P a g e | 1

Matematika Kelas XII

Disusun Oleh : Agus Susanto, S.Pd

Bahan Ajar 1

STATISTIKA

P a g e | 2

KOMPETENSI DASAR

3.2 Menentukan dan menganalisis ukuran pemusatan dan penyebaran data yang

disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram

4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penyajian data hasil

pengukuran dan pencacahan dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram

INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI

Membaca sajian data dalam bentuk tabel atau daftar.

Membaca sajian data dalam bentuk diagram, meliputi diagram batang,

diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang daun, diagram kotak garis,

histogram, poligon frekuensi, dan ogif

Menentukan ukuran pemusatan data, meliputi rataan hitung (rataan data

tunggal, rataan sementara data tunggal, rataan data berkelompok, rataan

sementara data berkelompok, rata-rata gabungan), modus, dan median

Menentukan ukuran letak kumpulan data yang meliputi kuartil, desil, dan

persentil.

Memberikan tafsiran terhadap ukuran letak kumpulan data.

Menentukan ukuran penyebaran data, meliputi jangkauan, simpangan kuartil,

simpangan rata-rata, ragam, dan baku.

TUJUAN PEMBELAJARAN

Melalui model problem based learning, berbasis 4C, literasi, dan PPK serta

menggunakan metode diskusi, dan tanya jawab, peserta didik dengan benar

dapat :

Membaca sajian data dalam bentuk tabel atau daftar.

Membaca sajian data dalam bentuk diagram, meliputi diagram batang,

diagram garis, diagram lingkaran, diagram batang daun, diagram kotak garis,

histogram, poligon frekuensi, dan ogif

Menentukan ukuran pemusatan data, meliputi rataan hitung (rataan data

tunggal, rataan sementara data tunggal, rataan data berkelompok, rataan

sementara data berkelompok, rata-rata gabungan), modus, dan median

Menentukan ukuran letak kumpulan data yang meliputi kuartil, desil, dan

persentil.

Memberikan tafsiran terhadap ukuran letak kumpulan data.

Menentukan ukuran penyebaran data, meliputi jangkauan, simpangan kuartil,

simpangan rata-rata, ragam, dan baku.

P a g e | 3

Tahukah Kamu?

SEJARAH STATISTIKA

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah

dalam bahasa latin modern statisticum collegium

("dewan negara") dan bahasa Italia statista

("negarawan" atau "politikus").

Gottfried Achenwall (1749) menggunakan

Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama

kalinya sebagai nama bagi kegiatan analisis data

kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai

"ilmu tentang negara (state)". Pada awal abad ke-

19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu mengenai pengumpulan dan klasifikasi

data". Sir John Sinclair memperkenalkan nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam

bahasa Inggris. Jadi, statistika secara prinsip mula-mula hanya mengurus data yang

dipakai lembaga-lembaga administratif dan pemerintahan. Pengumpulan data terus

berlanjut, khususnya melalui sensus yang dilakukan secara teratur untuk memberi

informasi kependudukan yang berubah setiap saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-

bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini sangat

luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi, dikembangkan pada

paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald Fisher (peletak dasar

statistika inferensi), Karl Pearson (metode regresi linear), dan (meneliti problem

sampel berukuran kecil). Penggunaan statistika pada masa sekarang dapat dikatakan

telah menyentuh semua bidang ilmu pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika.

Bidang-bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak

dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu gabungan

seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika, tetapi

sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak terkait

dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian statistika

sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam, baik di

dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

P a g e | 4

Peta Konsep

STATISTIKA

Penyajian Pengolahan Pengumpula

n

Diagram Tabel

Tabel distribusi frekuensi

distribusi

frekuensi

relatif

distribusi

frekuensi

kumulatif

batang

garis

lingkaran

Histogram,

poligon, &

ogive

Ukuran

Statistika

Ukuran Pemusatan

Ukuran penyebaran

Ukuran Letak

Mean Modus Median Desil Kuartil

Jangkauan

Hamparan

Simpangan

Kuartil

Varians

Simpangan

Baku

Simpangan

Rata-Rata

Persentil

mempelajari

P a g e | 5

Untuk memperoleh

gambaran atau kesimpulan

yang benar (mendekati

benar) mengenai sebuah

populasi, sampel atau

contoh yang diambil

diupayakan dapat mewakili

(representatif) populasi itu.

Catatan

APERSEPSI

Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita menerima atau

membaca beraneka ragam laporan dalam bentuk angka atau

diagram. Laporan dalam bentuk angka atau diagram tersebut

disebut statistik. Misalnya, sebuah penerbit melaporkan hasil

produksinya untuk lima tahun terakhir, atau sebuah sekolah

melaporkan rata-rata nilai masing-masing mata pelajaran setiap

ulangan umum.

Statistika merupakan salah satu cabang matematika yang

mempelajari:

Cara pengumpulan data, pengolahan data, dan penyajian data dengan sistematis,

agar data-data itu dapat dipahami dengan jelas (Statistika deskriptif)

Menganalisis dan menafsirkan data-data agar dapat digunakan untuk pengambilan

keputusan, perencanaan, dan kesimpulan dengan tepat dari sifat-sirat data

tersebut (Statistika inferensial)

Dalam suatu penelitian sering melibatkan istilah populasi dan sampel. Populasi adalah

seluruh objek yang akan diteliti sedangkan sebagian dari populasi yang benar-benar

diamati disebut sampel.

