web viewagar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan...
TRANSCRIPT
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI...........................................................................................................1
A. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang.......................................................................................2
B. DASAR TEORI
1. Frekuensi................................................................................................3
2. Panjang Kelas Interval...........................................................................3
C. ISI DAN PEMBAHASAN
1. Pengertian Nilai Rata-rata......................................................................4
2. Ukuran Rata-rata dan Macamnya..........................................................5
2.1. Nilai Rata-rata
Hitung............................ ...................................6
2.2. Nilai Rata-rata Pertengahan
(Median).....................................17
2.3. Nilai Rata-rata
Ukur.................................................................26
2.4. Nilai Rata-rata
Harmonis.........................................................28
3. Modus.........................................................................................
.........30
4. Hubungan Antara Mean-Median dan
Modus......................................32
5. Quartil,Desil,Pers
entil.........................................................................33
D. PENUTUP
a. Kesimpulan..........................................................................................38
DAFTAR PUSTAKA................................................................................39
A. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang
Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika
menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi
frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung
banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan
lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk itu
diperlukan nilai yang dapat mewakili data yang terkumpul (dapat
menggambarkan tendensi lokasi himpunan data).
Data kuantitatif yang diperoleh dari lapangan, nilainya tidak selalu sama
melainkan bervariasi dari satu pengamatan ke pengamatan lainnya. Oleh
karena itu, perlu diketahui bahwa disekitar mana angka-angka itu
mempunyai kecenderungan untuk memusat pada nilai tertentu yang
disebebut nilai pusat. Nilai tersebut berupa nilai tunggal yang cukup
representatif bagi keseluruhan nilai dalam data bersangkutan. Disebut
nilai pusat karena pada umumnya berlokasi di bagian tengah atau pusat
dari suatu distribusi.Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran
nilai pusat. Yang paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung
(Arithmatic mean),Median,Modus,Rata-rata tertimbang,rata-rata
ukur,dan lain-lain.
B. DASAR TEORI
1. Pengertian Frekuensi
Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti:
“kekerapan”,”keseringan”, atau“jarang-kerapnya”. Dalam statistik
”frekuensi” mengandung pengertian: Angka (bilangan) yang
menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangkan dengan
angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut;atua berapa
kalikah sutu variabel(yang dilambangkan dengan angka itu) muncul
dalam deretan angka tersebut.
2. Panjang Kelas Interval
Panjang Kelas adalah bilangan yang diperoleh dari jarak/selisih antara
ujung bawah dan ujung atas,dengan ujung bawahnya termasuk dihitung.
Cara menentukan panjang kelas interval antara lain :
a. Panjang kelas sebuah kelas interval diperoleh dari ujung bawah kelas
interval berikutnya dikurangi ujung bawah kelas interval yang
bersangkutan.
b. Panjang kelas sebuah kelas interval diperoleh dari batas bawah kelas
interval berikutnya dikurangi batas bawah kelas interval yang
bersangkutan.
c. Panjang kelas sebuah kelas interval diperoleh dari ujung atas
dikurangi ujung bawah masing-masing untuk kelas interval yang
bersangkutan, dan hasilnya ditambah dengan dua kali ketelitian data
yang digunakan dalam menentukan batas bawah.
C. ISI DAN PEMBAHASAN
1. PENGERTIAN RATA-RATA
Rata-rata dalam statistik digunakan istilah MEAN. Mean dipakai untuk
membandingkan sampel-sampel yang sejenis (Ensklopedia Matematika :
415). Menurut Sudijono, Anas (2008:76), Istilah “rata-rata” dalam
kehidupan kita sehari-hari sebenarnya merupakan istilah yang acapkali
kita jumpai dan bahkan sering kita gunakan; karena itu istilah tersebut
kiranya bukan lagi merupakan istilah yang asing bagi kita.
Menurut Sudijono, Anas (2008:77), nilai Rata-rata dari sekumpulan data
yang berupa angka itu pada umumnya mempunyai kecenderungan untuk
berada disekitar titik pusat penyebaran data angka tersebut; karena itulah
Nilai Rata-rata atau Ukuran Rata-rata itu dikenal pula dengan nama
Ukuran Tendensi Pusat (Measure of Cental Tendency). Nilai Rata-rata
juga sering dikenal dengan istilah Ukuran Nilai Prtengahan (Measure of
Central Value), sebab Nilai Rata-rata itu pada umumnya merupakan nilai
pertengahan dari nilai-nilai yang ada. Selain itu, karena Nilai Rata-rata
itu biasanya berposisi pada sekitar sentral penyebaran nilai yang ada,
maka Nilai Rata-rata itu pun yang dikenal dengan nama Ukuran Posisi
Pertengahan (Measyre of Central Position). Dari uraian tersebut secara
singkat dapat dikemukakan bahwa apa yang dimaksud dengan Rata-rata
itu tidak lain adalah: Tiap bilangan yang dapat dipakai sebagai wakil dari
rentetan nilai rata-rata itu wujudnya hanyalah satu bilangan saja; namun
dengan satu bilangan itu akan dapat tercermin gambaran secara umum
mengenai kumpulan atau deretan bahan keterangan yang berupa angka
atau bilangan itu.
2. UKURAN RATA-RATA DAN MACAMNYA
Menurut Sudijono, Anas (2008:77), dalam statistik, Rata-rata itu
mempunyai beberapa bantuk atau macam; masing-masing dengan arti
yang berbeda. Berhubungan dengan itu, apabila dalam menganalisis data
statistic kita gunakan istilah “Rata-rata”, kita harus dapat menyatakan
dengan tegas dan jelas “Rata-rata” macam atau jenis manakah yang kita
maksudkan itu.
Menurut Sudijono, Anas (2008:78), adapun macam-macam “Rata-rata”
atau “Ukuran Rata-rata” yang dimiliki oleh statistik sebagai ilmu
pengetahuan ialah:
1. Rata-rata Hitung atau: Nilai Rata-rata Hitung (Arithmetic Mean, yang
seringkali disingkat dengan: Mean saja), yang umumnya
dilambangakan dengan huruf M atau X;
2. Rata-rata Pertengahan atau Nilai rata-rata Letak (medina tau Medium),
yang umumnya dilambangkan dengan: Mdn atau Me atau Mn;
3. Modus atau Mode, yang biasa dilambangakan dengan : Mo;
4. Rata-rata ukur atau Nilai rata-rata Ukur (Geometric Mean), yang biasa
dilambangkan dengan GM;
5. Rata-rata Harmonik atau Nilai Rata-rata Harmonik (Harmonic Mean),
yang biasa dilambangkan dengan HM.
Dari kelima Ukuran Rata-rata seperti yang telah disebutkan di atas,
yang mempunyai relevansi dank arena itu sering dipergunakan sebagai
ukuran dalam dunia statistic Pendidikan adalah; Mean, Median, dan
Modus. Adapun Geometric Mean dan Harmonic Mean , dalam dunia
Statistik Pendidikan dipandang kurang memiliki relevansi dan
karenanya hamper tidak pernah digunakan. Berhubung dengan itu,
pembicaraan lebih lanjut alam buku ini akan lebih menitikberatkan
kepada tiga macam ukuran rata-rata tersebut.
