laporan diferensial dan integral matlab

28
  DIFERENSIAL DAN INTEGRAL LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR oleh Veniola Forestryani  141810101035  LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2014

Upload: dlwnsghek7

Post on 09-Oct-2015

1.527 views

Category:

Documents


208 download

DESCRIPTION

Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

TRANSCRIPT

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    1/28

    DIFERENSIAL DAN INTEGRAL

    LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR

    oleh

    Veniola Forestryani

    141810101035

    LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR

    JURUSAN MATEMATIKA

    FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

    UNIVERSITAS JEMBER

    2014

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    2/28

    BAB 1. PENDAHULUAN

    1.1 Latar Belakang

    Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi

    dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.

    Persamaan diferensial terdiri dari persamaan diferensial biasa dan persamaan

    diferensial parsiil. Persamaan diferensial biasa adalah jika turunan fungsi

    bergantung pada satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsiil

    adalah jika turunan fungsi bergantung pada lebih dari satu variabel bebas.

    Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak, Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi

    orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat,

    dan dengan menggunakan induksi matematika. Dia mengembangkan suatu

    metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat

    penting terhadap perkembangan kalkulus integral.

    Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika,

    turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, danturunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua

    Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan

    gaya yang diberikan kepada benda. Turunan juga sering digunakan untuk mencari

    titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan

    turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan

    fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul

    dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional,

    geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

    Salah satu cabang dari matematika yaitu integral. Integral merupakan lawan

    dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu

    dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu

    yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak

    memiliki batasan-batasan.

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    3/28

    Fondasi penemuan integral pertama kali diletakkan oleh Cavalieri sekitar

    1635. Ia adalah seorang matematikawan dari Italia. Karya Cavalieri berpusat di

    sekitar pengamatan bahwa kurva dapat dianggap sketsa oleh sebuah titik bergerak

    dan daerah tersebut seharusnya membuat sketsa oleh garis bergerak.

    Dalam bidang ekonomi penerapan integral diantaranya ada 4, yaitu untuk

    menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi

    konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi asal dari fungsi

    marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya.

    Dalam bidang matematika penerapan integral juga digunakan untuk menentukan

    luas suatu bidang, menentukan panjang busur dan menentukan volum benda putar,

    sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus

    AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur

    pelengkung.

    1.2 Rumusan Masalah

    Adapun rumusan masalah yang akan dibahas pada praktikum kali ini adalah:

    1.

    Bagaimana membuat fungsi turunan dan diferensial dalam MATLAB

    2. Bagaimana cara mengoperasikan fungsi turunan dan integral pada MATLAB

    3.

    Bagaimana mengoperasikan fungsi turunan dan integral dengan operasi

    matematik dalam MATLAB

    1.3Tujuan Praktikum

    Adapun tujuan praktikum pada praktikum kali ini adalah:

    1.

    Membuat fungsi turunan dan diferensial dalam MATLAB

    2. Dapat mengoprasikan fungsi turunan dan integral pada MATLAB

    3. Dapat mengoprasikan fungsi turunan dan integral dengan operasi matematik

    dalam MATLAB

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    4/28

    1.4Manfaat

    Manfaat yang didapatkan dari praktikum kali ini yaitu praktikan dapat

    mengoperasikan fungsi turunan dan integral pada aplikasi MATLAB dan

    memanfaatkannya untuk kehidupan sehari-hari.

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    5/28

    BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

    2.1 Turunan (Diferensial)

    Persamaan diferensial adalah suatu bentuk persamaan yang memuat

    derivatif (turunan) satu.Persamaan diferensial dapat pula dinotasikan sebagai :

    (Lestari, 2013).

    2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa dan Ordernya

    Persamaan diferensial biasa merupakan sebuah bentuk persamaan yang

    memuat turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas

    suatu fungsi. Penentuan order suatu persamaan diferensial tergantung pada

    kandungan fungsi turunan di dalam persamaan diferensial tersebut. Order atau

    tingkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat tertinggi turunan dalam

    persamaan diferensial. Contohnya yaitu:

    a. : persamaan diferensialbiasa order pertama

    b. : persamaan diferensialbiasa order kedua

    c.

