suplemen bab 1 statistika (wajib) · 2017. 9. 7. · 4 statistika tabel distribusi frekuensi skor...

1Matematika Kelas XI

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. membaca dan menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi dan histogram;2. mendeskripsikan dan menghitung berbagai ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran;3. menerapkan konsep ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran dalam menyelesaikan masalah.Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa mampu bersikap cermat dalam menganalisis setiappermasalahan.

Statistika

• Membaca data dalam bentuktabel distribusi frekuensi danhistogram.

• Mendeskripsikan unsur-unsuryang terdapat dalam tabeldistribusi frekuensi dan histo-gram.

• Menyajikan data dalam bentuktabel distribusi frekuensi danhistogram.

• Mendeskripsikan pengertianmean, median, dan modus.

• Menghitung nilai mean, me-dian, dan modus data tunggal.

• Menghitung nilai mean, me-dian, dan modus data ber-kelompok.

Tabel Distribusi Frekuensi danHistogram

Ukuran Pemusatan Ukuran Letak dan UkuranPenyebaran

• Bersikap cermat dalam menganalisis setiap permasalahan.• Mampu membaca data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.• Mampu menjelaskan unsur-unsur yang terdapat dalam tabel distribusi frekuensi dan histogram.• Mampu menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram.• Mampu menjelaskan pengertian mean, median, dan modus.• Mampu menghitung nilai mean, median, dan modus data tunggal.• Mampu menghitung nilai mean, median, dan modus data berkelompok.• Mampu menjelaskan pengertian kuartil, desil, dan persentil.• Mampu menghitung nilai kuartil, desil, dan persentil data tunggal.• Mampu menghitung nilai kuartil, desil, dan persentil data berkelompok.

• Mendeskripsikan pengertiankuartil, desil, dan persentil.

• Menghitung nilai kuartil, desil,dan persentil data tunggal.

• Menghitung nilai kuartil, desil,dan persentil data berkelompok.

2 Statistika

A, Pilihan Ganda

1. Jawaban: cTepi atas kelas interval = 12,5 + 8

= 20,5Batas atas kelas interval = 20,5 – 0,5

= 20Jadi, batas atas kelas interval tersebut 20.

2. Jawaban: bMisalkan batas bawah kelas interval = Bb, batasatas kelas interval = Ba, dan panjang kelas = p.

Titik tengah kelas interval = 12 ( Bb + Ba)

⇔ 44,5 = 12 ( Bb + Bb + p – 1)

⇔ 89 = 2Bb + 10 – 1⇔ 2Bb = 80⇔ Bb = 40

Jadi, batas bawah kelas interval tersebut 40.3. Jawaban: d

Titik tengah kelas interval IV

= 12 (61 + 67)

= 12 × 128

= 644. Jawaban: b

Kelas interval II adalah 47–53.Kelas interval III adalah 54–60.Tepi atas kelas interval 47–53 adalah 53 + 0,5= 53,5.Tepi bawah kelas interval 54–60 adalah 54 – 0,5= 53,5.Dengan demikian, tepi kelas 53,5 sebagai tepi ataskelas interval II dan sekaligus sebagai tepi bawahkelas interval III.

5. Jawaban: aJumlah siswa = 9 + 8 + 6 + 5 + 4 = 32Berat badan siswa lebih dari 60 kg berada di kelasinterval 61–67 dan 68–74.Frekuensi kelas interval 61–67 adalah 5.Frekuensi kelas interval 68–74 adalah 4.Banyak siswa yang berat badannya lebih dari 60= 5 + 4 = 9.Persentase banyak siswa yang memiliki berat

badan lebih dari 60 kg = 932 × 100% = 28,125%.

6. Jawaban: cKelas interval yang memiliki batang tertinggimenunjukkan nilai yang paling banyak diperolehsiswa.

Batang tertinggi berada di kelas interval yangmemiliki tepi bawah 60,5 dan tepi atas 70,5, maka:batas bawah kelas interval = 60,5 + 0,5 = 61batas atas kelas interval = 70,5 – 0,5 = 70Dengan demikian, diperoleh kelas interval 61–70.Jadi, nilai yang paling banyak diperoleh siswaadalah 61–70.

7. Jawaban: ePerbandingan banyak benda yang berusia antara8–10 tahun dan 14–16 tahun adalah 1:5.Misalkan banyak benda yang berusia 8–10 tahun= x, maka banyak benda yang berusia 14–16 tahun= 5xBanyak benda seluruhnya = 10 + 20 + x + 15

+ 5x + 5x⇔ 100 = 45 + 11x ⇔ 11x = 55⇔ x = 5

Banyak benda yang berusia 14–16 tahun = 5x= 5 × 5 = 25Banyak benda yang berusia 17–19 tahun = banyakbenda yang berusia 14–16 tahun = 25Jadi, benda yang berusia antara 17–19 tahunsebanyak 25 buah.

8. Jawaban: dNilai data yang kurang dari 15 berada di kelasinterval 7–10 dan 11–14.Frekuensi kelas interval 7–10 = p + 4Frekuensi kelas interval 11–14 = p + 6Nilai data yang kurang dari 15 sebanyak 34, maka:(p + 4) + (p + 6) = 34⇔ 2p + 10 = 34⇔ 2p = 24⇔ p = 12Nilai data yang lebih dari 18 berada di kelasinterval 19–22 dan 23–26.Frekuensi kelas interval 19–22 = 2p – 4Frekuensi kelas interval 23–26 = p – 3Nilai data yang lebih dari 18 = (2p – 4) + (p – 3)

= 3p – 7= 3 × 12 – 7= 36 – 7 = 29

Jadi, nilai data yang lebih dari 18 sebanyak 29. 9. Jawaban: e

Poligon frekuensi merupakan diagram yangmenyajikan titik-titik tengah nilai data.

Titik tengah kelas interval 152–157 = 12 (152 + 157)

= 154,5Titik tengah 154,5 mempunyai frekuensi 6.Jadi, banyak siswa yang mempunyai tinggi badan152–157 cm ada 6 anak.


10. Jawaban: eTitik tengah kelas interval yang mempunyaifrekuensi 9 adalah 160,5.Titik tengah 160,5 berada pada kelas intervalkeempat.Titik tengah kelas 154,5 dan 160,5 salingberurutan, maka panjang kelas:p = 160,5 – 154,5 = 6.Letak tepi bawah, titik tengah, dan tepi atas kelasinterval keempat dapat digambarkan pada diagramberikut.

Dari diagram di atas diperoleh tepi bawah Tb4 =157,5 dan tepi atas Ta4 = 163,5, maka:batas bawah = Tb4 + 0,5 = 157,5 + 0,5 = 158batas atas = Ta4 – 0,5 = 163,5 – 0,5 = 163.Dengan demikian, diperoleh kelas interval keempatyaitu 157–163.Jadi, sebanyak 9 siswa mempunyai tinggi badan158–163 cm.

B. Uraian

1. a. Bambu yang panjangnya tidak kurang dari6,7 meter berada di kelas interval 6,7–8,0 dan8,1–9,4.Frekuensi kelas interval 6,7–8,0 = 15Frekuensi kelas interval 8,1–9,4 = 20Banyak bambu yang panjangnya tidak kurangdari 6,7 meter = 15 + 20 = 35Jadi, banyak bambu yang dapat digunakanPak Ahmad untuk membuat kepang 35 lonjor.

b. Bambu yang panjangnya tidak lebih dari 5,2meter berada di kelas interval 2,5–3,8 dan3,9–5,2.Frekuensi kelas interval 2,5–3,8 = 12Frekuensi kelas interval 3,9–5,2 = 16Banyak bambu yang panjangnya tidak lebihdari 5,2 meter = 12 + 26 = 28Jadi, banyak bambu yang dapat digunakanPak Ahmad untuk membuat pagar 28 lonjor.

2. Dari histogram diperoleh batas bawah, batas atas,dan kelas interval sebagai berikut.

Dari kelas interval pada tabel di atas diperoleh tabeldistribusi frekuensi relatif sebagai berikut.

3. Data setelah diurutkan sebagai berikut.41 41 42 42 43 43 44 45 46 4647 47 48 49 50 51 52 53 54 5656 57 58 59 60 61 62 63 66 67Banyak data = n = 30Nilai data terkecil = 41Nilai data terbesar = 67Jangkauan = nilai data terbesar – nilai data terkecil

= 67 – 41 = 26Banyak kelas = k

= 1 + 3,3 log n= 1 + 3,3 log 30= 1 + 3,3 × 1,477= 1 + 4,8741= 5,8741≈ 6

Panjang kelas:

p = jangkauan

banyak kelas

= 266

= 4,33≈ 5

Menentukan batas atas dan batas bawah kelasinterval pertama.Bb1 = nilai data terkecil = 41Ba1 = Bb1 + p –1 = 41 + 5 – 1 = 45Diperoleh kelas interval pertama : 41–45Menentukan batas atas dan batas bawah kelasinterval kedua.Bb2 = Ba1 + 1 = 45 + 1 = 46Ba2 = Bb2 + p – 1 = 46 + 5 – 1 =50Diperoleh kelas interval kedua : 46–50Dengan cara yang sama diperoleh:Kelas interval ketiga : 51–55Kelas interval keempat : 56–60Kelas interval kelima : 61–65Kelas interval keenam : 66–70

3 3

p = 6Tb4 = 157,5 x4 = 160,5 Ta4 = 163,5

Batas Bawah

109,5 + 0,5 = 110116,5 + 0,5 = 117123,5 + 0,5 = 124130,5 + 0,5 = 131137,5 + 0,5 = 138144,5 + 0,5 = 145151,5 + 0,5 = 152

Batas Atas

116,5 – 0,5 = 116123,5 – 0,5 = 123130,5 – 0,5 = 130137,5 – 0,5 = 137144,5 – 0,5 = 144151,5 – 0,5 = 151158,5 – 0,5 = 158

Kelas Interval

110–116117–123124–130131–137138–144145–151152–158

FrekuensiRelatif

Tinggi Bibit Cabai(mm)

110–116117–123124–130131–137138–144145–151152–158

6,7%10%

16,7%20%25%

13,3%8,3%

4 Statistika

Tabel distribusi frekuensiskor ujian penerimaancalon karyawan PT SidoMakmur sebagai berikut.

4. Jumlah apel = 22, maka:n + (n + 2) + 3 + 2 + (n + 1) + 5 = 22⇔ 3n + 13 = 22⇔ 3n = 9⇔ n = 3Tabel distribusi frekuensi berat apel secaralengkap sebagai berikut.

Histogram berat apel sebagai berikut.

5. Titik tengah kelas interval ke-1 = 3Titik tengah kelas interval ke-2 = 4,1Panjang kelas = p = 4,1 – 3 = 1,1Tepi bawah dan tepi atas setiap kelas intervalsebagai berikut.

Dari tepi bawah dan tepi atas setiap kelas intervalpada tabel di atas diperoleh batas bawah dan batasatas sebagai berikut.

Dari batas bawah danbatas atas setiap kelasinterval pada tabel di atasdiperoleh tabel distribusifrekuensi berikut.

Skor

41–4546–5051–5556–6061–6566–70

Frekuensi

874632

Frekuensi

353245

Berat Apel (gram)

200–204205–209210–214215–219220–224225–229

6

5

4

3

2

1

0Berat Apel(gram)

200–

204

205–

209

210–

214

215–

219

220–

224

225–

229

Frekuensi

Kelasinterval

ke-i

TitikTengah

(xi)

Batas Bawah

(Tbi = xi – 12 p)

Tepi Atas

(Tai = xi + 12 p)

1234567

34,15,26,37,48,59,6

3 – 0,55 = 2,454,1 – 0,55 = 3,555,2 – 0,55 = 4,656,3 – 0,55 = 5,757,4 – 0,55 = 6,858,5 – 0,55 = 7,959,6 – 0,55 = 9,05

3 + 0,55 = 3,554,1 + 0,55 = 4,655,2 + 0,55 = 5,756,3 + 0,55 = 6,857,4 + 0,55 = 7,958,5 + 0,55 = 9,05

9,6 + 0,55 = 10,15

Frekuensi

8766543

Nilai

2,5–3,53,6–4,64,7–5,75,8–6,86,9–7,98,0–9,0

9,1–10,1

Batas Bawah(Tbi + 0,05)

Batas Atas(Tai – 0,05)

2,45 + 0,05 = 2,5 3,55 + 0,05 = 3,6 4,65 + 0,05 = 4,7 5,75 + 0,05 = 5,8 6,85 + 0,05 = 6,9 7,95 + 0,05 = 8,0 9,05 + 0,05 = 9,1

3,55 – 0,05 = 3,54,65 – 0,05 = 4,6 5,75 – 0,05 = 5,7 6,85 – 0,05 = 6,8 7,95 – 0,05 = 7,9 9,05 – 0,05 = 9,0

10,15 – 0,05 = 10,1

Kelasinterval

2,5–3,53,6–4,64,7–5,75,8–6,86,9–7,98,0–9,0

9,1–10,1

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: bModus pada diagram batang adalah nilai data yangmempunyai batang paling tinggi.Nilai 6 mempunyai batang paling tinggi, makamodus data = 6.

2. Jawaban: c

Banyak data = 30.Oleh karena banyak data genap maka:

Median = 12 (nilai data ke-

302 + nilai data ke-(

302 + 1))

= 12 (nilai data ke-15 + nilai data ke-16)

= 12 (6 + 7)

= 6,5 tahunJadi, median usia anak 6,5 tahun.

fi

783543

UsiaTahun

56789

10

fk

71518232730


3. Jawaban: cRata-rata usia

= i i

i

f xf

∑∑

= 7 5 8 6 3 7 5 8 4 9 3 10

30⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= 35 48 21 40 36 30

30+ + + + +

= 21030 = 7 tahun

Jadi, rata-rata usia anak yang belajar melukis disanggar tersebut 7 tahun.

4. Jawaban: dRata-rata hasil panen teh = 75.000

⇔ (700 n 950 n 750 900) 1006

+ + + + + ⋅= 75.000

⇔ 3.300 2n6

+= 750

⇔ 3.300 + 2n = 4.500⇔ 2n = 1.200⇔ n = 600Hasil panen teh tahun 2007 = n = 60.000 ton.Hasil panen teh tahun 2008 = 95.000 ton.Persentase kenaikan hasil panen teh tahun 2007–2008

= 95.000 60.000

60.000−

× 100%

= 35.00060.000 × 100% ≈ 58,3%

5. Jawaban: dTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.

Me = nilai data ke- 32 12+

= nilai data ke-16,5

Median adalah nilai data ke-16,5 di kelas interval30–39.L = 30 – 0,5 = 29,5fkMe

= 10

fMe = 12

p = 39 – 30 + 1 = 10

Me = L + Me

1k2

Me

n f

f

⋅ −

· p

= 29,5 + 322

10

12

−

· 10

= 29,5 + 16 10

12−

· 10

6. Jawaban: dTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.

Banyak data = n = 20

Median = nilai data ke- 12

(20 + 1)

= nilai data ke-10 12

Median adalah nilai data ke-10 12

di kelas interval

61–70.L = 61 – 0,5 = 60,5

Mekf = 9fMe

= 3

p = 70 – 61 + 1 = 10

Median = L + −

Me

e

1k2

M

n f

f · p

= 60,5 + ⋅ −

12 20 9

3 · 10

= 60,5 + 103 ≈ 60,5 + 3,33 = 63,83

7. Jawaban: bKelas interval yang mempunyai frekuensi palingbanyak adalah kelas interval 25–29, berarti kelasmodus di kelas interval 25–29.Lo = 25 – 0,5 = 24,5d1 = 11 – 7 = 4d2 = 11 – 10 = 1p = 29 – 25 + 1 = 5

Modus = Mo = L + d

d d +

1

1 2 · p

= 24,5 + +

44 1 · 5

= 24,5 + 4= 28,5

Jadi, modus dari data tersebut 28,5.

8. Jawaban: dBatang tertinggi memiliki frekuensi 12, makafrekuensi kelas modus = 12.Frekuensi 12 dimiliki kelas interval yang mem-punyai tepi bawah 13,5 dan tepi atas 16,5.Frekuensi kelas interval sebelum kelas modus= 3.

fi

28

12

73

fk

210

22

2932

Nilai

10–1920–29

30–39

40–4950–59

← Mekf

fkMe

←

Nilai

41–5051–6061–7071–8081–90

fi

45326

fk

49

121420

← Kelas Me

fkMe

←

6 Statistika

Frekuensi kelas interval setelah kelas modus= 6.Dengan demikian diperoleh:L = 13,5p = 16,5 – 13,5 = 3d1 = 12 – 3 = 9d2 = 12 – 6 = 6

Mo = L + 1

1 2

dd d

+

· p

= 13,5 + 9

9 6 +

· 3

= 13,5 + 95

= 13,5 + 1,8= 15,3

Jadi, modus panjang ikan lele 15,3 cm.

9. Jawaban: dRataan sementara ( sx ) = 37.

x = sx +

6

i ii 1

6

ii 1

f d

f

=

=

∑

∑

= 37 + 4270

= 37 + 0,6 = 37,6Jadi, rata-rata volume benda 37,6.

10. Jawaban: e

Rata-rata usia karyawan bagian produksi:

x =

6

i ii 1

6

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑ =

2.13060 = 35,5 tahun

B. Uraian

1. Misalkan banyak siswa yang memerlukan waktu5 menit = n, maka banyak siswa yang memerlukanwaktu 20 menit = n.Rata-rata waktu = 11,9

⇔ 5n 5 8 12 10 10 12 11 15 20nn 5 12 10 11 n

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ++ + + + + = 11,9

⇔ 25n 40 120 120 1652n 38

+ + + ++ = 11,9

⇔ 25n + 445 = 11,9(2n + 38)⇔ 25n + 445 = 23,8n + 452,2⇔ 1,2 n = 7,2⇔ n = 6Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.

Jumlah siswa = 50

Median = 12 (nilai data ke-

502 + nilai data ke-(

502 + 1))

= 12 (nilai data ke-25 + nilai data ke-26)

= 12 (12 + 12)

= 12 menitJadi, median waktu yang diperlukan siswa darirumah ke sekolah 12 menit.

2. Kelas modus adalah 82–98.L = 82 – 0,5 = 81,5

d1 = 22 – (3n + 1) = 21 – 3nd2 = 22 – (2n + 1) = 21 – 2np = 98 – 82 + 1 = 17

Mo = L + 1

1 2

dd d

+

· p

⇔ 85,75 = 81,5 + 21 3n21 3n 21 2n

− − + −

· 17

⇔ 4,25 = 21 3n42 5n

− −

· 17

⇔ 0,25 = 21 3n42 5n

−−

⇔ 0,25(42 – 5n) = 21 – 3n⇔ 10,5 – 1,25n = 21 – 3n⇔ 1,75n = 10,5⇔ n = 6

fi di

–72–45

0 24 3699

42

Titik Tengah(xi)

313437404346

Jumlah

Frekuensi(fi)

121518 8 611

70

Simpangandi = xi – sx

–6–3 0 3 6 9

fi

6

8

9

18

13

6

6

ii = 1

f = 60∑

fi xi

132

216

288

666

546

282

6

i ii = 1

fx = 2.130∑

Titik Tengah (xi)

12 (19,5 + 24,5) = 22

12 (24,5 + 29,5) = 27

12 (29,5 + 34,5) = 32

12 (34,5 + 39,5) = 37

12 (39,5 + 44,5) = 42

12 (44,5 + 49,5) = 47

fi fkWaktu(Menit)

← Letak median

58

10

12

1520

65

12

10

116

61123

33

4450


Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.

Banyak data = 100

Median = nilai data ke-12 (100 + 1)

= nilai data ke-50,5Median adalan nilai data ke-50,5 di kelas interval82–98.L = 81,5

eMf = 22

Mekf = 20 + 19 = 39

Me = L + Me

e

1k2

M

n f

f

−

· p

= 81,5 + 12

100 39

22

⋅ −

· 17

= 81,5 + 1122 · 17

= 81,5 + 8,5= 90

Jadi, median tebal buku 90.3. Kelas modus pada histogram adalah kelas inter-

val yang mempunyai batang tertinggi.Kelas interval dengan tepi bawah 80,5 dan tepiatas 90,5 mempunyai batang tertinggi, maka kelasmodus adalah 81–90.

L = 80,5d1 = 10 – 2 = 8d2 = 10 – 6 = 4p = 90,5 – 80,5 = 10

Mo = L + 1

1 2

dd d

+

· p

= 80,5 + 88 4

+

· 10

= 80,5 + 23 · 10

≈ 80,5 + 6,67 = 87,17Jadi, modus data 87,17.

4. Titik tengah kelas interval ke-1 = 4Titik tengah kelas interval ke-2 = 7Panjang kelas = p = 7 – 4 = 3

Tepi bawah dan tepi atas setiap kelas intervalsebagai berikut.

Dari tepi bawah dan tepi atas setiap kelas intervalpada tabel di atas diperoleh tabel distribusi frekuensikumulatif berikut.

Jumlah balita = n = 30

Median = nilai data ke- 12

(30 + 1)


Median adalah nilai data ke-15 12

di kelas interval9–11.L = 9 – 0,5 = 8,5p = 11 – 9 + 1 = 3fkMe

= 9

fMe= 12

Me = L + Me

e

1k2

M

n f

f

−

· p

= 29,5 + 12

30 9

12

⋅ −

· 3

= 8,5 + 64

= 8,5 + 1,5= 10

Jadi, median berat badan balita 10 kg.5.

fi fkTebal Buku(Halaman)

← Kelas Me

48–6465–81

82–98

99–115116–132133–149

2019

22

131511

2039

61

7489

100

fkMe

←

TitikTengah

(xi)

Tepi Bawah

(Tbi = xi – 12 p)

Tepi Atas

(Tai = xi + 12 p)

47

101316

4 – 1,5 = 2,57 – 1,5 = 5,5

10 – 1,5 = 8,513 – 1,5 = 11,516 – 1,5 = 13,5

4 + 1,5 = 5,57 + 1,5 = 8,5

10 + 1,5 = 11,513 + 1,5 = 13,516 + 1,5 = 17,5

fi

27

1263

fk

29

212730

← Kelas Me

fkMe

←

Berat Balita (kg)

3–56–8

9–1112–1415–17

Frekuensi

Diameter pohon (cm)

1517

21 20

16

11

9,514,5

19,524,5

29,534,5

39,5

8 Statistika

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cData yang telah diurutkan sebagai berikut.60 65 66 68 72 78 80 83 86 88 90Jumlah data = n = 11

Q1 = nilai data ke-n 1

4+


4+

= nilai data ke-3Nilai data ke-3 = 66.Jadi, kuartil bawah data tersebut 66.

2. Jawaban: e

Jumlah data = n = 74

D9 = nilai data ke- 910

(74 + 1)

= nilai data ke-67,5= x67 + 0,5(x68 – x67)= 40 + 0,5 (41 – 40)= 40 + 0,5 = 40,5

Jadi, desil ke-9 data tersebut 40,5.

3. Jawaban: bTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.


Kuartil atas (Q3) = nilai data ke- 34

(40 + 1)


Kuartil atas adalah nilai data ke-30 34

di kelas interval

61–70.L3 = 61 – 0,5 = 60,5fQ3

= 10

fkQ3

= 29

p = 70 – 61 + 1 = 10Kuartil atas:

Q3 = L3 + Qk

Q

n f

f

−

3

3

34

· p

= 60,5 + ⋅ −

34 40 29

10 · 10

= 60,5 + 1= 61,5

4. Jawaban: d


Q1 = nilai data ke- 47 +14

= nilai data ke-12Q1 adalah nilai data ke-12 terletak di kelas interval88–91.L1 = 88 – 0,5 = 87,5

Q1kf = 11

1Qf = 4p = 91 – 88 + 1 = 4

Rata-rata diameter pohon:

x =

6

i ii 1

6

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑ =

2.390100 = 23,9 cm

Jadi, rata-rata diameter pohon di hutan kotatersebut 23,9 cm.

fi

3 710121619 7

Ukuran Sepatu

35363738394041

fk

3102032486774

← Kelas Q3

fkQ3

←

Nilai

31–4041–5051–6061–7071–80

fi

59

1510

1

fk

514293940

fk

5111523333747

Nilai

80–8384–8788–9192–9596–99

100–103104–107

fi

5 6 48

10 410

← Kelas Q1

← Kelas P45

← Kelas Q3


Q1 = L1 + Q1

1

k

Q

14

n f

f

−

· p

= 87,5 + 474 11

4

−

· 4

= 87,5 + 11,75 114

− · 4

= 87,5 + 0,75= 88,25

Q3 = nilai data ke- 3(47 +1)4

= nilai data ke-36Nilai data ke-36 terletak di kelas interval 100–103.L3 = 100 – 0,5 = 99,5

Q3kf = 33

3Qf = 4

Q3 = L3 + Q3

3

k

Q

34

n f

f

−

· p

= 99,5 + 1414 33

4

−

· 4

= 99,5 + 35,25 334

− · 4

= 99,5 + 2,25= 101,75

Jangkauan antarkuartil:H = Q3 – Q1

= 101,75 – 88,25= 13,5

Jadi, jangkauan antarkuartil data tersebut 13,5.

5. Jawaban: e

P45 = nilai data ke-45

100 (47 + 1)

= nilai data ke-21,6P45 adalah nilai data ke-21,6 terletak di kelasinterval 92–95.L35 = 92 – 0,5 = 91,5

P45kf = 15

45Pf = 8

p = 4

P45 = L35 + P45

45

k

P

45100

n f

f

⋅ −

· p

= 91,5 + 45

10047 15

8

⋅ −

· 4

= 91,5 + 3,075= 94,575

Jadi, persentil ke-45 data tersebut 94,575.

6. Jawaban: a

D6 = nilai data ke-6

10 (39 + 1)

= nilai data ke-6

10 × 40

= nilai data ke-24Desil ke-6 adalah nilai data ke-24 terletak di kelasinterval 17–24.L6 = 17 – 0,5 = 16,5

D6kf = 14

6Df = 16p = 24 – 17 + 1 = 8

D6 = L6 + D6

6

k

D

6n

10f

f

⋅ −

· p

= 16,5 + 6

1039 14

16

⋅ −

· 8

= 16,5 + 9,416

· 8

= 16,5 + 4,7= 21,2


7. Jawaban: e

x =

8i

i = 1x

n

∑

= 9 10 11 8 7 6 5 88

+ + + + + + + =

648 = 8

8i

i 1(x x)

=∑ − 2 = (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (11 – 8)2 + (8 – 8)2

+ (7 – 8)2 + (6 – 8)2 + (5 – 8)2 + (8 – 8)2

= 12 + 22 + 32 + 02 + (–1)2 + (–2)2

+ (–3)2 + 02

= 1 + 4 + 9 + 0 + 1 + 4 + 9 + 0= 28

Simpangan baku:

S = 8 2

ii 1

(x x)

n=

−∑

= 2 88

= 144

= 12

14

fi

31116612

Banyak Pengunjung

1–89–16

17–2425–3233–4041–48

fk

31430363739

10 Statistika

8. Jawaban: c


Q1 = nilai data ke-14 (40 + 1)

= nilai data ke-10,25Q1 adalah nilai data ke-10,25 terletak di kelasinterval yang memuat titik tengah 13.

L1 = 12 (8 + 13) = 10,5

Q1kf = 8

1Qf = 6p = 13 – 8 = 5

Q1 = L1 + Q1

1

k

Q

14

n f

f

−

· p

= 10,5 + 14

40 8

6

⋅ −

· 5

= 10,5 + 13 · 5 ≈ 10,5 + 1,67

= 12,17


= nilai data ke-30,75Q3 adalah nilai data ke-30,75 terletak di kelasinterval yang memuat titik tengah 28.

L3 = 12 (23 + 28) = 25,5

Q3kf = 8 + 6 + 5 + 4 = 23

3Qf = 9

Q3 = L3 + Q3

3

k

Q

34

n f

f

−

· p

= 25,5 + 34

40 23

9

⋅ −

· 5

= 25,5 + 79 · 5 ≈ 25,5 + 3,89

= 29,39

Simpangan kuartil:

Qd = 12 (Q3 – Q1) =

12 (29,39 – 12,17)

= 12 (17,22)

= 8,619. Jawaban: a

x– =

6

i ir 1

6

ii 1

fx

f

=

=

∑

∑ =

84040 = 21

6i i

i 1f | x x |

=∑ − = 8|8 – 21| + 6|13 – 21| + 5|18 – 21| +

4|23 – 21| + 9|28 – 21| + 8|33 – 21|= 8 × 13 + 6 × 8 + 5 × 3 + 4 × 2

+ 9 × 7 + 8 × 12= 104 + 48 + 15 + 8 + 63 + 96= 334

SR =

6

i ir 1

6

ii 1

f | x x |

f

=

=

−∑

∑ =

33440

= 8,35

10.6

i ii 1

f(x x)=∑ − 2 = 8(8 – 21)2 + 6(13 – 21)2 + 5(18

– 21)2 + 4(23 – 21)2 + 9(28 – 21)2 + 8(33 – 21)2

= 8 × (–13)2 + 6 × (–8)2 + 5 × (–3)2

+ 4 × 22 + 9 × 72 + 8 × 122

= 1.352 + 384 + 45 + 16 + 441 + 1.152= 3.390

Ragam:

S2 =

6 2i i

i 16

ii 1

f(x x)

f

=

=

−∑

∑ =

3.39040

= 84,75

B. Uraian

1.

← Kelas Q1

← Kelas Q3

fk

8

14

1923

32

40

fi

8

6

54

9

8

xi

8

13

1823

28

33xi

81318232833

8

i 1=∑

fi

865498

40

fixi

64789092

252264

840

xk

710121317202123

Usia (Tahun)

1011121314151617

fi

73214312


Banyak data = n = 23.

Q1 = nilai data ke- n 14+

= nilai data ke- 244

= nilai data ke-6= 10

Q3 = nilai data ke- 3(n 1)4+

= nilai data ke- 3 × 244

= nilai data ke-18= 15

H = Q3 – Q1 = 15 – 10 = 5Jadi, jangkauan antarkuartil data 5.

2. Data dalam bentuk tabel sebagai berikut.

a. x– =

6

i ii 1

6

ii 1

fx

f

=

=

∑

∑ =

63030 = 21

6i i

i 1f | x x |

=∑ − = 8|15 – 21| + 5|18 – 21| + 3|20 – 21|

+ 5|24 – 21| + 6|25 – 21| + 3|30 – 21|= 8 × 6 + 5 × 3 + 3 × 1 + 5 × 3

+ 6 × 4 + 3 × 9= 48 + 15 + 3 + 15 + 24 + 27= 132

SR =

6

i ir 1

6

ii 1

f | x x |

f

=

=

−∑

∑ =

13240

= 3,3

Jadi, simpangan rata-rata data 3,3.

b.6 2

i ii 1

f(x x)=∑ − = 8(15 – 21)2 + 5(18 – 21)2

+ 3(20 – 21)2 + 5(24 – 21)2

+ 6(25 – 21)2 + 3(30 – 21)2

= 8 × (–6)2 + 5 × (–3)2 + 3 × (–1)2

+ 5 × 32 + 6 × 42 + 3 × 92

= 288 + 45 + 3 + 45 + 96 + 243= 720

S =

6 2i i

i 16

ii 1

f | x x |

f

=

=

−∑

∑ = 720

40

= 18 = 9 2× = 3 2Jadi, simpangan baku data 3 2 .

3. a. Tabel distribusi frekuensi kumulatif datasebagai berikut.

Banyak data n = 20


= nilai data ke-5,25Q1 adalah nilai data ke-5,25 terletak di kelasinterval 65–74.L1 = 65 –0,5 = 64,5

Q1kf = 4

1Qf = 3p = 74 – 65 + 1 = 10

Q1 = L1 + Q1

1

k

Q

14

n f

f

−

· p

= 64,5 + 14

20 4

3

⋅ −

· 5

= 64,5 + 13 · 5

≈ 64,5 + 1,67= 66,17


= nilai data ke-15,75Q3 adalah nilai data ke-30,75 terletak di kelasinterval 95–104.L3 = 95 – 0,5 = 94,5

Q3kf = 14

3Qf = 4

Q3 = L3 + Q3

3

k

Q

34

n f

f

−

· p

= 94,5 + 34

20 14

4

⋅ −

· 10

= 94,5 + 14 · 10

= 94,5 + 2,5= 97

fi

853563

30

Banyak Pengunjung (xi)

151820242530

6

i 1=∑

fixi

1209060

12015090

630

← Kelas Q1

fi

2234342

Panjang (cm)

45–5455–6465–7475–8485–94

95–104105–114

fk

2 4 711141820

← Kelas Q3

12 Statistika

Simpangan kuartil:

Qd = 12 (Q3 – Q1) =

12 (97 – 66,17)

= 12 (30,83)

= 15,415Jadi, simpangan kuartil 15,415.

b.

x =

7

i ii 1

7

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑

= 1.630

20

= 81,5Simpangan rata-rata:

SR =

7

i ii 1

7

ii 1

f x x

f

=

=

−∑

∑

= 12220

= 6,1Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 6,1.

4. a. Tabel distribusi frekuensi kumulatif datasebagai berikut.


10 (60 + 1)

= nilai data ke-48,8D8 adalah nilai data ke-48,8 terletak di kelasinterval 22–25.L8 = 22 – 0,5 = 21,5

D8kf = 43

8Df = 9p = 25 – 22 + 1 = 4

D8 = L8 + D8

8

k

D

810

60 f

f

⋅ −

· p

= 21,5 + 48 43

9−

· 4

= 21,5 + 59 · 4 ≈ 21,5 + 2,2 = 23,7

Jadi, desil kedelapan data tersebut 23,7 cm.

b. P39 = nilai data ke-39

100 (60 + 1)

= nilai data ke-23,79P39 adalah nilai data ke-23,79 terletak di kelasinterval 18–21.L39 = 18 – 0,5 = 17,5

P39kf = 22

39Pf = 21

P39 = L39 + P39

39

k

P

39100

n f

f

⋅ −

· p

= 17,5 + 39

10060 22

21

⋅ −

· 4

= 17,5 + 1,421 · 4 ≈ 17,5 + 0,27

= 17,77Jadi, nilai persentil ke-39 data tersebut 17,77.

5. a. Data dalam bentuk tabel sebagai berikut.

x =

6

i ii 1

6

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑ =

48020 = 24

Jadi, rata-rata data 24.

b.

S2 =

62

i ii 1

6

ii 1

f (x x)

f

=

=

−∑

∑ =

1.57020 = 78,5

Jadi, variansi data tersebut 78,5.

fi

2234342

20

Panjang (cm)

45–5455–6465–7475–8485–94

95–104105–114

7

i 1=∑

xi

49,559,569,579,589,599,5

109,5

fi xi

99119

208,5318

268,5398219

1.630

−ix x32221228

1828

122

← Kelas P39

fi

9 6 7

21

9

8

fk

9 15 22

43

52

60

Tinggi (m)

6–910–1314–17

18–21

22–25

26–29

← Kelas D8

xi

1217222732376

i 1=∑

fi

362153

20

fi · xi

36102 44 27160111

480

fi

362153

20

xi

1217222732376

i 1=∑

xi – x

–12–7–2

38

13

fi(xi – x )2

432294

8 9320507

1.570


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: cBatas atas = Ba = 32,5Panjang kelas = p = 6Batas bawah = Bb

Ba = Bb + p – 1⇔ 32,5 = Bb + 6 – 1⇔ Bb = 32,5 – 5 = 27,5

Titik tengah = 12 (Bb + Ba) =

12 (27,5 + 32,5) = 30

Jadi, titik tengah kelas interval tersebut 30.

2. Jawaban: dTabel distribusi frekuensi relatif data sebagaiberikut.

Dari tabel frekuensi relatif di atas diperoleh:Sebanyak 26,25% siswa yang memiliki tinggibadan 150–154 cm.Sebanyak 18,75% siswa yang memiliki tinggibadan 155–159 cm.Dengan demikian, persentase banyak siswa yangmemiliki tinggi badan 150–159 cm adalah26,25% + 18,75% = 45%

3. Jawaban: cDari tabel frekuensi relatif di atas diperoleh,sebanyak 26,25% siswa memiliki tinggi badan150–154 cm.

4. Jawaban: eTinggi badan minimal 160 cm, maka kelas inter-val yang memenuhi 160–164, 165–169, dan170–174.Persentase siswa yang memiliki tinggi badan mini-mal 160 cm = 12,5% + 10% + 7,5% = 30%Jadi, siswa kelas XI yang bisa menjadi anggotapaskibraka ada 30%.

5. Jawaban: dKelas interval yang memiliki nilai kurang dari 61adalah 41–50 dan 51–60.Sebanyak 10% siswa memperoleh nilai 41–40 dansebanyak 20% siswa memperoleh nilai 51–60.Banyak siswa yang memperoleh nilai kurang dari61 = (10% + 20%) × 120 = 36

6. Jawaban: dBanyak siswa yang memperoleh nilai 41–50 =10% × 120 = 12Banyak siswa yang memperoleh nilai 51–60 =20% × 120 = 24Banyak siswa yang memperoleh nilai 71–80 =15% × 120 = 18Banyak siswa yang memperoleh nilai 81–90 =12,5% × 120 = 15Jadi, sebanyak 15 siswa memperoleh nilai 81–90.

7. Jawaban: c

Sepeda motor yang tidak tergolong irit mengguna-kan 1 liter bensin untuk menempuh jarak kurangdari 58 km.Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada40 unit.Persentase banyak sepeda motor yang tidak

tergolong irit = 4060 × 100% = 66,67%.

8. Jawaban: bTabel distribusi frekuensi relatif data sebagaiberikut.

Dari tabel di atas diperoleh sebanyak 20% sepedamotor menggunakan 1 liter bensin untuk menempuhjarak 46–51 km.

9. Jawaban: cData tinggi tanaman dalam bentuk tabel sebagaiberikut.

Banyak tanaman yang mempunyai tinggi kurangdari 26 cm adalah 21.

Presentase = 2130 × 100% = 70%.

Tinggi Badan(cm)

145–149150–154155–159160–164165–169170–174

fi

2021151086

frelatif

25% 26,25%18,75%12,5%10%

7,5%

fi

81220

119

Jarak per Liter Bensin

40–4546–5152–57

58–6364–69

fk

82040

5160

– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

��

��

Tidak irit

Irit

fi

81220119

Jarak per Liter Bensin

40–4546–5152–5758–6364–69

frelatif

13,3%20%

33,3%18,3%15%

fi

3657

9

Tinggi Tanaman (cm)

10–1314–1718–2122–25

26–29

fk

3 91421

30– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –

�� Tinggi

tanamankurangdari 26 cm

14 Statistika

10. Jawaban: dBanyak tanaman yang memiliki tinggi 10–17 =3 + 6 = 9Banyak tanaman yang memiliki tinggi 14–21 =6 + 5 = 11Banyak tanaman yang memiliki tinggi 18–21 = 5Banyak tanaman yang memiliki tinggi 18–25 =5 + 7 = 12Jadi, sebanyak 12 tanaman memiliki tinggi18–25 cm.

11. Jawaban: cTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.

Oleh karena banyak data genap, nilai median:

Me = data ke-50 data ke-51

2+

= 27 28

2+

= 27,5Jadi, median data tersebut 27,5.

12. Jawaban: c

x = 234 242 2503

+ +

= 7263

= 242Jadi, rata-rata hasil susu kambing etawa pada3 periode terakhir 242 liter.

13. Jawaban: cSumbangan kelompok I:x1 = 6 × Rp5.000,00

= Rp30.000,00Sumbangan kelompok II: x2 = 8 × Rp4.500,00

= Rp36.000,00Sumbangan kelompok III:x3 = 10 × Rp3.500,00

= Rp35.000,00Sumbangan kelompok IV:x4 = 11 × Rp4.000,00

= Rp44.000,00

Sumbangan kelompok V:x5 = 15 × Rp2.000,00

= Rp30.000,00

Rata-rata sumbangan setiap kelompok:

x = 1 2 3 4 5x x x x x6 8 10 11 15

+ + + ++ + + +

= 30.000 36.000 35.000 44.000 30.000

50+ + + +

= 175.000

50= 3.500

Jadi, rata-rata sumbangan setiap kelompokRp3.500,00.

14. Jawaban: aBanyak siswa di kelas A = nA = 15Banyak siswa di kelas B = nB = 10Banyak siswa di kelas C = nC = 25Rata-rata nilai gabungan = x = 58,6Rata-rata nilai di kelas A = xA = 62Rata-rata nilai di kelas C = xC = 60

x = A A B B C C

A B C

n x n x n xn n n

⋅ + ⋅ + ⋅+ +

⇔ 58,6 = B15 62 10 x 25 6015 10 25

⋅ + ⋅ + ⋅+ +

⇔ 58,6 = B10x 2 43050+ ⋅

⇔ 2.930 = B10x + 2.430

⇔ B10x = 500

⇔ xB = 50Jadi, rata-rata nilai di kelas B adalah 50.

15. Jawaban: e

x =

6

i ii 1

6

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑

= 37530

= 12,5Jadi, rata-rata poin pemain tersebut 12,5.

16. Jawaban: aTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.


Me = nilai data ke- 30 12+

= nilai data ke-15,5Median adalah nilai data ke-15,5 terletak di kelasinterval 14–16.

fi

2014163569

Data

252627282930

fk

2034508591

100

← Kelas Me

fi

6 5 410 3 2

Poin

5–78–10

11–1314–1617–1920–22

fk

61115 25 28 30


L = 14 – 0,5 = 13,5fkMe

= 15

fMe= 10

p = 16 – 14 + 1 = 3

Me = L + Me

e

k

M

12

n f

f

−

· p

= 13,5 + 12

30 15

10

⋅ −

· 3

= 13,5 + 0 · 5= 13,5

Jadi, mediannya adalah 13,5.

17. Jawaban: cData dalam bentuk tabel distribusi frekuensisebagai berikut.

x =

6

i ii 1

5

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑

= 3.730

40= 93,25

Jadi, rata-rata berat pasir dalam karung 93,25 kg.

18. Jawaban: eMo terletak pada kelas interval yang memuat titiktengah 93–95.L = 93 – 0,5 = 92,5d1 = 10 – 7 = 3d2 = 10 – 5 = 5p = 95 – 93 + 1 = 3

Mo = L + 1

1 2

dd d

+

· p

= 92,5 + 33 5

+

· 3

= 92,5 + 98

= 92,5 + 1,125= 93,625

Jadi, modus berat pasir dalam karung 93,625 kg.

19. Jawaban: bTabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.


Median = nilai data ke- 40 + 12

= nilai data ke-20,5Median adalah nilai data ke-20,5 terletak di kelasinterval 93–95.L = 93 – 0,5 = 92,5fkMe

= 17

fMe= 10

p = 3

Me = L + Me

e

k

M

12

n f

f

−

· p

= 92,5 + 20 1710

− · 3

= 92,5 + 0,9= 93,4

Jadi, median berat pasir dalam karung 93,4 kg.

20. Jawaban: cTabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.

Mo terletak di kelas interval 65–69.L = 65 – 0,5 = 64,5d1 = 10 – 8 = 2d2 = 10 – 8 = 2p = 69 – 65 + 1 = 5

Mo = L + 1

1 2

dd d

+

· p

= 64,5 + 22 2

+

· 5

= 64,5 + 2,5

= 67Jadi, modus berat berat badan siswa 67 kg.

Berat Pasir (kg)

84–8687–8990–9293–9596–98

99–101

6

i 1=∑

fi

467

1058

40

xi

8588919497

100

fi xi

340528637940485800

3.730

Berat Pasir (kg)

84–8687–8990–9293–9596–98

99–101

fi

467

1058

fk

41017273240

Berat Badan (kg)

50–5455–5960–6465–6970–7475–79

← Kelas Mo

fi

468

1084

fk

41018283640

16 Statistika

21. Jawaban: dTabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.

Rata-rata berat badan siswa:

x– =

6

i ii 1

6

ii 1

fx

f

=

=

∑

∑ = 2.600

40 = 65 kg

Jadi, rata-rata berat badan siswa 65 kg.

22. Jawaban: eTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.



= nilai data ke-2212

Median adalah nilai data ke-2212 di kelas interval

yang mempunyai titik tengah 8.

L = 5 82+ = 6,5; Mekf = 8; fMe

= 16; p = 8 – 5 = 3

Median = L + −

Me

e

1k2

M

n f

f · p

= 6,5 + 12 44 8

16

⋅ −

· 3

= 6,5 + 1416

· 3

≈ 6,5 + 2,63= 9,13

Jadi, median data 9,13.

23. Jawaban: aMo terletak di kelas interval yang memuat titiktengah 28,5.

L = 12 (24,5 + 28,5)

= 12 (53) = 26,5

d1 = 11 – 3 = 8d2 = 11 – 10 = 1p = 28,5 – 24,5 = 4

Mo = L + 1

1 2

dd d

+

· p

= 26,5 + 88 1

+

· 4

= 26,5 + 89 · 4

= 12

26 + 59

3

= 1

1830

Jadi, modus data 1

1830 .

24. Jawaban: bTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.



= nilai data ke-20,5Median adalah nilai data ke-20,5 terletak di kelasinterval 31–34.L = 31 – 0,5 = 30,5fkMe

= 5 + 11 = 16

eMf = 10p = 34 – 31 + 1 = 4

Me = L + Me

e

1k2

M

n f

f

−

· p

= 30,5 + 12

40 16

10

⋅ −

· 4

= 30,5 + 4

10 · 4

= 30,5 + 1,6 = 32,1Jadi, median data 32,1.

fi

4

6

8

10

8

4

40

fixi

208

342

496

670

576

308

2.600

xi

12 (49,5 + 54,5) = 52

12 (44,5 + 59,5) = 57

12 (59,5 + 64,5) = 62

12 (64,5 + 69,5) = 67

12 (69,5 + 74,5) = 72

12 (74,5 + 79,5) = 77

6

i = 1∑

fi

816 6 7 4 3

Titik Tengah

58

11141720

fk

8243037 41 44

← Kelas Me

fkMe

←fi

511

10

68

fk

516

26

3240

Nilai

23–2627–30

31–34

35–3839–42

← Kelas Me


25. Jawaban: cData setelah diurutkan:5 6 7 7 9 9 10 1011 12 12 15 18 18 21 21

Q1 = nilai data ke- 16 + 14

= nilai data ke-4,25= x4 + 0,25(x5 – x4) = 7 + 0,25(9 – 7)

= 7 + 0,5= 7,5

Q3 = nilai data ke- 3(16 + 1)4

= nilai data ke-12,75= x12 + 0,75(x13 – x12) = 15 + 0,75(18 – 15)

= 15 + 2,25= 17,25

Simpangan kuartil = 12

(Q3 – Q1)

= 12

(17,25 – 7,5)

= 12

(9,75) = 4,875

Jadi, simpangan kuartil data tersebut 4,875.26. Jawaban: c

Jumlah siswa = n = 40

Kuartil bawah (Q1) = nilai data ke- 14

(40 + 1)


Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.

Kuartil bawah adalah data ke-10 14

pada kelasinterval 155–159.L1 = 155 – 0,5 = 154,5fQ1

= 10fkQ1

= 4p = 159 – 155 + 1 = 5Kuartil bawah:

Q1 = L1 +

−

k Q1

1

14

Q

n f

f · c

= 154,5 + ⋅ −

14

40 4

10 · 5

= 154,5 + 3 = 157,5

Jadi, kuartil bawah dari data tinggi badan adalah157,5 cm.

27. Jawaban: eTabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.


10 (30 + 1)

= nilai data ke-21,7D7 adalah nilai data ke-21,7 terletak pada kelasinterval 36–39.L7 = 36 – 0,5 = 35,5fD7

= 3fkD7

= 21p = 4

D7 = L7 + D3

3

k

D

710

n f

f

⋅ −

· p

= 35,5 + 21 213−

· 4

= 35,5 + 4= 35,5


28. Jawaban: a

P30 = nilai data ke-30

100 (30 + 1)

= nilai data ke-9,3P30 adalah nilai data ke-9,3 terletak di kelas inter-val 28–31.L30 = 28 – 0,5 = 27,5

P30kf = 7

30Pf = 4

P30 = L30 + P30

30

k

P

30100

n f

f

⋅ −

· p

= 27,5 + 900100

7

4

−

· 4

= 27,5 + 2= 29,5

Jadi, persentil ke-30 data tersebut 29,5.

Tinggi Badan(cm)

150–154155–159160–164165–169170–174175–179

fi

4106848

fk

41420283240

← Kelas Q1

fkQ1

←

← Kelas P30

← Kelas D7

Usia (Tahun)

20–2324–27

28–31

32–35

36–39

40–43

fi

3 4

4

10

3

6

fk

3 7

11

21

24

30

18 Statistika

29. Jawaban: d

x =

4

i ii 1

4

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑ =

46020 = 23

S2 =

42

i ii 1

4

ii 1

f (x x)

f

=

=

−∑

∑ =

19820 = 9,9

Jadi, ragam data tersebut 9,9.

30. Jawaban: c

x– =

5

i ii 1

5

ii 1

fx

f

=

=

∑

∑ =

1.38060 = 23

5i i

i 1f | x x |

=∑ − = 15|12 – 23| + 6|17 – 23| + 9|22 – 23|

+ 12|27 – 23| + 18|32 – 23|= 15 × 11 + 6 × 6 + 9 × 1 + 12 × 4 +

18 × 9= 165 + 36 + 9 + 48 + 162= 420

Simpangan rata-rata:

SR =

5

i ii 1

5

ii 1

f | x x |

f

=

=

−∑

∑ =

42060 = 7

B. Uraian

1. Data setelah diurutkan sebagai berikut.1 2 3 4 6 6 6 7 7 78 8 8 9 9 10 10 11 11 1212 13 13 14 15 16 16 17 17 1819 20 21 22 23 24 25 26 27 28Banyak data = n = 40

Nilai data terkecil = 1Nilai data terbesar = 28Jangkauan = nilai data terbesar – nilai data terkecil

= 28 – 1 = 27Banyak kelas = k

= 1 + 3,3 log n= 1 + 3,3 log 40= 1 + 3,3 × 1,602= 1 + 5,2866= 6,2866≈ 6

Panjang kelas (p) = jangkauan

banyak kelas

= 276

= 4,5≈ 5

Menentukan batas atas dan batas bawah kelasinterval pertama.Bb1 = nilai data terkecil = 1Ba1 = Bb1 + p –1 = 1 + 5 – 1 = 5Diperoleh kelas interval pertama : 1–5Menentukan batas atas dan batas bawah kelasinterval kedua.Bb2 = Ba1 + 1 = 5 + 1 = 6Ba2 = Bb2 + p – 1 = 6 + 5 – 1 = 10Diperoleh kelas interval kedua : 6–10Dengan cara yang sama diperoleh:Kelas interval ketiga : 11–15Kelas interval keempat : 16–20Kelas interval kelima : 21–25Kelas interval keenam : 26–30Tabel distribusi frekuensi data pemakaian air PAMper keluarga dalam sebulan di Kampung Palapasebagai berikut.

2.

fi

9452

20

Tinggi (meter)

19–2122–2425–2728–30

4

i 1=∑

xi

20232629

fi xi

18092

13058

460

xi – x–

–3036

fi(xi – x–)2

810

4572

198

fi

15

6

9

12

18

60

fixi

180

102

198

324

576

1.380

xi

12 (9,5 + 14,5) = 12

12 (14,5 + 19,5) = 17

12 (19,5 + 24,5) = 22

12 (24,5 + 29,5) = 27

12 (39,5 + 34,5) = 32

5

i = 1∑

Volume Air (m3)

1–56–1011–1516–2021–2526–30

fi

413

8753

xi

4 5 6 7 8 9107

i 1=∑

fi

2641548

30

fi xi

83024 7403680

225

|xi – x–|

3,52,51,50,50,51,52,5

12,5


a. Rata-rata berat benda:

x =

7

i ii 1

7

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑ =

22530 = 7,5

Benda yang mempunyai berat minimal 1 kgdi atas rata-rata berat benda adalah bendayang mempunyai berat minimal 7,5 kg.Banyak benda yang mempunyai berat minimal7,5 kg = 5 + 4 + 8 = 17.Jadi, terdapat 17 benda yang mempunyai beratminimal 1 kg di atas rata-rata berat benda.

b. Simpangan rata-rata berat benda:

SR =

5

i ii 1

7

ii 1

f | x x |

f

=

=

−∑

∑ =

12,530 ≈ 0,42

Jadi, simpangan rata-rata berat benda 0,42.

3. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagaiberikut.


Q1 = nilai data ke- 14

(20 + 1)

= nilai data ke-5,25= x5 + 0,25(x6 – x5) = 2 + 0,25(4 – 2)

= 2 + 0,5= 2,5

Q3 = nilai data ke- 34

(20 + 1)

= nilai data ke-15,75= x15 + 0,75(x16 – x15) = 7 + 0,75(10 – 7)

= 7 + 2,25= 9,25

Simpangan kuartil = 12

(Q3 – Q1)

= 12

(9,25 – 2,5)

= 12

(6,75)

= 3,375Jadi, simpangan kuartil data tersebut 3,375.

4. a.

x =

5

i ii 1

5

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑

⇔ 168,4 = 10.340 174x62 x

++

⇔ 10.440,8 + 168,4x = 10.340 + 174x⇔ 100,8 = 5,6x⇔ x = 18Jadi, banyak orang bertinggi badan antara171 cm dan 177 cm ada 18 orang.

b. Orang yang bertinggi badan lebih dari 163 cmadalah orang yang bertinggi badan 164–170 cm,171–177 cm, dan 178–184 cm.Banyak orang yang bertinggi badan lebih dari163 cm = 16 + 18 + 20 = 54 orang.Jadi, ada 54 orang yang bertinggi badan lebihdari 163.


Me = nilai data ke-34 1

2+

= nilai data ke-17,5Median adalah nilai data ke-17,5 terletak di kelasinterval 65–69.L = 65 – 0,5 = 64,5p = 69 – 65 + 1 = 5

Mekf = 16

eMf = 6

Nilai (xi)

247

1013

fi

52832

fk

57

151820

xi

153160167174181

Tinggi Badan (cm)

150–156157–163164–170171–177178–184

5

i 1=∑

fi xi

2.4481.6002.672174x3.620

10.340 + 174x

fi

161016x

20

62 + x

← Kelas Me

fk

3 716

22

242934

Tinggi BadanBalita (cm)

50–5455–5960–64

65–69

70–7475–7980–84

fi

4 3 9

6

2 55

20 Statistika

Me = L + Me

e

k

M

n2

f

f

−

· p

= 64,5 + 342

6

10

−

· 5

= 64,5 + 0,5 = 65Jadi, median data di atas adalah 65 cm.

6. Titik tengah yang frekuensinya paling banyakadalah 28. Berarti modus data terletak di kelasinterval yang memuat titik tengah 28.

Tepi bawah kelas modus L = 12 (23 + 28) = 25,5

p = 28 – 23 = 5d1 = 13 – 4 = 9d2 = 13 – 7 = 6

Mo = L + 1

1 2

dd d

+

· p

= 25,5 + 9

9 6 +

· 5

= 25,5 + 3= 28,5

Jadi, modus data 28,5.



= nilai data ke-20,25Q1 adalah nilai data ke-20,25 terletak di kelasinterval 149–152.L1 = 149 – 0,5 = 148,5fkQ1

= 15

1Qf = 20

Q1 = L1 + Q1

1

1k4

Q

n f

f

−

· p

= 148,5 + 14

80 15

20

⋅ −

· 4

= 148,5 + 520 · 4

= 148,5 + 1= 149,5


= nilai data ke-60,75Q3 adalah nilai data ke-60,75 terletak di kelasinterval 157–160.L3 = 157 – 0,5 = 156,5

Q3kf = 53

3Qf = 14

Q3 = L3 + Q3

3

3k4

Q

n f

f

−

· p

= 156,5 + 34

80 53

14

⋅ −

· 4

= 156,5 + 7

14 · 4

= 156,5 + 2 = 158,5Jangkauan antarkuartil:H = Q3 – Q1

= 158,5 – 149,5= 9

Jadi, jangkauan antarkuartil tinggi siswa putri 9 cm.



D7 = nilai data ke- 710

(70 + 1)

= nilai data ke-49,7D7 adalah nilai data ke-49,7 terletak di kelas interval37–41.L7 = 37 – 0,5 = 36,5fD7

= 10

fkD7= 47

p = 41 – 37 + 1 = 5

D7 = L7 + D7

7

k

D

710

n f

f

⋅ −

· p

= 36,5 + 7

1070 47

10

⋅ −

· 5

= 36,5 + 2

10

· 5

= 36,5 + 1= 37,5

Jadi, nilai desil ke-7 data tersebut 37,5.

← Kelas Q1

← Kelas Q3

fi

15

20

18

14

85

Tinggi Badan (cm)

145–148

149–152

153–156

157–160

161–164165–168

fk

15

35

53

67

7580

← Kelas D7

fi

10 5 8 618

10

13

Nilai

12–1617–2122–2627–3132–36

37–41

42–46

fk

1015232947

57

70


9. Banyak data = n = 35 + pP30 terletak di kelas interval 105–109.L30 = 105 – 0,5 = 104,5fkMe

= 8

fMe= p

p = 109 – 105 + 1 = 5

P30 = L30 + P30

30

k

P

30100

n f

f

⋅ −

· p

⇔ 108,5 = 104,5 + ( )0,3 35 p 8p

+ −

· 5

⇔ 4 = 10,5 0,3p 8

p+ −

· 5

⇔ 0,8 = 2,5 0,3p

p+

⇔ 0,8p = 2,5 + 0,3p⇔ 0,5p = 2,5⇔ p = 5Banyak potongan logam yang beratnya kurang dari110 gram = 8 + p = 8 + 5 = 13.

10. a.

x =

7

i ii 1

7

ii 1

f x

f

=

=

∑

∑ =

1.96070 = 28

Jadi, rata-rata panjang potongan bambu28 cm.

b.7 2

i ii 1

f(x x)=∑ −

= 6(12 – 28)2 + 10(17 – 28)2 + 5(22 – 28)2 +15(27 – 28)2 + 20(32 – 28)2 + 5(37 – 28)2

+ 9(42 – 28)2

= 6(–16)2 + 10(–11)2 + 5(–6)2 + 15(–1)2 +20(4)2 + 5(9)2 + 9(14)2

= 1.536 + 1.210 + 180 + 15 + 320 + 405 +1.764

= 5.430Variansi:

S2 =

7 2i i

i 17

ii 1

f (x x)

f

=

=

−∑

∑ =

5.43070 = 77

47

Jadi, variansi panjang potongan bambu

7747 cm.

fi

610 51520 5 9

70

Panjang (cm)

10–1415–1920–2425–2930–3435–3940–44

7

i 1=∑

xi

12172227323742

fi xi

72170110405640185378

1.960

22 Aturan Pencacahan dan Peluang

Setelah mempelajari bab ini peserta didik mampu:1. mendeskripsikan dan menerapkan konsep aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah;2. menentukan ruang sampel dan kejadian dari suatu percobaan;3. menghitung peluang suatu kejadian dan peluang kejadian majemuk.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik jeli dalam menganalisis setiap permasalahan danmemilih cara yang tepat untuk menyelesaikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

Aturan Pencacahan dan Peluang

Aturan Pencacahan

• Mendeskripsikan konsep aturanperkalian, permutasi, dan kombinasi.

• Menerapkan konsep aturan per-kalian, permutasi, dan kombinasidalam pemecahan masalah nyata.

• Memilih dan menggunakan aturanpencacahan yang sesuai dalampemecahan masalah nyata sertamemberikan alasannya.

• Mengidentifikasi masalah nyatadan menerapkan aturan perkalian,permutasi, dan kombinasi dalampemecahan masalah tersebut.

• Bersikap jeli dalam menganalisis setiap permasalahan dan memilih cara yang tepat untuk menyelesaikanpermasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

• Mampu menjelaskan konsep aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi.• Mampu mengidentifikasi masalah nyata dan menerapkan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam

pemecahan masalah tersebut.• Mampu menjelaskan pengertian ruang sampel suatu percobaan dan mampu menentukan ruang sampel suatu

percobaan.• Mampu menjelaskan pengertian peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian serta mampu

menentukan peluang suatu kejadian dan peluang komplemen suatu kejadian.• Mampu menjelaskan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dan mampu menentukan frekuensi harapan

suatu kejadian.• Mampu menjelaskan pengertian kejadian saling lepas dan tidak saling lepas.• Mampu menentukan peluang gabungan kejadian saling lepas dan tidak saling lepas.• Mampu menjelaskan pengertian kejadian saling bebas dan tidak saling bebas.• Mampu menentukan peluang irisan kejadian saling bebas dan tidak saling bebas.

Peluang Suatu Kejadian Peluang Kejadian Majemuk

• Mendefinisikan pengertian ruangsampel suatu percobaan.

• Menentukan ruang sampel suatupercobaan.

• Mendefinisikan pengertian peluangsuatu kejadian dan peluangkomplemen suatu kejadian.

• Menentukan peluang suatu kejadi-an dan peluang komplemen suatukejadian.

• Menjelaskan kisaran nilai peluang.• Mendefinisikan pengertian frekuensi

harapan suatu kejadian.• Menentukan frekuensi harapan

suatu kejadian.

• Mendefinisikan pengertian kejadiansaling lepas dan tidak saling lepas.

• Mendefinisikan pengertian peluanggabungan kejadian saling lepasdan tidak saling lepas.

• Menentukan peluang gabungankejadian saling lepas dan tidaksaling lepas.

• Mendefinisikan pengertian kejadiansaling bebas dan tidak saling bebas.

• Mendefinisikan pengertian peluangirisan kejadian saling bebas dantidak saling bebas.

• Menentukan peluang irisan kejadi-an saling bebas dan tidak salingbebas.


A. Pilihan Ganda1. Jawaban: d

10!7!4! +

6!3!3! =

10 9 8 7!7! 4 3 2 1

× × ×× × × × +

6 5 4 3!3! × 3 2 1

× × ×× ×

= 10 × 3 + 5 × 4= 30 + 20= 50

2. Jawaban: bn + 1P3 = 9 × nP2

⇔(n 1)!

(n 1 3)!+

+ − = 9 × n!

(n 2)!−

⇔(n 1)!(n 2)!

+− = 9 ×

n!(n 2)!−

⇔ (n 1)!(n 2)!

+−

× (n 2)!−

n!= 9

⇔ (n 1)n!n!+

= 9

⇔ n + 1 = 9⇔ n = 8Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 8.