A. PENGUMPULAN DATA

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu sebagai berikut.

1. Data kuantitatif

Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data

kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran.

a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara

membilang. Misalnya, data tentang banyak anak dalam keluarga.

b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara

mengukur. Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan murid .

2. Data kualitatif

Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan. Data kualitatif

berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas objek. Data seperti ini disebut atribut. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang,

dan kurang.

Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi lembar

pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data

yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

P a g e | 6

B. PENYAJIAN DATA

Data yang dikumpulkan untuk laporan atau akan dianalisis lebih lanjut perlu diatur,

disusun, disajikan dengan jelas dan baik, yaitu biasanya disajikan dalam bentuk

tabel/daftar dan diagram/grafik. Penyajian data yang demikian memudahkan orang

untuk membaca data itu atau lebih dimengerti oleh pembaca atau orang yang membuat

keputusan berdasarkan data tersebut.

1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Untuk menyusun sekumpulan data yang urutannya belum tersusun secara teratur,

data tersebut disajikan dalam bentuk tabel. Sebuah tabel umumnya terdiri dari

beberapa bagian: judul tabel, judul kolom, judul baris, badan tabel, catatan dan

sumber data. Penyajian data dalam bentuk tabel mengutamakan keakuratan dan

ketepatan datanya, meskipun secara tampilan tidak menarik. Kita perhatikan contoh

tabel perkiraan cuaca berikut.

Tabel 1.1 Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia

Kota Cuaca Suhu (◦C) Kelembaban (%)

Ambon Berawan 23-33 61-95

Bandung Hujan 19-29 65-95

Denpasar Hujan 25-31 73-96

Jakarta Hujan 25-33 65-93

Jayapura Hujan 24-33 60-90

Makasar Hujan 24-33 66-90

Medan Hujan 24-30 63-93

Palembang Hujan 23-32 68-98

Pontianak Hujan 24-33 65-96

Semarang Hujan 24-32 58-92

Surabaya Hujan 24-33 56-92

Djogyakarta hujan 24-33 58-93

Kota Cuaca Suhu (◦C) Kelembaban (%)

Ambon Berawan 23-33 61-95

Bandung Hujan 19-29 65-95

Denpasar Hujan 25-31 73-96

Contoh 1.1

Sumber : Seputar Indonesia, 22 Januari 2007

P a g e | 7

Dari contoh table 1.1

Judul tabel : Perkiraan Cuaca Kota-kota Besar di Indonesia

Judul kolom : Kota, Cuaca, Suhu, dan Kelembaban

Judul baris : Ambon, Denpasar, Bandung,…, Djogjakarta

Badan Tabel : data cuaca (berawan, hujan), data suhu dan data

kelembaban

Sumber : Seputar Indonesia, 22 Januari 2007

Dengan menyajikan data seperti itu, kita dapat dengan mudah membaca table

itu, sebagai contoh; pada hari Senin, 22 Januari 2007, di kota Denpasar

diperkirakan hujan, suhu 25◦C-31◦C dan kelembaban 73%-96%.

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

a. Diagram Batang

Diagram batang adalah suatu penyajian data dengan menggunakan batang-

batang berarah vertikal atau horizontal. Pada diagram ini antara batang

satu dengan yang lainnya diberikan jarak sehingga letak tiap batang tadi

tampak terpisah. Pada diagram batang juga dilengkapi dengan skala

sehingga nilai dapat dibaca dari diagram tersebut.

Data banyaknya sepeda motor di suatu wilayah pada tahun 2007

sampai dengan 2011 disajikan pada tabel 1.2 berikut.

Tabel 1.2 Data Banyaknya Sepeda Motor dari tahun 2007-2011

Bentuk diagram batangnya disajikan pada Gambar 1.1

(b) Diagram Batang Tegak (a) Diagram Batang Mendatar

Banyaknya Sepeda Motor di sebuah Wilayah pada

Tahun 2007, 2008, 2009, 2010, dan 2011

Contoh 1.2

0 2000 4000 6000 8000

2007

2008

2009

2010

2011

banyaknya sepeda motor

tah

un

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

2007 2008 2009 2010 2011

banyak-nya

sepeda motor

tahun

P a g e | 8

0

10

20

30

40

50

60

70

Jan. Feb. Mar. Apr. Mei Juni Juli

jum

lah

(o

ns)

bulan

b. Diagram Garis

Penyajian data statistik dengan menggunakan diagram berbentuk garis lurus

disebut diagram garis lurus atau diagram garis. Diagram garis biasanya

digunakan untuk menyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan

pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan.

Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu

datar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak

lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan

berat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data.

Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai

berikut.

Hasil penjualan gula pasir di distributor Seroja pada periode Januari-Juli

2010 ditunjukan pada Tabel 1.3 berikut.

