web viewagar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan...

59
DAFTAR ISI DAFTAR ISI.................................................... ....................................................... 1 A. PENDAHULUAN 1. Latar Belakang....................................... ............................................... .2 B. DASAR TEORI 1. Frekuensi...................................... ............................................... ...........3 2. Panjang Kelas Interval....................................... ....................................3 C. ISI DAN PEMBAHASAN 1. Pengertian Nilai Rata- rata........................................... ...........................4

Upload: trandiep

Post on 31-Jan-2018

233 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI...........................................................................................................1

A. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang.......................................................................................2

B. DASAR TEORI

1. Frekuensi................................................................................................3

2. Panjang Kelas Interval...........................................................................3

C. ISI DAN PEMBAHASAN

1. Pengertian Nilai Rata-rata......................................................................4

2. Ukuran Rata-rata dan Macamnya..........................................................5

2.1. Nilai Rata-rata

Hitung............................ ...................................6

2.2. Nilai Rata-rata Pertengahan

(Median).....................................17

2.3. Nilai Rata-rata

Ukur.................................................................26

2.4. Nilai Rata-rata

Harmonis.........................................................28

3. Modus.........................................................................................

.........30

4. Hubungan Antara Mean-Median dan

Modus......................................32

5. Quartil,Desil,Pers

entil.........................................................................33

D. PENUTUP

Page 2: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

a. Kesimpulan..........................................................................................38

DAFTAR PUSTAKA................................................................................39

A. PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika

menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi

frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung

banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan

lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk itu

diperlukan nilai yang dapat mewakili data yang terkumpul (dapat

menggambarkan tendensi lokasi himpunan data).

Data kuantitatif yang diperoleh dari lapangan, nilainya tidak selalu sama

melainkan bervariasi dari satu pengamatan ke pengamatan lainnya. Oleh

karena itu, perlu diketahui bahwa disekitar mana angka-angka itu

mempunyai kecenderungan untuk memusat pada nilai tertentu yang

disebebut nilai pusat. Nilai tersebut berupa nilai tunggal yang cukup

representatif bagi keseluruhan nilai dalam data bersangkutan. Disebut

nilai pusat karena pada umumnya berlokasi di bagian tengah atau pusat

dari suatu distribusi.Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran

nilai pusat. Yang paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung

(Arithmatic mean),Median,Modus,Rata-rata tertimbang,rata-rata

ukur,dan lain-lain.

Page 3: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

B. DASAR TEORI

1. Pengertian Frekuensi

Kata “frekuensi” yang dalam bahasa Inggrisnya adalah frequency berarti:

“kekerapan”,”keseringan”, atau“jarang-kerapnya”. Dalam statistik

”frekuensi” mengandung pengertian: Angka (bilangan) yang

menunjukkan seberapa kali suatu variabel (yang dilambangkan dengan

angka-angka itu) berulang dalam deretan angka tersebut;atua berapa

kalikah sutu variabel(yang dilambangkan dengan angka itu) muncul

dalam deretan angka tersebut.

2. Panjang Kelas Interval

Panjang Kelas adalah bilangan yang diperoleh dari jarak/selisih antara

ujung bawah dan ujung atas,dengan ujung bawahnya termasuk dihitung.

Cara menentukan panjang kelas interval antara lain :

a. Panjang kelas sebuah kelas interval diperoleh dari ujung bawah kelas

interval berikutnya dikurangi ujung bawah kelas interval yang

bersangkutan.

b. Panjang kelas sebuah kelas interval diperoleh dari batas bawah kelas

interval berikutnya dikurangi batas bawah kelas interval yang

bersangkutan.

Page 4: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

c. Panjang kelas sebuah kelas interval diperoleh dari ujung atas

dikurangi ujung bawah masing-masing untuk kelas interval yang

bersangkutan, dan hasilnya ditambah dengan dua kali ketelitian data

yang digunakan dalam menentukan batas bawah.

C. ISI DAN PEMBAHASAN

1. PENGERTIAN RATA-RATA

Rata-rata dalam statistik digunakan istilah MEAN. Mean dipakai untuk

membandingkan sampel-sampel yang sejenis (Ensklopedia Matematika :

415). Menurut Sudijono, Anas (2008:76), Istilah “rata-rata” dalam

kehidupan kita sehari-hari sebenarnya merupakan istilah yang acapkali

kita jumpai dan bahkan sering kita gunakan; karena itu istilah tersebut

kiranya bukan lagi merupakan istilah yang asing bagi kita.

Menurut Sudijono, Anas (2008:77), nilai Rata-rata dari sekumpulan data

yang berupa angka itu pada umumnya mempunyai kecenderungan untuk

berada disekitar titik pusat penyebaran data angka tersebut; karena itulah

Nilai Rata-rata atau Ukuran Rata-rata itu dikenal pula dengan nama

Ukuran Tendensi Pusat (Measure of Cental Tendency). Nilai Rata-rata

juga sering dikenal dengan istilah Ukuran Nilai Prtengahan (Measure of

Central Value), sebab Nilai Rata-rata itu pada umumnya merupakan nilai

pertengahan dari nilai-nilai yang ada. Selain itu, karena Nilai Rata-rata

itu biasanya berposisi pada sekitar sentral penyebaran nilai yang ada,

maka Nilai Rata-rata itu pun yang dikenal dengan nama Ukuran Posisi

Page 5: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Pertengahan (Measyre of Central Position). Dari uraian tersebut secara

singkat dapat dikemukakan bahwa apa yang dimaksud dengan Rata-rata

itu tidak lain adalah: Tiap bilangan yang dapat dipakai sebagai wakil dari

rentetan nilai rata-rata itu wujudnya hanyalah satu bilangan saja; namun

dengan satu bilangan itu akan dapat tercermin gambaran secara umum

mengenai kumpulan atau deretan bahan keterangan yang berupa angka

atau bilangan itu.

2. UKURAN RATA-RATA DAN MACAMNYA

Menurut Sudijono, Anas (2008:77), dalam statistik, Rata-rata itu

mempunyai beberapa bantuk atau macam; masing-masing dengan arti

yang berbeda. Berhubungan dengan itu, apabila dalam menganalisis data

statistic kita gunakan istilah “Rata-rata”, kita harus dapat menyatakan

dengan tegas dan jelas “Rata-rata” macam atau jenis manakah yang kita

maksudkan itu.

Menurut Sudijono, Anas (2008:78), adapun macam-macam “Rata-rata”

atau “Ukuran Rata-rata” yang dimiliki oleh statistik sebagai ilmu

pengetahuan ialah:

1. Rata-rata Hitung atau: Nilai Rata-rata Hitung (Arithmetic Mean, yang

seringkali disingkat dengan: Mean saja), yang umumnya

dilambangakan dengan huruf M atau X;

2. Rata-rata Pertengahan atau Nilai rata-rata Letak (medina tau Medium),

yang umumnya dilambangkan dengan: Mdn atau Me atau Mn;

3. Modus atau Mode, yang biasa dilambangakan dengan : Mo;

4. Rata-rata ukur atau Nilai rata-rata Ukur (Geometric Mean), yang biasa

dilambangkan dengan GM;

Page 6: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

5. Rata-rata Harmonik atau Nilai Rata-rata Harmonik (Harmonic Mean),

yang biasa dilambangkan dengan HM.