3. Jawaban: dPerlengkapan skateboard:Papan ada 3 pilihan.Set roda ada 2 pilihan.Set sumbu ada 1 pilihan.Set perlengkapan kecil ada 2 pilihan.Jadi, banyak skateboard berbeda yang dapat dibuat= 3 × 2 × 1 × 2 = 12

4. Jawaban: cBilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan,puluhan, dan satuan. Bilangan yang dibentuk nilai-nya lebih dari 200, maka angka yang menempatinilai tempat ratusan adalah 2, 3, 4, atau 5. Berartiterdapat 4 cara untuk menempati nilai tempatratusan.Angka yang dapat menempati nilai tempat puluhanadalah 1, 2, 3, 4, atau 5 ada 5 angka. Oleh karenaangka dalam setiap bilangan berbeda, terdapat(5–1) angka yang dapat menempati nilai tempatpuluhan.Berarti ada (5–1) = 4 cara untuk menempati nilaitempat puluhan. Begitu juga dengan nilai tempatsatuan, terdapat (4–1) = 3 cara untuk menempatinilai tempat satuan. Dengan demikian, banyakbilangan lebih dari 200 yang dapat dibentuk= 4 × 4 × 3 = 48.

5. Jawaban: bBilangan tiga angka mempunyai nilai tempatratusan, puluhan, dan satuan. Bilangan yang

dibentuk genap, maka angka yang menempatitempat satuan adalah 2 dan 4. Berarti ada 2 carauntuk menempati nilai tempat satuan.Nilai tempat ratusan dapat ditempati 4 angka ter-sisa setelah 1 angka menempati nilai tempat satuan.Nilai tempat puluhan dapat ditempati 3 angkatersisa setelah 1 angka menempati nilai tempatsatuan dan 1 angka menempati tempat ratusan.Banyak cara menempati nilai tempat ratusan,puluhan, dan satuan disusun dalam tabel berikut.

Banyak bilangan genap yang terbentuk= 4 × 3 × 2 = 24.

6. Jawaban: cAkan dipilih 5 orang sebagai ketua, wakil ketua,sekretaris, bendahara, dan humas.Pemilihan ketua, wakil ketua, sekretaris,bendahara, dan humas merupakan pemilihan yangmemperhatikan urutan (permutasi).Banyak cara memilih 5 pengurus dari 7 pengurus= permutasi 5 unsur dari 7 unsur= 7P5

= 7!

(7 5)!−

= 7 6 5 4 3 2!

2!× × × × ×

= 7 × 6 × 5 × 4 × 3= 2.520Jadi, banyak cara memilih pengurus 2.520 cara.

7. Jawaban: aResa dapat berdiri di ujung kanan atau kiri sehinggaada 2 cara Resa berdiri di salah satu ujung. Sisanyaada 4 anak yang dapat diatur dengan 4P4 cara.Dengan demikian, banyak urutannya= 2 × 4P4= 2 × 4!= 2 × 4 × 3 × 2 × 1= 48 urutan

8. Jawaban: aBanyak susunan kata yang dapat dibentuk darikata WIYATA= permutasi 6 elemen dengan 2 elemen sama

= 6!2!

= 6 5 4 3 2!

2!× × × ×

= 360Jadi, ada 360 kata yang dapat dibentuk.

Ratusan

4 cara

Puluhan

3 cara

Satuan

2 cara


9. Jawaban: aB, C, dan D selalu berdampingan berarti dianggap1 kelompok atau 1 unsur yaitu BCD.Banyak unsur yang disusun ada 4 yaitu A, BCD,E, dan F, berarti banyak cara menyusun ke-4 unsur= 4P4 = 4!.Banyak cara menyusun B, C, dan D = 3P3 = 3!.Banyak cara berfoto = 4P4 × 3P3

= 4! × 3!= 24 × 6 = 144

Jadi, cara berfoto ada 144.10. Jawaban: b

Ketua, wakil ketua, sekretaris, dan 3 anggotadewan akan duduk melingkar.Ketua, wakil ketua, dan sekretaris dipandangsebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadipermutasi siklis dari 1 + 3 = 4 unsur.Banyak susunan duduk ketua di antara wakil ketuadan sekretaris = 2!Banyak susunan duduk dari ketujuh anggota DPRD= (4 – 1)! × 2!= 3! × 2!= 6 × 2 = 12Jadi, banyak cara duduk dalam rapat tersebut ada12 cara.

11. Jawaban: eJumlah soal yang harus dikerjakan 5. Dua soal(nomor 1 dan 2) wajib dikerjakan, berarti ada 3 soalyang harus dipilih siswa.Tiga soal tersebut dapat dipilih dari 5 soal, yaitunomor 3, 4, 5, 6, dan 7. Banyak pilihan soal yangmungkin dikerjakan siswa= memilih 3 soal dari 5 soal= kombinasi 3 unsur dari 5 unsur= 5C3

= 5!

3!(5 3)!− = 5 4 3!3! 2 1

× ×× × = 10

Jadi, banyak pilihan soal yang mungkin dikerjakanada 10.

12. Jawaban: dBanyak cara menyusun ketiga merek motor = 3!Banyak cara menyusun motor Honda = 4!Banyak cara menyusun motor Yamaha = 3!Banyak cara menyusun motor Suzuki = 2!Banyak penyusunan barisan dengan setiap merektidak boleh terpisah = 3! 4! 3! 2! = 1.728

13. Jawaban: cJumlah buah yang dibeli Andi = 18Andi membeli paling sedikit 5 buah untuk setiapjenis buah, maka sebanyak 15 buah yang terdiriatas 5 apel, 5 jeruk, dan 5 mangga sudah pastidibeli Andi.Dengan demikian, sebanyak 3 buah belumdiketahui komposisi masing-masing jenis buahyang akan dibeli Andi.

Komposisi 3 jenis buah tersebut dapat dicarimenggunakan cara berikut.Jumlah 3 buah tersebut dapat diwakili denganangka 0, 1, 2, dan 3.Apel (a) Jeruk (j) Mangga (m) Komposisi Buah

(0a, 0j, 3m) berarti membeli 5 apel, 5 jeruk, dan8 mangga.(0a, 1j, 2m) berarti membeli 5 apel, 6 jeruk, dan7 mangga.(0a, 2j, 1m) berarti membeli 5 apel, 7 jeruk, dan6 mangga, dan seterusnya.Oleh karena terdapat 10 komposisi 3 buah yangakan dibeli, maka komposisi banyak buah yangmungkin dibeli Andi ada 10.

14. Jawaban: bKemungkinan tim yang terbentuk paling sedikit 1putri yaitu terdiri atas (2 putra dan 1 putri),(1 putra dan 2 putri), atau (3 putri).n1 = banyak kemungkinan anggota tim 2 putra dan

1 putri= memilih 2 putra dari 5 putra dan memilih

1 putri dari 6 putri= 5C2 × 6C1

= 5!

2!3! × 6!

1!5!

= 10 × 6 = 60n2 = banyak kemungkinan anggota tim 1 putra dan

2 putri= memilih 1 putra dari 5 putra dan memilih

2 putri dari 6 putri= 5C1 × 6C2

= 5!

4!1! × 6!

4!2!

= 5 × 15 = 75n3 = banyak kemungkinan anggota tim 3 putri

= memlih 3 putri dari 6 putri= 6C3

= 6!

3!3! = 20

3210210100

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

0

1

(0a, 0j, 3m)(0a, 1j, 2m)(0a, 2j, 1m)(0a, 3j, 0m)(1a, 0j, 2m)(1a, 1j, 1m)(1a, 2j, 0m)(2a, 0j, 1m)(2a, 1j, 0m)(3a, 0j, 0m)

0123012010

2

3


Angka I Angka II Angka III Angka IV

5 cara 5 cara 5 cara 5 cara

Angka I Angka II Angka III Angka IV


Banyak cara memilih anggota tim= n1 + n2 + n3= 60 + 75 + 20= 155

15. Jawaban: an1 = banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka

(boleh berulang) yang dapat dibuat dari5 angka

= 5 × 5 × 5 × 5= 625

n2 = banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angka(boleh berulang) dengan angka terakhir 0 danangka pertama 0

= 1 × 5 × 5 × 1= 25

Banyak kupon bernomor terdiri atas 4 angkadengan angka pertama atau terakhir tidak nol= n1 – n2= 625 – 25= 600

B. Uraian1. a. 2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2

⇔2 (2n 1)!

2!(2n 1 2)!⋅ +

+ − = 3!n!

(n 2)!−

⇔ (2n 1)(2n 1 1)(2n 1 2)!

(2n 1 2)!+ + − + −

+ − = 6n(n 1)(n 2)!

(n 2)!− −

−

⇔ (2n + 1) · 2n = 6n(n –1)⇔ 2n + 1 = 3(n – 1)⇔ 2n + 1 = 3n – 3⇔ n = 4Jadi, nilai n = 4.

b. 9 n

10 n 1

CC +

= 3

10

⇔ 10 · 9Cn = 3 · 10Cn + 1

⇔10 9!

n!(9 n)!⋅− =

3 10!(n 1)!(10 n 1)!

⋅+ − −

⇔10!

n!(9 n)!− = 3 10!

(n 1)n!(9 n)!⋅

+ −

⇔ 11 =

3n 1+

⇔ n + 1 = 3⇔ n = 2Jadi, nilai n = 2.

c. n · 6P2 = nP3

⇔ n 6!4!⋅

= n!

(n 3)!−

⇔ n 6 5 4!4!

⋅ ⋅ ⋅=

n(n 1)(n 2)(n 3)!(n 3)!

− − −−

⇔ 30 = (n – 1)(n – 2)⇔ n2 – 3n + 2 = 30⇔ n2 – 3n – 28 = 0⇔ (n – 7)(n + 4) = 0⇔ n – 7= 0 atau n + 4 = 4⇔ n = 7 atau n = –4nP3 mempunyai syarat n ≥ 3.Jadi, nilai n yang memenuhi 7.

2. a. Bola merah ada 9 buah.Banyak cara pengambilan tiga bola merah= kombinasi 3 dari 9= 9C3

= 9!

3!(9 3)!−

= 9 8 7 6!3 2 1 6!

× × ×× × × = 84

Jadi, banyak cara pengambilan ketiganya bolamerah adalah 84.

b. Dari tiga bola yang diambil, terambil 2 bolabiru. Artinya, bola yang terambil 2 bola birudan 1 bola merah.Banyak cara pengambilan 2 bola biru dan1 bola merah= 5C2 × 9C1

= 5!

2!3! × 9!

1!8!

= 5 4 3!2 1 3!

× ×× × ×

9 8!1 8!

××

= 10 × 9 = 90Jadi, banyak cara pengambilan 2 bola biruadalah 90.

3. Banyak cara memilih 3 huruf konsonan dari 5 hurufkonsonan= 5C3

= 5!

3!2! = 5 4 3!2 1 3!

× ×× × = 10 cara

Banyak cara memilih 2 huruf vokal dari 3 hurufvokal= 3C2

= 3!

2!1! = 3 2!2! 1

×× = 3 cara

Banyak cara menyusun 5 huruf= 5P5= 5! = 120 caraBanyak password yang terbentuk= 5C3 × 3C2 × 5P5= 10 × 3 × 120 = 3.600Jadi, banyak password yang terbentuk ada 3.600.


4. Orang-orang dari 4 negara duduk secara melingkardengan (4 – 1)! = 3!.3 orang dari Amerika dapat duduk dengan 3! cara.2 orang dari Irlandia dapat duduk dengan 2! cara.4 orang dari Korea dapat duduk dengan 4! cara.2 orang dari Filipina dapat duduk dengan 2! cara.Banyak cara duduk 11 orang = 3! 3! 2! 4! 2!= 6 × 6 × 2 × 24 × 2= 3.456 caraJadi, banyak cara peserta duduk adalah 3.456.

5. Bilangan terdiri atas 3 angka akan disusun dariangka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 tanpa ada angkayang sama dalam setiap bilangan.Banyak bilangan 3 angka yang nilainya di antara520 dan 600 yang dapat disusun sebagai berikut.

Banyak bilangan yang tersusun = 1 × 5 × 6 = 30.Bilangan 520 tidak termasuk karena syaratnyalebih dari 520.

n1 = banyak bilangan yang lebih dari 520 dankurang dari 600

= 30 – 1= 29

Banyak bilangan 3 angka yang nilainya lebih besardari 599 yang dapat disusun sebagai berikut.

n2 = banyak bilangan 3 angka yang nilainya lebihbesar dari 599

= 2 × 7 × 6= 84

Banyak bilangan 3 angka yang bernilai lebih besardari 520 dan tidak boleh berulang= n1 + n2= 29 + 84= 113Jadi, ada 113 bilangan yang dapat disusun.

Dua angka sudah digunakan.Jadi, tersisa 6 cara.

Dapat ditempati angka selain 6 atau 7.Jadi, ada 7 cara.

Ratusan Puluhan Satuan

2 cara 7 cara 6 cara

Dapat ditempati angka 6 atau 7.Jadi, ada 2 cara.

Angka 5 dan sebuah angkasudah digunakan.Jadi, tersisa 8 – 2 = 6 cara.

Dapat ditempati angka 2, 3, 4, 6, atau 7.Jadi, ada 5 cara.



Ditempati angka 5.Jadi, ada 1 cara.

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: c

Jumlah bohlam = 3 × 12 = 36Banyak bohlam dalam kondisi baik = 36 – 5 = 31Ruang sampel S = kejadian pengambilan 2 bohlamdari 36 bohlam.n(S) = banyak cara mengambil 2 bohlam dari

36 bohlam= 36C2

=−

36!2!(36 2)!

= × ×× ×

36 35 34!2 1 34!

= 18× 35 = 630

Misalkan A = kejadian terambil dua bohlam dalamkondisi baik dari 31 bohlam dalam kondisi baikn(A) = banyak cara mengambil 2 bohlam dari

31 bohlam

= 31C2 = −

31!2!(31 2)!

= × ×× ×

31 30 29!2 1 29!

= 31× 15 = 465

Peluang terambil kedua bohlam dalam kondisi baik:

P(A) = n(A)n(S) =

465630 =

3142

Jadi, peluang terambil kedua bohlam dalam kondisi

baik adalah 3142

.

2. Jawaban: cJumlah kelereng = 5 + 3 + 2 = 10Ruang sampel S = kejadian terambil 3 bola dari10 bola.n(S) = banyak cara mengambil 3 bola dari 10 bola

= 10C3

= −10!

3!(10 3)!

= 10 × 9 × 8 × 7!3 × 2 ×1× 7! = 10 × 3 × 4 = 120

Misalkan A = kejadian terambil 2 bola merah dan1 bola kuning.


Ribuan Puluhan Satuan

1 ... 2, 4, 6 atau 8

2 ... 4, 6, atau 8

4 ... 2, 6, atau 8

n(A) = banyak cara mengambil 2 bola merah dari5 bola merah dan 1 bola kuning dari 3 bolakuning

= 5C2 × 3C1

=!

!( )!−5

2 5 2 × −3!

1!(3 1)!

=5 × 4 × 3!2 ×1 3!× ×

3 × 2!1× 2! = 5 × 2 × 3 = 30

Peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola kuning:

P(A) = n(A)n(S) =

30120 =

312

Jadi, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola

kuning adalah 3

12 .

3. Jawaban: bRuang sampel S = kejadian terpilihnya 2 angkadari 12 angka.n(S) = banyak cara memilih 2 angka dari 12 angka

= 12C2 = −12!

2!(12 2)! = ⋅ ⋅

× ×12 11 10!2 1 10!

= 6 × 11 = 66

Faktor dari 12 ada 6, yaitu 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.Misalkan A = kejadian terpilihnya 2 angka faktor

dari 12= kejadian terpilih 2 angka dari 6 angka

n(A) = banyak cara memilih 2 angka dari 6 angka

= 6C2 = −

6!2! (6 2)!

= 6 5 4!2 1 4!

× ×× ×

= 3 × 5 =15

Peluang terpilih dua angka faktor dari 12:

P(A) = n(A)n(S)

= 1566 =

522

Jadi, peluang terpilih dua angka faktor dari 12

adalah 5

22 .

4. Jawaban: bRuang sampel S = himpunan pasangan blus dan rok.n(S) = banyak pasangan blus dan rokBanyak pasangan blus bermotif batik dan rok panjang= 3 × 3 = 9Banyak pasangan blus bermotif batik dan rok pendek= 3 × 2 = 6Banyak pasangan blus bermotif garis dan rok panjang= 2 × 3 = 6Banyak pasangan blus bermotif garis dan rok pendek= 2 × 2 = 4Banyak pasangan blus bermotif kotak-kotak dan rokpanjang = 4 × 3 = 12Banyak pasangan blus bermotif kotak-kotak dan rokpendek = 4 × 2 = 8n(S) = 9 + 6 + 6 + 4 + 12 + 8 = 45Misalkan K = kejadian Leni memakai blus bermotifbatik dan rok pendek.

n(K) = banyak pasangan blus bermotif batik dan rokpendek

= 3 × 2 = 6Peluang Leni memakai blus bermotif batik dan rokpendek:

P(K) = n(K)n(S) =

645 =

215

5. Jawaban: eBilangan ratusan terdiri atas 3 angka.Ruang sampel S= himpunan bilangan ratusan yang

dibentuk dari angka-angka 1, 2,4, 6, 8, dan 9.

= himpunan bilangan yang terdiriatas 3 angka yang dibentukdari 6 angka

n(S) = banyak cara membentuk bilangan yangterdiri atas 3 angka dari 6 angka

= 6P3 =6!3! =

× × ×6 5 4 3!3! = 6 × 5 × 4 = 120

Misalkan A = kejadian terbentuknya bilangan genapkurang dari 500, maka n(A) = banyak bilangangenap kurang dari 500.Bilangan yang dibentuk nilainya kurang dari 500,maka angka-angka yang menempati nilai tempatratusan ada 3, yaitu 1, 2, dan 4.Bilangan yang dibentuk ratusan genap, makaangka-angka yang menempati nilai tempat satuanada 4, yaitu 2, 4, 6, dan 8.Oleh karena angka-angka dalam setiap bilanganberbeda, maka angka-angka yang dapat me-nempati nilai tempat ratusan, puluhan, dan satuansebagai berikut.

Untuk bilangan dengan angka ribuan 1, angka-angka yang dapat menempati nilai tempat satuanada 4, yaitu 2, 4, 6, dan 8 sehingga ada 4 carauntuk menempati nilai tempat satuan.Untuk bilangan dengan angka ribuan 2, angka-angka yang dapat menempati nilai tempat satuanada 3, yaitu 4, 6, dan 8 sehingga ada 3 cara untukmenempati nilai tempat satuan.Untuk bilangan dengan angka ribuan 4, angka-angka yang dapat menempati nilai tempat satuanada 3, yaitu 2, 6, dan 8 sehingga ada 3 cara untukmenempati nilai tempat satuan.Angka-angka yang dapat menempati nilai tempatpuluha ada 6, yaitu 1, 2, 4, 6, 8, dan 9.


Setelah 2 angka menempati nilai tempat ribuandan satuan, tersisa (6 – 2) = 4 angka sehinggaada 4 cara untuk menempati nilai tempat puluhan.Banyak bilangan genap kurang dari 500 denganangka ribuan 1 = 1 × 4 × 4 = 16Banyak bilangan genap kurang dari 500 denganangka ribuan 2 atau 4 = 2 × 4 × 3 = 24Dengan demikian, diperoleh n(A) = 16 + 24 = 40Peluang terambil bilangan genap kurang dari 500:

P(A) = n(A)n(S) =

40120 =

13

Jadi, peluang terambil bilangan genap kurang dari

500 adalah 13 .

6. Jawaban: aRuang sampel S = kejadian 6 anak dudukmelingkar.n(S) = permutasi siklis 6 unsur

= (6 – 1)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120Misalkan A = kejadian Tera duduk bersebelahandengan Wisnu dan Lisa duduk bersebelahandengan RinaTera dan Wisnu dipandang sebagai 1 unsur, Lisadan Rina dipandang sebagai 1 unsur sehinggapermasalahan menjadi permutasi siklis 4 unsur.Cara duduk Tera dan Wisnu ada 2! dan cara dudukLisa dan Rina ada 2!.n(A) = 2! × 2! × permutasi siklis 4 unsur

= 2! × 2!(4 – 1)!= 2!2!3! = 2 × 1 × 2 × 1 × 3 × 2 × 1 = 24

Peluang Tera duduk bersebelahan dengan Wisnudan Lisa duduk bersebelahan dengan Rina:

P(A)= n(A)n(S)

= 24120

= 15

Jadi, peluang Tera duduk bersebelahan denganWisnu dan Lisa duduk bersebelahan dengan Rina

adalah 15 .

7. Jawaban: cBanyak angka ganjil = 5, yaitu 1, 3, 5, 7, dan 9.Banyak angka genap = 4, yaitu 2, 4, 6, dan 8.Ruang sampel S = himpunan dua angka berjumlahgenap.Dua angka berjumlah genap jika terdiri atas duaangka ganjil atau dua angka genap.n(S) = banyak dua angka berjumlah genap

= banyak dua angka ganjil + banyak dua angkagenap

= 5C2 + 4C2

= −5!

2! (5 2)! + −4!

2! (4 2)!

= × ×× ×

5 4 3!2 1 3! +

× ×× ×

4 3 2!2 1 2!

= 5 × 2 + 2 × 3 = 10 + 6 = 16

Misalkan A = kejadian terpilih dua angka ganjiln(A) = banyak dua angka ganjil yang jika dijumlah

genap= 5C2 = 10

Peluang terpiling dua angka ganjil:

P(A) = n(A)n(S) =

1016 =

58

Jadi, peluang terpilih dua angka ganjil adalah 58 .

8. Jawaban: aJumlah kartu bridge = 52.Ruang sampel S = kejadian terambil 2 kartu bridge.Banyak anggota ruang sampel = n(S)n(S) = banyak cara megambil 2 kartu dari 52 kartu

= 52C2

= −

52!2!(52 2)!

= × ×× ×

52 51 50!2 1 50!

= 26× 51 = 1.326

Banyak kartu King = 4.Misalkan A = kejadian terambil dua kartu King.n(A) = banyak cara mengambil 2 kartu King dari

4 kartu King

= 4C2 = −

4!2!(4 2)!

= × ×× ×

4 3 2!2 1 2!

= 2× 3 = 6

Peluang terambil dua kartu King:

P(A) = n(A)n(S) =

61.326 =

1221

Peluang terambil bukan kartu King:

P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 1

221 = 220221

Jadi, peluang terambil bukan kartu King 220221 .

9. Jawaban: cJumlah koin = 2 + 4 + 6 = 12Ruang sampel S = kejadian terambil 6 koin dari12 koin.n(S) = banyak cara mengambil 6 koin dari 12 koin

= 12C6

= −

12!6!(12 6)!

= × × × × × ×× × × × × ×

12 11 10 9 8 7 6!6 5 4 3 2 1 6!

= 11× 2× 3 × 2 × 7 = 924Misalkan K = kejadian terambil 6 koin yang memilikijumlah minimal Rp5.000,00.Kemungkinan kejadian 6 koin yang terambilsebagai berikut.a. K1 = Kejadian terambil 4 koin Rp1.000,00 dan

2 koin Rp500,00.n(K1) = Banyak cara mengambil 4 koin

Rp1.000,00 dari 6 koin Rp1.000,00 dan2 koin Rp500,00 dari 4 koin Rp500,00

= 6C4×

4C2


= −6!

4! (6 4)! × −4!

2! (4 2!

= 6 5 4!4! 2 1

× ×× × ×

× ×× ×

4 3 2!2 1 2!

= 3 × 5× 2× 3 = 90b. K2 = kejadian terambil 5 koin Rp1.000,00

dan 1 koin Rp200,00.n(K2) = banyak cara mengambil 5 koin


= 6C5 × 2C1

= 6!

5! (6 5)!− × −2!

1! (2 1!

= 6 5!5! 1

×× ×

××

2 11 1

= 6 × 2 = 12c. K3 = Terambil 5 koin Rp1.000,00 dan 1 koin

Rp500,00.n(K3) = banyak cara mengambil 5 koin


= 6C5 × 4C1

= 6!

5! (6 5)!− × −4!

1! (4 1!

= 6 5!5! 1

×× ×

××

4 3!1 3! = 6 × 4 = 24

d. K4 = Terambil 6 koin Rp1.000,00n(K4) = banyak cara mengambil 6 koin

Rp1.000,00 dari 6 koin Rp1.000,00

= 6C6 = −6!

6! (6 6)! = 1

n(K) = n(K1) + n(K2) + n(K3) + n(K4)= 90 + 12 + 24 +1 = 127

Peluang enam koin yang terambil memiliki jumlahminimal Rp5.000,00:

P(K) = n(K)n(S) =

127924

10. Jawaban: dMisalkan pengambilan tiga huruf tersebut dilakukansebanyak n kali.Jumlah huruf = 8Ruang sampel S = kejadian pengambilan tiga hurufdari 8 huruf.n(S) = banyak cara mengambil 3 huruf dari 8 huruf

= 8C3

= −8!

3! (8 3)!

= × × ×× × ×

8 7 6 5!3 2 1 5! = 8 × 7 = 56

Banyak huruf vokal = 4Banyak huruf konsonan = 4

Misalkan K = kejadian terambilnya 2 huruf vokal= kejadian terambil 2 huruf vokal dan

1 huruf konsonann(K) = banyak cara mengambil 2 huruf vokal dari

4 huruf vokal dan 1 huruf konsonan dari4 huruf konsonan

= 4C2 × 4C1

= −4!

2! (4 2)! × −4!

1! (4 1)!

= × ×× ×

4 3 2!2 1 2! ×

××

4 3!1 3! = 6 × 4 = 24

Peluang terambil dua huruf vokal:

P(K) = n(K)n(S) =

2456 =

37

Frekuensi harapan terambil dua huruf vokal:

Fr(K) = n × P(K) ⇔ 90 = n × 37

⇔ n = 90 × 73 = 210

Jadi, pengambilan tiga huruf tersebut dilakukansebanyak 210 kali.

B. Uraian1. Jumlah ahli = 5 + 3 + 4 = 12

Ruang sampel S = kejadian terpilih 6 orang dari 12orang ahli.n(S) = banyak cara memilih 6 orang dari 12 orang

= 12C6

= −

12!6!(12 6)!

= × × × × × ×× × × × × ×

12 11 10 9 8 7 6!6 5 4 3 2 1 6!

= 11× 2× 3 × 2 × 7 = 924a. Misalkan A = kejadian terpilih 4 ahli

matematika dan 2 ahli ekonomi.n(A) =banyak cara memilih 4 ahli matematika

dari 5 ahli matematika dan 2 ahliekonomi dari 3 ahli ekonomi

= 5C4 × 3C2

= −5!

4! (5 4)! × −3!

2! (3 2)!

= 5 4!4! 1

×× ×

3 2!2! 1

×× = 5 × 3 = 15

Peluang terpilih 4 ahli matematika dan 2 ahliekonomi:

P(A) = n(A)n(S) =

15924 =

3308

Jadi, peluang terpilihnya 4 ahli matematika

dan 2 ahli ekonomi adalah 3

308 .


b. Misalkan B = kejadian terpilih 2 orang daritiap-tiap kelompok

= kejadian terpilihnya 2 ahlimatematika, 2 ahli ekonomi,dan 2 ahli bahasa

n(B) = banyak cara memilih 2 ahli matematikadari 5 ahli matematika, 2 ahli ekonomidari 3 ahli ekonomi, dan 2 ahli bahasadari 4 ahli bahasa

= 5C2 × 3C2 × 4C2

= −5!

2! (5 2)! × −3!

2! (3 2)! × −4!

2! (4 2)!

= × ×× ×

5 4 3!2 1 3! ×

3 2!2! 1

×× ×

× ×× ×

4 3 2!2 1 2!

= 10 × 3 × 6 = 180Peluang terpilih dua orang dari tiap-tiapkelompok:

P(B) = 180924 =

1577

Jadi, peluang terpilih dua orang dari tiap-tiap

kelompok 1577 .

2. Ruang sampel = S = kejadian terambil 4 huruf dari13 hurufn(S) = banyak cara mengambil 4 huruf dari 13 huruf

= 13C4

= 13!4! (13 4)!−

= 13 12 11 10 9!4 3 2 1 9!× × × ×

× × × × = 715

a. Banyak huruf vokal = 7Banyak huruf konsonan = 6Misalkan:A = kejadian terambil 1 huruf vokal dan

3 huruf konsonann(A) = banyak cara mengambil 1 huruf vokal

dari 7 huruf vokal dan 3 huruf konsonandari 6 huruf konsonan

= 7C1 × 6C3

= 7!

1! (7 1)!− × 6!

3! (6 3!)−

= 7 6!1 6!

×× ×

6 5 4 3!3! 3 2 1

× × ×× × ×

= 7 × 20 = 140Peluang terambil 1 huruf vokal dan 3 hurufkonsonan:

P(A) = n(A)n(S) =

140715 =

28143

Jadi, peluang terambil 1 huruf vokal dan

3 huruf konsonan adalah 28

143 .

b. Banyak huruf vokal = 7MisalkanB = kejadian terambil keempatnya huruf vokalB′ = kejadian terambil keempatnya bukan

huruf vokal

n(B) = banyak cara mengambil 4 huruf vokaldari 7 huruf vokal

= 7C4

= 7!

4! (7 4)!−

= 7 6 5 4!4! 3 2 1

× × ×× × ×

= 35Peluang terambil keempatnya huruf vokal:

P(B) = n(B)n(S) =

35715

Peluang terambil keempatnya bukan hurufvokal.P(B′) = 1 – P(B)

= 1 – 35715

= 680715 =

136143

Jadi, peluang terambil keempatnya bukan

huruf vokal adalah 136143 .

3. a. Bilangan empat angka merupakan bilanganribuan.Bilangan ribuan memiliki nilai tempat ribuan,ratusan, puluhan, dan satuan.Ruang sampel S = himpunan bilangan ribuanyang terbentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4,dan boleh berulang.n(S) = banyak bilangan ribuan yang terbentukdari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan bolehberulang.Oleh karena angka-angka dalam setiapbilangan boleh diulang, maka angka-angkayang dapat menempati nilai tempat ribuan,ratusan, puluhan, dan satuan masing-masingada 4, yaitu 1, 2, 3, dan 4 sehingga ada 4cara untuk menempati nilai tempat ribuan,ratusan, puluhan, dan satuan.Dengan demikian, dapat disusun sebagaiberikut.

n(S) = 4 × 4 × 4 × 4 = 256Misalkan A = kejadian terbentuk bilanganribuan lebih dari 2.000 yang dibentuk dariangka-angka 1, 2, 3, 4 dan angka bolehberulang.n(A) = banyak bilangan ribuan lebih dari 2.000yang dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4 danangka boleh berulang.

Ribuan Ratusan Puluhan Satuan





Ribuan Ratusan Puluhan satuan


2cara

Bilangan yang dibentuk nilainya lebih dari2.000, maka angka-angka yang menempatinilai tempat ribuan ada 3, yaitu 2, 3, dan 4sehingga ada 3 cara untuk menempati nilaitempat ribuan.Angka-angka dalam setiap bilangan bolehdiulang, maka angka-angka yang dapatmenempati nilai tempat ratusan, puluhan, dansatuan masing-masing ada 4, yaitu 1, 2, 3,dan 4 sehingga ada 4 cara untuk menempatinilai tempat ratusan, puluhan, dan satuan.Dengan demikian, dapat disusun sebagaiberikut.

n(A) = 3 × 4 × 4 × 4 = 192Peluang bilangan yang terbentuk lebih besardaripada 2.000 dan angka-angka dapatberulang:

P(A) = n(A)n(S) =

192256 =

34

Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebihbesar daripada 2.000 dan angka-angka dapat

berulang adalah 34 .

b. Ruang sampel S = himpunan bilangan ribuanyang dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4serta angka tidak boleh berulang.n(S) = banyak cara membentuk bilangan

4 angka dari 4 angka= 4P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Misalkan B = kejadian terbentuk bilangan ribuanlebih dari 2.000 yang dibentuk dari angka-angka1, 2, 3, 4 dan angka tidak boleh berulang.Bilangan yang dibentuk nilainya lebih dari2.000, maka angka-angka yang menempatinilai tempat ribuan ada 3, yaitu 2, 3, dan 4sehingga ada 3 cara untuk menempati nilaitempat ribuan.Angka-angka yang dapat menempati nilaitempat ratusan, puluhan, dan satuan ada 4,yaitu 1, 2, 3, dan 4.Setelah satu angka menempati nilai tempatribuan, tersisa (4 – 1) = 3 angka sehinggaada 3 cara untuk menempati nilai tempatratusan.Setelah dua angka menempati nilai tempatribuan dan ratusan, tersisa (4 – 2) = 2 angkasehingga ada 2 cara untuk menempati nilaitempat puluhan.Setelah tiga angka menempati nilai tempatribuan, ratusan, dan puluhan, tersisa (4 – 3)= 1 angka sehingga ada 1 cara untukmenempati nilai tempat satuan.

Dengan demikian, dapat disusun sebagaiberikut.

n(B) = 3 × 3 × 2 × 1 = 18Peluang bilangan yang terbentuk lebih besardaripada 2.000 dan angka-angka dapat berulang:

P(B) = n(B)n(S) =

1824 =

34

Jadi, peluang bilangan yang terbentuk lebihbesar daripada 2.000 dan angka-angka dapat

berulang adalah 34 .

4. Banyak huruf ada 5 dan banyak angka ada 5.Ruang sampel S = himpunan kode terdiri atas 3huruf berbeda dan 4 angka berbeda.

Huruf Angka

�� 5P3 5P4

n(S) = banyak cara membentuk kode terdiri atas3 huruf berbeda dari 5 huruf dan 4 angkaberbeda dari 5 angka

= 5P3 × 5P4

= −5!

(5 3)! × −5!

(5 4)!

= × × ×5 4 3 2!

2! × × × × ×5 4 3 2 1!

1!= 60 × 120 = 7.200

Misalkan A = kejadian terambil kode terdiri atas 2huruf vokal berbeda dan keempat angka mem-bentuk bilangan genap.Huruf vokal ada 2, yaitu A dan E.

�� 2P2 4P3 Dapat ditempati

angka 2 dan 4n(A) = 2P2 × 4P3 × 2

= −2!

(2 2)! × −4!

(4 3)! × 2

= 2 × 4 × 3 × 2 × 2 = 96Peluang terambil kode terdiri atas 2 huruf vokalberbeda dan keempat angka membentuk bilangangenap:

P(A) = n(A)n(S) =

967.200 =

175

Jadi, peluang terambil kode terdiri atas 2 hurufvokal berbeda dan keempat angka membentuk

bilangan genap adalah 1

75 .


5. Banyak percobaan = 680 kaliJumlah bendera = 7 + 4 + 6 = 17Ruang sampel S = kejadian terambil 3 benderadari 17 bendera.n(S) = banyak cara mengambil 3 bendera dari

17 bendera= 17C3

= −17!

3! (17 3)!

= × × ×× × ×

17 16 15 14!3 2 1 14! = 17 × 8 × 5 = 680

a. Misalkan A = kejadian terambil 3 benderakuning.n(A) = banyak cara mengambil 3 bendera

kuning dari 4 bendera kuning

= 4C3 = −4!

3! (4 3)! = ××

4 3!3! 1 = 4

Peluang terambil 3 bendera kuning:

P(A) = n(A)n(S) =

4680

Frekuensi harapan terambil 3 bendera kuning:

Fh(A) = P(A) × n = 4

680 × 680 = 4

Jadi, frekuensi harapan terambil 3 benderakuning adalah 4 kali.

b. Misalkan B = kejadian terambil benderaberbeda warna

= kejadian terambil 1 benderahijau, 1 bendera kuning, dan 1bendera merah.

n(B) = banyak cara mengambil 1 benderahijau dari 7 bendera hijau, 1 benderakuning dari 4 bendera kuning, dan1 bendera merah dari 6 bendera merah.

= 7C1 × 4C1 × 6C1

= −7!

1! (7 1)! × −4!

1! (4 1)! × −6!

1! (7 1)!

= ×7 6!

1! 6! × 4 3!

3!×

× ×6 5!

1! 5!

= 7 × 4 × 6 = 168

Peluang terambil bendera berbeda warna:

P(B) = n(C)n(S) =

168680

Frekuensi harapan terambil bendera berbedawarna:

Fh(B) = P(B) × n = 168680 × 680 = 168

Jadi, frekuensi harapan terambil benderaberbeda warna adalah 168 kali.

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: c

a. Misalkan A = kejadian terlihat mata daduberjumlah 7

= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2),(6, 1)}

B = kejadian terlihat kedua matadadu hasil kalinya 12

= {(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)}A ∩ B = {(3, 4), (4, 3)}

Oleh karena A ∩ B ≠ ∅, maka kejadian A danB tidak saling lepas.

b. Misalkan C = kejadian terlihat mata dadupertama 4

= {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),(4, 6)}

D = kejadian terlihat kedua matamemiliki selisih 1

= {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4),(4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)}

C ∩ D = {(4, 3), (4, 5)}Oleh karena C ∩ D ≠ ∅, maka kejadian C danD tidak saling lepas.

c. Misalkan E = kejadian terlihat kedua matadadu memiliki selisih 2

= {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2),(4, 6), (5, 3), (6, 4)}

F = kejadian terlihat kedua matadadu hasil kalinya 6

= {(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)}Oleh karena E ∩ F = ∅, maka kejadian E danF saling lepas.

d. Misalkan G = kejadian terlihat mata dadupertama genap

= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),(2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),(4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3),(6, 4), (6, 5), (6, 6)}

H = kejadian terlihat kedua matadadu berjumlah 6

= {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}G ∩ H = {(2, 4), (4, 2)}

Oleh karena G ∩ H ≠ ∅, maka kejadian Gdan H tidak saling lepas.


e. Misalkan K = kejadian terlihat mata dadupertama genap

= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),(2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4),(4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3),(6, 4), (6, 5), (6, 6)}

L = kejadian terlihat mata dadukedua ganjil

= {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1),(6, 1), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3),(5, 3), (6, 3), (1, 5), (2, 5), (3, 5),(4, 5), (5, 5), (6, 5)}

K ∩ L = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3),(4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}

Oleh karena K ∩ L ≠ ∅, maka kejadian K danL tidak saling lepas.

Jadi, pasangan kejadian yang saling lepas adalahpilihan c.

2. Jawaban: eJumlah bola = 5 + 4 + 3 = 12Ruang sampel S = kejadian terambil 2 bola dari 12bolan(S) = banyak cara mengambil 2 bola dari 12 bola

= 12C2 = 12!2!(12 2)!−

= 12 11 10!2 1 10!

× ×× ×

= 6 × 11 = 66

A = kejadian terambil 2 bola merah dari 5 bola merahn(A) = banyak cara mengambil 2 bola merah dari

5 bola merah

= 5C2 = 5!2!(5 2)!−

= 5 4 3!2 1 3!

× ×× ×

= 5 × 2 = 10

P(A) =n(A)n(S) =

1066

B = kejadian terambil 2 bola hijau dari 3 bola hijaun(B) = banyak cara mengambil 2 bola hijau dari

3 bola hijau

= 3C2 = 3!2!(3 2)!−

= 3 2!2! 1

××

= 3

P(B) = n(B)n(S) =

366

A dan B merupakan kejadian saling asing.Peluang terambil dua bola merah atau dua bolahijau:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1066 +

366 =

1366

Jadi, peluang terambil dua bola merah atau dua

bola hijau adalah 1366 .

3. Jawaban: dSekeping uang logam dan sebuah dadudilambungkan bersama-sama.Banyak percobaan n = 240 kaliA = kejadian terlihat sisi angka pada uang logamB = kejadian terlihat mata dadu prima

P(A) = 12

dan P(B) = 12

Kejadian A dan B saling bebas.Peluang terlihat sisi angka pada uang logam danmata dadu prima:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 12

× 12

= 14

Frekuensi harapan terlihat sisi angka pada uanglogam dan mata dadu prima:

Fh(A ∩ B) = P(A ∩ B) × n = 14

× 240 = 60 kali

4. Jawaban: aBanyak kelereng merah n(m) = 5.Banyak kelereng hijau n(h) = 4.Ruang sampel S = himpunan kelereng di dalamkantong.Banyak anggota ruang sampel n(S) = jumlahkelereng = 5 + 4 = 9.Misalkan M1 = kejadian anak pertama mengambil1 kelereng merah dan M2 = kejadian anak keduamengambil 1 kelereng merah.Kelereng pertama yang telah terambil tidakdikembalikan ke kantong, maka kejadian M1 danM2 tidak saling bebas.Pada saat anak pertama mengambil kelerengtersedia 5 kelereng merah dan jumlah seluruhkelereng = 9.Peluang anak pertama mengambil 1 kelereng

merah = P(M1) = n(m)n(S) =

59 .

Kelereng pertama yang telah terambil tidakdikembalikan ke kantong. Pada saat anak keduamengambil kelereng, kelereng merah berkurangsatu dan jumlah seluruh kelereng berkurang satu.Peluang anak kedua mengambil 1 kelereng merahdengan syarat anak pertama telah mangambil 1kelereng merah:

P(M2|M1) = n(m) 1n(S) 1

−− =

48 =

12 .

Peluang kejadian anak pertama mengambil 1kelereng merah dan anak kedua juga mengambil1 kelereng merah:

P(M1 ∩ M2) = P(M1) × P(M2|M1) = 59 ×

12 =

518

5. Jawaban: cRuang sampel S = kejadian melambungkan duadadu sebanyak satu kalin(S) = 6 × 6 = 36A = kejadian terlihat mata dadu berjumlah 5

= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}n(A) = 4

P(A) = n(A)n(B) =

436

B = kejadian terlihat mata dadu berjumlah 9= {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}

n(B) = 4


P(B) = n(B)n(S) =

436

Oleh karena A ∩ B = ∅, maka A dan B saling lepas.Peluang terlihat mata dadu berjumlah 5 atau 9:P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

= 436 +

436

= 836

Jadi, peluang terlihat mata dadu berjumlah 5 atau 9

adalah 836 .

6. Jawaban: eS = kejadian terambil 1 kartu bernomor

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}n(S) = 10A = kejadian terambil kartu bernomor bilangan

komposit= kejadian terambil kartu bernomor bilangan asli

lebih dari 1 yang bukan bilangan prima= {4, 6, 8, 9, 10}

n(A) = 5B = kejadian terambil kartu bernomor bilangan ganjil

= {1, 3, 5, 7, 9}n(B) = 5A ∩ B = {9}n(A ∩ B) = 1Peluang terambil kartu bernomor bilangan kompositatau bilangan ganjil:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= n(A)n(S) +

n(B)n(S) –

n(A B)n(S)

∩

= 5

10 + 5

10 – 1

10

= 9

10

= 0,9

Jadi, peluang terambil kartu bernomor bilangankomposit atau bilangan ganjil adalah 0,9.

7. Jawaban: e

S = kejadian terpilih 1 murid dari 30 muridn(S) = 30C1 = 30A = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dari 10 murid

laki-lakin(A) = 10C1 = 10

P(A) = n(A)n(S) =

1030

B = kejadian terpilih 1 murid berambut keriting dari15 murid berambut keriting

n(B) = 15C1 = 15

P(B) = n(B)n(S) =

1530

A ∩ B = kejadian terpilih 1 murid laki-lakiberambut keriting dari 5 murid laki-lakiberambut keriting

n(A ∩ B) = 5C1 = 5

P(A ∩ B) = n(A B)

n(S)∩

= 5

30

Peluang terpilih 1 murid itu laki-laki atau berambutkeriting:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 1030 +

1530 –

530

= 2030 =

23

Jadi, peluang terpilih murid itu laki-laki atau

berambut keriting adalah 23 .

8. Jawaban: bS1 = kejadian terambil 1 bola dari 5 bola di

kotak AK = kejadian terambil 1 bola merah dari 2 bola

merah di kotak A

P(K) = 1

n(K)n(S ) = 2 1

5 1

CC

= 25

S2 = kejadian terambil 1 bola dari 8 bola dikotak B

L = kejadian terambil 1 bola putih dari 3 bola putihdi kotak B

P(L) = 2

n(K)n(S )

= 3 1

8 1

CC = 3

8

K dan L merupakan dua kejadian yang saling bebas.Peluang terambil 1 bola merah dari kotak A dan1 bola putih dari kotak B:

P(K ∩ L) = P(K) × P(L) = 25 ×

38 =

320

Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak A

dan 1 bola putih dari kotak B adalah 3

20 .

9. Jawaban: eJumlah buku = 4 + 7 + 5 = 16Ruang sampel S = kejadian terambil 3 buku dari16 bukun(S) = banyak cara mengambil 3 buku dari 16 buku

= 16C3

= 16!

3!13!

= 16 15 14 13!

3 2 1 13!× × ×× × ×

= 560

Berambut keritingBerambut tidakkeriting

Jumlah

JumlahMurid

Laki-LakiMurid

Perempuan

1010

20

55

10

1515

30


Kemungkinan buku yang terambil adalah (2 bukukomik, 1buku novel) atau (2 buku komik, 1 bukudongeng, ).A = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 buku noveln(A) = banyak cara mengambil 2 buku komik dari

7 buku komik dan 1 buku novel dari 4 bukunovel

= 7C2 × 4C1

= 7!

2! 5! × 4!

1! 3!

= 7 6 5!2 1 5!

× ×× × ×

4 3!1 3!

××

= 21 × 4= 84

P(A) = n(A)n(S) =

84560

B = kejadian terambil 2 buku komik dan 1 bukudongeng

n(B) = banyak cara mengambil 2 buku komik dari7 buku komik dan 1 buku dongeng dari 5buku dongeng

= 7C2 × 5C1

= 7!

2! 5! × 5!

1!4!

= 7 6 5!2 1 5!

× ×× × ×

5 4!1 4!

××

= 21 × 5= 105

P(B) = n(B)n(S) =

105560

Kejadian A dan B saling lepas.Peluang terambil 2 buku komik= P(A) + P(B)

= 84560 +

105560

= 189560

Jadi, peluang terambil 2 buku komik adalah 189560 .

10. Jawaban: eJumlah kelereng = 3 + 4 = 7Ruang sampel S = kejadian terambil 3 kelereng

dari 7 kelerengn(S) = banyak cara mengambil

3 kelereng dari 7 kelereng= 7C3

= 7!

3!4!

= 7 6 5 4!3 2 1 4!

× × ×× × ×

= 35

Kemungkinan terambil paling sedikit 2 kelerengputih adalah (2 kelereng putih, 1 kelereng merah)atau (3 kelereng putih).A = kejadian terambil 2 kelereng putih dan

1 kelereng merahn(A) = banyaknya cara mengambil 2 kelereng putih

dari 4 kelereng putih dan 1 kelereng merahdari 3 kelereng merah

= 4C2 × 3C1

= 4!

2!2! × 3!

1!2!

= 4 3 2!2 1 2!

× ×× × ×

3 2!1 2!

××

= 6 × 3= 18

P(A)= n(A)n(B) =

1835

B = kejadian terambil 3 kelereng putihn(B) = banyak cara mengambil 3 kelereng putih

dari 4 kelereng putih

= 4C3

= 4!

3!1!

= 4 3!3! 1

××

= 4

P(B) = n(B)n(S) =

435

Kejadian A dan B saling lepas.Peluang terambil paling sedikit 2 kelereng putih= P(A) + P(B)

= 1835 +

435

= 2235

Jadi, peluang terambil paling sedikit 2 kelereng

putih adalah 2235 .

11. Jawaban: dRuang sampel S = kejadian pasangan suami istri

mempunyai 3 anak= {PPP, PPL, PLP, LPP, LLL,

LLP, LPL, PLL}n(S) = 8Kemungkinan 3 anak yang dimiliki pasangan suamiistri adalah (2 laki-laki dan 1 perempuan) atau (3laki-laki).A = kejadian pasangan suami istri memiliki dua

anak laki-laki dari 3 anak yang dimiliki= {LLP, LPL, PLL)}

n(A) = 3


P(A) = n(A)n(S) =

38

B = Kejadian keluarga memiliki tiga anak laki-laki= {LLL}

n(B) = 1

P(B) = n(B)n(S) =

18

Kejadian A dan B saling bebas.

Peluang pasangan tersebut memiliki paling sedikitdua anak laki-laki= P(A) + P(B)

= 38 +

18

= 48 =

12

Jadi, peluang pasangan suami istri tersebut

memiliki paling sedikit dua anak laki-laki 12 .

12. Jawaban: d

P(G) = P(gol) = 35

P(T) = P(tidak gol) = 1 – P(gol) = 1 – 35 =

25

A = kejadian terjadi 3 kali tendangan penaltidengan 2 tendangan gol

= {(G, G, T), (G, T, G), (T, G, G)}Kejadian tendangan penalti 3 kali merupakankejadian saling bebas.

P(G, G, T) = 35 ×

35 ×

25 =

18125

P(G, T, G) = 35 ×

25 ×

35 =

18125

P(T, G, G) = 25 ×

35 ×

35 =

18125

Peluang terjadi 2 tendangan penalti gol= P(G, G, T) + P(G, T, G) + P(T, G, G)

= 18125 +

18125 +

18125 =

54125

Jadi, peluang Ali untuk membuat 2 gol dalam

3 kali tendangan penalti adalah 54

125 .

13. Jawaban: bBanyak kartu kuning = n(K) = 2Banyak kartu merah = n(M) = 4Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 6Kemungkinan kartu yang terambil M1K2K3,K1M2K3, atau K1K2M3.M1K2K3 = kejadian terambil pertama kartu merah,

kedua kartu kuning, ketiga kartu kuningP(M1K2K3) = P(M1) × P(K2) × P(K3)

= n(M)n(S)

× n(K)n(S)

× n(K)n(S)

= 46 ×

26 ×

26 =

227

K1M2K3 = kejadian terambil pertama kartu kuning,kedua kartu merah, ketiga kartu kuning

P(K1M2K3) = P(K1) × P(M2) × P(K3)

= n(K)n(S)

× n(M)n(S)

× n(K)n(S)

= 26 ×

46 ×

26

= 227

K1K2M3 = kejadian terambil pertama kartu kuning,kedua kartu kuning, ketiga kartu merah

P(K1K2M3) = P(K1) × P(K2) × P(M3)

= n(K)n(S)

× n(K)n(S)

× n(M)n(S)

= 26 ×

26 ×

46

= 227

Peluang terambil satu kartu merah:P = P(M1K2K3) + P(K1M2K3) + P(K1K2M3)

= 227 +

227 +

227

= 6

27 = 29

Jadi, peluang terambil satu kartu merah adalah 29 .

14. Jawaban: cS = kejadian Ari, Beta, Cika, Devi, dan Erna duduk

secara acak pada 5 kursin(S) = 5P5 = 120Kemungkinan kejadian Ari atau Erna duduk di kursipaling pinggir adalah Ari duduk di kursi pinggir atauErna duduk di kursi pinggir atau Ari dan Erna dudukdi kursi pinggir.A = kejadian Ari duduk di pinggir

n(A) = 2 × 4P4 = 48B = kejadian Erna duduk di pinggir

��

4P4

↑Ari

��

4P4

↑Erna

��

4P4

↑Erna

��

4P4

↑Ari


n(B) = 2 × 4P4 = 48A ∩ B = kejadian Erna dan Ari duduk di pinggir

n(A ∩ B) = 2 × 3P3 = 12

Peluang Ari atau Erna duduk di pinggir:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= n(A)n(S) +

n(B)n(S) –

n(A B)n(S)

∩

= 48

120 + 48

120 – 12120

= 84

120 = 7

10Jadi, peluang Ari atau Erna duduk di kursi paling

pinggir adalah 7

10 .

15. Jawaban: dRuang sampel S = kejadian terpilih ketua, sekretaris,dan bendahara dari 10 orangn(S) = banyak cara memilih ketua, sekretaris, dan

bendahara dari 10 orang= 10P3

= 10!7! =

10 9 8 7!7!

× × × = 720

A = kejadian terpilih ketua laki-laki

n(A) = 6 × 9 × 8 = 432B = kejadian terpilih sekretaris wanita

2 orang telah terpilih.Sisa 8 orang.

Ketua Sekretaris Bendahara


Dipilih dari 4 wanita

Dipilih dari 6 lelaki

n(B) = 9 × 4 × 8= 288

A ∩ B = kejadian terpilih ketua laki-laki dansekretaris wanita

n(A ∩ B) = 6 × 4 × 8 = 192A dan B merupakan dua kejadian tidak saling lepasPeluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris wanita:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= n(A)n(S) +

n(B)n(S) –

n(A B)n(S)

∩

= 432720 +

288720 –

192720

= 528720 =

1115

Jadi, peluang terpilih ketua laki-laki atau sekretaris

wanita adalah 1115 .

B. Uraian1. a. Misalkan dadu pertama = dadu merah dan dadu

kedua = dadu putihA = kejadian terlihat mata dadu 3 pada dadu

merah= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}

n(A) = 6

P(A) = n(A)n(S) =

636

B = kejadian terlihat mata dadu 5 pada daduputih

= {(1, 5), (2,5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}n(B) = 6

P(B) = n(B)n(S) =

636

A ∩ B = {(3, 5)}n(A ∩ B) = 1

P(A ∩ B) = n(A B)n(S)

∩ = 136

Peluang terlihat mata dadu 3 pada dadu merahatau mata dadu 5 pada dadu putih:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 636 +

636 –

136 =

1136

Jadi, peluang terlihat mata dadu 3 pada dadumerah atau mata dadu 5 pada dadu putih

adalah 1136 .

��

P3

↑Ari

↑Erna

��

P3

↑Erna

↑Ari




1 orang telah terpilih sebagai ketua.Sisa 9 orang.

Dipilih dari 6 laki-laki




Dipilih dari 4 wanita

1 orang telah terpilih sebagai sekretaris.Sisa 9 orang.


b. Misalkan:A = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 6

= {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)}n(A) = 5

P(A) = n(A)n(S) =

536

B = kejadian terlihat jumlah mata dadu 10= {(6, 4), (5, 5), (4, 6)}

n(B) = 3

P(B) = n(B)n(S) =

336

Oleh karena A ∩ B = ∅, maka kejadianA dan B saling asing

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 536 +

336 =

836 =

29

Jadi, peluang terlihat jumlah kedua mata dadu

6 atau 10 adalah 29 .

c. Kejadian terlihat kedua mata dadu bilangangenap = kejadian terlihat mata dadu genappada dadu merah dan dadu putihMisalkan:A = terlihat mata dadu genap pada dadu

merahB = terlihat mata dadu genap pada dadu putih

P(A) = 12 dan P(B) =

12

Oleh karena A ∩ B ≠ ∅ maka kejadian A danB saling bebas.Peluang terlihat kedua mata dadu bilangangenap:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 12 ×

12 =

14

Jadi, peluang terlihat kedua mata dadu genap

adalah 14 .

2. a. Kejadian terambil 3 kubus = kejadian terambil1 kubus dari kotak A, 1 kubus dari kotak B,dan 1 kubus dari kotak C.P(A) = peluang terambil satu kubus dari kotak A

= 63

= 21

P(B) = peluang terambil satu kubus dari kotak B

= 26 =

31

P(C) = peluang terambil satu kubus dari kotak C

= 16

Kejadian A, B, dan C saling bebas.Peluang terambil ketiganya kubus:

P(A ∩ B ∩ C) = 21

× 31

× 61

= 361

Jadi, peluang terambil ketiganya kubus 361

.

b. Kejadian terambil 3 bangun sama = kejadianterambil 3 kubus, terambil 3 kerucut, atauterambil 3 limas.P(D) = peluang terambil ketiganya kubus

= 361

P(E) = peluang terambil ketiganya kerucut

= 61

× 63

× 62

= 361

P(F) = Peluang terambil ketiganya limas

= 62

× 61

× 63

= 361

Kejadian D, E, dan F saling lepas. Peluangterambil ketiganya bangun yang sama:P(D ∪ E ∪ F) = P(D) + P(E) + P(F)

= 361

+ 361

+ 361

= 336 =

112

Jadi, peluang terambil ketiganya bangun yang

sama 1

12 .

3. a. Pengambilan dilakukan secara acak duasekaligus.Banyak buah = 9 + 6 = 15 buahRuang sampel S = kejadian terambil 2 buahdari 15 buah.n(S) = 15C2

= −15!

2!(15 2)!

= × ×× ×

15 14 13!2 1 13!

= 15 × 7 = 105

Kemungkinan 2 buah yang terambil adalah 2jeruk atau 2 apel.Misalkan A = kejadian terambil 2 jeruk danB = kejadian terambil 2 apel.n(A) = banyak cara mengambil 2 jeruk dari 6 jeruk

= 6C2

= −6!

2!(6 2)! = × ×× ×

6 5 4!2 1 4! = 3 × 5 = 15

Peluang terambil 2 jeruk:

P(A) = n(A)n(S) =

15105

n(B) = banyak cara mengambil 2 apel dari 9 apel= 9C2

= −9!

2!(9 2)! = × ×× ×

9 8 7!2 1 7! = 9 × 4 = 36

Peluang terambil 2 apel:

P(B) = n(B)n(S) =

36105


Kejadian A dan B saling lepas.Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama:

P = P(A) + P(B) = 15105 +

36105 =

51105

b. Pengambilan dilakukan satu per satu tanpa pengembalian.Ruang sampel S = himpunan apel dan jeruk dalam kotak.n(S) = banyak apel dan jeruk dalam kotak

= 15Kemungkinan kejadiannya adalah terambil jeruk pada pengambilan pertama dan kedua atau terambilapel pada pengambilan pertama dan kedua.Misalkan Q1 = kejadian terambil 1 jeruk pada pengambilan pertama dan Q2 = kejadian terambil 1 jerukpada pengambilan kedua.

Diperoleh P(Q1) = 9

15 dan P(Q2|Q1) = 8

14

Peluang terambil 1 jeruk pada pengambilan pertama dan 1 jeruk pada pengambilan kedua:

P1= P(Q1) × P(Q2|Q1) = 9

15 × 8

14 = 72210

Misalkan R1 = kejadian terambil 1 apel pada pengambilan pertama dan R2 = kejadian terambil 1 apelpada pengambilan kedua.

Diperoleh P(R1) = 6

15 dan P(R2|R1) = 5

14 .

Peluang terambil 1 apel pada pengambilan pertama dan 1 apel pada pengambilan kedua:

P2= P(R1) × P(R2|R1) == 6

15 × 5

14 = 30210

Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama:

P = P1 + P2 = 30210 +

72210 =

102210 =

1735

4. Kemungkinan hasil pelambungan sebagai berikut.

Pelambungan I Pelambungan II Pelambungan III Pelambungan IV Pelambungan V

Gambar

Gambar

Angka

Gambar

Angka

Mata dadugenap

Mata daduganjil

Mata dadugenap

Mata daduganjil

Mata dadugenap

Mata daduganjil

Mata dadugenap

Mata daduganjilMata dadu

genap

Mata daduganjil

Angka Mata dadugenap

Mata daduganjil


B = kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu= kejadian selalu muncul mata uang= {Gambar, Gambar, Gambar}

P(B) = 12 ×

12 ×

12 =

18

Jadi, peluang kejadian tidak pernah terjadi

pelemparan dadu 18 .

5. Jumlah kamus = 5 + 3 + 2 = 10Ruang sampel S = kejadian terambilnya 3 kamusdari 10 kamus.n(S) = banyak cara mengambil 3 kamus dari 10 kamus

= 10C3

= −

10!3! (10 3)!

= × × ×× × ×

10 9 8 7!3 2 1 7!

= 10 × 3 × 4 = 120

Misalkan A = kejadian terambilnya ketiga kamusberbeda

= kejadian terambil 1 kamus BahasaInggris, 1 kamus Bahasa Mandarin,dan 1 kamus Bahasa Jepang

n(A) = banyak cara mengambil 1 kamus BahasaInggris dari 5 kamus Bahasa Inggris,1 kamus Bahasa Mandarin dari 3 kamusBahasa Mandarin, dan 1 kamus BahasaJepang dari 2 kamus Bahasa Jepang

= 5C1 × 3C1 × 2C1 = 5 × 3 × 2 = 30

P(A)= n(A)n(S) =

30120 =

14

Fh(A) = P(A) × n = 14 × 20 = 5 kali

Jadi, frekuensi harapan terambil ketiga kamusberbeda 5 kali.

A. Pilihan Ganda1. Jawaban: b

Banyak warna = 7Banyak warna baru yang dapat dibuat = 7C2 = 21.

2. Jawaban: eBanyak cara menempatkan bendera-benderatersebut

= 8P5 = 8!

(8 5)!−

= 8!3!

= 8 7 6 5 4 3!

3!× × × × ×

= 6.720 cara

3. Jawaban: cAnggap 4 pemuda sebagai satu kelompok dan 3pemudi sebagai satu kelompok. Banyak caraduduk 4 pemuda dalam satu kelompok adalah 4P4.Banyak cara duduk 3 pemudi dalam satukelompok adalah 3P3.Banyak cara duduk berselang-seling pemuda danpemudi.= 4P4 × 3P3= 4! × 3!= 144

4. Jawaban: eBanyak cara menyusun 2 huruf berlainan dari24 huruf = 24P2 = 552.Banyak cara menyusun 4 angka berlainan dari10 angka = 10P4.Banyak cara menyusun pelat nomor = 552 × 10P4.

5. Jawaban: c1) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah A

= 78nC2 = 78

⇔n!

2!(n 2)!− = 78

⇔n(n 1)(n 2)!

2(n 2)!− −

− = 78

⇔ n(n – 1) = 156⇔ n2 – n – 156 = 0⇔ (n + 12)(n – 13) = 0⇔ n = –12 atau n = 13Nilai n yang memenuhi adalah 13.Banyak siswa sekolah A = 13 orang.

2) Banyak jabat tangan antarsiswa sekolah B= 105nC2 = 105

⇔n!

2!(n 2)!− = 105

⇔n(n 1)(n 2)!

2(n 2)!− −

− = 105

⇔ n(n – 1) = 210⇔ n2 – n – 210 = 0⇔ (n – 15)(n + 14) = 0⇔ n = 15 atau n = –14Nilai n yang memenuhi adalah 15.Banyak siswa sekolah A = 15 orang.

Banyak siswa seluruhnya = 13 + 15 = 28 orangBanyak jabat tangan dari 28 orang

= 28C2 = 28!

2!26! = 28 27 26!

2 26!× ×

×

= 14 × 27 = 378 cara.

= pemuda = 4! cara

= pemudi = 3! cara


3210210100

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

0

1

(0a, 0j, 3m)(0a, 1j, 2m)(0a, 2j, 1m)(0a, 3j, 0m)(1a, 0j, 2m)(1a, 1j, 1m)(1a, 2j, 0m)(2a, 0j, 1m)(2a, 1j, 0m)(3a, 0j, 0m)

0123012010

2

3

6. Jawaban: cn1 = banyak bilangan 35xx

= 1 × 1 × 3P2= 1 × 1 × 6= 6

n2 = banyak bilangan di antara 3.600 dan 4.000

= 1 × 3 × 3P2= 1 × 3 × 6= 18

n3 = banyak bilangan lebih dari 4.000

= 4 × 4P3= 4 × 24 = 96

Banyak bilangan bernilai lebih dari 3.500= n1 + n2 + n3= 6 + 18 + 96 = 120

7. Jawaban: dBilangan yang kurang dari 1.000 terdiri atas 3 angkadengan urutan diperhatikan sehingga digunakanpermutasi.Banyak bilangan yang dapat disusun sebagaiberikut.

a. 0, 0, dan 6 ada 3!

