matematika teknik - diferensial

of 30 /30
DIFERENSIAL

Upload: reski-aprilia

Post on 30-Jun-2015

764 views

Category:

Engineering


34 download

TRANSCRIPT

Page 1: Matematika Teknik - Diferensial

DIFERENSIAL

Page 2: Matematika Teknik - Diferensial

2.1. Koefiesien Diferensial baku.

2.2 Fungsi dari suatu fungsi2.3 Diferensial Logaritmik2.4 Persamaan Parametrik

Page 3: Matematika Teknik - Diferensial

Teorema Turunan 1 :

J ika c'f ada, maka f kontinu di c.

Page 4: Matematika Teknik - Diferensial

Teorema Turunan 2 :

1. Aturan Fungsi Konstanta. J ika xf = k dengan k suatu

konstanta maka untuk sebarang x, x'f = 0, yaitu kD = 0.

2. Aturan fungsi I dentitas. J ika xf = x, maka x'f = 1, yaitu

xD =1.

3. Aturan Pangkat. J ika nxxf , dengan n bilangan-

bilangan bulat positif, maka 1nnxx'f , yaitu

1nn nxxD .

4. Aturan Kelipatan Konstanta. J ika k suatu konstant dan f

suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka x'f.kx'kf ,

yaitu xDf.kxf.kD .

Page 5: Matematika Teknik - Diferensial

5. Aturan J umlah. J ika f dan g fungsi-fungsi yang

terdiferensialkan, maka x'gx'fx'gf , yaitu

xDgxDfxgxfD .

6. Aturan Selisih. J ika f dan g fungsi-fungsi yang

terdiferensialkan, maka

x'gx'fx'gf , yaitu xDgxDfxgxfD .

7. Aturan Hasil Kali. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang

dapat terdiferensialkan, maka x'gxfxgx'fx'g.f ,

yaitu xgxDfxDgxfxgxfD .

8. Aturan Hasil Bagi. Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang

dapat didiferensialkan dengan 0xg . Maka

xg

x'gxfx'fxgx

gf

2

,yaitu :

xg

xDgxfxDfxgxgxf

D2

.

Page 6: Matematika Teknik - Diferensial

Misalkan 0a , xu fungsi

1. xx ex'y;exy .

2. alnax'y;axy xx .

3. xuxu ax'ux'y;axy .

Page 7: Matematika Teknik - Diferensial

1. xcosxsindxd

2. xsinxcosdxd

3. xsecxtandxd 2

4. xeccosxcotdxd 2

5. xtan.xsecxsecdxd

6. xcot.xeccosxeccosdxd

Page 8: Matematika Teknik - Diferensial

Misalkan xuu adalah fungsi

yang dapat diturunkan. Maka :

1. dxdu

.ucosusindxd

2. dxdu

.usinucosdxd

3. dxdu

.usecutandxd 2

4. dxdu

.ueccosucotdxd 2

5. dxdu

.utan.usecusecdxd

6. dxdu

.ucot.ueccosueccosdxd

Page 9: Matematika Teknik - Diferensial

Misalkan 0a , xu fungsi

1. x1

x'y;xlnxy .

2. alnx

1x'y;xlogxy a .

3. alnxu

x'ux'y;xulogxy a .

Page 10: Matematika Teknik - Diferensial

Misalkan ufy dan ufy menentukan

fungsi komposit xgfxgfy .

J ika g terdiferensialkan di x

dan f terdiferensialkan di xgu ,

maka gf terdiferensialkan di x

dan x'gxg'fx'gf ,

yaitu uDyDyD xux .

Page 11: Matematika Teknik - Diferensial

Contoh :

1.Diferensialkan y = Cos ( 5x – 4 )

Jawab : dy/dx = - 5 sin ( 5x – 4 )

2. Diferensialkan y = tan ( 4 – 5x )jawab: dy / dx = -5 sec ( 4 – 5x )

Page 12: Matematika Teknik - Diferensial

Untuk fungsi implisit yang sukar dinyatakan

secara eksplisit, turunannya dapat ditentukan

dengan menggunakan aturan turunan untuk

jumlah dan perkalian dua fungsi dan aturan berantai.