Dari kelima Ukuran Rata-rata seperti yang telah disebutkan di atas,

yang mempunyai relevansi dank arena itu sering dipergunakan sebagai

ukuran dalam dunia statistic Pendidikan adalah; Mean, Median, dan

Modus. Adapun Geometric Mean dan Harmonic Mean , dalam dunia

Statistik Pendidikan dipandang kurang memiliki relevansi dan

karenanya hamper tidak pernah digunakan. Berhubung dengan itu,

pembicaraan lebih lanjut alam buku ini akan lebih menitikberatkan

kepada tiga macam ukuran rata-rata tersebut.

Mengingat bahwa selain Median, yang dalam Statistik disamping dikena sebagai

Ukuran Rata-rata Pertengahan juga dikenal sebagai Ukuran Rata-rata Letak

terdapat pula ukuran lain yang dapat dimasukkan dalam kelompok Ukuran Rata-

rata Letak, yaitu: Quartile, Decile, dan Percentile, yang batasan atau

pengertiannya lebih lanjut akan dikemukakan dibelakang.

Oleh sebab itu, setelah selesai pembicaraan mengenai mean, Median dan Modus,

akan dilanjutkan dengan pembicaraan mengenai Quartile, Decile, dan Percentile,

sebab ketiga macam ukuran yang disebutkan terakhir ini, dlam dunia Statistik

Pendidikan, cukup memiliki kegunaan dan arti yang penting.

2.1. Nilai Rata-rata Hitung (Mean)

Menurut Sudijono, Anas (2008:79), seperti telah dikemukakan terdahulu, dalam

bahasa Inggris Nilai Rata-rata Hitung dikenal dengan istilah Arithmetic Mean,

atau sering disingkat dengan Mean saja.umtuk ringkas kata, dalam buku ini istilah

yang akan dipakai pada dasarnya adalah Mean.

Sebagai salah satu ukuran terdensi pusat, Mean dikenal sebagai ukuran yang

menduduki tempat terpenting jika dibandingkan dengan ukuran terdensi pusat

lainnya. Dalam kegiatan penelitian ilmiah yang menggunakan statistic sebagai

metode analisis data, Mean dapat dikatakan hamper selalu dipergunakan atau

Page 7: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

dihitung. Dalam kehidupan sehari-hari pun, dengan sadar atau tidak, sebenarnya

kebanyakan orang telah menggunakan sebagai salah satu ukuran. Apakah

sebenarnya yang dimaksud dengan Mean itu?

a. Pengertian Mean

Menurut Sudijono, Anas (2008:79), secara singkat pengertian tentang Mean dapat

dikemukakan sebagai berikut: Mean dari sekelompok (sederetan) angka

(bilangan) adalah jumlah dari keseluruhan angka (bilangan) yang ada, dibagi

dengan kebanyakan angka (bilangan) tersebut.

Untuk lebih jelasnya dapat dikemukakan contoh sebagai berikut: Misalnya

seorang Siswa Madrasah Aliyah memiliki nilai hasil ulangan dalam bidang studi

Matematika, Pendidikan Kewarganegaraan, Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris,

Ilmu Pengetahuan Sosial dan Ilmu Pengetahuan Alam berturut-turut: 8, 9, 7, 4, 6,

dan 5. Untuk memperolah Mean nilai hasil ulangan tersebut, keenam butir nilai

yang ada itu kita jumlahkan, lalun kita bagi dengan banyaknya nilai tersebut,

yaitu: (8 + 9 + 7 + 4 + 6 + 5) : 6 atau

8+9+7+4+6+56 = 6,50

Jika keenam bilangan tersebut kita lambangkan dengan X1, X2, X3, X 4, X5 dan X6,

sedangkan banyaknya nilai itu kita lambangkan dengan N, maka Mean dari

keenam butir nilai tersebut adalah :

M x = X1+X2+X3+ X4+X5+ X6

N

Apabila kita rumuskansecara umum, maka:

M x = X1+X2+X3+ X4+X5+ X6 ……… Xn

N

Atau dapat disingkat menjadi:

M x = ∑ XN

Page 8: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Inilah rumus umum atau rumus dasar untuk mencari atau menghitung Mean.

Sudijono, Anas (2008:76).

b. Cara Mencari Mean

Menurut Sudijono, Anas (2008:81), mencari Mean dapat dilakukan dengan

berbagai macam cara; tergantung dari data yang akan dicari Mean nya itu; apakah

Data Tunggal ataukah Data Kelompokkan.

1) Cara mencari Mean untuk Data Tunggal

Ada dua macam cara yang dapat digunakan untuk mencari Mean dari Data

Tunggal (data yang tidak dikelompokkan), yaitu: (1) Cara mencari Mean

dari Data Tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu, dan (2) Cara

Mencari Mean dari Data Tunggal di mana sebagian atau seluruh skornya

berfrekuensi lebih dari satu.

a) Cara Mencari Mean Data Tunggal, yang seluruh skornya berfrekuensi

satu

(1) Rumus yang digunakanRumus yang kita gunakan untuk mencari

Mean Data Tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi satu adlah

(seperti telah dicantumkan diatas) :

M x = ∑ XN

Keterangan : M x = Mean yang kita cari

∑ X = Jumlah dari skor-skor (nilai-nilai) yang ada

N = Number of Cases (Banyaknya skor-skor itu sendiri)

(2) Contoh

Page 9: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Jika nilai hasil ulangan seorang Siswa MAN tadi kita hitung Mean

nya dengan menggunkan Tabel Distribusi Frekuensi, maka proes

perhitungannya adalah sebagai berikut:

TABEL 3.1. Perhitungan Mean Nilai Hasil Ulangan Harian dalam Bidang Studi

Matematika, Pendidikan Kewarganegaraan, Bahasa Indonesia, Baha Inggris, IPS,

IPA Seorang Siswa Madrasah Aliyah Negeri.

Dari Tabel 3.1 telah kita peroleh: ∑ X = 39, sedangkan N = 6,

Dengan demikian:

M x = ∑ XN

= 396 = 6,50

b) Cara Mencari Mean Data Tunggal yang Sebagian atau Seluruh Skornya

Berfrekuensi Lebih dari Satu.

(1) Rumus yang digunakan

Karena Data Tunggal yang akan kita hitung Mean nya baik sebagian

atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu, maka rumus untuk

mencari Mean seperti yang telah dikemukakan diatas perlu

dimodifikasi, yaitu dengan jalan memasukkan atau mengikutsertakan

X f987654

111111

39 = ∑ X 6 = N

Page 10: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

frekuensi skor yang ada kedalam rumus. Dengan demikian rumus diatas

berubah menjadi :

M x = ∑ XN

keterangan : M x = Mean yang kita cari

∑ X = jumlah dari hasil perkalian antara masing-

masing skor dengan frekuensinya.

N = Number of Cases

Sudijono, Anas (2008:81).

(2) Contoh

Dalam Evaluasi Belajar Thap Akhir (EBTA) bidang studi Matematika,

yang diikuti 100 orang siswa kelas terakhir PGA Negeri, diperoleh

Nilai hasil EBTA sebagai mana tertera pada Tabel 3.2.

Dapat dilihat bahwa sebagian besar nilai hasil EBTA itu berfrekuensi

lebih dari satu. Untuk memperoleh Mean dari data semacam itu, tiap-

tiap skor atau nilai yang ada terlebih dahulu harus dikalikan dengan

frekuensinya masing-masing setelah itu dijumlahkan, dan akhirnya

dibagi dengan N. dengan demikian kita perlu menyiapkan tabel

perhitungannya.

