bab vii persamaan diferensial

Download Bab VII Persamaan Diferensial

Post on 08-Jul-2015

1.038 views

Category:

Documents

21 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

BAB VIIPERSAMAANDIFFERENSIAL Banyakmasalahdalamkehidupansehari-hari yangdapat dimodelkandalam persamaan diferensial.Untuk menyelesaikannya masalah tersebut kita perlu menyele-saikan pula persamaan diferensialnya. Dalam bab ini persamaan diferensial yang diberi-kan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususnya sampai persamaan dife-rensial eksak.TIK : Setelah mengikuti materi ini, mahasiswa diharapkan dapat menyelesaikan persamaan differensial yang diberikan.7.1.Pengertian Persamaan DiferensialSecara matematis, persamaandifferensial adalah persamaan yang didalamnya terdapatturunan-turunan.Secarafisis,persamaan differensial adalahpersamaanyang menyatakan hubungan antara turunan (derivative) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas. Banyakpermasalahandalamberbagai bidangteknik, fisikamaupunbidang bidangkehayatan yangdapat dimodelkan ke dalambentuk persamaan diferensial. Berikut diberikanbeberapacontohfenomenadi alamyangdapat dimodelkandalam bentuk persamaan diferensial.Fenomena Persamaan DiferensialPeluruhan zat radioaktifkmdtdm, dengan m = massa zat, t = waktu, dan k adalah konstanta pembandingHukum Newton tentang gerakF m 22dt s d, dengan F gaya,m massa benda, s jarak, dan t = waktu.98Model logistikmenurut Verhulst( )P bP adtdP , dengan P besar populasi, t waktu, dan a, b konstanta.Laju perubahan tekanan uap suatu zatTPkdTdP, dengan P tekanan uap danT suhu.Model ayunan (bandul) sederhana0 sin22 +lgdtd, dengan sudut perpindahan bandul, g konstanta gravitasi, dan l panjang tali bandulBerdasarkan banyaknya variabel bebas, Persamaan Differensial dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu:1. PersamaanDifferensial Biasa, yaitupersamaandifferensial yangmengandung hanya satu variabel bebasContoh : 1.kxdxdy 2. x y y sin 2 3 + + 3.4. x y y + + 1 2. PersamaanDifferensialParsial, yaitupersamaandifferensial yangmengandung lebih dari satu variabel bebas.Contoh : 1. zyy xxy+ 2. 0 +zyzxxzDefinisi : Tingkat (Ordo) suatu PD adalah tingkat turunan tertingi yang terlibat dalam PD tersebut.Derajat (degree)suatu PD adalah pangkat dari turunan ordo tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan.99Contoh : 1. kxdxdy PD tingkat 1 derajat 12.x y y sin 2 3 + + PD tingkat 2 derajat 13.y y y + 2) ( PD tingkat 2 derajat 24. x y y + + 1PD tingkat 2 derajat 2Definisi:Suatu persamaan yang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi satupersa-maan differesialdisebut penyelesaian persamaan differensial.Contoh:Persamaan C x x y + + 2 merupakan selesaian dari PD:3 2 + + x y y sebab 1 2 + x y dan 2 y sehingga3 2 2 ) 1 2 ( + + + + x x y y. Penyelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi 2 yaitu :a. PenyelesaianUmumPersamaanDifferensial (PUPD),adalahselesaianPD yang masih memuat memuat konstanta penting (konstanta sebarang).b. Penyelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Differensial (PPPD/PKPD), adalah selesaian PD yang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta yang memenuhi syarat awal atau syarat batas.Contoh :PD 022dx y d ditulis0

,_

dxdydxdsehinggadxdxdyd 0

,_

. Jika kedua ruas diintegralkan, diperolehdxdxdyd

,_

0 sehingga 1Cdxdy.Persamaan terakhir diubah bentuk menjadi dx C dy1 .Dengan mengintegralkan kembali kedua sisi diperolehPUPD: 2 1C x C y + , dengan C1 dan C2 konstanta sebarang.100JikaPD tersebut memenuhi y 1 untuk x 0 dany 4 untuk x 1 akan diperoleh C1 =3danC2 =1. DiperolehPPPD :y = 3x + 1.7.2. Persamaan Differensial Terpisah Dan MudahDipisahBentuk Umum PD dengan variable terpisah : f(x) dx + g(y) dy = 0Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh PUPD:

C dy y g dx x f + ) ( ) (Contoh: Selesaikan PD:1. x3dx + (y +1)dy = 02. ex dx +01+dyeeyyPenyelesaian :1. Dengan mengintegralkan kedua ruas + + C dy y dx x ) 1 (3, diperoleh PUPD : C y x + +2 4) 1 (2141. Bentuk terakhir disajikan pula dengan PUPD : C y x + +2 4) 1 ( 2 .2. Dengan mengintegralkan kedua ruasdx ex +C dyeeyy+1, diperolehdx ex +Cee dyy++1) 1 (sehinggaPUPD :. ) 1 ln( C e ey x + +Bentuk Umum PD dapat dipisah:f(x)g(y) dx + p(x)q(y) dy = 0Penyelesaian PD tersebut adalah membagi kedua ruas dengang(y) p(x), sehingga diperoleh1010) () () () ( + dyy gy qdxx px f Dengan mengintegralkan didapat PUPD:C dyy gy qdxx px f + ) () () () (Contoh : Selesaikan PD :1. 4 y dx + 2x dy = 02. x2(y + 1) dx + y2 (x 1) dy = 0Penyelesaian:1.Membagi kedua ruas dengan xy, diperoleh02 4 + dyydxx. Dengan mengintegralkan kedua ruas 12 4C dyydxx + diperoleh PUPD : 1ln 2 ln 4 C x x + . Bentuk terakhir dapat diubah ke bentukPUPD : C y x ln ln2 4. Selanjutnya dapat pula disederhanakan menjadiPUPD : x4 y2 C.2.Jika kedua ruan dibagi dengan (y + 1).(x 1) PD menjadi01 12 2++dyyydxxx. Kedua ruas diintegralkanC dyyydxxx++ 1 12 2. Untuk memperoleh hasilnya, diubah menjadi C dyyydxxx++ ++ 11 111 12 2. Bentuk ini diubah menjadi C dyyy dxxx ++ ++ + )111 ( )111 (, diperoleh PUPD : C y y x x + + + + + | 1 | ln ) 1 (21| 1 | ln ) 1 (212 2.Untuk selanjutnya penulisan persamaan diferensial dalam bab ini disajikan sebagai :102M(x,y) dx +N(x,y) dy 0.7.3. Persamaan Differensial HomogenUntuk dapat menyelesaikan sebuah persamaan diferensial homogen/non homogen, terlebih dahulu harus difahami pengertian fungsi homogen.Fungsi ) , ( y x f dikatakan homogen berderajat n, jika memenuhi ) , ( ) , ( y x f y x fn , dengan suatu konstanta.Contoh :1. Fungsi2 22 ) , ( y xy x y x f + merupakan fungsi yang homogen berderajat 2, sebab

2 2) ( ) )( ( 2 ) ( ) , ( y y x x y x f + = 2 2 2 2 22 y xy x + =) 2 (2 2 2y xy x + =) , (2y x f 2. Fungsixyyyxx y x f cos sin ) , ( + merupakanfungsi homogenberderajat 1, sebab xyyyxx y x f cos ) ( sin ) ( ) , ( + = xyyyxx cos sin += ) , ( y x f 3. Fungsi xy xy y x f sin ) , ( + bukan fungsi homogen sebab

) )( sin( ) )( ( ) , ( y x y x y x f + =xy xy2 2sin +) , ( y x fn 103Persamaan Differensial0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x Mdikatakan suatuPD homogenjika) , ( y x Mdan) , ( y x Nmasing-masingmerupakanfungsi homogen berderajat sama. Penyelesaian PDhomogendapatdilakukandengansubtitusi : y = v xdanxdv vdx dy +