    : persamaan diferensial

    biasa order ketiga (Lestari, 2013).

    2.1.2 Persamaan Diferensial Parsial

    Persamaan diferensial parsial merupakan sebuah bentuk persamaan yang

    memuat turunan parsial satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu

    variabel bebas suatu fungsi. Contohnya yaitu:

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    6/28

    a.

    b. (Lestari, 2013).

    2.1.3 Aturan Pada Operasi Turunan

    Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka :

    1. 2. 3.

    4. (

    5. Jika , maka :

    (Hertanto, 2009).

    2.2 Integral

    Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan

    aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral tak tentu dan integral

    tertentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan

    (integration). Simbol dari integral adalah , berupa S yang dipanjangkan(singkatan dari "sum"). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua

    operator linear yang saling berhubungan. Integral tak tentu adalah antiturunan,

    yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu dari f ketika f adalah

    turunan dari F, sedangkan integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan

    outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberikan luas antar grafik yang

    dimasukkan dengan sumbu x. Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan

    lama waktu tertentu. Apabila kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa

    dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    7/28

    sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode tersebut adalah

    memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak

    interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval

    dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan

    total keseluruhan jarak yang didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu

    sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak.

    Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara

    dua titik a dan b seperti pada Gambar 2.2.1.

    Gambar 2.2.1

    Jika f(x) pada diagram di atas mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang

    ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir. Untuk

    memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b

    menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan

    x. Untuk setiap segmel, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai

    tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar x

    dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut. Denganmenjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan jarak

    tempuh antara a dan b. Nilai x yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang

    lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit x

    mendekati nol.Integral tertentu ditulis sebagai:

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    8/28

    dan dibaca "Integral dari ake bdarif(x)terhadapx."

    Integral tak tentu, atau anti derivatif, yang ditulis sebagai:

    .Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah

    konstanta),

    (Sutedjo, 2013).

    2.2.1 Integral Tertentu

    Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable

    (terintegralkan). Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya

    f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]

    jika ada.

    Selanjutnya disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a keb, dan didefinisikan:

    Gambar 2.2.2

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    9/28

    menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva

    dan sumbu x dalam selang , jika bertanda negatifmaka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x (Purnomo, 2010).

    a. Teorema Dasar Kalkulus

    Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung

    Integral Tentu, berikut teorema tersebut :

    Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka

    =

    Selanjutnya ditulis (Purnomo, 2010).

    2.2.2 Integral Fungsi Trigonometri

    Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci,berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk

    menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar

    tersebut adalah:

    1. = 2. =

    3. = Cxsec

    = Cxcos

    4. = Cxcsc = Cxsin

    5.

    =

    Cxx tansec

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    10/28

    6. = Cxx cotcsc Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral

    fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

    A. ,sin xdxm

    dan xdxm

    cos dengan m bilangan ganjil atau genap positip. Jika m

    bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan

    terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan

    identitas

    . Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antaraintegran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan(Purnomo, 2010).

    2.2.3 Integral Parsial

    Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian

    integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana )dan Karena , maka menurut definisi differensial dan turunanfungsi diperoleh :

    Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh :

    Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan

    dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    11/28

    dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih

    sulit dibandingkan dengan tersebut (Purnomo, 2010).

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    12/28

    BAB 3. METODOLOGI

    3. 1 Alat dan Bahan

    Adapun alat dan bahan yang digunakan pada praktikum pengenalan matlab

    kali ini adalah:

    3.1.1 Alat

    a. Laptop.

    Intel(R) Core(TM) i3-3110M CPU @

    2,40 GHz 2,40 GHz

    3.1.2 Bahan

    a.

    MATLAB 7.8.0 (R2009a).

    3.2 Prosedur

    Adapun prosedur pengaktifan pada praktikum pengenalan MATLAB kali

    ini adalah:

    1. Hidupkan computer atau laptop.

    2. Install program MATLAB.

    3.