TABEL 3.2. Nilai Hasil EBTA Bidang studi Matematika, dari Sejumlah

100 Orang Siswa Kelas Terakhir PGA Negeri

Nilai (X) Frekuensi (f)1098765432

124

2035221141

Total 100 = N

Page 11: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Yang terdiri dari tiga kolom. Pada kolom 1 kita muat nilai hasil EBTA

yang akan kita cari Mean nya, kolom 2 memuat frekuensi masing-masing

nilai hasil EBTA tersebut, sedangkan pada kolom 3 kita muat hasil

perkalian tiap-tiap skor (nilai) yang ada dengan frekuensinya masing-

masing. Perhatikan Tabel 3.3.

TABEL. 3.3. Tabel Perhitungn untuk Mencari Mean Nilai Hasil EBTA

Bidang Studi Matematika, yang diikuti oleh 100 Orang Siswa Kelas

Terakhir PGA Negeri

X f fX1098765432

124

2035221141

101832

14021011044122

Total 100 = N 578 = ∑ fX

Page 12: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Dari Tabel 3.3. telah berhasil kita peroleh: ∑ fX = 578, sedangkan N telah

kita ketahui = 100. Dengan demikian Mean dapat kita peroleh dengan

mudah, dengan menggunakan rumus: M x = ∑ XN

Maka: M x = ∑ XN

= 578100 = 5,780 atau 5,78

2) Cara Mencari Mean untuk Data Kelompokkan

Untuk Data Kelompokkan Mean dapat diperoeh dengan menggunakan dua

metode, yaitu Metode Panjang dan Metode Singkat.

a) Mencari Mean Data Kelompokkan dengan Menggunakan Metode

Panjang

Pada perhitungan Mean yang menggunakan metode panjang, semua

kelompokkan data (interval) yang ada terlebih dahulu dicari Nilai Tengah

atau Midpoint-Nya. Setelah itu, tiap Midpoint diperkalikan dengan

frekuensi yang dimiliki oleh masing-masing interval yang bersangkutan.

(1) Rumus yang digunakan

Rumua Mean dengan Metode Panjang adalah sebagai berikut:

M x = ∑ fXN

Keterangan : M x = Mean yang kita cari

∑ fX = Jumlah dari hasil perkalian antara

Midpoint dari masing-masing interval, dengan

frekuensinya.

N = Number of Cases

Sudijono, Anas (2008:85).

(2) Contoh

Page 13: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Dalam tes seleksi penerimaan siswa baru SMA swasta yang diikuti

800 orang calon, diperolehNilai Hasil Tes Bidang Studi

Matematikasebagai berikut(lihat Tabel 3.4).

Langkah yang harus ditempuh dalam mencari Mean dari data

kelompokkan dengan menggunakan Metode Panjang adalah:

a) Menetapkan (menghitung) Nilai Tengah (Midpoint) masing-

masing interval (Lihat 3 Tabel 3.5.), diberi lambing X.

b) Memperkalikan frekuensi masing-masing interval, dengan

Midpoint-nya, atau f dikalikan dengan X (Lihat kolom 4 Tabel

3.5), sehingga diperoleh fX.

c) Menjumlahkan fX, sehingga diperoleh fX.

d) Menghitung Mean nya dengan rumus:M x=∑ fX

N

TABEL 3.4. Nilai Hasil Tes Seleksi Bidang Studi Matematika dari sejumlah 800

orang calon yang mengikuti tes seleksi penerimaan calon siswa pada sebuah SMA

swasta

Interval Nilai f75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 34

81632

160240176884028

Total : 800 = N

Page 14: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

TABEL 3.5. Perhitungan Mean Data yang tertera Pada Tabel 3.4.

Dengan Menggunakan Metode Panjang

Interval Nilai f X fX75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 34

81632

160240176884028

77726762575247423732

616115221449920

136809152413616801184256

Total : 800 = N - 43920 = ∑ fX

Dari Tabel 3.5 telah kita peroleh ∑ fX = 43920, adapun N = 800. Dengan

demikian:

M x = ∑ fXN

= 43920

800 = 54,90

Seperti dapat kita amati dan rasakn, maka dalam proses perhitungan untuk

mencari Mean Data Kelompokkan dengan menggunakan Metode Panjang,

kita bekerja dengan bilangan yang cukup besar. Karena itu jika dalam

perhitungan kita tidak dibantu oleh mesin hitung atau kalkulator, amak di

samping sangat diperlukan ketelitian, risiko kesalahan yang kita hadapipun

cukup besar. Itulah sebabnya para ahli statistic mengemukakan cara lain

yang lebih praktis, dalam arti: perhitungan dapat dilakukan dengan lebih

cepat dan mudah, dengan risiko kesalahan yang kecil.

b) Mencari Mean data Kelompokkan dengan Menggunakan Metode

Singkat

Page 15: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

(1) Rumus yang digunakan

Jika dalam penghitungan mean digunakan metode, maka rumus

yang digunakan adalah sebagai berikut:

M x = M '+i(∑ f x '

N)

M x = Mean

M ' = Mean Terkaan atau Mean Taksiran

i = interval class (besar/luas pengelompokkan data)

∑ f x' = jumlah dari hasil perkalian antara titik tengah

buatan sendiri dengan frekuensi dari masing-

masing interval

N = Number of Cases

Sudijono, Anas (2008:88).

(2) Contoh

Jika mialnya data yang disajiakan pada Tabel Tabel 3.4. kita cari Mean nya

dengan menggunakan Metode Singkat, makan proses perhitungan dan

langkah perhitungannya adalah (lihat Tabel 3.6)

Langkah 1: Mencari Mean Terkaan Sendiri atau Mean Taksiran Sendiri

(yaitu M '). Dalam menetapkan M ' dapat kita tempu cara:

(a) Memilih satu Midpoint di antara Midpoint yang ada dalam tabel

Distribusi Frekuensi, yaitu Midpoint dari interval niali yang memiliki

frekuensi tertinggi (terbesar). Seperti dapat kita lihat pada Tabel 3.6,

interval nilai yang memiliki frekuensi tertinggi adalah interval 55 – 59

degan frekuensi = 240. Dengan demikian, Midpoint yang kita pilih

sebagai Mean Terkaan (M ') dalah 57

Page 16: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

TABEL 3.6. perhitungan Mean Data yang Disajikan Pada Tabel 3.4.

dengan menggunakan Metode Singkat

Interval Nilai F X x ' fx '

75 – 7970 – 7465 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 4940 – 4435 – 3930 – 34

81632

160240176884028

77726762575247423732

+ 4+ 3+ 2+ 1012345

+ 32+ 48+ 64

+ 1600

17617612012840

800 = N - - - 336 = ∑ fX '

(b) Cara lain ialah, dengan memilih satu diantara midpoint yang adapada

tabel distribusi frekuensi, yang terletak di tengah-tengah deretan

ingterval nilai dalam tabel ditribusi frejuensi tersebut. Karena

banyaknya deretan ingterval dalam Tabel 3.6 itu ada 12 baris, maka

mispoint yang dapat kita pilih sebagai mean Terkaan adalah midpoint

nomor ke (12 : 2, atau no ke-6 , baik nomor ke-6 dari bawah atau

nomor ke-6 dari atas. Jika yang kita pilih badalah midpoint nomor ke-

6 dari bawah, maka Mean Terkaan kita adalah = 57. Apabila yang kita

sebagai Mean terkaaan adalah midpoint nomor ke-6 dari tas, maka

Mean Terkaan kita itu adalah 52.