pada persamaan 0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x M. Dari substitusi ini akan didapatkan PD dengan variabel x dan v yang dapat dipisah, sehingga dapat dicari penyelesaiannya.Contoh : Selesaikan PD0 2 ) (2 3 3 + dy xy dx y x . Penyelesaian : Dapat ditunjukkan bahwa 3 3y x dan 22xymerupakan fungsi-fungsi yang homogen berderajat 3.Misalkan vx y sehingga xdv vdx dy + PD menjadi :0 ) ( 2 ) (2 2 3 3 3 + + xdv vdx x xv dx x v x0 2 ) 2 (4 2 3 3 3 3 3 + + dv x v dx x v x v x 0 2 ) 1 (4 2 3 3 + + dv x v dx v xKedua ruas dibagi 4 3) 1 ( x v + , diperoleh0123243++ dvvvdxxx yang merupakan PDterpisah.Dengan mengintegralkan diperoleh PUPD:A v x ln 1 ln32ln3 + +. Bentuk ini dapat diubah nmenjadi :A v x +3 2 3) 1 (Jadi PUPD : Axyx +3 233) 1 ( , dapat dituliskan sebagai: Ax y x +3 2 3 3) ( .7.4.Persamaan Differensial EksakSuatu persamaan diferensial tingkat satu derajat satu yang berbentuk :0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x M 104disebut Persamaan Differensial Eksak, jika dan hanya jika : xy x Nyy x M ) , ( ) , (Contoh :Selidikilah apakah persamaan diferensial 0 ) ln 2 (2 + + dy x dx x xymerupakan persamaan eksak Penyelesaian : x xy y x M ln 2 ) , ( + 2) , ( x y x N xyy x M2) , (xxy x N2) , (Karena xxy x Nyy x M2) , ( ) , (, makaPD tersebut Eksak.Penyelesaian Persamaan Diferensial EksakPandangPersamaanC y x F ) , (, denganCkonstantasebarang. Differensial total dari ruas kiri adalahd) , ( y x F yaitu : dyyy x Fdxx y x Fy x dF+) , ( ) , () , ( Karena diferensial ruas kanan adalahdC = 0, diperoleh 0) , ( ) , (+dyyy x Fdxxy x F Jika bentuk di atas dianalogkan dengan 0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x M , diperoleh :) , () , (y x Mx y x Fdan ) , () , (y x Nyy x FsehinggaPUPD Eksak :0 ) , ( ) , ( + dy y x N dx y x MberbentukC y x F ) , (. Akibatnya, penyelesaian PD eksak tersebut dapat diperoleh dari kedua bentuk di atas, yaitu :a.) , () , (y x Mx y x F105Jika kedua ruas diintegralkan terhadap x, maka+ xy g dx y x M y x F ) ( ) , ( ) , ( (Catatan : xmenyatakan bahwa dalam integral tersebut, y dipandang sebagai kon-stanta, dan g(y)adalah konstanta sebarang hasil pengintegralan yang harus dicari). Untuk mencari g(y), bentuk F(x,y) di atas didiferensialkan ke-y, yaitu :dyy dgdx y x My yy x Fx) () , () , (+1]1

atau ) ( ' ) , () , (y g dx y x My yy x Fx+1]1

Karena) , () , (y x Nyy x F, maka) , ( ) ( ' ) , ( y x N y g dx y x Myx +1]1

sehingga1]1

xdx y x Myy x N y g ) , ( ) , ( ) ( Karena) ( ') (y gdyy dgmerupakanfungsiysaja, maka denganpengintegralan terhadap y akan diperoleh ) ( y g. b. Cara lain untuk mencari penyelesaian persamaan (1) adalah dengan mengambil) , () , (y x Nyy x F sehingga + yx g dy y x N y x F ) ( ) , ( ) , ( Bentuk di atas dideferensialkan terhadap x untuk mendapatkan g(x), yaitu106 dxx dgdy y x Nx xy x Fy) () , () , (+11]1

atau) ( ) , () , (x g dy y x Nx xy x Fy +11]1

Karena) , () , (y x Mx y x F, maka11]1

ydy y x Nxy x M x g ) , ( ) , ( ) ( Karena g(x)adalah fungsixsaja, maka dengan mengintegralkan terhadap xakan dapat diperoleh g(x).Contoh : Selesaikan PD :0 ) ( ) ( + + dy y x dx y xPenyelesaian : Terlebih dahulu akan diuji apakah PD diatas Eksak/bukan.y x y x M + ) , ( y x y x N ) , (1 yM1 xNKarena1 xNyM, maka PD diatas Eksak. Salah satu cara berikut dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian PD tersebut.a. Jika diambil y x y x Mx y x F+ ) , () , (,maka + + xy g dx y x y x F ) ( ) ( ) , ( ) (212y g xy x + + ) ( ') , (y g xyy x F+ Karena y x y x Nyy x F ) , () , (, makay x y g x + ) ( ' y y g ) ( '107

221) ( y dy y y g Jadi PUPD : C y xy x +2 22121, dapat pula ditulis K y xy x +2 22 .b.Jika diambily x y x Nyy x F ) , () , (, maka+ yx g dy y x y x F ) ( ) ( ) , ( ) (212x g y xy + ) () , (x g yx y x F + Karena y x y x Mx y x F+ ) , () , (, makay x x g y + + ) ( x x g

View more