Bulan Jan. Feb. Mar. Apr. Mei Juni Juli

Jumlah (ons) 10 15 30 35 25 45 60

Data tersebut dapat ditunjukan dalam diagram garis seperti pada Gambar 1.2

c. Diagram Lingkaran

Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan)

dengan sumbu mendatar menunjukkan waktu dan

sumbu tegak menunjukkan data

pengamatan.

Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu

t.

Secara berurutan sesuai dengan waktu,

hubungkan titik titik koordinat tersebut dengan garis lurus.

Contoh 1.3

Gambar 1.2 Diagam Garis

P a g e | 9

22,5%

12.5%

Bulutangkis 15%

Basket 20%

Lain-lain 30%

Data Anggota Ekstrakurikuler

Diagram lingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar

yang berbentuk lingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan

bagian atau persen dari keseluruhan. Untuk membuat diagram lingkaran, terlebih

dahulu ditentukan besarnya persentase tiap objek terhadap keseluruhan data

dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.

Daftar jumlah siswa kelas XI A yang mengambil pelajaran ekstrakurikuler adalah

sebagai berikut.

Menentukan besar presentase setiap

objek terhadap keseluruhan data dan besar sudut pusat sektor lingkaran sebagai berikut.

Ekstrakurikuler Jumlah persen Sudut pusat

Musik 9

Tari 5

Bulutangkis 6

Basket 8

Lain-lain 12

Jumlah 40

Ekstrakurikuler Banyaknya

Siswa

Musik 9

Tari 5

Bulutangkis 6

Basket 8

Lain-lain 12

Gambar 1.3 diagram lingkaran

Tabel 1.3 Data Anggota Ekstrakurikuler

Contoh 1.4

Jadi, gambar dari

diagram lingkarannya

adalah seperti

gambar di samping.

P a g e | 10

info Dengan

menggunakan tabel

distribusi frekuensi,

data akan lebih

mudah digunakan

untuk keperluan

statistika

Turus (tally) adalah cara

mudah menghitung

frekuensi. Banyak kelas

biasanya diambil paling

sedikit 5 dan paling

banyak 20.

3. Distribusi Frekuensi

Seringkali kita menjumpai sekumpulan data amatan dalam jumlah atau ukuran yang

besar untuk dianalisis. Ukuran data yang besar ini dapat disederhanakan dengan

cara menentukan banyak nilai amatan yang sama, atau banyak nilai amatan yang

terletak pada interval tertentu. Banyak nilai amatan yang sama

atau banyak nilai amatan yang terletak pada interval tertentu itu

disebut frekuensi.

Tabel yang memuat nilai amatan atau nilai amatan yang terletak pada interval tertentu bersama-sama frekuensinya disebut sebagai tabel

distribusi frekuensi. Sebagai konsekuensi dua amatan ini, maka kita

mempunyai dua macam; tabel distribusi frekuensi tunggal dan tabel

distribusi terkelompok.

a. Tabel Distribusi Frekuensi Tunggal

Untuk memahami cara membuat tabel ini, kita perhatikan hasil

ujian semester mata pelajaran Matematika 30 sisiwa:

80 30 50 70 70 70 40 80 90 50 80

90 70 70 60 60 60 70 50 60 60 60 70

60 60 80 80 80 60 70

Dari kumpulan dia atas kita dapat membaca bahwa:

1 siswa mendapat nilai 30

1 siswa mendapat nilai 40

3 siswa mendapat nilai 50

9 siswa mendapat nilai 60

8 siswa mendapat nilai 70

6 siswa mendapat nilai 80

2 siswa mendapat nilai 90

Keterangan-keterangan ini tentu saja akan lebih praktis

apabila kita sajikan seperti dalam tabel berikut ini. Tabel 1.4

Nilai Ujian (xi) Turus Banyak siswa/ frekuensi

(fi)

30 I 1

40 I 1

50 III 3

60 IIII IIII 9

70 IIII III 8

80 IIII I 6

90 II 2

Penyajian data seperti Tabel 1.4 disebut tabel distribusi frekuensi tunggal.

Dari tabel ini dengan cepat dapat ditemukan berapa banyak frekuensi siswa yang

memperoleh nilai 30, 40 dan seterusnya.

catatan

P a g e | 11

b. Tabel Distribusi Kelompok

Jika kita dihadapkan pada kelompok data amatan yang sangat besar ukurannya,

maka pembuatan tabel distribusi frekuensi tunggal juga kurang efektif. Untuk

kasus demikian akan lebih baih apabila kumpulan data tersebut kita kelompokan

ke dalam beberapa kelas interval terlebih dahulu.

Berikut ini adalah tabel berat badan siswa kelas XI IPA Tabel 1.5

Panjang Benda (dalam cm) Turus Frekuensi (fi)

71 - 80 II 2

81 - 90 IIII 4

91 – 100 IIII IIII IIII IIII IIII 25

101 – 110 IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII

IIII II

47

111 – 120 IIII IIII IIII III 18

121 – 130 IIII 4

Dalam tabel distribusi frekuensi berkelompok ada beberapa pengertian dan

aturan yang perlu dipahami.