Dalam contoh diatas, kita telah menetapkan M = 57.

Langkah II : Menetapkan x’ (titik tengah buatan kita sendiri).

Caranya adalah sebagai berikut :disebelah kanan M’ yang telah kita

pilih atau kita tetapkan itu (lihat kolom 3 tabel 3.6), kita cantumkan

angka nol. selanjutnya secara berturut-turut diatas nol kita tukiskan :

+1 , +2 , +3 , dan +4; sedangkan dibawah nol secara berturut-turut kita

tuliskan : -1 , -2 , -3 , -4 , dan -5.

Page 17: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Langkah III : Memperkalikan frekuensi dari masing-masing interval,

dengan x’ ( jadi f dikalikan dengan x’ = fx’) seperti dapat dilihat pada

kolom 5 tabel 3.6. setelah perkalian dapat diselesaikan, lalu

dijumlahkan. dalam tabel 3.6 kita peroleh ∑ fx’ = -336.

Langkah IV : Menghitung Mean-nya, dengan menggunakan rumus

M x=M '+i(∑ f x '

N)

Mx = Mean

M’ = Mean Terkaan atau Mean Taksiran

i = Kelas Interval

∑ fx’ = Jumlah pekalian antara titik tengah dan frekuensi

N = Number of Cases

Sudijono, Anas (2008:90).

Karena M’, i, fx’, dan N telah kita ketahui (yaitu M’ = 57, i = 5, ∑

fx’ = -336, dan N = 800), maka dengan mensubsitusikannya ke

dalam rumus di atas, dapat kita peroleh Mean-nya:

M x=57+5(−336800

)

¿57−1680800

=54,90

Dengan rumus atau metode singkat ternyata Mean yang kita peroleh

adalah persis sama dengan Mean yang kita peroleh dengan menggunakan

metode panjang, yaitu: M = 54,90.

Dapat kita amati dan kita rasakan bahwa dengan menggunakan metode

singkat, perhitungan dapat berjalan dengan cepat, resiko kesalahan hitung

dapat ditekan seminimal mungkin (sebab di sini kita tidak berhadapan

dengan bilangan yang besar), sedangkan hasilnya sama persis.

c. Penggunaan Mean

Page 18: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Menurut Sudijono, Anas (2008:91), sebagai salah satu Ukuran Rata-rata,

Mean kita gunakan apabila kita berhadapan dengan kenyataan seperti

dikemukakan berikut ini :

1) Bahwa data statistik yang kita hadapi merupakan data yang distribusi

frekuensinya bersifat normal atau simetris; setidak-tidaknya mendekati

normal. Jadi, apabila data ststistik yang kita hadapi bersifat asimetris,

maka untuk mencari Nilai Rata-rata data yang demikian itu hendaknya

jangan menggunakan Mean, sebab Nilai Rata-rata yang diperoleh

nantinya akan jauh menyimpang dedari kenyataan yang sebenarnya.

2) Bahwa dalam kegiatan analisis data, kita menghendaki kadar

kemantapan atau kadar kepercayaan setinggi mungkin. seperti dapat

kita amati pada perhitungan Mean yang telah dikemukakan contohnya,

maka Mean yang kita peroleh adalah hasil dari perhitungan yang

dilakukan terhadap semua angka, tanpa kecuali; karena itu, sebagai

ukuran rata-rata, Mean cukup dapat diandalkan, atau memilik

reliabilitas yang tinggi.

3) Bahwa dalam menganalisis data selanjutnya, terhadap dat yang sedang

kita hadapi atau kita teliti itu, akan kita kenai ukuran-ukuran statistik

selain Mean, misalnya: deviasi rata-rata, deviasi standar, korelasi dan

sebagainya, seperti akan dikemukakan dalam pembicaraan pada bab-

bab berikutnya nanti.

2.2. Nilai Rata-rata Pertengahan (Median)

Ukuran rata-rata kedua yang akan kita pelajari adalah Median, yang-

seperti telah dikemukakan dalam pembicaraan terdahulu-sering dikenal

dengan istilah: Nilai Rata-rata Pertengahan atau Nilai Rata-rata Letak, atau

Nilai Posisi Tengah, yang biasa diberi lambang: Mdn, Me atau Mn. Dalam

pembicaraan selanjutnya akan digunakan lambang: Mdn.

Page 19: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

a. Pengertian Nilai Rata-rata Pertengahan (Median)

Menurut Sudijono, Anas (2008:93), yang dimaksud dengan Nilai

Rata-rata Pertengahan atau Median adalah suatu nilai atau suatu

angka yang membagi suatu distribusi data ke dalam dua bagian yang

sama besar. Dengan kata lain, Nilai Rata-rata Pertengahan atau

Median adalah nilai atau angka yang di atas nilai atau angka tersebut

terdapat 1/2N dan dibawahnya juga terdapat 1/2N. Itulah sebabnya

Nilai Rata-rata ini dikenal sebagai Nilai Pertengahan atau Nilai Posisi

Tengah, yaitu nilai yang menunjukkan pertengahan dari suatu

distribusi data.

b. Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan

Ada beberapa cara untuk mencari Nilai Rata-rata Pertengahan,

seperti dapat diikuti pada uraian berikut ini.

1) Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal

Dalam mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk data tunggal ini

ada dua kemungkinan yang kiata hadapi. Kemungkinan pertama

ialah dat tunggal itu seluruh skornya berfrekuensi 1; sedangkan

kemungkinan kedua, bahwa data tunggal yang akan kita cari Nilai

Rata-rata Pertengahannya itu sebagian atau seluruh skornya

berfrekunsi lebih dari 1.

a) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan Data Tunggal yang Seluruh

Skornya Berfrekuensi 1

Disini pun kita berhadapan dengan dua kemungkinan, yaitu: (1)

data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1, number of cases-

nya merupakan bilangan gasal (ganjil), dan (2) data tunggal yang

seluruh skornya berfrekuensi itu, number of cases-nya merupakan

bilangan genap ( bukan bilangan gasal).

Page 20: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

(i) Mencari nilai rata-rata pertengahan untuk data tunggal yang seluruh

skornya berfrekuensi 1 dan number of caess-nya berupa bilangan

gasal.

Untuk data tunggal yang seluruh skornya berfrekuensi 1 dan number

of cases-nya bilangan gasal (yaitu: M = 2m + 1 ), maka median data

yang demikian itu terletak pada bilngan yang ke (n+1).

contoh : 9 orang mahasiswa menempuh ujian lisan dala mata kuliah

teknik evaluasi pendidikan. Niali mereka adalah sebagai berikut: 65

75 60 70 55 50 80 40 30. Untuk mengetahui nilai berapakah yang

merupakan Nilai Rata-rata Pertengahan atau Median dari kumpulan

nilai hasil ujian tersebut, pertama-tama deretan itu kita atur mulai

dari nilai terendah sampai nilai tertinggi:

30 40 50 55 60 65 70 75 80

kita lihat dalam deretan nilai di atas, bilangan ke-1 adalah 30,

bilangan ke-2 = 40, bilangan ke-3 = 50, bilangan ke-4 = 55, bilangan

ke-5 = 60, bilangan ke-6 = 65, bilangan ke-7 = 70, bilangan ke-8 =

75 dan bilangan ke-9 = 80. Karena N = 9, sedang rumus bilangan

gasal adalah: N = 2n +1, maka 9 = 2n + 1

9 = 2n + 1

9 – 1 = 2n

n = 4

dengan demikian nilai yang merupakan nilai rata-rata pertengahan

atau median dari nilai hasil ujian lisan tersebut adalah nilai

( bilangan) yang ke- ( 4 + 1 ) atau bilangan ke-5, yaitu nilai 60.