    Buka Program MATLAB dengan double klik icon MATLAB pada desktop

    atau klik kanan pada icon MATLAB kemudian open.

    4. Aplikasi MATLAB R2009a siap untuk digunakan.

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    13/28

    BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

    4.1Hasil

    4.1.1 Menghitung Turunan

    Gambar 4.1

    Gambar 4.2

    Gambar 4.3

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    14/28

    Gambar 4.4

    Gambar 4.5

    4.1.2 Menghitung integral

    Gambar 4.6

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    15/28

    Gambar 4.7

    Gambar 4.8

    4.2

    Pembahasan

    4.2.1 Perhitungan Turunan

    Proses dari menurunkan disebut dengan differensiasi. Turunan

    mempunyai operasi-operasi yang dapat diselesaikan menggunakan program

    MATLAB. Pengoperasian turunan dimulai denganmendefinisikan variabel-

    variabe yang akan digunakan. Pada awalnya, variabel dapat didefinisikan dengan

    menggunakan syntax : sym( ), namun syntax tersebut hanya bisa digunakan

    untuk mendefinisikan satu variabel saja. Agar pendefinisian dapat dilakukan

    untuk berberapa variabel, syntax yang digunakan yaitu:

    Contohnya dapat dilihat pada Gambar 4.1, yaitu dengan mengetikkannya seperti:

    >> kemudian tekan tombol Enter.

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    16/28

    Langkah selanjutnya yaitu dengan memasukkan suatu fungsi pada MATLAB

    seperti:

    >> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi turunan pada MATLAB

    seperti pada Gambar 4.1:

    >>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Pengoperasian turunan di atas artinya, fungsi f(x) diturunkan terhadap x. Secara

    umum, syntax turunan yaitu:

    Pengoperasian turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan langsung

    memasukkan fungsinya seperti pada Gambar 4.2. Contoh pengoperasian

    perhitungan turunan pada Gambar 4.2 dapat dilakukan dengan mengetikkan:

    >>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    17/28

    Pencarian turunan sebanyak n kali, dapat menggunakan syntax sebagai

    berikut:

    Artinya, fungsi f(x) diturunkan terhadap x sebanyak n kali. Contohnya dapat

    dilihat pada Gambar 4.3, yaitu dengan mengetikkannya seperti:

    >>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Atau dengan mengetikkannya seperti:

    >>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Pengoperasian turunan diatas memiliki arti bahwa fungsiditurunkanterhadap x sebanyak 3 kali.

    Pengoperasian turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan

    memasukkan fungsi yang terdiri dari 2 variabel seperti pada Gambar 4.4. Contoh

    pengoperasian perhitungan turunan pada Gambar 4.4 dapat dilakukan dengan

    memasukkan suatu fungsi pada MATLAB seperti:

    >>

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    18/28

    kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi turunan pada MATLAB

    seperti pada Gambar 4.5:

    kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Pengoperasian turunan diatas memiliki arti bahwa fungsi diturunkanterhadap y. Pengoperasian turunan fungsi terhadap x dapat dilakukandengan mengetikkannya seperti:

    kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    4.2.2 Perhitungan Integral

    Berdasarkan percobaan pada praktikum kali ini didapatkan hasil bahwa

    dasar-dasar pengoperasian integral pada MATLAB antara lain :

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    19/28

    Jenis Integral Simbol Syntax dalam Matlab

    Tabel 4.1

    Operasi perhitungan integral dapat dilakukan dengan mendefinisikan variabel

    terlebih dahulu. Variabel telah terdefinisi pada langkah sebelumnya, oleh karena

    itu, pengoperasian integral dapat langsung dilakukan dengan mengetikkansyntax turunan pada MATLAB seperti pada Gambar 4.6:

    >>kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Pencarian integral sebanyak n kali, dapat menggunakan syntax sebagai

    berikut:

    (( ) )Artinya, fungsi f(x) diintegralkan terhadap x sebanyak n kali. Contohnya

    dapat dilihat pada Gambar 4.3, yaitu dengan mengetikkannya seperti:

    >>

    kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Pengoperasian integral diatas memiliki arti bahwa fungsidiintegralkanterhadap x sebanyak 3 kali.