1. Kelas

Kelas adalah interval suatu data yang memuat beberapa data. Tabel di atas

memuat 6 kelas yaitu kelas pertama 71-80, kelas kedua 81-90, kelas ketiga

91-100 dan seterusnya.

2. Batas Kelas

Pada setiap kelas nilai terkecil disebut batas bawah dan nilai terbesar

disebut batas atas kelas. Sebagai contoh pada kelas interval 91-100 batas

bawahnya 91 dan batas atasnya adalah 100.

3. Tepi Kelas

Tepi kelas adalah setengah dari jumlah batas atas dan batas bawah dua

kelas interval yang berurutan. Sebagai contoh, kelas pertama 71 – 80 dan

kelas kedua 81 – 90 maka tepi kelas adalah

( ) yang merupakan

tepi atas(ta) kelas pertama dan tepi bawah(tb) kelas kedua.

4. Panjang Kelas

Jika masing-masing kelas mempunyai panjang yang sama, maka panjang kelas

merupakan selisih antara tepi atas dengan tepi bawah.

Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah

Panjang kelas disebut juga lebar kelas atau interval kelas.

5. Titik Tengah Kelas

Titik tengah sebuah kelas adalah suatu nilai yang dapat dianggap mewakili

kelas itu. Titik tengah kelas disebut juga nilai tengah kelas atau rataan kelas

dan ditetapkan sebagai berikut.

Titik tengah =

(batas bawah + batas atas)

P a g e | 12

Menyusun Tabel Frekuensi Berkelompok

Sebelum menyusun tabel distribusi frekuensi berkelompok sebaiknya terlebih

dahulu data diurutkan dari datum terkecil sampai datum terbesar.

Data yang telah diurutkan seperti itu disebut statistika jajaran atau statistika

peringkat. Dari statistika jajaran dapat ditetapkan nilai datum terkecil, disebut

statistika minimum yaitu xmin=x1 dan nilai datum terbesar, disebut statistik

maksimum, yaitu xmaks=xn. Kedua statistik ini (xmin dan xmaks) disebut sebagai

statistik-statistik ekstrim.

Tabel distribusi frekuensi berkelompok dapat disusun melalui langkah-langkah

sebagai berikut.

1 •menentukan nilai data terbesar (xmaks ) dan nilai data terkecil (xmin ) kemudian tentukan rentang atau jangkauannya, yaitu: R = xmaks - xmin

2 •tentukan banyak kelas (k) dari n buah data berdasarkan aturan Sturgess, yaitu k = 1 + 3,3 log n

3 •menentukan panjang kelas atau interval kelas dengan rumus: panjang kelas= rentang/banyak kelas

4 •dengan menggunakan nilai panjang kelas yang diperoleh pada step 3, tetapkan kelas-kelasnya sehingga mencakup semua nilai amatan

5 •tentukan frekuensi setiap kelasnya dengan menggunakan sistem turus. kemudian susunlah tabel distribusi frekuensi berkelompok

P a g e | 13

Contoh 1.5

Dalam menentukan

banyak kelas dengan

menggunakan kaidah

empiris Sturgess, nilai

k yang diperoleh nilai k

nukan bilangan bulat.

Nilai k itu harus

dibulatkan (ke bawah

atau ke atas)

sedemikian sehingga

panjang kelas yang

diperoleh merupakan

Catatan

Suatu data diperoleh dari 40 kali pengukuran (teliti sampai mm terdekat) sebagai

berikut.

157 149 125 144 132 156 164 138 144 152

148 136 147 140 158 146 165 154 119 163

176 138 126 168 135 140 153 135 147 142

173 146 162 145 135 142 150 150 145 128

Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok untuk data tersebut! Jawab:

Banyak data, n = 40

Nilai statistik minimum xmin = 119, dan nilai statistik maksimum xmaks = 176.

1. Rentang (R) = xmaks - xmin = 176 – 119 = 57

2. Banyaknya kelas (k) = 1 + 3,3 log n = 1+ 3,3 log 40 6,286...

Banyak kelas dibulatkan ke atas menjadi k=7 buah.

3. Panjang kelas =

=

= 8,1428...

Panjang kelas dibulatkan ke atas menjadi 9.

4. Dengan panjang kelas 9 dan nilai statistik minimum ditetapkan

sebagai batas bawah kelas pertama (tidak harus demikian),

maka diperoleh kelas-kelas dan titik-titik tengah kelas sebagai

berikut.

Kelas pertama 119-127 dengan titik tengah 123,

Kelas ketiga 128-136 dengan titik tengah 132,

Kelas kedua 137-145 dengan titik tengah 141,

Kelas keempat 146-154 dengan titik tengah 150,

Kelas kelima 155-163 dengan titik tengah 159,

Kelas keenam 164-172 dengan titik tengah 168, dan

Kelas ketujuh 173-181 dengan titik tengah 177.

Perhatikan bahwa semua nilai amatan terdistribusikan atau tersebar

dalam kelas-kelas tersebut.

5. Tabel distribusi berkelompok untuk data tersebut dapat

ditampilkan dalam tabel berikut.