2!1! = 3 bilangan

b. 0, 1, dan 5 ada 3! = 6 bilanganc. 0, 2, dan 4 ada 3! = 6 bilangan

d. 0, 3, dan 3 ada 3!

2!1! = 3 bilangan

e. 1, 2, dan 3 ada 3! = 6 bilangan

f. 1, 4, dan 1 ada 3!

2!1! = 3 bilangan

g. 2, 2, dan 2 ada 3!3! = 1 bilangan

Banyak bilangan kurang dari 1.000 dengan jumlahangka penyusunnya 6= 3 + 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 28Jadi, ada 28 bilangan.

8. Jawaban: dBanyak cara mengambil 3 buku = 5C3Banyak cara meletakkan 3 buku secara berderet= 3P3

Banyak cara mengambil dan meletakkan buku= 5C3 × 3P3

= 10 × 6= 60Cara lain:Permasalahan tersebut merupakan permutasi 3 dari 5.Banyak cara mengambil dan meletakkan buku= 5P3 = 60Jadi, ada 60 cara.

9. Jawaban: bKata ANALISIS terdiri atas 8 huruf.Banyak huruf A = 2Banyak huruf I = 2Banyak huruf S = 2Banyak susunan huruf

= 8!

2!2!2!1!1! = 40.320

8 = 5.040

Jadi, ada 5.040 susunan huruf.

10. Jawaban: bTerdapat 3 kelas. Banyak susunan dudukberdasarkan kelasnya ada 3! cara.Wakil kelas XI IPA 1 dapat duduk dengan 4! cara.Wakil kelas XI IPA 2 dapat duduk dengan 2! cara.Wakil kelas XI IPA 3 dapat duduk dengan 3! cara.Banyak cara mereka duduk= 3! × 4! × 2! × 3!= 6 × 24 × 2 × 6 = 1.728

11. Jawaban: cJumlah buah yang dibeli Andi = 18Andi membeli paling sedikit 5 buah untuk setiapjenis buah, maka sebanyak 15 buah yang terdiriatas 5 apel, 5 jeruk, dan 5 mangga sudah pastidibeli Andi.Dengan demikian, sebanyak 3 buah belumdiketahui komposisi masing-masing jenis buahyang akan dibeli Andi.Komposisi 3 jenis buah tersebut dapat dicarimenggunakan cara berikut.Jumlah 3 buah tersebut dapat diwakili denganangka 0, 1, 2, dan 3.Apel(a) Jeruk(j) Mangga(m) Komposisi Buah


1 cara��

3P2 cara1 cara


1 cara��

3P2 cara3 cara


4 cara��

4P3 cara

Dapat ditempati angka6, 7, atau 9

Dapat ditempati angka 5, 6, 7, atau 9


Kode urutan ke-10 sampai ke-12.



Kode urutan ke-40 adalah 53238.Kode urutan ke-41 adalah 53283.Jadi, kode 53283 pada urutan ke-41.

16. Jawaban: dBilangan ratusan memiliki nilai tempat ratusan,puluhan, dan satuan.Angka pertama menempati nilai tempat ratusandan angka terakhir nilai tempat satuan.Pasangan angka pertama dan terakhir yangmempunyai selisih 3 sebagai berikut.

Angka-angka yang menempati nilai tempat puluhanada 10, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9.Susunan angka pertama dan terakhir pada bilanganurutan ke-1 tidak dapat dipertukarkan sehingga ada10 cara untuk menyusun bilangan ratusan yangdiawali angka 3.Susunan angka pertama dan terakhir pada bilanganurutan ke-2 sampai ke-7 dapat dipertukarkansehingga ada 2 cara untuk menyusun angkapertama dan terakhir.Dengan demikian, diperoleh banyak bilangan yangterbentuk = 10 + 10 × 6 × 2 = 130Jadi, banyak bilangan ratusan dengan angka pertamadan terakhir mempunyai selisih 3 adalah 130.

(0a, 0j, 3m) berarti membeli 5 apel, 5 jeruk, dan 8mangga.(0a, 1j, 2m) berarti membeli 5 apel, 6 jeruk, dan 7mangga.(0a, 2j, 1m) berarti membeli 5 apel, 7 jeruk, dan 6mangga, dan seterusnya.Oleh karena terdapat 10 komposisi 3 buah yangakan dibeli, maka komposisi banyak buah yangmungkin dibeli Andi ada 10.

12. Jawaban: dJuara I dapat dipilih dari 10 finalis.Juara II dapat dipilih dari 9 finalis.Juara I dapat dipilih dari 8 finalis.Banyak susunan juara yang mungkin terjadi =10 × 9 × 8 = 720

13. Jawaban: dDari 6 angka yang tersedia akan dibuat bilangan 3angka berlainan yang nilainya antara 300 dan 700.Bilangan tiga angka memiliki nilai tempat ratusan,puluhan, dan satuan.Angka-angka yang dapat menempati nilai tempatratusan adalah 3, 4, 5, atau 6, berarti ada 4 carauntuk menempati nilai tempat ratusan.Setelah satu angka menempati nilai tempatratusan, tersisa 5 angka sehingga ada 5 cara untukmenempati nilai tempat puluhan.Setelah dua angka menempati nilai tempat ratusandan puluhan, tersisa 4 angka sehingga ada 4 carauntuk menempati nilai tempat satuan.Banyak bilangan antara 300 dan 700 yang dapatdibentuk = 4 × 5 × 4 = 80.

14. Jawaban: dIsi martabak ada 2 pilihan, yaitu mentega dan keju.Dua isi tambahan dapat dipilih dari 4 pilihan, yaitukeju, cokelat, pisang, dan kacang.Banyak isi tambahan yang dapat dipilih merupakankombinasi 2 dari 4 (4C2).Banyak jenis martabak berbeda yang dapat dipilih

Pipit = 2 × 4C2 = 2 × 4!2! 2!

= 2 × 6 = 12.

15. Jawaban: dSusunan kode kupon sebagai berikut.Kode urutan ke-1 sampai ke-6.


Angka I Angka II Angka III Angka IV Angka V

2 3 ��3P3 = 6


2 5 ��3!2! = 3 cara


3 ��

4P4 = 24 cara


2 8 ��3!2! = 3 cara


5 2 ��3!2!

= 3 cara

No. Ribuan Puluhan Satuan

1. 3 10 cara 0

2. 4 10 cara 1

3. 5 10 cara 2

4. 6 10 cara 3

5. 7 10 cara 4

6. 8 10 cara 5

7. 9 10 cara 6


17. Jawaban: aA = kejadian terpilih dua orang merupakan

suami istri= kejadian terpilih 1 pasangan suami istri dari

6 pasang suami istrin(A) = 6C1 = 6n(S) = banyak cara memilih dua orang dari 6

pasangan suami istri (12 orang)= 12C2 = 66

P(A) = n(A)n(S) =

666 =

111

Peluang terpilih dua orang merupakan suami istri

adalah 111 .

18. Jawaban: bA = kejadian jumlah mata dadu yang terlihat

kurang dari 7= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2),

(2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2),(5, 1)}

P(A) =n(A)n(S) =

1536

B = kejadian jumlah mata dadu yang terlihatbilangan prima (2, 3, 5, 7, atau 11)

= {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3),(2, 5), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 3), (5, 2),(5, 6), (6, 1), (6, 5)}

P(B) =n(B)n(S) =

1536

A ∩ B = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

P(A ∩ B) =n(A B)

n(S)∩

= 7

36

Peluang jumlah mata dadu yang terlihat kurangdari 10 atau bilangan prima:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 1536 +

1536 –

736 =

2136 =

712

Jadi, peluang jumlah mata dadu yang terlihat

kurang dari 7 atau bilangan prima 7

12 .

19. Jawaban: cJumlah bola = 3 + 2 = 5.S = kejadian terambil 2 bola dari 5 bolan(S) = 5C2 = 10Kemungkinan bola yang terambil 2 putih atau2 hitam.A = kejadian terambil 2 bola putih dari 3 bola putihn(A) = 3C2 = 3

P(A) = n(A)n(S) =

310

B = kejadian terambil 2 bola hitam dari 2 bolahitam

n(B) = 2C2 = 1

P(B) = n(B)n(S) =

110

Kejadian A dan B saling lepas.Peluang bola yang terambil berwarna sama= P (2 putih) + P (2 hitam)= P(A) + P(B)

= 3

10 + 1

10

= 4

10 = 25

Jadi, peluang bola yang terambil berwarna sama 25 .

20. Jawaban: dKemungkinan panitia yang terbentuk (2 putri,2 putra), (1 putri, 3 putra), atau 4 putra.Jumlah siswa = 5 + 5 = 10.Ruang sampel S = kejadian terpilih 4 siswa dari10 siswa.Banyak anggota ruang sampel = n(S) = 10C4A = kejadian panitia yang terbentuk 2 putri dan

2 putra

P(A) = 5 2 5 2

10 4

C CC×

= 10 10

210×

= 1021

B = kejadian panitia yang terbentuk 1 putri dan3 putra

P(B) = 5 1 5 3

10 4

C CC×

= 5 10210×

= 521

C = kejadian panitia yang terbentuk 4 putra

P(C) = 5 4

10 4

CC

= 5

210 = 1

42Kejadian A, B, dan C saling lepas.Peluang panitia yang terbentuk terdiri paling banyak2 siswa putri:

P = P(A) + P(B) + P(C) = 1021 +

521 +

142 =

3142

21. Jawaban: d

Peluang terpilih dompet I = 12 .

Dompet I berisi 5 keping uang logam lima ratusandan 2 keping dua ratusan rupiah.

Peluang terpilih uang logam dua ratusan = 27 .

A = kejadian terpilih dompet I dan terpilih uanglogam dua ratusan rupiah


Berambut keriting

Berambut tidak keriting

Jumlah

JumlahWanitaPria

5

5

10

6

6

12

11

11

22

P(A) = 12 ×

27 =

17

Peluang terpilih dompet II = 12 .

Dompet II berisi 1 keping lima ratusan dan 3 kepingdua ratusan rupiah.

Peluang terpilih uang logam dua ratusan = 34 .

B = kejadian terpilih dompet II dan terpilih uanglogam dua ratusan

P(B) = 12 ×

34 =

38

Kejadian A dan B saling lepas.Peluang mendapatkan uang logam dua ratusanrupiah:P = P(A) + P(B)

= 17 +

38

= 856 +

2156 =

2956

Jadi, peluang terambil uang logam dua ratusan ru-

piah adalah 2956 .

22. Jawaban: aLisa, Tera, dan Wisnu dipandang sebagai 1 unsur,maka permasalahan menjadi permutasi siklisdari 4 unsur. Adapun cara duduk Lisa, Tera, danWisnu ada 3! cara.A = kejadian Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-

sebelahann(A) = 3! × permutasi siklis 4 unsur

= 3!(4 – 1)! = 36n(S) = permutasi siklis 6 unsur

= (6 – 1)! = 5! = 120

P(A) =n(A)n(S) =

36120 =

310

Jadi, peluang Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-

sebelahan 3

10 .

23. Jawaban: cDalam kotak terdapat 4 bola lampu mati dan16 bola lampu hidup.A = kejadian pengambilan pertama mendapat dua

bola lampu matiB = kejadian pengambilan kedua mendapat dua

bola lampu hidup

P(A) = n(A)n(S) = 4 2

20 2

CC

= 6

190 = 395

Dua bola lampu mati yang telah terambil tidakdikembalikan. Sekarang dalam kotak terdapat2 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup.

P(B|A) = peluang kejadian pengambilan keduamendapat dua bola lampu hidup dengansyarat telah terambil dua bola lampu matipada pengambilan pertama

= n(B)n(S) = 16 2

18 2

CC =

120153 =

4051

Peluang kejadian pengambilan pertama mendapatdua bola lampu mati dan pengambilan keduamendapat dua bola lampu hidup:P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

= 395 ×

4051 =

8323

Jadi, peluang pengambilan pertama mendapat duabola lampu mati dan pengambilan kedua mendapat

dua bola lampu hidup adalah 8

323 .

24. Jawaban: d

Ruang sampel S = kejadian terpilih 3 orang dari22 orang

n(S) = 22C3 = 22!

3!19! = 22 21 20 19!

3 2 1 19!× × ×× × ×

= 1.540

A = kejadian terpilih 3 pria dari 10 pria

n(A) = 10C3 = 10!3! 7! =

10 9 8 7!3 2 1 7!

× × ×× × × = 120

B = kejadian terpilih 3 orang berambut keritingdari 11 orang

n(B) = 11C3 = 11!

3! 8! = 11 10 9 8!

3 2 1 8!× × ×× × × = 165

A ∩ B = kejadian terpilih 3 orang pria dan berambutkeriting

n(A ∩ B) = 5C3 = 5!

3! 2! = 5 4 3!3! 2 1

× ×× × = 10

A ∪ B = kejadian terpilih ketiganya pria atauberambut keriting:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= n(A)n(S)

+ n(B)n(S)

– n(A B)n(S)

∩

= 120

1.540 + 165

1.540 – 10

1.540 = 275

1.540Jadi, peluang terpilih ketiganya pria atau berambut

keriting adalah 275

1.540 .

25. Jawaban: aJumlah siswa dari tim A dan tim B = 13Ruang sampel S = kejadian terpilih 2 siswa dari13 siswa.


n(S) = 13C2

= −13!

2!(13 2)!

= × ×× ×

13 12 11!2 1 11! = 13 × 6 = 78

Kemungkinan siswa yang terpilih adalah 1 siswalaki-laki dari tim A dan 1 siswa perempuan daritim A, 1 siswa laki-laki dari tim A dan 1 siswa laki-laki dari tim B, atau 1 siswa laki-laki dari tim A dan1 siswa perempuan dari tim B.K1 = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dari tim A

dan 1 siswa perempuan dari tim An(K1) = 3C1 × 2C1 = 3 × 2 = 6

P(K1) = 1n(K )n(S) =

678

K2 = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dari tim Adan 1 siswa laki-laki dari tim B

n(K2) = 3C1 × 5C1 = 3 × 5 = 15

P(K2) = 2n(K )n(S) =

1578

K3 = kejadian terpilih 1 siswa laki-laki dari tim Adan 1 siswa perempuan dari tim B

n(K3) = 3C1 × 3C1 = 3 × 3 = 9

P(K3) = 3n(K )n(S) =

978

Kejadian K1, K2, dan K3 saling lepas.Peluang terpilih 1 siswa laki-laki dari tim A:P = P(K1) + P(K2) + P(K2)

= 6

78 + 1578 +

978

= 3078 =

513

Jadi, peluang terpilih satu siswa laki-laki dari tim

A adalah 5

13 .

26. Jawaban: bKemungkinan 6 anak duduk di kursi sebagai berikut

Kemungkinan Baris 1 Baris 2

I 4 anak 2 anakII 3 anak 3 anakIII 2 anak 4 anak

Ruang sampel S = kejadian 4 anak duduk di baris1dan 2 anak duduk di baris 2, kejadian 3 anak dudukdi baris1 dan 3 anak duduk di baris 2, ataukejadian 2 anak duduk di baris1 dan 4 anak dudukdi baris 2.A = kejadian 4 anak duduk di baris1 dan 2 anak

duduk di baris 2

n(A) = 4P4 × 4P2

= 4!

(4 4)!− × 4!

(4 2)!−

= 4 3 2 1!

1!× × ×

× 4 3 2!

2!× ×

= 24 × 12= 288

B = kejadian 3 anak duduk di baris1 dan 3 anakduduk di baris 2

n(B) = 4P3 × 4P3 × 2

= 4!

(4 3)!− × 4!

(4 3)!− × 2

= 4 3 2 1!

1!× × ×

× 4 3 2 1!

1!× × ×

× 2

= 24 × 24 × 2= 1.152

C = kejadian 2 anak duduk di baris1 dan 4 anakduduk di baris 2

n(C) = 4P2 × 4P4

= 4!

(4 2)!− × −4!

(4 4)!

= 4 3 2!

2!× ×

× × × ×4 3 2 1

1

= 12 × 24

= 288n(S) = n1 + n2 + n3

= 288 + 1.152 + 288= 1.728

Peluang 3 anak duduk dalam satu baris:

P(B) = n(B)n(S) =

1.1521.728 =

23

Jadi, peluang 3 anak duduk dalam satu baris 23 .

27. Jawaban: eRuang sampel S = kejadian terpilih 2 siswa dari 9siswa.n(S) = banyak cara memilih 2 siswa dari 9 siswa

= 9C2

= −9!

2!(9 2)!

= × ×× ×

9 8 7!2 1 7! = 9 × 4 = 36

Kemungkinan pasangan ketua dan sekretaris yangterpilih sebagai berikut.

Ketua Sekretaris

Asal Kelas XI X

XII X

XII XI


Misalkan A = kejadian terpilih ketua dari kelas XIdan sekretaris dari kelas X

B = kejadian terpilih ketua dari kelas XIIdan sekretaris dari kelas X

C = kejadian terpilih ketua dari kelas XIIdan sekretaris dari kelas XI

n(A) = 4C1 × 3C1 = 4 × 3 = 12n(B) = 2C1 × 3C1 = 2 × 3 = 6n(B) = 2C1 × 4C1 = 2 × 4 = 8Kejadian A, B, dan C saling lepas.Peluang terpilih keduanya dari kelas yang berbedadan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggidari sekretaris:

P = n(A)n(S) +

n(B)n(S) +

n(C)n(S)

= 1236 +

636 +

836 =

2636

28. Jawaban: aJumlah bola = 5 + 4 = 9S = kejadian terambil 3 bola dari 9 bolan(S) = 9C3

= 9!

3!(9 3)!−

= 9 8 7 6!3 2 1 6!

× × ×× × ×

= 84Kemungkinan bola yang terambil adalah 2 bolaputih dan 1 bola hitam atau 3 bola putih.A1 = kejadian terambil 2 bola putih dan 1 bola hitam

n(A1) = 5C2 × 4C1

= 5!

2! 3! × 4!

1! 3!

= 5 4 3!

2 3!× ×

× ×4 3!1 3!

××

= 10 × 4= 40

P(A1) = 1n(A )n(S) =

4084

A2 = kejadian terambil 3 bola putihn(A2) = 5C3

= 5 4 3!

3! 2!× ×

= 10

P(A2) = n(A )n(S)

= 1084

Kejadian A1 dan A2 saling lepas.Peluang terambil sekurang-kurangnya 2 bola putih:P(A) = P(A1) + P(A2)

= 4084 +

1084

= 5084

Frekuensi harapan terambil sekurang-kurangnyadua bola putih:Fh(A) = n × P(A)

= 84 × 5084

= 50 kaliJadi, frekuensi harapan terambil sekurang-kurangnya 2 bola putih adalah 50 kali.

29. Jawaban: dBanyak percobaan = n.Ruang sampel S = himpunan pasangan mata dadupada pelambungan dua dadu.n(S) = 6 × 6 = 36A = kejadian terlihat mata dadu pertama 3

= {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}n(A) = 6B = kejadian terlihat mata dadu kedua 5

= {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)}n(B) = 6A ∩ B = kejadian muncul mata dadu pertama 3

dan mata dadu kedua 5= {(3, 5)}

Oleh karena A ∩ B ≠ ∅, kejadian A dan B tidaksaling lepas.peluang terlihat mata dadu pertama 3 atau matadadu kedua 5:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= n(A)n(S) +

n(B)n(S) –

P(A B)n(S)

∩

= 636 +

636 –

136 =

1136

Frekuensi harapan terlihat mata dadu pertama 3atau mata dadu kedua 5:Fr(A ∪ B)= P(A ∪ B) × n

⇔ 33 = 1136 × n ⇔ n = 33 × 36 = 1.188

Jadi, dua dadu dilambungkan sebanyak 108 kali.

30. Jawaban: bBanyak percobaan n = 165Jumlah uang logam dalam mangkuk = 8 + 3 = 11Kemungkinan uang logam yang terambil adalahpertama uang logam seribuan dan kedua uanglogam seribuan atau pertama uang logam seribuandan kedua uang logam lima ratusan.A = kejadian terambil pertama uang logam

seribuan dan kedua uang logam seribuan

P(A) = 811×

710 =

56110

B = kejadian terambil pertama uang logamseribuan dan kedua uang logam limaratusan

P(B) =811×

310 =

24110


I

II II

II II

I II II I

Kejadian A dan B saling lepas.Peluang terambil uang logam seribuan padapengambilan pertama:

P = P(A) + P(B) = 56

110 + 24

110 = 80

110 = 811

Frekuensi harapan terambil uang logam seribuanpada pengambilan pertama:

Fh = P × N = 811 × 165 = 120

Jadi, frekuensi harapan terambil uang logam seribuanpada pengambilan pertama adalah 120 kali.

B. Uraian1. Bilangan genap antara 2.000 dan 5.000 terdiri atas

nilai tempat ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan.Angka-angka yang dapat menempati nilai tempatribuan adalah 2, 3, atau 4.Angka-angka yang dapat menempati nilai tempatsatuan adalah 2, 4, 6, atau 8.

Banyak bilangan genap antara 2.000 dan 5.000yang dapat dibentuk= 5P2 × 3 + 5P2 × 4 + 5P2 × 3= 5P2(3 + 4 + 3)= 20 × 10 = 200

2. a. 2 foto yang disusun selalu bersama-samadianggap sebagai 1 unsur.Permasalahan menjadi permutasi dari 6 – 1 =5 unsur yaitu ada 5P5 cara.Penyusunan 2 foto yang selalu bersama-sama ada 2P2 cara.Banyak cara seluruhnya= 2P2 × 5P5= 2! × 5!= 2 × 1 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 240 caraJadi, banyak cara menyusun foto dengan2 foto selalu bersama-sama ada 240 cara.

b. Banyak 6 foto dipasang dengan tidak adabatasan cara = 6P6

= 6!= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1= 720 cara

Banyak foto dipasang dengan 2 foto selalubersama-sama = 2P2 × 5P5

= 2! × 5!= 2 · 1 × 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 240 cara

Jadi, banyak cara menyusun 6 fotodengan 2 foto tidak pernah bersama-sama= 720 – 240 = 480 cara.

3. a. Banyak cara membentuk kelompok= banyak cara memilih 7 siswa dari 12 siswa= 12C7

= 1!

7!(12 7)!−

= 12 11 10 9 8 7!

7! 5 4 3 2 1× × × × ×

× × × × ×

= 12 × 11 × 2 × 3 = 792b. Kemungkinan anggota tim yang terpilih adalah

6 siswa putra dan 1 siswa putri atau 7 siswaputra.n1 = banyak cara membentuk kelompok

beranggotakan 6 putra dan 1 putri= 8C6 × 4C1

= 8!

6!(8 6)!− × 4!

1!(4 1)!−

= 8 7 6!6! 2 1

× ×× × ×

4 3!1 3!

××

= 4 × 7 × 4 = 112n2 = banyak cara membentuk kelompok

beranggotakan 7 siswa putra= 8C7

= 8!

7!(8 7)!−

= 8 7!7 1!

×× = 8

Banyak cara membentuk kelompok dengananggota paling sedikit enam siswa putra= n1 + n2= 112 + 8= 120

4. Bentuk taman yang diinginkan

Banyak cara menanam pohon I = (3 – 1)!= 2!= 2

Banyak cara menanam pohon II = (6 – 1)!= 5!= 120

Banyak cara menanam pohon-pohon itu= 2 × 120 = 240 cara.

Ribuan

234

Ratusan

. . .

. . .

. . .

Puluhan

. . .

. . .

. . .

Satuan

4, 6, atau 82, 4, 6, atau 82, 6, atau 8

��5P2


5. Password terdiri atas 4 huruf. Huruf pertama diawalidengan huruf s. Ketiga huruf lain dapat dipilih darihuruf p, q, r, t, u, dan v.Banyak cara memilih 4 huruf dari 6 huruf= 6C3

= 6!

3! 3!

= 6 5 4 3!3! 3 2 1

× × ×× × ×

= 20 caraAngka prima kurang dari 10 ada 4, yaitu 2, 3, 5,dan 7.Banyak cara memilih 2 angka dari 4 angka= 4C2

= 4!

2! 2!

= 4 3 2!

2! 2× ×

×= 6 caraBanyak susunan password yang dapat disusun= 5P5 = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 cara.Banyak password yang dapat disusun= 20 × 6 × 120= 14.400 caraJadi, banyak password yang dapat disusun ada14.400 cara.

6. S = kejadian A memperoleh 13 kartu dari 52 kartun(S) = 52C13

R = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack= kejadian A memperoleh 4 kartu Jack dan

9 kartu sembarang dari 48 kartu selain Jackn(R) = 4C4 × 48C9

P(R) = n(R)n(S) = 4 4 48 9

52 13

C CC×

= 48!

9! 39!52!

13! 39!

1×

= 48!9! ×

13!52!

= 48! 13 12 11 10 9!9! 52 51 50 49 48!

× × × × ×× × × × ×

= 11

17 5 49× ×

= 11

4.165

Jadi, peluang A memperoleh 4 kartu Jack 11

4.165 .

7. Kotak A berisi 4 + 3 = 7 kartuSA = kejadian terambil 2 kartu dari kotak An(SA) = 7C2

= 7!2! (7 2)!− = 7 6 5!

2 1 5!× ×× ×

= 7 × 3 = 21

A = kejadian terambil 2 kartu merah dari kotak A

n(A) = 4C2 = 4!2! (4 2)!− = 4 3 2!

2 1 2!× ×× ×

= 2 × 3 = 6

P(A) = A

n(A)n(S ) =

621 =

27

Kotak B berisi 6 + 2 = 8 kartuSB = kejadian terambil 2 kartu dari kotak Bn(SB) = 8C2

= 8!2! (8 2)!− = 8 7 6!

2 1 6!× ×× ×

= 4 × 7 = 28

B = kejadian terambil 2 kartu putih dari kotak Bn(B) = 2C2 = 1

P(B) = B

n(B)n(S ) =

128

Kejadian A dan B merupakan dua kejadian salingbebas.Peluang terambil dua kartu merah dari kotak A dandua kartu putih dari kotak B:P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

= 27 ×

128 =

198

Jadi, peluang terambil 2 kartu merah dari kotak A

dan 2 kartu putih dari kotak B adalah 1

98 .

8. Ruang sampel S = himpunan pasangan mata dadupada pelambungan dua mata dadu secarabersamaan.n(S) = 6 × 6 = 36A = kejadian terlihat mata dadu pertama 6

= {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}n(A) = 6

P(A) = n(A)n(S) =

636

B = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 8= {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}

n(B) = 5

P(B) = n(B)n(S) =

536

A ∩ B = kejadian terlihat mata dadu pertama 6dan jumlah kedua mata mata dadu 8

= {(6, 2)}n(A ∩ B) = 1

P(A ∩ B) = 1

36

Peluang terlihat mata dadu pertama 6 atau jumlahkedua mata dadu 8:P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 636 +

536 –

136 =

1036 =

518

9. Ruang sampel S = kejadian terambil 2 kelerengdari 20 kelereng.n(S) = 20C2

= 20!2! (20 2)!− = 20 19 18!

2 1 18!× ×× ×

= 10 × 19 =190


Kemungkinan kelereng yang terambil adalah(1 putih, 1 kuning), (1 putih, 1 hijau), atau (1 hijau,1 kuning).A = kejadian terambil 1 kelereng putih dan

1 kelereng kuningn(A) = 5C1 × 8C1 = 5 × 8 = 40B =kejadian terambil 1 kelereng putih dan

1 kelereng hijaun(B) = 5C1 × 7C1 = 5 × 7 = 35C = kejadian terambil 1 kelereng hijau dan

1 kelereng kuningn(C) = 7C1 × 8C1 = 7 × 8 = 56Kejadian A, B, dan C saling lepas.Peluang terambil 1 kelereng putih atau 1 kelerenghijau:P = P(A) + P(B) + P(C)

= n(A)n(S) +

n(B)n(S) +

n(C)n(S)

= 40

190 + 35

190 + 56

190

= 131190

Jadi, peluang terambil 1 kelereng putih dan

1 kelereng hijau adalah 131190 .

10. Jumlah bola = 6 + 4 + 8 = 18S = kejadian terambil 2 bola dari 18 bolan(S) = 18C2

= 18!

2!16! = 18 17 16!

2 1 16!× ×× × = 9 × 17 = 153

Kemungkinan bola yang terambil adalah(1P, 1H), (1P, 1K), dan (1K, 1H)

A = kejadian bola yang terambil 1 putih dan 1 hijaun(A) = 6C1 × 4C1

= 6 × 4= 24

B = kejadian bola yang terambil 1 putih dan1 kuning

n(B) = 6C1 × 8C1

= 6 × 8= 48

C = kejadian bola yang terambil 1 kuning dan1 hijau

n(C) = 8C1 × 4C1

= 8 × 4= 32

Kejadian A, B, dan C saling lepas.Peluang terambil bola berbeda warna:P = P(A) + P(B) + P(C)

= n(A)n(S) +

n(B)n(S) +

n(C)n(S)

= 24

153 + 48

153 + 32

153

= 104153

Fh(P) = P × n

= 104153 × 306

= 208Jadi, frekuensi harapan terambil bola berbedawarna adalah 208.

50 Persamaan Lingkaran

Setelah mempelajari bab ini peserta didik mampu:1. menjelaskan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran;2. menjelaskan konsep kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menentukan persamaan umum lingkaran;3. membuat model matematika berupa persamaan lingkaran dan menyelesaikan permasalahan tersebut;4. merancang dan menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitan dengan garis singgung lingkaran.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik berperilaku disiplin dan kritis menerapkannya dalamkehidupan sehari-hari.

Persamaan Lingkaran

Persamaan Lingkaran

• Mendeskripsikan lingkaran.• Menjelaskan persamaan lingkaran

yang berpusat di O(0, 0) danP(a, b).

• Menjelaskan bentuk umum per-samaan lingkaran.

• Menjelaskan kedudukan titik dangaris terhadap lingkaran.

• Berdiskusi menentukan jarak titikterhadap suatu garis.

• Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, sertamemiliki rasa percaya diri dalam menyelesaikan masalah.

• Berperilaku jujur dan bertanggung jawab dalam berinteraksi denganlingkungan sosial.

• Menentukan persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgunglingkaran.

• Membuat model matematika berupa persamaan lingkaran daripermasalahan nyata dan menyelesaikannya.

• Merancang dan menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitandengan garis singgung lingkaran.

Persamaan GarisSinggung Lingkaran

• Mendeskripsikan garis singgunglingkaran.

• Menjelaskan cara menentukanpersamaan garis singgung lingkaranyang diketahui gradiennya.

• Menjelaskan cara menentukanpersamaan garis singgunglingkaran di suatu titik.

• Berdiskusi menentukan persama-an garis singgung lingkaran yangmelalui titik di luar lingkaran.


A. Pilihan Ganda1. Jawaban: e

Lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari 9.Persamaan lingkaran:

x2 + y2 = r2

⇔ x2 + y2 = 92

⇔ x2 + y2 = 81Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 81.

2. Jawaban: dDari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaranP(10, –6) dan jari-jarinya 10. Persamaan lingkarannya:(x – 10)2 + (y – (–6))2 = 102

⇔ (x – 10)2 + (y + 6)2 = 100Jadi, persamaan lingkarannya (x – 10)2 + (y + 6)2

= 100.

3. Jawaban: dPersamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalahx2 + y2 = r2.Lingkaran melalui titik (4, –2):x2 + y2 = r2 ⇒ (4)2 + (–2)2 = r2

⇔ r2 = 16 + 4 = 20Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 20.

4. Jawaban: ax2 + y2 – 6x – 4y – 3 = 0

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 3 + 9 + 4⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 16Diperoleh koordinat titik pusat lingkaran (3, 2) danjari-jarinya 4. Grafik lingkaran yang sesuai adapada pilihan a.

5. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik M(–4, 8)dan melalui titik N(1, 5) adalah . . . .a. x2 + y2 – 8x + 16y – 98 = 0b. x2 + y2 + 8x – 16y + 46 = 0c. x2 + y2 – 4x + 8y – 62 = 0d. x2 + y2 + 4x – 8y + 10 = 0e. x2 + y2 – 8x + 4y – 38 = 0Jawaban: bPersamaan lingkaran yang berpusat di titik M(–4, 8):(x – (–4))2 + (y – 8)2 = r2

⇔ (x + 4)2 + (y – 8)2 = r2

Lingkaran melalui titik N(1, 5) diperoleh:(x + 4)2 + (y – 8)2 = r2

⇔ (1 + 4)2 + (5 – 8)2 = r2

⇔ r2 = 52 + (–3)2

= 25 + 9 = 34Persamaan lingkarannya:

(x + 4)2 + (y – 8)2 = 34⇔ x2 + 8x + 16 + y2 – 16y + 64 – 34 = 0⇔ x2 + y2 + 8x – 16y + 46 = 0

6. Jawaban: aTitik pusat lingkaran terletak di tengah diameter,koordinatnya:

4 + 62

− , 3 + 12

− = (1, –1)

Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2

Lingkaran melalui titik (6, 1), diperoleh:(6 – 1)2 + (1 + 1)2 = r2

⇔ r2 = 25 + 4 = 29Persamaan lingkaran:

(x – 1)2 + (y + 1)2 = r2

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 29⇔ x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0

7. Jawaban: dLingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + a = 0 melalui titik(1, 4), diperoleh:

12 + 42 + 6 · 1 – 2 · 4 + a = 0⇔ 1 + 16 + 6 – 8 + a = 0⇔ a = –15Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15= 0.Jari-jari lingkaran:

r = 1 12 22 2

( A) ( B) C− + − −

= 6 22 22 2

( ) ( ) ( 15)−− + − − −

= 9 1 15+ += 25 = 5

Jadi, panjang jari-jarinya 5 satuan.

8. Jawaban: eOleh karena titik A terletak pada lingkaran,substitusikan titik (p, 1) ke dalam persamaanlingkaran.

(x – 2)2 + (y + 4)2 = 26⇔ (p – 2)2 + (1 + 4)2 = 26⇔ p2 – 4p + 4 + 25 = 26⇔ p2 – 4p + 3 = 0⇔ (p – 3)(p – 1) = 0⇔ p – 3 = 0 atau p – 1 = 0⇔ p = 3 atau p = 1Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 1 atau 3.

9. Jawaban: bMisalkan titik P(24, 7) terletak pada lingkaran,diperoleh:

x2 + y2 = a2

⇔ 242 + 72 = a2

⇔ 576 + 49 = a2

⇔ a2 = 625⇔ a = 25


Oleh karena titik P harus di dalam lingkaran, jaraktitik P terhadap titik O(0, 0) harus kurang dari 25.Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 0 < a < 25.

10. Jawaban: aLingkaran x2 + y2 + px + 8y + 9 = 0 berpusat di

titik

–21 p, –4

.

r = ( )2 212

p ( 4) – 9− + −

= 21

4p 16 – 9+

= 214

p 7+

Lingkaran menyinggung sumbu X makar = |ordinat pusat|Diperoleh:

214

p 7+ = |–4|

⇔2

214

p 7

+ = |–4|2

⇔41 p2 + 7 = 16

⇔41 p2 = 9

⇔ p2 = 36⇔ p = ± 6Jadi, pusat lingkarannya (3, –4) atau (–3, –4).

11. Jawaban: bx – 2y = 5 ⇔ x = 5 + 2ySubstitusikan x = 5 + 2y ke dalam persamaanlingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 diperoleh:

(5 + 2y)2 + y2 – 4(5 + 2y) + 8y + 10 = 0⇔ 25 + 20y + 4y2 + y2 – 20 – 8y + 8y + 10 = 0⇔ 5y2 + 20y + 15 = 0⇔ y2 + 4y + 3 = 0⇔ (y + 3)(y + 1) = 0⇔ y1 = –3 atau y2 = –1y1 = –3 ⇒ x1 = 5 + 2(–3) = –1 ⇒ A(–1, –3)y2 = –1 ⇒ x2 = 5 + 2(–1) = 3 ⇒ B(3, –1)

Panjang ruas garis AB

= 2 2(3 – (–1)) (–1– (–3))+

= 2 24 2+

= 16 4+

= 20

= 2 5 satuan

12. Jawaban: bPersamaan lingkaran L dengan pusat (–1, 3) danjari-jari r = 1:

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 12

⇔ x2 + y2 + 2x – 6y + 9 = 0 . . . (1)Garis g: ax + y = 0 ⇔ y = –ax . . . (2)Substitusikan y = –ax ke dalam persamaan (1).x2 + (–ax) 2 + 2x – 6(–ax) + 9 = 0⇔ x2 + a2x2 + 2x + 6ax + 9 = 0⇔ (a2 + 1)x2 + (2 + 6a)x + 9 = 0Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0.

(2 + 6a)2 – 4(a2 + 1) · 9 = 0⇔ 4 + 24a + 36a2 – 36a2 – 36 = 0⇔ 24a = 32

⇔ a = 43

Jadi, syarat agar garis ax + y = 0 menyinggung

lingkaran L adalah nilai a = 43 .

13. Jawaban: eLingkaran L menying-gung sumbu Y di titik(0, 6) dan pusatnya digaris y = 2x.y = 6 ⇔ 2x = 6

⇔ x = 3Pusat lingkaran P(3, 6)dan jari-jari 3.Jadi, persamaan ling-karan L adalah

(x – 3)2 + (y – 6)2 = 32

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 9⇔ x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0

14. Jawaban: bLingkaran L: 2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melaluititik (–2, 1), diperoleh:

2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0⇔ 2(–2)2 + 2(1)2 – 4(–2) + 3p(1) – 30 = 0⇔ 8 + 2 + 8 + 3p – 30 = 0⇔ 3p – 12 = 0⇔ p = 4Lingkaran L:

2x2 + 2y2 – 4x + 12y – 30 = 0⇔ x2 + y2 – 2x + 6y – 15 = 0Pusat lingkaran L adalah (1, –3).

Jari-jari lingkaran L= 2 21 ( 3) ( 15)+ − − −

= 25= 5

Persamaan lingkaran M yang berpusat di (1, –3)dan jari-jarinya 2(5) = 10 sebagai berikut.

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 1)2 + (y + 3)2 = 102

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = 100

Y

X

y = 2x

6r

P

30

-------

----

----

----


⇔ x2 – 2x + y2 + 6y + 10 = 100⇔ x2 + y2 – 2x + 6y – 90 = 0Jadi, persamaan lingkaran M adalah x2 + y2 – 2x+ 6y – 90 = 0.

15. Jawaban: cPerhatikan gambar berikut.

Misalkan titik pusat lingkaran L adalah (a, b).Titik (a, b) terletak pada garis 2x – 4y – 4 = 0,diperoleh:

2x – 4y – 4 = 0⇔ 2a – 4b – 4 = 0 . . . (1)Oleh karena lingkaran L menyinggung sumbu Xdan sumbu Y maka jari-jari lingkaran r = a = b.Substitusikan a = b ke dalam persamaan (1).

2a – 4b – 4 = 0⇔ 2b – 4b – 4 = 0⇔ –2b – 4 = 0⇔ b = –2Diperoleh titik pusat (a, b) = (–2, –2).Persamaan lingkaran L:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x + 2)2 + (y + 2)2 = 22

⇔ x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4⇔ x2 + 4x + y2 + 4y + 4 = 0⇔ x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 4x + 4y + 4= 0.

B. Uraian1. a. x2 + y2 – 12x – 8y + 3 = 0

A = –12, B = –8, dan C = 3.

Pusat lingkaran = (–A2 , –

B2 ) = (6, 4)

Jari-jari = 2 26 4 3+ − = 49 = 7b. x2 + y2 = 6x – 18y + 6

⇔ x2 + y2 – 6x + 18y – 6 = 0A = –6, B = 18, dan C = –6.

Pusat lingkaran = (–A2 , –

B2 ) = (3, –9)

Jari-jari = 2 23 ( 9) ( 6)+ − − − = 96 = 4 6

2. a. Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0)adalah x2 + y2 = r2.

Oleh karena lingkaran melalui titik (3, –2),diperoleh:

x2 + y2 = r2

⇔ 32 + (–2)2 = r2

⇔ 9 + 4 = r2

⇔ r2 = 13Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 13.

b. Jari-jari = 12 · diameter =

12 · 12 = 6

Persamaan lingkaran yang berpusat di A(–3, 1)dengan jari-jari 6 satuan adalah

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x + 3)2 + (y – 1)2 = 62

⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 2y + 1 = 36⇔ x2 + 6x + y2 – 2y – 26 = 0⇔ x2 + y2 + 6x – 2y – 26 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 6x– 2y – 26 = 0.

3. a. L1 : x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = –15 + 4 + 16⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 5Lingkaran L1 berpusat di titik (2, –4) dan

berjari-jari r = 5 .

b. Persamaan lingkaran L2 yang berpusat di

(2, –4) dan berjari-jari 2 5 adalah:(x – 2)2 + (y + 4)2 = (2 5 )2

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 20⇔ x2 + y2 – 4x + 8y = 0

4. x2 + y2 – 8x – 12y + n = 0a. Lingkaran melalui titik (–1, 3), diperoleh:

(–1)2 + 32 – 8(–1) – 12(3) + n = 0⇔ 1 + 9 + 8 – 36 + n = 0⇔ n = 18

b. x2 + y2 – 8x – 12y + 18 = 0

Pusat: –

21 (–8), –

21 (–12)

= (4, 6)

Jari-jari: r = 2 24 + 6 18−

= 16 + 36 18− = 34Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (4, 6).

d = 2 24 + 6 = 16 + 36 = 52

Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada diluar lingkaran.

c. Jarak garis y = 2x – 5 ⇔ 2x – y – 5 = 0 ketitik pusat lingkaran (4, 6) adalah:

s = 2 2

2(4) (6) 5

2 + ( 1)

− −−

= 8 6 54 + 1

− − = 35

− = 35

× 55

= 35

5

Y

X

2x – 4y – 4 = 0

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

1


Oleh karena s = 35

5 ≈ 1,34 < r = 34 ≈ 5,83

maka garis y = 2x – 5 memotong lingkaran didua titik.

5. Perhatikan gambar berikut.

Lingkaran menyinggung sumbu X di titik (2, 0).Oleh karena jari-jari lingkaran 3 satuan, titik pusat-nya (2, 3).Persamaan lingkarannya adalah

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 2)2 + (y – 3)2 = 32

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 9⇔ x2 – 4x + y2 – 6y + 4 = 0⇔ x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0Lingkaran memotong sumbu Y pada saat x = 0,diperoleh:

x2 + y2 – 4x – 6y + 4 = 0⇔ 02 + y2 – 4(0) – 6y + 4 = 0⇔ y2 – 6y + 4 = 0Bentuk y2 – 6y + 4 = 0 merupakan persamaankuadrat dengan a = 1, b = –6, dan c = 4.Misalkan titik potong terhadap sumbu Y adalahy1 dan y2. Jarak antara y1 dan y2 dirumuskan:

y1 – y2 = Da =

2b 4aca−

= 36 16

1−

= 20 = 2 5

Jadi, panjang AB = y1 – y2 = 2 5 satuan panjang.

6. Titik pusat lingkaran: P(–2, 1).

Jari-jari lingkaran: r = 2 2( 2) 1 4− + + = 3

a. Jarak titik P(–2, 1) ke garis x + y – 8 = 0:

d = 2 2

2 1 8

1 1

− + −

+ = 9

2

Oleh karena d1 = 92

> r = 3 maka garisx + y – 8 = 0 tidak berpotongan denganlingkaran L.

b. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 2x – y + 1 = 0:

d = 2 2

2 ( 2) 1 1

2 ( 1)

⋅ − − +

+ − = 4

5

Oleh karena d = 45

< r = 3 maka garis

2x – y + 1 = 0 memotong lingkaran L.

c. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 3x – 4y – 5 = 0:

d = 2 2

3 ( 2) 4 1 5

3 ( 4)

⋅ − − ⋅ −

+ − = 15

5− = 3

Oleh karena d = r = 3 maka garis 3x – 4y – 5 = 0menyinggung lingkaran L.

d. Jarak titik P(–2, 1) ke garis 2x + 2y – 1 = 0:

d = 2 2

2 ( 2) 2 1 1

2 2

⋅ − + ⋅ −

+ = 3

2 2

Oleh karena d = 32 2

< r = 3 maka garis

2x + 2y – 1 = 0 memotong lingkaran L.

7. l: 2x + y = k Û y = k – 2xSubstitusikan � ke dalam persamaan lingkaran L.

x2 + (k – 2x)2 = 4⇔ x2 + k2 – 4kx + 4x2 = 4⇔ 5x2 – 4kx + k2 – 4 = 0Syarat garis � tidak memotong lingkaran L di duatitik yaitu D < 0.

(–4k)2 – 4 · 5 · (k2 – 4) < 0⇔ 16k2 – 20k2 + 80 < 0⇔ –4k2 + 80 < 0⇔ k2 – 20 > 0⇔ (k – 20 )(k + 20 ) > 0⇔ (k – 2 5 )(k + 2 5 ) > 0

⇔ k < –2 5 atau k > 2 5Jadi, batas-batas nilai k adalah k < –2 5 atauk > 2 5 .


Lingkaran menyinggung garis y = 10 di titik (5, 10)berarti koordinat titik pusatnya (5, b) dan jari-jarinyar = 10 – b. Persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2

+ (y – b)2 = (10 – b)2.

Y

X(2,0)

7

654321

01 1 3 4 5 6 7

+ – +

–2 5 2 5

Y

X

(5,10)

(5,b)

5

y = 10

0


A. Pilihan Ganda1. Jawaban: b

Substitusikan y = 2x + p ke dalam persamaanlingkaran.

x2 + y2 = 20⇔ x2 + (2x + p)2 = 20⇔ x2 + 4x2 + 4px + p2 = 20⇔ 5x2 + 4px + p2 – 20 = 0Diperoleh a = 5, b = 4p, dan c = p2 – 20.Syarat garis menyinggung lingkaran yaitu D = 0.

D = 0⇔ b2 – 4ac = 0⇔ (4p)2 – 4(5)(p2 – 20) = 0

⇔ 16p2 – 20p2 + 400 = 0⇔ –4p2 + 400 = 0⇔ p2 = 100⇔ p = 10 atau –10Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 10 atau –10.

2. Jawaban: dGaris x + y = 4 mempunyai gradien m1 = –1.

y = 24 x−⇔ y2 = 4 – x2

⇔ x2 + y2 = 4Oleh karena garis singgung sejajar dengan garisx + y = 4 maka m = m1 = –1.

P1 P P2

r1r1

r2 r2

T2O

y = 13 3x

y = 3

Y

X

Lingkaran melalui titik (1, 2), diperoleh:(1 – 5)2 + (2 – b)2 = (10 – b)2

⇔ 16 + 4 – 4b + b2 = 100 – 20b + b2

⇔ 20 – 4b = 100 – 20b⇔ 16b = 80⇔ b = 5Jadi, persamaan lingkaran tersebut (x – 5)2 + (y – 5)2= 25.

9. Segitiga ABC siku-siku di A, maka sisi BCmerupakan diameter lingkaran.Titik tengah diameter BC merupakan titik pusatlingkaran, yaitu titik (3, 6).Panjang diameter sama dengan panjang BC, yaitu:

d = BC = 2 2(6 0) (0 12)− + −

= 36 144+ = 180

Jari-jari: r = 12 d =

12 180 = 180

4 = 45

Persamaan lingkaran dengan pusat (3, 6) dan jari-

jari r = 45 :

(x – 3)2 + (y – 6)2 = ( 45 )2

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 45⇔ x2 + y2 – 6x – 12y = 0Jadi, persamaan lingkaran luar segitiga ABC adalahx2 + y2 – 6x – 12y = 0.


Titik pusat kedua lingkaran pada garis y = 3

berarti ordinat titik pusat adalah 3 .Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x = 0),maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r).

Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, 3 ) dan per-samaannya:(x – r)2 + (y – 3 )2 = r2

Lingkaran juga menyinggung garis y = 13 x 3 .

Substitusikan y = 13 x 3 ke dalam persamaan

lingkaran.

(x – r)2 +

13 x 3 – 3

2= r2

⇔ x2 – 2rx + r2 + 13 x2 – 2x + 3 = r2

⇔ 43 x2 – (2r + 2)x + 3 = 0

Oleh karena lingkaran menyinggung garis, makadiskriminan (D) = 0, yaitu:

b2 – 4ac = 0 ⇒ (2r + 2)2 – 4 · 43 · 3 = 0

⇔ 4r2 + 8r + 4 – 16 = 0⇔ 4r2 + 8r – 12 = 0⇔ r2 + 2r – 3 = 0⇔ (r + 3)(r – 1) = 0⇔ r = –3 atau r = 1

Diperoleh titik pusat P1(–3, 3) dan P2(1, 3).Jarak kedua titik pusat:

P1P2 = 2 2(1 ( 3)) ( 3 3)− − + −

= 2 24 0+= 4


Persamaan garis singgung lingkaran:

y = mx ± r 2m 1+

⇔ y = –x ± 22( 1) 1− +

⇔ y = –x ± 2 2

⇔ x + y ± 2 2 = 0

Oleh karena kurva y = 24 x− berada di atassumbu X, persamaan garis singgung yang memenuhi

adalah x + y – 2 2 = 0.

3. Jawaban: a

Garis 5x – 12y + 8 = 0 mempunyai gradien m1 = 5

12 .Titik pusat lingkaran: (a, b) = (1, –2)

Jari-jari lingkaran: r = 2 21 ( 2) ( 4)+ − − − = 3

Oleh karena garis singgung sejajar dengan garis

5x – 12y + 8 = 0 maka m = m1 = 5

12 .Persamaan garis singgung lingkaran:

y – b = m(x – a) ± r 2m 1+

⇔ y + 2 = 5

12 (x –1) ± 3 5 212

( ) 1+

⇔ y + 2 = 5

12 (x – 1) ± 3 25144

1+

⇔ y + 2 = 5

12 (x – 1) ± 3 169144

⇔ y + 2 = 5

12 (x – 1) ± 3(1312 )

⇔ 12(y + 2) = 5(x – 1) ± 39⇔ 12y + 24 = 5x – 5 ± 39⇔ 5x – 12y – 29 ± 39 = 0⇔ 5x – 12y – 29 + 39 = 0 atau 5x – 12y – 29 – 39

= 0⇔ 5x – 12y + 10 = 0 atau 5x – 12y – 68 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkarannyaadalah 5x – 12y + 10 = 0 dan 5x – 12y – 68 = 0.

4. Jawaban: aGaris y – 2x + 5 = 0 mempunyai gradien m1 = 2.Titik pusat lingkaran: P(3, –5).Jari-jari lingkaran: r = 80Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah m.Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garisy – 2x + 5 = 0 maka m = m1 = 2.Persamaan garis singgung lingkaran:

y – b = m(x – a) ± r 21 m+

⇔ y – (–5) = 2(x – 3) ± 80 · 21 2+

⇔ y + 5 = 2x – 6 ± 80 5⋅

⇔ y = 2x – 11 ± 400⇔ y = 2x – 11 ± 20

5. Jawaban: cx2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0

⇔ x2 – 6x + y2 – 4y = 12⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 12 + 9 + 4⇔ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25Diperoleh pusat lingkaran (3, 2) dan jari-jari r = 5.Garis y = x + 4 bergradien 1, maka garis yangtegak lurus dengan garis tersebut bergradien –1.Persamaan garis singgung:

y – 2 = m(x – 3) ± 5 21 m+

⇔ y – 2 = –1(x – 3) ± 5 21 ( 1)+ −

⇔ y – 2 = –x + 3 ± 5 2

⇔ y = –x + 5 ± 5 2Jadi, salah satu persamaan garis singgungnyay = –x + 5 – 5 2 .

6. Jawaban: aL: (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9y = 3 ⇒ (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9

⇔ (x + 1)2 = 9⇔ x + 1 = ±3⇔ x = –1 ± 3⇔ x = 2 atau x = –4

Diperoleh titik potong (2, 3) dan (–4, 3).Persamaan garis singgung di titik (2, 3):(2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9⇔ 3x + 3 + 0 = 9⇔ x = 2Persamaan garis singgung di titik (–4, 3):(–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9⇔ –3x – 3 + 0 = 9⇔ x = –4Jadi, persamaan garis singgungnya x = 2 danx = –4.

7. Jawaban: aPersamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) adalahx2 + y2 = r2.Lingkaran melalui titik A(3, 1):x2 + y2 = r2 ⇒ (3)2 + (1)2 = r2

⇔ r2 = 9 + 1 = 10Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 = 10.Persamaan garis singgung lingkaran di titik A(3, 1):x1x + y1y = r2 ⇒ (3)x + (1)y = 10

⇔ 3x + y = 10Jadi, persamaan garis singgung lingkaran di titik Aadalah 3x + y = 10.

8. Jawaban: bPada titik (x, y), x disebut absis dan y disebutordinat.


Substitusikan x = 5 ke dalam persamaan lingkaran.x2 + y2 – 2x + 6y – 7 = 0

⇔ 52 + y2 – 2(5) + 6y – 7 = 0⇔ 25 + y2 – 10 + 6y – 7 = 0⇔ y2 + 6y + 8 = 0⇔ (y + 2)(y + 4) = 0⇔ y + 2 = 0 atau y + 4 = 0⇔ y = –2 atau y = –4Diperoleh dua titik pada lingkaran, yaitu (5, –2) dan(5, –4).Persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, –2).

5x – 2y – (x + 5) + 3(y – 2) – 7 = 0⇔ 5x – 2y – x – 5 + 3y – 6 – 7 = 0⇔ 4x + y – 18 = 0Persamaan garis singgung lingkaran di titik (5, –4).

5x – 4y – (x + 5) + 3(y – 4) – 7 = 0⇔ 5x – 4y – x – 5 + 3y – 12 – 7 = 0⇔ 4x – y – 24 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya adalah4x + y – 18 = 0 dan 4x – y – 24 = 0.

9. Jawaban: dx2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0Untuk x = 7 dan y = 1 diperoleh:72 + 12 – 6(7) + 4(1) – 12= 49 + 1 – 42 + 4 – 12= 0Titik (7, 1) terletak pada lingkaran sehingga per-samaan garis singgungnya:

7x + 1y – 62 (x + 7) +

42 (y + 1) – 12 = 0

⇔ 7x + y – 3x – 21 + 2y + 2 – 12 = 0⇔ 4x + 3y – 31 = 0

10. Jawaban: aLingkaran (x + 4)2 + (y – 2)2 = 20 memotong sumbu Xpada saat y = 0.(x + 4)2 + (0 – 2)2 = 20⇔ (x + 4)2 + 4 = 20⇔ (x + 4)2 = 16⇔ x + 4 = ± 4⇔ x = –4 ± 4⇔ x = –8 atau x = 0Diperoleh titik potong lingkaran terhadap sumbu Xadalah (–8, 0) dan (0, 0).Persamaan garis singgung di titik (–8, 0):(–8 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20⇔ –4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20⇔ –4x – 16 – 2y + 4 – 20 = 0⇔ –4x – 2y – 32 = 0⇔ 2x + y + 16 = 0Persamaan garis singgung di titik (0, 0):(0 + 4)(x + 4) + (0 – 2)(y – 2) = 20⇔ 4(x + 4) + (–2)(y – 2) = 20⇔ 4x + 16 – 2y + 4 – 20 = 0

⇔ 4x – 2y = 0⇔ 2x – y = 0Jadi, salah satu persamaan garis singgungnya2x + y + 16 = 0.

11. Jawaban: dCek kedudukan titik (3, –1) terhadap lingkaran.x2 + y2 = 32 + (–1)2 = 9 + 1 = 10Titik (3, –1) terletak pada lingkaran.Persamaan garis k: 3x – y = 10.Garis k mempunyai gradien m1 = 3. Oleh karenagaris yang melalui titik (4, –1) tegak lurus dengangaris m, diperoleh:

m · m1 = –1⇔ m · 3 = –1

⇔ m = –13

Persamaan garis yang melalui (4, –1) dengan

m = –13 adalah

y – (–1) = –13 (x – 4)

⇔ y + 1 = –13 (x – 4)

⇔ 3y + 3 = –x + 4⇔ x + 3y – 1 = 0

12. Jawaban: dDiketahui lingkaran x2 + y2 = 4 berpusat di titik (0, 0)dan berjari-jari r = 2.Untuk x = 0 dan y = 4 diperoleh:02 + 42 = 0 + 16 = 16 > 4Titik (0, 4) berada di luar lingkaran.Misalkan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4bergradien m, persamaannya:

y = mx + 2 21 m+Garis tersebut melalui titik (0, 4), maka:

4 = m · 0 + 2 21 m+

⇔ 4 = 2 21 m+

⇔ 21 m+ = 2⇔ 1 + m2 = 4⇔ m2 = 3

⇔ m = ± 3Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan

bergradien m = 3 adalah y = 3x + 4.Persamaan garis singgung melalui titik (4, 0) dan

bergradien m = – 3 adalah y = – 3x + 4.Jadi, salah satu persamaan garis singgungnyay = – 3 x + 4.

13. Jawaban: eTitik A(0, 1) terletak di luar lingkaran L karena(0 – 2)2 + (1 + 1)2 > 4.


Persamaan garis kutub titik A(0, 1) terhadaplingkaran L:(0 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 4⇔ –2x + 4 + 2y + 2 = 4⇔ –2x + 2y = –2⇔ x – y = 1⇔ y = x – 1Substitusikan y = x – 1 ke dalam persamaanlingkaran.

(x – 2)2 + (x – 1 + 1)2 = 4⇔ x2 – 4x + 4 + x2 – 4 = 0⇔ 2x2 – 4x = 0⇔ 2x(x – 2) = 0⇔ x = 0 atau x = 2Untuk x1 = 0 maka y1 = 0 – 1 = –1.Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 1 = 1.Diperoleh titik singgung (0, –1) dan (2, 1).

14. Jawaban: dTitik (0, 0) terletak di luar lingkaran x2 + y2 – 6x+ 2y + 5 = 0.Garis melalui O(0, 0): y = mx

Substitusikan y = mx ke dalam persamaan lingkaran.x2 + (mx)2 – 6x + 2(mx) + 5 = 0

⇔ (1 + m2)x2 + (2m – 6)x + 5 = 0Garis y = mx menyinggung lingkaran, berarti:D = 0 ⇒ (2m – 6)2 – 4(1 + m2) · 5 = 0

⇔ 4m2 – 24m + 36 – 20 – 20m2 = 0⇔ –16m2 – 24m + 16 = 0⇔ 2m2 + 3m – 2 = 0⇔ (2m – 1)(m + 2) = 0

⇔ m = 12 atau m = –2

Jadi, gradiennya 12 dan –2.

15. Jawaban: cMisalkan L: x2 + y2 + 3x – 4y = 0.

Titik pusat lingkaran L: P –

32 , 2

.

Jari-jari lingkaran L: r = 2

232

2 0 − + −

= 94

4+

= 254

= 52

Titik A(1, –2) di luar lingkaran L. Garis ABmerupakan garis singgung lingkaran L yang ditarikdari titik A.

Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaran Ldi titik B1 dan B2.Panjang garis AB1= AB2 = s.

s = 2 2(AP) r−

= 2 2 2A P A P(x x ) (y y ) r− + − −

= 2 2

25 52 2

( 4)

+ − −

= 16= 4

Jadi, panjang garis AB adalah 4 satuan.

B. Uraian1. a. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2

= 80 yang bergradien m = –12 adalah:

y = –12 x ± 80

212

1 +

⇔ y = –12 x ± 80 5

4

⇔ y = –12 x ± 10

Diperoleh persamaan garis singgung

y = – 12

x + 10 dan y = – 12

x – 10.

b. x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0⇔ x2 – 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = 66 + 25 + 9⇔ (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100

Garis singgung dengan m = 43

y + 3 = 43 (x – 5) ± 100

243

1

+

⇔ y + 3 = 43 (x – 5) ± 10 25

9

⇔ y + 3 = 43 x –

203 ±

503

⇔ 3y + 9 = 4x – 20 ± 50⇔ 4x – 3y – 29 ± 50 = 0

Y

X

A

B1

B2

P

r

r

4

3

21

0–1–2

–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5–6


Y

X

A 2

–5 –1 0

⇔ 4x – 3y – 29 + 50 = 0atau 4x – 3y – 29 – 50 = 0

⇔ 4x – 3y + 21 = 0 atau 4x – 3y – 79 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya 4x – 3y+ 21 = 0 dan 4x – 3y – 79 = 0.

2. x2 + y2 + 2x – 6y = 0⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 1 + 9⇔ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 10Diperoleh koordinat titik pusat (–1, 3) dan jari-jari

r = 10 .g: 2x + 6y – 5 = 0

⇔ y = –13 x +

56

Diperoleh gradien garis g adalah –13 .

Garis singgung yang tegak lurus garis g bergradien 3.Persamaan garis singgung lingkaran L yangbergradien m = 3 adalah:

y – 3 = 3(x + 1) ± 10 21 3+

⇔ y – 3 = 3x + 3 ± 10 10⇔ 0 = 3x – y + 6 ± 10Jadi, persamaan garis singgungnya 3x – y + 16= 0 dan 3x – y – 4 = 0.

3. L: x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0⇔ x2 – 8x + y2 – 8y = –24⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 8y + 16 = –24 + 16 + 16⇔ (x – 4)2 + (y – 4)2 = 8Diperoleh titik pusat lingkaran P(4, 4) dan jari-jarir = 8 .Garis y = x melalui titik pusat lingkaran sehinggagaris singgung lingkaran yang melalui titik potongantara lingkaran L dan garis y = x tegak lurusdengan garis y = x.Oleh karena garis y = x bergradien 1, garis singgung-nya bergradien –1.Persamaan garis singgungnya:

y – 4 = –1(x – 4) ± 8 21 ( 1)+ −⇔ y – 4 = –x + 4 ± 8 2⇔ y = –x + 8 ± 4⇔ y = –x + 12 atau y = –x + 4Jadi, persamaan garis singgungnya y = –x + 12dan y = –x + 4.

4. a. Persamaan: x2 + y2 = 34Untuk x = –3 dan y = 5 diperoleh:(–3)2 + (5)2 = 9 + 25 = 34Titik (–3, 5) terletak pada lingkaran sehinggapersamaan garis singgungnya:x1x + y1y = 34 ⇒ –3x + 5y = 34

⇔ 3x – 5y + 34 = 0

b. Persamaan: x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0Untuk x = 1 dan y = 2 diperoleh:(1)2 + (2)2 + 4(1) – 2(2) – 5= 1 + 4 + 4 – 4 – 5 = 0Titik (1, 2) terletak pada lingkaran sehinggapersamaan garis singgungnya:

x1x + y1y + 42 (x + x1) +

22

−(y + y1) – 5 = 0

⇒ 1x + 2y + 2(x + 1) – 1(y + 2) – 5 = 0⇔ x + 2y + 2x + 2 – y – 2 – 5 = 0⇔ 3x + y – 5 = 0

5. Misalkan titik singgung lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 1)2= 13 adalah T(–1, b) diperoleh:

(–1 – 2)2 + (b + 1)2 = 13⇔ 9 + b2 + 2b + 1 – 13 = 0⇔ b2 + 2b – 3 = 0⇔ (b + 3)(b – 1) = 0⇔ b + 3 = 0 atau b – 1 = 0⇔ b = –3 atau b = 1Diperoleh titik singgung T1(–1, –3) dan T2(–1, 1).Persamaan garis singgung di titik T1(–1, –3) padalingkaran L:(–1 – 2)(x – 2) + (–3 + 1)(y + 1) = 13⇔ –3x + 6 – 2y – 2 = 13⇔ –3x – 2y – 9 = 0⇔ 3x + 2y + 9 = 0Persamaan garis singgung di titik T2(–1, 1) padalingkaran L:(–1 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13⇔ –3x + 6 + 2y + 2 = 13⇔ –3x + 2y – 5 = 0⇔ 3x – 2y + 5 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya adalah3x + 2y + 9 = 0 dan 3x – 2y + 5 = 0.