Page 13: Matematika Teknik - Diferensial

Contoh :

Pandang persamaan :

yxx4xyyx2 3232

yxx4dxd

xyyx2dxd 3232

dxdy

xyx34dxdy

xy2ydxdy

yx6xy4 322223

yx3y4xy4dxdy

xdxdy

xy2dxdy

yx6 223322

yx3y4xy4xxy2yx6dxdy 223322

322

223

xxy2yx6

yx3y4xy4dxdy

Page 14: Matematika Teknik - Diferensial

Pandang fungsi-fungsi: xy dan tx

Maka :

dtdx

.dxdy

dtdy

atau

dtdxdtdy

dxdy

Page 15: Matematika Teknik - Diferensial

Purnami.E.Soewardi,Media Pembelajaran Matematika,Bandung ,2008

K.Astroud, Erwin Sucipto, Matematika Untuk Teknik, PT. Gelora Aksara Pratama,1987.

Page 16: Matematika Teknik - Diferensial

PENERAPAN DIFERENSIAL

Page 17: Matematika Teknik - Diferensial

Persamaan Garis lurus dan garis normal

a) Persamaan garis lurus adalah y = mx + c Dengan m : kemiringan garis / gradien

Atau m = dy/dx = tan Sedangkan c : perpotongan dengan sumbu y

b) y – y1 = m ( x – x1)

Page 18: Matematika Teknik - Diferensial

Contoh soal :1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (3,2 ) dan Q ( -2,1 )penyelesaian : y = mx + c Melalui P ( 3,2 ) …… 2 = 3m + c Melalui Q ( -2,1 ) …… 1 = -2m + c

- 1 = 5m

m = 1/5 maka c = 7/5 Jadi persamaan garisnya adalah y = 1/5 x + 7/5

Page 19: Matematika Teknik - Diferensial

Contoh Soal:2.Tentukan persamaan garis singgung &

garis normal kurva x + y + 3xy – 11 = 0 di titik ( 1,2 )

 Jawab :Diferensialkan persamaan kurvanya2x +2y. dy/dx + 3y + 3x. dy/dx = 0dy/dx ( 2y + 3x ) = -2x – 3y dy/dx = - 8/7

m = - 8/7

Page 20: Matematika Teknik - Diferensial

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y - y = m ( x - x )y –2 = - 8/7 ( x – 1 ) y = - 8/7 x + 8/7 + 27y = -8x + 22

Kemiringan garis normalnya , m = 7/8Persamaan garis normalnya adalahY –2 = 7/8 (x – 1 ) Y = 7/8 x – 7/8 +28y = 7x + 9

Page 21: Matematika Teknik - Diferensial

Kemiringan garis Normal =

ggunggariskemiringan sin

1

Page 22: Matematika Teknik - Diferensial

  Cukup dengan menentukan 2 buah titik

sembarang yang terletak pada grafik tersebut, kemudian dihubungkan (biasanya kedua titik ini adalah titik-titik potong dengan masing-masing sumbu).

contoh: Gambarkan grafik 2x + 3y - 6 = 0 Titik potong dengan sumbu x ® y = 0 ; 2x +

3(0) - 6 = 0 ® x = 3 ® (3,0) Titik potong dengan sumby y ® x = 0 ; 2(0)

+ 3y - 6 = 0

Page 23: Matematika Teknik - Diferensial
Page 24: Matematika Teknik - Diferensial

1.Bentuk umum   ax + by + c = 0 atau y = mx + n

2. Persamaan sumbu x ® y = 0 3. Persamaan sumbu y ® x = 0 4. Sejajar sumbu x ® y = k 5. Sejajar sumbu y ® x = k

Page 25: Matematika Teknik - Diferensial

Melalui titik asal dengan gradien m    y = mx

Page 26: Matematika Teknik - Diferensial

11 y,x

11 xxmyy

Melalui titik dengan gradien m

Page 27: Matematika Teknik - Diferensial

11 y,x 22 y,x

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

1

12

121 xx

xx

yyyy

Melalui titik dan

    

    

Page 28: Matematika Teknik - Diferensial

Y Tali busur AB

B

cfhcf

cf,c Garis singgung

A h

0 c c+h X

hcf,0 hcf,hc

Page 29: Matematika Teknik - Diferensial

Misalkan kurva tersebut mempunyai persamaan xfy .

Maka titik A mempunyai koordinat cf,c ,

titik B mempunyai koordinat hcf,hc

dan tali busur yang melewati A dan B mempunyai

kemiringan (gradien) ABm , dengan

h

cfhcfmAB

Akibatnya, garis singgungnya adalah

garis yang melalui A dengan gradien :

h

cfhcfmm limlim

0hAB

0h

.

Page 30: Matematika Teknik - Diferensial

Purnami.E.Soewardi,Media Pembelajaran Matematika,Bandung ,2008