Mengingat bahwa selain Median, yang dalam Statistik disamping dikena sebagai
Ukuran Rata-rata Pertengahan juga dikenal sebagai Ukuran Rata-rata Letak
terdapat pula ukuran lain yang dapat dimasukkan dalam kelompok Ukuran Rata-
rata Letak, yaitu: Quartile, Decile, dan Percentile, yang batasan atau
pengertiannya lebih lanjut akan dikemukakan dibelakang.
Oleh sebab itu, setelah selesai pembicaraan mengenai mean, Median dan Modus,
akan dilanjutkan dengan pembicaraan mengenai Quartile, Decile, dan Percentile,
sebab ketiga macam ukuran yang disebutkan terakhir ini, dlam dunia Statistik
Pendidikan, cukup memiliki kegunaan dan arti yang penting.
2.1. Nilai Rata-rata Hitung (Mean)
Menurut Sudijono, Anas (2008:79), seperti telah dikemukakan terdahulu, dalam
bahasa Inggris Nilai Rata-rata Hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean,
atau sering disingkat dengan Mean saja.umtuk ringkas kata, dalam buku ini istilah
yang akan dipakai pada dasarnya adalah Mean.
Sebagai salah satu ukuran terdensi pusat, Mean dikenal sebagai ukuran yang
menduduki tempat terpenting jika dibandingkan dengan ukuran terdensi pusat
lainnya. Dalam kegiatan penelitian ilmiah yang menggunakan statistic sebagai
metode analisis data, Mean dapat dikatakan hamper selalu dipergunakan atau
dihitung. Dalam kehidupan sehari-hari pun, dengan sadar atau tidak, sebenarnya
kebanyakan orang telah menggunakan sebagai salah satu ukuran. Apakah
sebenarnya yang dimaksud dengan Mean itu?
a. Pengertian Mean
Menurut Sudijono, Anas (2008:79), secara singkat pengertian tentang Mean dapat
dikemukakan sebagai berikut: Mean dari sekelompok (sederetan) angka
(bilangan) adalah jumlah dari keseluruhan angka (bilangan) yang ada, dibagi
dengan kebanyakan angka (bilangan) tersebut.
Untuk lebih jelasnya dapat dikemukakan contoh sebagai berikut: Misalnya
seorang Siswa Madrasah Aliyah memiliki nilai hasil ulangan dalam bidang studi
Matematika, Pendidikan Kewarganegaraan, Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris,
Ilmu Pengetahuan Sosial dan Ilmu Pengetahuan Alam berturut-turut: 8, 9, 7, 4, 6,
dan 5. Untuk memperolah Mean nilai hasil ulangan tersebut, keenam butir nilai
yang ada itu kita jumlahkan, lalun kita bagi dengan banyaknya nilai tersebut,
yaitu: (8 + 9 + 7 + 4 + 6 + 5) : 6 atau
8+9+7+4+6+56 = 6,50
Jika keenam bilangan tersebut kita lambangkan dengan X1, X2, X3, X 4, X5 dan X6,
sedangkan banyaknya nilai itu kita lambangkan dengan N, maka Mean dari
keenam butir nilai tersebut adalah :
M x = X1+X2+X3+ X4+X5+ X6
N
Apabila kita rumuskansecara umum, maka:
M x = X1+X2+X3+ X4+X5+ X6 ……… Xn
N
Atau dapat disingkat menjadi:
M x = ∑ XN
Inilah rumus umum atau rumus dasar untuk mencari atau menghitung Mean.
Sudijono, Anas (2008:76).
b. Cara Mencari Mean
Menurut Sudijono, Anas (2008:81), mencari Mean dapat dilakukan dengan
berbagai macam cara; tergantung dari data yang akan dicari Mean nya itu; apakah
Data Tunggal ataukah Data Kelompokkan.
1) Cara mencari Mean untuk Data Tunggal
Ada dua macam cara yang dapat digunakan untuk mencari Mean dari Data
Tunggal (data yang tidak dikelompokkan), yaitu: (1) Cara mencari Mean
dari Data Tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu, dan (2) Cara
Mencari Mean dari Data Tunggal di mana sebagian atau seluruh skornya
berfrekuensi lebih dari satu.
a) Cara Mencari Mean Data Tunggal, yang seluruh skornya berfrekuensi
satu
(1) Rumus yang digunakanRumus yang kita gunakan untuk mencari
Mean Data Tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu adlah
(seperti telah dicantumkan diatas) :
M x = ∑ XN
Keterangan : M x = Mean yang kita cari
∑ X = Jumlah dari skor-skor (nilai-nilai) yang ada
N = Number of Cases (Banyaknya skor-skor itu sendiri)
(2) Contoh
Jika nilai hasil ulangan seorang Siswa MAN tadi kita hitung Mean
nya dengan menggunkan Tabel Distribusi Frekuensi, maka proes
perhitungannya adalah sebagai berikut:
TABEL 3.1. Perhitungan Mean Nilai Hasil Ulangan Harian dalam Bidang Studi
Matematika, Pendidikan Kewarganegaraan, Bahasa Indonesia, Baha Inggris, IPS,
IPA Seorang Siswa Madrasah Aliyah Negeri.
Dari Tabel 3.1 telah kita peroleh: ∑ X = 39, sedangkan N = 6,
Dengan demikian:
M x = ∑ XN
= 396 = 6,50
b) Cara Mencari Mean Data Tunggal yang Sebagian atau Seluruh Skornya
Berfrekuensi Lebih dari Satu.
(1) Rumus yang digunakan
Karena Data Tunggal yang akan kita hitung Mean nya baik sebagian
atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu, maka rumus untuk
mencari Mean seperti yang telah dikemukakan diatas perlu
dimodifikasi, yaitu dengan jalan memasukkan atau mengikutsertakan
X f987654
111111
39 = ∑ X 6 = N
frekuensi skor yang ada kedalam rumus. Dengan demikian rumus diatas
berubah menjadi :
M x = ∑ XN
keterangan : M x = Mean yang kita cari
∑ X = jumlah dari hasil perkalian antara masing-
masing skor dengan frekuensinya.
N = Number of Cases
Sudijono, Anas (2008:81).
(2) Contoh
Dalam Evaluasi Belajar Thap Akhir (EBTA) bidang studi Matematika,
yang diikuti 100 orang siswa kelas terakhir PGA Negeri, diperoleh
Nilai hasil EBTA sebagai mana tertera pada Tabel 3.2.
Dapat dilihat bahwa sebagian besar nilai hasil EBTA itu berfrekuensi
lebih dari satu. Untuk memperoleh Mean dari data semacam itu, tiap-
tiap skor atau nilai yang ada terlebih dahulu harus dikalikan dengan
frekuensinya masing-masing setelah itu dijumlahkan, dan akhirnya
dibagi dengan N. dengan demikian kita perlu menyiapkan tabel
perhitungannya.