Tabel 1.6

Hasil pengukuran

(mm) Titik tengah (xi) Turus Frekuensi

(fi)

119 – 127 123 III 3

128 – 136 132 IIII I 6

137 – 145 141 IIII IIII 10

146 – 154 150 IIII IIII I 11

155 – 163 159 IIII 5

164 – 172 168 III 3

173 - 181 177 II 2

P a g e | 14

4. Frekuensi Relatif dan Frekuensi Kumulatif

a. Daftar Frekuensi relatif

Daftar frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang frekuensi relatif masing-

masing kelasnya dapat diperoleh dengan menyatakan persentase frekuensi kelas

tersebut terhadap jumlah seluruh frekuensi.

Sebagai contohnya, mari kita lihat lagi Tabel 1.6 dengan ukuran data atau nilai n=

40. Maka tabel distribusi relatifnya adalah sebagai berikut.

Tabel 1.7

Hasil pengukuran

(mm) Frekuensi

(fi)

Frekuensi relatif

119 – 127 3

128 – 136 6

137 – 145 10

146 – 154 11

155 – 163 5

164 – 172 3

173 - 181 2

b. Daftar Frekuensi kumulatif

Daftar distribusi frekuensi kumulatif dapat disusun dari daftar distribusi

berkelompok. Terdapat dua jenis tabel distribusi kumulatif, yaitu

Frekuensi kumulatif kurang dari (fk kurang dari) -> di definisikan sebagai

jumlah frekuensi semua nilai amatan yang kurang dari atau sama dengan nilai

tepi atas pada tiap-tiap kelas. Dilambangkan dengan fk .

Frekuensi kumulatif lebih dari (fk lebih dari) -> di definisikan sebagai

jumlah frekuensi semua nilai amatan yang lebih dari atau sama dengan nilai

tepi bawah pada tiap-tiap kelas. Dilambangkan dengan fk .

Sebagai contohnya, mari kita lihat lagi Tabel 1.6 dengan mencantumkan batas atas

dan batas bawah dari tiap kelas intervalnya sehingga diperoleh tabel frekuensi

kumulatif sebagai berikut.

P a g e | 15

Tabel 1.8

Hasil pengukuran

(mm) Frekuensi

(fi)

Tepi

bawah

Tepi

atas

Frekuensi Kumulatif

fk ta fk tb

119 – 127 3 118,5 127,5 3 40

128 – 136 6 127,5 136,5 9 37

137 – 145 10 136,5 145,5 19 31

146 – 154 11 145,5 154,5 30 21

155 – 163 5 154,5 163,5 35 10

164 – 172 3 163,5 172,5 38 5

173 - 181 2 172,5 181,5 40 2

1. Data berikut diperoleh dari pencatatan banyak hewan ternak yang dipelihara oleh 40

warga dalam sebuah desa (dalam satu desa diambil 40 sampel warga).

1 4 3 5 4 2 4 3 3 2

3 4 2 5 4 4 1 5 3 4

3 4 5 2 6 4 3 5 4 1

2 4 3 6 4 1 4 3 4 2

a) Buatlah tabel distribusi frekuensi tunggal untuk data tersebut!

b) Berapa persen warga yang memiliki

(i) 2 hewan ternak atau kurang?

(ii) 3 hewan ternak atau kurang?

c) Berapa persen warga yang memiliki

(i) 4 hewan ternak atau lebih?

(ii) 5 hewan ternak atau lebih?

2. Berikut ini adalah data nilai ulangan matematika dari 40 siswa kelas XI.

67 68 69 73 66 78 60 55 63 46

51 40 72 82 38 65 62 54 69 68

61 60 52 79 54 67 62 66 87 65

72 64 60 71 75 67 91 47 53 62

Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok dari data di atas!

3. Dalam tabel berikut menunjukan waktu tempuh (dalam menit) 100 peserta lomba jalan

cepat

LATIHAN 1

P a g e | 16

Waktu (menit) Frekuensi

40-44 4

45-49 6

50-54 13

55-59 22

60-64 30

65-69 18

70-74 7

Buatlah : tabel distribusi, diagram garis, diagram batang dan diagram lingkaran!

P a g e | 17

Mean adalah nilai

rata-rata dari

beberapa buah

data..

Catatan

C. UKURAN PEMUSATAN

Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat banyak data yang dapat

menginformasikan sesuatu. Data-data tersebut hanya akan berakhir sebagai

data saja, apabila tidak diolah terlebih dahulu. Ilmu statistika berperan

mengumpulkan, mengolah hingga mengambil kesimpulan dari suatu data. Ada

dua bagian dari statistika yang akan mengolah data tersebut, yaitu statistika

deskriptif dan statistika inferensia. Kedua bagian tersebut memiliki peranan

masing-masing dalam hal pengumpulan data hingga pengambilan

kesimpulannya. Statistika deskriptif yang bertugas mengolah dan menyajikan

data, sedangkan statistika inferensia lebih terfokus pada proses uji analisa

hingga pengambilan keputusan.

1. Mean

Mean adalah nilai rata-rata dari beberapa buah data. Nilai mean dapat

ditentukan dengan membagi jumlah data dengan banyaknya data.