(ii) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal yang

seluruh skor-nya berfrekuensi 1, dan Number of Cases-nya berupa

bilangan genap

Untuk data tunggal dan seluruh skornya berfrekuensi 1 dan Number

of Cases-nya merupakan bilangan genap (yaitu: N=2n), maka

Page 21: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan data yang demikian itu

terletak antara bilangan yang ke-n dan ke-(n+1).

Contoh : tinggi badan 10 orang calon yang mengikuti tes seleksi

penerimaan calon penerbang, menunjukkan angka sebagai berikut:

168 162 169 170 164 167 161 166 163 dan 165 cm.

cara mencari Nilai Rata-rata Pertengahan atau Mediannya sama

seperti telah dikemukakan di atas, yaitu pertama-tama deretan angka

itu terlebih dahulu kita atur berderet, mulai dari nilai terendah

sampai nilai tertinggi.

1611

1622

1633

1644

1655

1666

1677

1688

1699

17010

Karena N = 10 (merupakan bilangan bulat), sedang rumus untuk

bilangan bulat adalah : N = 2n, maka : 10 = 2n , n = 5

Jadi Median atau Nilai Rata-rata Pertengahan dari tinggi badan 10

orang peserta tes seleksi Calon Penerbang itu terletak antara bilangan

ke-5 dann ke (5+1), atau antara bilaangan ke-5 dan ke-6. Dalam

deretan angka-angka di atas, bilangan ke-5 adalah 165, sedang

bilangan ke-6 adalah 166.

Jadi Mdn = 165+166

2 = 165,50

Jika kedua data yang telah dijadikan contoh di atas kita tuangkan

dalam bentuk Tabel Distribusi Frekuensi dan kemudian kita cari

mediannya, lkeadaannya adalah sebagai berikut:

Median Nilai Hasil Ujian Lisan dari 9 orang mahasiswa

Bil. ke-9Bil. ke-8Bil. ke-7Bil. ke-6MedianBil. ke-4Bil. ke-3Bil. ke-2

Bil. ke-1

X F80 175 170 165 160 155 150 140 130 1

Total 9 = N

Page 22: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Median Tinggi Badan 10 orang calon yang mengikuti Tes Calon Penerbang

Bil. ke-10Bil. ke- 9Bil. ke- 8Bil. ke- 7Bil. ke- 6

Bil. ke- 5Bil. ke- 4Bil. ke- 3Bil. ke- 2

Bil. ke- 1 Mdn = 165+166

2 = 165,50

b) Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Tunggal

yang sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu

Apabila Data Tunggal yang akan kita cari Nilai Rata-rata Pertengahan atau Mediannya, sebagian atau seluruh skornya berfrekuensi lebih dari satu, sebaiknya kita tidak menggunakan cara seperti yang telah dikemukakan di atas, melainkan kita gunakan rumus sebagai berikut :

Mdn = L + (12

N−fk b

f i

) atau : Mdn = u - (12

N−fk a

f i

)

Mdn = Median

L = lower limit (Batas Bawah Nyata dari skor yang mengandung Median)

fkb = frekuensi kumuulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung median.

fi = frekuensi asli (frekuensi dari skor yang mengandung median).

N = Number of Cases

X F170 1169 1168 1167 1166 1

165 1164 1163 1162 1

161 1Total 10 = N

Page 23: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

u = Upper limit (batas atas nyata dari skor yang mengandung median).

fka = frekkuensi kumulatif yang terletak di atas skor yang mengandung median.

Sudijono, Anas (2008:97).

Contoh : skor berikut ini menunjukkan usia 50 orang guru agama islam yang bertugas pada sekolah dasar negri di suatu kecamatan

26 28 27 24 31 27 25 28 26 30

29 27 26 30 25 23 31 28 26 27

31 24 27 29 27 30 28 26 29 25

23 29 27 26 28 25 27 28 30 25

24 29 31 27 26 28 27 26 27 27

Untuk mencari median dari data semacam ini, terlebih dahulu kita siapkan tabel Distribusi Frekuensinya, terdiri dari 5 kolom. Kolom 1 : skor usia, kolom 2 : tanda atau jari, kolom 3 : frekuensi, kolom 4 : frekuensi kumulatif yang dihitung dari bawah, dan kolom 5 : frekuensi kumulatif yang dihitung dari atas.

Setelah tabel Distribusi Frekuensinya kita selesaikan pembuatanya, maka langkah berikutnya secara berturut-turut adalah:

1. Pertama-tama data kita bagi menjadi 2 bagian yang sama besar, yaitu masing-masing sebesar 1/2N; pada pertengahan distribusi data itulah terletak median yang kita cari

Karena N = 50 maka 1/2N = 25 (25 orang guru agama islam). Perhatian kita arahkan pada kolom 4 Tabel 3.7. Titik pertengahan data sebesar 25 itu terkandung pada frekuensi kumulatif 30. dengan demikian kita dapat mengatakan bahwa nilai pertengahan usia guru agama islam itu terletak pada skor 27, atau skor yang mengandung median adalah skor 27.

2. Karena skor yang mengandung median adalah skor 27, maka dengan mudah dan cepat dapat kita ketahui:

a. lower limitnya, yaitu : 27-0,50 = 26,50; jadi L = 26,50

Page 24: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

b. frekuensi aslinya ( fi) =12

c. frekuensi kumulatif yang terletak di bawah skor yang mengandung median (fkb) yaitu = 18

3. dengan diketahui L , fi, dan fkb maka dengan mensubstitusikannya ke dalam rumus pertama, dapat kita peroleh mediannya:

Mdn = L + (12

N−fk b

f i

) = 26,50 + (25−18

12 ) = 26,50 + 712 = 26,50 + 0,583 =

27,083 (dapat dibulatkan menjadi : 27).

Tabel 3.7. Distribusi Frekuensi untuk Mencari Median (Nilai Rata-rata Pertengahan) Usia dari Sejumlah 50 orang Guru Agama Islam

Nilai (X) Tanda/ Jari-jari

F fkb Fka

313029282726252423

////////////////// /////// ///// /////// /////////////

4457128532

50 =N46423730181052

4813203240454850 = N

Total 50 = N - -

Selanjutnya kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari Median dari data di atas. Perhatian kita arahkan kepada kolom 5 Tabel 3.7.

1. titik pertengahan data terletak pada 1/2N yaitu 1/2 x 50 = 25. Dalam frekuensi kumulatif yang dihitung dari atas (fka), titik pertengahan data sebesar 25 itu terkandung pada fkb sebesar 32. Dengan demikian dapat kita ketahui skor yang mengandung median, yaitu skor 27.

2. Karena skor yang mengandung Median adalah 27, maka dengan mudah dapat kita ketahui:

a. batas atas nyata dari skor yang mengandung median yaitu: 27 + 0,50 = 27,50; atau : u = 27,50.

Page 25: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

b. frekuensi kumulatif yang terletak di atas skor yang mengandung median (fka) adalah 20; jadi fka = 20.

c. frekuensi aslinya, atau frekuensi dari skor yang mengandung median adalah = 12; jadi fi = 12.