TABEL 3.2. Nilai Hasil EBTA Bidang studi Matematika, dari Sejumlah
100 Orang Siswa Kelas Terakhir PGA Negeri
Nilai (X) Frekuensi (f)1098765432
124
2035221141
Total 100 = N
Yang terdiri dari tiga kolom. Pada kolom 1 kita muat nilai hasil EBTA
yang akan kita cari Mean nya, kolom 2 memuat frekuensi masing-masing
nilai hasil EBTA tersebut, sedangkan pada kolom 3 kita muat hasil
perkalian tiap-tiap skor (nilai) yang ada dengan frekuensinya masing-
masing. Perhatikan Tabel 3.3.
TABEL. 3.3. Tabel Perhitungn untuk Mencari Mean Nilai Hasil EBTA
Bidang Studi Matematika, yang diikuti oleh 100 Orang Siswa Kelas
Terakhir PGA Negeri
X f fX1098765432
124
2035221141
101832
14021011044122
Total 100 = N 578 = ∑ fX
Dari Tabel 3.3. telah berhasil kita peroleh: ∑ fX = 578, sedangkan N telah
kita ketahui = 100. Dengan demikian Mean dapat kita peroleh dengan
mudah, dengan menggunakan rumus: M x = ∑ XN
Maka: M x = ∑ XN
= 578100 = 5,780 atau 5,78
2) Cara Mencari Mean untuk Data Kelompokkan
Untuk Data Kelompokkan Mean dapat diperoeh dengan menggunakan dua
metode, yaitu Metode Panjang dan Metode Singkat.
a) Mencari Mean Data Kelompokkan dengan Menggunakan Metode
Panjang
Pada perhitungan Mean yang menggunakan metode panjang, semua
kelompokkan data (interval) yang ada terlebih dahulu dicari Nilai Tengah
atau Midpoint-Nya. Setelah itu, tiap Midpoint diperkalikan dengan
frekuensi yang dimiliki oleh masing-masing interval yang bersangkutan.
(1) Rumus yang digunakan
Rumua Mean dengan Metode Panjang adalah sebagai berikut:
M x = ∑ fXN
Keterangan : M x = Mean yang kita cari
∑ fX = Jumlah dari hasil perkalian antara
Midpoint dari masing-masing interval, dengan
frekuensinya.
N = Number of Cases
Sudijono, Anas (2008:85).
(2) Contoh
Dalam tes seleksi penerimaan siswa baru SMA swasta yang diikuti
800 orang calon, diperolehNilai Hasil Tes Bidang Studi
Matematikasebagai berikut(lihat Tabel 3.4).
Langkah yang harus ditempuh dalam mencari Mean dari data
kelompokkan dengan menggunakan Metode Panjang adalah:
a) Menetapkan (menghitung) Nilai Tengah (Midpoint) masing-
masing interval (Lihat 3 Tabel 3.5.), diberi lambing X.
b) Memperkalikan frekuensi masing-masing interval, dengan
Midpoint-nya, atau f dikalikan dengan X (Lihat kolom 4 Tabel
3.5), sehingga diperoleh fX.
c) Menjumlahkan fX, sehingga diperoleh fX.
d) Menghitung Mean nya dengan rumus:M x=∑ fX
N
TABEL 3.4. Nilai Hasil Tes Seleksi Bidang Studi Matematika dari sejumlah 800
orang calon yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon siswa pada sebuah SMA
swasta
Interval Nilai f75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 34
81632
160240176884028
Total : 800 = N
TABEL 3.5. Perhitungan Mean Data yang tertera Pada Tabel 3.4.
Dengan Menggunakan Metode Panjang
Interval Nilai f X fX75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 34
81632
160240176884028
77726762575247423732
616115221449920
136809152413616801184256
Total : 800 = N - 43920 = ∑ fX
Dari Tabel 3.5 telah kita peroleh ∑ fX = 43920, adapun N = 800. Dengan
demikian:
M x = ∑ fXN
= 43920
800 = 54,90
Seperti dapat kita amati dan rasakn, maka dalam proses perhitungan untuk
mencari Mean Data Kelompokkan dengan menggunakan Metode Panjang,
kita bekerja dengan bilangan yang cukup besar. Karena itu jika dalam
perhitungan kita tidak dibantu oleh mesin hitung atau kalkulator, amak di
samping sangat diperlukan ketelitian, risiko kesalahan yang kita hadapipun
cukup besar. Itulah sebabnya para ahli statistic mengemukakan cara lain
yang lebih praktis, dalam arti: perhitungan dapat dilakukan dengan lebih
cepat dan mudah, dengan risiko kesalahan yang kecil.
b) Mencari Mean data Kelompokkan dengan Menggunakan Metode
Singkat
(1) Rumus yang digunakan
Jika dalam penghitungan mean digunakan metode, maka rumus
yang digunakan adalah sebagai berikut:
M x = M '+i(∑ f x '
N)
M x = Mean
M ' = Mean Terkaan atau Mean Taksiran
i = interval class (besar/luas pengelompokkan data)
∑ f x' = jumlah dari hasil perkalian antara titik tengah
buatan sendiri dengan frekuensi dari masing-
masing interval
N = Number of Cases
Sudijono, Anas (2008:88).
(2) Contoh
Jika mialnya data yang disajiakan pada Tabel Tabel 3.4. kita cari Mean nya
dengan menggunakan Metode Singkat, makan proses perhitungan dan
langkah perhitungannya adalah (lihat Tabel 3.6)
Langkah 1: Mencari Mean Terkaan Sendiri atau Mean Taksiran Sendiri
(yaitu M '). Dalam menetapkan M ' dapat kita tempu cara:
(a) Memilih satu Midpoint di antara Midpoint yang ada dalam tabel
Distribusi Frekuensi, yaitu Midpoint dari interval niali yang memiliki
frekuensi tertinggi (terbesar). Seperti dapat kita lihat pada Tabel 3.6,
interval nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah interval 55 – 59
degan frekuensi = 240. Dengan demikian, Midpoint yang kita pilih
sebagai Mean Terkaan (M ') dalah 57
TABEL 3.6. perhitungan Mean Data yang Disajikan Pada Tabel 3.4.
dengan menggunakan Metode Singkat
Interval Nilai F X x ' fx '
75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 34
81632
160240176884028
77726762575247423732
+ 4+ 3+ 2+ 1012345
+ 32+ 48+ 64
+ 1600
17617612012840
800 = N - - - 336 = ∑ fX '
(b) Cara lain ialah, dengan memilih satu diantara midpoint yang adapada
tabel distribusi frekuensi, yang terletak di tengah-tengah deretan
ingterval nilai dalam tabel ditribusi frejuensi tersebut. Karena
banyaknya deretan ingterval dalam Tabel 3.6 itu ada 12 baris, maka
mispoint yang dapat kita pilih sebagai mean Terkaan adalah midpoint
nomor ke (12 : 2, atau no ke-6 , baik nomor ke-6 dari bawah atau
nomor ke-6 dari atas. Jika yang kita pilih badalah midpoint nomor ke-
6 dari bawah, maka Mean Terkaan kita adalah = 57. Apabila yang kita
sebagai Mean terkaaan adalah midpoint nomor ke-6 dari tas, maka
Mean Terkaan kita itu adalah 52.