6. a. Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0)adalah x2 + y2 = r2.Lingkaran melalui titik (–1, 2):x2 + y2 = r2 ⇒ (–1)2 + (2)2 = r2

⇔ r2 = 1 + 4 = 5Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 = 5.Persamaan garis singgung lingkaran di titikA(–1, 2):x1x + y1y = r2 ⇒ (–1)x + (2)y = 5

⇔ –x + 2y = 5Jadi, persamaan lingkaran x2 + y2 = 5 dangaris singgungnya di titik A adalah –x + 2y = 5.

b. Lingkaran dan garis singgungnya:


7. Titik T(–4, 1) terletak pada lingkaran L1 karena:(–4)2 + 12 + 10(–4) + 4(1) + 19= 16 + 1 – 40 + 4 + 19 = 0Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik T:g: –4x + y + 5(x – 4) + 2(y + 1) + 19 = 0⇔ –4x + y + 5x – 20 + 2y + 2 + 19 = 0⇔ x + 3y + 1 = 0Jari-jari lingkaran L2 sama dengan jarak titikP(4, –1) ke garis singgung g.Jari-jari lingkaran L2:

r2 = 2 2

4 3 ( 1) 1

1 ( 3)

+ ⋅ − +

+ − =

210

Persamaan lingkaran L2:

(x – 4)2 + (y + 1)2 = 2

210

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 = 25

⇔ 5x2 + 5y2 – 40x + 10y + 83 = 0

8. Cek kedudukan titik (12, –5) terhadap lingkaranx2 + y2 = 169.122 + (–5)2 = 144 + 25 = 169Titik (12, –5) terletak pada lingkaran.Persamaan garis singgung lingkaran di titik(12, –5) adalah 12x – 5y = 169.Oleh karena garis 12x – 5y = 169 juga menyinggunglingkaran (x – 5)2 + (y – 12)2 = p, diperoleh:

d = 2 2

ap bq r

p q

+ +

+

⇔ d = 2 2

5(12) 12( 5) 169

12 ( 5)

+ − −

+ −

⇔ d = 169169

−

⇔ d = 13Jari-jari lingkaran (x – 5)2 + (y – 12)2 = p adalah13, diperoleh:

r2 = p⇔ 132 = p⇔ p = 169Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 169.

9. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2

dengan gradien m = –43 :

y = –43 x ± r

243

1 − +

⇔ y = –43 x ± r 16

91 +

⇔ y = –43 x ± r 25

9

⇔ y = –43 x ±

5r3

⇔ 3y = –4x ± 5r

Titik M(9, –4) terletak pada garis singgung, diperoleh:3 · (–4) = –4 · 9 ± 5r⇔ –12 = –36 ± 5r⇔ 24 = ± 5r

⇔ r = ± 245

= ±4,8Oleh karena jari-jari (r) menyatakan panjang, r ber-nilai positif.Jadi, panjang jari-jari lingkaran adalah r = 4,8 satuan.

10. Titik pusat lingkaran L1: P1(–2, 2).

Jari-jari lingkaran: r1 = 2 2( 2) 2 17− + + = 25 = 5.Titik pusat lingkaran L2: P2(10, –7).

Jari-jari lingkaran: r2 = 2 210 ( 7) 49+ − − = 100= 10.

Lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di titik Q.Garis � adalah garis singgung persekutuanlingkaran L1 dan L2.Gradien garis P1P2.

m1 = 1 2

1 2

P P

P P

y y

x x

−−

= 2 ( 7)2 10− −

− − = – 9

12 = –

34

Misalkan gradien garis � adalah m.Garis � tegak lurus garis P1P2 maka

m1m = –1 ⇒ –34 m = –1 ⇔ m =

43

Menentukan koordinat titik Q.L1: x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0L2: x2 + y2 – 20x + 14y + 49 = 0

––––––––––––––––––––––––– –24x – 18y – 66 = 0

⇔ 4x – 3y – 11 = 0

⇔ y = 4x 11

3−

Substitusikan y = 4x 11

3−

ke dalam persamaan L1.

x2 +

4x 113−

2 + 4x – 4

4x 113−

– 17 = 0

⇔ x2 + 216x 88x 121

9− + + 4x –

163 x +

443 – 17 = 0

⇔ 9x2 + 16x2 – 88x + 121 + 36x – 48x + 132– 153 = 0

⇔ 25x2 – 100x + 100 = 0⇔ x2 – 4x + 4 = 0⇔ (x – 2)2 = 0⇔ x = 2

Y

X

�

P1

P2

Q

2

–2

–7

10


A. Pilihan Ganda1. Jawaban: a

Lingkaran berpusat di titik (1, 0) dan melalui (3, 0).Lingkaran tersebut mempunyai persamaan (x – 1)2

+ (y – 0)2 = r2. Oleh karena lingkaran melalui titik(3, 0), diperoleh:

(x – 1)2 + (y – 0)2 = r2

⇔ (3 – 1)2 + (0 – 0)2 = r2

⇔ 4 + 0 = r2

⇔ 4 = r2

Persamaan lingkarannya:(x – 1)2 + (y – 0)2 = r2

⇔ (x – 1)2 + (y – 0)2 = 4⇔ x2 – 2x + 1 + y2 = 4⇔ x2 + y2 – 2x – 3 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 2x – 3 = 0.

2. Jawaban: bLingkaran berdiameter 12 berarti jari-jarinya r = 6.Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 7) dan jari-jari r = 6 adalah:

(x – 2)2 + (y – 7)2 = 62

⇔ (x – 2)2 + (y – 7)2 = 36

3. Jawaban: bLingkaran yang berpusat di titik (2, –3) danmenyinggung sumbu X sebagai berikut.

Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran(2, –3) dan jari-jari 3. Persamaan lingkaran:

(x – 2)2 + (y – (–3))2 = 32

⇔ (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 – 9 = 0⇔ x2 + y2 – 4x + 6y + 4 = 0

4. Jawaban: bPerhatikan gambar disamping.Oleh karena lingkaranmenyinggung garis x = 8,dapat ditarik jari-jari dari titik(–2, 6) ke garis singgungdiperoleh r = 8 – (–2) = 10.Persamaan lingkaran:

(x + 2)2 + (y – 6)2 = r2

⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 102

⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 12y + 36 = 100⇔ x2 + 4x + y2 – 12y + 40 = 100⇔ x2 + y2 + 4x – 12y – 60 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 4x – 12y– 60 = 0.

5. Jawaban: ax2 + y2 – 6x + 2 = 0

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 = –2 + 9⇔ (x – 3)2 + y2 = 7Diperoleh koordinat titik pusat (3, 0).Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 0)dan berjari-jari 1 adalah:

(x – 3)2 + y2 = 12

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 = 1⇔ x2 + y2 – 6x + 8 = 0

6. Jawaban: dy = 2x – 3 ⇔ 2x – y – 3 = 0Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik O(0, 0)ke garis 2x – y – 3 = 0, yaitu:

r = 2 2

2(0) (0) 3

2 ( 1)

− −

+ − =

35

− ⇔ r2 =

95

Persamaan lingkaran L:

x2 + y2 = r2 ⇒ x2 + y2 = 95

⇔ 5x2 + 5y2 = 9

7. Jawaban: e2x2 + 2y2 = 49

⇔ x2 + y2 = 492

Y

X0 2

–3

r = 3

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan

y = 4x 11

3−

.

y = 4 2 11

3⋅ −

= –1

Diperoleh koordinat titik Q(2, –1).Persamaan garis yang bergradien m dan melaluititik (x1, y1):y – y1 = m(x – x1)

Garis � bergradien 43 dan melalui titik Q(2, –1)

maka persamaan garis �:

y + 1 = 43 (x – 2)

⇔ 3y + 3 = 4x – 8⇔ 4x – 3y – 11 = 0Jadi, persamaan garis singgung di titik singgunglingkaran L1 dan L2 adalah 4x – 3y – 11 = 0.

Y

X

x = 8

(–2,6)


r2 = 492 ⇔ r = 49

2 = 7

2 =

72 2

Jadi, panjang jari-jari lingkaran r = 72 2 satuan.

8. Jawaban: cx2 + y2 + 4x – 12y – 9 = 0

⇔ x2 + 4x + y2 – 12y = 9⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 12y + 36 = 9 + 4 + 36⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 49⇔ (x + 2)2 + (y – 6)2 = 72

Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 6) dan jari-jari 7.

9. Jawaban: cSubstitusikan titik (2, –2) ke dalam persamaanlingkaran.

x2 + y2 + 2x – 4y + p = 0⇔ 22 + (–2)2 + 2(2) – 4(–2) + p = 0⇔ 4 + 4 + 4 + 8 + p = 0⇔ 20 + p = 0⇔ p = –20Diperoleh lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 20 = 0.Jari-jari lingkaran:

r = 2 2( 1) 2 ( 20)− + − −

= 25 = 5Jadi, panjang jari-jari lingkaran tersebut 5 satuan.

10. Jawaban: dLingkaran x2 + y2 + 8x – 2y + a = 0 berpusat di

titik (–82 , –

22

−) = (–4, 1).

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–4, 1)dan berjari-jari 6 adalah

(x + 4)2 + (y – 1)2 = 62

⇔ x2 + 8x + 16 + y2 – 2y + 1 = 36⇔ x2 + y2 + 8x – 2y + 16 + 1 – 36 = 0⇔ x2 + y2 + 8x – 2y – 19 = 0Jadi, nilai a = –19.

11. Jawaban: cJari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (–2, 3)dengan garis singgungnya 4x – 3y + 7 = 0.

r = 2 2

4( 2) 3(3) 7

4 ( 3)

− − +

+ − = 8 9 + 7

25− − = 10

5− = |–2| = 2

Jadi, diameter lingkaran: d = 2r = 2 · 2 = 4 satuan.

12. Jawaban: a

Titik pusat lingkaran: 2, –

12 p

.

Lingkaran menyinggung sumbu Y makar = |||||absis titik pusat|||||

⇒2

2 12

2 p 25 − + − = 2

⇔2p

44 25+ − = 2

⇔2p

4 – 21 = 22

⇔2p

4= 25

⇔ p2 = 100

⇔ p = ± 100 = ±10Jadi, nilai p adalah ±10.

13. Jawaban: cx2 + y2 – 8x + 5y – 17 = 0Titik (x1, y1) berada di dalam lingkaran, berartix1

2 + y12 – 8x1 + 5y1 – 17 < 0.

(0, 0) ⇒ 0 + 0 – 0 + 0 – 17 = –17 < 0(4, 1) ⇒ 16 + 1 – 32 + 5 – 17 = –27 < 0(–4, 2) ⇒ 16 + 4 + 32 + 10 – 17 = 45 > 0(4, –2) ⇒ 16 + 4 – 32 – 10 – 17 = –39 < 0(–2, –2) ⇒ 4 + 4 + 16 – 10 – 17 = –3 < 0Diperoleh titik (0, 0), (4, 1), (4, –2), dan (–2, –2)terletak di dalam lingkaran, sedangkan titik (–4, 2)terletak di luar lingkaran.

14. Jawaban: aLingkaran: x2 + y2 = 36Pusat: (0, 0) dan jari-jari r = 36 = 63x + 4y + 20 = 0

⇔ y = –34 x – 5

Diperoleh gradien m = –34 .

Persamaan garis singgung:

y = –34 x ± 6

234

1 − +

⇔ y = –34 x ± 6 9 16

16 16+

⇔ y = –34 x ± 6 ·

54

⇔ 4y = –3x ± 30Salah satu persamaan garis singgungnya:

4y = –3x – 30⇔ 3x + 4y + 30 = 0

15. Jawaban: cPersamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 4)2 = 10Persamaan garis singgung yang bergradien m = –3:

y – b = m(x – a) ± r 21 m+

⇔ y + 4 = –3(x – 2) ± 10 21 ( 3)+ −

⇔ y + 4 = –3x + 6 ± 10 10⇔ 3x + y = 2 ± 10⇔ 3x + y = 2 + 10 atau 3x + y = 2 – 10⇔ 3x + y = 12 atau 3x + y = –8Jadi, persamaan garis singgungnya 3x + y = 12dan 3x + y = –8.


16. Jawaban: eGaris 5x + y = 10 mempunyai gradien m1 = –5.Oleh karena garis singgung tegak lurus dengangaris 5x + y = 10 diperoleh:

m · m1 = –1⇔ m · –5 = –1

⇔ m = 15

Lingkaran x2 + y2 + 10x – 6y + 8 = 0 dapatdisederhanakan menjadi:

x2 + y2 + 10x – 6y + 8 = 0⇔ x2 + 10x + y2 – 6y = –8⇔ x2 + 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = –8 + 25 + 9⇔ (x + 5)2 + (y – 3)2 = 26Persamaan garis singgung lingkaran dengan

gradien 15 adalah

y – b = m(x – a) ± r 21 m+

⇔ y – 3 = 15 (x + 5) ± 26 1 2

51 ( )+

⇔ y – 3 = 15 (x + 5) ± 26 26

25

⇔ y – 3 = 15 (x + 5) ±

265

⇔ 5(y – 3) = x + 5 ± 26⇔ 5y – 15 = x + 5 ± 26⇔ x – 5y + 20 ± 26 = 0⇔ x – 5y + 20 + 26 = 0 atau x – 5y + 20 – 26 = 0⇔ x – 5y + 46 = 0 atau x – 5y – 6 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya x – 5y + 46 = 0dan x – 5y – 6 = 0.

17. Jawaban: c(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26Untuk x = –3 dan y = 6 diperoleh:(–3 + 2)2 + (6 – 1)2

= 1 + 25 = 26Titik (–3, 6) terletak pada lingkaran sehingga per-samaan garis singgungnya:

(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 26⇔ (–3 + 2)(x + 2) + (6 – 1)(y – 1) = 26⇔ (–1)(x + 2) + (5)(y – 1) = 26⇔ –x – 2 + 5y – 5 – 26 = 0⇔ –x + 5y – 33 = 0⇔ x – 5y + 33 = 0

18. Jawaban: cMisalkan titik singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y+ 15 = 0 adalah T(a, –2), sehingga:a2 + (–2)2 – 4a + 8 · (–2) + 15 = 0⇔ a2 + 4 – 4a – 16 + 15 = 0⇔ a2 – 4a + 3 = 0⇔ (a – 3)(a – 1) = 0

⇔ a – 3 = 0 atau a – 1 = 1⇔ a = 3 atau a = 1Diperoleh titik singgung T1(1, –2) dan T2(3, –2).Persamaan garis singgung di T1 (1, –2):

x – 2y – 42 (x + 1) +

82 (y – 2) + 15 = 0

⇔ x – 2y – 2x – 2 + 4y – 8 + 15 = 0⇔ –x + 2y + 5 = 0⇔ x – 2y – 5 = 0Persamaan garis singgung di T2 (3, –2):

3x – 2y – 42 (x + 3) +

82 (y – 2) + 15 = 0

⇔ 3x – 2y – 2x – 6 + 4y – 8 + 15 = 0⇔ x + 2y + 1 = 0Jadi, salah satu persamaan garis singgungnyax – 2y – 5 = 0.

19. Jawaban: bx2 + y2 = 13Untuk x = –3 dan y = 2 diperoleh:(–3)2 + 22 = 9 + 4 = 13Titik (–3, 2) terletak pada lingkaran, sehinggapersamaan garis singgungnya:x1x + y1y = r2 ⇒ –3x + 2y = 13Garis singgung memotong sumbu Y, berarti:x = 0 ⇒ –3(0) + 2y = 13

⇔ 2y = 13

⇔ y = 132

Jadi, garis singgung memotong sumbu Y di titik

(0, 132 ).

20. Jawaban: aPersamaan: x2 + y2 + 3x + 4y – 12 = 0Untuk x = 0 dan y = 2 diperoleh:(0)2 + (2)2 + 3(0) + 4(2) – 4= 0 + 4 + 0 + 8 – 12 = 0Titik (0, 2) terletak pada lingkaran, sehinggapersamaan garis singgungnya:

x1x + y1y + 32 (x + x1) +

42 (y + y1) – 12= 0

⇒ 0x + 2y + 32 (x + 0) + 2(y + 2) – 12 = 0

⇔ 2y + 32 x + 2y + 4 – 12 = 0

⇔ 4y + 3x + 4y – 16 = 0⇔ 3x + 8y – 16 = 0y = 0 ⇒ 3x + 8(0) – 16 = 0

⇔ 3x = 16

⇔ x = 513

Jadi, garis singgung lingkaran berpotongan dengan

sumbu X di titik (513 , 0).


21. Jawaban: bLingkaran L berpusat di titik (2, –2), yaitu:(x – 2)2 + (y + 2)2 = r2

Lingkaran L melalui titik (3, –1) berarti:(3 – 2)2 + (–1 + 2)2 = r2

⇔ r2 = 12 + 12 = 2Persamaan lingkaran L: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 2.Persamaan garis singgung di titik (3, –1):(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 2)(y + 2) = 2⇔ (3 – 2)(x – 2) + (–1 + 2)(y + 2) = 2⇔ x – 2 + y + 2 – 2 = 0⇔ x + y – 2 = 0

22. Jawaban: dLingkaran berpusat di O(0, 0) mempunyaipersamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaranmelalui titik P(4, –2), diperoleh:

x2 + y2 = r2

⇔ 42 + (–2)2 = r2

⇔ 16 + 4 = r2

⇔ 20 = r2

Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 = 20.Persamaan garis singgung lingkaran di titikP(4, –2) adalah 4x – 2y = 20 ⇔ 2x – y = 10.

23. Jawaban: dDari persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0diperoleh:Titik pusat lingkaran: P(–1, 3).

Jari-jari lingkaran: r = 2 2( 1) 3 6− + − = 2.

Garis yang sejajar sumbu Y mempunyaipersamaan x = a atau x – a = 0.Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(–1, 3)ke garis x – a = 0.

r = 2

1 a

1

− −= |||||–1 – a |||||

⇔ r2 = |||||–1 – a |||||2

⇔ 22 = 1 + 2a + a2

⇔ a2 + 2a – 3 = 0⇔ (a + 3)(a – 1) = 0⇔ a + 3 = 0 atau a – 1 = 0⇔ a = –3 atau a = 1Jadi, persamaan garis singgungnya x = –3 ataux = 1.

24. Jawaban: dTitik pusat lingkaran: (3, –2).

Jari-jari lingkaran: r = 2 23 ( 2) ( 5)+ − − −

= 18 = 3 2 .Lingkaran memotong sumbu Y maka x = 0.02 + y2 – 6 · 0 + 4y – 5 = 0⇔ y2 + 4y – 5 = 0

⇔ (y + 5)(y – 1) = 0⇔ y + 5 = 0 atau y – 1 = 0⇔ y = –5 atau y = 1Diperoleh titik A(0, 1) dan B(0, –5).Persamaan garis singgung di titik A:0 + 1 · y – 3(x + 0) + 2(y + 1) – 5 = 0⇔ y – 3x + 2y + 2 – 5 = 0⇔ –3x + 3y – 3 = 0⇔ x – y + 1 = 0Persamaan garis singgung di titik B:0 – 5 · y – 3(x + 0) + 2(y – 5) – 5 = 0⇔ –5y – 3x + 2y – 10 – 5 = 0⇔ –3x – 3y – 15 = 0⇔ x + y + 5 = 0Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalahx – y + 1 = 0 dan x + y + 5 = 0.

25. Jawaban: cMisalkan koordinat titik P(x1, y1).Titik P di luar lingkaran L.Garis singgung di titik A melalui AP dan garissinggung di titik B melalui BP.Garis g: 7x – y = 25 merupakan garis kutub darititik P pada lingkaran L.Persamaan garis kutub dari titik P pada lingkaranL: x1x + y1y = 25. Sehingga diperoleh x1 = 7 dany1 = –1.Jadi, koordinat titik P(7, –1).

26. Jawaban: eL: (x + 5)2 + (y – 6)2 = 9Substitusikan x = –5 ke dalam lingkaran L.

(–5 + 5)2 + (y – 6)2 = 9⇔ (y – 6)2 = 9⇔ y – 6 = ±3⇔ y = 6 ± 3⇔ y = 9 atau y = 3Diperoleh titik potong (–5, 9) dan (–5, 3).Persamaan garis singgung di titik (–5, 9):(–5 + 5)(x + 5) + (9 – 6)(y – 6) = 9⇔ 0(x + 5) + 3(y – 6) = 9⇔ y – 6 = 3⇔ y = 9Persamaan garis singgung melalui (–5, 3):(–5 + 5)(x + 5) + (3 – 6)(y – 6) = 9⇔ 0(x + 5) – 3(y – 6) = 9⇔ y – 6 = –3⇔ y = 3Jadi, garis singgungnya y = 3 dan y = 9.

27. Jawaban: bMisalkan garis singgung lingkaran L di titik A

adalah g dan gradiennya mg = –12 .

OA merupakan jari-jari lingkaran L.


Persamaan garis yang melalui OA:

A

y 0y 0

−− =

A

x 0x 0

−−

⇔ y2

= xa

⇔ y = 2a

x

Gradien garis yang melalui OA: m = 2a

Garis g tegak lurus garis yang melalui OA makamg · m = –1

⇒ – 12

· 2a = –1

⇔ a = 1Jadi, nilai a = 1

28. Jawaban: dL: x2 + y2 – 24x – 12y + 168 = 0⇔ x2 – 24x + 144 + y2 – 12y + 36 = –168 + 144

+ 36⇔ (x – 12)2 + (y – 6)2 = 12Diperoleh koordinat titik pusat (2, 3) dan jari-jari r

= 12 = 2 3 .Titik A dan B merupakan titik singgung dari duagaris singgung yang sejajar sehingga panjang ABsama dengan panjang diameter.

Jadi, panjang AB = d = 2r = 4 3 satuan.

29. Jawaban: d

Garis singgung �1 tegak lurus PB1 dan garissinggung �2 tegak lurus PB2.

Jarak PQ = 2 21 1PB QB+

2 2Q P Q P(x x ) (y y )− + − = 2 24 7+

⇔ 2 2( 2 5) (5 b)− − + − = 65

⇔ (–7)2 + (5 – b)2 = 65⇔ 49 + 25 – 10b + b2 = 65⇔ b2 – 10b + 9 = 0⇔ (b – 1)(b – 9) = 0⇔ b = 1 atau b = 9Jadi, nilai b = 1 atau b = 9.

Y

X

Q(–2,

5)

O

B1

B2

P(5, b)r

�1

�2

47

30. Jawaban: bPerhatikan gambar berikut.

Misalkan lingkaran M berpusat di Q(a, b) sehinggapersamaannya (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Oleh karenamelalui titik (4, 6) diperoleh:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (4 – a)2 + (6 – b)2 = b2

⇔ a2 – 8a + 16 + b2 – 12b + 36 = b2

⇔ a2 – 8a – 12b + 52 = 0 . . . (1)Perhatikan segitiga OPQ.

OQ2 = OP2 + PQ2

⇔ (2 + b)2 = a2 + b2

⇔ 4b + 4 = a2

⇔ 4b = a2 – 4

⇔ b = 2a 44−

Substitusikan b = 2a 44− ke dalam persamaan (1).

a2 – 8a – 12b + 52 = 0

⇔ a2 – 8a – 12(2a 44− ) + 52 = 0

⇔ a2 – 8a – 3(a2 – 4) + 52 = 0⇔ a2 – 8a – 3a2 + 12 + 52 = 0⇔ –2a2 – 8a + 64 = 0⇔ 2a2 + 8a – 64 = 0⇔ a2 + 4a – 32 = 0⇔ (a + 8)(a – 4) = 0⇔ a + 8 = 0 atau a – 4 = 0⇔ a = –8 atau a = 4Nilai a yang memenuhi adalah 4.Untuk a = 4 diperoleh:

b = 2a 44− =

24 44− = 3

Lingkaran M berpusat di titik (4, 3) dan berjari-jari 3.Persamaan lingkaran M:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

⇔ (x – 4)2 + (y – 3)2 = 32

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 6y + 9 = 9⇔ x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0Jadi, persamaan lingkaran M adalah x2 + y2 – 8x– 6y + 16 = 0.

Y

X

(4,6)

a

bb

2

Q(a, b)

PO

O

Q

Pa

b2 + b


B. Uraian1. a. Lingkaran berpusat di O(0, 0) mempunyai

persamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaranmenyinggung garis y = 6 maka r = 6, diperoleh:

x2 + y2 = r2

⇔ x2 + y2 = 62

⇔ x2 + y2 = 36Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 36.

b. Lingkaran berpusat di A(2, 7) mempunyaipersamaan (x – 2)2 + (y – 7)2 = r2. Oleh karenalingkaran melalui titik (5, 2), diperoleh:

(x – 2)2 + (y – 7)2 = r2

⇔ (5 – 2)2 + (2 – 7)2 = r2

⇔ 32 + (–5)2 = r2

⇔ 9 + 25 = r2

⇔ 34 = r2

Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 7)2= 34.

2. L: x2 + y2 + 6x – 14y + 9 = 0

a. Pusat: –

12 (6), – 1

2(–14)

= (–3, 7)

Jari-jari: r = − −2 2( 3) + 7 9

= −9 + 49 9

= 49 = 7Jadi, pusat lingkaran L(–3, 7) dan jari-jarinya 7.

b. Persamaan lingkaran dengan pusat (–3, 7)dan r = 5:

(x + 3)2 + (y – 7)2 = 52

⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 14y + 49 – 25 = 0⇔ x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 + 6x– 14y + 33 = 0.

3. L: x2 + y2 – 2x + py – 12 = 0a. Titik A(2, –3) terletak pada lingkaran L, berarti:

22 + (–3)2 – 2(2) + p(–3) – 12 = 0⇔ 4 + 9 – 4 – 3p – 12 = 0⇔ 3p = –3⇔ p = –1Jadi, nilai p = –1.

b. L: x2 + y2 – 2x – y – 12 = 0B(–4, 0) ⇒ (–4)2 + 02 – 2(–4) – 0 – 12

= 16 + 0 + 8 – 12= 12 > 0

Titik B terletak di luar lingkaran.C(2, 3) ⇒ 22 + 32 – 2(2) – 3 – 12

= 4 + 9 – 4 – 3 – 12= –6 < 0

Titik C terletak di dalam lingkaran.

4. a. Pusat lingkaran: P(–2, 3)Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titikpusat ke garis x + y = 0, yaitu:

r = 2 2

2 3 0

1 1

− + +

+ = 1

2

⇔ r2 = 12

Persamaan lingkaran:

(x – (–2))2 + (y – 3)2 = 12

⇔ (x + 2)2 + (y – 3)2 = 12

⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 12

⇔ 2x2 + 8x + 8 + 2y2 – 12y + 18 = 1⇔ 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0

b. 2x2 + 2y2 + 8x – 12y + 25 = 0Untuk x = –3 dan y = 2 diperoleh:2(–3)2 + 2(2)2 + 8(–3) – 12(2) + 25= 18 + 8 – 24 – 24 + 25 = 3 > 0Oleh karena hasilnya positif, maka titik Qterletak di luar lingkaran L.

5. Titik pusat L1: P1(0, –4).

Jari-jari L1: r1 = 2 20 ( 4) 3+ − − = 13 .

Titik pusat L2: P2(4, 2).

Jari-jari L2: r2 = 2 24 2 7+ − = 13 .

Oleh karena jari-jari r1 = r2 maka titik P3 merupakantitik tengah garis P1P2.

Koordinat titik pusat: P3

1 2P Px x

2

+, 1 2P Py y

2

+

= P3

0 42+

, 4 22

− +

= P3(2, –1)

Jari-jari L3: r3 = 2r1 = 2r2 = 2 13 .

Persamaan lingkaran L3:(x – xP3

)2 + (y – yP3)2 = r3

2

⇒ (x – 2)2 + (y + 1)2 = (2 13 )2

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 52⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0Jadi, persamaan lingkaran L3: x

2 + y2 – 4x + 2y– 47 = 0

6. a. Persamaan lingkaranLingkaran N berpusat di O(0, 0) mempunyaipersamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaranmelalui titik (2, 4), diperoleh:

x2 + y2= r2

⇔ 22 + 42= r2

⇔ 4 + 16 = r2

⇔ 20 = r2

Jadi, persamaan lingkaran N adalah x2 + y2

= 20.


b. Persamaan garis singgung dengan gradien –2

y = mx ± r21 m+

⇔ y = –2x ± 220 1 ( 2)+ −

⇔ y = –2x ± 20 5

⇔ y = –2x ± 100⇔ y = –2x ± 10⇔ y = –2x + 10 atau y = –2x – 10Jadi, persamaan garis singgungnyay = –2x + 10 dan y = –2x – 10.

7. L: x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 15 + 4 + 1⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 20Diperoleh koordinat titik pusat (–2, 1) dan jari-jari

r = 20 .g: 6x + 3y – 1 = 0

⇔ y = –2x + 16

Diperoleh gradien garis g adalah –2.a. Garis singgung yang sejajar dengan garis g

bergradien m = –2.Persamaan garis singgung lingkaran L yangbergradien m = –2 adalah:

y – 1 = –2(x + 2) ± 20 21+ ( 2)−

⇔ y – 1 = –2x – 4 ± 20 5⇔ y = –2x – 3 ± 10⇔ 2x + y = –3 ± 10Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y= –3 ± 10.

b. Garis singgung yang tegak lurus garis g

bergradien m = 12 .

Persamaan garis singgung lingkaran L yang

bergradien m = 12 adalah:

y – 1 = 12 (x + 2) ± 20 1 2

21 ( )+

⇔ y – 1 = x + 1 ± 2054

⇔ y = x + 2 ± 5⇔ 2y = x + 4 ± 10⇔ x – 2y = –4 ± 10Jadi, persamaan garis singgungnya x – 2y= –4 ± 10.

8. Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25a. Untuk x = –2 dan y = –6 diperoleh:

(x – 2)2 + (y + 3)2 = (–2 – 2)2 + (–6 + 3)2

= 16 + 9 = 25Jadi, titik (–2, –6) terletak pada lingkaran.

b. Persamaan garis singgung lingkaran di titikP(–2, –6) yaitu:

(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 3)(y + 3) = 25⇔ (–2 – 2)(x – 2) + (–6 + 3)(y + 3) = 25⇔ –4(x – 2) – 3(y + 3) = 25⇔ –4x + 8 – 3y – 9 = 25⇔ 4x + 3y + 26 = 0

9. Ordinat titik pusat = 2.Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, 2).Garis g: x – 3y + 5 = 0 melalui titik pusat lingkaranberarti titik P(a, 2) terletak pada garis g.Sehingga:a – 3 · 2 + 5 = 0 ⇔ a = 1Diperoleh titik pusat: P(1, 2).Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(1, 2)ke titik A(0, –1):

r = 2 2P A P A(x x ) (y y )− + −

= 2 2(1 0) (2 ( 1))− + − −

= 2 21 3+ = 1 9+ = 10

⇔ r2 = 10Persamaan lingkaran:(x – xP)2 + (y – yP)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 10Persamaan garis singgung di titik A(0, –1):(0 – 1)(x – 1) + (–1 – 2)(y – 2) = 10⇔ –x + 1 – 3y + 6 = 10⇔ –x – 3y – 3 = 0⇔ x + 3y + 3 = 0Jadi, persamaan garis singgung di titik Ax + 3y + 3 = 0.

10. L: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0Titik pusat: P(2, –4)a. �: x – 2y + 6 = 0

⇔ 2y = x + 6

⇔ y = 12 x + 3

Gradien garis �: m = 12

Garis g tegak lurus garis � maka gradien garis gadalah m1 = –2.Persamaan garis g: y = –2x + c dengan c > 0karena memotong sumbu Y positif.Persamaan garis g menjadi 2x + y – c = 0.Jarak garis g dari titik pusat P(2, –4) adalah

2 5 maka:

2 5 = 2 2

2 2 4 c

2 1

⋅ − −

+⇔ (2 5 )2 =

2c5

−

⇔ 20 = 2c5

⇔ c2 = 100⇔ c = ± 10


Oleh karena c > 0 maka c = 10.Persamaan garis g: 2x + y – 10 = 0

⇔ y = –2x + 10

b. Mencari koordinat titik potong M dan N.Substitusikan y = –2x + 10 ke dalam persama-an lingkaran L.

x2 + (–2x + 10)2 – 4x + 8(–2x + 10) – 5 = 0⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 – 4x – 16x + 80 – 5 = 0⇔ 5x2 – 60x + 175 = 0⇔ x2 – 12x + 35 = 0⇔ (x – 7)(x – 5) = 0⇔ x = 7 atau x = 5

Untuk x1 = 7 maka y1 = –2 · 7 + 10 = –4Untuk x2 = 5 maka y2 = –2 · 5 + 10 = 0Diperoleh titik M(7, –4) dan N(5, 0).

c. Persamaan garis singgung L di titik M(7, –4):7x – 4y – 2(x + 7) + 4(y – 4) – 5 = 0

⇔ 7x – 4y – 2x – 14 + 4y – 16 – 5 = 0⇔ 5x – 35 = 0⇔ x = 7Persamaan garis singgung L di titik N(5, 0):5x – 0 – 2(x + 5) + 4(y + 0) – 5 = 0⇔ 5x – 2x – 10 + 4y – 5 = 0⇔ 3x + 4y – 15 = 0Jadi, persamaan garis singgungnya adalahx = 7 dan 3x + 4y – 15 = 0.


A. Pilihlah jawaban yang tepat.

1. Jawaban: d

Data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi relatif

sebagai berikut.

Dari tabel di atas diperoleh 24% satwa mempunyai

berat 110–112 kg.

2. Jawaban: c

Nilai rata-rata ujian Matematika:

x–

= ��

� � � �

× + × + × + × + × + ×+ + + + +

= � ��

��

+ + + + +

= ��

��

= 7

Siswa yang lulus adalah siswa yang memperoleh

nilai 7, 8, 9, dan 10.

Banyak siswa yang lulus = 4 + 6 + 1 + 1= 12

Persentase banyak siswa yang lulus

= �

�� × 100%

= 60%

3. Jawaban: d

Data dalam bentuk tabel sebagai berikut.

Banyak data = 30 (genap)

Me

=

�(data ke-

� + data ke-(

� + 1))

=

�(data ke-15 + data ke-16)

=

�(7 + 7)

= 7

Jadi, median data tersebut 7.

4. Jawaban: a


� =

∑=

Σ �

� �

��

� �

= �

�� = 5,99

Jadi, rata-rata dari data tersebut 5,99.

5. Jawaban: b

Tabel distribusi frekuensi kumulatif data sebagai

berikut.


Median = nilai data ke-(+��

�)

= nilai data ke-13

Median adalah nilai data ke-13 terletak di kelas

interval 20–23.

L = 20 – 0,5 = 19,5

Nilai

5

6

7

8

9

fi

4

7

12

5

2

fk

4

11

23

28

30

Berat Satwa (kg)

98 – 100

101 – 103

104 – 106

107 – 109

110 – 112

113 – 115

frelatif

16%

32%

4%

8%

24%

16%

xi

2

5

8

11

14

17

20

Jumlah

fi

41

22

19

8

3

5

2

100

fi x

i

82

110

152

88

42

85

40

599

Pendapatan

(ribuan rupiahf

i

12–15

16–19

20–23

24–27

28–31

32–35

1

7

6

4

4

3

fk

1

8

14

18

22

25

70 Ulangan Tengah Semester

fMe

= 6

fkM

e

= 8

p = 23 – 20 + 1 = 4

Me

= L +

⋅ −

��

�

��

�

�

� · p

= 19,5 +

��

�

⋅ −

· 4

= 19,5 + 3 = 22,5

Jadi, median pendapatan harian pekerja

Rp22.500,00.

6. Jawaban: c

Rata-rata berat badan 8 orang anggota sebuah tim

olahraga adalah � = 94 kg, maka:

� =

�

��

�

�

=Σ

⇔�

��

�=Σ = 8 × � = 8 × 94

= 752 kg

Rata-rata beratnya berkurang menjadi �� = 92 kg

ketika seorang pemain cadangan digabungkan.

Misalkan berat pemain cadangan = x9, maka:

�� =

�

� �

� �

=Σ +

⇔ 92 = ��

+

⇔ x9

= 9 × 92 – 752

= 828 – 752

= 76

Jadi, berat badan pemain cadangan tersebut

76 kg.

7. Jawaban: e

Modus di kelas interval 09.33–09.35.

L = 09.33 – 30'' = 09.32'.60'' – 30'' = 09.32'.30''

d1

= 32 – 20 = 12

d2

= 32 – 28 = 4

p = 09.35 – 09.33 + 1' = 3'

Mo

= L +

�

�

� �

+

· p

= 09.32'.30'' + �

� �

+

· 3'

= 09.32'.30'' + ��

�

= 09.32'.30'' + 2,25

= 09.32'.30'' + 2'.15''

= 09.34'.45''

Jadi, modus waktu kedatangan bus 09.34'.45''.

8. Jawaban: d


berikut.


Q1 = nilai data ke-

��

�

+ = nilai data ke-15,25

Q1 adalah nilai data ke-15,25 terletak di kelas

interval 51– 55.

L1

= 51 – 0,5 = 50,5

fkQ

1

= 10

fQ1

= 10

p = 55 – 51 + 1 = 5

Q1

= L3 +

��

�

�

�

−

· p

= 50,5 +

��

�

⋅ −

· 5

= 50,5 + � �

�

−

= 50,5 + 2,5 = 52,5

Q3 = nilai data ke-

��

�

+ = nilai data ke-45,75


interval 61 – 65.

L3

= 61 – 0,5 = 60,5

fkQ

3

= 44

fQ3

= 10

Q3

= L3 + �

�

��

�

�

�

−

· p

= 60,5 +

�

��

�

⋅ −

· 5

= 60,5 + ��

�

−

= 60,5 + 0,5 = 61

Jangkauan antarkuartil:

H = Q3 – Q

1

= 61 – 52,5

= 8,5

Jadi, jangkauan antarkuartil data adalah 8,5.

← kelas Q1

← kelas Q3

Berat Badan (kg)

41 – 45

46 – 50

51 – 55

56 – 60

61 – 65

66 – 70

71 – 75

fi

3

7

10

24

10

4

2

fk

3

10

20

44

54

58

60


9. Jawaban: a

� = =

=

∑

∑

� ��

�

��

��

�

= × + × + × + × + × + ×

+ + + + +� � � � � � � � � � ��

� � � � � �

= + + + + +

+ + + + +� ��

� � � � � �

= ��

��

= 17

Simpangan rata-rata

=

� � ��

��

� � � � �

�

=

=

−∑

∑

= � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� � � � � �

− + − + − + − + − + −+ + + + +

= � � � � � � � � � �

��

× + × + × + × + × + ×

= � � � � � �

��

+ + + + +

= ��

�� =

�

� = 1,5

10. Jawaban: d

��

� ��

� �� =

−∑ = 6(15 – 17)2 + 3(16 – 17)2 + 3(17 – 17)2

+ 3(18 – 17)2 + 3(19 – 17)2

+ 2(20 – 17)2

= 6 × 4 + 3 × 1 + 3 × 0 + 3 × 1 + 3 × 4

+ 2 × 9

= 24 + 3 + 0 + 3 + 12 + 18

= 60

Variansi: s2 =

��

��

�

��

� ��

�

=

=

−∑

∑ =

��

�� = 3

11. Jawaban: a

Jumlah huruf = 12

Banyak huruf N = 2

Banyak huruf A = 2

Banyak huruf I = 2

Banyak huruf S = 2

Banyak susunan huruf = ��

��

= � �

�

×

= �

� × 11!

12. Jawaban: e

Tiga orang yang selalu duduk berdampingan

dianggap 1 unsur sehingga permasalahan menjadi

permutasi siklis dari 6 unsur.

Banyak cara duduk 3 orang yang berdampingan =

3P

3 = 3!

Banyak cara duduk delapan orang = 3! (6 – 1)!

= 3! 5!

= 6 × 120

= 720

13. Jawaban: d

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 dibentuk

bilangan ganjil lebih dari 2.000.

Bilangan lebih dari 2.000 memiliki nilai tempat

ribuan, ratusan, puluhan, dan satuan.

Angka-angka yang dapat menempati nilai tempat

ribuan adalah 2, 3, 4, dan 5.

Angka-angka yang dapat menempati nilai tempat

satuan adalah 1, 3, dan 5.

Banyak bilangan yang dapat dibentuk dapat di cari

menggunakan tabel berikut.

Banyak bilangan yang dapat dibentuk

= 10 × 3P

2 = 10 × 6 = 60

14. Jawaban: b

Kemungkinan 5 anak yang terpilih adalah 2 anak

laki-laki dan 3 anak perempuan, 1 anak laki-laki

dan 4 anak perempuan, atau 5 anak perempuan.

Banyak cara memilih 2 anak laki-laki dari 10 anak

laki-laki dan 3 anak perempuan dari 5 anak

perempuan = 10

C2 ×

5C

3

= ��

�� ×

��

��

= × ×× ×

� ��

� �� ×

� � ��

��

× ×× ×

= 45 × 10 = 450

2

2

2

3

3

4

4

4

5

5

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

1

3

5

1

5

1

3

5

1

3

3P

2



Banyak cara memilih 1 anak laki-laki dari 10 anak

laki-laki dan 4 anak perempuan dari 5 anak

perempuan = 10

C1 ×

5C

4

= ��

� � ×

��

��

= � �

�

× ×

� ��

��

××

= 10 × 5 = 50

Banyak cara memilih 5 anak perempuan dari 5 anak

perempuan = 5C

5 =

��

�� = 1

Jadi, banyaknya cara memilih paling banyak 2 anak

laki-laki disertakan adalah 450 + 50 + 1 = 501 cara.

15. Jawaban: a

Misalkan:

A = kejadian terlihat mata dadu genap pada dadu

pertama

= {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1),

(4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2),

(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

B = kejadian terlihat mata dadu 4 pada dadu kedua

= {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)}

A ∩ B = {(2, 4), (4, 4), (6, 4)}

Diperoleh n(A) = 18, n(B) = 6, dan n(A ∩ B) = 3.

Oleh karena A ∩ B ≠ ∅, kejadian A dan B tidak

saling lepas.

Peluang terlihat mata dadu genap pada dadu

pertama atau mata dadu 4 pada dadu kedua:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

��

∩

= �

�� +

�

�� –

�

��

= �

��

= �

�

16. Jawaban: e

Banyak anggota ruang sampel:

n(S) = banyak cara mengambil 4 kelereng dari

12 kelereng

=12

C4

=��

��

=× × × ×× × × ×

� � ��

� � � ��

= 11 × 5 × 9

= 495

Misalkan A = kejadian terambil 3 kelereng merah

dan 1 kelereng hijau.

n(A) = banyak cara mengambil 3 kelereng merah

dari 4 kelereng merah dan 1 kelereng hijau

dari 4 kelereng hijau

=4C

3 ×

4C

1

=��

�� ×

��

��

=� ��

��

× ×

� ��

��

×

= 4 × 4 = 16

P(A) = ��

�� =

�

��

Jadi, peluang terambilnya 3 kelereng merah dan 1

kelereng hijau adalah �

��.

17. Jawaban: b

Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama

sekali, maka banyak anggota ruang sampel adalah

n(S) = 6 × 6 = 36.

Jumlah kedua mata dadu merupakan bilangan

prima adalah 2, 3, 5, 7, dan 11.

Misalkan:

A = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 2

= {(1, 1)}

B = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 3

= {(1, 2), (2, 1)}

C = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 5

= {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}

D = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 7

= {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}

E = kejadian terlihat jumlah kedua mata dadu 11

= {(5, 6), (6, 5)}

Diperoleh n(A) = 1, n(B) = 2, n(C) = 4, n(D) = 6,

n(E) = 2.

Kejadian A, B, C, D, dan E saling lepas.

Peluang terlihat jumlah kedua mata dadu prima:

P = ��

�� +

��

�� +

��

�� +

��

�� +

��

��

=

�� +

�

�� +

�

�� +

�

�� +

�

��

= �

�� =

�

�

Jadi, peluang terlihat jumlah kedua mata dadu

merupakan bilangan prima adalah �

�.

18. Jawaban: a

Misalkan:

K1= kejadian terambil bola putih pada

pengambilan pertama

K2= kejadian terambil bola kuning pada

pengambilan kedua

Jumlah bola = 12, maka n(S) = 12.

Banyak bola putih = 4, maka n(K1) = 4.

Banyak bola kuning = 3, maka n(K2) = 3.


Dua bola diambil berurutan secara acak tanpa

pengembalian.

P(K1) =

��

�� =

�

� =

�

Satu bola yang telah terambil tidak dikembalikan.

Sekarang dalam kotak tersisa 11 bola dengan

banyak bola putih 3.

Peluang kejadian terambil bola kuning pada

pengambilan kedua dengan syarat telah terambil

bola putih pada pengambilan pertama:

P(K2|K

1) =

� ��

�� − = �

Peluang terambil sebuah bola putih pada

pengambilan pertama dan sebuah bola kuning pada

pengambilan kedua:

P(K1 ∩ K

2) = P(K

1) × P(K

2|K

1)

=

� ×

�

=

Jadi, peluang terambil sebuah bola putih pada

pengambilan pertama dan sebuah bola kuning

pada pengambilan kedua adalah

.

19. Jawaban: c

Satu set kartu bridge berisi 52 kartu, maka banyak

anggota ruang sampel adalah n(S) = 52.

Satu set kartu bridge terdiri atas 4 jenis kartu, yaitu

13 kartu hati, 13 kartu wajik, 13 kartu sekop, dan

13 kartu keriting.

Kartu hati dan wajik berwarna merah, sedangkan

kartu sekop dan keriting berwarna hitam.

Setiap jenis kartu terdiri atas kartu bernomor 2

sampai dengan 10 dan 4 kartu bergambar.

Misalkan:

A = kejadian terambil kartu berwarna hitam

B = kejadian terambil kartu berangka 10

A ∩ B = kejadian terambil kartu berwarna hitam

dan berangka 10

= kejadian terambil kartu sekop bernomor

10 dan kartu keriting bernomor 10

Dengan demikian, diperoleh n(A) = 26, n(B) = 4,

dan n(A ∩ B) = 2.

Oleh karena n(A ∩ B) ≠ 0, maka kejadian A dan B

tidak saling lepas.

Peluang terambil kartu berwarna hitam atau kartu

berangka 10:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

��

∩

= ��

�� +

�

�� –

�

��

= ��

�� =

�

�

20. Jawaban: b

Banyak percobaan = n = 108 kali.

Misalkan:

A = kejadian terlihat mata dadu bilangan prima

= {2, 3, 5}

B = kejadian terlihat mata dadu bilangan ganjil

= {1, 3, 5}

A ∩ B = {3, 5}


Oleh karena A ∩ B ≠ ∅, maka kejadian A dan B

tidak saling lepas.

Peluang kejadian terlihat mata dadu bilangan prima

atau ganjil:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

��

∩

= �

� +

�

� –

�

�

= �

� =

�

�

Frekuensi harapan terlihat mata dadu bilangan

prima atau ganjil:

Fh

= P(A ∪ B) × n = �

� × 108 = 72

21. Jawaban: e

Lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) mempunyai

persamaan x2 + y2 = r2. Oleh karena lingkaran

melalui titik (4, 1) diperoleh:

x2 + y2 = r2

⇔ 42 + 12 = r2

⇔ 16 + 1 = r2

⇔ 17 = r2

Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 17.

22. Jawaban: b

Titik pusat lingkaran terletak di tengah diameter,

koordinatnya:

� � � �"#

� �

− −

= (–2, 1)

Lingkaran tersebut mempunyai persamaan (x + 2)2

+ (y – 1)2 = r2. Oleh karena melalui titik (2, 4)

diperoleh:

(x + 2)2 + (y – 1)2 = r2

⇔ (2 + 2)2 + (4 – 1)2 = r2

⇔ 42 + 32 = r2

⇔ 16 + 9 = r2

⇔ 25 = r2

Persamaan lingkaran:

(x + 2)2 + (y – 1)2 = r2

⇔ (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25

⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 25

⇔ x2 + y2 + 4x – 2y – 20 = 0


23. Jawaban: d

x2 + y2 – 4x + 10y + c = 0

Diperoleh A = –4, B = 10, dan C = c.

r = 3

⇔ ( ) ( )� �

� �� $− + − − = 3

⇔ � �� $+ − − = 3

⇔ � �� $+ − = 3

⇔ � $− = 3

⇔ 29 – c = 32

⇔ 29 – c = 9

⇔ c = 20

Jadi, nilai c yang memenuhi adalah 20.

24. Jawaban: c

Substitusikan x = a dan y = –2 ke dalam persamaan

lingkaran.

(x – 3)2 + (y + 2)2 = 25

⇔ (a – 3)2 + (–2 + 2)2 = 25

⇔ (a – 3)2 + 0 = 25

⇔ (a – 3)2 = 25

⇔ a – 3 = 5 atau a – 3 = –5

⇔ a = 8 atau a = –2

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –2 atau 8.

25. Jawaban: b

2x – y + 1 = 0

⇔ y = 2x + 1

Substitusikan y = 2x + 1 ke dalam persamaan

lingkaran.

x2 + y2 – 8x + 2y – 8 = 0

⇔ x2 + (2x + 1)2 – 8x + 2(2x + 1) – 8 = 0

⇔ x2 + 4x2 + 4x + 1 – 8x + 4x + 2 – 8 = 0

⇔ 5x2 – 5 = 0

⇔ 5(x2 – 1) = 0

⇔ 5(x – 1)(x + 1) = 0

⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0

⇔ x = 1 atau x = –1

Untuk x = 1 maka y = 2 · 1 – 1 = 1

Untuk x = –1 maka y = 2 · (–1) – 1 = –3

Diperoleh titik P(1, 1) dan Q(–1, –3).

Panjang PQ = � �� − − + − −

= � �+

= ��

= � �

Jadi, panjang ruas garis PW adalah � � .

26. Jawaban: e

x – y – 4 = 0

⇔ y = x – 4

Substitusikan y = x – 4 ke dalam persamaan

lingkaran.

x2 + y2 – 8x – 8y + 24 = 0

⇔ x2 + (x – 4)2 – 8x – 8(x – 4) + 24 = 0

⇔ x2 + x2 – 8x + 16 – 8x – 8x + 32 + 24 = 0

⇔ 2x2 – 24x + 72 = 0

⇔ 2(x2 – 12x + 36) = 0

⇔ 2(x – 6)2 = 0

⇔ x – 6 = 0

⇔ x = 6

Substitusikan x = 6 ke dalam y = x – 4.

y = x – 4 = 6 – 4 = 2

Jadi, garis tersebut menyinggung lingkaran di titik

(6, 2).

27. Jawaban: b

Cara 1:

x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0

Titik pusat = (–3, 1)

Jari-jari = r = � �� − + − − = �� = � �

Jarak titik pusat lingkaran ke garis singgung sama

dengan jari-jari lingkaran.

y = –2x + n ⇔ 2x + y – n = 0

r = � �

⇔ � �

� �

�

− ⋅ + ⋅ −

+= � �

⇔�

�

− + −= � �

⇔�

�

− −= � �

⇔�

�

�

− −= ( � � )2

⇔��

�

+= 45

⇔ (5 + n)2 = 225

⇔ 5 + n = 15 atau 5 + n = –15

⇔ n = 10 atau n = –20

Cara 2:

Substitusikan y = –2x + n ke dalam persamaan

lingkaran.

x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0

⇔ x2 + (–2x + n)2 + 6x – 2(–2x + n) – 35 = 0

⇔ x2 + 4x2 – 4nx + n2 + 6x + 4x – 2n – 35 = 0

⇔ 5x2 – 4nx + n2 + 10x – 2n – 35 = 0

⇔ 5x2 + (10 – 4n)x + (n2 – 2n – 35) = 0

Oleh karena garis bersinggungan dengan lingkaran,

diperoleh:

D = 0

⇔ (10 – 4n)2 – 4 · 5 · (n2 – 2n – 35) = 0

⇔ (100 – 80n + 16n2) – 20 · (n2 – 2n – 35) = 0

⇔ 100 – 80n + 16n2 – 20n2 + 40n + 700 = 0

⇔ –4n2 – 40n + 800 = 0

⇔ –4(n2 + 10n – 200) = 0


⇔ –4(n + 20)(n – 10) = 0

⇔ n + 20 = 0 atau n – 10 = 0

⇔ n = –20 atau n = 10

Jadi, salah satu nilai n yang memenuhi adalah 10.

28. Jawaban: b

x2 + y2 – 2x – 44 = 0

⇔ x2 – 2x + y2 = 44

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 = 44 + 1

⇔ (x – 1)2 + y2 = 45

Garis 4x + 2y = 7 mempunyai gradien m1 = –2.

Oleh garis singgung sejajar dengan garis 4x + 2y

= 7 maka m = m1 = –2.


y – b = m(x – a) ± r� &+

⇔ y = –2(x – 1) ± �� + −

⇔ y = –2x + 2 ± � � �

⇔ y = –2x + 2 ± 15

⇔ y = –2x + 2 + 15 atau y = –2x + 2 – 15

⇔ y = –2x + 17 atau y = –2x – 13

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

y = –2x + 17 dan y = –2x – 13.

29. Jawaban: a

Lingkaran berpusat di titik P(2, 3) mempunyai

persamaan (x – 2)2 + (y – 3)2 = r2. Oleh karena

melalui titik Q(5, 0) diperoleh:

(x – 2)2 + (y – 3)2 = r2

⇔ (5 – 2)2 + (0 – 3)2 = r2

⇔ 32 + (–3)2 = r2

⇔ 9 + 9 = r2

⇔ 18 = r2

Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 18.

Persamaan garis singgung di titik Q(5, 0):

(x1 – 2)(x – 2) + (y

1 – 3)(y – 3) = 18

⇔ (5 – 2)(x – 2) + (0 – 3)(y – 3) = 18

⇔ (3)(x – 2) + (–3)(y – 3) = 18

⇔ 3x – 6 – 3y + 9 = 18

⇔ 3x – 3y – 15 = 0

⇔ x – y = 5

Jadi, persamaan garis singgungnya x – y = 5.

30. Jawaban: b

x2 + y2 – 6x + 4y + 3 = 0

⇔ x2 – 6x + y2 + 4y = –3

⇔ x2 – 6x + 9 + y2 + 4y + 4 = –3 + 9 + 4

⇔ (x – 3)2 + (y + 2)2 = 10

Garis x – 3y = 7 mempunyai gradien m1 =

�.

Oleh karena garis singgung tegak lurus dengan

garis x – 3y = 7 diperoleh:

m · m1

= –1

⇔ m ·

�= –1

⇔ m = –3


y – b = m(x – a) ± r � &+

⇔ y + 2 = –3(x – 3) ± �� + −

⇔ y + 2 = –3x + 9 ± � �

⇔ y = –3x + 7 ± 10

⇔ y = –3x + 7 + 10 atau y = –3x + 7 – 10

⇔ y = –3x + 17 atau y = –3x – 3

Jadi, persamaan garis singgungnya y = –3x + 17

dan y = –3x – 3.

1. Panjang kelas p = selisih dua titik tengah kelas

interval yang saling berurutan.

Titik tengah kelas interval ke-1 = 55,5

Titik tengah kelas interval ke-2 = 65,5

Panjang kelas = p = 65,5 – 55,5 = 10

Tepi bawah dan tepi atas setiap kelas interval

sebagai berikut.

Dari tepi bawah dan tepi atas setiap kelas interval

pada tabel di atas diperoleh tabel distribusi frekuensi

berikut.

2.

� = � �

�

��

�

ΣΣ

⇔ 20,5 = *��

��

++

⇔ 1.332,5 + 143,5n = 1.450 + 120n

B. Kerjakan soal-soal berikut.

Nilai

51–60

61–70

71–80

81–90

91–100

Frekuensi

4

9

15

12

5

xi

5

10

15

20

25

30

Jumlah

5

2n

15

5n

30

15

65 + 7n

25

20n

225

100n

750

450

1.450 + 120n

fi

fix

i

Titik

Tengah

(xi)

Tepi Bawah

(Tbi = x

i –

�p)

Tepi Atas

(Tai = x

i +

�p)

55,5

65,5

75,5

85,5

95,5

55,5 – 5 = 50,5

65,5 – 5 = 60,5

75,5 – 5 = 70,5

85,5 – 5 = 80,5

95,5 – 5 = 90,5

55,5 + 5 = 60,5

65,5 + 5 = 70,5

75,5 + 5 = 80,5

85,5 + 5 = 90,5

95,5 + 5 = 100,5

fi

4

9

15

12

5


⇔ 23,5 n = 117,5

⇔ n = 5

Banyak data = 65 + 7n = 65 + 7 × 5 = 65 + 35 = 100.


berikut.


Median = nilai data ke-

�(100 + 1)


Median adalah nilai data ke-50,5 terletak di kelas

interval 18 – 22.

L = 18 – 0,5 = 17,5

fkM

e

= 30

fMe

= 25

Me

= L + −

��

�

��

�

�

� · p

= 17,5 +

⋅ −

��

�� · 5

= 17,5 + ��

�

= 17,5 + 4 = 21,5

Jadi, median data tersebut 21,5.

3. Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.


Kuarti atas (Q3) = nilai data ke-

�

� (70 + 1)


Kuartil atas (Q3) adalah nilai data ke-53,25 terletak

di kelas interval 150 – 154.

L3

= 150 – 0,5 = 149,5

fkQ

3

= 42

fQ3

= 15

p = 154 – 150 + 1 = 5

Q3

= L3 +

�

�

��

�

�

�

−

· p

= 149,5 +

�

��

�

⋅ −

· 5

= 149,5 + ��"� ��

�

−

= 149,5 + �"�

�

= 149,5 + 3,5 = 153

P30

= nilai data ke-��

�� (70 + 1)


P30

adalah nilai data ke-21,3 terletak di kelas

interval 140–144.

L30

= 140 – 0,5 = 139,5

fkP

30

= 9

fP30

= 20

P30

= L30

+ ⋅ −

��

��

��/��

/

�

� · p

= 139,5 +

��

��

��

⋅ −

· 5

= 139,5 + �

�

= 139,5 + 3 = 142,5

Jadi, nilai Q3 = 153 dan P

30 = 142,5.

4. Komite yang terbentuk kemungkinan terdiri atas 5

guru laki-laki dan 1 guru perempuan atau 4 guru

laki-laki dan 2 guru perempuan.

Banyak cara memilih 5 guru laki-laki dari 7 guru

laki-laki dan 1 guru perempuan dari 5 guru

perempuan = 7C

5 ×

5C

1

= ��

�� ×

��

��

= � � ��

��

× ×× ×

� ��

��

××

= 21 × 5 = 105

Banyak cara memilih 4 guru laki-laki dari 7 guru

laki-laki dan 2 guru perempuan dari 5 guru

perempuan = 7C

4 ×

5C

2

= ��

�� ×

��

��

= � � � ��

� � �

× × ×× × × ×

� � ��

� ��

× ×× ×

= 35 × 10

= 350

Banyak cara membentuk komite = 105 + 350 = 455

← kelas Me

Nilai

3 – 7

8 – 12

13 – 17

18 – 22

23 – 27

28 – 32

fi

5

10

15

25

30

15

fk

5

15

30

55

85

100

Ukuran fk

fi

← kelas Q3

← kelas P30

135 – 139

140 – 144

145 – 149

150 – 154

155 – 159

160 – 164

9

22

42

57

61

70

9

20

13

15

4

9


5. Banyak kelereng kuning = 8

Banyak kelereng merah = 6

Banyak kelereng biru = 2

Banyak kelereng putih = 4

Jumlah kelereng dalam kotak = 20.

Pasangan kelereng yang mungkin terambil adalah

(putih, kuning), (putih, merah), (putih, biru), atau

(putih, putih).

A =kejadian terambil kelereng pertama putih dan

kelereng kedua kuning

P(A) = �

�� ×

�

= ��

��

B =kejadian terambil kelereng pertama putih dan

kelereng kedua merah

P(B) = �

�� ×

�

= ��

��

C =kejadian terambil kelereng pertama putih dan

kelereng kedua biru

P(C) = �

�� ×

�

= �

��

D =kejadian terambil kelereng pertama putih dan

kelereng kedua putih:

P(D) = �

�� ×

�

= �

��

Kejadian A, B, C, dan D saling lepas.

Peluang terambil kelereng pertama putih:

P = P(A) + P(B) + P(C) + P(D)

= ��

�� +

��

�� +

�

�� +

�

��

= ��

��

=

�

Jadi, peluang terambil kelereng pertama putih

adalah

�.

6. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama

sekali, sehingga banyak anggota ruang sampel

adalah n(S) = 6 × 6 = 36.

Misalkan:

Q = kejadian terlihat kedua mata dadu berjumlah 5

= {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}

R = kejadian terlihat kedua mata dadu berjumlah 8

= {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)}

Diperoleh n(Q) = 4 dan n(R) = 5.

Oleh karena Q ∩ R = ∅, maka kejadian Q dan R

saling lepas.

Peluang terlihat kedua mata dadu berjumlah 5 atau 8:

P(Q ∪ R) = P(Q) + P(R)

= ��

�� +

�;�

��

= �

�� +

�

��

=

�� =

�

Jadi, peluang terlihat kedua mata dadu berjumlah

5 atau 8 adalah

�.

7. Kotak I berisi 8 bola, terdiri atas 5 bola merah dan

3 bola biru.

Misalkan A = kejadian terambil 2 bola merah dari

kotak I.

n(A) = banyak cara mengambil 2 bola merah dari

5 bola merah

= 5C

2

= ��

��

= � � ��

� ��

× ×× ×

= 10

n(SA) = banyak cara mengambil 2 bola dari 8 bola

= 8C

2

= ��

��

= � � ��

� ��

× ×× ×

= 28

Peluang terambil 2 bola merah dari kotak I:

P(A) = �

��

��

= �

��

= �

�

Kotak II berisi 10, terdiri atas 6 bola merah dan 4

bola putih.

Misalkan B = kejadian terambil 1 bola putih dari

kotak II.

Diperoleh n(B) = 4 dan n(SB) = 10.

Peluang terambil 1 bola putih dari kotak II:

P(B) = �

��

��

= �

�

= �

�

Kejadian A dan B saling bebas.


Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan

1 bola putih dari kotak II:

P = P(A) × P(B) = �

� ×

�

� =

�

Jadi, peluang terambil 2 bola merah dari kotak I

dan 1 bola putih dari kotak II adalah

�.