3. Dengan diketahuinya: u, fi, dan fkb, maka dengan mensubstitusikannya ke dalam rumus kedua, dapat diperoleh mediannya:

Mdn = u - (12

N−fk a

f i

) = 27,50 - (25−20

12 ) = 27,50 + 512 = 27,50 - 0,147 =

27,083 (dapat dibulatkan menjadi : 27).

2) Cara Mencari Nilai Rata-rata Pertengahan untuk Data Kelompokan.

cara menghitung dan jalan pikiran yang ditempuh untuk menghitung atau mencari Nilai Rata-rata Pertengahan dari data kelompokkan adalah sama saja dengan apa yang telah dikemukakan di atas. Letak perbedaannya adalah, jika pada data tunggal kita tidak perlu memperhitungkan interval class (i), sedangkan pada data kelompokan kelas interval (i), itu harus ikut diperhitungkan, sehingga rumus di atas tadi berubah menjadi:

Mdn = L + (12

N−fk b

f i

) Xi dan Mdn = u - (12

N−fk a

f i

) Xi

Contoh: Misalkan 100 orang Siswa Madrasah Tsanawiyah menempuh EBTA dalam bidang studi bahasa arab. Distribusi frekuensi Nilai mereka adalah sebagai mana tertera pada tabel 3.8 kolom 1dan 2.

Tabel 3.8. Tabel Perhitungan untuk Mencari Median Nilai Hasil EBTA dalam Bahasa Arab yang Diikuti oleh 100 Orang Siswa Madrasah Tsanawiyah

Interval Nilai:

f Fkb Fka

65 – 6960 – 6455 – 5950 – 5445 – 49 40 – 4435 – 3930 – 3425 – 29

6242515106543

100 = N94704530201495

63055708086919598

Page 26: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

20 – 24 2 2 100 = NTotal 100 = N - -

(a) Perhitungan Media Data Kelompokan dengan Rumus Pertama.

diketahui : N = 100 , 1/2N = 50

kelas median 55-59

L = 54,50

fi = 25

fkb = 45

Mdn = L + (12

N−fk b

f i

) X i = 54,50 + (50−45

25 ) x 5 = 54,50 + 5

25 x 5 = 54,50 + 1

= 55,50

(b) Perhitungan Median untuk Data Kelompokan dengan Rumus Kedua.

diketahui : N = 100, 1/2N = 50

kelas median 55-59

u = 59,50

fi = 25

fka = 30

i = 5

Mdn = u - (12

N−fk a

f i

) X i = 59,50 – (50−30

25 ) x 5 = 59,50 - 10025 = 59,50 – 4 =

55,50 (hasilnya sama)

c. Penggunaan Nilai Rata-rata Pertengahan (Median)

Page 27: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Menurut Sudijono, Anas (2008:85), nilai Rata-rata Pertengahan atau Median kita

cari atau kita hitung, apabila kita berhadapan dengan kenyataan seperti disebutkan

berikut ini:

1) Kita tidak memiliki waktu yang cukup luas atau longgar untuk menghitung Nilai Rata-rata Hitung (Mean)-nya.

2) Kita tidak ingin memperoleh nilai rata-rata dengan tingkat ketelitian yang tinggi, melainkan hanya sekedar mengetahui skor atau nilai yang merupakan nilai pertengahan dari data yang sedang kita teliti.

3) Distribusi frekuensi data yang sedang kita hadapi bersifat asimetris (tidak normal).

4) Data yang sedang kita teliti tidak akan dianalisis secara lebih dalam lagi dengan menggunakan ukuran statistik lainnya.

2.3 Nilai Rata-rata Ukur

Menurut Sudjana (2002:72), Jika perbandingan tiap dua data berurutan

tetap atau hanya tetap, rata-rata ukur lebih baik dipakai daripada rata-rata

hitung apabila dikehendaki rata-ratanya. Untuk data bernilai x1, x2, … ,

xn maka rata-rata ukur U didefinisi sebagai

IV (6) . . . . . . .

Yaitu akar pangkat n dari produk (x1 . x2 . x3 …. Xn). Contoh rata-rata

ukuruntuku data x1 = 2, x2 = 4, x3 = 8 adalah

U = 3√2 x 4 x 8 = 4

Untuk bilangan-bilangan bernilai besar, lebih baik digunakan

logaritma.Rumus IV (6) menjadi

IV (7) . . . . . . .

U=n√x 1. x2 . x3 … xn

log U=∑ log xi

n

Page 28: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Yakni logaritma rata-rata ukur U sama dengan jumlah logaritma tiap data

dibagi oleh banyak data. Rata-rata ukur U akan didapat dengan jalan

mencari kembali logaritmanya.

Contoh : sekedar menunjukkan penggunaan Rumus IV (7), kita ambil x1 =

2, x2 = 4, dan x3 = 8.

Maka log 2 = 0,3010; log 4 = 0,6021 dan log 8 = 0,9031.

Log U = log 2+ log 4+ log 8

3

Log U = 0,3010+0,6021+0,9031

3 = 0,6021

Sehingga,setelah dicari kembali dari daftar logaritma, rata-rata ukur U= 4

Untuk fenomena yang bersifat tumbuh dengan syarat-syarat tertentu,

seperti pertumbuhan penduduk, bakteri dan lain-lain, sering digunakan

rumus yang mirip rata-rata ukur ialah

IV (8). . . . . . . . . . Pt=P0(1+ X100 )

t

dengan P0 = keadaan awal atau perubahan

Pt = keadaan akhir

X = rata-rata pertumbuhan setiap satuan waktu

t = satuan waktu yang digunakan

contoh : penduduk Indonesia pada akhir tahun 1946 ada 60 juta

sedangkan akhir tahun 1956 mencapai 78 juta. Untuk menentukan rata-rata

pertumbuhan penduduk tiap tahun kita pakai rumus IV(8) dengan t = 10,

P0 = 60 dan Pt = 78.

Page 29: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Maka didapat 78=60¿

Atau log 78 = log 60 + 10 log(1 + x

100 )

Atau 1,8921 = 1,7782 + (10) log (1 + x

100 )

Menghasilkan (1 + x

100 ) = 1,0267 x = 2,67

Laju rata-rata pertumbuhan = 2,67% tiap tahun

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi si rata-rata

ukurnya dihitung dengan rumus :

IV (9) . . . . . . . . . . . . . .

Dengan xi seperti biasa menyatakan tanda kelas, fi = frekuensi yang sesuai

dengan xi dan harga rata-rata ukur U dicari kembali dari log U.

Contoh : Untuk data dalam Daftar III(1) tentang nilai ujian 80 mahasiswa,

kita bentuk tabel berikut.

NILAI UJIAN Fi Xi Log xi Fi log xi(1) (2) (3) (4) (5)31-4041-5051-6061-7071-8081-9091-100

12515252012

35,545,555,565,575,585,595,5

1,55021,65801,74431,81621,87791,93201,9800

1,55023,31608,721527,243046,947538,640023,7600

Jumlah 80 - - 150,1782

Log U = ∑ ¿¿¿

Page 30: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Kolom (3) adalah tanda kelas, kolom (4) merupakan logaritma dari kolom

(3) dan kolom (5) menyatakan hasil kali antara kolom (2) dan kolom (4).