Dalam contoh diatas, kita telah menetapkan M = 57.
Langkah II : Menetapkan x’ (titik tengah buatan kita sendiri).
Caranya adalah sebagai berikut :disebelah kanan M’ yang telah kita
pilih atau kita tetapkan itu (lihat kolom 3 tabel 3.6), kita cantumkan
angka nol. selanjutnya secara berturut-turut diatas nol kita tukiskan :
+1 , +2 , +3 , dan +4; sedangkan dibawah nol secara berturut-turut kita
tuliskan : -1 , -2 , -3 , -4 , dan -5.
Langkah III : Memperkalikan frekuensi dari masing-masing interval,
dengan x’ ( jadi f dikalikan dengan x’ = fx’) seperti dapat dilihat pada
kolom 5 tabel 3.6. setelah perkalian dapat diselesaikan, lalu
dijumlahkan. dalam tabel 3.6 kita peroleh ∑ fx’ = -336.
Langkah IV : Menghitung Mean-nya, dengan menggunakan rumus
M x=M '+i(∑ f x '
N)
Mx = Mean
M’ = Mean Terkaan atau Mean Taksiran
i = Kelas Interval
∑ fx’ = Jumlah pekalian antara titik tengah dan frekuensi
N = Number of Cases
Sudijono, Anas (2008:90).
Karena M’, i, fx’, dan N telah kita ketahui (yaitu M’ = 57, i = 5, ∑
fx’ = -336, dan N = 800), maka dengan mensubsitusikannya ke
dalam rumus di atas, dapat kita peroleh Mean-nya:
M x=57+5(−336800
)
¿57−1680800
=54,90
Dengan rumus atau metode singkat ternyata Mean yang kita peroleh
adalah persis sama dengan Mean yang kita peroleh dengan menggunakan
metode panjang, yaitu: M = 54,90.
Dapat kita amati dan kita rasakan bahwa dengan menggunakan metode
singkat, perhitungan dapat berjalan dengan cepat, resiko kesalahan hitung
dapat ditekan seminimal mungkin (sebab di sini kita tidak berhadapan
dengan bilangan yang besar), sedangkan hasilnya sama persis.
c. Penggunaan Mean
Menurut Sudijono, Anas (2008:91), sebagai salah satu Ukuran Rata-rata,
Mean kita gunakan apabila kita berhadapan dengan kenyataan seperti
dikemukakan berikut ini :
1) Bahwa data statistik yang kita hadapi merupakan data yang distribusi
frekuensinya bersifat normal atau simetris; setidak-tidaknya mendekati
normal. Jadi, apabila data ststistik yang kita hadapi bersifat asimetris,
maka untuk mencari Nilai Rata-rata data yang demikian itu hendaknya
jangan menggunakan Mean, sebab Nilai Rata-rata yang diperoleh
nantinya akan jauh menyimpang dedari kenyataan yang sebenarnya.
2) Bahwa dalam kegiatan analisis data, kita menghendaki kadar
kemantapan atau kadar kepercayaan setinggi mungkin. seperti dapat
kita amati pada perhitungan Mean yang telah dikemukakan contohnya,
maka Mean yang kita peroleh adalah hasil dari perhitungan yang
dilakukan terhadap semua angka, tanpa kecuali; karena itu, sebagai
ukuran rata-rata, Mean cukup dapat diandalkan, atau memilik
reliabilitas yang tinggi.
3) Bahwa dalam menganalisis data selanjutnya, terhadap dat yang sedang
kita hadapi atau kita teliti itu, akan kita kenai ukuran-ukuran statistik
selain Mean, misalnya: deviasi rata-rata, deviasi standar, korelasi dan
sebagainya, seperti akan dikemukakan dalam pembicaraan pada bab-
bab berikutnya nanti.
2.2. Nilai Rata-rata Pertengahan (Median)
Ukuran rata-rata kedua yang akan kita pelajari adalah Median, yang-
seperti telah dikemukakan dalam pembicaraan terdahulu-sering dikenal
dengan istilah: Nilai Rata-rata Pertengahan atau Nilai Rata-rata Letak, atau
Nilai Posisi Tengah, yang biasa diberi lambang: Mdn, Me atau Mn. Dalam
pembicaraan selanjutnya akan digunakan lambang: Mdn.
a. Pengertian Nilai Rata-rata Pertengahan (Median)
Menurut Sudijono, Anas (2008:93), yang dimaksud dengan Nilai
Rata-rata Pertengahan atau Median adalah suatu nilai atau suatu
angka yang membagi suatu distribusi data ke dalam dua bagian yang
sama besar. Dengan kata lain, Nilai Rata-rata Pertengahan atau
Median adalah nilai atau angka yang di atas nilai atau angka tersebut
terdapat 1/2N dan dibawahnya juga terdapat 1/2N. Itulah sebabnya
Nilai Rata-rata ini dikenal sebagai Nilai Pertengahan atau Nilai Posisi
Tengah, yaitu nilai yang menunjukkan pertengahan dari suatu
distribusi data.
b. Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan
Ada beberapa cara untuk mencari Nilai Rata-rata Pertengahan,
seperti dapat diikuti pada uraian berikut ini.
1) Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal
Dalam mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk data tunggal ini
ada dua kemungkinan yang kiata hadapi. Kemungkinan pertama
ialah dat tunggal itu seluruh skornya berfrekuensi 1; sedangkan
kemungkinan kedua, bahwa data tunggal yang akan kita cari Nilai
Rata-rata Pertengahannya itu sebagian atau seluruh skornya
berfrekunsi lebih dari 1.
a) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan Data Tunggal yang Seluruh
Skornya Berfrekuensi 1
Disini pun kita berhadapan dengan dua kemungkinan, yaitu: (1)
data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1, number of cases-
nya merupakan bilangan gasal (ganjil), dan (2) data tunggal yang
seluruh skornya berfrekuensi itu, number of cases-nya merupakan
bilangan genap ( bukan bilangan gasal).
(i) Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh
skornya berfrekuensi 1 dan number of caess-nya berupa bilangan
gasal.
Untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan number
of cases-nya bilangan gasal (yaitu: M = 2m + 1 ), maka median data
yang demikian itu terletak pada bilngan yang ke (n+1).
contoh : 9 orang mahasiswa menempuh ujian lisan dala mata kuliah
teknik evaluasi pendidikan. Niali mereka adalah sebagai berikut: 65
75 60 70 55 50 80 40 30. Untuk mengetahui nilai berapakah yang
merupakan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median dari kumpulan
nilai hasil ujian tersebut, pertama-tama deretan itu kita atur mulai
dari nilai terendah sampai nilai tertinggi:
30 40 50 55 60 65 70 75 80
kita lihat dalam deretan nilai di atas, bilangan ke-1 adalah 30,
bilangan ke-2 = 40, bilangan ke-3 = 50, bilangan ke-4 = 55, bilangan
ke-5 = 60, bilangan ke-6 = 65, bilangan ke-7 = 70, bilangan ke-8 =
75 dan bilangan ke-9 = 80. Karena N = 9, sedang rumus bilangan
gasal adalah: N = 2n +1, maka 9 = 2n + 1
9 = 2n + 1
9 – 1 = 2n
n = 4
dengan demikian nilai yang merupakan nilai rata-rata pertengahan
atau median dari nilai hasil ujian lisan tersebut adalah nilai
( bilangan) yang ke- ( 4 + 1 ) atau bilangan ke-5, yaitu nilai 60.