8. Lingkaran L: x2 + y2 + 2x – 8y – 8 = 0

Titik pusat = (–1, 4)

Jari-jari = rL

= � �� − + − −

= ��

= 5

Lingkaran M mempunyai pusat (–1, 4) dan berjari-

jari rM

= 3 × rL = 3 × 5 = 15.

Persamaan lingkaran M:

(x + 1)2 + (y – 4)2 = rM

2

⇔ (x + 1)2 + (y – 4)2 = 152

⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 8y + 16 = 225

⇔ x2 + 2x + y2 – 8y + 17 = 225

⇔ x2 + y2 + 2x – 8y – 208 = 0

Jadi, persamaan lingkaran M: x2 + y2 + 2x – 8y –

208 = 0.

9. Persamaan garis g:

�

< <

< <

−−

=

�

� �

� �

−−

⇔ < �

� �

++ =

� �

� �

−− −

⇔ < �

�

+=

� �

�

−−

⇔ –6(y + 4) = 4(x – 2)

⇔ –6y – 24 = 4x – 8

⇔ 4x + 6y + 16 = 0

⇔ 2x + 3y + 8 = 0

Jari-jari lingkaran L sama dengan jarak titik

P(7, –3) ke garis g, diperoleh:

r = � �

� � � ��

� �

⋅ + − ⋅ +

+

= � �

�

− +

= �

�

= �

Persamaan lingkaran L:

(x – 7)2 + (y + 3)2 = r2

⇔ (x – 7)2 + (y + 3)2 = ( � )2

⇔ x2 – 14x + 49 + y2 + 6y + 9 = 13

⇔ x2 – 14x + y2 + 6y + 58 = 13

⇔ x2 + y2 – 14x + 6y + 45 = 0

Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 14x + 6y

+ 45 = 0.

10. Cek kedudukan titik A(6, 2) terhadap lingkaran.

x2 + y2 = 62 + 22 = 36 + 4 = 40 > 20

Ternyata titik A(6, 2) terletak di luar lingkaran.

Persamaan garis kutub:

x1x + y

1y = 20

⇔ 6x + 2y = 20

⇔ 3x + y = 10

⇔ y = 10 – 3x

Substitusikan y = 10 – 3x ke dalam persamaan

lingkaran.

x2 + y2 = 20

⇔ x2 + (10 – 3x)2 = 20

⇔ x2 + (100 – 60x + 9x2) = 20

⇔ 10x2 – 60x + 100 = 20

⇔ 10x2 – 60x + 80 = 0

⇔ 10(x2 – 6x + 8) = 0

⇔ 10(x – 4)(x – 2) = 0

⇔ x – 4 = 0 atau x – 2 = 0

⇔ x = 4 atau x = 2

Untuk x = 4 maka y = 10 – 3 · 4 = –2

Untuk x = 2 maka y = 10 – 3 · 2 = 4

Diperoleh titik pada lingkaran (4, –2) dan (2, 4).

Persamaan garis singgung di titik (4, –2):

x1x + y

1y = 20

⇔ 4x – 2y = 20

⇔ 2x – y = 10

Persamaan garis singgung di titik (2, 4):

x1x + y

1y = 20

⇔ 2x + 4y = 20

⇔ x + 2y = 10

Jadi, persamaan garis singgungnya 2x – y = 10

dan x + 2y = 10.


Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. menjelaskan pengertian transformasi geometri meliputi translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi;2. menentukan bayangan titik oleh translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi;3. menentukan persamaan bayangan kurva oleh translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi;4. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi.Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik mampu menunjukkan sikap motivasi internal,kemampuan bekerja sama, konsisten, disiplin, rasa percaya diri, jujur, tangguh, kritis, dan toleran dalam perbedaan strategiberpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

Transformasi Geometri

Translasi dan Refleksi Rotasi dan Dilatasi

• Memiliki sikap percaya diri, motivasi internal, serta sikap peduli lingkungan melalui kegiatan kemanusiaan, bisnis, dan dalamkehidupan sehari-hari.

• Mampu menentukan koordinat titik bayangan oleh translasi, refleksi, rotasi, atau dilatasi.• Mampu menentukan persamaan bayangan kurva oleh translasi, refleksi, rotasi, atau dilatasi.

• Mendiskripsikan translasi.• Menjelaskan cara menentukan bayangan titik oleh

sebuah translasi.• Mendiskripsikan pengertian refleksi.• Menentukan bayangan titik oleh sebuah refleksi.• Menjelaskan cara menentukan persamaan

bayangan kurva oleh translasi.• Menjelaskan cara menentukan persamaan

bayangan kurva oleh refleksi.

• Mendiskripsikan rotasi.• Menjelaskan cara menentukan bayangan titik

oleh sebuah rotasi.• Mendiskripsikan pengertian dilatasi.• Menjelaskan cara menentukan bayangan titik

oleh sebuah dilatasi.• Menentukan persamaan bayangan kurva oleh

rotasi.• Menjelaskan cara menentukan persamaan

bayangan kurva oleh dilatasi.

80 Transformasi Geometri

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

A(6, –1) T ( 2, 5)= − −→ A′(6 – 2, –1 – 5) = A′(4, –6)Jadi, bayangan titik A adalah A′(4, –6).

2. Jawaban: bMisalkan translasi tersebut T = (a, b).

C(10, –8) T (a, b)=→ C′(10 + a, –8 + b) = C′(6, 2)Diperoleh:10 + a = 6 ⇔ a = 4–8 + b = 2 ⇔ b = 10Jadi, translasinya adalah T = (4, 10).

3. Jawaban: dMisalkan translasinya T = (a, b).

Q(–4, 2) T (a, b)=→ Q′(–4 + a, 2 + b) = Q′(–1, 6)Diperoleh:–4 + a = –1⇔ a = 3

2 + b = 6⇔ b = 4Diperoleh T = (3, 4).

R(3, –2) T (3, 4)=→ R′(3 + 3, –2 + 4) = R′(6, 2)Jadi, R′(6, 2).

4. Jawaban: dTitik C(2, 3) ditranslasikan oleh T = (a, b) menghasil-kan bayangan C′(0, 5).

C(2, 3) T (a, b)=→ C′(2 + a, 3 + b) = C′(0, 5)2 + a = 0 ⇔ a = –23 + b = 5 ⇔ b = 2Diperoleh T = (–2, 2)

A(–1, –2) T ( 2, 2)= −→ A′(–3, 0)

B(5, –1) T ( 2, 2)= −→ B′(3, 1)Jadi, koordinat A′(–3, 0) dan B′(3, 1).

5. Jawaban: a

Bayangan titik (x, y) oleh translasi T = 23

adalah

(x′, y′) = (x + 2, y + 3).x′ = x + 2 ⇔ x = x′ – 2y′ = y + 3 ⇔ y = y′ – 3Substitusikan x dan y ke persamaan garis g.2x – 3y + 4 = 0 ⇒ 2(x′ – 2) – 3(y′ – 3) + 4 = 0

⇔ 2x′ – 4 – 3y′ + 9 + 4 = 0⇔ 2x′ – 3y′ + 9 = 0

Jadi, persamaan garis g′ adalah 2x – 3y + 9 = 0.

6. Jawaban: b

A(x, y) y xM =→ A′(y, x) sehingga:

A(3, –5) y xM =→ A′(–5, 3)Jadi, bayangan titik A adalah A′(–5, 3).

7. Jawaban: a

B(x, y) y xM = −→ B′(–y, –x)

B(4, –2) y xM = −→ B′(a + 3, b – 2) = B′(2, –4)Diperoleh:a + 3 = 2 ⇔ a = –1b – 2 = –4 ⇔ b = –2Jadi, nilai a = –1 dan b = –2.

8. Jawaban: e

D(–1, –6) y 5T =→ D′(–1, 2 × 5 – (–6)) = D′(–1, 16)Jadi, hasil pencerminan titik D adalah D′(–1, 16).

9. Jawaban: eBayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapgaris y = –1 adalah (x′, y′) = (x, –2 – y).x′ = x ⇔ x = x′y′ = –2 – y ⇔ y = –2 – y′Substitusi x dan y ke persamaan garis diperoleh:y = 2x + 5 ⇒ –2 – y′ = 2(x′) + 5

⇔ –2 – y′ = 2x′ + 5⇔ y ′ = –2x′ – 7⇔ y = –2x – 7

Jadi, persamaan bayangannya y = –2x – 7.

10. Jawaban: ePuncak parabola dengan persamaan y = a(x – p)2 + qadalah (p, q).y = 2x2 – 8x + 11⇔ y = 2(x2 – 4x + 4) + 3⇔ y = 2(x – 2)2 + 3Diperoleh puncak parabola P adalah (2, 3).Puncak parabola tersebut dicerminkan terhadapgaris y = –1.Bayangan titik (2, 3) oleh pencerminan terhadapgaris y = –1 adalah (x′, y′) dengan:

(2, 3) y 1M = −→ (2, 2 · (–1) – 3) = (2, –5)Jadi, koordinat puncak parabola P′ adalah (2, –5).

B. Uraian

1. a. Diketahui lingkaran (x – 3)2 + (y + 10)2 = 25sehingga titik A(3, –10).

A(3, –10) T ( 6, 8)= −→ A′(3 – 6, –10 + 8)= A′(–3, –2)Jadi, bayangan titik A adalah A′(–3, –2).


b. Misalkan translasi tersebut T = (a, b).

A(3, –10) T (a, b)=→ A′(3 + a, –10 + b)= A′(9, 1)Diperoleh:3 + a = 9 ⇔ a = 6–10 + b = 1 ⇔ b = 11Jadi, translasinya adalah T = (6, 11).

2. a. Misalkan T = (a, b).

B(1, 2) T (a, b)=→ B′(1 + a, 2 + b) = B′(4, 2)Diperoleh:

1 + a = 4⇔ a = 3

2 + b = 2⇔ b = 0Jadi, translasinya T = (3, 0).

b. Bayangan titik A(–2, 2); C(–2, –1); dan D(1, –1)

A(–2, 2) T (3, 0)=→ A′(–2 + 3, 2 + 0)= A′(1, 2)C(–2, –1) T (3, 0)=→ C′(–2 + 3, –1 + 0)= C′(1, –1)D(1, –1) T (3, 0)=→ D′(1 + 3, –1 + 0)= D′(4, –1)Jadi, bayangan titik A, C dan D adalahA′(1, 2); C′(1, –1); dan D′(4, –1).

3. a. C(5, –6) y xM =→ D(–6, 5)Jadi, koordinat titik D(–6, 5).

b. D(–6, 5) xM→ D′(–6, –5)Jadi, koordinat titik D′(–6, –5).

4. a. Bayangan titik (x, y) oleh translasi T = 42

−

adalah (x′, y′) = (x + 4, y – 2).x′ = x + 4 ⇔ x = x′ – 4y′ = y – 2 ⇔ y = y′ + 2Substitusikan x = x′ – 4 dan y = y′ + 2 kepersamaan parabola.

y = x2 – 2x + 6⇔ y′ + 2 = (x′ – 4)2 – 2(x′ – 4) + 6⇔ y ′ = (x′)2 – 8x′ + 16 – 2x′ + 8 + 6 – 2⇔ y ′ = (x′)2 – 10x′ + 28⇔ y ′ = x2 – 10x + 28Jadi, persamaan bayangan parabola adalahy = x2 – 10x + 28.

b. Bayangan titik (x, y) oleh refleksi terhadapgaris x = 2 adalah (x′, y′) = (4 – x, y).x′ = 4 – x ⇔ x = 4 – x′y′ = y ⇔ y = y′Substitusikan x = 4 – x′ dan y = y′ ke per-samaan parabola.

y = x2 – 2x + 6⇔ y′ = (4 – x′)2 – 2(4 – x′) + 6⇔ y′ = 16 – 8x′ + (x′)2 – 8 + 2x′ + 6⇔ y′ = (x′)2 – 6x′ + 14⇔ y = x2 – 6x + 14Jadi, persamaan bayangan parabola adalahy = x2 – 6x + 14.

5. Misalkan titik (x, y) terletak pada elips 2(x 1)

6− +

2(y 2)4

+ = 1.

Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapgaris y = –x:

(x, y) y xM = −→ (x′, y′) = (–y, –x)Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = –x ⇔ x = –y′Substitusikan y = –x′ dan x = –y′ ke persamaan

2(x 1)6− +

2(y 2)4

+ = 1.2(x 1)

6− +

2(y 2)4

+ = 1

⇔2(( y ) 1)

6′− − +

2(( x ) 2)4

′− + = 1

⇔2( (y 1))

6′− + +

2( (x 2))4

′− − = 1

⇔2(y 1)

6′ + +

2(x 2)4

′ − = 1

⇔2(y 1)

6+ +

2(x 2)4

− = 1

⇔2(x 2)

4− +

2(y 1)6+ = 1

Jadi, persamaan bayangannya adalah 2(x 2)

4− +

2(y 1)6+ = 1.


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: a

A(6, –1) R[O(0,0), 45 ]°→ A′(x′, y′)x ′ = x · cos 45° – y · sin 45°

= 6 · 12

2 – (–1) · 12

2

= 3 2 + 12

2

= 72

2

y ′ = x · sin 45° + y · cos 45°

= 6 · 12

2 + (–1) · 12

2

= 3 2 – 12

2 = 52

2

Jadi, koordinat bayangannya adalah A′( 72

2 ,52

2 ).

2. Jawaban: c

B(4, 2) R[O(0,0), 90 ]°→ B′(x′, y′)x ′ = –2y ′ = 4Diperoleh B′(a, 2 + b) = B′(–2, 4)a = –22 + b = 4

⇔ b = 2a + b = –2 + 2

= 0Jadi, nilai a + b = 0.

3. Jawaban: e

C(8, 4) R[P(1, 2), 180 ]°→ C′(x′, y′)x ′ = (x – a) · cos 180° – (y – b) · sin 180° + a

= (8 – 1) · (–1) – (4 – 2) · 0 + 1= –7 + 1= –6

y ′ = (x – a) · sin 180° + (y – b) · cos 180° + b= (8 – 1) · 0 + (4 – 2) · (–1) + 2 = 0

Diperoleh C′(–6, 0)

D(–5, 6) R[P(1, 2), 180 ]°→ D′(x′, y′)x ′ = (x – a) · cos 180° – (y – b) · sin 180° + a

= (–5 – 1) · (–1) – (6 – 2) · 0 + 1= 6 + 1 7

y ′ = (x – a) · sin 180° + (y – b) · cos 180° + b= (–5 – 1) · 0 + (6 – 2) · (–1) + 2 = –2

Jadi, bayangan titik C dan D berturut-turutC′(–6, 0) dan D′(7, –2).

4. Jawaban: aDiketahui P′(–10, –2) dan P(a, b)

P(a, b) R[O(0, 0), ]

2π−

→ P′(b, –a) = P′(–10, –2)

Diperoleh:b = –10–a = –2⇔ a= 2Diperoleh a = 2, b = –10 sehinggaa + 2b = 2 + 2 · (–10) = –18Jadi, nilai a + 2b = –18.

5. Jawaban: bMisalkan pusat rotasi P(a, b).(4, –5) R[P(a, b), 90 ]°→ (10, 5)

x ′ = (x – a) · cos θ – (y – b) · sin θ + a⇔ 10 = (4 – a) · cos 90° – (–5 – b) · sin 90° + a⇔ 10 = (4 – a) · 0 – (–5 – b) · 1 + a⇔ 10 = 5 + b + a⇔ a + b = 5 . . . (1)

y ′ = (x – a) · sin 90° + (y – b) · cos 90° + b⇔ 5 = (4 – a) · sin 90° + (–5 – b) · cos 90° + b⇔ 5 = (4 – a)1 + 0 + b⇔ 5 = 4 – a + b⇔ –a + b = 1 . . . (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:a + b = 5

–a + b = 1–––––––– +

2b = 6⇔ b = 3Substitusikan nilai b = 3 ke a + b = 5.a + 3 = 5 ⇔ a = 2Diperoleh a = 2 dan b = 3.Jadi, koordinat pusat rotasi (2, 3).

6. Jawaban: eAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaany = 2x2 + 3x – 6.

(x, y) R[O(0, 0), 90 ]− °→ (x′, y′) = (y, –x)Diperoleh:y = x′–x = y′ ⇔ x = –y′Substitusikan x = –y′ dan y = x′ ke persamaany = 2x2 + 3x – 6.

y = 2x2 + 3x – 6⇔ x ′ = 2(–y′)2 + 3(–y′) – 6⇔ x ′ = 2(y′)2 – 3(y′) – 6⇔ x = 2y2 – 3y – 6Jadi, persamaan bayangan kurvanya adalahx = 2y2 – 3y – 6.


7. Jawaban: c

B(–9, 3) [O(0, 0), k]→ B(–9k, 3k) = (–18, 6)

–18 = –9k⇔ k = 2Jadi, faktor skalanya k = 2.

8. Jawaban: e

Luas KLMN= ML · LK= 5 · 8= 40 satuan luas

Luas persegi panjang KLMN setelah didilatasidengan faktor skala k = 3 adalah L.L = k2 · LKLMN = 32 · 40 = 360 satuan luas

9. Jawaban: eBayangan titik (x, y) oleh dilatasi [O(0, 0), –2]adalah (x′, y′) = (–2x, –2y).Diperoleh:

x′ = –2x ⇔ x = –12 x′

y′ = –2y ⇔ y = –12 y′

Substitusikan x = –12 x′ dan y = –

12 y′ ke

persamaan garis.

4x – y + 6 = 0 ⇔ 4(–12 x′) – (–

12 y′) + 6 = 0

⇔ –2x′ + 12 y′ + 6 = 0

⇔ 4x′ – y′ – 12 = 0⇔ 4x – y – 12 = 0

Jadi, persamaan bayangannya 4x – y – 12 = 0.

10. Jawaban: bAmbil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran(x – 5)2 + (y + 1)2 = 25.

(x, y) [P(1, 2), 2]→ (x′, y′)x ′ = kx – ka + a

= 2x – 2 · 1 + 1= 2x – 1

y ′ = kx – kb + b= 2y – 2 · 2 + 2= 2y – 2

Diperoleh:x′ = 2x – 1

⇔ x = x 1

2′ +

y′ = 2y – 2

⇔ y = y 2

2′ +

Substitusikan x = x 1

2′ +

dan y = y 2

2′ +

ke persamaan

(x – 5)2 + (y + 1)2 = 25.(x – 5)2 + (y + 1)2 = 25

⇔2x 1

25′ +

− +

2y 22

1′ +

+ = 25

⇔2x 1 10

2′ + −

+

2y 2 22

′ + +

= 25

⇔2(x 9)

4′ − +

2(y 4)4

′ + = 25

⇔ (x′ – 9)2 + (y′ + 4)2 = 100⇔ (x – 9)2 + (y + 4)2 = 100Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebut(x – 9)2 + (y + 4)2 =100.

B. Uraian

1. a. A(–6, 2) R[O(0, 0), 45 ]°→ (x′, y′)x ′ = x · cos 45° – y · sin 45°

= –6 · 12

2 – 2 · 12

2

= –3 2 – 2

= –4 2y ′ = x · sin 45° + y · cos 45°

= –6 · 12

2 + 2 · 12

2

= –3 2 + 2

= –2 2Jadi, A′(–4 2 , –2 2 ).

b. A′(–4 2 , 2 2 ) R[O(0, 0), 90 ]− °→ B′(x′, y′)x ′ = x · cos (–90°) – y · sin (–90°)

= (–4 2 ) · 0 – (–2 2 ) · (–1)= –2 2

y ′ = x · sin (–90°) + y · cos (–90°)= (–4 2 ) · (–1) + (–2 2 ) · 0= 4 2

Jadi, B′(–2 2 , 4 2 ).

2. a. C(6, –8) 12[P(4, 2), ]−→ C¢(x¢, y¢)

x ′ = kx – ka + a

= 12 · 6 –

12 · 4 + 4

= 3 – 2 + 4= 5

y ′ = ky – kb + b

= 12 · (–8) –

12 · (–2) – 2

= –4 + 1 – 2= –5

Jadi, C′(5, –5).

K

L

Y

X–2 0 3

4

–4

8 sa

tuan

5 satuanM


b. C′(5, –5) R[O(0, 0), 90 ]°→ (x′, y′) = (–y, x)Diperoleh:x′ = 5y′ = 5Jadi, koordinat titik D(5, 5).

3. Akan dicari nilai a dan b pada pusat rotasi P(a, b).

A(–3, –3) R[P(a, b), ]−π→ A′(7, –5)Diperoleh:

x ′ = (x – a) · cos (–π) – (y – b) · sin (–π) + a⇔ 7 = (–3 – a) · (–1) – (–3 – b) · 0 + a⇔ 7 = 3 + a + a⇔ 2a = 4⇔ a = 2

y ′ = (x – a) · sin (–π) + (y – b) · cos (–π) + b⇔ –5 = (–3 – a) · 0 + (–3 – b) · (–1) + b⇔ –5 = 3 + b + b⇔ 2b = –8⇔ b = –4Diperoleh P(a, b) = P(2, –4).Bayangan titik B(6, –3), C(6, 1), dan D(–3, 1)sebagai berikut.

B(6, –3) R[P(2, 4), ]− −π→ B′(x′, y′)x ′ = (6 – 2) · cos (–π) – (–3 + 4) · sin (–π) + 2

= 4 · (–1) – 0 + 2= –2

y ′ = (6 – 2) · sin (–π) + (–3 + 4) · cos (–π) – 4= 0 – 1 – 4= –5

Diperoleh B′(–2, –5).

C(6, 1) R[P(2, 4), ]− −π→ C′(x′, y′)x ′ = (6 – 2) · cos (–π) – (1 + 4) · sin (–π) + 2

= –4 – 0 + 2= –2

y ′ = (6 – 2) · sin (–π) + (1 + 4) · cos (–π) – 4= 0 – 5 – 4= –9

Diperoleh C′(–2, –9).D(–3, 1) R[P(2, 4), ]− −π→ D′(x′, y′)x ′ = (–3 – 2) · cos (–π) – (1 + 4) · sin (–π) + 2

= 5 – 0 + 2 = 7y ′ = (–3 – 2) · sin (–π) + (1 + 4) · cos (–π) + 4

= 0 – 5 – 4 = –9Diperoleh D′(7, –9).Jadi, koordinat P(2, –4), B′(–2, –5), C′(–2, –9), danD′(7, –9).

4. a. C′(9, 2), C(5, 2), P(3, 2) sehingga:x ′ = kx – ka + a

⇔ 9 = k · 5 – k · 3 + 3⇔ 9 = 2k + 3⇔ 2k = 6⇔ k = 3Jadi, nilai k = 3.

b. A(0, –2) sehingga:x ′ = kx – ka + a

= 3 · 0 – 3 · 3 + 3= –6

y ′ = ky – kb + b= 3 · (–2) – 3 · 2 + 2= –10

Diperoleh A′(–6, –10).B(5, –4) sehingga:x ′ = kx – ka + a

= 3 · 5 – 3 · 3 + 3= 9

y ′ = ky – kb + b= 3 · (–4) – 3 · 2 + 2= –16

Diperoleh B′(9, –16).c.

Luas ∆ABC = 12 · alas · tinggi

= 12 · 6 · 5

= 15 satuan luasLuas ∆A′B′C′ = k2 · luas ∆ABC

= 32 · 15= 135 satuan luas

Jadi, luas ∆A′B′C′ = 135 satuan luas.

5. Ambil titik (x, y) yang terletak pada persamaan2(x 1)

6− –

2(y 3)4+ = 1.

(x, y) [P(2, 1), 3]→ (x′, y′)x ′ = kx – ka + a

= 3x – 3 · 2 + 2= 3x – 4

y ′ = ky – kb + b= 3y – 3 · 1 + 1= 3y – 2

Diperoleh:x ′ = 3x – 4

⇔ x = x 4

3′ +

y ′ = 3y – 2

⇔ y = y 2

3′ +

Y

X

2

–2

–4

5

A

B

C5 satuan

6 satuan0



3′ +

dan y = y 2

3′ +

ke per-

samaan 2(x 1)

6− –

2(y 3)4+ = 1.

2(x 1)6− –

2(y 3)4+ = 1

⇔ ( )2x + 43

1

6

′ − –

( )2y + 23

3

4

′ += 1

⇔ ( )2x + 4 33

6

′ −

– ( )2y + 2 9

3

4

′ +

= 1

⇔( )2x + 1

3

6

′

– ( )2y 11

3

4

′ +

= 1

⇔2(x 1)

9 6′ +

× – 2(y 11)

9 4′ +

× = 1

⇔2(x 1)

54′ + –

2(y 11)36

′ + = 1

⇔2(x 1)

54+ –

2(y 11)36+ = 1

Jadi, persamaan bayangannya adalah 2(x 1)

54+ –

2(y 11)36+ = 1.

1. Jawaban: bA(–10, 5) T (2, 8)=→ A′(–10 + 2, 5 + 8) = A′(–8, 13)Jadi, bayangan titik A adalah A′(–8, 13).

2. Jawaban: aB(6, –3) T (4, 9)= −→ B′(6 + 4, –3 – 9) = B′(10, –12)Diperoleh a = 10, b = –12 sehingga:a + 2b = 10 – 24 = –14Jadi, a + 2b = –14.

3. Jawaban: dKoordinat bayangan titik A(x, y) oleh translasi

T = 35

adalah A′(x + 3, y + 5).

Koordinat titik A′(–2, 1), sehingga:x + 3 = –2 ⇔ x = –5y + 5 = 1 ⇔ y = –4Jadi, koordinat titik A(–5, –4).

4. Jawaban: aC(–5, –4) T (a, b)=→ C′(–5 + a, –4 + b) = C′(3, 9)Diperoleh:–5 + a = 3 ⇔ a = 8–4 + b = 9 ⇔ b = 13Diperoleh T = (8, 13).Bayangan titik D(8, 10) sebagai berikut.

D(8, 10) T (8, 13)=→ D′(8 + 8, 10 + 13) = D′(16, 23)Jadi, bayangan titik D adalah D′(16, 23).

5. Jawaban: eMisalkan translasi tersebut T = (a, b).

B(5, 1) T (a, b)=→ B′(5 + a, 1 + b) = B′(–1, 3)Diperoleh :

5 + a = –1⇔ a = –6

1 + b = 3⇔ b = 2

Diperoleh T = (–6, 2)

A(13, –4) T ( 6, 2)= −→ A′(13 – 6, –4 + 2) = A′(7, –2)Jadi, bayangan titik adalah A′(7, –2).

6. Jawaban: dA(6, –8) T ( 4, 5)= −→ A′(6 – 4, –8 + 5) = A′(2, –3)

A′(2, –3) T (8,10)=→ A′′(2 + 8, –3 + 10) = A′′(10, 7)

7. Jawaban: b

Bayangan titik (x, y) oleh translasi T = 1

3−

adalah

(x′, y′) = (x – 1, y + 3).x′ = x – 1 ⇔ x = x′ + 1y′ = y + 3 ⇔ y = y′ – 3Substitusikan x = x′ + 1 dan y = y′ – 3 ke persama-an garis.5x + 2y – 8 = 0 ⇔ 5(x′ + 1) + 2(y' – 3) – 8 = 0

⇔ 5x′ + 5 + 2y′ – 6 – 8 = 0⇔ 5x′ + 2y′ – 9 = 0⇔ 5x + 2y – 9 = 0

Jadi, persamaan bayangannya 5x + 2y – 9 = 0.

8. Jawaban: ePusat lingkaran L: (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4 adalahA(3, –1).Bayangan lingkaran L adalah L′.Pusat lingkaran L′: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 adalahA′(–2, 1).Akan dicari nilai a dan b pada T = (a, b) yangmentranslasikan A(3, –1) menjadi A′(–2, 1).

A(3, –1) T (a, b)=→ A′(–2, 1) = A′(3 + a, –1 + b)Diperoleh:

3 + a = –2⇔ a = –5

–1 + b = 1⇔ b = 2a + b = –5 + 2

= –3Jadi, nilai a + b = –3.


9. Jawaban: aD(10, 11) YM→ D′(–10, 11)Jadi, hasil pencerminannya adalah D′(–10, 11).

10. Jawaban: cBayangan (x, y) oleh refleksi terhadap titik O(0, 0)adalah (–x, –y) sehingga:P(–7, 9) 0M→ (7, –9)

11. Jawaban: dBayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadapsumbu Y adalah P′(2, 5).Bayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadapsumbu X adalah P′(–2, –5).Bayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadap garisy = x adalah (5, –2).Bayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadap garisy = –x adalah P′(–5, 2).Bayangan titik P(–2, 5) oleh refleksi terhadap titikasal adalah (2, –5).Jadi, P′(–5, 2) merupakan bayangan P(–2, 5) olehrefleksi terhadap garis y = –x.

12. Jawaban: e

(x, y) Mx k=→ (2k – x, y)

(2, –6) Mx k=→ (2k – 2, –6) = (–5, –6)

Diperoleh:2k – 2 = –5⇔ 2k = –3

⇔ k = –32

Jadi, nilai k = –32 .

13. Jawaban: dA(4, –11) XM→ A′(4, 11)

A′(4, 11) Y 3M =→ A′′(4, 2 · 3 – 11) = A′′(4, –5)Jadi, bayangannya adalah A′′(4, –5).

14. Jawaban: aMisalkan titik (x, y) terletak pada garis 2y – 5x = 15.Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapsumbu Y adalah (x′, y′) = (–x, y).Diperoleh:x′ = –x ⇔ x = –x′y′ = y ⇔ y = y′Substitusikan x = –x′ dan y = y′ ke persamaan2y – 5x = 15.

2y – 5x = 15⇔ 2y′ – 5(–x′) = 15⇔ 2y′ + 5x′ = 15⇔ 2y + 5x = 15Jadi, persamaan bayangan garis adalah 2y + 5x = 15.

15. Jawaban: aMisalkan titik (x, y) terletak pada persamaanx2 + y2 – 5x + 7y – 25 = 0.Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapgaris y = –x adalah (x′, y′) = (–y, –x).Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = –x ⇔ x = –y′Substitusikan x = –y′ dan y = –x′ ke persamaanx2 + y2 – 5x + 7y – 25 = 0.

x2 + y2 – 5x + 7y – 25 = 0⇔ (–y′)2 + (–x′)2 – 5(–y′) + 7(–x′) – 25 = 0⇔ (y′)2 + (x′)2 + 5y′ – 7x′ – 25 = 0⇔ y2 + x2 + 5y – 7x – 25 = 0⇔ x2+ y2 – 7x + 5y – 25 = 0Jadi, persamaan bayangannya adalah x2 + y2

– 7x + 5y – 25 = 0.

16. Jawaban: dBayangan titik (x, y) oleh pencerminan terhadapsumbu Y adalah (x′, y′) = (–x, y).x′ = –x ⇔ x = –x′y′ = y ⇔ y = y′Substitusikan x = –x′ dan y = y′ ke persamaanparabola.y = x2 + 2x – 5⇔ y′ = (–x′)2 + 2(–x′) – 5⇔ y′ = (x′)2 – 2x′ – 5⇔ y = x2 – 2x – 5Jadi, persamaan bayangan parabola adalahy = x2 – 2x – 5.

17. Jawaban: eA(3, –9) R[O(0, 0), 90 ]°→ A′(x′, y′) = A′(9, 3)Jadi, koordinat titik bayangannya adalah A′(9, 3).

18. Jawaban: aDiketahui titik C′(–8, 10) sehingga diperoleh:

x ′ = x · cos α – y · sin α⇔ –8 = x · cos (–270°) – y · sin (–270°)⇔ –8 = 0 – y · 1⇔ y = 8

y ′ = x · sin α + y · cos α⇔ 10 = x · sin (–270°) + y · cos (–270°)⇔ 10 = x + 0⇔ x = 10Jadi, koordinat titik C(10, 8).

19. Jawaban: bB(6, 8) R[O(0, 0), 30 ]°→ B′(x′, y′) = B′(a, b + 1)x ′ = x cos α – y sin α

= 6 · cos (30°) – 8 · sin (30°)

= 6 · 12

3 – 8 · 12

= 3 3 – 4


y ′ = x sin α + y cos α= 6 · sin (30°) + 8 · cos (30°)

= 6 · 12 + 8 ·

12

3

= 3 + 4 3Diperoleh a = 3 3 – 4 dan b + 1 = 3 + 4 3 ataub = 2 + 4 3 .a + b = ( 3 3 – 4) + (2 + 4 3 )

= 7 3 – 2Jadi, nilai a + b = 7 3 – 2.

20. Jawaban: cUntuk rotasi pertama diperoleh:

D(7, 1) R[O(0, 0), 90 ]°→ D′(x′, y′) = D′(–1, 7)Bayangan titik D′ oleh rotasi kedua adalahD′′(x′′, y′′). Diperoleh:x′′ = x′ cos α – y′ sin α

= (–1) · cos (–45°) – 7 · sin (–45o)

= (–1) · 12

2 + 7 · 12

2 = 3 2

y′′ = x′ sin α + y′ cos α= (–1) · sin (–45°) + 7 · cos (–45°)

= 12

2 + 7 · 12

2 = 4 2

Jadi, koordinat titik D′′( 3 2 , 4 2 ).

21. Jawaban: c

Bayangan titik (x, y) oleh rotasi [O(0, 0), 23 π]

sebagai berikut.x ′ = x cos α – y sin α

= 8 · cos 23 π – (–6) · sin

23 π

= 8 · (–12) + 6 ·

12

3

= –4 + 3 3y ′ = x sin α + y cos α

= 8 · sin 23 π + (–6) · cos

23 π

= 8 · 12

3 – 6 · (–12)

= 4 3 + 3Jadi, bayangan titik B(8, –6) adalah (–4 + 3 3 ,4 3 + 3).

22. Jawaban: eBayangan (xQ, yQ) oleh rotasi [P(–1, 3), –90°]sebagai berikut.x ′ = (x – a) cos α – (y – b) sin α + a

= (6 + 1) · cos (–90°) – (–3 – 3) · sin (–90°) – 1= 0 + 6 · (–1) – 1 = –7

y ′ = (x – a) sin α + (y – b) cos α + b= (6 + 1) · sin (–90°) + (–3 – 3) · cos (–90°) + 3= 7 · (–1) + 0 + 3 = –4

Jadi, bayangan titik Q adalah Q′(–7, –4).

23. Jawaban: aAmbil titik (x, y) yang terletak pada garis 2y – 3x = 18.

(x, y) R[O(0, 0), 90 ]°→ (x′, y′) = (–y, x)Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = xSubstitusikan y = –x′ dan x = y′ ke persamaan2y – 3x = 18.

2y – 3x = 18⇔ 2 · (–x′) – 3y′ = 18⇔ –2x′ – 3y′ = 18⇔ 2x + 3y = –18Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah2x + 3y = –18.

24. Jawaban: aMisalkan titik (x, y) terletak pada garis 3x + 2y – 4= 0 dan (x′, y′) adalah bayangan titik (x, y) oleh

rotasi [O(0, 0), 2π

] .

(x, y) 2R[O(0, 0), ]π

→ (x′, y′) = (–y, x)

Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′x = y′Substitusikan y = –x′ dan x = y′ ke persamaan 3x +2y – 4 = 0.

3x + 2y – 4 = 0⇔ 3y′ + 2(–x′) – 4 = 0⇔ 3y′ – 2x′ – 4 = 0⇔ 2x′ – 3y′ + 4 = 0⇔ 2x – 3y + 4 = 0Jadi, bayangannya adalah 2x – 3y + 4 = 0.

25. Jawaban: d

Bayangan titik A(–4, 11) oleh dilatasi [P(2, –1), 12 ]

sebagai berikut.x ′ = kx – ka + a

= 12 · (–4) –

12 · 2 + 2

= –2 – 1 + 2= –1

y ′ = ky – kb + b

= 12 · 11 –

12 · (–1) – 1

= 112 +

12 – 1

= 5Jadi, bayangan titik A adalah (–1, 5).

26. Jawaban: eDiketahui P(4, 32) sehingga a = 4, b = 32.Dari titik B(16, –12) dan B′(7, 21) diperoleh x = 16,y = –12, x′ = 7, dan y′ = 21.


x ′ = kx – ka + a⇔ 7 = k · 16 – k · 4 + 4⇔ 7 = 12k + 4⇔ 12k = 3

⇔ k = 14

Jadi, nilai k = 14 .

27. Jawaban: dMisalkan P(a, b)

x ′ = kx – ka + a⇔ –11 = 3 · (–5) – 3a + a⇔ –11 = –15 – 2a⇔ –2a = 4⇔ a = –2

y ′ = ky – kb + b⇔ 4 = 3 · 2 – 3b + b⇔ 4 = 6 – 2b⇔ –2b = –2⇔ b = 1Jadi, koordinat titik P(–2, 1).

28. Jawaban: eDiketahui Q(–9, 12), pusat dilatasi O(0, 0), danQ′(3, –4).

x ′ = kx⇔ 3 = k · (–9)

⇔ k = – 13

k = – 13

sehingga 6k = –2.Bayangan P(–7, 5) oleh [O(0, 0), 6k] = [O(0, 0), –2]sebagai berikut.x ′ = kx

= –2 · (–7)= 14

y ′ = ky= –2 · 5= –10

Jadi, bayangan titik P adalah (14, –10).

29. Jawaban: dAmbil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran x2 +(y – 4)2 = 16.Bayangan titik (x, y) oleh dilatasi dengan pusatO(0, 0) dan faktor skala 3 sebagai berikut.x ′ = kx

= 3xy ′ = ky

= 3y

Diperoleh x = x3′ dan y = y

3′ .

Substitusikan x = x3′ dan y = y

3′ ke persamaan

x2 + (y – 4)2 = 16.

x2 + (y – 4)2 = 16

⇔2x

3′

+

2y4

3′ −

= 16

⇔2(x )

9′ +

2y 123

′ −

= 16

⇔2(x )

9′ +

2(y 12)9

′ − = 16

⇔ (x′)2 + (y′ – 12)2 = 144⇔ x2 + (y – 12)2 = 144Jadi, persamaan bayangannya adalahx2 + (y – 12)2 = 144.

30. Jawaban: bAmbil titik (x, y) yang terletak pada persamaan

2(x 1)5− +

2(y 6)10− = 1.

Titik (x, y) didilatasi dengan pusat (2, 3) dan faktorskala 2 sehingga diperoleh:x ′ = kx – ka + a

= 2x – 2 · 2 + 2= 2x – 2

y ′ = ky – kb + b= 2y – 2 · 3 + 3= 2y – 3

Diperoleh:x ′ = 2x – 2

⇔ x = x 22

′ +

y′ = 2y – 3

⇔ y = y 32

′ +


′ + dan y = y 32

′ + ke persama-

an 2(x 1)

5− +

2(y 6)10− = 1.

2(x 1)5− +

2(y 6)10− = 1

⇔( )2

x + 22

1

5

′

− +

( )2y + 3

26

10

′

−= 1

⇔( )22x + 2

22

5

′

− +

( )212y + 322

10

′

−= 1

⇔( )2x

2

5

′

+ ( )2y 9

2

10

′ −

= 1

⇔2(x )

4

5

′

+ 2(y 9)

4

10

′ +

= 1

⇔2(x )

20′ +

2(y 9)40

′ + = 1

⇔2x

20 +

2(y 9)40+ = 1

Jadi, persamaan bayangan elips tersebut2x

20 +

2(y 9)40+ = 1.


B. Uraian

1. a. A(17, –7) T ( 10, 12)= −→ A′(17 – 10, –7 + 12)= A′(7, 5)Jadi, A′(7, 5)

b. B(8, 19) T ( 10, 12)= −→ B′(8 – 10, 19 + 12) =B′(–2, 31)Jadi, B′(–2, 31)

c. C(–18, 4) T ( 10, 12)= −→ C′(–18 – 10, 4 + 12)

= C′(–28, 16)Jadi, C′(–28, 16).

2. a. A(5, –9) T ( 8, 7)= − −→ A′(5 – 8, –9 – 7)= A′(–3, –16)Diperoleh A′(2a + 1, b – 5) = A′(–3, –16)sehingga:

2a + 1 = –3⇔ 2a = –4⇔ a = –2

b – 5 = –16⇔ b = –11Jadi, nilai a dan b berturut-turut –2 dan –11.

b. A′(–3, –16) T ( 8, 7)= − −→ A′′(–3 – 8, –16 – 7)= A′′(–11, –23)Jadi, A′′(–11, –23).

3. a. Misalkan translasi T = (a, b), maka:x ′ = x + a

⇔ 4 = 2 + a⇔ a = 2

y ′ = y + b⇔ 1 = 5 + b⇔ b = –4Jadi, translasi T = (2, –4).

b. Koordinat titik A(2, 1).A(2, 1) T (2, 4)= −→ A′(2 + 2, 1 – 4) = A′(4, –3)

Jadi, koordinat bayangan titik A adalahA′(4, –3).

c. Koordinat titik B′(–3, 4).B(x, y) T (2, 4)= −→ B′(x + 2, y – 4)

x + 2 = x + a⇔ x = 2 + a

y – 4 = 4⇔ y = 8Jadi, koordinat titik B(–5, 8).

4. a. A(16, –9) XM→ A′(16, 9)Jadi, A′(16, 9).

b. A(16, –9) y xM = −→ A′(9, –16)Jadi, A′(9, –16).

5. a. A(a + 1, 2b – 3) y xM =→ A′(2b – 3, a + 1) =A′(–9, –7)

Diperoleh:2b – 3 = –9

⇔ 2b = –6⇔ b = –3

a + 1 = –7⇔ a = –82a+ 3b= 2 · (–8) + 3 · (–3)

= –16 – 9= –25

Jadi, nilai 2a + 3b = –25b. Diketahui a = –8, b = –3, dan A(a + 1, 2b – 3)

sehingga A(–7, –9).

A(–7, –9) T ( 1, 5)= −→ A′(–7 – 1, –9 + 5)= A′(–8, –4)Jadi, bayangan titik A oleh translasiT = (–1, 5) adalah A′(–8, –4).

6. Misalkan titik (x, y) terletak pada garis g ≡ x + y = 1a. Bayangan titik (x, y) oleh pencerminan

terhadap titik A(1, 2):(x, y) (1, 2)M→ (x′, y′) = (2 × 1 – x, 2 × 2 – y)= (2 – x, 4 – y)Diperoleh:x′ = 2 – x ⇔ x = 2 – x′ . . . (1)y′ = 4 – y ⇔ y = 4 – y′ . . . (2)Substitusikan x = 2 – x′ dan y = 4 – y′ kepersamaan garis g ≡ x + y = 1.x + y = 1⇔ (2 – x′) + (4 – y′) = 1⇔ 6 – x′ – y′ = 1⇔ x′ + y′ = 5⇔ x + y = 5Jadi, bayangan garis g oleh pencerminanterhadap titik A(1, 2) adalah x + y = 5.

b. (x, y) (x, x 1)M +→ (x′, y′) = (2x – x, 2(x + 1) – y)Diperoleh:x ′ = 2x – x

= xy ′ = 2(x + 1) – y

⇔ y ′ = 2x + 2 – y⇔ y = 2x + 2 – y′⇔ y = 2x′ + 2 – y′Substitusikan x = x′ dan y = 2x′ + 2 – y′ kepersamaan x + y = 1.

x + y = 1⇔ x′ + (2x′ + 2 – y′) = 1⇔ 3x′ + 2 – y′ = 1⇔ 3x′ – y′ + 1 = 0⇔ 3x – y + 1 = 0Jadi, persamaan bayangan adalah 3x – y + 1= 0.


7. Diketahui titik D(–14, 1) sehingga diperoleh:x ′ = x cos α – y sin α

= (–14) · cos (60°) – 1 · sin (60°)

= (–14) · 12 – 1 ·

12

3

= –7 – 12

3

y ′ = x sin α + y cos α= (–14) · sin (60°) + 1 · cos (60°)

= (–14) · 12

3 + 1 · 12

= –7 3 + 12

Jadi, bayangan titik D adalah D′(–7 – 12

3 ,

–7 3 + 12 ).

8. Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25.(x, y) R[O(0, 0), 90 ]°→ (x′, y′) = (–y, x)Diperoleh:x′ = –y ⇔ y = –x′y′ = xSubstitusikan y = –x′ dan x = y′ ke persamaan(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25.

(x + 1)2 + (y + 3)2 = 25⇔ (y′ + 1)2 + ((–x′) + 3)2 = 25⇔ (y′ + 1)2 + (–(x′ – 3))2 = 25⇔ (y′ + 1)2 + (x′ – 3)2 = 25⇔ (y + 1)2 + (x – 3)2 = 25⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25Jadi, persamaan bayangan lingkaran tersebutadalah (x – 3)2 + (y + 1)2 = 25.

9. a. x ′ = kx – ka + a

= 13 · 6 –

13 · (–12) + (–12)

= 2 + 4 – 12 = –6y ′ = ky – kb + b

= 13 · (–15) –

13 · 3 + 3

= –5 – 1 + 3 = –3Jadi, bayangannya adalah A′(–6, –3).

b. x ′ = kx – ka + a= 2 · 6 – 2 · 6 + 6= 12 – 12 + 6 = 6

y ′ = ky – kb + b= 2 · (–15) – 2 · 7 + 7= –30 – 14 + 7 = –37

Jadi, bayangannya adalah A′(6, –37).

10. a. Ambil titik (x, y) yang terletak pada lingkaran(x + 3)2 + (y + 7)2 = 16.Bayangan titik (x, y) oleh dilatasi dengan pusatO(0, 0) dan faktor skala 4 sebagai berikut.x ′ = kx = 4xy ′ = ky = 4y

Diperoleh x = x4′ dan y =

y4′.

Substitusikan x = x4′ dan y =

y4′ ke persama-

an (x + 3)2 + (y + 7)2 = 16.(x + 3)2 + (y + 7)2 = 16

⇔2x

43′

+ +

2y4

7′

+ = 16

⇔2x 12

4′ +

+

2y 284

′ +

= 16

⇔2(x 12)

16′ + +

2(y 28)16

′ + = 16

⇔ (x′ + 12)2 + (y′ + 28)2 = 256⇔ (x + 12)2 + (y + 28)2 = 256Jadi, persamaan bayangannya adalah(x + 12)2 + (y + 28)2 = 256.

b. Diketahui jari-jari bayangan lingkaran = 256= 16 sehingga luasnya:L = π r2

= 3,14 · 256= 803,84

Jadi, luas bayangan lingkaran tersebut803,84 satuan luas.


Turunan Fungsi

• Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, serta memiliki rasa percaya diri dalammenyelesaikan masalah.

• Berperilaku jujur dan bertanggung jawab dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial.• Menggunakan konsep turunan fungsi untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal.• Menggunakan konsep turunan fungsi untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi.• Menentukan biaya minimum produksi.• Menentukan luas atau volume maksimum suatu bangun.

• Menjelaskan konsep turunan fungsi.• Menjelaskan aturan turunan fungsi aljabar dari aturan

limit fungsi.• Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi.• Menjelaskan aturan rantai.• Berdiskusi menentukan turunan fungsi dengan aturan

rantai.

Turunan Fungsi Aljabar

Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:1. mendeskripsikan konsep turunan dengan menggunakan konteks matematika;2. menjelaskan aturan dan sifat turunan fungsi aljabar dari aturan dan sifat limit fungsi;3. menjelaskan gradien garis singgung, persamaan garis singgung, dan garis normal;4. menjelaskan fungsi naik dan fungsi turun;5. menjelaskan titik stasioner (titik maksimum, titik minimum, dan titik belok);6. menerapkan permasalahan yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik:1. menampilkan sikap rasa ingin tahu dan kritis dalam mempelajari turunan fungsi;2. berperilaku disiplin dan bertanggung jawab menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.

Penggunaan Turunan Fungsi

• Menjelaskan gradien garis singgung.• Menjelaskan persamaan garis singgung dan garis

normal.• Menjelaskan fungsi naik dan fungsi turun.• Menjelaskan titik stasioner.• Menjelaskan nilai maksimum dan minimum.• Berdiskusi menentukan persamaan garis singgung

dan garis normal.

92 Turunan Fungsi


f(x) = 5x3 – 3x2 – 5x + 3f′(x) = 5 · 3x2 – 3 · 2x – 5

= 15x2 – 6x – 5Substitusikan x = 2 ke dalam f′(x).f′(x) = 15x2 – 6x – 5⇔ f′(2) = 15 · 22 – 6 · 2 – 5

= 60 – 12 – 5= 43

Jadi, nilai f′(2) = 43.

2. Jawaban: d

Misalkan: u = 2x – 5 maka u′ = 2

v = 3x – 4 maka v′ = 3

Turunan f(x) = uv adalah:

f′(x) = 2vu uv

v′ ′−

= 2(3x 4) · 2 (2x 5) · 3

(3x 4)− − −

−

= 2

6x 8 6x 15(3x 4)− − +

−

= 27

(3x 4)−

Nilai f′(1) = 27

(3 · 1 4)− = 71 = 7.

3. Jawaban: dy = 2x3 – 4x2 + 2y ′ = 2 · 3x2 – 4 · 2x = 6x2 – 8x

4. Jawaban: cf(x) = (3x2 – 7)4

Misalkan: u = 3x2 – 7 maka f(x) = u4

dudx = u′ = 6x dan

df(x)du = 4u3

f′(x) = df(x)dx

= df(x)du ·

dudx

= 4u3 · 6x= 24x(3x2 – 7)3

5. Jawaban: eMisalkan: u = 2x2 – 3x + 1 maka f(x) = u4

dudx = 4x – 3 dan

df(x)du = 4u3

f′(x) = df(x)dx

= df(x)du ·

dudx

= 4u3 · (4x – 3)= 4(2x2 – 3x + 1)3(4x – 3)= 4(4x – 3)(2x2 – 3x + 1)3

= (16x – 12)(2x2 – 3x + 1)3

6. Jawaban: dMisalkan: u = 2x – 1 maka u′ = 2

v = (1 – 4x)5 maka v′ = 5 · (1 – 4x)4 · (–4)= –20(1 – 4x)4

h′(x) = vu′ + uv′= (1 – 4x)5 · 2 + (2x – 1) · (–20(1 – 4x)4)= 2(1 – 4x)4((1 – 4x) – 10(2x – 1))= 2(1 – 4x)4(11 – 24x)= (22 – 48x)(1 – 4x)4

Jadi, turunan pertama fungsi h(x) adalah h′(x)= (22 – 48x)(1 – 4x)4.

7. Jawaban: c

f(x) = x + x = x 21

+ x

f′(x) = 12 x– 2

1

+ 1 = 12 x

+ 1

f′(4) = 12 4

+ 1 = 14 + 1 =

54

8. Jawaban: a

f(x) = 3 23 (2x 3x 3)+ + = (2x3 + 3x + 3)23

Misalkan: u = 2x3 + 3x + 3 maka f(u) = u23 .

f′(x) = df(x)dx

= df(x)du ·

dudx

= 23 u– 1

3 · (6x + 3)

= 13

2(2x 1)

u

+

= 133

2(2x 1)

(2x 3x 3)

+

+ +

= 33

2(2x 1)

(2x 3x 3)

+

+ +


f′(1) = 33

2(2 · 1 1)

2 · 1 3 · 1 3

+

+ +

= 2 · 3

2

= 3

Jadi, nilai f′(1) = 3.

9. Jawaban: eMisalkan: a = x + 1 ⇔ x = a – 1f(x + 1) = 3x2 + 5x + 7⇔ f(a) = 3(a – 1)2 + 5(a – 1) + 7

= 3(a2 – 2a + 1) + 5a – 5 + 7= 3a2 – 6a + 3 + 5a + 2= 3a2 – a + 5

f′(a) = 6a – 1f′(x – 1) = –x2

⇔ 6(x – 1) – 1 = –x2

⇔ 6x – 6 – 1 = –x2

⇔ x2 + 6x – 7 = 0⇔ (x + 7)(x – 1) = 0⇔ x + 7 = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = –7 atau x = 1Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 dan –7.

10. Jawaban: af′(x) = 3px2 – 2xf′′(x) = 6px – 2f′′(1) = 10 ⇔ 6p · 1 – 2 = 10

⇔ 6p = 12⇔ p = 2

Diperoleh f′(x) = 3 · 2x2 – 2x = 6x2 – 2x.f′(–1) = 6 · (–1)2 – 2 · (–1)

= 6 + 2= 8

Jadi, nilai f′(–1) = 8.

11. Jawaban: cf(x) = ax2 – (a + 1)x + 8f′(x) = 2ax – (a + 1)f′(a) = 14 ⇔ 2a · a – (a + 1) = 14

⇔ 2a2 – a – 1 = 14⇔ 2a2 – a – 15 = 0⇔ (2a + 5)(a – 3) = 0⇔ 2a + 5 = 0 atau a – 3 = 0

⇔ a = –52 atau a = 3

Oleh karena a > 0 maka a = 3.Jadi, nilai a = 3.

12. Jawaban: cf′(x) = 4x2 + 18x – 11

f′(a) = –1⇔ 4a2 + 18a – 11 = –1⇔ 4a2 + 18a – 10 = 0

⇔ (4a – 2)(a + 5) = 0⇔ 4a – 2 = 0 atau a + 5 = 0

⇔ a = 12 atau a = –5

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –5 atau 12 .

13. Jawaban: af(x) = 2x3 + nx2 + 4x + 3f′(x) = 6x2 + 2nx + 4f′′(x) = 12x + 2nf′′(–1) = –22 ⇔ 12 · (–1) + 2n = –22

⇔ 2n = –10⇔ n = –5

14. Jawaban: eCara 1:

Misalkan: a = 3 – 2x ⇔ x = 3 a

2−−−−

f(3 – 2x) = (1 + 3x)4

⇔ f(a) = (1 + 3(3 a

2−−−− ))4

= (2 9 3a

2+ −

)4

= (11 3a

2−−−− )4

f′(a) = 4 · (11 3a

2−−−− )3 · (–

32 )

= –6 · (11 3a

2−−−− )3

Substitusikan a = 3 ke dalam f′(a).

f′(3) = –6 · (11 3 · 3

2−−−− )3

= –6 · (11 9

2−−−− )3

= –6 · (1)3

= –6Cara 2:Misalkan: u = 3 – 2x, v = (1 + 3x)4, dan w = 1 + 3xmaka f(u) = v(w) dan v = w4.Jika kedua ruas persamaan f(u) = v(w) diturunkan,diperoleh:

f′(u) · u′ = v′(w) · w′⇔ f′(3 – 2x) · (–2) = 4w3 · 3⇔ f′(3 – 2x) = –6w3

⇔ f′(3 – 2x) = –6(1 + 3x)3

f′(3) = f′(3 – 2 · 0)= –6(1 + 3 · 0)3

= –6 · 1= –6

Jadi, nilai f′(3) = –6.

94 Turunan Fungsi

15. Jawaban: aMisalkan: u = 2x – 1 maka u′ = 2

v = x 1+ maka v′ = 1

2 x 1+

Turunan f(x) = uv adalah

f′(x) = 2vu uv

v′ ′−

= 1

2 x 12

x 1 · 2 (2x 1) ·

( x 1)+

+ − −

+

= 4(x 1) (2x 1)

2(x 1) x 1

+ − −+ +

= 3

4x 4 2x 1

2 (x 1)

+ − +

+

= 3

2x 5

2 (x 1)

+

+

f′(x – 1) = 3

2(x 1) 5

2 ((x 1) 1)

− +

− +

= 3

2x 2 5

2 x

− +

= 3

2x 3

2 x

+

16. Jawaban: bh(x) = (g f)(x)

= g(f(x))= g(2x2 + 4x)

= 22x 4x 3+ −

= (2x2 + 4x – 3) 21

Misalkan: u = 2x2 + 4x – 3 maka h(x) = u 21 .

h′(x) = dh(x)

dx

= dh(x)

du · dudx

= 12 u– 2

1 · (4x + 4)

= 12

2x 2

u

+

= 2

2x 2

2x 4x 3

+

+ −

Jadi, h′(x) = 2

2x 2

2x 4x 3

+

+ −.

17. Jawaban: a

Misalkan: h(x) = f(x)g(x) = 2x – x2

h(1) = f(1)g(1) = 2 · 1 – 12

⇔ f(1)2 = 1

⇔ f(1) = 2g′(1) = f′(1) = f(1) = 2Jadi, nilai g′(1) = 2.

18. Jawaban: d

t = x 1− ⇔ t2 = x – 1⇔ x = t2 + 1

dydt =

dydx ·

dxdt

= 1

2 x · 2t

= 2

t

t 1+

19. Jawaban: d

x = t + 1 ⇔ t = x – 1⇔ t = (x – 1)2

⇔ dtdx = 2(x – 1)

dydx =

dydt ·

dtdx

= (3t2 – 4t) · 2(x – 1)= (3(x – 1)4 – 4(x – 1)2) · 2(x – 1)= 2(x – 1)(x – 1)2(3(x – 1)2 – 4)= 2(x – 1)3(3(x2 – 2x + 1) – 4)= 2(x – 1)3(3x2 – 6x + 3 – 4)= 2(x – 1)3(3x2 – 6x – 1)= (x – 1)3(6x2 – 12x – 2)

20. Jawaban: c

g(x) = x x 1− + = 1 12 2(x (x 1) )− +

Misalkan: u = x – 12(x 1)+ maka g(x) =

12u .

dudx = 1 –

12

12(x 1)

−+ · 1

= 1 – 1

2 x 1++++

= 2 x 1 1

2 x 1+ −

++++


dg(x)dx =

dg(x)du ·

dudx =

12

12u

− ·

2 x 1 12 x 1

+ −++++

= 1

2 x x 1− + · 2 x 1 1

2 x 1+ −

++++

= 2 x 1 1

4 (x 1)(x x 1)

+ −

+ − +

Nilai turunan g(x) di x = 3 adalah

dg(3)dx

= 2 3 1 1

4 (3 1)(3 3 1)

+ −

+ − +

= 2 2 14 4(3 2)

⋅ −−−−−

= 34 4

= 34 2⋅⋅⋅⋅

= 38

B. Uraian1. f(t) = t3 – at2 + b

f′(t) = 3t2 – 2atf′(2) = –4

⇔ 3 · 22 – 2a · 2 = –4⇔ 12 – 4a = –4⇔ –4a = –16⇔ a = 4

f(1) = 2⇔ 13 – a · 12 + b = 2⇔ 1 – 4 · 1 + b = 2⇔ –3 + b = 2⇔ b = 5Nilai a + b = 4 + 5 = 9.Jadi, nilai a + b = 9.

2. f(x) = ax3 – 5x2 + (a + b)x – 4f′(x) = 3ax2 – 5 · 2x + (a + b)

= 3ax2 – 10x + a + bf′′(x) = 3a · 2x – 10f′′(a) = 14 ⇔ 3a · 2a – 10 = 14

⇔ 6a2 = 24⇔ a2 = 4

⇔ a = ± 4⇔ a = ± 2

Oleh karena a < 0 maka a = –2.f′(b) = 1 ⇔ 3ab2 – 10b + a + b = 1

⇔ 3 · (–2)b2 – 10b – 2 + b = 1⇔ –6b2 – 9b – 3 = 0⇔ 3(2b2 + 3b + 1) = 0⇔ (2b + 1)(b + 1) = 0⇔ 2b + 1 = 0 atau b + 1 = 0⇔ 2b = –1 atau b = –1

⇔ b = –12 atau b = –1

Oleh karena b bilangan bulat maka b = –1.Nilai a + b = –2 + (–1) = –3.Jadi, nilai a + b = –3.

3. g(x) = x x 1+ = 2x (x 1)+ = (x3 + x2)12

Misalkan: u = x3 + x2 maka g(x) = u12 .

dg(x)dx =

dg(x)du ·

dudx

= 12 u– 1

2 · (3x2 + 2x)

= x(3x 2)

2 u

+

= 3 2

x(3x 2)

2 x x

+

+

= 2

x(3x 2)

2 x (x 1)

+

+

= x(3x 2)

2x x 1

++

= 3x 2

2 x 1

++

ddx g(a + 1) = a 2+

⇔ 3(a 1) 2

2 a 1 1

+ ++ +

= a 2+

⇔ 3a + 3 + 2 = 2 a 2+ · a 2+⇔ 3a + 5 = 2(a + 2)⇔ 3a + 5 = 2a + 4⇔ a = –1Jadi, nilai a = –1.

4. y = 3t2 maka dydt = 6t

x = 2t2 + t – 1 maka dxdt = 4t + 1 ⇔

dtdx =

14t 1++++

dydx =

dydt ·

dtdx

= 6t · 1

4t 1++++

= 6t

4t 1++++

Substitusikan x = 2 ke dalam x = 2t2 + t – 1diperoleh:

2 = 2t2 + t – 1⇔ 2t2 + t – 3 = 0⇔ (2t + 3)(t – 1) = 0⇔ 2t + 3 = 0 atau t – 1 = 0

⇔ t = –32 atau t = 1

96 Turunan Fungsi

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: bPersamaan gradien garis singgung kurva:f′(x) = 2x + 1Kurva f(x) = x2 + x – 20 menyinggung garis dititik A(3, –8) maka gradien garis adalah m = f′(xA).m = f′(xA) = f′(3)

= 2 · 3 + 1= 7

Jadi, gradien garis adalah 7.

2. Jawaban: aKurva f(x) = 3x2 + 2x – 1 melalui titik P(a, 4) makaf(a) = 4.

f(a) = 3a2 + 2a – 1⇔ 4 = 3a2 + 2a – 1⇔ 3a2 + 2a – 5 = 0⇔ (3a + 5)(a – 1) = 0⇔ 3a + 5 = 0 atau a – 1 = 0

⇔ a = –53 atau a = 1

Oleh karena a < 0 maka a = –53 sehingga koordinat

titik P(–53 , 4).

Persamaan gradien kurva:m = f′(x) = 6x + 2

Gradien garis singgung kurva di titik P(–53 , 4):

m = f′(xP) = f′(– 53 ) = 6 · (–

53 ) + 2 = –8

Jadi, gradien garis singgung kurva di titik P(–53 , 4)

adalah –8.

3. Jawaban: dPersamaan gradien garis singgung kurva:m = y′ = 2x – 4Gradien garis singgung kurva di titik (1, –8):m = y′(1) = 2 · 1 – 4 = –2Persamaan garis singgung melalui titik (1, –8) danbergradien m = –2 sebagai berikut.

y + 8 = –2(x – 1)⇔ y = –2x + 2 – 8⇔ y = –2x – 6Jadi, persamaan garis singgung kurva yang melaluititik (1, –8) adalah y = –2x – 6.

4. Jawaban: dGradien garis yang sejajar garis y + 2x = 5 adalahm = –2.

Oleh karena t > 0 maka t = 1.

Substitusikan t = 1 ke dalam dydx =

6t4t 1++++ diperoleh:

dydx = 6 1

4 1 1⋅⋅⋅⋅

⋅ + = 6

5

Jadi, nilai dydx di x = 2 adalah 6

5.