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    20/28

    Pengoperasian integral terhadap x sebanyak kali tidak dapat dilakukanlangsung seperti pada syntax diferensial . Hal tersebut terjadikarena apabila syntax yang dimasukkan ke dalam MATLAB seperti padaGambar 4.7:

    >>kemudian apabila menekan tombol Enter, hasil yang akan muncul yaitu:

    Hasil yang didapatkan diatas merupakan pengoperasian integral tentu dengan batas atas dan batas bawah bukan pengoperasian integral terhadap xsebanyak kali seperti yang dimaksud. Pengoperasian samadengan pengoperasian .

    Pengoperasian turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan

    memasukkan fungsi yang terdiri dari 2 variabel seperti pada Gambar 4.4, yaitu

    . Fungsi sudah didefinisikan pada langkah sebelumnya, olehkarena itu, pengoperasian integral terhadap dapat langsung dilakukan denganmengetikkan syntax pada MATLAB seperti pada Gambar 4.8:

    kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

    Pengoperasian integral terhadap dengan batas atas 1 dan batas bawah 0 dapatdilakukan dengan mengetikkannya ada MATLAB seperti pada Gambar 4.8,

    yaitu:

    >>

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    21/28

    kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    22/28

    BAB 5. PENUTUP

    5.1 Kesimpulan

    Adapun kesimpulan dari praktikum turunan dan integral kali ini adalah:

    1.

    Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi

    dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.

    2.

    Integral merupakan lawan dari proses diferensial.

    3. Operasi turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan mendefinisikan

    variabel-variabel yang digunakan, kemudian memasukkan syntax

    .4. Integral dalam matematika yang telah terdefinisi pada MATLAB yaitu

    meliputi integral tak tentu dan integral tentu.

    5.2 Saran

    1.

    Gambar 5.1

    Terdapat kesalahan seperti Gambar 5.1 saat praktikum dilaksanakan.

    Kesalahan terdapat pada kekurangan tanda kurung pada akhir syntax. Seharusnya

    penulisan diapit oleh dua tanda kurung, sehinggapenulisan menjadi ' '.

    2.

    Gambar 5.2

    Terdapat kesalahan seperti Gambar 5.2 saat praktikum dilaksanakan.

    Kesalahan terdapat pada penulisan syntax trigonometri Penulisanpada MATLAB seharusnya yaitu .

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    23/28

    DAFTAR PUSTAKA

    Sutedjo, Haryanto. 2013.Kalkulus Diferensial Integral. Jakarta: Gunadarma

    Lestari, Dwi. 2013. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Fakultas MIPA

    Universitas Negeri Yogyakarta.

    Hertanto, D.B. 2009. Turunan, Integral, Persamaan Diferensial dan Transformasi

    Laplace Dalam Penerapannya di Bidang Teknik Elektro. Yogyakarta:

    Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta.

    Purnomo, Dwi. 2010. Kalkulus Integral. Malang: Fakultas Pendidikan Ilmu

    Eksakta Dan Keolahragaan Ikip Budi Utomo Malang

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    24/28

    LAMPIRAN

    1.

    Carilah nilai turunan ke4 dari fungsi-fungsi berikut:

    Mendefinisikan f(x) dan g(x):

    a.

    f(x) =

    b. g(x) = ||terhadap x

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    25/28

    2.

    Carilah nilai integral dari fungsi berikut terhadap x:

    Mendefinisikan f(x), g(x), dan h(x):

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    26/28

    a. f(x) = ;dengan batas 0 sampai ;b. g(x) =

    ;dengan batas 0 sampai ; danc. h(x) = ;dengan batas 0 sampai

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    27/28

    3.

    Sebuah benda bergerak mengikuti lintasan tertentu dengan posisi terhadap

    waktu memenuhi persamaan s(t) =

    . Tentukan kecepatan dan

    percepatan benda tersebut masing-masing saat 15 dan 4 detik.

    Kecepatan Percepatan

  • 5/19/2018 Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

    28/28

    4. Tentukan luas daerah diantara kurva dan .