(ii) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal yang
seluruh skor-nya berfrekuensi 1, dan Number of Cases-nya berupa
bilangan genap
Untuk data tunggal dan seluruh skornya berfrekuensi 1 dan Number
of Cases-nya merupakan bilangan genap (yaitu: N=2n), maka
Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan data yang demikian itu
terletak antara bilangan yang ke-n dan ke-(n+1).
Contoh : tinggi badan 10 orang calon yang mengikuti tes seleksi
penerimaan calon penerbang, menunjukkan angka sebagai berikut:
168 162 169 170 164 167 161 166 163 dan 165 cm.
cara mencari Nilai Rata-rata Pertengahan atau Mediannya sama
seperti telah dikemukakan di atas, yaitu pertama-tama deretan angka
itu terlebih dahulu kita atur berderet, mulai dari nilai terendah
sampai nilai tertinggi.
1611
1622
1633
1644
1655
1666
1677
1688
1699
17010
Karena N = 10 (merupakan bilangan bulat), sedang rumus untuk
bilangan bulat adalah : N = 2n, maka : 10 = 2n , n = 5
Jadi Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan dari tinggi badan 10
orang peserta tes seleksi Calon Penerbang itu terletak antara bilangan
ke-5 dann ke (5+1), atau antara bilaangan ke-5 dan ke-6. Dalam
deretan angka-angka di atas, bilangan ke-5 adalah 165, sedang
bilangan ke-6 adalah 166.
Jadi Mdn = 165+166
2 = 165,50
Jika kedua data yang telah dijadikan contoh di atas kita tuangkan
dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi dan kemudian kita cari
mediannya, lkeadaannya adalah sebagai berikut:
Median Nilai Hasil Ujian Lisan dari 9 orang mahasiswa
Bil. ke-9Bil. ke-8Bil. ke-7Bil. ke-6MedianBil. ke-4Bil. ke-3Bil. ke-2
Bil. ke-1
X F80 175 170 165 160 155 150 140 130 1
Total 9 = N
Median Tinggi Badan 10 orang calon yang mengikuti Tes Calon Penerbang
Bil. ke-10Bil. ke- 9Bil. ke- 8Bil. ke- 7Bil. ke- 6
Bil. ke- 5Bil. ke- 4Bil. ke- 3Bil. ke- 2
Bil. ke- 1 Mdn = 165+166
2 = 165,50
b) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal
yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu
Apabila Data Tunggal yang akan kita cari Nilai Rata-rata Pertengahan atau Mediannya, sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu, sebaiknya kita tidak menggunakan cara seperti yang telah dikemukakan di atas, melainkan kita gunakan rumus sebagai berikut :
Mdn = L + (12
N−fk b
f i
) atau : Mdn = u - (12
N−fk a
f i
)
Mdn = Median
L = lower limit (Batas Bawah Nyata dari skor yang mengandung Median)
fkb = frekuensi kumuulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung median.
fi = frekuensi asli (frekuensi dari skor yang mengandung median).
N = Number of Cases
X F170 1169 1168 1167 1166 1
165 1164 1163 1162 1
161 1Total 10 = N
u = Upper limit (batas atas nyata dari skor yang mengandung median).
fka = frekkuensi kumulatif yang terletak di atas skor yang mengandung median.
Sudijono, Anas (2008:97).
Contoh : skor berikut ini menunjukkan usia 50 orang guru agama islam yang bertugas pada sekolah dasar negri di suatu kecamatan
26 28 27 24 31 27 25 28 26 30
29 27 26 30 25 23 31 28 26 27
31 24 27 29 27 30 28 26 29 25
23 29 27 26 28 25 27 28 30 25
24 29 31 27 26 28 27 26 27 27
Untuk mencari median dari data semacam ini, terlebih dahulu kita siapkan tabel Distribusi Frekuensinya, terdiri dari 5 kolom. Kolom 1 : skor usia, kolom 2 : tanda atau jari, kolom 3 : frekuensi, kolom 4 : frekuensi kumulatif yang dihitung dari bawah, dan kolom 5 : frekuensi kumulatif yang dihitung dari atas.
Setelah tabel Distribusi Frekuensinya kita selesaikan pembuatanya, maka langkah berikutnya secara berturut-turut adalah:
1. Pertama-tama data kita bagi menjadi 2 bagian yang sama besar, yaitu masing-masing sebesar 1/2N; pada pertengahan distribusi data itulah terletak median yang kita cari
Karena N = 50 maka 1/2N = 25 (25 orang guru agama islam). Perhatian kita arahkan pada kolom 4 Tabel 3.7. Titik pertengahan data sebesar 25 itu terkandung pada frekuensi kumulatif 30. dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa nilai pertengahan usia guru agama islam itu terletak pada skor 27, atau skor yang mengandung median adalah skor 27.
2. Karena skor yang mengandung median adalah skor 27, maka dengan mudah dan cepat dapat kita ketahui:
a. lower limitnya, yaitu : 27-0,50 = 26,50; jadi L = 26,50
b. frekuensi aslinya ( fi) =12
c. frekuensi kumulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung median (fkb) yaitu = 18
3. dengan diketahui L , fi, dan fkb maka dengan mensubstitusikannya ke dalam rumus pertama, dapat kita peroleh mediannya:
Mdn = L + (12
N−fk b
f i
) = 26,50 + (25−18
12 ) = 26,50 + 712 = 26,50 + 0,583 =
27,083 (dapat dibulatkan menjadi : 27).
Tabel 3.7. Distribusi Frekuensi untuk Mencari Median (Nilai Rata-rata Pertengahan) Usia dari Sejumlah 50 orang Guru Agama Islam
Nilai (X) Tanda/ Jari-jari
F fkb Fka
313029282726252423
////////////////// /////// ///// /////// /////////////
4457128532
50 =N46423730181052
4813203240454850 = N
Total 50 = N - -
Selanjutnya kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari Median dari data di atas. Perhatian kita arahkan kepada kolom 5 Tabel 3.7.
1. titik pertengahan data terletak pada 1/2N yaitu 1/2 x 50 = 25. Dalam frekuensi kumulatif yang dihitung dari atas (fka), titik pertengahan data sebesar 25 itu terkandung pada fkb sebesar 32. Dengan demikian dapat kita ketahui skor yang mengandung median, yaitu skor 27.