Rumus umum mencari mean :

Keterangan :

Me = Mean

∑ = Epsilon (jumlah)

xi = Nilai x ke i sampai ke n

n = Jumlah individu

2. Median

Median adalah nilai data tengah (dengan pengertian,bahwa dari

sekelompok data dibagi menjadi dua bagian yang sama dan pembagi nya

disebut sebagai median). Adapun untuk menentukan nilai median dapat

dilakukan dengan cara untuk data yang belum di kelompokkan.

P a g e | 18

Modus digunakan

untuk gejala

gejala yang sering

terjadi

.

Catatan

Median adalah nilai data

tengah (dengan

pengertian,bahwa dari

sekelompok data dibagi

menjadi dua bagian yang

sama dan pembagi nya

disebut sebagai median).

Catatan

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah melakukan penyusunan data

berdasarkan urutan data dimulai dari data terkecil sampai data

terbesar, lalu tentukan median nya sesuai dengan jumlah data nya (ganjil

atau ganjil). Untuk sekumpulan data yang berjumlah ganjil maka nilai

median nya adalah merupakan data yang paling tengah dan untuk

sekumpulan data yang berjumlah genap, maka median nya adalah jumlah

dua data tengah di bagi 2 (dua).

Rumus Mencari Median :

Keterangan :

Md = Median

b = Batas bawah, dimana median akan terletak

n = Banyak data/jumlah sampel

p = Panjang kelas interval

F = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas median

f = Frekuensi kelas median

3. Modus

Modus digunakan untuk gejala gejala yang sering terjadi , diberikan

dengan simbol Mo.Modus dalam data kuantitatif ditentukan dengan

melihat frekunsi tertinggi.

Rumus mencari modus :

P a g e | 19

Keterangan :

Mo = Modus

b = Batas kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p = Panjang kelas interval

b1 = Frekuensi pada kelas modus ( frekuensi pada kelas interval yang terbanyak ) dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya.

b2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval berikutnya.

Contoh soal :

1. Data umur mahasiswa BSI(Ciputat) kelas 12.3A.29 Tentukan rata-rata

hitung dari data dibawah ini?

NO NAMA UMUR

1 Bani 21

2 Dwi 19

3 Jimmy 19

4 Aziz 20

5 Dion 19

6 Ardes 18

7 Gad 18

8 Erva 24

9 Sora 22

10 Dwi R 25

11 Dani 26

12 Rina 20

13 Rahmadi 21

14 Nur 20

15 Sisca 20

P a g e | 20

16 Ervi 19

17 Ferdi 22

18 Angga 20

19 Arie 25

20 Ipus 20

Jumlah 418

Penyelesaian :

Dari soal diatas diketahui jumlah data 20, maka :

2. 19 orang anak menghitung jumlah kelereng yang dimilikinya, dari hasil

penghitungan mereka diketahui jumlah kelereng mereka adalah sebagai

berikut 20,20,18,25,18,19, 22,24,19, 20,20,19,19,20, ,20, ,21,21,22, ,25

Tentukan Median dari data dibawah ini?

Penyelesaian :

Data diurutkan 18,18,19,19,19,19,20,20,20,20,20,20, 21, 21, 22, 22, 24, 25,

25

( )

P a g e | 21

3. Sampel Umur 18,18, 19, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 20, 21, 21, 22, 22, 24,

25, 25, 26. Tentukan modus dari data tersebut!

Penyelesaian :

Modus adalah nilai yang paling sering muncul, maka dari data di atas

didapatkan modus 20 karena muncul sebnyak 6 kali

RANGKUMAN

Mean adalah nilai rata-rata dari beberapa buah data. Nilai mean

dapat ditentukan dengan membagi jumlah data dengan banyaknya

data.

Rumus umum mencari mean :

Keterangan :

Me = Mean

∑ = Epsilon (jumlah)

xi = Nilai x ke i sampai ke n

n = Jumlah individu

Median adalah nilai data tengah (dengan pengertian,bahwa dari sekelompok data dibagi menjadi dua bagian yang sama dan pembagi nya disebut sebagai median)

Rumus Mencari Median :

Keterangan :

P a g e | 22

Md = Median

b = Batas bawah, dimana median akan terletak

n = Banyak data/jumlah sampel

p = Panjang kelas interval

F = Jumlah semua frekuensi sebelum kelas median

f = Frekuensi kelas median

Modus digunakan untuk gejala gejala yang sering terjadi , diberikan

dengan simbol Mo.Modus dalam data kuantitatif ditentukan dengan

melihat frekunsi tertinggi.

Rumus mencari modus :

Keterangan :

Mo = Modus

b = Batas kelas interval dengan frekuensi terbanyak

p = Panjang kelas interval

b1 = Frekuensi pada kelas modus ( frekuensi pada kelas interval yang terbanyak ) dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya.

b2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval berikutnya.

