MODUL 3 STATISTIKA

Distribusi FrekuensiYeni Nurhasanah, S.Pd., M.T.

AMIK WAHANA MANDIRIJURUSAN TKJ 2014/2015

KATA PENGANTAR

Bismillahirahmaanirrahiim

Assalamualaikum Wr. Wb,

Alhamdulillahirabbilalamin. Puji Syukur penyusun ucapkan atas segala Rahmat dan Karunia-Nya yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga pada akhirnya kami dapat menyelesaikan Modul 3 Statistika tentang Distribusi Frekuensi dengan sebaik- baiknya.Ucapan terima kasih, penyusun sampaikan juga kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap semoga modul ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi positif terhadap dunia akademis.Penyusun menyadari bahwa modul ini jauh dari kesempurnaan, karena ilmu yang kami miliki hanya sedikit saja. Akhir kata, tidak ada gading yang tak retak, tidak ada manusia yang sempurna karena kesempurnaan hanya milik ALLAH SWT. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penyusun harapkan demi perbaikan modul ini ke arah sempurna.Wassalamualaikum Wr. Wb.

Jakarta, 16 Februari 2015

Penyusun

DISTRIBUSI FREKUENSI

Ringkasan Teori

Distribusi frekuensi atau Sebaran frekuensi adalah Suatu metode Statistika untuk mengelompokan atau menyusun data menjadi tabulasi data yang memakai kelas kelas data dan dikaitkan dengan masing masing frekuensinya. Dengan menggunakan distribusi frekuensi, data yang telah tersedia baik data dalam jumlah yang banyak ataupun berjumlah sedikit dapat kita kelompokkan, dapat ditata dan diorganisir sehingga dengan lebih mudah dapat dikenali ciri-cirinya dan dapat dianalisi sesuai dengan kepentingan kita.

Bagian Distribusi Frekuensi

1. Kelas ( Class )

Pengelompokan individu atau item dari data ( Class ) yang diobservasi kedalam batas batas nilai tertentu.

2. Batas kelas ( Class limit )

Bilangan bilangan yang membatasi kelas kelas ( class limit ) tertentu, yang memiliki 2 macam pengertian:MODUL STATISTIKA TKJ AMIK WAHANA MANDIRI 2015 (INTERNAL)

a. Batas Kelas / ujung kelas ( State Class Limit ) yaitu bilangan - bilangan yang tertera didalam suatu distribusi frekeuensi yang membatasi kelas kelas tertentu yang terdiri dari30

i. Batas bawah kelas / Ujung bawah kelas (Lower State Class limit/ LCL)Adalah bilangan yang paling kecil yang membatasi kelas tertentuii. Batas atas kelas/Ujung atas kelas (Upper State Class limit/

UCL)

Bilangan yang paling besar yang membatasi kelas tertentu

b. Batas kelas sebenarnya / Tepi kelas ( Class Boundaries ) yaitu bilangan bilangan yang membatasi antara tiap dua kelas yang berurutan, yang terdiri dari :i. Batas bawah kelas sebenarnya/tepi bawah kelas ( Lower Class

Boundaries / LCB )

Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas sebelumnya dengan ujung bawah kelas yang bersangkutanii. Batas atas kelas sebenarnya/tepi atas kelas ( Upper Class

Boundaries / UCB )

Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas yang bersangkutan dengan ujung bawah kelas yang berikutnya

3. Panjang kelas /Lebar kelas / Ukuran Kelas ( Class interval / Class Size )

Ci

Bilangan bilangan yang menunjukkan panjang / lebar / ukuran dari tiap tiap kelas yang diperoleh dengan cara mengurangkan batas bawah kelas berikutnya dengan batas kelas yang bersangkutan

4. Frekuensi ( Frequency ) f

Angka yang menunjukkan banyaknya data individual yang terdapat dalam satu kelas

5. Nilai tengah/ titik tengah/tanda kelas ( Midpoint / Class Mark ) X

Bilangan bilangan yang dapat mewakili kelas kelas tertentu yang diperoleh dengan jalan atau cara merata ratakan batas kelas yang bersangkutan.

Contoh Tabel Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester.