2. Karena skor yang mengandung Median adalah 27, maka dengan mudah dapat kita ketahui:
a. batas atas nyata dari skor yang mengandung median yaitu: 27 + 0,50 = 27,50; atau : u = 27,50.
b. frekuensi kumulatif yang terletak di atas skor yang mengandung median (fka) adalah 20; jadi fka = 20.
c. frekuensi aslinya, atau frekuensi dari skor yang mengandung median adalah = 12; jadi fi = 12.
3. Dengan diketahuinya: u, fi, dan fkb, maka dengan mensubstitusikannya ke dalam rumus kedua, dapat diperoleh mediannya:
Mdn = u - (12
N−fk a
f i
) = 27,50 - (25−20
12 ) = 27,50 + 512 = 27,50 - 0,147 =
27,083 (dapat dibulatkan menjadi : 27).
2) Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Kelompokan.
cara menghitung dan jalan pikiran yang ditempuh untuk menghitung atau mencari Nilai Rata-rata Pertengahan dari data kelompokkan adalah sama saja dengan apa yang telah dikemukakan di atas. Letak perbedaannya adalah, jika pada data tunggal kita tidak perlu memperhitungkan interval class (i), sedangkan pada data kelompokan kelas interval (i), itu harus ikut diperhitungkan, sehingga rumus di atas tadi berubah menjadi:
Mdn = L + (12
N−fk b
f i
) Xi dan Mdn = u - (12
N−fk a
f i
) Xi
Contoh: Misalkan 100 orang Siswa Madrasah Tsanawiyah menempuh EBTA dalam bidang studi bahasa arab. Distribusi frekuensi Nilai mereka adalah sebagai mana tertera pada tabel 3.8 kolom 1dan 2.
Tabel 3.8. Tabel Perhitungan untuk Mencari Median Nilai Hasil EBTA dalam Bahasa Arab yang Diikuti oleh 100 Orang Siswa Madrasah Tsanawiyah
Interval Nilai:
f Fkb Fka
65 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 49 40 – 4435 – 3930 – 3425 – 29
6242515106543
100 = N94704530201495
63055708086919598
20 – 24 2 2 100 = NTotal 100 = N - -
(a) Perhitungan Media Data Kelompokan dengan Rumus Pertama.
diketahui : N = 100 , 1/2N = 50
kelas median 55-59
L = 54,50
fi = 25
fkb = 45
Mdn = L + (12
N−fk b
f i
) X i = 54,50 + (50−45
25 ) x 5 = 54,50 + 5
25 x 5 = 54,50 + 1
= 55,50
(b) Perhitungan Median untuk Data Kelompokan dengan Rumus Kedua.
diketahui : N = 100, 1/2N = 50
kelas median 55-59
u = 59,50
fi = 25
fka = 30
i = 5
Mdn = u - (12
N−fk a
f i
) X i = 59,50 – (50−30
25 ) x 5 = 59,50 - 10025 = 59,50 – 4 =
55,50 (hasilnya sama)
c. Penggunaan Nilai Rata-rata Pertengahan (Median)
Menurut Sudijono, Anas (2008:85), nilai Rata-rata Pertengahan atau Median kita
cari atau kita hitung, apabila kita berhadapan dengan kenyataan seperti disebutkan
berikut ini:
1) Kita tidak memiliki waktu yang cukup luas atau longgar untuk menghitung Nilai Rata-rata Hitung (Mean)-nya.
2) Kita tidak ingin memperoleh nilai rata-rata dengan tingkat ketelitian yang tinggi, melainkan hanya sekedar mengetahui skor atau nilai yang merupakan nilai pertengahan dari data yang sedang kita teliti.
3) Distribusi frekuensi data yang sedang kita hadapi bersifat asimetris (tidak normal).
4) Data yang sedang kita teliti tidak akan dianalisis secara lebih dalam lagi dengan menggunakan ukuran statistik lainnya.
2.3 Nilai Rata-rata Ukur
Menurut Sudjana (2002:72), Jika perbandingan tiap dua data berurutan
tetap atau hanya tetap, rata-rata ukur lebih baik dipakai daripada rata-rata
hitung apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data bernilai x1, x2, … ,
xn maka rata-rata ukur U didefinisi sebagai
IV (6) . . . . . . .
Yaitu akar pangkat n dari produk (x1 . x2 . x3 …. Xn). Contoh rata-rata
ukuruntuku data x1 = 2, x2 = 4, x3 = 8 adalah
U = 3√2 x 4 x 8 = 4
Untuk bilangan-bilangan bernilai besar, lebih baik digunakan
logaritma.Rumus IV (6) menjadi
IV (7) . . . . . . .
U=n√x 1. x2 . x3 … xn
log U=∑ log xi
n
Yakni logaritma rata-rata ukur U sama dengan jumlah logaritma tiap data
dibagi oleh banyak data. Rata-rata ukur U akan didapat dengan jalan
mencari kembali logaritmanya.
Contoh : sekedar menunjukkan penggunaan Rumus IV (7), kita ambil x1 =
2, x2 = 4, dan x3 = 8.
Maka log 2 = 0,3010; log 4 = 0,6021 dan log 8 = 0,9031.
Log U = log 2+ log 4+ log 8
3
Log U = 0,3010+0,6021+0,9031
3 = 0,6021
Sehingga,setelah dicari kembali dari daftar logaritma, rata-rata ukur U= 4
Untuk fenomena yang bersifat tumbuh dengan syarat-syarat tertentu,
seperti pertumbuhan penduduk, bakteri dan lain-lain, sering digunakan
rumus yang mirip rata-rata ukur ialah
IV (8). . . . . . . . . . Pt=P0(1+ X100 )
t
dengan P0 = keadaan awal atau perubahan
Pt = keadaan akhir
X = rata-rata pertumbuhan setiap satuan waktu
t = satuan waktu yang digunakan
contoh : penduduk Indonesia pada akhir tahun 1946 ada 60 juta
sedangkan akhir tahun 1956 mencapai 78 juta. Untuk menentukan rata-rata
pertumbuhan penduduk tiap tahun kita pakai rumus IV(8) dengan t = 10,
P0 = 60 dan Pt = 78.
Maka didapat 78=60¿
Atau log 78 = log 60 + 10 log(1 + x
100 )
Atau 1,8921 = 1,7782 + (10) log (1 + x
100 )
Menghasilkan (1 + x
100 ) = 1,0267 x = 2,67
Laju rata-rata pertumbuhan = 2,67% tiap tahun
Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi si rata-rata
ukurnya dihitung dengan rumus :
IV (9) . . . . . . . . . . . . . .
Dengan xi seperti biasa menyatakan tanda kelas, fi = frekuensi yang sesuai
dengan xi dan harga rata-rata ukur U dicari kembali dari log U.
Contoh : Untuk data dalam Daftar III(1) tentang nilai ujian 80 mahasiswa,
kita bentuk tabel berikut.
NILAI UJIAN Fi Xi Log xi Fi log xi(1) (2) (3) (4) (5)31-4041-5051-6061-7071-8081-9091-100
12515252012
35,545,555,565,575,585,595,5
1,55021,65801,74431,81621,87791,93201,9800
1,55023,31608,721527,243046,947538,640023,7600
Jumlah 80 - - 150,1782
Log U = ∑ ¿¿¿
Kolom (3) adalah tanda kelas, kolom (4) merupakan logaritma dari kolom
(3) dan kolom (5) menyatakan hasil kali antara kolom (2) dan kolom (4).