5. Misalkan: u = at2 dan v = bt – 3 maka f(t) = uv .

f′(t) = 2vu uv

v′ ′−

= 2

2(bt 3) · 2at at · b

(bt 3)− −

−

= 2 2

22abt 6at abt

(bt 3)− −

−

= 2

2abt 6at(bt 3)

−−

f(1) = –1 ⇔2a · 1

b · 1 3− = –1

⇔ a = 3 – b

f′(1) = –4 ⇔2

2ab ·1 6a ·1

(b ·1 3)−− = –4

⇔ ab – 6a = –4(b – 3)2

⇔ (3 – b)b – 6(3 – b) = –4(b2 – 6b + 9)⇔ 3b – b2 – 18 + 6b = –4b2 + 24b – 36⇔ 3b2 – 15b + 18 = 0⇔ 3(b2 – 5b + 6) = 0⇔ 3(b – 3)(b – 2) = 0⇔ b – 3 = 0 atau b – 2 = 0⇔ b = 3 atau b = 2

Oleh karena b ≠ 3 maka b = 2.Dengan demikian, diperoleh:a = 3 – b = 3 – 2 = 1

f′(t) = 2

21· 2 · t 6 · 1· t

(2t 3)−

− = 2

22t 6t(2t 3)

−−

(f′ f)(1) = f′(f(1)) = f′(–1)

= 2

22 · ( 1) 6 · ( 1)

(2 · ( 1) 3)− − −

− −

= 22 · 1 6

( 2 3)+

− − = 28

( 5)− = 8

25

Jadi, nilai (f′ f)(1) = 8

25 .


Garis g sejajar garis y + 2x = 5 dan menyinggungkurva f(x) = 2x2 – 6x + 1 maka gradien garis g:

mg = f′(x) = –2⇔ 4x – 6 = –2⇔ 4x = 8⇔ x = 2Diperoleh absis titik P, xp = 2.Ordinat titik P:yp = f(2)

= 2 · 22 – 6 · 2 + 1= 8 – 12 + 1= –3

Jadi, koordinat titik P(2, –3).

5. Jawaban: bPersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 6x – aGaris y = (a + 2)x – 2b mempunyai gradienm = a + 2.Oleh karena garis y = (a + 2)x – 2b menyinggungkurva di titik (1, a) maka m = f′(1).

m = f′(1)⇔ a + 2 = 6 · 1 – a⇔ 2a = 4⇔ a = 2Jadi, nilai a = 2.

6. Jawaban: bPersamaan parabola: y = f(x) = 4x – x2.Turunan pertamanya: y′ = f′(x) = 4 – 2x.Gradien garis singgung parabola di titik M(1, 3)adalah m = y′ = f′(xM) = f′(1).m = f′(1) = 4 – 2 · 1 = 2Persamaan garis singgung parabolay = 4x – x2 di titik M(1, 3) sebagai berikut.

y – yM = m(x – xM)⇔ y – 3 = 2(x – 1)⇔ y = 2x – 2 + 3⇔ y = 2x + 1Substitusikan y = 2x + 1 ke dalam y = x2 – 6x + kdiperoleh persamaan kuadrat sebagai berikut.

2x + 1 = x2 – 6x + k⇔ x2 – 8x + (k – 1) = 0Garis menyinggung parabola maka nilaidiskriminan (D = b2 – 4ac) persamaan kuadratsama dengan nol.Persamaan kuadrat x2 – 8x + (k – 1) = 0 mem-punyai nilai a = 1, b = –8, dan c = k – 1.D = 0 ⇔ b2 – 4ac = 0

⇔ (–8)2 – 4 · 1 · (k – 1) = 0⇔ 64 – 4k + 4 = 0⇔ 4k = 68⇔ k = 17

Nilai 5 – k 1− = 5 – 17 1−

= 5 – 16= 5 – 4 = 1

7. Jawaban: ePersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 3 – 2xGradien garis singgung di x = 3 adalah m = f′(3) =3 – 2 · 3 = –3.

Gradien garis normal di x = 3 adalah mn = –1m =

13 .

Ordinat titik singgung sebagai berikut.y = f(3) = 1 + 3 · 3 – 32 = 1Dengan demikian, diperoleh titik singgung (3, 1).

Persamaan garis normal di titik (3, 1) sebagaiberikut.

y – 1 = mn(x – 3)

⇔ y – 1 = 13 (x – 3)

⇔ 3y – 3 = x – 3

⇔ 3y – x = 0Jadi, persamaan garis normal kurva f(x) = 1 + 3x – x2

di x = 3 adalah 3y – x = 0.

8. Jawaban: dPersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 3x2 – 4x – 2.Gradien garis singgung kurva di titik T(2, 2):m = f′(xT) = f′(2) = 3 · 22 – 4 · 2 – 2 = 2Garis normal y = ax + b mempunyai gradienmn = a.

mn = –1

f (2)′ ⇔ a = –12

Persamaan garis normal menjadi y = –12 x + b.

Garis normal melalui titik T(2, 2) diperoleh:

2 = –12 · 2 + b ⇔ 2 = –1 + b

⇔ b = 3

Nilai a + b = –12 + 3 = 2

12 .

Jadi, nilai a + b = 212 .

9. Jawaban: dFungsi f(x) turun jika f′(x) < 0.⇔ 3x2 – 6x – 9 < 0⇔ 3(x2 – 2x – 3) < 0⇔ (x – 3)(x + 1) < 0Diagram tanda f′(x) sebagai berikut.

+ + + – – – + + +

–1 3

Dari diagram tanda di atas kelihatan bahwa grafikfungsi f(x) turun pada interval –1 < x < 3.Jadi, grafik fungsi f(x) turun pada interval –1 < x < 3.

▲ ▲

▲

98 Turunan Fungsi

10. Jawaban: dFungsi f(x) monoton turun maka f′(x) tidak positif(definit negatif).Grafik definit negatif di bawah sumbu X.Fungsi f(x) stasioner untuk x = 6 maka f′(6) = 0(menyinggung sumbu X).Jadi, grafik yang benar pilihan d.

11. Jawaban: e

f(x) = 23 x3 –

12 x2 – 3x +

16

g(x) = f(1 – x) = 23 (1 – x)3 –

12 (1 – x)2 – 3(1 – x) +

16

g′(x) = 23 · 3(1 – x)2(–1) +

12 · 2(1 – x) + 3

= –2(1 – x)2 + (1 – x) + 3

Fungsi g(x) naik jika g′(x) > 0.Misalkan: p = 1 – x, diperoleh:

–2p2 + p + 3 > 0⇔ 2p2 – p – 3 < 0⇔ (2p – 3)(p + 1) < 0

⇔ –1 < p < 32

⇔ –1 < 1 – x < 32

⇔ –2 < – x < 12

⇔ –12 < x < 2

12. Jawaban: bf(x) = g(2x – 1)

= 13 (2x – 1)3 – A2(2x – 1) + 1

f′(x) = 13 · 3(2x – 1)2 · 2 – 2A2

= 2(2x – 1)2 – 2A2

Substitusikan x = 1 ke dalam f′(x) = 0.2(2x – 1)2 – 2A2 = 0

⇔ 2(2 · 0 – 1)2 – 2A2 = 0⇔ 2(1)2 – 2A2 = 0⇔ A2 = 1Substitusikan A2 = 1 ke dalam g(x).

g(x) = 13 x3 – A2x + 1

⇔ g(x) = 13 x3 – x + 1

Nilai stasioner g(x) dicapai pada saat g′(x) = 0.

g′(x) = 13 · 3x2 – 1 = 0

⇔ x2 – 1 = 0⇔ (x – 1)(x + 1) = 0⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 1 atau x = –1

Nilai maksimum fungsi dapat ditentukan denganmenggunakan turunan kedua.g′′(x) = 2xUntuk x = 1 maka g′′(1) = 2 > 0 (minimum)Untuk x = –1 maka g′′(–1) = –2 < 0 (maksimum)Nilai maksimum g(x) dicapai pada saat x = –1,diperoleh:

g(–1) = 13 · (–1)3 – (–1) + 1

= –13 + 2

= 53

Jadi, nilai maksimum g(x) adalah 53 .

13. Jawaban: bFungsi f(x) = ax3 + bx2 + 12x + 1 naik padainterval –1 < x < 2 maka f(x) stasioner di x = –1dan x = 2.f(x) stasioner di x = –1 dan x = 2 maka f′(–1) = 0dan f′(2) = 0.f′(x) = 3ax2 + 2bx + 12f′(–1) = 0 ⇔ 3a · (–1)2 + 2b · (–1) + 12 = 0

⇔ 3a – 2b = –12⇔ 3a = 2b – 12

f′(2) = 0 ⇔ 3a · 22 + 2b · 2 + 12 = 0⇔ 12a + 4b + 12 = 0⇔ 3a + b = –3⇔ 2b – 12 + b = –3⇔ 3b = 9⇔ b = 3

Dengan demikian, diperoleh nilai a sebagai berikut.3a = 2b – 12 ⇔ 3a = 2 · 3 – 12

⇔ 3a = –6⇔ a = –2

Persamaan fungsi menjadi f(x) = –2x3 + 3x2 + 12x + 1.f(–1) = –2 · (–1)3 + 3 · (–1)2 + 12 · (–1) + 1

= 2 + 3 – 12 + 1 = –6f(2) = –2 · 23 + 3 · 22 + 12 · 2 + 1

= –16 + 12 + 24 + 1 = 21Oleh karena f(–1) < f(2), nilai maksimum fungsif(x) adalah f(2) = 21.Jadi, nilai maksimum fungsi f(x) adalah 21.

14. Jawaban: cFungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0 f′(x) = 6x2 – 12x = 0⇔ 6x(x – 2) = 0⇔ x = 0 atau x = 2Untuk x = 0 maka f(0)= 2 · 03 – 6 · 02 + 3

= 3 (maksimum)Untuk x = 2 maka f(2) = 2 · 23 – 6 · 22 + 3

= –5 (minimum)

Jadi, titik balik minimum fungsi (2, –5).


15. Jawaban: bFungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0.

f′(x) = 6x2 – 18x – 24 = 0⇔ 6(x2 – 3x – 4) = 0⇔ (x – 4)(x + 1) = 0⇔ x – 4 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 4 atau x = –1Untuk x = 4 tidak masuk dalam interval –2 ≤ x ≤ 2.Nilai f(x) di x = –1 sebagai berikut.f(–1) = 2 · (–1)3 – 9 · (–1)2 – 24 · (–1) + 10

= –2 – 9 + 24 + 10= 23

Nilai f(x) di ujung-ujung interval –2 ≤ x ≤ 2 sebagaiberikut.f(–2) = 2 · (–2)3 – 9 · (–2)2 – 24 · (–2) + 10

= –16 – 36 + 48 + 10 = 6f(2) = 2 · 23 – 9 · 22 – 24 · 2 + 10

= 16 – 36 – 48 + 10 = –58Fungsi f(x) pada interval –2 ≤ x ≤ 2 mempunyainilai terendah –58.Jadi, pada interval –2 ≤ x ≤ 2 fungsi f(x) =2x3– 9x2 – 24x + 10 mempunyai nilai minimum–58.

16. Jawaban: bLuas sisi-sisi balok = 2x2 + 4xt = 96⇔ 4xt = 96 – 2x2

⇔ t = 296 2x

4x−

⇔ t = 24x –

12 x

Volume balok:V = x2t

= x2(24x –

12 x)

= 24x – 12 x3

Fungsi V mencapai

stasioner jika dVdx = 0.

dVdx = 24 –

32 x2 = 0

⇔ 32 x2 = 24

⇔ x2 = 16⇔ x = ±4

Diagram tanda dVdx sebagai berikut.

Dari diagram tersebut tampak bahwa fungsi Vmencapai maksimum di x = 4.Volume balok terbesar adalah V(4).

V(4) = 24 · 4 – 12 · 43

= 96 – 32 = 64 cm3

Jadi, volume balok terbesar 64 cm3.

17. Jawaban: dBiaya proyek per hari:

b(p) = (4p + 100

p – 40) juta rupiah

Biaya proyek p hari:B(p) = p · B(p)

= p(4p + 100

p – 40)= 4p2 + 100 – 40p= 4p2 – 40p + 100

Biaya proyek akan minimum jika B′(p) = 0.B′(p) = 8p – 40= 0⇔ 8p = 40⇔ p = 5Diagram tanda B′(p) sebagai berikut.

Dari diagram tanda B′(p) di atas tampak bahwafungsi B(p) mencapai minimum di p = 5.Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalamwaktu 5 hari agar biaya proyek tersebut minimum.

18. Jawaban: cBiaya setiap pasang sandal:

B(x) = (2x – 60 + 600

x ) ribu

Biaya total:T(x) = x · B(x)

= x · (2x – 60 + 600

x ) ribu

= (2x2 – 60x + 600) ribuBiaya produksi minimum terjadi pada saatT′(x) = 0.

T′(x) = 0⇔ 2 · 2x – 60 = 0⇔ 4x – 60 = 0⇔ x = 15Biaya produksi minimum:

T(x) = (2x2 – 60x + 600) ribu⇔ T(15) = (2 · 152 – 60 · 15 + 600) · 1.000

= (2 · 225 – 900 + 600) · 1.000= (450 – 900 + 600) · 1.000= 150.000

Jadi, biaya produksi total minimum per jam sebesarRp150.000,00.

��

–4 4↑

Minimum ↑Maksimum

dVdx

xx

t

��

5

100 Turunan Fungsi

–1 1

+ – – +

3

19. Jawaban: bBiaya produksi:B(x) = (2x2 – 180x + 2.500) ribu rupiahBiaya produksi akan minimum jika B′(x) = 0.

B′(x) = 4x – 180⇔ 0 = 4x – 180⇔ 4x = 180⇔ x = 45Diagram tanda B′(x) sebagai berikut.

Dari diagram tanda B′(x) di atas tampak bahwafungsi B(x) mencapai minimum di x = 45.Jadi, biaya produksi akan minimum jika diproduksi45 unit barang.

20. Jawaban: aUkuran kotak yang terbentuk sebagai berikut.

Volume kotak:V = (30 – 2x)2 · x

= (900 – 120x + 4x2) x= 900x – 120x2 + 4x3

Fungsi V mencapai stasioner jika dVdx = 0.

dVdx = 900 – 240x + 12x2 = 0

⇔ 12(x2 – 20x + 75) = 0⇔ (x – 15)(x – 5) = 0⇔ x – 15= 0 atau x – 5 = 0⇔ x = 15 atau x = 5

Diagram tanda dVdx sebagai berikut.

Dari diagram tersebut tampak bahwa fungsi V men-capai maksimum di x = 5. Dengan demikian,volume kotak terbesar diperoleh jika x = 5.Volume kotak terbesar:V = (30 – 2 · 5)2 · 5 = (30 – 10)2 · 5

= 202 · 5 = 400 · 5 = 2.000 cm3

B. Uraian1. a. f(x) = (2x – 1)2 – (2x – 3)

= 4x2 – 4x + 1 – 2x + 3= 4x2 – 6x + 4

Kurva f(x) memotong sumbu Y jika x = 0maka:f(0) = 4 · 02 – 6 · 0 + 4 = 4Kurva memotong sumbu Y di titik T(0, 4).Gradien kurva di titik T(0, 4) adalah m = f′(0).f′(x) = 8x – 6m = f′(0) = 8 · 0 – 6 = –6Jadi, gradien garis singgung kurva di titik Tadalah –6.

b. Persamaan garis singgung di titik T(0, 4)dengan gradien m = –4 sebagai berikut.

y – yT = m(x – xT)⇔ y – 4 = –6(x – 0)⇔ y – 4 = –6x⇔ y = –6x + 4Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik Tadalah y = –6x + 4.

2. Fungsi f(x) naik pada saat f′(x) > 0.

f(x) = 2x 3x 1

++++−−−−

Misalkan: u = x2 + 3 maka u′ = 2xv = x – 1 maka v′ = 1

Turunan f(x) = uv adalah

f′(x) = 2vu uv

v′ ′−

= 2

2(x 1)(2x) (x 3)(1)

(x 1)− − +

−−−−

= 2 2

2(2x 2x) (x 3)

(x 1)− − +

−−−−

= 2

2x 2x 3

(x 1)− −

−−−− = 2(x 3)(x 1)

(x 1)− +

−−−−

Fungsi f(x) naik:

2(x 3)(x 1)

(x 1)− +

−−−− > 0

Pembuat titik nol:• x – 3 = 0 maka x = 3• x + 1 = 0 maka x = –1• x – 1 = 0 maka x = 1Penyelesaian:

⇔ –1 < x < 1 atau 1 < x < 3Dapat juga dinyatakan dengan:⇔ –1 < x < 3; x ≠ 1

��

45

x

(30 – 2x)

30 –

2x

5 15

+ + + – – – + + +▲

▲

▲


3. Fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 3 mencapai stasionerjika f′(x) = 0.

f′(x) = 3x2 + 12x – 15 = 0⇔ 3(x2 + 4x – 5) = 0⇔ (x + 5)(x – 1) = 0⇔ x + 5 = 0 atau x – 1 = 0⇔ x = –5 atau x = 1Diagram tanda fungsi f′(x) sebagai berikut.

Dari diagram tanda di atas terlihat fungsi f(x)mencapai maksimum di x = –5 dan minimum dix = 1 sehingga (–5, f(–5)) merupakan titik balikmaksimum dan (1, f(1)) merupakan titik balikminimum.f(–5) = (–5)3 + 6 · (–5)2 – 15 · (–5) + 3

= –125 + 150 + 75 + 3 = 103f(1) = 13 + 6 · 12 – 15 · 1 + 3

= 1 + 6 – 15 + 3 = –5Jadi, titik stasioner fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 3adalah (–5, 103) sebagai titik balik maksimum dan(1, –5) sebagai titik balik minimum.

4. Biaya proyek per hari:

b(x) = (x2 – 75x + 1.800 – 5.000x

) ratus ribu rupiahBiaya proyek x hari:B(x) = x · b(x)

= x(x2 – 75x + 1.800 – 5.000x

)

= (x3 – 75x2 + 1.800x – 5.000) ratus ribu rupiahB′(x) = 3x2 – 150x + 1.800Fungsi B(x) mencapai stasioner jika B′(x) = 0.

3x2 –150x + 1.800 = 0⇔ 3(x2 – 50x + 600) = 0⇔ x2 – 50x + 600 = 0⇔ (x – 30)(x – 20) = 0⇔ x – 30 = 0 atau x – 20 = 0⇔ x = 30 atau x = 20

Sketsa grafik B′(x):

Dari sketsa grafik B′(x) tampak bahwa fungsi B(x)mencapai minimum di x = 30.Jadi, proyek harus diselesaikan dalam waktu30 hari agar biaya proyek minimum.

5. Harga per unit barang:

H(x) = 16 + 2.000x

– x4

Pendapatan total:TR = x · H(x)

= x(16 + 2.000x

– x4

)

= 16x + 2.000 – 2x

4

Pendapatan akan maksimum jika dTRdx = 0.

dTRdx =16 –

x2 = 0

⇔ x2 = 16

⇔ x = 32Pendapatan maksimum perusahaan:

TR(32) = (16 · 32 + 2.000 – 232

4) · 100.000

= 2.256 · 100.000= 225.600.000

Jadi, pendapatan maksimum perusahaanRp225.600.000,00.

+ + + – – – + + +

–5 1

▲ ▲

▲

+ + + – – – + + +

20 30

▲ ▲

▲


x 0lim→→→→

f(a) f(a x)2x

− +=

12 ·

x 0lim→→→→

f(a) f(a x)x

− +

= 12 ·

x 0lim→→→→

(f(a x) f(a))x

− + −

= –12 ·

x 0lim→→→→

f(a x) f(a)x

+ −

= –12 · f′(a)

2. Jawaban: b

f(x) = 13 x3 + 3x2 + 4x + 5

f′(x) = 13 · 3x2 + 3 · 2x + 4

= x2 + 6x + 4

3. Jawaban: bf(x) = 2x3 + x2 – 10f′(x) = 2 · 3x2 + 2x

= 6x2 + 2x

102 Turunan Fungsi

Substitusikan x = 1 ke dalam f′(x).f′(x) = 6x2 + 2x

⇔ f′(1) = 6 · 12 + 2 · 1= 6 + 2= 8

4. Jawaban: bMisalkan: u = 20x – 2 dan v = 2x – 1 maka

f(x) = uv , diperoleh u′ = 20 dan v′ = 2.

f′(x) = 2vu uv

v′ ′−

= 2(2x 1) · 20 (20x 2) · 2

(2x 1)− − −

−

= 240x 20 40x 4

(2x 1)− − +

−

= – 216

(2x 1)−

f′(1) = – 216

(2 · 1 1)− = –

161 = –16

Jadi, nilai f′(1) = –16.

5. Jawaban: aMisalkan: u = 5x – 2x2 dan v = (3x – 1)3 makaf(x) = uv, diperoleh u′ = 5 – 4x.v′ = 3(3x – 1)2 · 3 = 9(3x – 1)2

f′(x) = vu′ + uv′= (3x – 1)3 · (5 – 4x) + (5x – 2x2) · 9(3x – 1)2

= (3x – 1)2((3x – 1)(5 – 4x) + 9(5x – 2x2))= (3x – 1)2(15x – 5 – 12x2 + 4x + 45x – 18x2)= (3x – 1)2(–30x2 + 64x – 5)= –(3x – 1)2(30x2 – 64x + 5)

6. Jawaban: efg

′

(x) = 2g(x)f (x) f(x)g (x)

(g(x))′ ′−

fg

′

(0)= 2g(0)f (0) f(0)g (0)

(g(0))′ ′−

= 24 ( 4) 2 2

( 4)− ⋅ − − ⋅

−

= 1216

= 34

7. Jawaban: dh′(x) = g(x)f′(x) + f(x)g′(x)

h′(x) – f′(x)g(x) – 5

= g(x)f′(x) + f(x)g′(x) – f′(x)g(x) – 5

= f(x)g′(x) – 5

= f(x)f(x) – 5

= f2(x) – 5

8. Jawaban: d

f(3x + 2) = x x +1 = 3 2x + x = 123 2(x x )+

Jika kedua ruas persamaan diturunkan diperoleh:

f′(3x + 2) · 3 = 123 21

2(x x )

−+ · (3x2 + 2x)

⇔ 3f′(3x + 2) = 2

3 2

3x 2x

2 x x

+

+

Ambil x = 2, diperoleh:

⇔ 3f′(8) = 2

3 2

3 2 2 2

2 2 2

⋅ + ⋅

+

⇔ 3f′(8) = 12 4

2 8 4++

⇔ 3f′(8) = 16

2 12

⇔ 3 · 3f′(8) = 3 82 3

⋅

⇔ 9f′(8) = 4 3

Jadi, nilai 9f′(8) = 4 3 .

9. Jawaban: c

y = (x + 1) x

= 2(x 1) x+

= 2(x 2x 1)x+ +

= (x3 + 2x2 + x)12

y′ = 0 ⇔ 12 (x3 + 2x2 + x)–

12 · (3x2 + 4x + 1) = 0

⇔ 12

2

3 2

3x 4x 1

2(x 2x x)−

+ +

+ += 0

⇔ 3x2 + 4x + 1 = 0⇔ (3x + 1)(x + 1) = 0⇔ 3x + 1= 0 atau x + 1 = 0

⇔ x = –13 atau x = –1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –13 dan –1.

10. Jawaban: eMisalkan: panjang rusuk kotak = s.Luas permukaan kotak = L = 6s2.

Panjang rusuk kotak bertambah dengan laju 0,02

mm/detik maka dsdt = 0,02 mm/detik.


Laju pertambahan luas permukaan kotak = dLdt .

dLdt =

dLds ·

dsdt

= 12s · 0,02= 0,24s

Laju pertambahan luas permukaan kotak pada saats = 3 cm = 30 mm sebagai berikut.dLdt = 0,24 · 30 = 7,2 mm2/detik

11. Jawaban: aVolume balon bertambah dengan laju 1,08π cm3/detik

maka dVdt = 1,08π cm3/detik.

Laju pertambahan panjang jari-jari balon = drdt .

Laju pertambahan volume balon = dVdt .

dVdt =

dVdr ·

drdt

⇔ 1,08π = 4πr2 · drdt

⇔ drdt = 2

0,27r

Pada saat r = 3 cm, nilai drdt = 2

0,273

= 0,03 cm/detikJadi, laju pertambahan panjang jari-jari balon padasaat r = 3 cm adalah 0,03 cm/detik.

12. Jawaban: bPersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 2ax – 3Garis g mempunyai gradien 5 dan menyinggungkurva f(x) di x = a maka f′(a) = 5.

f′(a) = 2a · a – 3⇔ 5 = 2a2 – 3⇔ 2a2 – 8 = 0⇔ 2(a2 – 4) = 0⇔ (a – 2)(a + 2) = 0⇔ a – 2 = 0 atau a + 2 = 0⇔ a = 2 atau a = –2Jadi, nilai a = 2 atau a = –2.

13. Jawaban: cf′(x) = 3ax2 + 2(a + 1)x – 3Gradien garis singgung kurva di x = –2 adalah 1maka f′(–2) = 1.

f′(–2) = 3a · (–2)2 + 2(a + 1) · (–2) – 3= 1⇔ 12a – 4a – 4 – 3 = 1⇔ 8a = 8⇔ a = 1Jadi, nilai a = 1.

14. Jawaban: a

Garis x + 5y = 2 mempunyai gradien m1 = –15 .

Persamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 4x – 3.Garis singgung kurva tegak lurus dengan garisx + 5y = 2, diperoleh:

m · m1 = –1 ⇔ (4x – 3) · (–15 ) = –1

⇔ 4x – 3 = 5⇔ 4x = 8⇔ x = 2

Diperoleh absis titik singgung x = 2.Ordinat titik singgung:f(2) = 2 · 22 – 3 · 2 + 1 = 3Diperoleh koordinat titik singgung (2, 3).Gradien garis singgung di x = 2 adalah m = f′(1) =4 · 2 – 3 = 5.Persamaan garis singgung di titik (2, 3) dan ber-gradien 5 sebagai berikut.

y – 3 = 5(x – 2)⇔ y – 3 = 5x – 10⇔ y = 5x – 7Jadi, persamaan garis singgungnya y = 5x – 7.

15. Jawaban: b

Garis x + 3y + 12 = 0 mempunyai gradien m1 = –13 .

Garis tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0,diperoleh:

m1 · m = –1 ⇔ – 13 · m = –1

⇔ m = 3Garis menyinggung kurva f(x) = x2 – x – 6 di titik Tmaka:f′(xT) = m ⇔ 2xT – 1 = 3

⇔ xT = 2Untuk x = 2 nilai f(xT = 2) = 22 – 2 – 6 = –4.Jadi, ordinat titik T adalah –4.

16. Jawaban: aPersamaan gradien garis singgung kurva:f′(x) = 3x2 + 2bxTitik singgung garis dan kurva adalah (1, 2), diperoleh:

y(1) = 2⇔ a · 1 + 5 = 2⇔ a = –3Persamaan garis g menjadi y = –3x + 5.Garis g mempunyai gradien mg = –3.Gradien garis singgung kurva di x = 1 adalahmg = f′(1).mg = f′(1) ⇔ –3 = 3 · 12 + 2b · 1

⇔ 2b = –6⇔ b = –3

Jadi, nilai a + b = –3 – 3 = –6.

104 Turunan Fungsi

17. Jawaban: bPersamaan gradien garis singgung kurva:m = f′(x) = 9x2 – 3Gradien garis normal di x = 1:

mn = – 1m

= – 1f (1)′ = – 2

19 · 1 3−

= –16

Persamaan garis normal kurva di x = 1 samadengan persamaan garis normal di titik (1, f(1)).f(1) = 3 · 13 – 3 · 1 + 2 = 2

Persamaan garis normal dengan gradien mn = –16

di titik (1, 2) sebagai berikut.y – 2 = mn(x – 1)

⇔ y – 2 = –16 (x – 1)

⇔ 6y – 12 = –x + 1⇔ x + 6y = 13

18. Jawaban: cFungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0.

f′(x) = 6x2 – 30x + 36 = 0⇔ 6(x2 – 5x + 6) = 0⇔ (x – 2)(x – 3) = 0⇔ x – 2= 0 atau x – 3 = 0⇔ x = 2 atau x = 3Diagram tanda f′(x) sebagai berikut.

Dari diagram tanda di atas tampak bahwa fungsif(x) turun pada interval 2 < x < 3.Jadi, fungsi f(x) turun pada interval 2 < x < 3.

19. Jawaban: eKurva f(x) = 3x4 – 8x3 + 6x2 + 3 mencapai stasionerjika f′(x) = 0.f′(x) = 12x3 – 24x2 + 12x = 0⇔ 12x(x2 – 2x + 1) = 0⇔ 12x(x – 1)2 = 0

⇔ x = 0 atau (x – 1)2 = 0

⇔ x = 0 atau x = 1Menentukan jenis titik stasioner menggunakan ujiturunan kedua.f′′(x) = 36x2 – 48x + 12f′′(0) = 12 > 0f′′(1) = 36 – 48 + 12 = 0Oleh karena f′′(0) > 0 maka titik (0, f(0)) merupakantitik balik minimum, sedangkan f′′(1) = 0 makatitik (1, f(1)) merupakan titik belok.f(1) = 3 · 14 – 8 · 13 + 6 · 12 + 3 = 4Diperoleh titik belok (1, 4).Jadi, titik belok kurva (1, 4).

20. Jawaban: eNilai minimum fungsi f(x) = ax3 – 3x5 + b dicapaidi x = 1 maka f′(1) = 0.f′(x) = 3ax2 – 15x4

f′(1) = 3a · 12 – 15 · 14 = 0⇔ 3a = 15⇔ a = 5Jadi, nilai a = 5.

21. Jawaban: dFungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0.

f′(x) = 12x – 3x2 = 0⇔ 3x(4 – x) = 0⇔ x = 0 atau x = 4Untuk x = –1 maka f(–1) = 6 · (–1)2 – (–1)3 = 7.Untuk x = 0 maka f(0) = 6 · 02 – 03 = 0 (minimum).Untuk x = 3 maka f(3) = 6 · 32 – 33 = 27 (maksimum).Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 27.

22. Jawaban: cf′(x) = 6x2 + 2(a + 6)x – 36Fungsi f(x) mencapai nilai maksimum di x = amaka f′(a) = 0.

f′(a) = 6a2 + 2(a + 6)a – 36 = 0⇔ 3a2 + a2 + 6a – 18 = 0⇔ 4a2 + 6a – 18 = 0⇔ 2a2 + 3a – 9 = 0⇔ (2a – 3)(a + 3) = 0⇔ 2a – 3 = 0 atau a + 3 = 0

⇔ a = 32 atau a = –3

Oleh karena a < 0 maka a = –3.

23. Jawaban: bn + 2m = 40 ⇔ n = 40 – 2mp = m2 + n2

= m2 + (40 – 2m)2

= m2 + 1.600 – 160m + 4m2

= 5m2 – 160m + 1.600

Nilai p akan minimum jika dpdm = 0.

dpdm = 10m – 160 = 0 ⇔ 10m = 160

⇔ m = 16Dengan demikian, diperoleh:n = 40 – 2 · 16 = 40 – 32 = 8Nilai minimum p dicapai jika m = 16 dan n = 8sehingga nilai minimum p:p = m2 + n2

= 162 + 82

= 256 + 64 = 320Jadi, nilai minimum p adalah 320.

24. Jawaban: bMisalkan: x = bilangan pertama dan y = bilangankedua diperoleh:x + y = 15 ⇔ x = 15 – y

+ + + – – – + + +

2 3

▲ ▲

▲


Perkalian bilangan pertama dengan kuadratbilangan kedua = p diperoleh:p = xy2 = (15 – y)y2 = 15y2 – y3

Nilai p akan maksimum jika p′ = 0.p′ = 0

⇔ 2 · 15y – 3y2 = 0⇔ 30y – 3y2 = 0⇔ 3y(10 – y) = 0⇔ 3y = 0 atau 10 – y= 0⇔ y = 0 atau y = 10Uji turunan kedua:p′′ = 30 – 6yUntuk y = 0 maka p′′ = 30 – 6 · 0 = 30 (minimum)Untuk y = 10 maka p′′ = 30 – 6 · 10 = –30(maksimum)Substitusikan y = 10 ke dalam persamaan x =15 – y.x = 15 – y = 15 – 10 = 5Nilai maksimum:p = xy2 = 5 · 102 = 5 · 100 = 500

25. Jawaban: cBiaya tiap unit:

B(x) = (2x – 1.200 + 3.000.000

x )

Biaya total:T(x) = x · B(x)

= x · (2x – 1.200 + 3.000.000

x )

= 2x2 – 1.200x + 3.000.000Biaya produksi minimum dicapai jika T′(x) = 0.

T′(x) = 0⇔ 2 · 2x – 1.200 = 0⇔ 4x – 1.200 = 0⇔ 4x = 1.200⇔ x = 300Jadi, banyak barang yang diproduksi adalah300 unit.

26. Jawaban: cBiaya total:

TC = B(x) = 13 x2 – 10x + 25

Penerimaan total: TR = 50x – 23 x2

Laba akan maksimum jika MP = 0.MP = MR – MC

⇔ 0 = dTRdx –

dTCdx

⇔ 0 = 50 – 43 x – (

23 x – 10)

⇔ 60 – 2x = 0⇔ x = 30Jadi, laba maksimum diperoleh jika diproduksi30 m kain batik.

27. Jawaban: c

Fungsi C(x) mencapai stasioner jika dC(x)

dx = 0.dC(x)

dx = 0,03x2 – 12x + 900 = 0⇔ 3x2 – 1.200x + 90.000 = 0⇔ 3(x2 – 400x + 30.000) = 0⇔ (x – 100)(x – 300) = 0⇔ x – 100 = 0 atau x – 300 = 0⇔ x = 100 atau x = 300

Diagram tanda dC(x)

dx sebagai berikut.

Dari diagram tanda dC(x)

dx di atas terlihat bahwa

fungsi C(x) mencapai minimum di x = 300.Jadi, banyak barang yang harus diproduksi300 unit per hari agar biaya produksi minimum.

28. Jawaban: bBiaya perakitan satu motor per hari:

b(x) = (3x + 600

x – 18) ribu rupiahSatu motor dapat dirakit dalam x hari sehinggabiaya perakitan satu motor.B(x) = x · b(x)

= (x(3x + 600

x – 18)) ribu rupiah= (3x2 + 600 – 18x) ribu rupiah

Biaya perakitan satu motor akan minimum jikaB′(x) = 0.B′(x) = 6x – 18 = 0⇔ 6x = 18⇔ x = 3Biaya minimum perakitan satu motor= B(3)= (3 · 32 + 600 – 18 · 3) ribu rupiah= (27 + 600 – 54) · 1.000 rupiah= 573.000 rupiahJadi, biaya minimum yang harus dikeluarkanperusahaan untuk merakit satu motor adalahRp573.000,00.

29. Jawaban: aPersamaan biaya marginal:C′(x) = 3x2 + 24x – 53Kenaikan biaya produksi jika produksi bertambah20 unit:C′(20) = (3 · 202 + 24 · 20 – 53) · 10.000

= (1.200 + 480 – 53) · 10.000= 16.270.000

Jadi, kenaikan biaya produksinya Rp16.270.000,00.

+ + + – – – + + +

100 300

▲ ▲

▲

106 Turunan Fungsi

30. Jawaban: dFungsi penerimaan total:TR = H(x)

= 2x3 – 100x2 + 13.000x – 150.000Fungsi biaya total:TC(x) = x · B(x)

= x(x2 + 110x – 500)= x3 + 110x2 – 500x

Fungsi laba:L(x) = TR(x) – TC(x)

= (2x3 – 100x2 + 13.000x – 150.000) – (x3 + 110x2 – 500x)

= x3 – 210x2 + 13.500x – 150.000Fungsi L(x) mencapai stasioner jika L′(x) = 0.L′(x) = 3x2 – 420x + 13.500 = 0⇔ 3(x2 – 140x + 4.500) = 0⇔ (x – 50)(x – 90) = 0⇔ x – 50 = 0 atau x – 90 = 0⇔ x = 50 atau x = 90Diagram tanda L′(x) sebagai berikut.

Dari diagram tanda L′(x) di atas tampak bahwafungsi L(x) mencapai maksimum di x = 50.Laba maksimum= L(50)= (503 – 210 · 502 + 13.500 · 50 – 150.000) ribu= (125.000 – 525.000 + 675.000 – 150.000) ribu= 125.000 ribu= 125.000.000Jadi, laba maksimum per hari yang akan diperolehperusahaan 125 juta rupiah.

B. Uraian1. a. f(x) = 3x3 – 4x2 + 6x – 8

f′(x) = 3 · 3x2 – 4 · 2x + 6= 9x2 – 8x + 6

b. f(x) = (2x2 – x + 1)8

Misalkan:u = 2x2 – x + 1 maka u′ = 4x – 1f′(x) = 8u7 · u′

= 8u7 · (4x – 1)= 8(2x2 – x + 1)7 · (4x – 1)= (32x – 8)(2x2 – x + 1)7

c. f(x) = 2x 5x 3

−−−−++++

Misalkan: u = 2x – 5 maka u′ = 2v = x + 3 maka v′ = 1

f′(x) = 2vu uv

v′ ′−

= 2(x 3)(2) (2x 5)(1)

(x 3)+ − −

++++

= 2(2x 6) (2x 5)

(x 3)+ − −

++++ = 211

(x 3)++++

2. Jika kedua ruas persamaan f(2x + 1) = 2x – 2xditurunkan, diperoleh:

2f′(2x + 1) = 2 + 2

2 2x ⇔ f′(2x + 1) = 1 + 1

2 2x

f′(5) = f′(2 · 2 + 1)

= 1 + 2

2 2 · 2

= 1 + 12 · 2

= 1 + 14 = 1

14

Jadi, nilai f′(5) = 114 .

3. x = 2t – 3 ⇔ 2t = x + 3

⇔ t = x 3

2+

⇔ dtdx =

12

dydx =

dydt ·

dtdx

= (2t – 2) · 12

= t – 1

= x 3

2+

– 1

= x 3 2

2+ −

= 12 (x + 1) =

12 x +

12

2

2d ydx

= ddx (

dydx ) =

12 + 0 =

12

Jadi, 2

2d ydx

= 12 .

4. Jari-jari benda bertambah dengan laju

0,02 mm/detik maka drdt = 0,02 mm/detik.

Luas permukaan benda = 0,8π cm2 = 8.000π mm2.A = 2πr2 + 2πrh

⇔ 8.000π = 2πr2 + 2πr · 60⇔ 2r2 + 120r – 8.000 = 0⇔ r2 + 60r – 4.000 = 0⇔ (r + 100)(r – 40) = 0⇔ r + 100 = 0 atau r – 40 = 0⇔ r = –100 atau r = 40Oleh karena r > 0 maka r = 40 mm.

�� 50 90↑

Maksimum ↑Minimum


f′(–1) = 0 ⇔3a · (–1)2 + 2b · (–1) – 9 = 0⇔ 3a – 2b = 9 . . . (1)

f(–1) = 7 ⇔ a · (–1)3 + b · (–1)2 – 9 · (–1) + 2 = 7⇔ –a + b + 9 + 2 = 7⇔ –a + b = –4 . . . (2)

Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2).3a – 2b = 9 × 1 3a – 2b = 9–a + b = –4 × 2 –2a + 2b = –8

––––––––––––– +a = 1

Substitusikan a = 1 ke dalam –a + b = –4.–1 + b = –4 ⇔ b = –3Dengan demikian, diperoleh persamaan:f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 2f′(x) = 3x2 – 6x – 9Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0.

f′(x) = 3x2 – 6x – 9 = 0⇔ 3(x2 – 2x – 3) = 0⇔ (x – 3)(x + 1) = 0⇔ x – 3 = 0 atau x + 1 = 0⇔ x = 3 atau x = –1Diagram tanda f′(x) sebagai berikut.

Dari diagram tanda f′(x) di atas tampak bahwafungsi f(x) mencapai minimum di x = 3.Nilai minimum = f(3)

= 33 – 3 · 32 – 9 · 3 + 2= 27 – 27 – 27 + 2 = –25

Diperoleh titik balik minimum (3, f(3)) = (3, –25).Jadi, titik balik minimum fungsi adalah (3, –25).

8. a. Biaya produksi setiap unit barang:b(x) = (x2 + 250x – 15.000) ratus rupiahBiaya produksi x unit barang:B(x) = x · b(x)

= x(x2 + 250x – 15.000)= (x3 + 250x – 15.000x) ratus rupiah

Harga jual setiap unit barang:h(x) = (2x2 – 275x + 75.000)Harga jual x unit barang:H(x) = x · h(x) = (2x3 – 275x2 + 75.000x)Biaya total:TC(x) = biaya produksi x unit barang + biaya

tetap= (x3 + 250x2 – 15.000x + 150.000) ratus rupiah

Laba = penjualan – biaya total⇔ L(x) = H(x) – TC(x)

= (2x3 – 275x2 + 75.000x) – (x3 + 250x2 – 15.000x + 150.000)

= (x3 – 525x2 + 90.000x – 150.000) ratus rupiah

�� –1 3

Maksimum Minimum

Laju pertambahan volume benda = dVdt .

dVdt =

dVdr ·

drdt

= 2πrh · 0,02= 0,04π · 40 · 60= 96π mm3/detik

Jadi, laju pertambahan volume benda pada saatluas permukaan 0,8π cm2 adalah 96π mm3/detik.

5. f′(x) = 2ax + bTitik P(2, 4) pada kurva f(x) = ax2 + bx + 2 makaf(2) = 4.f(2) = a · 22 + b · 2 + 2 = 4⇔ 4a + 2b = 2⇔ 2a + b = 1⇔ b = 1 – 2aGaris y = 5x – 6 mempunyai gradien m = 5.Gradien garis singgung kurva di titik P(2, 4) adalahm1 = f′(2) = 2a · 2 + b = 4a + b.Garis singgung sejajar dengan garis y = 5x – 6maka m1 = m.

4a + b = 5⇔ 4a + 1 – 2a = 5⇔ 2a = 4⇔ a = 2Untuk a = 2 maka b = 1 – 2 · 2 = –3.Jadi, nilai a = 2 dan b = –3.

6. Titik A(1, (a + 2)) pada kurva f(x) = ax2 – (a + 1)x + 6maka f(1) = a + 2.f(1) = a · 12 – (a + 1) · 1 + 6 = a + 2⇔ a – a – 1 + 6 = a + 2⇔ 5 = a + 2⇔ a = 3Dengan demikian, diperoleh persamaan kurva f(x)= 3x2 – 4x + 6 dan koordinat titik A(1, 5).Persamaan gradien garis singgung kurva adalahm = f′(x) = 6x – 4.Gradien garis normal di titik A(1, 5) adalah

mn = – 1f (1)′

= – 16 ·1 4−

= –12 .

Persamaan garis normal kurva di titik A(1, 5)sebagai berikut.

y – 5 = mn(x – 1)

⇔ y – 5 = –12 (x – 1)

⇔ 2y – 10 = –x + 1⇔ x + 2y = 11Jadi, persamaan garis normal kurva di titik A adalahx + 2y = 11.

7. f(x) = ax3 + bx2 – 9x + 2f′(x) = 3ax2 + 2bx – 9Fungsi f(x) mempunyai titik balik maksimum(–1, 7) maka f′(–1) = 0 dan f(–1) = 7.

108 Turunan Fungsi

Fungsi L(x) mencapai stasioner jika L′(x) = 0.L′(x) = 3x2 – 1.050x + 90.000 = 0

⇔ 3(x2 – 350x + 30.000) = 0⇔ (x – 150)(x – 200) = 0⇔ x – 150 = 0 atau x – 200 = 0⇔ x = 150 atau x = 200

Diagram tanda L′(x) sebagai berikut.

Dari diagram tanda L′(x) di atas tampak bahwafungsi L(x) mencapai maksimum di x = 150.Jadi, banyak barang yang harus diproduksisetiap bulan 150 unit agar perusahaanmemperoleh laba maksimum.

b. Laba maksimum:L(150) = (1503 – 525 · 1502 + 90.000 · 150

– 150.000) ratus= 4.912.500 · 100= 491.250.000

Jadi, laba maksimum yang diperolehperusahaan Rp491.250.000,00 per bulan.


Misalkan: titik (a, b) terletak pada garis x + 2y = 4diperoleh:a + 2b = 4 ⇔ a = 4 – 2bLuas persegi panjang:L = p ·

= a · b= (4 – 2b) · b= 4b – 2b2

�� 150 200

Maksimum Minimum

Luas persegi panjang mencapai maksimum jikaL′ = 0.

L′ = 0⇔ 4 – 2 · 2b = 0⇔ 4 – 4b = 0⇔ 4 = 4b⇔ b = 1Substitusikan b = 1 ke dalam persamaana = 4 – 2b.a = 4 – 2b = 4 – 2 · 1 = 4 – 2 = 2Luas maksimum: L = ab = 2 · 1 = 2Jadi, luas maksimum persegi panjang tersebut2 satuan luas.


Misalkan: a = panjang rusuk alas kotakb = tinggi kotak

Volume kotak:V = luas alas · tinggi

⇔ 108 = a2 · b

⇔ b = 2108a

Luas permukaan kotak:L = luas alas + 4 · bidang tegak

= a2 + 4 · ab

= a2 + 4 · a · 2108a

= a2 + 432a

Luas permukaan mencapai maksimum jika L′ = 0.L′ = 0

⇔ 2a – 2432a

= 0

⇔ 2a3 – 432 = 0⇔ a3 = 216

⇔ a = 3 216 = 6

Jadi, panjang rusuk alas kotak adalah 6 cm.

3

2

1

X

Y

0

(a, b)

x + 2y = 4

a

b

1 2 3 4

aa

b


Setelah mempelajari bab ini, peserta didik mampu:

1. menguraikan konsep integral tak tentu;

2. menentukan hasil integral tak tentu;

3. menentukan hasil integral menggunakan metode substitusi;

4. menggunakan integral untuk menentukan fungsi asal.

Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, peserta didik berperilaku disiplin dan kritis dalam kehidupan sehari-

hari.

• Mengidentifikasi integral sebagai antiturunan.

• Menentukan integral fungsi aljabar.

• Menggunakan sifat-sifat integral tak tentu.

• Menggunakan integral untuk menentukan

fungsi asal.

• Mengidentifikasi konsep integral substitusi.

• Menentukan hasil pengintegralan fungsi ber-

pangkat menggunakan integral substitusi.

Integral Tak Tentu

Konsep Integral Tak Tentu Integral Substitusi

• Memiliki sikap logis, kritis, kreatif, disiplin, dan rasa ingin tahu, serta memiliki rasa percaya diri

dalam menyelesaikan masalah.

• Mampu menguraikan konsep integral tak tentu sebagai kebalikan dari turunan.

• Mampu menentukan hasil integral tak tentu fungsi aljabar.

• Mampu menggunakan integral untuk menentukan fungsi asal.

• Mampu menentukan hasil pengintegralan fungsi berpangkat menggunakan integral substitusi.

110 Integral Tak Tentu

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

Antiturunan dari f(x) = axn adalah:

F(x) = +�

� �xn + 1 + c.

f(x) = 10x � = 10�

��

F(x) = +�

�

��

�

+�

��

� + c = �

�

��

�� + c = 4x2 � + c

Jadi, antiturunan f(x) adalah F(x) = 4x2 � + c.

2. Jawaban: d

∫ �

� �

� dx = ∫

�

��

�−

dx

= ∫ �

��−

dx

= �

�

�

−

�

��−

+ c

= �

�− + c

3. Jawaban: b

∫ f(x) dx = ∫ � dx

= ∫ x�

� dx

= �

�

�

�+x

�

� + 1 + c1

= �

�

�x

�

� + c1

= �

�x � + c1

∫ g(x) dx = ∫ 2x3 dx

= 2 · �

� �+ x3 + 1 + c2

= �

x4 + c2

= �

�x4 + c2

∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx = �

�x � +

�

�x4 + c

4. Jawaban: b

∫ (4x – �

�

�) dx = ∫ (4x – 3x–2) dx

= 4 · �

�x2 – 3 ·

�

�− x–1 + c

= 2x2 + �

� + c

5. Jawaban: b

∫ (4x3 – 6x2 + 2x + 3) dx

= 4 · +�

� �x3 + 1 – 6 · +

�

� �x2 + 1 + 2 · +

�

� �x1 + 1 + 3x + c

=

x4 –

�x3 +

�

�x2 + 3x + c

= x4 – 2x3 + x2 + 3x + c

6. Jawaban: c

f(x) = (3x – 1)(x + 3)

∫ f(x) dx = ∫ (3x – 1)(x + 3) dx

= ∫ (3x2 + 8x – 3) dx

= 3 · �

�x3 + 8 ·

�

�x2 – 3x + c

= x3 + 4x2 – 3x + c

7. Jawaban: d

∫ ��

�

− dx = ∫ � (2 � – x) dx

= ∫ (2x – �

�� ) dx

= 2 · �

�x2 –

�

�

�

�� + c

= x2 – �

�x2 � + c

8. Jawaban: a

∫ (2 – 3 � )2 dx = ∫ (4 – 12�

�� + 9x) dx

= 4x – 12 · �

�

�

�� + 9 · �

�x2 + c

= 4x – 8x � +

�x2 + c

9. Jawaban: c

f′(x) = 6x2 + 2x – 3

f(x) = ∫ (6x2 + 2x – 3) dx = 2x3 + x2 – 3x + c

Grafik fungsi f(x) melalui titik (1, 4), berarti:

f(1) = 4 ⇔ 4 = 2 + 1 – 3 + c

⇔ c = 4

Jadi, rumus fungsi f(x) = 2x3 + x2 – 3x + 4.

10. Jawaban: c

Percepatan = a(t) = 5 – t��

�� = a(t) ⇒ v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ (5 – t) dt

= 5t – �

�t2 + c

Benda bergerak dari keadaan diam maka

v(0) = 0 ⇒ c = 0.


Kecepatan benda dirumuskan v(t) = 5t – �

�t2.

Pada saat benda berhenti berarti kecepatannya 0.

v(t) = 0 ⇔ 5t – �

�t2 = 0

⇔�

�t(10 – t) = 0

⇔ t = 0 atau t = 10

Jadi, benda berhenti setelah 10 detik.

B. Uraian

1. Antiturunan dari f(x) = xn adalah:

F(x) = +�

� �xn + 1 + c.

a. Antiturunan dari f(x) = x5 adalah:

F(x) = �

� �+ x5 + 1 + c = �

x6 + c

b. g(x) =

�

� = x–4

Antiturunan dari g(x) adalah:

G(x) = �

�− + x–4 + 1 + c

= �

�− x–3 + c

= – �

�

�� + c

c. h(x) = �

� � =

�

��−

Antiturunan dari h(x) adalah:

H(x) = �

�

�

�− +

�

��

�− +

+ c

= –2�

��−

+ c = –�

� + c

d. k(x) = ��

� =

�

��

�−

= �

��

Antiturunan dari k(x) adalah:

K(x) = �

�

�

�+

�

��

�+

+ c

= �

�

��

�� + c

= �

�x2 � + c

2. a. ∫ (2x2 – 10x) dx

= 2 · �

�x3 – 10 ·

�

�x2 + c

= �

�x3 – 5x2 + c

b. ∫ (6x2 + 8x + 3) dx

= 6 · �

�x3 + 8 ·

�

�x2 + 3x + c

= 2x3 + 4x2 + 3x + c

c. ∫ x2 (2x + 15) dx

= ∫ (2x3 + 15x2) dx

= 2 · �

x4 – 15 ·

�

�x3 + c

= �

�x4 – 5x3 + c

d. ∫ (2t – 5)2 dt

= ∫ (4t2 – 20t + 25) dt

= 4 · �

�t3 – 20 ·

�

�t2 + 25t + c

=

�t3 – 10t2 + 25t + c

3. a. ∫ f(x) dx = ∫ � �

�

+ dx

= ∫ (3�

��−

+ �

�� ) dx

= 3 · 2�

�� + �

�

�

�� + c

= 6 � + �

�x � + c

b. ∫ f(x) dx = ∫ (2 � – �

�)2 dx

= ∫ (4x – 12�

��−

+ 9x–2) dx

= 4 · �

�x2 – 12 ·

�

�

�

�� + 9 · �

�− x–1 + c

= 2x2 – 24 � –

� + c

c. ∫ f(x) dx = ∫ (3 – � )(4 + 2 � ) dx

= ∫ (12 + 2 � – 2x) dx

= ∫ (12 + 2�

�� – 2x) dx

= 12x + 2 · �

�

�

�� – 2 · �

�x2 + c

= 12x +

�x � – x2 + c

d. ∫ f(x) dx = ∫ (2x + �

�)(4 – � ) dx

= ∫ (8x – 2�

�� + 4�

��−

– 1) dx

= 8 · �

�x2 – 2 ·

�

�

�

�� + 4 · �

�

�

�� – x + c

= 4x2 –

�x2 � + 8 � – x + c

4. a. f′(x) = mx – 4

f′(1) = 6 ⇔ m(1) – 4 = 2

⇔ m = 6

Diperoleh: f′(x) = 6x – 4

f(x) = ∫ f′(x) dx

= ∫ (6x – 4) dx

= 3x2 – 4x + c


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

Misalkan: u = x – 3

��

�� = 1 ⇔ du = dx

∫ � � �− dx = ∫ (x – 3)�

� dx

= ∫ �

�� du

=

�

�

�� + c

= �

u � � + c

= �

(x – 3) � � �− + c

2. Jawaban: d

Misalkan: u = 4 – x

��

�� = –1 ⇔ –du = dx

∫ (4 – x)3 dx = ∫ u3 (–du)

= – ∫ u3 du

= –�

u4 + c

= –�

(4 – x)4 + c

3. Jawaban: e

Misalkan: u = 2x + 9

��

�� = 2 ⇔ �

�du = dx

∫ �

�� + dx = ∫ �

� ·

�

�du

= 2 ∫ u–2 du

= 2 · �

�− u–1 + c

= –�

� + c =

�

�� +− + c

4. Jawaban: a

∫ (x2 – 4x + 4)2 dx = ∫ ((x – 2)2)2 dx

= ∫ (x – 2)4 dx


��

�� = 1 ⇔ du = dx

∫ (x – 2)4 dx = ∫ u4 du

= �

�u5 + c =

�

�(x – 2)5 + c

Jadi, ∫ (x2 – 4x + 4)2 dx = �

�(x – 2)5 + c.

5. Jawaban: e

Misalkan: u = x2 – 2

��

�� = 2x ⇔ du = 2x dx

∫ 2x �� − dx = ∫ �� − · 2x dx

= ∫ � du

= ∫ �

�� du

= �

�

�

�� + c

= �

�u � + c

= �

�(x2 – 2) �� − + c

f(–1) = 3 ⇔ 3(–1)2 – 4(–1) + c = 3

⇔ 3 + 4 + c = 3

⇔ c = –4

Jadi, f(x) = 3x2 – 4x – 4.

b. ∫ f(x) dx = ∫ (3x2 – 4x – 4) dx

= x3 – 2x2 – 4x + c

5. a. v(t) = 24 – 10t

v(t) = ��

��, maka:

h(t) = ∫ v(t) dt

= ∫ (24 – 10t) dt

= 24t – 5t2 + c

Diketahui ketinggian bola mula-mula 8 meter,

berarti h(0) = 8.

h(0) = 8 ⇔ 24(0) – 5(0)2 + c = 8

⇔ 0 – 0 + c = 8

⇔ c = 8

Jadi, ketinggian bola setelah t detik dinyata-

kan dengan fungsi h(t) = 6t – 5t2 + 8.

b. Untuk t = 2:

h(2) = 24(2) – 5(2)2 + 8

= 24 – 20 + 8

= 12

Jadi, ketinggian bola pada detik kedua adalah

12 meter.


6. Jawaban: b

Misalkan: u = 9 – x3

��

�� = –3x2 ⇔ du = –3x2 dx

⇔ –�

�du = x2 dx

�

�

�

�

�

� � �−∫ dx = ∫ (9 – x3)

�

�−

· x2 dx

= �

��−

∫ · (–�

�) du

= –�

�

�

��−

∫ du

= –�

�(–2)u

�

�−

+ c

= �

� � + c

= �

�

� �− + c

7. Jawaban: c

Misalkan: u = x2 – 6x + 2��

�� = 2x – 6 ⇔ ��

��= 2(x – 3)

⇔ �

�du = (x – 3) dx

∫ (x – 3)(x2 – 6x + 2) dx = ∫ (x2 – 6x + 2)(x – 3) dx

= ∫ u · �

� du

= �

�∫ u du

= �

� ·

�

�u2 + c

= �

u2 + c

= �

(x2 – 6x + 2)2 + c

8. Jawaban: b

Misalkan: u = x2 – 2x

��

�� = 2x – 2 = 2(x – 1)

⇔ (x – 1) dx = ��

�

Sehingga diperoleh:

∫ �

��

� ��

−

− dx = ∫ (x2 – 2x)

�

�−

(x – 1) dx

= ∫ �

��−

· ��

�

= �

� ∫

�

��−

du

= �

� · 2

�

�� + c

= �� − + c

9. Jawaban: a

Misalkan: u = x3 + 6x + 1 maka:

��

�� = 3x2 + 6 = 3(x2 + 2) ⇔ (x2 + 2) dx =

��

�

Sehingga diperoleh:

∫ (x2 + 2)(x3 + 6x + 1)�

� dx

= ∫ (x3 + 6x + 1)�

� (x2 + 2) dx

= ∫ �

�� · ��

�

= �

� ∫

�

�� du

= �

� ·

�

�

�

�� + c

= �

u � + c

= �

(x3 + 6x + 1) �� + c

10. Jawaban: e

Misalkan: u = � �

�

+ = 1 +

�

� = 1 + x–1

��

�� = –x–2 ⇔ –du = x–2 dx

∫ ( � �

�

+)–4 ( �

�) dx = 6 ∫ ( � �

�

+)–4 (x–2 dx)

= 6 ∫ (u)–4 (–du)

= –6 ∫ u–4 du

= –6 · �

�− u–3 + c

= 2u–3 + c

= (� �

�

+)–3 + c = 2(

�

� �+ )3 + c

B. Uraian

1. a. ∫ f(x) dx = ∫ (x + 7)3 dx

Misalkan: u = x + 7

��

�� = 1 ⇔ du = dx

Sehingga diperoleh:

∫ (x + 7)3 dx = ∫ u3 du

= �

u4 + c

= �

(x + 7)4 + c

Jadi, hasil pengintegralan f(x) adalah

�

(x + 7)4 + c.

b. ∫ f(x) dx = ∫ �

�− dx


��

�� = –1 ⇔ dx = –du


= ∫ �

�� du

= �

�

�

�� + c

= �

�(2x – 3)2 �� − + c

4. Misalkan: u = x2 – 4x + 8 maka:

��

�� = 2x – 4 = –2(2 – x)

⇔ (2 – x) dx = ��

�−

Sehingga diperoleh:

∫ �

� �

� � �

−

− + dx = ∫ (x2 – 4x + 8)

�

�−

(2 – x) dx

= ∫ �

��−

· ��

�−

= –�

� ∫

�

��−

du

= –�

� · 2

�

�� + c

= –�� − + c

5. Diketahui f′(x) = ��− , maka f(x) = ∫ ��− dx.

Misalkan: u = 4 – 3x maka:

��

�� = –3

⇔ dx = ��

�−

Sehingga diperoleh:

f(x) = ∫ ��− dx

= ∫ � · ��

�−

= –�

� ∫

�

�� du

= –�

� ·

�

�

�

�� + c

= –�

u � + c

= –�

(4 – 3x) ��− + c

Diketahui f(1) = 12, maka:

–�

(4 – 3) − � + c = 12

⇔ –�

+ c = 12

⇔ c = 12�

Jadi, fungsi f(x) = �

(4 – 3x) ��− + 12

�

.

Sehingga diperoleh:

∫ −�

� dx = ∫ �

�(–du)

= – ∫ �

��−

du

= –2�

�� + c

= –2 �− + c

Jadi, hasil pengintegralan f(x) adalah

–2 �− + c.

2. a. Misalkan: u = x2 – 3

��

�� = 2x ⇔ 2x dx = du

∫ 2x(x2 – 3)3 dx = ∫ (x2 – 3)3 · 2x dx

= ∫ u3 du

= �

u4 + c

= �

(x2 – 3)4 + c

b. Misalkan: u = 4 – 3x2

��

�� = –6x ⇔ x dx =

��

−

∫ � �

��

� �� − dx = 3 ∫ (4 – 3x2)–2 · x dx

= 3 ∫ u–2 · ��

−

= �

− ∫ u–2 du

= –�

� ·

�

�− u–1 + c

= �

�� + c

= �

�

�� − + c

= �

�

� �− + c

3. g(x) = (4x – 6) �� −

= 2(2x – 3)(2x – 3)�

�

= 2(2x – 3)�

�

Misalkan: u = 2x – 3 maka:

��

�� = 2

⇔ 2 dx = du

Sehingga diperoleh:

∫ g(x) dx = ∫ 2(2x – 3)�

� dx

= ∫ (2x – 3)�

� · 2 dx


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d

f(x) = x3

Antiturunan f(x) adalah:

F(x) = �

� �+ x3 + 1 + c = �

x4 + c

2. Jawaban: c

∫ ��

� dx = ∫ x2 � dx

= ∫ x�

� dx

= �

�x

�

� + c

= �

�x3 � + c

3. Jawaban: e

∫ �

� dx = 4 ∫ x–5 dx

= 4 · �

− x-4 + c = –

�

� + c

4. Jawaban: c

∫ 3x3 � dx = 3 ∫ x�

� dx

= 3 · �

x

� + c = �

�x4 � + c

5. Jawaban: a

∫ (2x + 3) dx = �

� �+ x1 + 1 + 3x + c

= �

�x2 + 3x + c = x2 + 3x + c

6. Jawaban: d

∫ (8x3 + 2x + 3) dx = 8 · �

x4 + 2 ·

�

�x2 + 3x + c

= 2x4 + x2 + 3x + c

7. Jawaban: a

∫ 2x(1 – 3x) dx = ∫ (2x – 6x2) dx

= 2 · �

�x2 – 6 ·

�

�x3 + c

= x2 – 2x3 + c

8. Jawaban: b

∫ (x + 3)(3x – 5) dx

= ∫ (3x2 + 4x – 15) dx

= 3 ∫ x2 dx + 4 ∫ x1 dx – 15 ∫ x0 dx

= �

� �+ x2 + 1 + +

� �x1 + 1 – +

��

� �x0 + 1 + c

= x3 + 2x2 – 15x + c

9. Jawaban: c

∫ 3 � (2 � + 1) dx = ∫ (6x + 3 � ) dx

= ∫ (6x + 3x�

� ) dx

= 6 · �

�x2 + 3 ·

�

�x

�

� + c

= 3x2 + 2x � + c

10. Jawaban: a

Antiturunan sama dengan integral, maka antiturunan

dari f(x) adalah:

F(x) = ∫ f(x) dx = ∫ (3x – �

�

�)2 dx

= ∫ (3x – 2x�

�−

)2 dx

= ∫ (9x2 – 12x�

� + 4x�

�−

) dx

= 9 · �

�x3 – 12 ·

�

�x

�

� + 4 · 3x�

� + c

= 3x3 – �

�x

� �� + 12 � � + c

11. Jawaban: d

∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ ((4x – 5) + (6x2 + 3)) dx

= ∫ (6x2 + 4x – 2) dx

= 2x3 + 2x2 – 2x + c

12. Jawaban: c

f′(x) = 4x – 3

f(x) = ∫ f′(x) dx

= ∫ (4x – 3) dx

= 2x2 – 3x + c

f(–1) = 9

⇔ 2(–1)2 – 3(–1) + c = 9

⇔ 2 + 3 + c = 9

⇔ c = 4

Jadi, f(x) = 2x2 – 3x + 4.