Mata kuliah Statistika

Tabel 1 Distribusi Frekuensi Nilai UAS StatistikaBatas kelasTepi KelasNilai TengahFrekuensi

23 2722,5 27,5252

28 3227,5 32,5304

33 3732,5 37,53515

38 4237,5 42,54021

43 4742,5 47,54531

48 5247,5 52,55035

53 5752,5 57,55546

58 6257,5 62,56011

63 6762,5 67,56512

68 7267,5 72,5703

Jumlah180

LCL UCL LCB UCB Nilai tengah f f

TAHAPAN UNTUK MENYUSUN SUATU DISTRIBUSI FREKUENSI

Secara umum langkah langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

1. Menyusun urutan (array) dari data yang di observasi

Array : data yang disusun berdasarkan urut - urutan

2. Tentukan nilai maksimum ( terbesar ) dan nilai minimum ( terkecil ) dari data mentah, kemudian hitunglah sebaran / rentang/jangkauan/ Range dengan menggunakan :

Rumus : R = Xmaksimum - Xminimum

3. Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges

k= 1 + 3,322 Log N atau k = 1 + 3,322 log n

N = banyaknya anggota populasi; n = banyaknya anggota sampel

4. Menentukan panjang/lebar/ukuran dari tiap tiap kelas dengan rumus

Ci merupakan bilangan bulat yang diperoleh dengan cara membulatkan ke atas dari hasil perhitungan.

5. Menentukan batas batas kelas serta memasukkan setiap individu/item dari data yang diobservasi kedalam kelas yang bersangkutan.Batas kelas interval (batas bawah dan batas atas) ditentukan. Batas bawah kelas pertama bisa diambil sama dengan nilai datum terkecil atau nilai yang lebih kecil dari datum terkecil. Akan tetapi, selisih batas bawah dan batas atas harus kurang dari panjang kelas. Secara umum, bilangan di sebelah kiri dari bentuk a b, yaitu a disebut batas bawah dan bilangan di sebelah kanannya, yaitu b disebut batas atas.6. Menentukan batas Batas bawah nyata dan batas atas nyata. Batas bawah nyata disebut juga tepi bawah dan batas atas nyata disebut juga tepi atas. Definisi tepi bawah dan tepi atas adalah sebagai berikut. Jika data teliti hingga satuan maka:tepi bawah = batas bawah 0,5 dantepi atas = batas atas + 0,5Jika data teliti hingga satu tempat desimal maka:tepi bawah = batas bawah 0,05 dantepi atas = batas atas + 0,05Jika data teliti hingga dua tempat desimal maka:tepi bawah = batas bawah 0,005 dantepi atas = batas atas + 0,0057. Frekuensi dari setiap kelas interval ditentukan. Dalam hal ini turusnya ditentukan terlebih dahulu.8. Titik tengah interval (mid point) ditentukan. Titik tengah atau nilai tengah disebut juga dengan istilah tanda kelas (class mark), yaitu nilai rataan antara batas bawah dan batas atas pada suatu kelas interval. Titik tengah dianggap sebagai wakil dari nilai-nilai datum yang termasuk dalam suatu kelas interval.9. Menyusun suatu distribusi frekuensi secara jelas dan lengkap berdasarkan tabel pada tahap 5.

CONTOH PENYELESAIAN SOALMembuat Daftar Distribusi Frekuensi KelompokBerikut ini adalah data nilai ujian mata pelajaran Ilmu Alamiah Dasar Mahasiswa A.Tabel 2 Data Nilai Ujian Bahasa Inggris673435766778

346542434556

454665644534

345443545632

565645325443

657687986798

877865769988

987665866576

656556676776

567676566567

Soal: Buatlah daftar distribusi frekuensi kelompok dari data tersebut!PENYELESAIAN:Langkah 1: Menyusun DataTabel 3 Mengurutkan Data324356656778

324556656778

344556657686

344556657687

344556657687

344656657688

355464677698

425465677698

435465677698

435665677699

Langkah 2: Menentukan Nilai Minimum, maksimum dan JangkauanRumus : R = Xmaksimum XminimumR = 99-32R= 67

Langkah 3: Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges.k = 1 + 3,322 log nk = 1 + 3,322 log 60 k = 6,9banyaknya kelas adalah 7.

Langkah 4: Tentukan panjang kelas (Ci)

Panjang kelas adalah 10.