Didapat ∑ ( fi log xi )=150,1782 dan ∑ fi=80

Log U = 150,1782

80 = 1,8772

Yang menghasilkan U = 75,37.

Nilai ujian itu mempunyai rata-rata ukur 75,37.

2.4 Nilai Rata-rata Harmonis

1. Rata-rata harmonis sederhana

Menurut Dajan, Anto (1986:158), Bila distribusi memiliki nilai-nilai

observasi yang positif X1, X2, …., X n sejumlah n, rata-rata harmonis

serangkaian nilai-nilai observasinya diatas ialah n dibagi dengan hasil

penjumlahan dari seluruh 1X i

dan dapat dirumuskan sebagai :

rh=n

∑i=1

n 1X i

Rata-rata harmonis diatas sebetulnya juga digunakan bagi pengrata-rataan

rasio dalam arti yang khusus. Nilai pertukaran umumnya merupakan rasio

yang dapat dinyatakan sebagai X/Y atau Y/X. Contoh, bila 3 buah buku

dapat ditukar dengan Rp 9000,-, maka kita dapat menganggap harga buku

sebagai 9.000/3 per buah atau 3/9.000 buah per rupiah. Bila kita

menganggap unit penyebut rasio diatas tetap sedangkan pembilangnya

dapat bervariasi, maka rata-rata hitung merupakan pengukuran rata-rata

yang tepat. Sebaliknya, bila kita menganggap unit pembilangnya tetap

sedangkan penyebutnya dapat bervariasi, maka penggunaan rata-rata

harmonis akan lebih tepat. Secara teoritis, pengrata-rataan rasio r i=X i /Y i

dimana i = 1, 2, …, k sedangkan rata-ratanya ialah

Page 31: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

∑i=1

k

X i / ∑i=1

k

Y i dapat di rumuskan dalam 2 cara

Bila unit Y dianggap tetap dan perumusan r i diatas dapat ditulis dengan

menggunakan penyebut Y i=v , maka X i=v Y i=r i v. Alhasil rasio rata-rata

hitung menjadi

∑i=1

k

X i

∑i=1

k

Y i

=v∑

i=1

k

r i

kv

¿∑i=1

k

ri

k=r

Sebaliknya, bila kita anggap unit X yang tetap, Y i=X i /r i dan semua X i

adalah sama dengan X i=u, maka rata-rata harmonis rasionya menjadi

∑i=1

k

X i

∑i=1

k

Y i

= ku

u∑i=1

k 1ri

¿ k

∑i=1

k 1r i

2. Rata-rata harmonis tertimbang

Rata-rata harmonis yang tertimbang dapat dirumuskan sebagai

rh=w1+w2+…+wn

w1( 1X1 )+…+wn(

1Xn

)

atau

rh=∑i=1

n

wi

∑i=1

n

wi1X i

Dimana w i=¿ timbangan

Page 32: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

3. Modus (Mode)

a. Pengertian Modus

Menurut Sudijono, Anas (2008:105), modus umunya dilambangkan dengan Mo.

Modus tidak lain adalah suatu skor atau nilai yang mempunyai frekuensi paling

banyak; dengan kata lain, skor atau nilai yang memiliki frekuensi maksimal dalam

distribusi data.

b. Cara Mencari Modus

1) Cara Mencari Modus untuk Data Tunggal

Mencari modus untuk data tunggal dapat dilakukan dengan mudah dan cepat; yaitu hanya dengan memeriksa (mencari) mana di antara skor yang ada, yang memiliki frekuensi terbanyak. Skor atau nilai yang memiliki frekuensi terbanyak itulah yang kita sebut Modus.

Contoh: Misalkan data tentang data 50 orang Guru Matematika yang tercantum pada tabel 3.7 dapat kita cari Modusnya sebagai berikut:

Tabel3.9. Tabel Distribusi Frekuensi untuk Mencari Modus dari Data yang Tertera Pada Tabel 3.7.

Modus untuk data di atas adalah usia 27 tahun. Mengapa demikian? Sebab dari sejumlah 50 orang Guru Matematika tersebut, yang paling banyak adalah berusia 27 tahun.

2) Cara Mencari Modus untuk Data Kelompok

Untuk mencari Modus dari Data Kelompok, digunakan rumus sebagai berikut:

Usia (x) f31302928

Mo (27)26252423

4457

(12)= f maksimal8532

Total 50=N

Page 33: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Mo = L + (f a

f a+fb)Xi atau : Mo = u - (

fbf a+fb

)Xi

Mo = Modus

L = lower limit (Batas Bawah Nyata dari interval yang mengandung modus).

fa = frekuensi yang terletak di atas interval yang mengandung Modus.

fb = frekuensi yang terletak di bawah interval yang mengandung Modus.

u = upper limit (Batas Atas Nyata dari Interval yang mengandung Modus).

i = interval class (kelas interval)

Menurut Sudijono, Anas (2008:107).

Contoh : Nilai yang berhasil dicapai oleh 40 orang mahasiswa dalam mata kuliah Ilmu Perbandingan Agama adalah sebagai berikut:

TABEL 3.10. Nilai Hasil Ujian Semester Mata Kuliah Ilmu Perbandingan Agama dari 40 Orang Mahasiswa

Dari Tabel 3.10 dapat kita ketahui, interval nilai yang mengandung Modus adalah interval 60-64, karena interval nilai tersebutlah yang memiliki frekuensi paling banyak. Dengan diketahuinya interval yang mengandung Modus, maka berturut-turut dapat kita ketahui: lower limitnya (L) = 59,50; upper limitnya (u) = 64,50; fa = 5; dan fb = 5. Adapun i = 5.

Dengan mensubstitusikan ke dalam rumus pertama dan rumus kedua, maka dengan mudah dapat kita ketahui Modus dari data tersebut:Rumus Pertama:

Interval Nilai : F85-8980-8475-7970-7465-69(60-64)55-5950-5445-4940-4435-39

22345----fa

(10) ---fmax

5----fb

4321

Total 40 = N

Page 34: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

Mo = L + (f a

f a+fb)Xi = 59,50 + (

55+5 ) X 5 = 59,50 + 2,50 = 62

Rumus Kedua :

Mo = u - (fb

f a+fb)Xi = 64,50 - (

55+5)X 5 = 64,50 -

2510 = 64,50 – 2,50 = 62 (hasilnya

sama).

C. Penggunaan Modus

Mencari Modus kita lakukan apabila kita berhadapan dengan kenyataan sebagai berikut:

1) Kita ingin memperoleh nilai yang menunjukkan aturan rata-rata dalam waktu yang paling singkat.

2) Dalam mencari nilai yang menunjukkan ukuran rata-rata itu kita meniadakan faktor ketelitian, artinya: ukuran rata-rata itu kita kehendaki hanya bersifat kasar saja.

3) Dari data yang sedang kita teliti (kita cari Modusya) kita hanya ingin mengetahui ciri khasnya saja.

4. Saling Hubungan Antara Mean-Median dan Modus

Menurut Sudijono, Anas (2008:109), dalam keadaan khusus , yaitu dalam keadaan distribusi frekuensi data yang kita selidiki bersifat normal (simetris), maka akan kita temui keadaan sebagai berikut:

a. Mean=Median=Modus

b. Modus=3 Median – 2 Mean.