13. Jawaban: a

f(x) = ∫ f′(x) dx

= ∫ (x2 + 3x – 1) dx = �

�x3 +

�

�x2 – x + c

f(1) =

�⇔

�

� · 13 +

�

� · 12 – 1 + c =

�

⇔�

� +

�

� – 1 + c =

�

⇔

� + c =

�

⇔ c = 0

Jadi, f(x) = �

�x3 +

�

�x2 – x.


14. Jawaban: d

��

�� = 3x2 + 4x – 2

y = ∫ ��

�� dx

= ∫ (3x2 + 4x – 2) dx

= x3 + 2x2 – 2x + c

Kurva melalui titik (–1, 5) berarti:

5 = (–1)3 + 2(–1)2 – 2(–1) + c

⇔ 5 = –1 + 2 + 2 + c

⇔ 5 = 3 + c

⇔ c = 2

Jadi, persamaan kurva: y = x3 + 2x2 – 2x + 2.

15. Jawaban: c

f(x) = ∫ (2ax2 + (a – 1)x) dx

= �

�ax3 +

�

�(a – 1)x2 + c

f(2) = 24

⇔ �

�a(2)3 +

�

�(a – 1)(2)2 + c = 24

⇔ �

�a + 2(a – 1) + c = 24

⇔ 16a + 6a – 6 + 3c = 72

⇔ 22a + 3c = 78 . . . . (1)

f(1) = 7

⇔ �

�a +

�

�(a – 1) + c = 7

⇔ 4a + 3a – 3 + 6c = 42

⇔ 7a + 6c = 45 . . . . (2)

Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2).

22a + 3c = 78 × 2 44a + 6c = 156

7a + 6c = 45 × 1 7a + 6c = 45–––––––––––– –

37a = 111

⇔ a = 3

Jadi, nilai a = 3.

16. Jawaban: d

MC = 8x – 5

C = ∫ MC dx

= ∫ (8x – 5) dx

= 4x2 – 5x + c

C(5) = 80

⇔ 4(52) – 5(5) + c = 80

⇔ 100 – 25 + c = 80

⇔ 75 + c = 80

⇔ c = 5

Jadi, fungsi biaya total adalah C = 4x2 – 5x + 5.

17. Jawaban: d


��

�� = –1 ⇔ –du = dx

∫ (1 – x)5 dx = ∫ u5 (–du)

= – ∫ u5 du

= –�

u6 + c = –

�

(1 – x)6 + c

18. Jawaban: c

Misalkan: u = x + 2

��

�� = 1 ⇔ du = dx

∫ � �+ dx = ∫ (x + 2)�

� dx

= ∫ �

�� du

= �

�

��

�� + c

= �

�u � + c

= �

�(x + 2) � �+ + c

19. Jawaban: e


��

�� = 2 ⇔ �

�du = dx

∫ �

�� dx = ∫ �

� ·

�

� du

= 3∫ u–2 du

= 3 · �

�− u–1 + c

= –�

� + c = –

�

�� + + c

20. Jawaban: e

Misalkan: u = 4 – 3x maka:

��

�� = –3 ⇔ dx =

��

�−

Sehingga diperoleh:

∫ 2(4 – 3x)4 dx = 2 ∫ u4 · ��

�−

= �

�− ∫ u4 du

= –�

� ·

�

�u5 + c

= –�

��(4 – 3x)5 + c

21. Jawaban: c

Misalkan u = x2 – 12

��

�� = 2x ⇔ 2x dx = du

∫ 2x(x2 – 12)4 dx = ∫ (x2 – 12)4 · 2x dx

= ∫ u4 du

= �

�u5 + c

= �

�(x2 – 12)5 + c


22. Jawaban: c

Misalkan: u = 3x2 + 1 maka:

��

�� = 6x ⇔ 3x dx =

��

�

Sehingga diperoleh:

∫ 3x �� + dx = ∫ (3x2 + x)�

� · (3x) dx

= ∫ �

�� · ��

�

= �

� ∫

�

�� du

= �

� ·

�

�

�

�� + c

= �

�(3x2 + 1) �� + + c

23. Jawaban: b

Misalkan u = 1 – 2x2

��

�� = –4x ⇔ du = –4x dx

∫ �

�

� ��− dx = – ∫ (1 – 2x2)

–�

� (–4x dx)

= – ∫ u–�

� du

= – �

�

�u

�

� + c

= –2 � + c

= –2�� − + c

24. Jawaban: e

Misalkan: u = 3 – 2x3

��

�� = –6x2 ⇔ du = –6x2 dx

∫ �

� �

�

�� − dx = – ∫ (3 – 2x3)�

�−

(–6x2 dx)

= – ∫ �

��−

du

= – �

�

�

−

�

��−

+ c

= �

� + c =

�

�

� ��− + c

25. Jawaban: d

Misalkan: u = 1 + 2x – x2

��

�� = 2 – 2x = –2(x – 1) ⇔ (x – 1) dx =

��

�−

∫ � �

� �

��

−+ − dx = ∫ (1 + 2x – x2)–3 · (x – 1) dx

= ∫ u–3 · ��

�−

= �

�− ∫ u–3 du

= –�

� ·

�

�− u–2 + c

= �

(1 + 2x – x2)–2 + c

= � �

�

�� + − + c

26. Jawaban: c

Misalkan: u = x2 – 3x + 8

��

�� = 2x – 3 ⇔ du = (2x – 3) dx

∫�

�

� ��

−

−dx = ∫ (x2 – 3x +

�

��−

· 2(2x – 3) dx

= ∫�

��−

· 2 du

= 2 ∫ − �

�� du

= 2 · 2�

�� + c

= 4 � + c

= 4 �� − + c

27. Jawaban: d

Misalkan: u = x2 + 5x – 11 maka:

��

�� = 2x + 5 ⇔ du = (2x + 5) dx

Sehingga diperoleh:

∫ (6x + 15)(x2 + 5x – 11)5 dx

= ∫ 3(2x + 5)(x2 + 5x – 11)5 dx

= 3 ∫ (x2 + 5x – 11)5 · (2x + 5) dx

= 3 ∫ u5 du

= 3 · �

u6 + c

= �

�(x2 + 5x – 11)6 + c

28. Jawaban: a

Misalkan: u = x + 1

��

�� = 1 ⇔ du = dx

∫ (x2 + 2x + 1) �� dx

= ∫ (x + 1)2 (x + 1)�

� dx

= ∫ (x + 1)�

� dx

= ∫ �

�� du

= �

�

� �

�� + c

= �

�� + c

= �

�� + c


29. Jawaban: c

Misalkan f(x) = 4x dan g(x) = � �− , maka:

∫ (4x – � �− ) dx = ∫ (f(x) – g(x)) dx

= ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx

∫ f(x) dx = ∫ 4x dx

= 2x2 + c1

∫ g(x) dx = ∫ � �− dx

Misalkan: u = 6x – 1

��

�� = 6 ⇔ �

du = dx

∫ g(x) dx = ∫ � · �

du

= �

∫

�

�� du

= �

·

�

�

�

�� + c2

= �

�� + c2

= �

�� − + c2

Jadi, ∫ (4x – � �− ) dx = 2x2 – �

�� − + c.

30. Jawaban: d

∫ f(x) dx = 6x2 + c


��

�� = 2 ⇔ ��

� = dx

∫ f(2x + 15) dx = ∫ f(u) ��

�

= �

� ∫ f(u) du

= �

� (6u2 + c)

= 3u2 + �

�c

= 3(2x + 15)2 + k

B. Uraian

1. a. ∫ ��

� � dx = ∫ 3

�

��

�−

dx

= 3 ∫ �

�� dx

= 3 · �

�� + c

= �

�x4 � + c

b. ∫ �

�

��

� �

+ dx = ∫ (

�

�

��

� � + �

�

� �) dx

= ∫ (5 � + �

�) dx

= ∫ (5�

�� + 4x–2) dx

= 5 · �

�

�

�� + 4 · �

�− x–1 + c

= ��

�x � –

� + c

2. Antiturunan sama dengan integral, berarti

antiturunan dari f(x) adalah F(x) = ∫ f(x)dx.

a. F(x) = ∫ (2x + 3)(3x – 2) dx

= ∫ (6x2 + 5x – 6) dx

= 6 · �

�x3 + 5 ·

�

�x2 – 6x + c

= 2x3 + �

�x2 – 6x + c

b. F(x) = ∫ (3 – 2 � )2 dx

= ∫ (9 – 12x�

� + 4x) dx

= 9x – 12 · �

�x

�

� + 4 · �

�x2 + c

= 9x – 8x � + 2x2 + c

3. a. ∫ y dx = ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + c

b. ∫ (y2 – y) dx = ∫ ((2x + 1)2 – (2x + 1)) dx

= ∫ (4x2 + 4x + 1 – 2x – 1) dx

= ∫ (4x2 + 2x) dx

=

�x3 + x2 + c

4. a. f′(x) = mx – 4

f′(1) = 2 ⇔ m – 4 = 2

⇔ m = 6

Diperoleh f′(x) = 6x – 4

f(x) = ∫ f′(x) dx

= ∫ (6x – 4) dx

= 3x2 – 4x + c

f(–1) = 3 ⇔ 3(–1)2 – 4(–1) + c = 3

⇔ 3 + 4 + c = 3

⇔ c = –4

Jadi, f(x) = 3x2 – 4x – 4.

b. ∫ f(x) dx = ∫ (3x2 – 4x – 4) dx

= x3 – 2x2 – 4x + c


5. a. Misalkan: u = 2x – 7 maka:

��

�� = 2 ⇔ dx =

��

�

Sehingga diperoleh:

∫

�� − dx = ∫

� ·

��

�

= 2 ∫ �

��−

du

= 2 · 2�

�� + c

= 4 �� − + c

b. Misalkan: u = x2 + 9 maka:

��

�� = 2x ⇔ 2x dx = du

Sehingga diperoleh:

∫ 6x (x2 + 9)5 dx = 3 ∫ (x2 + 9)5 · 2x dx

= 3 ∫ u5 du

= 3 · �

u6 + c

= �

�(x2 + 9)6 + c

6. f’(x) = � ��−

f(x) = ∫ f′(x) dx = ∫ � ��− dx

Misalkan: u = 5 – 2x

��

�� = –2 ⇔ −

��

� = dx

Sehingga diperoleh:

f(x) = ∫ � · −��

�

= –�

� ∫

�

�� du

= –�

� ·

�

�

�

�� + c

= –�

�� + c

= –�

�

�� − + c

Diketahui f(2) = 8, maka:

–�

�

�� − + c = 8

⇔ –�

� + c = 8

⇔ c = 8�

�

Diperoleh:

f(x) = –�

�

�� − + 8�

�

f(–2) = –�

�

�� + + 8�

�

= –�

�(27) + 8

�

�

= –9 + 8�

� = –

�

�

Jadi, nilai f(–2) = –�

�.

7. Misalkan: u = x2 – x + 8

��

�� = 2x – 1 ⇔ du = (2x – 1) dx

∫ (6x – 3) �� − + dx

= 3 ∫ �� − + (2x – 1) dx

= 3 ∫ � du

= 3 ∫ u�

� du

= 3 · �

�u

�

� + c

= 2 �� + c

= 2u � + c

= 2(x2 – x + 8) �� − + + c

8. Misalkan: u = x2 – 4x + 2

��

�� = 2x – 4 ⇔ du = (2x – 4) dx

∫� �

��

��

−−

dx = ∫ (x2 – 4x + 2)–2 · 4(2x – 4) dx

= 4 ∫ u–2 du

= 4 · �

�− u–1 + c

= –

� + c

= – �

� � �− + + c

9. a. ∫ y3 dx = ∫ (3 – 4x)3 dx


��

�� = –4 ⇔ ��

− = dx

Sehingga diperoleh:

∫ y3 dx = ∫ u3 · ��

−

= –�

∫ u3 du

= –�

·

�

u4 + c

= –�

�(3 – 4x)4 + c


b. ∫ y3 dy = �

y4 + c

= �

(3 – 4x)4 + c

10. a. ∫ (8 – 3f(x)) dx = ∫ 8 dx – ∫ 3f(x) dx

= 8 ∫ dx – 3 ∫ f(x) dx

= 8x – 3( �� − ) + c

= 8x – 3 �� − + c

b. ∫ f(8 – 3x) dx


��

�� = –3 ⇔ ��

�− = dx

Sehingga diperoleh:

∫ f(8 – 3x) dx = ∫ f(u) dx

= –�

� ∫ f(u) du

= –�

�� − + c

= –�

�� − − + c

= –�

�� − + c


heru

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c

Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.

Dari tabel diperoleh sebanyak 15 siswa memper-

oleh nilai 76–80.

2. Jawaban: b


x– = ∑=

∑=

��

� ��

��

⇔ 67 = ��

��

++

⇔ 7.102 + 67n = 7.242 + 57n

⇔ 10n = 140

⇔ n = 14

Mobi l yang berkecepatan kurang dar i

60 km/jam adalah mobil yang berkecepatan

50–54 km/jam dan 55–59 km/jam.

Banyak mobil yang berkecepatan 50–54 km/jam = 2

Banyak mobil yang berkecepatan 55–59 km/jam = 14

Jadi, banyak mobil yang berkecepatan kurang dari

60 km/jam = 14 + 2 = 16.

3. Jawaban: c

Tabel distribusi frekuensi data sebagai berikut.

Modus terletak di kelas interval 155–159.

Lo = 155 – 0,5 = 154,5

d1 = 8 – 6 = 2

d2 = 8 – 6 = 2

p = 159 – 155 + 1 = 5

Mo = Lo + �

� �

+

· p

= 154,5 + �

� �

+

· 5

= 154,5 + 2,5

= 157

Jadi, modus data adalah 157.

4. Jawaban: a


berikut.

Banyak data = 30

Q1

= nilai data ke-�

�(30 + 1)


= x7 + 0,75(x

8 – x

7)

= 20 + 0,75(20 – 10)

= 20 + 0,75 × 10

= 20 + 7,5 = 27,5

Nilai Frekuensi

61–65

66–70

71–75

76–80

81–85

86–90

91–95

2,5% × 40 = 1

12,5% × 40 = 5

12,5% × 40 = 5

37,5% × 40 = 15

20% × 40 = 8

10% × 40 = 4

5% × 40 = 2

fi

2

n

30

36

18

14

6

106 + n

fix

i

104

57n

1.860

2.412

1.296

1.078

492

7.242 + 57n

xi

52

57

62

67

72

77

82

Kecepatan

(km/jam)

50–54

55–59

60–64

65–69

70–74

75–79

80–84

∑=

�

� �

← Kelas Mo

Tinggi Badan (cm)

145–149

150–154

155–159

160–164

165–169

170–174

175–179

Banyak Siswa

7

13 – 7 = 6

21 – 13 = 8

27 – 21 = 6

32 – 27 = 5

38 – 32 = 6

41 – 38 = 3

fi

7

8

8

3

4

Skor

10

20

30

40

50

fk

7

15

23

26

30

122 Ulangan Akhir Semester

Q3

= nilai data ke-�

�(30 + 1)


= x23

+ 0,25(x24

– x23

)

= 30 + 0,25(40 – 30)

= 30 + 0,25 × 10

= 30 + 2,5 = 32,5

Jangkauan antarkuartil = Q3 – Q

1

= 32,5 – 27,5 = 5

Jadi, jangkauan antarkuarti data adalah 5.

5. Jawaban: d

Σfi = 25

Σfi xi = 145

� = Σ

Σ� �

�

� �

�

= ��

� = 5,8

Σfi |xi – � | = 4|3 – 5,8| + 3|4 – 5,8| + 3|5 – 5,8|

+ 5|6 – 5,8| + 5|7 – 5,8| + 4|8 – 5,8|

+ 1|9 – 5,8|

= 4 × 2,8 + 3 × 1,8 + 3 × 0,8 + 5 × 0,2

+ 5 × 1,2 + 4 × 2,2 + 1 × 3,2

= 11,2 + 5,4 + 2,4 + 1 + 6 + 8,8 + 3,2

= 38

Simpangan rata-rata:

SR = Σ −

Σ� �

�

� � �

�

= ��

� = 1,52

Jadi, simpangan rata-rata data 1,52.

6. Jawaban: b

Σfi = 30

Σfixi = 1.920

� = � �

�

��

�

ΣΣ

= ��

�� = 64

Σfi (xi – � )2 = 4(53 – 64)2 + 5(58 – 64)2 + 9(63 – 64)2

+ 5(68 – 64)2 + 7(73 – 64)2

= 4 × (–11)2 + 5 × (–6)2 + 9 × (–1)2

+ 5 × (4)2 + 7 × (9)2

= 4 × 121 + 5 × 36 + 9 × 1 + 5 × 16

+ 7 × 81

= 484 + 180 + 9 + 80 + 567

= 1.320

S = ( )�

� �

�

� � �

�

Σ −Σ

= ��

��

= �� = ×� �� = � × �� = 2 ��

Jadi, simpangan baku data tersebut 2 �� .

7. Jawaban: d

Bilangan ratusan kurang dari 400 akan dibentuk

dari angka-angka 0, 1, 2, 4, dan 5.

Bilangan ratusan memiliki nilai tempat ratusan,

puluhan, dan satuan.

Bilangan ratusan kurang dari 400 dapat dibentuk

dengan cara berikut.



dapat diisi

angka 0, 1, 2, 4, 5

dapat diisi angka 0, 1, 2, 4, 5

dapat diisi angka 1, 2

Banyak bilangan ratusan kurang dari 400 yang

dapat dibentuk = 2 × 5 × 5 = 50.

8. Jawaban: c

Susunan benda yang mungkin sebagai berikut.

A x x x x x F

F x x x x x A

5! cara

Bendera yang terletak di antara A dan F dapat

diatur dengan 5! cara.

Banyak cara mengatur bendera

= 2 × 5!

= 2 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 2 × 120

= 240

9. Jawaban: a

Banyak anak yang masih harus dipilih

= 5 – (1 + 2) = 2 anak

Kemungkinan 2 anak yang terpilih adalah 2 anak

laki-laki atau 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan

atau 2 anak perempuan.

Nilai (xi)

Frekuensi (fi)

fi x

i

3

4

12

4

3

12

5

3

15

6

5

30

7

5

35

8

4

32

9

1

9

fi

fix

ix

iBerat Badan (kg)

51–55

56–60

61–65

66–70

71–75

4

5

9

5

7

53

58

63

68

73

212

290

567

340

511


heru

Misalkan:

A = kejadian terpilih 2 anak laki-laki

B = kejadian terpilih 1 anak laki-laki dan 1 anak

perempuan

C = kejadian terpilih 2 anak perempuan

n(A) = banyak cara memilih 2 anak laki-laki dari 7

anak laki-laki

= 7C2 = ��

�� =

× ×× ×

� � �

� � � = 21

n(B) = banyak cara memilih 1 anak laki-laki dari 7

anak laki-laki dan 1 anak perempuan dari 4

anak perempuan

= 7C1 × 4C1

= ��

�� ×

��

��

= ××

� ��

� �� ×

××

� ��

� ��

= 7 × 4 = 28

n(C) = banyak cara memilih 2 anak perempuan dari

4 anak perempuan

= 4C2 = ��

�� =

× ×× ×

� � ��

� � �� = 6

Banyak cara memilih 2 anak lainnya = n(A) + n(B)

+ n(C) = 21 + 28 + 6 = 55 cara.

Jadi, banyak cara memilih 5 anak tersebut apabila

satu anak laki-laki dan dua anak perempuan harus

disertakan adalah 55.

10. Jawaban: e

Banyak soal yang harus dikerjakan = 5.

Sisa soal yang dapat dipilih siswa untuk dikerjakan

ada 3. Tiga soal tersebut dapat dipilih dari 5 soal.

Banyak pilihan soal = 5C3

= �

��

= × ×× ×

� ��

� � ��

= 10

Jadi, banyak pilihan soal yang dapat dikerjakan

siswa ada 10.

11. Jawaban: e

Dua kartu diambil dari 20 kartu, maka banyak

anggota ruang sampel:

n(S) = 20C2 = ��

�� =

× ×× ×

��

� � �� = 10 × 19 = 190

Kartu bernomor prima ada 4, yaitu 53, 59, 61, dan 67.

Misalkan A = kejadian terambil kedua kartu

bernomor prima, maka A′ = kejadian terambil kedua

kartu tidak bernomor prima.

n(A) = banyak cara mengambil 2 kartu bernomor

prima dari 4 kartu bernomor prima

= 4C2 = ��

�� =

× ×× ×

� � ��

� � �� = 2 × 3 = 6

Peluang terambil kedua kartu bernomor prima:

P(A) = ��

�� =

�

��

Peluang kedua kartu yang terambil tidak bernomor

prima:

P(A′) = 1 – P(A)

= 1 – �

�� =

��

�� =

��

�

Jadi, peluang kedua kartu yang terambil tidak

bernomor prima ��

�.

12. Jawaban: b

Jumlah kelereng dalam kotak = 3 + 5 + 4 = 12.

Tiga kelereng diambil dari 12 kelereng, maka

banyak anggota ruang sampel:

n(S) = 12C3

= ��

�� =

× × ×× × ×

��

� � � �� = 2 × 11 × 10 = 220

Kemungkinan kelereng yang terambil (2 biru,

1 kuning) atau (2 biru, 1 merah).

Misalkan:

A = kejadian terambil 2 kelereng biru dan 1 kelereng

kuning

B = kejadian terambil 2 kelereng biru dan 1 kelereng

merah

n(A) = banyak cara mengambil 2 kelereng biru dari

4 kelereng biru dan 1 kelereng kuning dari 3

kelereng kuning

= 4C2 × 3C

1

=

��

�� ×

��

��

= × ×× ×

� � ��

� � �� ×

××

� ��

� �� = 6 × 3 = 18

n(B) = banyak cara mengambil 2 kelereng biru dari

4 kelereng biru dan 1 kelereng merah dari 5

kelereng merah

= 4C2 × 5C

1

=

��

�� ×

�

��

= × ×× ×

� � ��

� � �� ×

××

��

� �� = 6 × 5 = 30

Kejadian A dan B saling lepas.

Peluang terambil 2 kelereng biru

= P(A) + P(B)

= ��

�� +

��

��

= ��

�� +

��

��

= ��

�� =

��


13. Jawaban: a

Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama

sekali, maka banyak anggota ruang sampel adalah

n(S) = 6 × 6.

Misalkan:

A = kejadian terlihat kedua mata dadu sama

= {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

B = kejadian terlihat hasil kali kedua mata dadu

lebih dari 20

= {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

A ∩ B = {(6, 6)}


Oleh karena A ∩ B = ∅, maka kejadian A dan B

tidak saling lepas.

Peluang terlihat kedua mata dadu sama atau hasil

kali kedua mata dadu tersebut lebih dari 20:

P = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ��

�� +

��

�� –

��

��

∩

= �

�� +

�

�� –

�

��

= ��

��

14. Jawaban: c

Banyak percobaan = n = 132 kali

S = kejadian terambil 2 bola dari 12 bola

n(S) = banyak cara mengambil 2 bola dari 12 bola

= 12

C2

= ��

�� =

× ×× ×

��

� � �� = 6 × 11= 66

Kemungkinan bola yang terambil adalah 2 bola

merah atau 1 bola merah dan 1 bola kuning.

Misalkan:

A = kejadian terambil 2 bola merah

B = kejadian terambil 1 bola merah dan 1 bola

kuning

n(A) = banyak cara mengambil 2 bola merah dari

7 bola merah

= 7C

2 =

��

�� =

× ×× ×

� � �

� � � = 7 × 3 = 21

n(B) = banyak cara mengambil 1 bola merah dari

7 bola merah dan 1 bola kuning dari 5 bola

kuning

= 7C

1 ×

5C

1

=

��

�� ×

�

��

= ××

� ��

� �� ×

××

��

� ��

= 7 × 5 = 35


Peluang terambil bola merah:

P = P(A) + P(B)

= ��

�� +

��

��

= ��

�� +

�

��

= �

��

= ��

��

Frekuensi harapan terambil 2 bola merah:

Fh

= P × n

= ��

�� × 132

= 112

15. Jawaban: b

Lingkaran yang berpusat di titik P(2, –5) mem-

punyai persamaan (x – 2)2 + (y + 5)2 = r2. Oleh

karena diameter lingkaran 18 maka jari-jarinya 9,

diperoleh:

(x – 2)2 + (y + 5)2 = r2

⇔ (x – 2)2 + (y + 5)2 = 92

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 81

⇔ x2 – 4x + y2 + 10y + 29 = 81

⇔ x2 – 4x + y2 + 10y – 52 = 0

⇔ x2 + y2 – 4x + 10y – 52 = 0

Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 4x + 10y

– 52 = 0.

16. Jawaban: a

Jari-jari lingkaran M sama dengan jarak titik pusat

P(2, 5) terhadap garis 2x + 3y – 6 = 0.

r = � �

��

� ��

−

= ��

��

−

= ��

��

= ��

Persamaan lingkaran M:

(x – 2)2 + (y – 5)2 = r2

⇔ (x – 2)2 + (y – 5)2 = ( �� )2

⇔ (x – 2)2 + (y – 5)2 = 13

Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 5)2 = 13.

17. Jawaban: e

x2 + y2 + ax – 8y + 4 = 0

Titik pusat = (–�

�a, 4).


heru

Oleh karena lingkaran menyinggung sumbu X,

diperoleh:

r = |ordinat pusat|

⇔ r = 4

⇔ � � �

�� + −− = 4

⇔ � �

�� + − = 4

⇔ � �

�� + = 4

⇔ �

�a2 + 12 = 16

⇔ �

�a2 = 4

⇔ a2 = 16

⇔ a = 4 atau –4

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –4 atau 4.

18. Jawaban: b

x2 + y2 – 4x + 8y = 0

⇔ x2 – 4x + y2 + 8y = 0

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 8y + 16 = 0 + 4 + 16

⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 20

Persamaan garis singgung yang bergradien 2:

y + 4 = 2(x – 2) ± r ��

⇔ y + 4 = 2x – 4 ± ��

⇔ y + 4 = 2x – 4 ± ��

⇔ y = 2x – 8 ± 10

⇔ y = 2x – 8 + 10 atau y = 2x – 8 – 10

⇔ y = 2x + 2 atau y = 2x – 18

Jadi, persamaan garis singgungnya y = 2x + 2

dan y = 2x – 18.

19. Jawaban: b

Garis 3x – 4y = 12 mempunyai gradien m1 = �

�.

Oleh karena garis singgung tegak lurus dengan

garis 3x – 4y = 12, diperoleh:

m · m1 = –1

⇔ m · �

�= –1

⇔ m = –�

�


y = mx ± r ��

⇔ y = –�

�x ± 3

� �

�� −

⇔ y = –�

�x ± 3

��

��

⇔ y = –�

�x ± 3

�

�

⇔ y = –�

�x ± 5

⇔ 3y = –4x ± 15

⇔ 4x + 3y ± 15 = 0

⇔ 4x + 3y + 15 = 0 atau 4x + 3y – 15 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya 4x + 3y + 15

= 0 atau 4x + 3y – 15 = 0.

20. Jawaban: a

Lingkaran memotong sumbu X positif ketika

y = 0, diperoleh:

(x – 3)2 + (y + 2)2 = 20

⇔ (x – 3)2 + (0 + 2)2 = 20

⇔ (x – 3)2 + 4 = 20

⇔ (x – 3)2 = 16

⇔ x – 3 = 4 atau x – 3 = –4

⇔ x = 7 atau x = –1

Oleh karena memotong sumbu X positif, maka titik

singgungnya (7, 0).


(x1 – 3)(x – 3) + (y1 + 2)(y + 2) = 20

⇔ (7 – 3)(x – 3) + (0 + 2)(y + 2) = 20

⇔ (4)(x – 3) + (2)(y + 2) = 20

⇔ 4x – 12 + 2y + 4 = 20

⇔ 4x + 2y – 8 = 20

⇔ 4x + 2y = 28

⇔ 2x + y = 14

Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y = 14.

21. Jawaban: a

Cek kedudukan titik (2, 3) terhadap lingkaran.

(x + 2)2 + (y – 1)2

= (2 + 2)2 + (3 – 1)2

= 42 + 22

= 16 + 4

= 20 > 16

Ternyata titik (2, 3) terletak di luar lingkaran.


(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 16

⇔ (2 + 2)(x + 2) + (3 – 1)(y – 1) = 16

⇔ (4)(x + 2) + (2)(y – 1) = 16

⇔ 4x + 8 + 2y – 2 = 16

⇔ 4x + 2y + 6 = 16

⇔ 4x + 2y = 10

⇔ 2x + y = 5

⇔ y = 5 – 2x

Substitusikan y = 5 – 2x ke dalam persamaan

lingkaran.

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 16

⇔ (x + 2)2 + (5 – 2x – 1)2 = 16

⇔ (x + 2)2 + (4 – 2x)2 = 16

⇔ x2 + 4x + 4 + 16 – 16x + 4x2 = 16

⇔ 5x2 – 12x + 20 = 16

⇔ 5x2 – 12x + 4 = 0

⇔ (5x – 2)(x – 2) = 0

⇔ 5x – 2 = 0 atau x – 2 = 0

⇔ x = �

atau x = 2


Untuk x = �

maka y = 5 – 2 ·

�

=

��

Untuk x = 2 maka y = 5 – 2 · 2 = 1

Diperoleh titik pada lingkaran, yaitu (�

,

��

) dan

(2, 1).

Persamaan garis singgung di titik (�

,

��

):

(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 16

⇔ (�

+ 2)(x + 2) + (

��

– 1)(y – 1) = 16

⇔ (��

)(x + 2) + (

��

)(y – 1) = 16

⇔ (12)(x + 2) + (16)(y – 1) = 80

⇔ 12x + 24 + 16y – 16 = 80

⇔ 12x + 16y + 8 = 80

⇔ 12x + 16y – 72 = 0

⇔ 3x + 4y – 18 = 0


(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1)(y – 1) = 16

⇔ (2 + 2)(x + 2) + (1 – 1)(y – 1) = 16

⇔ (4)(x + 2) + (0)(y – 1) = 16

⇔ 4x + 8 + 0 = 16

⇔ 4x = 8

⇔ x = 2

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

3x + 4y – 18 = 0 dan x = 2.

22. Jawaban: d

Diketahui A′(–8, 5)

A(4, –12) �� −→A′(4 + (a – 1), –12 + (b + 2)

Diperoleh:

4 + (a – 1) = –8

⇔ a + 3 = –8

⇔ a = –11

–12 + (b + 2) = 5

⇔ b – 10 = 5

⇔ b = 15

a + b = –11 + 15 = 4

Jadi, nilai a + b = 4.

23. Jawaban: a

Misalkan titik (x, y) terletak pada garis 5x + 3y = 20.

(x, y) �� −→ (x′, y′) = (x + 1, y – 7)

Diperoleh:

x′ = x + 1

⇔ x = x′ – 1

y′ = y – 7

⇔ y = y′ + 7

Substitusikan x = x′ – 1 dan y = y′ + 7 ke

persamaan 5x + 3y = 20.

5x + 3y = 20

⇔ 5(x′ – 1) + 3(y′ + 7) = 20

⇔ 5x′ – 5 + 3y′ + 21 = 20

⇔ 5x′ + 3y′ = 4

⇔ 5x + 3y = 4

Jadi, persamaan bayangan garis tersebut adalah

5x + 3y = 4.

24. Jawaban: b

A(–9, a + 3) ��"��→ A′(x′, y′) = A′(y, x)

= A′(2a, b + 2)

Diperoleh:

a + 3 = 2a

⇔ a = 3

b + 2 = –9

⇔ b = –11

a + b = 3 – 11 = –8

Jadi, nilai a + b = –8.

25. Jawaban: b

Misalkan titik (x, y) terletak pada lingkaran

(x + 1)2 + (y + 6)2 = 9.

(x, y) "��#→ (x′, y′) = (x, 2 · 4 – y)

Diperoleh:

x′ = x

y′ = 2 · 4 – y

⇔ y = 8 – y′Substitusikan x = x′ dan y = 8 – y′ ke persamaan

(x + 1)2 + (y + 6)2 = 9.

(x + 1)2 + (y + 6)2 = 9

⇔ (x′ + 1)2 + ((8 – y′) + 6)2 = 9

⇔ (x′ + 1)2 + (14 – y′)2 = 9

⇔ (x′ + 1)2 + (–(y′ – 14))2 = 9

⇔ (x′ + 1)2 + (y′ – 14)2 = 9

⇔ (x + 1)2 + (y – 14)2 = 9

Jadi, persamaan bayangannya adalah (x + 1)2 +

(y – 14)2 = 9.

26. Jawaban: b

A(a + 2, b – 1) $&'�� *°→ A′(–b + 1, a + 2)

Diketahui pula A′(–2b, 2a – 1) sehingga diperoleh:

–2b = –b + 1

⇔ b = –1

2a – 1 = a + 2

⇔ a = 3

Koordinat titik A(a + 2, b – 1) sehingga A(3 + 2, –1 – 1)

= A(5, –2).

Jadi, koordinat titik A(5, –2).

27. Jawaban: a

Misalkan titik (x, y) terletak pada persamaan��

� +

��" ��

�

− = 1.

(x, y) $&'�� *− °→ (x′, y′) = (y, –x)


heru

Diperoleh:

–x = y′⇔ x = –y′y = x′Substitusikan x = –y′ dan y = x′ ke persamaan

��

� +

��" ��

�

− = 1.

��

� +

��" ��

�

− = 1

⇔�� " ��

�

′− +

��

�

′ − = 1

⇔�� " ��

�

′− − +

��

�

′ − = 1

⇔��" ��

�

′ − +

��

�

′ − = 1

⇔��" ��

�

− +

��

�

− = 1

⇔��

�

− +

��" ��

�

− = 1

Jadi, persamaan bayangannya adalah ��

�

− +

��" ��

�

− = 1.

28. Jawaban: d

Dilatasi oleh faktor skala –2 dan titik pusat (3, 6)

sebagai berikut.

x′ = kx – ka + a

= (–2) · 2 – (–2) · 3 + 3

= –4 + 6 + 3

= 5

y′ = ky – kb + b

= (–2) · (–1) – (–2) · 6 + 6

= 2 + 12 + 6

= 20

Jadi, bayangan titik B adalah B′(5, 20).

29. Jawaban: b

; �<��→

�

�;(f(x + h) – f(x))

= �

� ·

; �<��→

�

;(f(x + h) – f(x))

= �

� ·

; �<��→

��;� ��

;

−

= �

� · f′(x)

= �

� · (2 · 4x3 – 4 · 2x + 0)

= �

� · (8x3 – 8x)

= 2x3 – 2x

30. Jawaban: e

f(x) = (2x3 – 2x2 + x + 4)5

Misalkan:

u = 2x3 – 2x2 + x + 4 maka u′ = 6x2 – 4x + 1.

Turunan f(x) = u5 adalah

f′(x) = 5u4 · u′= 5u4 · (6x2 – 4x + 1)

= 5(2x3 – 2x2 + x + 4)4 · (6x2 – 4x + 1)

= 5(6x2 – 4x + 1)(2x3 – 2x2 + x + 4)4

Nilai f′(–1)

= 5(6 · (–1)2 – 4 · (–1) + 1)(2 · (–1)3 – 2 · (–1)2

– 1 + 4)4

= 5(6 + 4 + 1)(–2 – 2 – 1 + 4)4

= 5(11)(–1)4

= 55

31. Jawaban: d

Misalkan:

a = 2x – 1

⇔ 2x = a + 1

⇔ x = ��

�

f(2x – 1) = 8x2 – 2

⇔ f(a) = 8�

��

�

– 2

= 2(a2 + 2a + 1) – 2

= 2a2 + 4a + 2 – 2

= 2a2 + 4a

f′(a) = 2 · 2a + 4

= 4a + 4

Nilai f′(–2) = 4 · (–2) + 4 = –8 + 4 = –4.

32. Jawaban: e

Gradien garis singgung kurva:

m = f′(x) = 3x – a

Substitusikan x = a – 1 ke dalam m = 3x – a,

diperoleh:

m = 3x – a

= 3(a – 1) – a

= 3a – 3 – a

= 2a – 3

Garis normal x + ay – 5 = 0 mempunyai gradien

mn = –�

�.

Oleh karena garis singgung dan garis normal saling

tegak lurus, diperoleh:

m · mn = –1

⇔ (2a – 3) · (–�

�) = –1

⇔ 2a – 3 = a

⇔ 2a – a = 3

⇔ a = 3

Diperoleh koordinat titik T(3 – 1, b) = T(2, b).

Substitusikan x = 2 dan a = 3 ke dalam persamaan

kurva.


f(x) = �

�x2 – ax + 1

⇔ b = �

� · 22 – 3 · 2 + 1

= 6 – 6 + 1

= 1

Jadi, koordinat titik T(2, 1).

33. Jawaban: a

Fungsi f(x) turun ketika f′(x) < 0.

f′(x) < 0

⇔ 3 · 4x3 – 16 · 3x2 + 24 · 2x < 0

⇔ 12x3 – 48x2 + 48x < 0

⇔ 12x(x2 – 4x + 4) < 0

⇔ 12x(x – 2)2 < 0

Pembuat titik nol:

12x = 0 dan x – 2 = 0

⇔ x = 0 atau x = 2

⇔ x < 0

Jadi, grafik fungsi f(x) turun pada interval x < 0.

34. Jawaban: d

Perhatikan kotak berikut.

Alas kotak berukuran a cm dan tingginya t cm.

Luas permukaan = 432

⇔ luas alas + 4 · luas bidang tegak = 432

⇔ a2 + 4 · at = 432

⇔ a2 + 4at = 432

⇔ 4at = 432 – a2

⇔ t = ��

��

−

Volume kotak:

V = luas alas · tinggi

= a2 · t

= a2 · ��

��

−

= ��

�

−

= ��

�

−

Volume kotak maksimum ketika V′(a) = 0.

V′(a) = 0

⇔ ��

� –

��

�= 0

⇔ ��

�=

��

�

⇔ 3a2 = 432

⇔ a2 = 144

⇔ a = ±12

Oleh karena ukuran panjang harus positif, nilai a

yang memenuhi adalah 12.

Volume maksimum:

V = ��

�

−

= ��

�

−

= ��

�

−

= 864

Jadi, volume maksimum kotak tersebut 864 cm3.

35. Jawaban: e

Banyak barang yang diproduksi x unit.

Biaya total produksi:

B(x) = (25x2 – 2.000x + 50.000) ribu

Harga penjualan per unit:

H(x) = (0,1x2 – 20x + 4.000) ribu

Harga total penjualan:

T(x) = x · H(x)

= x · (0,1x2 – 20x + 4.000) ribu

= (0,1x3 – 20x2 + 4.000x) ribu

Keuntungan:

U(x) = T(x) – B(x)

= (0,1x3 – 20x2 + 4.000x) – (25x2 – 2.000x

+ 50.000) ribu

= (0,1x3 – 45x2 + 6.000x – 50.000) ribu

Keuntungan maksimum dicapai ketika U′(x) = 0.

U′(x) = 0

⇔ 0,1 · 3x2 – 45 · 2x + 6.000 = 0

⇔ 0,3x2 – 90x + 6.000 = 0

⇔ 0,3(x2 – 300x + 20.000) = 0

⇔ 0,3(x – 100)(x – 200) = 0

⇔ x – 100 = 0 atau x – 200 = 0

⇔ x = 100 atau x = 200

Cek turunan kedua U(x).

U′′(x) = 0,6x – 90

Untuk x = 100 diperoleh

U′′(100) = 0,6 · 100 – 90 = –30 (maksimum)

Untuk x = 200 diperoleh

U’’(200) = 0,6 · 200 – 90 = 30 (minimum)

Jadi, keuntungan maksimum dicapai pada saat

banyak produksi 100 unit.

36. Jawaban: d

∫ �

�

� dx = 4 ∫ x–3 dx

= 4 · �

�− x–2 + c

= – �

�

� + c

0 2

– + +

aa

t


heru

37. Jawaban: e

∫ x(3x – 8) dx = ∫ (3x2 – 8x) dx

= 3 · �

�x3 – 8 ·

�

�x2 + c

= x3 – 4x2 + c

38. Jawaban: a

f′(x) = 6x + 5

Persamaan kurva:

f(x) = ∫ (6x + 5) dx

= 6 · �

�x2 + 5x + c = 3x2 + 5x + c

Grafik fungsi f(x) melalui titik (2, –3), berarti:

f(2) = –3 ⇔ 3(2)2 + 5(2) + c = –3

⇔ 12 + 10 + c = –3

⇔ 22 + c = –3

⇔ c = –25

Jadi, rumus fungsi f(x) = 3x2 + 5x – 25.

39. Jawaban: c


@

�= 1 ⇔ du = dx

Sehingga diperoleh:

∫ (x – 3)5 dx = ∫ u5 du

= �

�u6 + c

= �

�(x – 3)6 + c

40. Jawaban: b

Misalkan: u = 2x + 1 maka:

@

�= 2

⇔ dx = @

�

Sehingga diperoleh:

∫ �

�� +dx = ∫ �

@ ·

@

�

= ∫ 2�

�@−

du

= 2 ∫ �

�@−

du

= 2 · 2�

�@ + c = 4 �� + c

B. Uraian

1. a.

Mean:

� = =

=

∑

∑

�

� ��

�

��

��

�

= ��

� = 59,7

Jadi, rata-rata berat badan siswa 59,7 kg.

b. Tabel distribusi frekuensi kumulatif data

sebagai berikut.


Median = nilai data ke-�

�(50 + 1)


Median adalah nilai data ke-25,5 terletak di

kelas interval 56–62.

L = 56 – 0,5 = 55,5

fMe= 20

fkMe

= 13

p = 62 – 56 + 1 = 7.

Me = L + −

#E

E

�I�

#

�

� · p

= 55,5 + �

��

��

⋅ −

· 7

= 55,5 + � ��

��

−

· 7

= 55,5 + ��

�� · 7

= 55,5 + 4,2

= 59,7

Jadi, median berat badan siswa 59,7 kg.

2. a. Sajian data dalam bentuk tabel distribusi

frekuensi kumulatif sebagai berikut.


Berat Badan (kg)

42–48

49–55

56–62

63–69

70–76

∑=

�

� �

fi

3

10

20

13

4

50

xi

45

52

59

66

73

fix

i

135

520

1.180

858

292

2.985

42–48

49–55

56–62

63–69

70–76

fi

3

10

20

13

4

fk

3

13

33

46

50

Berat

Badan (kg)

← Kelas Me

22–26

27–31

32–36

37–41

42–46

47–51

fi

18

13

11

5

7

6

fk

18

31

42

47

54

60

Usia

(tahun)

← Kelas Q1

← Kelas Q3


Q1 = nilai data ke-�

�(60 + 1)



interval 22–26.

L1 = 22 – 0,5 = 21,5

fQ1 = 18

fkQ1 = 0

p = 26 – 22 +1 = 5

Q1 = L1 + W�

�

�I�

W

�

�

⋅ −

· p

= 21,5 + �

��

��

⋅ −

· 5

= 21�

� + 4

�

� = 25

�

�

Q3 = nilai data ke-�

�(60 + 1)



interval 37 – 41.

L3 = 37 – 0,5 = 36,5

fQ3 = 5

fkQ3= 42

Q3 = L3 + W�

�

�I�

W

�

�

⋅ −

· p

= 36,5 + �

��

⋅ −

· 5

= 36,5 + 3 = 39,5

Jangkauan antarkuartil

= Q3 – Q1

= 39�

� – 25

�

� = 13

�

Jadi, jangkauan antarkuartil data adalah 13

�

tahun.

b.

� = =

=

∑

∑

�

� ��

�

��

� �

� =

��

�� = 33

Ragam: S2 = =

=

−∑

∑

��

� ��

�

��

� ��

� =

��

�� = 70

�

�

Jadi, ragam data 70�

�.

3. Tim beranggotakan 3 orang, terdiri atas sekurang-

kurangnya 1 orang wanita.

Kemungkinan anggota tim terdiri atas 1 wanita dan

2 pria, 2 wanita dan 1 pria, atau 3 wanita.

Banyak cara memilih 1 wanita dari 4 wanita dan

2 pria dari 6 pria = 4C1 × 6C2

=

��

�� ×

��

��

= ××

� ��

� �� ×

× ×× ×

� ��

� � ��

= 4 × 15 = 60

Banyak cara memilih 2 wanita dari 4 wanita dan

1 pria dari 6 pria = 4C2 × 6C1

=

��

�� ×

��

��

= × ×× ×

� � ��

� � �� ×

××

� �

� �

= 6 × 6 = 36

Banyak cara memilih 3 wanita dari 4 wanita = 4C3

=

��

�� =

××

� ��

�� = 4

Jadi, banyak cara memilih anggota tim sekurang-

kurangnya terdiri atas 1 wanita = 60 + 36 + 4 = 100.

4. Sebuah bola diambil secara acak dari kotak A

kemudian dimasukkan ke kotak B.

Kemungkinan bola yang terambil dari kotak A

adalah 1 bola merah atau 1 bola kuning.

Kotak A berisi 7 bola, terdiri atas 3 bola merah

(3M) dan 4 bola kuning (3K).

Kotak B berisi 7 bola, terdiri atas 2 bola merah

(2M) dan 5 bola kuning (5K).

Misalkan:

A = kejadian terambil 1 bola merah dari kotak A

dan 1 bola kuning dari kotak B

B = kejadian terambil 1 bola kuning dari kotak A

dan 1 bola kuning dari kotak B

Proses pengambilan bola dan peluang kejadian A

dan B dapat digambarkan seperti skema berikut.fi

xi

fix

i(x

i – � )2 f

i (x

i – � )2

18 24 432 81 1.458

13 29 377 16 208

11 34 374 1 11

5 39 195 36 180

7 44 308 121 847

6 49 294 256 1.536

60 1.980 4.240�

�

Kotak A

3 M

4 K

Kotak B

3 M

5 K

Kotak B

2 M

6 K

K – (MK)

M – (KM)

M

K

�

�

�

�

�

Peluang pengambilan

bola dari kotak A

Peluang pengambilan

bola dari kotak B

P(MA)

P(KA)

P1(KB)

P2(KB)


heru

Peluang terambil 1 bola merah dari kotak A = P(MA)

= �

�.

Peluang terambil 1 bola kuning dari kotak B setelah

1 bola merah dimasukkan = P1(KB) =

�.

P(A) = P(MA) × P

1(K

B) =

�

� ×

� =

�

�

Peluang terambil 1 bola kuning dari kotak A =

P(KA) = �

�.

Peluang terambil 1 bola kuning dari kotak B setelah

1 bola kuning dimasukkan = P2(KB) = �

�.

P(B) = P(KA) × P

2(K

B) =

�

� ×

�

� =

��

�


Jadi, peluang terambil satu bola kuning

= P(A) + P(B) = �

� +

��

� =

��

�.

5. a. Kedudukan titik B

x2 + y2 + 8x – 6y + 20

= (–3)2 + 02 + 8 · (–3) – 6 · 0 + 20

= 9 + 0 – 24 – 0 + 20

= 5 > 0

Jadi, titik B(–3, 0) terletak di luar lingkaran.

b. Persamaan garis singgung

Oleh karena titik B terletak di luar lingkaran,

persamaan garis singgung dapat ditentukan

dengan menggunakan persamaan garis kutub.


x1x + y1y + 4(x + x1) – 3(y + y1) + 20 = 0

⇔ –3x + 0y + 4(x – 3) – 3(y + 0) + 20 = 0

⇔ –3x + 4x – 12 – 3y + 20 = 0

⇔ x – 3y + 8 = 0

⇔ x = 3y – 8

Substitusikan x = 3y – 8 ke dalam persamaan

lingkaran.

x2 + y2 + 8x – 6y + 20 = 0

⇔ (3y – 8)2 + y2 + 8(3y – 8) – 6y + 20 = 0

⇔9y2 – 48y + 64 + y2 + 24y – 64 – 6y + 20 = 0

⇔ 10y2 – 30y + 20 = 0

⇔ 10(y2 – 3y + 2) = 0

⇔ 10(y – 2)(y – 1) = 0

⇔ y – 2 = 0 atau y – 1 = 0

⇔ y = 2 atau y = 1

Untuk y = 2 maka x = 3 · 2 – 8 = –2

Untuk y = 1 maka x = 3 · 1 – 8 = –5

Diperoleh titik pada lingkaran, yaitu (–2, 2) dan

(–5, 1).

Persamaan garis singgung di titik (–2, 2):

x1x + y1y + 4(x + x1) – 3(y + y1) + 20 = 0

⇔ –2x + 2y + 4(x – 2) – 3(y + 2) + 20 = 0

⇔ –2x + 2y + 4x – 8 – 3y – 6 + 20 = 0

⇔ 2x – y + 6 = 0

Persamaan garis singgung di titik (–5, 1):

x1x + y1y + 4(x + x1) – 3(y + y1) + 20 = 0

⇔ –5x + y + 4(x – 5) – 3(y + 1) + 20 = 0

⇔ –5x + y + 4x – 20 – 3y – 3 + 20 = 0

⇔ –x – 2y – 3 = 0

⇔ x + 2y + 3 = 0

Jadi, persamaan garis singgungnya 2x – y + 6

= 0 dan x + 2y + 3 = 0.

6. a. A(9, 4) �� − −→ A′(9 – 3, 4 – 7)

= A′(6, –3)

Jadi, bayangan titik A adalah A′(6, –3).

b. A(9, 4) ��#→ A′(2 · 3 – 9, 4) = A′(–3, 4)

Jadi, bayangannnya adalah A′(–3, 4).

7. Misalkan titik (x, y) terletak pada elips ��

�

− +

��"��

� = 1.

(x, y) didilatasi dengan faktor skala 2 dan titik pusat

(1, 6) sehingga diperoleh:

x′ = kx – ka + a

⇔ x′ = 2x – 2 · 1 + 1

⇔ x′ = 2x – 1

⇔ x = " ��

�

′

y′ = ky – kb + b

⇔ y′ = 2y – 2 · 6 + 6

⇔ y′ = 2y – 6

⇔ y = " ��

�

′

Substitusikan x = � ��

�

′ dan y =

" ��

�

′ ke

persamaan ��

�

− +

��"��

� = 1.

��

�

− +

��"��

� = 1

⇔( )�

� ��

�

�

′

− +

( )�" ��

��

��

�

′

= 1

⇔�

��

�

�

′ − +

��" ��

�

�

′ = 1

⇔�

� �

�

�

− +

�" ��

�

�

′ = 1

⇔��

� ��

�

′ −

+

��" � ��

�

�

′

= 1


⇔��

��

′ − +

��" ��

��

′= 1

⇔��

��

− +

��" ��

��= 1

Jadi, persamaan bayangannya adalah ��

��

− +

��" ��

�� = 1.

8. Titik stasioner kurva dicapai ketika f′(x) = 0.

f′(x) = 0

⇔ 2 · 3x2 – 3 · 2x – 12 = 0

⇔ 6x2 – 6x – 12 = 0

⇔ 6(x2 – x – 2) = 0

⇔ 6(x – 2)(x + 1) = 0

⇔ x – 2 = 0 atau x + 1 = 0

⇔ x = 2 atau x = –1

Cek turunan kedua f(x).

f′′(x) = 6 · 2x – 6

= 12x – 6

Untuk x = 2

f′′(2) = 12 · 2 – 6 = 24 > 0 (minimum)

f(2) = 2 · 23 – 3 · 22 – 12 · 2 + 2

= 16 – 12 – 24 + 2

= –18

Diperoleh titik stasioner minimum (2, –18).

Untuk x = –1

f′′(–1) = 12 · –1 – 6 = –18 < 0 (maksimum)

f(–1) = 2 · (–1)3 – 3 · (–1)2 – 12 · (–1) + 2

= –2 – 3 + 12 + 2

= 9

Diperoleh titik stasioner minimum (–1, 9).

Jadi, titik stasioner minimum (2, –18) dan titik

stasioner maksimum (–1, 9).

9. Fungsi f(x) mempunyai titik stasioner ketika f’(x) = 0.

f′(x) = 0

⇔ 2x + b = 0

⇔ 2a + b = 0

⇔ b = –2a . . . (1)

f(a) = –3

⇔ a2 + ab + 1 = –3

⇔ a2 + a(–2a) + 1 = –3

⇔ a2 – 2a2 = –4

⇔ –a2 = –4

⇔ a = 2 atau a = –2

Untuk a = 2 maka b = –2 · 2 = –4

Untuk a = –2 maka b = –2 · (–2) = 4

Nilai ab = 2 · (–4) = –8.

Jadi, nilai ab = –8.

10. f(x) = 2x – 3 dan g(x) = x + 2

a. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ (2x – 3 + x + 2) dx

= ∫ (3x – 1) dx

= 3 · �

�x2 – x + c

= �

�x2 – x + c

b. ∫ (f(x) × g(x)) dx = ∫ ((2x – 3) × (x + 2)) dx

= ∫ (2x2 + x – 6) dx

= 2 · �

�x3 +

�

�x2 – 6x + c

= �

�x3 +

�

�x2 – 6x + c


SIL

AB

US

Sta

tis

tik

a

Mata

Pela

jaran

:M

ate

matika

Satu

an

Pen

did

ikan

:S

MA

/MA

Kela

s/S

em

este

r:

XI/

2

Ko

mp

ete

nsi In

ti:

1.

Menghayati d

an m

engam

alk

an a

jara

n a

gam

a y

ang d

ianutn

ya.

2.

Menghayati d

an m

engam

alk

an p

erila

ku juju

r, d

isip

lin, ta

nggung jaw

ab, peduli (

goto

ng r

oyong, kerja s

am

a, to

lera

n, dam

ai),

santu

n, re

sponsif d

an p

roaktif dan m

enunju

kkan s

ikap s

ebagai bagia

n d

ari s

olu

si ata

s b

erb

agai perm

asala

han d

ala

m b

erinte

raksi

secara

efe

ktif dengan lin

gkungan s

osia

l dan a

lam

sert

a d

ala

m m

enem

patk

an d

iri sebagai cerm

inan b

angsa d

ala

m p

erg

aula

n

dunia

.

3.

Mem

aham

i, m

enera

pkan, dan m

enganalisis

pengeta

huan faktu

al, k

onseptu

al, p

rosedura

l, d

an m

eta

kognitif b

erd

asark

an rasa

ingin

tahunya tenta

ng ilm

u p

engeta

huan, te

knolo

gi, s

eni, b

udaya, dan h

um

anio

ra d

engan w

aw

asan k

em

anusia

an, k

ebangsaan,

kenegara

an, dan p

era

daban terk

ait p

enyebab fenom

ena d

an k

eja

dia

n, sert

a m

enera

pkan p

engeta

huan p

rosedura

l pada b

idang

kajian y

ang s

pesifik

sesuai dengan b

akat dan m

inatn

ya u

ntu

k m

em

ecahkan m

asala

h.

4.

Mengola

h, m

enala

r, d

an m

enyaji d

ala

m ranah k

onkre

t dan ranah a

bstr

ak terk

ait d

engan p

engem

bangan d

ari y

ang d

ipela

jarinya

di sekola

h s

ecara

mandiri, b

ert

indak s

ecara

efe

ktif dan k

reatif, s

ert

a m

am

pu m

enggunakan m

eto

de s

esuai kaid

ah k

eilm

uan.

1.1

Menghayati dan m

engam

al-

ka

n

aja

ra

n

ag

am

a

ya

ng

dia

nu

tnya

.

2.1

Me

milik

i m

oti

va

si

inte

rn

al,

ke

ma

mp

ua

n b

eke

rja

sa

ma

,

ko

ns

iste

n,

sik

ap

d

isip

lin

,

rasa perc

aya diri, dan sik

ap

tole

ran

si

da

lam

p

erb

ed

aa

n

str

ate

gi

be

rp

ikir

d

ala

m

me

milih

d

an

m

en

era

pka

n

str

ate

gi

me

ny

ele

sa

ika

n

ma

sa

lah

.

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

15 jp

•M

engagum

i pengertia

n

da

n m

akn

a sta

tistika

sert

a penggunaannya

dala

m keseharian.

•M

em

ilik

i sik

ap k

onsis

-

ten

, te

liti d

an

ce

rma

t,

dis

iplin, dan r

asa ingin

tahu d

ala

m m

enghadapi

da

n m

en

ye

les

aik

an

pe

rma

sa

lah

an

.

•M

em

ilik

i s

ika

p

da

n

be

rpe

rila

ku

ju

jur

da

n

tan

gg

uh

m

en

gh

ad

ap

i

masala

h dala

m m

em

-

pela

jari sta

tistika.

1.

Bu

ku

M

ate

ma

tika

SM

A/M

A K

ela

s X

I,

Ke

me

nte

ria

n P

en

-

did

ika

n d

an

K

eb

u-

da

ya

an

R

ep

ub

lik

Ind

on

esia

2.

Bu

ku

G

uru

M

ate

-

ma

tik

a

SM

A/M

A

Kela

s X

I, K

em

ente

-

rian P

endid

ikan d

an

Ke

bu

da

ya

an

R

e-

publik In

donesia

3.

Bu

ku

P

R M

ate

ma

-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

4.

Buku P

G M

ate

ma-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Sta

tis

tik

a

•T

ab

el

Dis

trib

us

i

Fre

ku

en

si

da

n H

is-

tog

ram

•U

ku

ran

P

em

usa

tan

•U

ku

ra

n L

eta

k d

an

Uku

ran

P

en

ye

ba

ran

•M

en

ga

ma

ti p

en

gg

un

aa

n

sta

tistika d

ala

m k

ehid

upan

se

ha

ri-h

ari

.

•M

en

jela

ska

n p

en

ge

rti

an

dan r

um

us m

ean, m

edia

n,

dan m

odus.

•M

en

gh

itu

ng

n

ila

i m

ea

n,

me

dia

n,

da

n m

od

us d

ata

tun

gg

al.

•M

en

gh

itu

ng

n

ila

i m

ea

n,

me

dia

n,

da

n m

od

us d

ata

berk

elo

mpok d

ala

m b

entu

k

tab

el

dis

trib

usi

fre

ku

en

si

bia

sa

, ta

be

l d

istr

ibu

si

fre

ku

en

si

re

lati

f,

tab

el

dis

trib

us

i fr

ek

ue

ns

i

ku

mu

latif,

h

isto

gra

m,

da

n

po

lig

on

fr

eku

en

si.

•M

en

jela

ska

n p

en

ge

rti

an

da

n ru

mu

s ku

art

il,

de

sil,

dan pers

entil.

256 Silabus

•M

en

gh

itu

ng

n

ila

i ku

arti

l,

de

sil,

da

n p

erse

ntil

da

ta

tunggal.

•M

en

gh

itu

ng

n

ila

i ku

arti

l,

desil, dan p

ers

entil data

ber-

ke

lom

po

k d

ala

m b

en

tuk

tab

el

dis

trib

usi

fre

ku

en

si

bia

sa

, t

ab

el

dis

trib

usi fr

e-

kuensi

rela

tif,

ta

be

l d

istr

i-

bu

si

fre

ku

en

si

ku

mu

lati

f,

his

tog

ra

m,

da

n p

oli

go

n

fre

ku

en

si.

•M

en

jela

ska

n p

en

ge

rti

an

jan

gka

ua

n,

jan

gka

ua

n

an

tarku

arti

l,

sim

pa

ng

an

kuartil, sim

pangan r

ata

-rata

,

ra

ga

m,

da

n

sim

pa

ng

an

baku.

•M

enghitung nilai ja

ngkauan,

jangkauan anta

rkuartil,

sim

-

pangan kuart

il,

sim

pangan

rata

-rata

, ra

gam

, dan sim

-

pangan b

aku d

ata

tunggal.

•M

enghitung n

ilai ja

ngkauan,

jan

gka

ua

n

an

tarku

arti

l,

sim

pa

ng

an

ku

arti

l, sim

-

pa

ng

an

ra

ta-r

ata

, ra

ga

m,

dan sim

pangan baku data

berk

elo

mpok d

ala

m b

entu

k

tab

el

dis

trib

usi

fre

ku

en

si

bia

sa

, ta

be

l d

istr

ibu

si

fre

ku

en

si

re

lati

f,

tab

el

dis

trib

usi

frekuensi

ku

mu

-

latif, h

isto

gra

m, dan p

oligon

fre

ku

en

si.

•M

en

ce

rm

ati

sa

jia

n d

ata

da

lam

b

en

tuk ta

be

l dis

tri-

busi fr

ekuensi b

iasa

, ta

be

l

dis

trib

usi

frekuensi

rela

tif,

tab

el

dis

trib

usi

fre

ku

en

si

ku

mu

latif,

h

isto

gra

m,

da

n

po

lig

on

fr

eku

en

si.

•M

em

ilik

i ra

sa kein

gin

-

tah

ua

n m

em

pe

laja

ri

sta

tis

tik

a s

erta

k

e-

ma

nfa

ata

nn

ya

.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

pengert

ian d

an r

um

us

me

an

, m

ed

ian

, d

an

mo

du

s.

•M

am

pu

m

en

gh

itu

ng

nila

i m

ea

n,

me

dia

n,

da

n

mo

du

s

da

ta

tun

gg

al

da

n

da

ta

be

rke

lom

po

k.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

pengert

ian d

an r

um

us

ku

arti

l,

de

sil

, d

an

pe

rse

ntil.

•M

am

pu

m

en

gh

itu

ng

nilai

kuart

il,

desil,

dan

pers

entil

data

tu

nggal

da

n

da

ta

berk

elo

mpok.

•M

am

pu m

en

jela

ska

n

pengert

ian jangkauan,

jangkauan anta

rkuartil,

sim

pa

ng

an

ku

arti

l,

sim

pa

ng

an

ra

ta-r

ata

,

ragam

, dan s

impangan

baku.

•M

am

pu

m

en

gh

itu

ng

nilai

jangkauan,

jang-

ka

ua

n

an

tarku

arti

l,

sim

pa

ng

an

ku

arti

l,

sim

pa

ng

an

ra

ta-r

ata

,

ragam

, dan s

impangan

baku d

ata

tunggal dan

data

berk

elo

mpok.

2.2

Mam

pu m

entransfo

rmasi diri

da

lam

b

erp

eri

laku

ju

jur,

tangguh m

engadapi m

asala

h,

kri

tis

da

n

dis

iplin

d

ala

m

me

laku

ka

n tu

ga

s b

ela

jar

mate

matika.