Langkah 5: Tentukan batas atas (UCL) dan batas bawah (LCL)

Menentukan batas kelas interval. Batas kelas ke-1 bisa diambil 32, tetapi agar kelas interval kelihatan bagus diambil batas bawah 31, karena panjang kelas 10, maka batas atas kelas ke-1 = 31 + 9 = 40. Sehingga:Batas kelas ke-1 = 31 - 40batas kelas ke-2 = 41 50batas kelas ke-3 = 51 60batas kelas ke-4 = 61 70batas kelas ke-5 = 71 80batas kelas ke-6 = 81 90batas kelas ke-7 = 91 100Langkah 6: Tentukan tepi atas (UCB) dan tepi bawah (LCB)Tepi atas kelas ke-1 = 40+0,5 = 40,5Tepi bawah kelas ke-1 = 31-0,5=30,5Tepi kelas ke-1 = 30,5 40,5Tepi kelas ke-2 = 40,5 50,5Tepi kelas ke-3 = 50,5 60,5Tepi kelas ke-4 = 60,5 70,5Tepi kelas ke-5 = 70,5 80,5Tepi kelas ke-6 = 80,5 90,5Tepi kelas ke-7 = 90,5 100,5Langkah 7: Tentukan Frekuensi dan Nilai Tengah

Tentukan frekuensi dengan menggunakan turus dan tentukan nilai tengah dengan menggunakan Titik tengah kelas ke-1 = (31 + 40) = 35,5Titik tengah kelas ke-2 = (41 + 50) = 45,5Titik tengah kelas ke-3 = (51 + 60) = 55,5Titik tengah kelas ke-4 = (61 + 70) = 65,5Titik tengah kelas ke-5 = (71 + 80) = 75,5Titik tengah kelas ke-6 = (81 + 90) = 85,5Titik tengah kelas ke-7 = (91 + 100) = 95,5

Langkah 8: Buat Tabel FrekuensiDaftar distribusi frekuensi kelompok dari data tersebut, tampak seperti Tabel berikut ini.Tabel 4 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Bahasa InggrisNilaiTepi Kelas

Turus Frekuensi

31-4030,5-40,535,5IIII II7

41-5040,5-50,545,5IIII IIII9

51-6050,5-60,555,5IIII IIII10

61-7060,5-70,565,5IIII IIII IIII I16

71-8070,5-80,575,5IIII IIII10

81-9080,5-90,585,5IIII4

91-10090,5-100,595,5IIII4

MACAM MACAM GRAFIK DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Histogram ( Hystogram )

Suatu bentuk grafik distribusi frekuensi yang merupakan batang batang yang disusun secara berderet tanpa jarak yang menggambarkan tinggi frekuensi tiap kelas

Contoh Histogram dari Tabel 4.

Gambar 1 Histogram

2. Poligon ( Polygon )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah patah yang menghubungkan titik tengah histogram tiap kelasnya

Gambar 2 Poligon

3. Ozaiv ( Ogive )

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah patah yang menghubungkan tinggi frekuensi kumulatif dari tiap tiap kelasnya.

Gambar 3 Contoh Ogive

4. Kurva Frekuensi ( Frequency Curve / Smoothing Curve)

Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis lengkung yang juga merupakan penghalusan dari bentuk poligon sedemikian rupa sehingga luas daerah dibawahnya sama dengan luas daerah dibawah poligon.

MACAM MACAM DISTRIBUSI FREKUENSI

a) Distribusi Frekuensi Distrik yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap dua kelas yang berurutan terdapat celah 1 unit / satuanb) Distribusi Frekuensi Kontinu yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap kelas yang berurutannya terdapat celah sebesar 0 atau bilangan yang mendekati 0c) Distribusi Frekuensi tertutup yaitu distribusi frekuensi yang seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentud) Distribusi Frekuensi terbuka yaitu distribusi frekuensi yang tidak seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu, terdiri atasa. DF terbuka atas

Adalah DF yang batas bawah kelas terakhirnya tidak dinyatakan

dengan bilangan melainkan dengan keterangan kurang dari

b. DF terbuka bawah

Adalah DF yang batas atas kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan

bilangan melainkan dengan keterangan lebih dari

c. DF terbuka atas bawah

Adalah DF yang batas bawah kelas pertama dan batas atas kelas terakhirnya masing masing tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan kurang dari dan atau lebih e) Distribusi Frekuensi Relatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya dinyatakan dengan bilangan bilangan tertentu yang berbentuk ratio atau persentase yang jumlah seluruh frekuensinya selalu sama dengan 1 atau 100%.

f)Distribusi Frekuensi Kumulatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya ditambahkan atau dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap kelasnya dari DF asalnya. DF kumulatif terdiri dari :a. DF Kumulatif positif / DF kumulatif kurang dari/DF kumulatif less than (menggunakan tepi atas)DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan 0 kemudian ditambahkan secara bertahap dengan frekuensi tiap tiap kelas dari DF asalnya. Contoh Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari sumber dari table 4.Tabel 5 Tabel Distribusi Frekuensi Kurang dariTepi KelasFrekuensi

40,57

50,516

60,526

70,542

80,552

90,556

100,560

Dari table distribusi frekuensi kumulatif kurang dari kita akan memperoleh ogive (ojaiv) positif.