Perhatikanlah contoh berikut ini:

Interval Nilai

f X X’ Fx’ fkb fka

70-7465-6960-6455-5950-5445-4940-4435-3930-34

249101410942

72676257(52)M1

47423732

+ 4+ 3+ 2+ 10- 1- 2- 3- 4

+ 8+ 12+ 18+ 100+ 10+ 18+ 12+ 8

64 = N62584939251562

2615253949586264 = N

Total 64 = N - - 0 = - -

Page 35: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

∑ fx '

Dengan memperhatikan distribusi frekuensi dari data yang disajikan di atas ini kita tahu bahhwa data tersebut di atas memiliki distribusi frekuensi yang bersifat simetris. Jika data tersebut kita hitung Mean, Median dan Modusnya, maka baik Mean, Median maupun Modus akan berada pada satu titik, dengan kata lain:

Mean = Median = Modus.

M = M’ + i (∑ fx 'N

) = 52 + (0

64 ) = 52 + 0 = 52

Mdn = L + (12

N−fk b

f i

) X i = 49,50 + (32−25

14 ) X 5 = 49,50 + 2,50 = 52

Mdn = u - (12

N−fk a

f i

) X i = 54,50 – (32−25

14 ) X 5 = 54,50 – 2,50 = 52

Mo = L + (f a

f a+fb)X i = 49,50 + (

1010−10 ) X 5 = 49,50 + 2,50 = 52

Mo = u - (fb

f a+fb)X i = 54,50 + (

1010+10 ) X 5 = 54,50 + 2,50 = 52

Modus = 3 Mdn – 2 M = (3 x 52) – (2 x 52) = 156 – 104 = 52

5. Kuartil, Desil, Persentil

Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak,

sesudah disusun menurut urutan nilainya , maka bilangan membaginya disebut

kuartil. Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil pertama, kuartil kedua, kuartil ketiga

yang masing-masing disingkat Q1 , Q2, dan Q3 . pemberian nama ini, dimulai dari

nilai kuartil paling kecil. Untuk menentukan nilai kuartil caranya adalah :

1. Susun data menurut urutannya

2. Tentukan letak kuartil

Page 36: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

3. Menentukan nilai kuartil

Letak kuartil ke-i diberi lambing K1 , ditentukan oleh rumus :

Letak Ki= data ke i(n+1)

4

Dengan i=1,2,3

Contoh : sampel dengan data 75,82, 66,57, 64,56, 92,94, 86,52,60,70. Setelah

disusun menjadi 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94.

Letak K1= data ke 1(12+1)

4 = data ke 3

14 , yaitu antara data ke -3 dan data ke-4

Nilai K1= data ke-3 + 14 (data ke-4 – data ke-3)]

K1= 57 + 14 (60 – 57) = 57

34

Letak K3= data ke 3(12+1)4

= data ke 934

K3= data ke-9 + 34 (data ke-10 – data ke-9)

K3 =82 + 34 (86-82) =85

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, Kuartil dihitung

dengan rumus :

Qi = b + p (¿4−F

f)

Dengan i = 1,2,3

Dengan b = batas bawah kelas Ki , ialah kelas interval dimana Ki terletak

P = panjang kelas Ki

Page 37: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Ki

F = frekuensi kelas Ki

Kembali pada hasil ujian 80 mahasiswa seperti dalam tabel di bawah ini , maka

untuk menentukan kuartil ketiga , 34 x 80 = 60 data . b = 80.5 ;p=10; f=20; F=48.

Dengan i=3 dan n=80 maka

K3 = 80.5 + 10(3 x 80

4−48

20)

K3 = 86.5

Tabel hasil ujian 80 mahasiswa

Nilai Ujian fi

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

1

2

5

15

25

20

12

Jumlah 80

Ini berarti ada 75% mahasiswa yang mendapat nilai ujian paling tinggi 86.5

sedangkan 25% lagi mendapat nilai paling rendah.

Jika kumpilan data itu dibagi menjadi 10 bagian yang sama maka didapat

Sembilan pembagi dan setiap pembagi dinamakan desil. Kerananya ada sembilan

buah desil, ialah desil pertama, desil kedua,…., desil kesembilan yang disingkat

dengan d1,, d2,…,d9 . desil-desil ini dapat ditentukan dengan jalan :

Page 38: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

1. Susun data menurut susunan nilainya

2. Tentukan letak desil

3. Tentukan nilai desil

Letak desilke-I diberi lambing di , ditentukan oleh rumus :

Letak d1 = data ke i(n+1)

10

Dengan i=1,2,…,9

Contoh : untuk data yang disusun dalam contoh terdahulu, ialah :

52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94, maka letak d7 = data ke 7(12+1)10

= data ke-

9,1

Nilai d7 = data ke-9 + (0,1) (data ke-10 – data ke-9)

d7 = 82 + (0,1)(86-82) = 82,4

untuk data dalam distribusi frekuensi

di = b + p (¿

10−F

f)

dengan i=1,2,…,9

dengan b = batas bawah kelas di , ialah kelas interval dimana di akan terletak

P = panjang kelas di

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas di

F = frekuensi kelas di

Jika diminta d3 unuk 80 nilai ujian statistika, maka kita perlu 30% x 80 = 24 data.

b=60.5; p=10; f=15; F=8 .dengan i=3 dan n=80, maka didapat

Page 39: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

d3 = 60.5 + 10(3 x 80

10−8

15)

d3 = 71,2

Jika sekumpulan data tersebut dibagi menjadi 100 bagian yang sama akan

menghasilkan 99 pembagi yang dinamakan persentil yang dilambangkan dengan

P.

Letak Persentil Pi untuk sekumpulan data ditentukandengan rumus :

Pi = data ke i(n+1)

100

dengan i=1,2,…,99

sedangkan nilai Pi untuk data dalam daftar distribusi frekuensi dihitung dengan :

Pi = b + p (¿

100−F

f)

dengan i=1,2,…,99

dengan b = batas bawah kelas Pi , ialah kelas interval dimana Pi terletak

P = panjang kelas Pi

F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Pi

f = frekuensi kelas Pi

Page 40: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

D. PENUTUP

1. Kesimpulan

Salah-satu tugas statistik sebagai ilmu pengetahuan adalah meyajikan

atau mendeskripsikan data angka yang telah dikumpulkan menjadi

gambaran yang jelas dan mudah dipahami.

Agar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika

menyediakan metode penyusunan data dalam bentuk distribusi

frekuensi,tapi distribusi frekuensi yang terbentuk masih mengandung

banyak elemen. Padahal informasi yang kita dapatkan dari data akan

lebih mudah dipahami agar dapat diwakili oleh satu nilai saja.Untuk

itu diperlukan nilai yang dapat mewakili data yang terkumpul (dapat

menggambarkan tendensi lokasi himpunan data).

Dalam statistika dikenal beberapa macam ukuran nilai pusat. Yang

paling banyak digunakan adalah rata-rata hitung (Arithmatic

mean),Median,Modus,Rata-rata tertimbang,rata-rata ukur,dan lain-

lain.

Page 41: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang

DAFTAR PUSTAKA

Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta :PT Raja Grafindo Persada

Sudjana. 2002.Metoda Statistika.Bandung : TARSITO

Harahap, B. dan ST. Negoro.1998. Ensiklopedia Matematika. Ghalia Indonesia

Dajan, Anto.1986. Pengantar Metode Statistik Jilid I. Jakarta :LP3ES

Page 42: Web viewAgar penyajian kumpulan data lebih mudah dipahami,statistika menyediakan metode penyusunan data ... secara umum mengenai ... Pendidikan dipandang