Didapat ∑ ( fi log xi )=150,1782 dan ∑ fi=80
Log U = 150,1782
80 = 1,8772
Yang menghasilkan U = 75,37.
Nilai ujian itu mempunyai rata-rata ukur 75,37.
2.4 Nilai Rata-rata Harmonis
1. Rata-rata harmonis sederhana
Menurut Dajan, Anto (1986:158), Bila distribusi memiliki nilai-nilai
observasi yang positif X1, X2, …., X n sejumlah n, rata-rata harmonis
serangkaian nilai-nilai observasinya diatas ialah n dibagi dengan hasil
penjumlahan dari seluruh 1X i
dan dapat dirumuskan sebagai :
rh=n
∑i=1
n 1X i
Rata-rata harmonis diatas sebetulnya juga digunakan bagi pengrata-rataan
rasio dalam arti yang khusus. Nilai pertukaran umumnya merupakan rasio
yang dapat dinyatakan sebagai X/Y atau Y/X. Contoh, bila 3 buah buku
dapat ditukar dengan Rp 9000,-, maka kita dapat menganggap harga buku
sebagai 9.000/3 per buah atau 3/9.000 buah per rupiah. Bila kita
menganggap unit penyebut rasio diatas tetap sedangkan pembilangnya
dapat bervariasi, maka rata-rata hitung merupakan pengukuran rata-rata
yang tepat. Sebaliknya, bila kita menganggap unit pembilangnya tetap
sedangkan penyebutnya dapat bervariasi, maka penggunaan rata-rata
harmonis akan lebih tepat. Secara teoritis, pengrata-rataan rasio r i=X i /Y i
dimana i = 1, 2, …, k sedangkan rata-ratanya ialah
∑i=1
k
X i / ∑i=1
k
Y i dapat di rumuskan dalam 2 cara
Bila unit Y dianggap tetap dan perumusan r i diatas dapat ditulis dengan
menggunakan penyebut Y i=v , maka X i=v Y i=r i v. Alhasil rasio rata-rata
hitung menjadi
∑i=1
k
X i
∑i=1
k
Y i
=v∑
i=1
k
r i
kv
¿∑i=1
k
ri
k=r
Sebaliknya, bila kita anggap unit X yang tetap, Y i=X i /r i dan semua X i
adalah sama dengan X i=u, maka rata-rata harmonis rasionya menjadi
∑i=1
k
X i
∑i=1
k
Y i
= ku
u∑i=1
k 1ri
¿ k
∑i=1
k 1r i
2. Rata-rata harmonis tertimbang
Rata-rata harmonis yang tertimbang dapat dirumuskan sebagai
rh=w1+w2+…+wn
w1( 1X1 )+…+wn(
1Xn
)
atau
rh=∑i=1
n
wi
∑i=1
n
wi1X i
Dimana w i=¿ timbangan
3. Modus (Mode)
a. Pengertian Modus
Menurut Sudijono, Anas (2008:105), modus umunya dilambangkan dengan Mo.
Modus tidak lain adalah suatu skor atau nilai yang mempunyai frekuensi paling
banyak; dengan kata lain, skor atau nilai yang memiliki frekuensi maksimal dalam
distribusi data.
b. Cara Mencari Modus
1) Cara Mencari Modus untuk Data Tunggal
Mencari modus untuk data tunggal dapat dilakukan dengan mudah dan cepat; yaitu hanya dengan memeriksa (mencari) mana di antara skor yang ada, yang memiliki frekuensi terbanyak. Skor atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak itulah yang kita sebut Modus.
Contoh: Misalkan data tentang data 50 orang Guru Matematika yang tercantum pada tabel 3.7 dapat kita cari Modusnya sebagai berikut:
Tabel3.9. Tabel Distribusi Frekuensi untuk Mencari Modus dari Data yang Tertera Pada Tabel 3.7.
Modus untuk data di atas adalah usia 27 tahun. Mengapa demikian? Sebab dari sejumlah 50 orang Guru Matematika tersebut, yang paling banyak adalah berusia 27 tahun.
2) Cara Mencari Modus untuk Data Kelompok
Untuk mencari Modus dari Data Kelompok, digunakan rumus sebagai berikut:
Usia (x) f31302928
Mo (27)26252423
4457
(12)= f maksimal8532
Total 50=N
Mo = L + (f a
f a+fb)Xi atau : Mo = u - (
fbf a+fb
)Xi
Mo = Modus
L = lower limit (Batas Bawah Nyata dari interval yang mengandung modus).
fa = frekuensi yang terletak di atas interval yang mengandung Modus.
fb = frekuensi yang terletak di bawah interval yang mengandung Modus.
u = upper limit (Batas Atas Nyata dari Interval yang mengandung Modus).
i = interval class (kelas interval)
Menurut Sudijono, Anas (2008:107).
Contoh : Nilai yang berhasil dicapai oleh 40 orang mahasiswa dalam mata kuliah Ilmu Perbandingan Agama adalah sebagai berikut:
TABEL 3.10. Nilai Hasil Ujian Semester Mata Kuliah Ilmu Perbandingan Agama dari 40 Orang Mahasiswa
Dari Tabel 3.10 dapat kita ketahui, interval nilai yang mengandung Modus adalah interval 60-64, karena interval nilai tersebutlah yang memiliki frekuensi paling banyak. Dengan diketahuinya interval yang mengandung Modus, maka berturut-turut dapat kita ketahui: lower limitnya (L) = 59,50; upper limitnya (u) = 64,50; fa = 5; dan fb = 5. Adapun i = 5.
Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus pertama dan rumus kedua, maka dengan mudah dapat kita ketahui Modus dari data tersebut:Rumus Pertama:
Interval Nilai : F85-8980-8475-7970-7465-69(60-64)55-5950-5445-4940-4435-39
22345----fa
(10) ---fmax
5----fb
4321
Total 40 = N
Mo = L + (f a
f a+fb)Xi = 59,50 + (
55+5 ) X 5 = 59,50 + 2,50 = 62
Rumus Kedua :
Mo = u - (fb
f a+fb)Xi = 64,50 - (
55+5)X 5 = 64,50 -
2510 = 64,50 – 2,50 = 62 (hasilnya
sama).
C. Penggunaan Modus
Mencari Modus kita lakukan apabila kita berhadapan dengan kenyataan sebagai berikut:
1) Kita ingin memperoleh nilai yang menunjukkan aturan rata-rata dalam waktu yang paling singkat.
2) Dalam mencari nilai yang menunjukkan ukuran rata-rata itu kita meniadakan faktor ketelitian, artinya: ukuran rata-rata itu kita kehendaki hanya bersifat kasar saja.
3) Dari data yang sedang kita teliti (kita cari Modusya) kita hanya ingin mengetahui ciri khasnya saja.