Gambar 4 Ogive kurang darib. DF Kumulatif negatif / DF kumulatif lebih dari/DF kumulatif more than (menggunakan tepi bawah)DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan jumlah seluruh frekuensi dari DF asalnya kemudian dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap-tiap kelas dari DF asalnya.Dari Tabel 4, kita dapat menentukan Distribusi Kumulatif lebih dari dan Distribusi Kumulatif Kurang dari.Tabel 6 Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih DariNilaiFrekuensi

30,560

40,553

50,544

60,528

70,518

80,58

90,54

100,50

Gambar 5 Ogive Lebih dari

FREKUENSI RELATIF

Untuk memahami cara menentukan frekuensi relatif, perhatikan tabl di bawah ini. Rumus untuk menentukan Frekuensi Relatif (fr) dari Masing masing kelas adalah sebagai berikut:

Keterangan:

Tabel 7 Tabel Distribusi Frekuensi RelatifNilaiTepi KelasFrekuensi Frekuensi relative (fr)

31-4030,5-40,535,57

41-5040,5-50,545,5915 %

51-6050,5-60,555,510

61-7060,5-70,565,516

71-8070,5-80,575,51016,67%

81-9080,5-90,585,546,67%

91-10090,5-100,595,54

Contoh Soal :

Berikut ini diberikan data tinggi badan mahasiswi Fakultas Ekonomi dan Bisnis , Universitas Harapan Ayah dan Ibu

a) Susunlah data tersebut ( Array ) ?

b) Buatlah ditribusi frekuensinya ?

c) Berapa jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan maksimal 140 cm dan yang lebih dari 170 cm ?d) Buatlah distribusi frekuansi kumulatifnya ?

e) Gambarkan Ogive nya ? Jawab :a) Array

b) Distribusi Frekuensi

R = Xmaks X min

= 180 121 = 59

k=1+3,322 log n

= 1 +3,322 log 40 = 6,3220 , diambil 6

Ci = R/k 59/6 = 9,8333, diambil 10

Distribusi Frekuensi Data

Tinggi Badan Mahasiswa

Universitas Harapan Ayah Dan Ibu

Tinggi BadanJumlah Mahasiswa

121 1302

131 1403

141 15011

151 16010

161 1709

171 1805

Jumlah40

Sumber : Contoh Soal Distibusi Frekuensi Modul Pratikum Statistika 1, 2012

c) Jadi, Jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi maksimal dari 140 dan yang lebih dari 170 adalah 2+3+5 = 10 orang

d) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut :Tinggi

badanJumlah

MahasiswaFrekuensi Kumulatif

NilaiFk kurang

dariNilaiFk lebih

dari

< 1210> 12140

121 1302< 1312> 13138

131 1403< 1415> 14135

141 15011< 15116> 15124

151 16010< 16126> 16113

161 1709< 17135> 1715

171 1805< 18140> 1810

Jumlah40

e) Gambar Ogive nya adalah :

SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Berikut ini disediakan distribusi relatif umur dari 65 orang mahasiswa di

universitas X

UmurFrekuensi relatif

16 2012,31

21 2515,38

26 3024,62

31 3521,54

36 4015,38

41 457,69

46 503,08

a) Susunlah ke dalam distribusi frekuensi biasa ( distribusi frekuensi asalnya ), dan gambarkan histogram dan poligonya ?b) Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari , serta gambarkan ogifnya ?

