungan Antara Fungsi dan Derivatifnya
1. Fungsi Menaik dan Menurun pada fungsi non linier
Turunan pertama dari fungsi non linier dapat dipergunakan untuk
menentukan apakah kurvanya menaik atau menurun dan menentukan letak
titik ekstrim.
Jika nilai yʹ > 0 fungsi menaik
yʹ < 0 fungsi menurun
yʹ = 0 berada pada titik ekstrim
jika fʹ (a) > 0 untuk x < a titik ekstrimnya titik maksimum
jika fʹ (a) < 0 untuk x > a
jika fʹ (a) > 0 untuk x > a titik ekstrimnya titik minimum
jika fʹ (a) < 0 untuk x < a
Contoh :
Y = f(x) = x3 – 4x2 + 12x – 5
Apakah fungsi menaik atau fungsi menurun pada x = 5 dan x = 7 dan
selidiki juga pada x = 6?
yʹ = fʹ (x) = x2 – 8x + 12
fʹ (5) = (5) 2 – 8 (5) + 12 = - 3< 0 maka f(x) Menurun pada x = 5
fʹ (7) = (7) 2 – 8 (7) + 12 = 5 > 0 maka f(x) Menaik pada x = 7
fʹ (6) = (6) 2 – 8 (6) + 12 = 0 maka f(x) berada pada titik ekstrim
karena fʹ (x) < 0 untuk x < 6 dan f ’ (x) > 0 untuk x > 6 maka titik
ekstrimnya adalah titik minimum
2. Titik Ekstrim Fungsi Parabolik
Fungsi Parabola y = f(x) akan mencapai titik ekstrim pada yʹ = 0
Jika yʺ < 0 parabola terbuka ke bawah (titik maksimum)
Jika yʺ > 0 parabola terbuka ke atas (titik minimum)
Contoh :
i. y = x2 – 8x + 12
yʹ = 2x – 8 yʺ = 2 > 0 titik minimum
ii. y = - x2 + 6x + 4
yʹ = - 2x + 6 yʺ = - 2 < 0 titik maksimum
3. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
Fungsi kubik y = f( x ) mencapai titik ekstrim pada yʹ = 0
Jika yʺ < 0 pada yʹ = 0 titik ekstrimnya maksimum
Jika yʺ > 0 pada yʹ = 0 titik ekstrimnya minimum
Fungsi kubik ada pada titik belok pada yʺ = 0
Contoh :
f(x) = x3 – 3x2 + 8x – 3 (fungsi kubik)
Jika yʹ = x2 – 6x + 8 = 0
(x – 2) (x – 4) = 0
x1 = 2 dan x2 = 4
Untuk x = 2 → yʺ = 2 x – 6 = 2 (2) – 6 = - 2 < 0
Untuk x = 2 → y = f(2) = (2)3 – 3(2)2 + 8(2) – 3 = 9
maka pada titik (2 ; 9) fungsi tsb. ada pada titik maksimum
untuk x = 4 → yʺ = 2 x – 6 = 2 (4) – 6 = 2 > 0
untuk x = 4 → y = f( 4) =(4)3 – 3(4)2 + 8(4) – 3 = 45
maka pada titik (4; 45) fungsi tsb. ada pada titik minimum
G. Hubungan Antar Fungsi dan Derivatifnya
Y = x3 – 4x2 + 12x – 5 Fungsi kubik
Yʹ = x2 – 8x + 12 Fungsi kuadrat (turunan pertamanya)
Yʺ = 2 x – 8 Fungsi linier (turunan keduanya)
Yʺʹ = 2 Konstanta (turunan ketiganya)
PENERAPAN EKONOMI DIFERENSIAL SEDERHANA
A. Elastisitas
Elastisitas merupakan persentase perubahan y yang disebabkan oleh
persentase perubahan x.
Rumus Elastisitas:
η=EyEx
= limΔ x →0
(∆ yy )
(∆ xx )
=dydx
.xy
Rumus singkat:
η= yʹ .xy
1. Elastisitas Permintaan adalah besarnya perubahan jumlah permintaan
barang, akibat adanya perubahan harga.
Rumus elastisitas permintaan :
η=Qd ʹ .p
Qd
Elastis jika d > 1
Inelastis jika d < 1
Uniter jika d = 1
Contoh :
Fungsi permintaan akan suatu barang Qd = 25 – 3P2 Tentukan elastisitas
permintaannya pada tingkat harga P = 5
Jawab :
Qd = 25 – 3P2
Qdʹ = (-6P)
Untuk P = 5, Qd = 25 – 3(5)2 = -50
Qd ʹ = -6(5) = -30
η=(−30 ) . 5(−50 )
=3 ( elastis )
Artinya pada kedudukan harga P = 5, jika harga barang naik sebesar 1 %,
maka permintaannya akan turun sebanyak 3 % .