4. Saling Hubungan Antara Mean-Median dan Modus
Menurut Sudijono, Anas (2008:109), dalam keadaan khusus , yaitu dalam keadaan distribusi frekuensi data yang kita selidiki bersifat normal (simetris), maka akan kita temui keadaan sebagai berikut:
a. Mean=Median=Modus
b. Modus=3 Median – 2 Mean.
Perhatikanlah contoh berikut ini:
Interval Nilai
f X X’ Fx’ fkb fka
70-7465-6960-6455-5950-5445-4940-4435-3930-34
249101410942
72676257(52)M1
47423732
+ 4+ 3+ 2+ 10- 1- 2- 3- 4
+ 8+ 12+ 18+ 100+ 10+ 18+ 12+ 8
64 = N62584939251562
2615253949586264 = N
Total 64 = N - - 0 = - -
∑ fx '
Dengan memperhatikan distribusi frekuensi dari data yang disajikan di atas ini kita tahu bahhwa data tersebut di atas memiliki distribusi frekuensi yang bersifat simetris. Jika data tersebut kita hitung Mean, Median dan Modusnya, maka baik Mean, Median maupun Modus akan berada pada satu titik, dengan kata lain:
Mean = Median = Modus.
M = M’ + i (∑ fx 'N
) = 52 + (0
64 ) = 52 + 0 = 52
Mdn = L + (12
N−fk b
f i
) X i = 49,50 + (32−25
14 ) X 5 = 49,50 + 2,50 = 52
Mdn = u - (12
N−fk a
f i
) X i = 54,50 – (32−25
14 ) X 5 = 54,50 – 2,50 = 52
Mo = L + (f a
f a+fb)X i = 49,50 + (
1010−10 ) X 5 = 49,50 + 2,50 = 52
Mo = u - (fb
f a+fb)X i = 54,50 + (
1010+10 ) X 5 = 54,50 + 2,50 = 52
Modus = 3 Mdn – 2 M = (3 x 52) – (2 x 52) = 156 – 104 = 52
5. Kuartil, Desil, Persentil
Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak,
sesudah disusun menurut urutan nilainya , maka bilangan membaginya disebut
kuartil. Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil pertama, kuartil kedua, kuartil ketiga
yang masing-masing disingkat Q1 , Q2, dan Q3 . pemberian nama ini, dimulai dari
nilai kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah :
1. Susun data menurut urutannya
2. Tentukan letak kuartil
3. Menentukan nilai kuartil
Letak kuartil ke-i diberi lambing K1 , ditentukan oleh rumus :
Letak Ki= data ke i(n+1)
4
Dengan i=1,2,3
Contoh : sampel dengan data 75,82, 66,57, 64,56, 92,94, 86,52,60,70. Setelah
disusun menjadi 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94.
Letak K1= data ke 1(12+1)
4 = data ke 3
14 , yaitu antara data ke -3 dan data ke-4
Nilai K1= data ke-3 + 14 (data ke-4 – data ke-3)]
K1= 57 + 14 (60 – 57) = 57
34
Letak K3= data ke 3(12+1)4
= data ke 934
K3= data ke-9 + 34 (data ke-10 – data ke-9)
K3 =82 + 34 (86-82) =85
Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, Kuartil dihitung
dengan rumus :
Qi = b + p (¿4−F
f)
Dengan i = 1,2,3
Dengan b = batas bawah kelas Ki , ialah kelas interval dimana Ki terletak
P = panjang kelas Ki
F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki
F = frekuensi kelas Ki
Kembali pada hasil ujian 80 mahasiswa seperti dalam tabel di bawah ini , maka
untuk menentukan kuartil ketiga , 34 x 80 = 60 data . b = 80.5 ;p=10; f=20; F=48.
Dengan i=3 dan n=80 maka
K3 = 80.5 + 10(3 x 80
4−48
20)
K3 = 86.5
Tabel hasil ujian 80 mahasiswa
Nilai Ujian fi
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
1
2
5
15
25
20
12
Jumlah 80
Ini berarti ada 75% mahasiswa yang mendapat nilai ujian paling tinggi 86.5
sedangkan 25% lagi mendapat nilai paling rendah.
Jika kumpilan data itu dibagi menjadi 10 bagian yang sama maka didapat
Sembilan pembagi dan setiap pembagi dinamakan desil. Kerananya ada sembilan
buah desil, ialah desil pertama, desil kedua,…., desil kesembilan yang disingkat
dengan d1,, d2,…,d9 . desil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan :
1. Susun data menurut susunan nilainya
2. Tentukan letak desil
3. Tentukan nilai desil
Letak desilke-I diberi lambing di , ditentukan oleh rumus :
Letak d1 = data ke i(n+1)
10
Dengan i=1,2,…,9
Contoh : untuk data yang disusun dalam contoh terdahulu, ialah :
52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94, maka letak d7 = data ke 7(12+1)10
= data ke-
9,1
Nilai d7 = data ke-9 + (0,1) (data ke-10 – data ke-9)
d7 = 82 + (0,1)(86-82) = 82,4
untuk data dalam distribusi frekuensi
di = b + p (¿
10−F
f)
dengan i=1,2,…,9
dengan b = batas bawah kelas di , ialah kelas interval dimana di akan terletak
P = panjang kelas di
F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas di
F = frekuensi kelas di
Jika diminta d3 unuk 80 nilai ujian statistika, maka kita perlu 30% x 80 = 24 data.
b=60.5; p=10; f=15; F=8 .dengan i=3 dan n=80, maka didapat
d3 = 60.5 + 10(3 x 80
10−8
15)
d3 = 71,2
Jika sekumpulan data tersebut dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan
menghasilkan 99 pembagi yang dinamakan persentil yang dilambangkan dengan
P.
Letak Persentil Pi untuk sekumpulan data ditentukandengan rumus :
Pi = data ke i(n+1)
100
dengan i=1,2,…,99
sedangkan nilai Pi untuk data dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan :
Pi = b + p (¿
100−F
f)
dengan i=1,2,…,99
dengan b = batas bawah kelas Pi , ialah kelas interval dimana Pi terletak
P = panjang kelas Pi
F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi
f = frekuensi kelas Pi
D. PENUTUP
1. Kesimpulan
Salah-satu tugas statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah meyajikan
atau mendeskripsikan data angka yang telah dikumpulkan menjadi
gambaran yang jelas dan mudah dipahami.
Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika
menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi
frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung
banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan
lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk
itu diperlukan nilai yang dapat mewakili data yang terkumpul (dapat
menggambarkan tendensi lokasi himpunan data).
Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat. Yang
paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung (Arithmatic
mean),Median,Modus,Rata-rata tertimbang,rata-rata ukur,dan lain-
lain.
DAFTAR PUSTAKA
Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta :PT Raja Grafindo Persada
Sudjana. 2002.Metoda Statistika.Bandung : TARSITO
Harahap, B. dan ST. Negoro.1998. Ensiklopedia Matematika. Ghalia Indonesia
Dajan, Anto.1986. Pengantar Metode Statistik Jilid I. Jakarta :LP3ES