Jawab :

( Pokok Pokok Materi Statistika 1 M. Iqbal hasan, hal 61, no 3)

a) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus:

jadi: = 8 dengan cara yang sama kita peroleh: f2 = 10 f3 = 16 f4 = 14f5 = 10f6 = 5f7 = 2

Tabel 8 Umur Mahasiswa Universitas "X"UmurXBanyaknya

Mahasiswa

16 20188

21 252310

26 302816

31 353314

36 403810

41 45435

46 50482

Jumlah66

Gambar 1a .

b) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut :

UmurBanyaknya

MahasiswaFrekuensi Kumulatif

NilaifkNilaifk

< 160> 1665

16 208< 218> 2157

21 2510< 2618> 2647

26 3016< 3134> 3131

31 3514< 3648> 3617

36 4010< 4158> 417

41 455< 4663> 462

46 502< 5165>510

Gambar 1b.Ogif Positif dan Negatif Untuk Umur Mahasiswa X

2. Here is afrequency distribution of 75 measurements of the diameter pipe

construction of abuilding.

MidpointAmount of Pipes

14,511

24,510

34,57

44,524

54,514

64,59

a) Arrange the origin`s frequency distribution?

b) Draw Histogramsandpolygons curve?

c) What percentage of the measurement pipe at least 40 cm?. And how many pipes measuring more than 50 cm?

Jawab :( Modul Statistika 1 , 2010 no 4) Mid point = XnCi = Xn+1 - Xn

= 24,5 14,5

= 10

X1 = 14,5

Tepi Atas = 2Xn Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci

2Xn Tb = Tb + Ci

2(14,5) Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas 1

29 Tb = Tb + 10

2Tb = 29 10

Tb = 9,5

Ta = 2(14,5) 9,5

= 19,5

X2 = 24,5

Tepi Atas = 2Xn Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci

2Xn Tb = Tb + Ci

2(24,5) Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas 2

49 Tb = Tb + 10

2Tb = 49 10

Tb = 19,5

Ta = 2(24,5) 19,5

= 29,5

X3 = 34,5

Tepi Atas

= 2Xn Tb

Tepi Bawah= Tb + Ci

2Xn Tb

2(34,5) Tb= Tb + Ci

= Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas 3

59 Tb= Tb + 10

2Tb= 59 10

Tb= 29,5

Ta = 2(24,5) 29,5

= 39,5

X4 = 44,5

Tepi Atas

= 2Xn Tb

Tepi Bawah= Tb + Ci

2Xn Tb

2(44,5) Tb= Tb + Ci

= Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas 4

89 Tb= Tb + 10

2Tb= 89 10

Tb= 39,5

Ta = 2(44,5) 39,5

= 49,5

X5 = 54,5

Tepi Atas

= 2Xn Tb

Tepi Bawah= Tb + Ci

2Xn Tb

2(54,5) Tb= Tb + Ci

= Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas 5

109 Tb= Tb + 10

2Tb= 109 10

Tb = 49,5

Ta = 2(54,5) 49,5

= 59,5

X6 = 64,5

Tepi Atas = 2Xn Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci

2Xn Tb = Tb + Ci

2(64,5) Tb = Tb + 10 Untuk Tepi bawah kelas6

129 Tb = Tb + 10

2Tb = 129 10

Tb = 59,5

Ta = 2(64,5) 59,5

= 69,5

Distribusi Frekuensi pengukuran Pipa

PengukuranBanyak Pipa / f

10 1911

20 2910

30 397

40 4924

50 5914

60 699

Total75

Sumber : Soal No.2 Modul Pratikum Statistika 1, 2012

b)

d) Jadi. % jumlah pengukuran yang dilakukan minimal/ paling sedikit 40 cm adalahx 100 = 62,67 %

Dan , jumlah pengukuran lebih dari 50 Cm adalah =14 + 9 = 23

Pengukuran

3. The following are50 students grades instatistics IIat the University ofPadjadjaranSemesterII1997.

a) How manypeoplewho scoredbetween44-52and80-82?

b) What percentageof peoplewho scoredbetween53-61and89-97?

c) How many peoplewhoscore lessthan44 andlessthan 71?

Jawab:

( Pokok Pokok Materi Statistika 1 M. Iqbal Hasan, hal 55)

a) Tabel: Nilai Statistika II 50 mahasiswa Unpad semester II tahun1997

Jadi, Banyaknya mahasiswa yang mendapat nilai antara 44 52 adalah 2 orang dan antara 80 88 adalah 13 orang.

Sumber : Soal no 7 Modul Pratikum Statistika 1

FEB Unpad 2012

b) Tabel: Distribusi frekuensi relatif nilai statistika II mahasiswa Unpad

tahun 1997

Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara

53 61 adalah 6 % dan yang mendapat nilai antara 89 97 adalah 18 %

c) Tabel : Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

NilaiFrekuensi / fFrekuensi Relatif (fkumulatif)

NilaiFk kurang dari