P a g e | 23

Pilihlah Jawaban yang paling benar

1. Di suatu kelas terdiri dari siswa yang dibagi menjadi 33 kelompok untuk

memberi sumbangan kepada korban bencana alam. Kelompok I, II, dan III

berturut-turut terdiri dari 10,1210,12, dan 1818 siswa. Jika rata-rata

sumbangan kelompok I adalah Rp10.000,00, rata-rata sumbangan

kelompok II Rp11.000,00, dan rata-rata sumbangan seluruh kelompok

Rp9.400,00, maka rata-rata sumbangan kelompok III adalah ⋯⋅⋯⋅

A. Rp7.500,00 D. Rp. 8.500,00

B. Rp9.000,00 E. Rp. 10.00,00

C. Rp8.000,00

2. Nilai rata-rata ulangan fisika dari suatu kelas adalah 6,86,8. Jika dua

siswa yang nilainya 44 dan 66 diabaikan, maka nilai rata-rata kelas

tersebut berubah menjadi 6,96,9. Banyaknya siswa mula-mula adalah ⋯⋅⋯⋅

A. 3434 C. 3636 E. 3838

B. 3535 D. 3737

3. Nilai semua tes matematika dinyatakan dengan bilangan bulat

dari 00 sampai dengan 1010. Median terbesar yang mungkin bagi siswa

yang memiliki rata-rata 55 dari 66 kali tes adalah ⋯⋅⋯⋅

A. 33 C. 55 E. 7,57,5

B. 4,54,5 D. 77

4. Sukardi adalah seorang karyawan pada perusahaan tekstil yang bertugas

menyimpan data kenaikan produksi selama 55 periode. Setelah dicari,

Sukardi hanya menemukan empat data kenaikan, yaitu

sebesar 4%,9%,7%4%,9%,7%, dan 5%5%. Sukardi hanya ingat bahwa

rata-rata hitung dan median dari lima data itu adalah sama. Kenaikan

produksi yang mungkin pada periode kelima berkisar antara ⋯⋅⋯⋅

A. 0%0% sampai 10%10%

B. 5%5% sampai 15%15%

C. 10%10% sampai 15%15%

D. 10%10% sampai 20%20%

E. lebih dari 20%20%

LATIHAN 2

P a g e | 24

5. Nilai rata-rata dari tabel distribusi frekuensi di samping adalah …

A. 36,67

B. 37,67

C. 37,7

D. 37,75

E. 38,7

Jawab pertanyaan di bawah ini dengan benar !

1. Tinggi badan 40 orang anggota

PMR di suatu SMK disajikan

pada tabel berikut :

Maka tinggi badan rata-rata dari data itu adalah …

2. Untuk menentukan rata-rata kekuatan nyala lampu listrik, dicoba

menyalakan 30 buah lampu listrik dan diperoleh data sbb :

Kekuatan nyala

lampu

45 46 47 48 49 50 51 52 53

Banyak lampu 1 4 3 3 2 7 5 2 3

Median dari data itu adalah …

Nilai f

150 – 154 3

155 – 159 4

160 – 164 16

165 - 169 10

170 – 174 6

175 - 179 1

Nilai f

20 – 26 3

27 – 33 5

34 – 40 12

41 – 47 6

48 - 54 4

P a g e | 25

3. Perhatikan histogram berikut !

Modus dari data tersebut adalah …

F

20

17

15

14

10 10

5

5 4

0 49,5 52,5 55,5 58,5 61,5 64,5 Batas nyata

4. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika

rata-rata nilai matematika untuk siswa laki-laki 64 dan rata-rata untuk

siswa perempuan 56, maka perbandingan banyak siswa laki-laki dan

perempuan adalah …

5. Ragam (varians) dari data 13 15 15 15 16 16 16 17 17 18 18 adalah

...

DAFTAR PUSTAKA

Sukino. 2018. Buku Matematika SMA/MA Kelas XII semester 1. Jakarta:

Erlangga.

Belajar Praktis matematika untuk SMA/MA kelas XII Semester 1. Jakarta

: Viva Pakarindo

Internet

P a g e | 26

Kuartil adalah tiga

nilai yang membagi

data yang sudah

duurutkan menjadi

empat bagian yang

sama diperoleh

merupakan bilangan

ganjil dan tidak terlalu

besar.

Catatan

D. UKURAN LETAK DATA

Selain ukuran pemusatan data, ada juga ukuran letak data .Adapun ukuran letak

data meliputi kuartil, desil dan persentil

1. Kuartil

Kuartil adalah tiga nilai yang membagi data yang sudah duurutkan menjadi

empat bagian yang sama. Ketiga nilai itu sebagai berikut:

a. Kuartil tengah atau kuartil kedua ( Q2 ), yaitu nilai yang membagi

data yang sudah diurutkan dari terkecil ke terbesar menjadi dua bagian

yang sama banyak

b. Kuartil pertama atau kuartil bawah ( Q1 , yaitu niai tengah dari

semua data yang nilainya kurang dari kuartil kedua ( Q2 )

c. Kuartil ketiga atau kuartil atas ( Q3 ), yaitu nilai tengah dari semua

data yang nilainya lebih besar dari kuartil kedua ( Q2 ).