2. Elastisitas Penawaran adalah adalah besarnya perubahan jumlah barang
yang ditawarkan, jika ada perubahan harga.
Rumus Elastisitas Penawaran:
η=Qsʹ .p
Qs
Contoh :
Fungsi penawaran suatu barang diperlihatkan oleh Qs = - 200 + 7P2
Tentukan elastisitas penawarannya, pada tingkat harga P = 10
Jawab :
Qs = - 200 + 7P2
Qsʹ = 14P
Pada P = 10, Qs = -200 + 7(10)2 = 500
Qsʹ = 14(10) = 140
η=140 .10
500=2,8 ( elastis )
Artinya pada kedudukan harga P = 10, jika harga barang naik 1 % , maka
jumlah barang yang ditawarkan juga akan naik sebanyak 2,8 %.
3. Elastisitas Produksi adalah besarnya perubahan jumlah output yang
dihasilkan, karena adanya perubahan jumlah input.
Rumus Elastisitas Produksi:
η=Pʹ .XP
Contoh :
Fungsi produksi suatu barang ditunjukkan P = 6X2 – X3
Hitung elastisitas produksinya, pada tingkat penggunaan faktor produksi
(input) sebesar X = 3
Jawab :
P = 6X2 – X3
Pʹ = 12X – 3X2
Pada X = 3, P = 6(3)2 – (3)3 = 27
Pʹ = 12(3) – 3(3)2 =
η=9 .3
27=1 (uniter)
Artinya pada tingkat penggunaan input X = 3 , jika input ditambah 1 %,
maka jumlah produksi (output) juga akan bertambah 1 %
B. Biaya Marjinal / Marginal Cost ( MC )
Biaya Marjinal ( MC ) adalah besarnya biaya yang harus ditambahkan , jika
jumlah produksi ditambah 1 unit.
Rumus biaya marjinal:
MC=C ʹ
Contoh:
Biaya total C = f(Q) = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4
Biaya Marjinal MC = Cʹ = 3Q2 – 6Q + 4
Pada tingkat produksi/ penjualan berapakah biaya marjinal minimum ?
Berapa besarnya biaya marjinal minimum tersebut ?
Jawab:
MC minimum pada MC ‘ = 0
MC ʹ = 6Q – 6 = 0
6Q = 6
Q = 1
MC minimum = 3Q2 – 6Q + 4 = 3(1)2 – 6(1) + 4 = 6
Jadi besarnya biaya marjinal minimum sebesar RP. 6 pada tingkat produksi 1
unit.
C. Penerimaan Marginal / Marginal Revenu (MR)
Penerimaan Marjinal adalah besarnya tambahan penerimaan, jika jumlah
produksi atau barang yang terjual bertambah 1 unit.
Rumus penerimaan marjinal:
MR=R'
Contoh :
fungsi permintaan suatu barang P = 16 – 2Q
Berapakah besarnya penerimaan maksimum ?
Jawab :
Fungsi Penerimaan Total (R) = P . Q = (16 – 2Q)(Q)
= 16Q – 2Q2
Penerimaan Marjinal (MR) = Rʹ = 16 – 4Q
R akan maksimum jika MR = 0, => 16 – 4Q = 0
=> 4Q = 16
=> Q = 4
R Maks = 16Q – 2Q2 = 16(4) – 2(4)2 = 32
Jadi besarnya penerimaan total maksimum sebesar Rp. 32,00
D. Keuntungan Maksimum (π)
Fungsi keuntungan (π) = R – C
π akan optimum jika πʹ = 0
Jika πʺ < 0 maksimum = keuntungan maksimum
Jika π ʺ > 0 minimum = kerugian maksimum
Contoh :
jika fungsi penerimaan R = - 2 Q 2 + 1000 Q
Dan fungsi biaya total C = Q 3 – 59 Q 2 + 1315 Q + 2.000
Berapakah tingkat keuntungan maksimum ?
Jawab :
π = R – C
π = (-2Q2 + 1000Q) – (Q3 – 59Q2 + 1315Q + 2.000)
π = -Q3 + 57Q2 - 315Q – 2.000
Keuntungan maks πʹ = 0
π=0, => -3Q2 + 114Q – 315 = 0
- Q 2 + 38 Q – 105 = 0
( - 3 Q + 3 ) ( Q – 35 ) = 0
Q1 = 1 Q2 = 35
DAFTAR PUSTAKA
Mairy, Du. 2004. Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi. Yogyakarta :
BPFE