Secara umum dapat digambarkan sebagai berikut. ( Ingat, data sudah

terurut sesuai statistik peningkatannya )

a. Kuartil Data Tunggal

Perhitungan kuartil untuk data tunggal menggunakan rumus sebagai

berikut :

( )

Ketetangan :

Qi = kuartil ke-i

I = 1, 2, 3

n = banyak data

b. Kuartil data kelompok

Kuartil ke-i data kelompok dirumuskan sebagai berikut :

Keterangan :

i =menunjukkan Kuartil ke berapa yang hendak dihitung

P a g e | 27

Pengertian desil yaitu nilai

dari sekumpulan data yang

di bagi menjadi sepuluh

bagian yang sama, dan yang

membagi data tersebut

dinamakan desil untuk

menentukan nilai desil

Catatan

n = jumlah individu frekuensi

= frekuensi kelas kuartil

fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang dimaksud

Tb = tepi bawah = ( BB – 0,5 )

C = interval/panjang kelas

2. Desil

Pengertian desil yaitu nilai dari sekumpulan data yang di bagi menjadi

sepuluh bagian yang sama, dan yang membagi data tersebut dinamakan

desil untuk menentukan nilai desil tersebut.

Perhitungan Desil data tunggal dan kelompok :

Rumus Desil Data Tunggal

Rumus Desil Data Kelompok

Keterangan:

D = Desil

L = Titik bawah

N = Banyak data

I = Desil 1, 2, 3 … 10

Cf = Frekuensi komulatif – sebelum kelas

Fd = Frekuensi kelas desil

I = Panjang kelas

P a g e | 28

Persentil (Pi)

merupakan

ukuran lokasi

yang paling

halus karena

pembagiannya

1s/d 99besar.

Catatan

3. Persentil

Persentil (Pi) merupakan ukuran lokasi yang paling halus karena

pembagiannya 1s/d 99.

Rumus Persentil Data Tunggal

Rumus Persentil Data Kelompok

Keterangan:

D = Presentil

L = Titik bawah

N = Banyak data

I = Persentil 1, 2, 3 … 100

Cf = Frekuensi komulatif – sebelum kelas

Fd = Frekuensi kelas presentil

I = Panjang kelas

P a g e | 29

Contoh soal :

1. Nilai ulangan sekelompok siswa sebagai berikut :

Nilai 66 – 70 71 – 75 76 – 80 81 – 85 86 – 90 91 – 95

Frekuensi 2 5 10 9 6 8

Tentukan niali kuartil pertamanya !

Penyelesaian :

Banyak data n = 40

Q1 data ke – 10 pada interval 76 – 80

Tb = 75, 5

= 10

Jadi, nilai kuartil pertam adalah 77.

2. Berat badan sekelompok peserta didik disajikan dalam bentuk histogram berikut !

Tentukan niali kuartil ketiganyanya !

Penyelesaian :

Banyak data n = 40

Q1 data ke – 30 pada interval 55 – 59

34,5

7

39,5 44,5 49,5 54,5 59,5 64,5

8

6

5

4

7

P a g e | 30

Tb = 54, 5

= 5

Jadi, nilai kuartil pertam adalah 56, 5.

RANGKUMAN

1. Kuartil

Kuartil ke-i data kelompok dirumuskan sebagai berikut :

Keterangan :

i =menunjukkan Kuartil ke berapa yang hendak dihitung

n = jumlah individu frekuensi

= frekuensi kelas kuartil

fk = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang dimaksud

Tb = tepi bawah = ( BB – 0,5 )

C = interval/panjang kelas

2. Desil

Pengertian desil yaitu nilai dari sekumpulan data yang di bagi menjadi sepuluh

bagian yang sama, dan yang membagi data tersebut dinamakan desil untuk

menentukan nilai desil tersebut.

Perhitungan Desil data tunggal dan kelompok :

Rumus Desil Data Tunggal

P a g e | 31

Rumus Desil Data Kelompok

Keterangan:

D = Desil

L = Titik bawah

N = Banyak data

I = Desil 1, 2, 3 … 10

Cf = Frekuensi komulatif – sebelum kelas

Fd = Frekuensi kelas desil

I = Panjang kelas

3. Persentil

Persentil (Pi) merupakan ukuran lokasi yang paling halus karena

pembagiannya 1s/d 99.

Rumus Persentil Data Tunggal

Rumus Persentil Data Kelompok

Keterangan:

D = Presentil

L = Titik bawah

N = Banyak data

I = Persentil 1, 2, 3 … 100

Cf = Frekuensi komulatif – sebelum kelas

Fd = Frekuensi kelas presentil

I = Panjang kelas

P a g e | 32

1. Perhatikan data berikut ini.

Nilai 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60 61 – 65 66 – 70

Frekuensi 5 10 13 10 8 4

Hitunglah kuartil pertama dari data tersebut!

2. Perhatikan histogram berikut ini!

Tentukan kuarti ketiga darai data tersebut!

DAFTAR PUSTAKA

Sukino. 2018. Buku Matematika SMA/MA Kelas XII semester 1. Jakarta:

Erlangga.

Belajar Praktis matematika untuk SMA/MA kelas XII Semester 1. Jakarta

: Viva Pakarindo

Kasminah.2012.Matematika SMK dan MAK.Jakarta:Erlangga

Ebook

Internet

LATIHAN 3

P a g e | 33