2.3

Me

nu

nju

kka

n sik

ap

b

er-

tanggung jaw

ab, ra

sa ingin

tah

u,

juju

r,

da

n p

erila

ku

peduli lingkungan.

3.1

2M

en

de

skrip

sik

an

d

an

me

ng

gu

na

ka

n

be

rb

ag

ai

ukura

n p

em

usata

n, le

tak d

an

pe

nye

ba

ra

n d

ata

se

su

ai

de

ng

an

ka

rakte

ristik d

ata

me

lalu

i a

tura

n d

an

ru

mu

s

se

rta

m

en

afs

irka

n

da

n

mengom

unik

asik

annya.

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar


4.9

Menyajikan dan m

engola

h

da

ta sta

tistik d

eskri

ptif

ke

da

lam

ta

be

l d

istr

ibu

si

da

n

his

tog

ram

u

ntu

k m

em

pe

r-

jela

s d

an

m

en

ye

lesa

ika

n

ma

sa

lah

ya

ng

b

erka

ita

n

dengan kehid

upan nyata

.

•M

am

pu m

em

baca d

ata

da

lam

b

en

tuk

tab

el

dis

trib

us

i fr

ek

ue

ns

i

dan his

togra

m.

•M

am

pu m

endeskripsi-

kan unsur-

unsur

yang

terd

ap

at

da

lam

ta

be

l

dis

trib

usi fr

ekuensi dan

his

togra

m.

•M

am

pu

m

en

ya

jik

an

data

dala

m b

entu

k tabel

dis

trib

us

i fr

ek

ue

ns

i

dan his

togra

m.

•M

en

de

skrip

sik

an

u

nsu

r-

unsur

yang t

erd

apat

dala

m

tab

el

dis

trib

usi

fre

ku

en

si

bia

sa

, t

ab

el d

istr

ibusi fr

e-

kuensi

rela

tif,

ta

be

l dis

tri-

bu

si

fre

ku

en

si

ku

mu

latif,

his

tog

ra

m,

da

n p

olig

on

fre

ku

en

si.

•M

en

ya

jika

n d

ata

d

ala

m

be

ntu

k ta

be

l d

istr

ibu

si

fre

ku

en

si

bia

sa

, ta

be

l

dis

trib

usi

frekuensi

rela

tif,

tab

el

dis

trib

usi

fre

ku

en

si

ku

mu

latif,

h

isto

gra

m,

da

n

po

lig

on

fr

eku

en

si.

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

258 Silabus

SIL

AB

US

Atu

ra

n P

en

ca

ca

ha

n d

an

P

elu

an

g

Mata

Pela

jaran

:M

ate

matika

Satu

an

Pen

did

ikan

:S

MA

/MA

Kela

s/S

em

este

r:

XI/

2

Ko

mp

ete

nsi In

ti:

1.

Menghayati d

an m

engam

alk

an a

jara

n a

gam

a y

ang d

ianutn

ya.

2.

Menghayati d

an m

engam

alk

an p

erila

ku juju

r, d

isip

lin, ta

nggung jaw

ab, peduli (

goto

ng r

oyong, kerja s

am

a, to

lera

n, dam

ai),

santu

n, re

sponsif d

an p

roaktif dan m

enunju

kkan s

ikap s

ebagai bagia

n d

ari s

olu

si ata

s b

erb

agai perm

asala

han d

ala

m b

erinte

raksi

secara

efe

ktif dengan lin

gkungan s

osia

l dan a

lam

sert

a d

ala

m m

enem

patk

an d

iri sebagai cerm

inan b

angsa d

ala

m p

erg

aula

n

dunia

.

3.

Mem

aham

i, m

enera

pkan, dan m

enganalisis

pengeta

huan faktu

al, k

onseptu

al, p

rosedura

l, d

an m

eta

kognitif b

erd

asark

an rasa

ingin

tahunya tenta

ng ilm

u p

engeta

huan, te

knolo

gi, s

eni, b

udaya, dan h

um

anio

ra d

engan w

aw

asan k

em

anusia

an, k

ebangsaan,

kenegara

an, dan p

era

daban terk

ait p

enyebab fenom

ena d

an k

eja

dia

n, sert

a m

enera

pkan p

engeta

huan p

rosedura

l pada b

idang

kajian y

ang s

pesifik

sesuai dengan b

akat dan m

inatn

ya u

ntu

k m

em

ecahkan m

asala

h.

4.

Mengola

h, m

enala

r, d

an m

enyaji d

ala

m ranah k

onkre

t dan ranah a

bstr

ak terk

ait d

engan p

engem

bangan d

ari y

ang d

ipela

jarinya

di sekola

h s

ecara

mandiri, b

ert

indak s

ecara

efe

ktif dan k

reatif, s

ert

a m

am

pu m

enggunakan m

eto

de s

esuai kaid

ah k

eilm

uan.

1.1

Menghayati dan m

engam

al-

ka

n

aja

ra

n

ag

am

a

ya

ng

dia

nu

tnya

.

2.1

Me

milik

i m

oti

va

si

inte

rn

al,

ke

ma

mp

ua

n b

eke

rja

sa

ma

,

ko

ns

iste

n,

sik

ap

d

isip

lin

,

rasa perc

aya diri, dan sik

ap

tole

ran

si

da

lam

p

erb

ed

aa

n

str

ate

gi

be

rp

ikir

d

ala

m

me

milih

, d

an

m

en

era

pka

n

str

ate

gi

me

ny

ele

sa

ika

n

ma

sa

lah

.

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

15 jp

•M

en

ga

gu

mi

pe

ng

ert

i-

an dan m

akna a

tura

n

pe

nc

ac

ah

an

d

an

pe

lua

ng

se

rta

p

en

g-

gunaannya dala

m ke-

seharian.

•M

em

ilik

i sik

ap k

onsis

-

ten

, te

liti d

an

ce

rma

t,

dis

iplin, dan r

asa ingin

tahu d

ala

m m

enghadapi

da

n m

en

ye

les

aik

an

pe

rma

sa

lah

an

.

1.

Bu

ku

M

ate

ma

tika

SM

A/M

A K

ela

s X

I,

Ke

me

nte

ria

n P

en

-

did

ika

n d

an

K

eb

u-

da

ya

an

R

ep

ub

lik

Ind

on

esia

2.

Bu

ku

G

uru

M

ate

-

ma

tik

a

SM

A/M

A

Kela

s X

I, K

em

ente

-

rian P

endid

ikan d

an

Ke

bu

da

ya

an

R

e-

publik In

donesia

3.

Bu

ku

P

R M

ate

ma

-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

4.

Buku P

G M

ate

ma-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Pe

lua

ng

•A

tura

n P

en

ca

ca

ha

n

•P

elu

an

g S

ua

tu K

e-

jadia

n

•P

elu

an

g

Ke

jad

ian

Ma

jem

uk

•M

en

ga

ma

ti p

en

gg

un

aa

n

atu

ra

n p

en

ca

ca

ha

n d

an

pelu

ang dala

m kehid

upan

se

ha

ri-h

ari

.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

atu

ran

p

erk

alia

n.

•M

en

ce

rm

ati

k

on

str

uk

si

atu

ran

p

erk

alia

n.

•M

en

ye

lesa

ika

n p

erm

asa

-

lahan te

nta

ng atu

ran per-

ka

lia

n.

•M

en

jela

sk

an

k

on

se

p

fakto

ria

l.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

pe

rmu

tasi.

•M

en

ce

rm

ati

k

on

str

uk

si

rum

us p

erm

uta

si.

•M

en

ye

lesa

ika

n p

erm

asa

-

lahan te

nta

ng perm

uta

si.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

pe

rmu

tasi

de

ng

an

b

eb

e-

rapa unsur

yang sam

a.


2.2

Mam

pu m

entransfo

rmasi diri

da

lam

b

erp

eri

laku

ju

jur,

tangguh m

engadapi m

asala

h,

kri

tis d

an

d

isip

lin

d

ala

m

me

laku

ka

n tu

ga

s b

ela

jar

mate

matika.

2.3

Me

nu

nju

kka

n sik

ap

b

er-

tanggung jaw

ab, ra

sa ingin

tah

u,

juju

r,

da

n p

erila

ku

peduli lingkungan.

3.1

3M

en

de

skri

psik

an

da

n m

e-

ne

rap

ka

n b

erb

ag

ai

atu

ran

pe

nca

ca

ha

n m

ela

lui b

eb

e-

ra

pa

co

nto

h n

ya

ta se

rta

me

nya

jika

n a

lur

pe

rum

us-

an

a

tura

n p

en

ca

ca

ha

n

(pe

rka

lia

n,

pe

rmu

tasi

da

n

ko

mb

ina

si)

m

ela

lui

dia

-

gra

m a

tau

ca

ra la

inn

ya

.

3.1

4M

en

era

pka

n

be

rb

ag

ai

ko

nse

p d

an

p

rin

sip

p

er-

muta

si dan k

om

bin

asi dala

m

pem

ecahan m

asala

h n

yata

.

3.1

5M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

rua

ng

sa

mp

el d

an

me

ne

n-

tuk

an

p

elu

an

g

su

atu

ke

jad

ian

d

ala

m

su

atu

pe

rco

ba

an

.

3.1

6M

en

de

sk

rip

sik

an

d

an

menera

pkan a

tura

n/r

um

us

pe

lua

ng

d

ala

m

me

m-

pre

dik

si

terja

din

ya

su

atu

ke

jad

ian

du

nia

nya

ta s

ert

a

me

nje

las

ka

n

ala

sa

n-

ala

sa

nn

ya

.

3.1

7M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

pe

lua

ng

d

an

h

ara

pa

n

su

atu

k

eja

dia

n

da

n

me

ng

gu

na

ka

nn

ya

d

ala

m

pe

me

ca

ha

n m

asa

lah

.

•M

em

ilik

i s

ika

p d

an

be

rpe

rila

ku

ju

jur

da

n

tan

gg

uh

m

en

gh

ad

ap

i

masala

h d

ala

m m

em

-

pe

laja

ri

atu

ra

n p

en

-

cacahan d

an p

elu

ang.

•M

em

ilik

i ra

sa kein

gin

-

tah

ua

n m

em

pe

laja

ri

atu

ra

n p

en

ca

ca

ha

n

dan p

elu

ang, sert

a k

e-

manfa

ata

nnya.

•M

am

pu

m

en

de

skri

p-

sik

an

ko

nse

p a

tura

n

pe

rka

lia

n,

pe

rmu

tasi

dan kom

bin

asi.

•M

am

pu m

en

era

pka

n

ko

nse

p a

tura

n p

er-

kalian,

perm

uta

si

dan

kom

bin

asi

da

lam

p

e-

me

ca

ha

n m

asa

lah

.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

pengert

ian p

erc

obaan

sta

tis

tik

a,

ru

an

g

sa

mp

el, titik sa

mp

el,

ke

jad

ian

, d

an

kom

ple

men keja

dia

n.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

ru

an

g sa

mp

el

su

atu

perc

obaan.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

pe

ng

erti

an

p

elu

an

g

su

atu

ke

jad

ian

,

pe

lua

ng

ko

mp

lem

en

su

atu

ke

jad

ian

d

an

kis

ara

n nilai

pelu

ang.

•M

am

pu

m

en

gh

itu

ng

pelu

ang s

uatu

keja

dia

n.

•M

am

pu

m

en

gh

itu

ng

pe

lua

ng

ko

mp

lem

en

suatu

keja

dia

n.

•M

am

pu m

endeskripsi-

kan konsep fr

ekue

nsi

ha

ra

pa

n

su

atu

k

e-

jadia

n.

•M

en

ce

rm

ati

k

on

str

uk

si

rum

us p

erm

uta

si

de

ng

an

be

be

ra

pa

u

ns

ur

ya

ng

sa

ma

.

•M

en

ye

lesa

ika

n p

erm

asa

-

lah

an

te

nta

ng

p

erm

uta

si

de

ng

an

b

eb

era

pa

u

nsu

r

ya

ng

sa

ma

.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

perm

uta

si

sik

lis.

•M

en

ce

rm

ati

k

on

str

uk

si

rum

us p

erm

uta

si

sik

lis.

•M

en

ye

lesa

ika

n p

erm

asa

l-

ah

an

te

nta

ng

p

erm

uta

si

sik

lis.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

ko

mb

ina

si.

•M

en

ce

rm

ati

k

on

str

uk

si

rum

us ko

mb

ina

si.

•M

en

ye

lesa

ika

n p

erm

asa

-

lahan te

nta

ng kom

bin

asi.

•M

en

jela

ska

n p

en

ge

rti

an

pe

rc

ob

aa

n

sta

tis

tik

a,

ruang s

am

pel, titik

sam

pel,

keja

dia

n,

dan kom

ple

men

ke

jad

ian

.

•M

enentu

kan r

uang s

am

pel

su

atu

p

erc

ob

aa

n.

•M

en

jela

ska

n p

en

ge

rti

an

pelu

ang s

uatu

keja

dia

n.

•M

en

jela

ska

n kis

ara

n n

ila

i

pe

lua

ng

.

•M

en

jela

ska

n p

en

ge

rti

an

pelu

ang k

om

ple

men s

uatu

ke

jad

ian

.

•M

enghitung p

elu

ang s

uatu

ke

jad

ian

.

•M

enghitung pelu

ang kom

-

ple

men suatu

keja

dia

n.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

fre

ku

en

si

h

ara

pa

n su

atu

ke

jad

ian

.

•M

en

en

tuka

n

fre

ku

en

si

hara

pan suatu

keja

dia

n.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

keja

dia

n s

aling le

pas.

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

260 Silabus

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Po

rto

fo

lio

•L

ap

ora

n T

ug

as

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

Po

rto

fo

lio

•L

ap

ora

n T

ug

as

•M

en

gh

itu

ng

p

elu

an

g

keja

dia

n s

aling le

pas.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

keja

dia

n saling bebas.

•M

en

gh

itu

ng

p

elu

an

g ke

-

jadia

n s

aling b

ebas.

•M

en

de

skri

psik

an

ko

nse

p

keja

dia

n bers

yara

t.

•M

en

gh

itu

ng

p

elu

an

g ke

-

jadia

n bers

yara

t.

•M

em

ilih

d

an

m

en

gg

un

a-

ka

n a

tura

n p

en

ca

ca

ha

n

yang s

esuai dala

m p

em

e-

ca

ha

n

ma

sa

lah

n

ya

ta

sert

a m

em

berikan a

lasan-

nya

.

•M

en

ye

lesa

ika

n

ma

sa

lah

nya

ta

ya

ng

b

erka

ita

n

dengan atu

ran pencacah-

an

.

•M

en

ye

lesa

ika

n

ma

sa

lah

nya

ta

ya

ng

b

erka

ita

n

dengan pelu

ang.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

fre

ku

en

si

ha

ra

pa

n

suatu

keja

dia

n.

•M

am

pu m

endeskripsi-

ka

n ko

nse

p ke

jad

ian

saling le

pas.

•M

am

pu

m

en

gh

itu

ng

pelu

ang k

eja

dia

n s

aling

lep

as.

•M

am

pu m

endeskripsi-

ka

n ko

nse

p ke

jad

ian

saling bebas.

•M

am

pu

m

en

gh

itu

ng

pelu

ang k

eja

dia

n s

aling

bebas.

•M

am

pu m

endeskripsi-

ka

n ko

nse

p ke

jad

ian

be

rsya

rat.

•M

am

pu

m

en

gh

itu

ng

pelu

ang keja

dia

n ber-

sya

rat.

•M

am

pu

m

em

ilih

d

an

me

ng

gu

na

ka

n a

tura

n

pencacahan yang se-

suai dala

m pem

ecahan

ma

sa

lah

n

ya

ta se

rta

mem

berikan ala

sannya.

•M

am

pu

m

en

ye

lesa

i-

kan m

asala

h n

yata

yang

berk

aitan d

engan a

tura

n

pe

nca

ca

ha

n.

•M

am

pu

m

en

ye

lesa

i-

kan m

asala

h n

yata

yang

be

rka

ita

n

de

ng

an

pelu

ang.

4.1

0M

em

ilih

dan m

enggunakan

atu

ran

p

en

ca

ca

ha

n ya

ng

se

su

ai

da

lam

p

em

eca

ha

n

ma

sa

lah

n

ya

ta

se

rta

me

mb

eri

ka

n a

lasa

nn

ya

.

4.1

1M

en

gid

en

tifika

si

ma

sa

lah

nya

ta

da

n

me

ne

ra

pka

n

atu

ran p

erk

alian, perm

uta

si,

da

n

ko

mb

ina

si

da

lam

pe

me

ca

ha

n

ma

sa

lah

ters

eb

ut.

4.1

2M

en

gid

en

tifika

si, m

en

ya

ji-

kan m

odel m

ate

matika d

an

me

ne

ntu

ka

n p

elu

an

g d

an

ha

ra

pa

n su

atu

ke

jad

ian

dari m

asala

h konte

ktu

al.


SIL

AB

US

Pe

rs

am

aa

n L

ing

ka

ra

n

Mata

Pela

jaran

:M

ate

matika

Satu

an

Pen

did

ikan

:S

MA

/MA

Kela

s/S

em

este

r:

XI/

2

Ko

mp

ete

nsi In

ti:

1.

Menghayati d

an m

engam

alk

an a

jara

n a

gam

a y

ang d

ianutn

ya.

2.

Menghayati d

an m

engam

alk

an p

erila

ku juju

r, d

isip

lin, ta

nggung jaw

ab, peduli (

goto

ng r

oyong, kerja s

am

a, to

lera

n, dam

ai),

santu

n, re

sponsif d

an p

roaktif dan m

enunju

kkan s

ikap s

ebagai bagia

n d

ari s

olu

si ata

s b

erb

agai perm

asala

han d

ala

m b

erinte

raksi

secara

efe

ktif dengan lin

gkungan s

osia

l dan a

lam

sert

a d

ala

m m

enem

patk

an d

iri sebagai cerm

inan b

angsa d

ala

m p

erg

aula

n

dunia

.

3.

Mem

aham

i, m

enera

pkan, dan m

enganalisis

pengeta

huan faktu

al, k

onseptu

al, p

rosedura

l, d

an m

eta

kognitif b

erd

asark

an rasa

ingin

tahunya tenta

ng ilm

u p

engeta

huan, te

knolo

gi, s

eni, b

udaya, dan h

um

anio

ra d

engan w

aw

asan k

em

anusia

an, k

ebangsaan,

kenegara

an, dan p

era

daban terk

ait p

enyebab fenom

ena d

an k

eja

dia

n, sert

a m

enera

pkan p

engeta

huan p

rosedura

l pada b

idang

kajian y

ang s

pesifik

sesuai dengan b

akat dan m

inatn

ya u

ntu

k m

em

ecahkan m

asala

h.

4.

Mengola

h, m

enala

r, d

an m

enyaji d

ala

m ranah k

onkre

t dan ranah a

bstr

ak terk

ait d

engan p

engem

bangan d

ari y

ang d

ipela

jarinya

di sekola

h s

ecara

mandiri, b

ert

indak s

ecara

efe

ktif dan k

reatif, s

ert

a m

am

pu m

enggunakan m

eto

de s

esuai kaid

ah k

eilm

uan.

1.1

Menghayati dan m

engam

al-

kan agam

a yang dia

nutn

ya.

2.1

Me

milik

i m

oti

va

si

inte

rn

al,

ke

ma

mp

ua

n b

eke

rja

sa

ma

,

ko

ns

iste

n,

sik

ap

d

isip

lin

,

rasa perc

aya diri, dan sik

ap

tole

ran

si

da

lam

p

erb

ed

aa

n

str

ate

gi

be

rp

ikir

d

ala

m

me

milih

d

an

m

en

era

pka

n

str

ate

gi

me

ny

ele

sa

ika

n

ma

sa

lah

.

2.2

Mam

pu m

entr

ansfo

rmasi diri

dala

m b

erp

erila

ku juju

r, tang-

gu

h m

en

gh

ad

ap

i m

asa

lah

,

krit

is

da

n

dis

ipli

n

da

lam

me

lak

uk

an

tu

ga

s b

ela

jar

ma

tem

atika

.

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

12 jp

•M

en

ga

gu

mi

ko

nse

p

pe

rsa

ma

an

lin

gka

ran

da

lam

p

era

na

nn

ya

me

mb

an

tu m

en

ye

le-

saik

an m

asala

h k

ese-

ha

ria

n.

•M

em

ilik

i sik

ap k

onsis

-

ten

, te

liti d

an

ce

rma

t,

dis

iplin, dan r

asa ingin

tah

u d

ala

m m

en

gh

a-

da

pi

da

n

me

ny

ele

-

saik

an p

erm

asala

han.

•M

em

ilik

i ra

sa kein

gin

-

tah

ua

n m

em

pe

laja

ri

pers

am

aan lingkara

n,

se

rta

ke

ma

nfa

ata

n-

nya

.

1.

Bu

ku

M

ate

ma

tika

SM

A/M

A K

ela

s X

I,

Ke

me

nte

ria

n P

en

-

did

ika

n d

an

K

eb

u-

da

ya

an

R

ep

ub

lik

Ind

on

esia

2.

Bu

ku

G

uru

M

ate

-

ma

tik

a

SM

A/M

A

Kela

s X

I, K

em

ente

-

rian P

endid

ikan d

an

Ke

bu

da

ya

an

R

e-

publik In

donesia

3.

Bu

ku

P

R M

ate

ma

-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

4.

Buku P

G M

ate

ma-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Pe

rs

am

aa

n L

ing

ka

ra

n

•P

ers

am

aan Lin

gkara

n

•P

ers

am

aa

n

Ga

ris

Sin

ggung Lin

gkara

n

•M

engin

gat kem

bali d

efinis

i

lin

gka

ran

.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

lin

gka

ra

n ya

ng

b

erp

usa

t

di O

(0,

0)

dan b

erjari-jari r

.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

lin

gka

ra

n ya

ng

b

erp

usa

t

di P

(a, b)

dan b

erjari-jari r

.

•M

enentu

kan b

entu

k u

mum

pe

rsa

ma

an

lin

gka

ran

.

•M

en

en

tuk

an

ti

tik

p

us

at

da

n ja

ri-j

ari

lin

gka

ran

jika

dik

eta

hui

pers

am

aan ling-

ka

ra

n.

•M

en

ye

bu

tka

n

sy

ara

t

suatu

titik

terleta

k d

i dala

m

lingkara

n,

pada lingkara

n,

ata

u d

i lu

ar

lingkara

n.

•M

en

gh

itu

ng

ja

ra

k su

atu

titi

k te

rh

ad

ap

ti

tik p

usa

t

lin

gka

ran

.

262 Silabus

2.3

Me

nu

nju

kka

n sik

ap

b

er-

tanggung jaw

ab, ra

sa ingin

tah

u,

juju

r d

an

p

eril

ak

u

peduli lingkungan.

3.1

8M

en

de

skrip

sik

an

ko

nse

p

pe

rsa

ma

an

lin

gka

ran

d

an

me

ng

an

alisis

sif

at

ga

ris

sin

ggung lin

gkara

n d

engan

me

ng

gu

na

ka

n

me

tod

e

ko

ord

ina

t.

3.1

9M

en

de

skrip

sik

an

ko

nse

p

dan k

urv

a lin

gkara

n d

engan

titi

k p

us

at

terte

ntu

d

an

me

nu

ru

nka

n p

ersa

ma

an

um

um

lin

gka

ra

n d

en

ga

n

me

tod

e ko

ord

ina

t.

4.1

3M

en

go

lah

in

form

asi

da

ri

su

atu

m

as

ala

h

ny

ata

,

me

ng

ide

nti

fika

si

se

bu

ah

titi

k se

ba

ga

i p

usa

t lin

g-

ka

ran

ya

ng

m

ela

lui

su

atu

titi

k

terte

ntu

, m

em

bu

at

mo

de

l m

ate

ma

tika

b

eru

pa

pe

rsa

ma

an

lin

gka

ran

d

an

me

nye

lesa

ika

n m

asa

lah

ters

eb

ut.

4.1

4M

era

nca

ng

d

an

m

en

ga

ju-

ka

n m

asa

lah

n

ya

ta te

rka

it

ga

ris

sin

gg

un

g lin

gka

ra

n

se

rta

m

en

ye

lesa

ika

nn

ya

dengan m

ela

kukan m

anip

u-

lasi

alja

ba

r d

an

m

en

era

p-

kan berb

agai

konsep ling-

ka

ra

n.

•M

em

ilik

i sik

ap

te

rbu

-

ka,

berp

erila

ku p

eduli,

da

n to

lera

nsi

d

ala

m

me

ng

ha

da

pi

ma

sa

lah

da

lam

m

em

pe

laja

ri

pers

am

aan lingkara

n.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

pe

rsa

ma

an

lin

gka

ran

ya

ng

d

ike

tah

ui

titi

k

pusat

dan ja

ri-jarinya.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

ke

du

du

ka

n ti

tik te

r-

hadap lingkara

n.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

ke

du

du

ka

n g

ari

s te

r-

hadap lingkara

n.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

pers

am

aan garis sin

g-

gung lingkara

n dengan

gra

die

n te

rtentu

.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

pers

am

aan g

aris s

ing-

gung lin

gkara

n d

i suatu

titik pada lingkara

n.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

pers

am

aan g

aris s

ing-

gung lin

gkara

n d

i suatu

titik d

i lu

ar

lingkara

n.

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

•M

enyebutk

an s

yara

t suatu

garis m

em

oto

ng, m

enyin

g-

gung, ata

u tid

ak m

em

oto

ng

lin

gka

ran

.

•M

en

gh

itu

ng

ja

ra

k su

atu

ga

ris te

rha

da

p titik p

usa

t

lin

gka

ran

.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

ga

ris

sin

gg

un

g lin

gka

ra

n

ya

ng

b

erp

us

at

di

titi

k

O(0

, 0)

dan b

erg

radie

n m

.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

ga

ris

sin

gg

un

g lin

gka

ra

n

yang b

erp

usat di titik P

(a, b)

dan berg

radie

n m

.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

ga

ris

sin

gg

un

g lin

gka

ra

n

ya

ng

se

jaja

r a

tau

te

ga

k

luru

s dengan suatu

garis.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

garis s

inggung lin

gkara

n di

su

atu

titik p

ad

a lin

gka

ran

yang b

erp

usat di titik O

(0, 0).

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

garis s

inggung lin

gkara

n di

su

atu

titik p

ad

a lin

gka

ran

yang b

erp

usat di titik P

(a, b).

•M

en

en

tuka

n ti

tik p

oto

ng

anta

ra g

aris k

utu

b d

engan

lin

gka

ran

.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

garis s

inggung lin

gkara

n d

i

titi

k p

oto

ng

g

aris

ku

tub

dengan lingkara

n.


SIL

AB

US

Tra

ns

form

as

i G

eo

me

tri

Mata

Pela

jaran

:M

ate

matika

Satu

an

Pen

did

ikan

:S

MA

/MA

Kela

s/S

em

este

r:

XI/

2

Ko

mp

ete

nsi In

ti:

1.

Menghayati d

an m

engam

alk

an a

jara

n a

gam

a y

ang d

ianutn

ya.

2.

Menghayati d

an m

engam

alk

an p

erila

ku juju

r, d

isip

lin, ta

nggung jaw

ab, peduli (

goto

ng r

oyong, kerja s

am

a, to

lera

n, dam

ai),

santu

n, re

sponsif d

an p

roaktif dan m

enunju

kkan s

ikap s

ebagai bagia

n d

ari s

olu

si ata

s b

erb

agai perm

asala

han d

ala

m b

erinte

raksi

secara

efe

ktif dengan lin

gkungan s

osia

l dan a

lam

sert

a d

ala

m m

enem

patk

an d

iri sebagai cerm

inan b

angsa d

ala

m p

erg

aula

n

dunia

.

3.

Mem

aham

i, m

enera

pkan, dan m

enganalisis

pengeta

huan faktu

al, k

onseptu

al, p

rosedura

l, d

an m

eta

kognitif b

erd

asark

an rasa

ingin

tahunya tenta

ng ilm

u p

engeta

huan, te

knolo

gi, s

eni, b

udaya, dan h

um

anio

ra d

engan w

aw

asan k

em

anusia

an, k

ebangsaan,

kenegara

an, dan p

era

daban terk

ait p

enyebab fenom

ena d

an k

eja

dia

n, sert

a m

enera

pkan p

engeta

huan p

rosedura

l pada b

idang

kajian y

ang s

pesifik

sesuai dengan b

akat dan m

inatn

ya u

ntu

k m

em

ecahkan m

asala

h.

4.

Mengola

h, m

enala

r, d

an m

enyaji d

ala

m ranah k

onkre

t dan ranah a

bstr

ak terk

ait d

engan p

engem

bangan d

ari y

ang d

ipela

jarinya

di sekola

h s

ecara

mandiri, b

ert

indak s

ecara

efe

ktif dan k

reatif, s

ert

a m

am

pu m

enggunakan m

eto

de s

esuai kaid

ah k

eilm

uan.

1.1

Menghayati d

an m

engam

al-

ka

n

aja

ra

n

ag

am

a

ya

ng

dia

nu

tnya

2.1

Me

milik

i m

oti

va

si

inte

rn

al,

ke

ma

mp

ua

n b

eke

rja

sa

ma

,

ko

ns

iste

n,

sik

ap

d

isip

lin

,

rasa p

erc

aya d

iri, d

an

sik

ap

tole

ran

si

da

lam

p

erb

ed

aa

n

str

ate

gi

be

rpik

ir d

ala

m m

e-

milih

dan

menera

pkan s

tra-

tegi m

enyele

saik

an m

asala

h.

8 jp

•M

am

pu

m

en

gh

aya

ti

da

n

me

ng

am

alk

an

ko

nse

p tr

an

sfo

rm

asi

geom

etr

i dala

m p

era

n-

nya

m

em

ba

ntu

m

e-

nyele

saik

an m

asala

h.

•M

am

pu

m

en

un

jukka

n

sik

ap m

otivasi in

tern

al,

ke

ma

mp

ua

n b

eke

rja

sam

a,

konsis

ten,

sik

ap

dis

iplin

, ra

sa

p

erc

aya

diri, d

an s

ikap tole

ransi

dala

m p

erb

edaan s

tra-

tegi berp

ikir d

ala

m m

e-

milih

dan m

enera

pkan

str

ate

gi

me

nye

lesa

i-

kan m

asala

h.

1.

Bu

ku

M

ate

ma

tika

SM

A/ M

A K

ela

s X

I,

Ke

me

nte

ria

n P

en

-

did

ikan dan K

ebu-

da

ya

an

R

ep

ub

lik

Ind

on

esia

2.

Bu

ku

G

uru

M

ate

-

ma

tik

a

SM

A/M

A

Ke

las X

I, K

em

en

-

teria

n P

en

did

ika

n

da

n K

eb

ud

ay

aa

n

Republik In

donesia

3.

Bu

ku

P

R M

ate

ma

-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

4.

Buku

PG

Mate

ma-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Tran

sfo

rm

asi

Geo

metr

i

•S

ifa

t tr

an

sfo

rm

asi

ge

om

etr

i

•T

ra

ns

fom

as

i g

eo

-

metr

i te

rhadap k

urv

a

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

•M

en

ga

ma

ti p

eri

stiw

a a

tau

fen

om

en

a ya

ng

b

erk

aita

n

de

ng

an

tr

an

sla

si, re

fle

ksi,

dilata

si, dan ro

tasi.

•M

en

ye

lid

iki

cir

i-cir

i tr

an

-

sla

si, r

efleksi, d

ilata

si, d

an

rota

si.

•M

en

en

tuk

an

b

ay

an

ga

n

sebuah titik ole

h tr

ansla

si,

refleksi, d

ilata

si, d

an r

ota

si.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

ba

ya

ng

an

se

bu

ah

ku

rva

ole

h tr

an

sla

si,

re

fle

ks

i,

dilata

si, dan ro

tasi.

•M

en

gg

un

aka

n sifa

t tr

an

s-

form

as

i g

eo

me

tri

un

tuk

me

nye

lesa

ika

n m

asa

lah

.

264 Silabus

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

•M

am

pu m

enunju

kkan

sik

ap b

erp

erila

ku juju

r,

tan

gg

uh

m

en

ga

da

pi

ma

sa

lah

, k

rit

is d

an

dis

iplin

d

ala

m m

ela

-

ku

ka

n tu

ga

s b

ela

jar

ma

tem

atika

.

•M

am

pu

m

em

ah

am

i

ko

nse

p d

asa

r tr

an

s-

form

asi geom

etr

i yang

me

lip

uti

tr

an

sla

si,

refle

ksi, d

ila

tasi, d

an

ro

tasi

me

ng

gu

na

ka

n

su

du

t p

an

da

ng

ko

or-

din

at.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

sifat-

sifat tr

ansfo

rmasi

ge

om

etr

i.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

ba

ya

ng

an

ti

tik

o

leh

tra

ns

las

i,

re

fle

ks

i,

dilata

si, dan ro

tasi.

•M

am

pu

m

en

de

skrip

-

sik

an c

ara

mengguna-

kan sifat

transfo

rmasi

geom

etr

i untu

k m

enen-

tuk

an

p

ers

am

aa

n

ba

ya

ng

an

ku

rva

o

leh

se

bu

ah

tr

an

sfo

rm

asi

ge

om

etr

i.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

pers

am

aan bayangan

ku

rv

a

ole

h

se

bu

ah

transfo

rmasi geom

etr

i.

•M

am

pu

m

en

era

pka

n

atu

ra

n tr

an

sfo

rm

asi

ge

om

etr

i d

an

s

ifa

t

obje

k untu

k m

enyele

-

sa

ika

n tr

an

sfo

rm

asi

ge

om

etr

i te

rh

ad

ap

ku

rva

.

2.2

Ma

mp

u m

en

tra

nsfo

rm

asi

diri

dala

m b

erp

erila

ku juju

r,

tangguh m

engadapi m

asa-

lah, kritis d

an d

isip

lin d

ala

m

me

laku

ka

n tu

ga

s b

ela

jar

ma

tem

atika

.

2.3

Me

nu

nju

kka

n sik

ap

b

er-

tanggung ja

wab, ra

sa ingin

tah

u,

juju

r d

an

p

eril

ak

u

peduli lingkungan.

3.2

0 M

en

ga

na

lis

is s

ifa

t-s

ifa

t

transfo

rmasi geom

etr

i (t

ran-

sla

si, r

efleksi garis, dilata

si,

da

n ro

tasi)

d

en

ga

n p

en

-

de

ka

tan

k

oo

rd

ina

t d

an

me

ne

ra

pk

an

ny

a

da

lam

me

nye

lesa

ika

n m

asa

lah

.

4.1

5M

enyajikan obje

k konte

ks-

tual, m

enganalisis

info

rmasi

terk

ait sifat-

sifat

obje

k dan

me

ne

rap

ka

n a

tura

n tr

an

s-

form

asi

ge

om

etr

i (r

efle

ksi,

tra

ns

las

i,

dil

ata

si,

d

an

rota

si) d

ala

m m

em

ecahkan

ma

sa

lah

.


SIL

AB

US

Tu

ru

na

n F

un

gs

i

Mata

Pela

jaran

:M

ate

matika

Satu

an

Pen

did

ikan

:S

MA

/MA

Kela

s/S

em

este

r:

XI/

2

Ko

mp

ete

nsi In

ti:

1.

Menghayati d

an m

engam

alk

an a

jara

n a

gam

a y

ang d

ianutn

ya.

2.

Menghayati d

an m

engam

alk

an p

erila

ku juju

r, d

isip

lin, ta

nggung jaw

ab, peduli (

goto

ng r

oyong, kerja s

am

a, to

lera

n, dam

ai),

santu

n, re

sponsif d

an p

roaktif dan m

enunju

kkan s

ikap s

ebagai bagia

n d

ari s

olu

si ata

s b

erb

agai perm

asala

han d

ala

m b

erinte

raksi

secara

efe

ktif dengan lin

gkungan s

osia

l dan a

lam

sert

a d

ala

m m

enem

patk

an d

iri sebagai cerm

inan b

angsa d

ala

m p

erg

aula

n

dunia

.

3.

Mem

aham

i, m

enera

pkan, dan m

enganalisis

pengeta

huan faktu

al, k

onseptu

al, p

rosedura

l, d

an m

eta

kognitif b

erd

asark

an rasa

ingin

tahunya tenta

ng ilm

u p

engeta

huan, te

knolo

gi, s

eni, b

udaya, dan h

um

anio

ra d

engan w

aw

asan k

em

anusia

an, k

ebangsaan,

kenegara

an, dan p

era

daban terk

ait p

enyebab fenom

ena d

an k

eja

dia

n, sert

a m

enera

pkan p

engeta

huan p

rosedura

l pada b

idang

kajian y

ang s

pesifik

sesuai dengan b

akat dan m

inatn

ya u

ntu

k m

em

ecahkan m

asala

h.

4.

Mengola

h, m

enala

r, d

an m

enyaji d

ala

m ranah k

onkre

t dan ranah a

bstr

ak terk

ait d

engan p

engem

bangan d

ari y

ang d

ipela

jarinya

di sekola

h s

ecara

mandiri, b

ert

indak s

ecara

efe

ktif dan k

reatif, s

ert

a m

am

pu m

enggunakan m

eto

de s

esuai kaid

ah k

eilm

uan.

1.1

Menghayati dan m

engam

al-

kan agam

a yang dia

nutn

ya.

2.1

Me

milik

i m

oti

va

si

inte

rn

al,

ke

ma

mp

ua

n b

eke

rja

sa

ma

,

ko

ns

iste

n,

sik

ap

d

isip

lin

,

rasa perc

aya diri, dan sik

ap

tole

ran

si

da

lam

p

erb

ed

aa

n

str

ate

gi

be

rpik

ir d

ala

m m

e-

milih

dan m

enera

pkan s

trate

gi

me

nye

lesa

ika

n m

asa

lah

.

2.2

Mam

pu m

entr

ansfo

rmasi diri

dala

m b

erp

erila

ku juju

r, tang-

gu

h m

en

gh

ad

ap

i m

asa

lah

,

kritis d

an d

isip

lin d

ala

m m

ela

ku-

kan tugas b

ela

jar m

ate

matika.

2.3

Me

nu

nju

kk

an

s

ika

p

be

r-

tan

gg

un

g ja

wa

b,

rasa

in

gin

tahu, ju

jur dan p

erila

ku p

eduli

lin

gku

ng

an

.

12jp

•M

en

ga

gu

mi

ko

nse

p

turu

na

n fu

ng

si

da

lam

pera

nannya m

em

bantu

menyele

saik

an m

asa-

lah

ke

se

ha

ria

n.

•M

em

ilik

i sik

ap k

onsis

-

ten

, te

liti d

an

ce

rma

t,

dis

iplin, dan r

asa ingin

tahu d

ala

m m

enghadapi

da

n m

en

ye

les

aik

an

pe

rma

sa

lah

an

.

•M

em

ilik

i ra

sa kein

gin

-

tah

ua

n m

em

pe

laja

ri

turu

na

n fu

ng

si, se

rta

ke

ma

nfa

ata

nn

ya

.

•M

em

ilik

i sik

ap terb

uka,

be

rp

eril

ak

u

pe

du

li,

da

n to

lera

nsi

d

ala

m

me

ng

ha

da

pi

ma

sa

lah

da

lam

m

em

pe

laja

ri

turu

nan fu

ngsi.

1.

Bu

ku

M

ate

ma

tika

SM

A/M

A K

ela

s X

I,

Ke

me

nte

ria

n P

en

-

did

ika

n d

an

K

eb

u-

da

ya

an

R

ep

ub

lik

Ind

on

esia

2.

Bu

ku

G

uru

M

ate

-

ma

tik

a

SM

A/M

A

Ke

las X

I, K

em

en

-

teria

n P

en

did

ika

n

da

n K

eb

ud

ay

aa

n

Republik In

donesia

3.

Bu

ku

P

R M

ate

ma

-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

Inta

n P

ariw

ara

4.

Buku P

G M

ate

ma-

tika

K

ela

s X

IB,

PT

inta

n P

ariw

ara

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Tu

ru

na

n F

un

gs

i

•T

uru

na

n

Fu

ng

si

Aljabar

•P

enggunaan T

uru

nan

Fu

ng

si

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

•M

enentu

kan laju

peru

bahan

su

atu

fu

ng

si.

•M

enentu

kan atu

ran fu

ngsi

alja

ba

r.

•M

enje

laskan n

ota

si tu

runan

me

ng

gu

na

ka

n

no

tas

i

Le

ibn

itz.

•M

em

bu

kti

ka

n b

eb

era

pa

sifat-

sifat

turu

nan fu

ngsi.

•M

enentu

kan turu

nan fungsi

menggunakan a

tura

n ranta

i.

•M

en

en

tuka

n n

ila

i tu

run

an

fungsi

di

suatu

titik

.

•M

en

en

tuka

n tu

ru

na

n ke

-

dua f

ungsi

aljabar.

•M

enentu

kan gra

die

n garis

sin

gg

un

g ku

rva

.

•M

en

en

tuka

n p

ersa

ma

an

ga

ris sin

gg

un

g d

an

g

ari

s

no

rma

l.

266 Silabus

3.2

1M

en

de

skrip

sik

an

ko

nse

p

turu

na

n

de

ng

an

m

en

g-

gu

na

ka

n k

on

tek

s m

ate

-

ma

tika

a

tau

ko

nte

ks la

in

da

n m

en

era

pka

nn

ya

.

3.2

2M

en

uru

nka

n a

tura

n d

an

sifat

turu

nan fu

ngsi

aljabar

da

ri a

tura

n d

an

sifa

t lim

it

fun

gsi.

3.2

3M

em

ilih

d

an

m

en

era

pka

n

str

ate

gi

me

ny

ele

sa

ika

n

ma

sa

lah

d

un

ia n

ya

ta d

an

ma

tem

atika

ya

ng

m

elib

at-

kan turu

nan d

an m

em

eriksa

ke

be

na

ra

n

lan

gk

ah

-

lan

gka

hn

ya

.

3.2

4M

en

de

skrip

sik

an

ko

nse

p

turu

na

n d

an

m

en

gg

un

a-

kannya u

ntu

k m

enganalisis

gra

fik fu

ng

si

da

n m

en

gu

ji

sif

at-

sif

at

ya

ng

d

imil

iki

un

tuk m

en

ge

tah

ui

fun

gsi

naik

dan fu

ngsi

turu

n.

3.2

5M

en

era

pka

n ko

nse

p d

an

sifa

t tu

run

an

fu

ng

si

un

tuk

me

ne

ntu

ka

n g

rad

ien

g

ari

s

sin

gg

un

g

ku

rv

a,

ga

ris

tangen,

dan garis norm

al.

3.2

6M

en

de

skrip

sik

an

ko

nse

p

da

n sif

at

turu

na

n fu

ng

si

terka

it d

an

m

en

era

pka

n-

nya u

ntu

k m

enentu

kan t

itik

sta

sio

ne

r (t

itik

m

aksim

um

,

titi

k m

inim

um

, d

an

ti

tik

be

lok).

3.2

7M

enganalisis

bentu

k m

odel

ma

tem

ati

ka

b

eru

pa

p

er-

sa

ma

an

fu

ng

si, se

rta

m

e-

nera

pkan konsep dan sifat

turu

na

n fu

ng

si

da

lam

m

e-

me

ca

hka

n m

asa

lah

m

ak-

sim

um

dan m

inim

um

.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

turu

nan fungsi aljabar.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

sif

at-

sif

at

turu

na

n

fun

gsi.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

turu

nan fu

ngsi

aljabar

me

ng

gu

na

ka

n a

tura

n

ran

tai.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

nil

ai

turu

na

n fu

ng

si

aljabar

di suatu

titik

.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

turu

na

n ke

du

a fu

ng

si

alja

ba

r.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

gra

die

n g

aris s

inggung.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

pers

am

aan g

aris s

ing-

gung d

an g

aris n

orm

al.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

fungsi naik

dan f

ungsi

turu

n.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

inte

rva

l su

atu

fu

ng

si

naik

ata

u tu

run.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

titi

k

sta

sio

ne

r

da

n

jen

isn

ya

.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

nil

ai

ek

str

em

s

ua

tu

fun

gsi

da

lam

in

terv

al

tert

utu

p.

•M

am

pu

m

era

nc

an

g

mo

de

l m

ate

ma

tik

a

da

ri

pe

rm

as

ala

ha

n

yang b

erk

aitan d

engan

nila

i m

aksim

um

d

an

min

imum

.

•M

am

pu

m

en

ye

lesa

i-

ka

n m

od

el

ma

tem

a-

tika

d

ari

p

erm

asa

lah

-

an

y

an

g

be

rk

ait

an

de

ng

an

n

ila

i m

aksi-

mum

dan m

inim

um

.

•M

en

jela

ska

n p

en

ge

rti

an

fun

gs

i n

aik

d

an

fu

ng

si

turu

n.

•M

enyebutk

an s

yara

t suatu

fungsi

naik

ata

u tu

run.

•M

enentu

kan inte

rval suatu

fungsi

naik

dan tu

run.

•M

enje

laskan c

ara

menentu

-

ka

n ti

tik

s

tas

ion

er d

an

jen

isn

ya

.

•M

en

en

tuka

n n

ila

i m

aksi-

mu

m d

an

m

inim

um

su

atu

fun

gsi

da

lam

in

terv

al

ter-

tutu

p.

•M

en

jela

ska

n ca

ra m

era

n-

ca

ng

m

od

el

ma

tem

ati

ka

yang b

erk

aitan d

engan n

ilai

maksim

um

dan m

inim

um

.

•M

en

uliska

n m

od

el

ma

te-

ma

tik

a

ya

ng

b

erk

ait

an

de

ng

an

n

ila

i m

aksim

um

dan m

inim

um

.

•M

en

ye

les

aik

an

m

od

el

mate

matika y

ang b

erk

aitan

de

ng

an

n

ila

i m

aksim

um

dan m

inim

um

.

•M

enafs

irkan penyele

saia

n

mo

de

l m

ate

ma

tika

ya

ng

be

rk

ait

an

d

en

ga

n

nil

ai

maksim

um

dan m

inim

um

.

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar


•M

am

pu

m

en

afs

irka

n

pe

nye

lesa

ian

m

od

el

ma

tem

atika

d

ari

p

er-

ma

sa

lah

an

ya

ng

b

er-

ka

ita

n d

en

ga

n n

ila

i

ma

ksim

um

d

an

m

ini-

mu

m.

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

4.1

6M

em

ilih

s

tra

teg

i y

an

g

efe

kti

f d

an

m

en

ya

jik

an

mo

de

l m

ate

ma

tika

d

ala

m

me

me

ca

hk

an

m

as

ala

h

ny

ata

te

nta

ng

tu

ru

na

n

fungsi

aljabar.

4.1

7M

em

ilih

s

tra

teg

i y

an

g

efe

kti

f d

an

m

en

ya

jik

an

mo

de

l m

ate

ma

tika

d

ala

m

me

me

ca

hk

an

m

as

ala

h

nya

ta te

nta

ng

fu

ng

si

na

ik

dan fu

ngsi

turu

n.

4.1

8M

era

nca

ng

d

an

m

en

ga

ju-

ka

n m

asa

lah

n

ya

ta se

rta

menggunakan konsep dan

sifa

t tu

run

an

fu

ng

si

terk

ait

da

lam

titik sta

sio

ne

r (t

itik

ma

ksim

um

, titik m

inim

um

,

dan titik belo

k).

4.1

9M

enyajikan d

ata

dari s

ituasi

nyata

, m

em

ilih

variabel dan

me

ng

om

un

ika

sik

an

ny

a

dala

m b

entu

k m

odel m

ate

-

matika beru

pa pers

am

aan

fun

gsi, se

rta

m

en

era

pka

n

ko

nse

p d

an

sifa

t tu

run

an

fungsi dala

m m

em

ecahkan

ma

sa

lah

m

aksim

um

d

an

min

imum

.

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

268 Silabus

SIL

AB

US

Inte

gra

l T

ak

T

en

tu

Mata

Pela

jaran

:M

ate

matika

Satu

an

Pen

did

ikan

:S

MA

/MA

Kela

s/S

em

este

r:

XI/

2

Ko

mp

ete

nsi In

ti:

1.

Menghayati d

an m

engam

alk

an a

jara

n a

gam

a y

ang d

ianutn

ya.

2.

Menghayati d

an m

engam

alk

an p

erila

ku juju

r, d

isip

lin, ta

nggung jaw

ab, peduli (

goto

ng r

oyong, kerja s

am

a, to

lera

n, dam

ai),

santu

n, re

sponsif d

an p

roaktif dan m

enunju

kkan s

ikap s

ebagai bagia

n d

ari s

olu

si ata

s b

erb

agai perm

asala

han d

ala

m b

erinte

raksi

secara

efe

ktif dengan lin

gkungan s

osia

l dan a

lam

sert

a d

ala

m m

enem

patk

an d

iri sebagai cerm

inan b

angsa d

ala

m p

erg

aula

n

dunia

.

3.

Mem

aham

i, m

enera

pkan, dan m

enganalisis

pengeta

huan faktu

al, k

onseptu

al, p

rosedura

l, d

an m

eta

kognitif b

erd

asark

an rasa

ingin

tahunya tenta

ng ilm

u p

engeta

huan, te

knolo

gi, s

eni, b

udaya, dan h

um

anio

ra d

engan w

aw

asan k

em

anusia

an, k

ebangsaan,

kenegara

an, dan p

era

daban terk

ait p

enyebab fenom

ena d

an k

eja

dia

n, sert

a m

enera

pkan p

engeta

huan p

rosedura

l pada b

idang

kajian y

ang s

pesifik

sesuai dengan b

akat dan m

inatn

ya u

ntu

k m

em

ecahkan m

asala

h.

4.

Mengola

h, m

enala

r, d

an m

enyaji d

ala

m ranah k

onkre

t dan ranah a

bstr

ak terk

ait d

engan p

engem

bangan d

ari y

ang d

ipela

jarinya

di sekola

h s

ecara

mandiri, b

ert

indak s

ecara

efe

ktif dan k

reatif, s

ert

a m

am

pu m

enggunakan m

eto

de s

esuai kaid

ah k

eilm

uan.

1.1

Menghayati dan m

engam

al-

kan agam

a yang dia

nutn

ya.

2.1

Me

milik

i m

oti

va

si

inte

rn

al,

ke

ma

mp

ua

n b

eke

rja

sa

ma

,

ko

ns

iste

n,

sik

ap

d

isip

lin

,

rasa perc

aya diri, dan sik

ap

tole

ran

si

da

lam

p

erb

ed

aa

n

str

ate

gi

be

rpik

ir d

ala

m m

e-

milih

dan m

enera

pkan str

a-

tegi m

enyele

saik

an m

asala

h.

2.2

Mam

pu m

entr

ansfo

rmasi diri

dala

m b

erp

erila

ku juju

r, tang-

gu

h m

en

gh

ad

ap

i m

asa

lah

,

krit

is

da

n

dis

ipli

n

da

lam

me

lak

uka

n

tug

as

be

laja

r

mate

matika.

12 jp

•M

am

pu

m

en

gh

aya

ti

da

n

me

ng

am

alk

an

ko

ns

ep

in

teg

ra

l ta

k

tentu

dala

m p

era

nnya

mem

bantu

menyele

sai-

kan m

asala

h

•M

am

pu

m

en

un

jukka

n

sik

ap

lo

gis

, k

rit

is,

analitik,

teliti,

bert

ang-

gung jaw

ab, re

sponsif,

dan tidak m

udah m

e-

nye

rah

d

ala

m m

en

g-

ha

da

pi

da

n m

en

ye

le-

sa

ika

n p

erm

asa

lah

an

ten

tan

g in

teg

ra

l ta

k

ten

tu.

•M

am

pu

m

en

un

jukka

n

rasa ingin

tahu d

an k

e-

tert

arikan p

ada k

onsep

inte

gra

l ta

k te

ntu

.

1.

Bu

ku

M

ate

ma

tika

SM

A/M

A K

ela

s X

I,

Ke

me

nte

ria

n P

en

-

did

ika

n d

an

K

eb

u-

da

ya

an

R

ep

ub

lik

Ind

on

esia

2.

Bu

ku

G

uru

M

ate

-

ma

tik

a

SM

A/M

A

Ke

las X

I, K

em

en

-

teria

n P

en

did

ika

n

da

n K

eb

ud

ay

aa

n

Republik In

donesia

3.

Bu

ku

PR

M

ate

-

ma

tik

a

SM

A/M

A

Kela

s X

I, P

T

Inta

n

Pa

riw

ara

4.

Bu

ku

P

G M

ate

-

ma

tik

a

SM

A/M

A

Kela

s X

I, P

T

Inta

n

Pa

riw

ara

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Inte

gra

l T

ak

T

en

tu

•K

onsep Inte

gra

l T

ak

Te

ntu

•In

tegra

l S

ubstitu

si

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

Pe

ng

am

ata

n S

ika

p

•S

aa

t b

erl

an

gsu

ng

pe

mb

ela

jara

n

•M

engin

gat kem

bali turu

nan

fungsi

dan aplikasin

ya.

•M

engin

gat

kem

bali ru

mus

turu

nan fu

ngsi.

•M

engam

ati tu

runan fu

ngsi

f(x)

= x

n +

c d

en

ga

n b

er-

bagai nilai c.

•M

en

jela

ska

n ko

nse

p in

te-

gra

l se

ba

ga

i la

wa

n d

ari

turu

na

n.

•M

enje

laskan penulisan in

-

teg

ral

da

n ca

ra m

en

en

tu-

ka

n

ha

sil

ny

a

de

ng

an

ko

nse

p a

ntitu

run

an

.

•M

en

uru

nka

n ru

mu

s in

te-

gra

l fu

ngsi

f(x)

= x

n.

•M

en

jela

sk

an

s

ifa

t-s

ifa

t

dasar

inte

gra

l fu

ngsi.

•B

ers

am

a-s

am

a m

en

co

ba

me

ne

ntu

ka

n fu

ng

si

asa

l

dari suatu

tu

runan fu

ngsi.


2.3

Me

nu

nju

kka

n sik

ap

b

er-

tanggung jaw

ab,

rasa ingin

tah

u,

juju

r d

an

p

eril

ak

u

peduli lingkungan.

3.2

8 M

en

de

skrip

sik

an

ko

nse

p

inte

gra

l ta

k te

ntu

s

ua

tu

fun

gsi

se

ba

ga

i ke

ba

lika

n

dari tu

runan fu

ngsi.

3.2

9M

en

uru

nka

n a

tura

n d

an

sifat

inte

gra

l ta

k te

ntu

dari

atu

ra

n d

an

sif

at

turu

na

n

fun

gsi.

4.2

0M

em

ilih

s

tra

teg

i y

an

g

efe

kti

f d

an

m

en

ya

jik

an

mo

de

l m

ate

ma

tika

d

ala

m

me

me

ca

hk

an

m

as

ala

h

nya

ta te

nta

ng

in

teg

ral

tak

tentu

dari f

ungsi

aljabar.

•M

am

pu

m

en

un

jukka

n

sik

ap santu

n, obje

ktif,

mengharg

ai

pendapat

dan k

ary

a tem

an d

ala

m

me

mp

ela

jari

inte

gra

l

tak te

ntu

.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

an

titu

run

an

(i

nte

gra

l)

su

atu

fu

ng

si

alja

ba

r

se

de

rha

na

.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

konsep in

tegra

l seba-

gai

antitu

runan.

•M

am

pu

m

en

uru

nka

n

rum

us in

teg

ral

fun

gsi

f(x)

= x

n.

•M

am

pu

m

en

jela

ska

n

sifa

t-sifa

t d

asa

r in

te-

gra

l.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

ha

sil p

en

gin

teg

ra

lan

menggunakan m

eto

de

inte

gra

l su

bstitu

si.

•M

am

pu

m

en

en

tuka

n

fungsi asal dari r

um

us

turu

nan suatu

fu

ngsi.

•M

am

pu

m

en

ye

lesa

i-

ka

n

pe

ma

sa

lah

an

menggunakan inte

gra

l

tak te

ntu

.

•M

en

ye

lesa

ika

n so

al-

so

al

inte

gra

l ta

k te

ntu

.

•M

engin

gat

kem

bali atu

ran

ranta

i pada turu

nan fungsi.

•M

en

jela

ska

n ko

nse

p in

te-

gra

l s

ub

sti

tus

i s

eb

ag

ai

law

an dari tu

runan m

eng-

gunakan atu

ran ra

nta

i.

•M

en

uru

nka

n ru

mu

s in

te-

gra

l fu

ngsi

berp

angkat.

•B

ersa

ma

-sa

ma

m

en

gin

-

tegra

lkan f

ungsi m

engguna-

ka

n m

eto

de

in

teg

ral

su

b-

stitu

si.

•M

en

ye

lesa

ika

n so

al-

so

al

inte

gra

l fu

ngsi

mengguna-

ka

n m

eto

de

in

teg

ral

su

b-

stitu

si.

Ko

mp

ete

ns

i D

as

ar

Ind

ika

tor

Ma

teri

Pe

mb

ela

jara

nP

em

be

laja

ra

nP

en

ila

ian

Alo

ka

si

Wa

ktu

Su

mb

er B

ela

jar

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

•T

ug

as

Te

s T

ertu

lis

•P

ilih

an G

anda

•U

raia

n

•T

ug

as

270 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

A. Kompetensi Dasar dan Indikator1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

Indikator:Mengagumi konsep persamaan lingkaran dalam peranannya membantu menyelesaikan masalahkeseharian.

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dansikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikanmasalah.

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh menghadapi masalah, kritis dan disiplindalam melakukan tugas belajar matematika.

2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur, dan perilaku peduli lingkungan.Indikator:• Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan

menyelesaikan permasalahan.• Memiliki rasa keingintahuan mempelajari persamaan lingkaran, serta kemanfaatannya.• Memiliki sikap terbuka, berperilaku peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam

mempelajari persamaan lingkaran.3.18 Mendeskripsikan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran dengan

menggunakan metode koordinat.3.19 Mendeskripsikan konsep dan kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menurunkan persamaan

umum lingkaran dengan metode koordinat.Indikator:• Mampu menentukan persamaan lingkaran yang diketahui titik pusat dan jari-jarinya.• Mampu menentukan kedudukan titik terhadap lingkaran.• Mampu menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran.

4.13 Mengolah informasi dari suatu masalah nyata, mengidentifikasi sebuah titik sebagai pusat lingkaranyang melalui suatu titik tertentu, membuat model matematika berupa persamaan lingkaran danmenyelesaikan masalah tersebut.

4.14 Merancang dan mengajukan masalah nyata terkait garis singgung lingkaran serta menyelesaikannyadengan melakukan manipulasi aljabar dan menerapkan berbagai konsep lingkaran.Indikator:• Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu.• Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik pada lingkaran.• Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar lingkaran.

B. Tujuan Pembelajaran1. menjelaskan konsep persamaan lingkaran dan menganalisis sifat garis singgung lingkaran;2. menjelaskan konsep kurva lingkaran dengan titik pusat tertentu dan menentukan persamaan umum

lingkaran;3. membuat model matematika berupa persamaan lingkaran dan menyelesaiakan permasalahan tersebut;4. merancang dan menyelesaikan permasalahan nyata yang berkaitan dengan garis singgung lingkaran.

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Sekolah : SMA/MAMata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XI/2Materi/Submateri Pokok : Persamaan LingkaranAlokasi Waktu : 12 × 45 menit (5 kali pertemuan)


C. Materi Pembelajaran• Pengertian Lingkaran• Persamaan Lingkaran• Kedudukan Titik terhadap Lingkaran• Kedudukan Garis terhadap Lingkaran• Pengertian Garis Singgung Lingkaran• Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Gradiennya• Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik pada Lingkaran• Persamaan Garis Singgung Lingkaran di Suatu Titik di Luar Lingkaran

D. Metode PembelajaranPendekatan : Scientific ApproachModel : Siklus Belajar (Learning Cycle)Metode : Problem Solving dan Diskusi

E. Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran

1. MediaKertas berpetak

2. Alat dan Bahana. Jangkab. Penggaris

3. Sumber Belajara. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik

Indonesiab. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik

Indonesiac. Buku PR Matematika Kelas XIB, PT Intan Pariwarad. Buku PG Matematika Kelas XIB, PT Intan Pariwara

F. Kegiatan Pembelajaran

Pertemuan I (2 jp)1. Pendahuluan (10 menit)

a. Guru mengajak siswa mengingat kembali pengertian lingkaran dan unsur-unsurnya.b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.

2. Kegiatan Inti (70 menit)a. Guru menggambar lingkaran dengan pusat O(0, 0), kemudian guru memilih sembarang titik pada

lingkaran, misalkan titik T(x, y).b. Guru membimbing siswa menentukan jarak antara titik O(0, 0) dan titik T(x, y).c. Guru menjelaskan bahwa jarak antara kedua titik tersebut merupakan jari-jari lingkaran. Selanjutnya

guru mengajak siswa merumuskan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0).d. Guru menggambar lingkaran dengan titik pusat tidak di titik O(0, 0) melainkan P(a, b), kemudian

guru memilih sembarang titik pada lingkaran, misalkan titik T(x, y).e. Guru membimbing siswa menentukan jarak antara titik P(a, b) dan titik T(x, y).f. Guru mengajak siswa merumuskan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b).g. Guru memberikan tugas kepada siswa untuk membuktikan titik pusat dan jari-jari lingkaran.

3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan memotivasi siswa agar dapat mampu

merumuskan persamaan lingkaran.b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.


Pertemuan II (3 jp)

1. Pendahuluan (10 menit)a. Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali pelajaran pada pertemuan sebelumnya.b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.

2. Kegiatan Inti (115 menit)a. Guru menggambarkan sebuah lingkaran sembarang. Guru juga membuat beberapa titik sembarang

di sekitar lingkaran.b. Guru mengajak siswa memahami posisi (kedudukan) titik terhadap lingkaran.c. Siswa mampu memahami konsep kedudukan titik terhadap lingkaran, yaitu di dalam lingkaran,

pada lingkaran, dan di luar lingkaran.d. Guru mengajak siswa menentukan aturan atau sifat kedudukan titik terhadap lingkaran.e. Siswa memahami contoh soal kedudukan titik terhadap lingkaran.f. Guru menggambarkan sebuah lingkaran sembarang. Guru juga membuat beberapa garis di sekitar

lingkaran.g. Guru mengajak siswa memahami posisi (kedudukan) garis terhadap lingkaran.h. Siswa mampu memahami konsep kedudukan garis terhadap lingkaran, yaitu memotong lingkaran,

menyinggung lingkaran, dan tidak memotong lingkaran.i. Guru mengajak siswa menentukan aturan atau sifat kedudukan garis terhadap lingkaran.j. Guru mengajak siswa diskusi menentukan jarak sebuah titik terhadap sebuah garis.

3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan memotivasi siswa untuk dapat mampu

merumuskan aturan kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran.b. Guru memberikan reward kepada seluruh siswa.

Pertemuan III (2 jp)1. Pendahuluan (10 menit)

a Guru mengingatkan kembali materi pada pertemuan sebelumnya tentang kedudukan sebuah garisterhadap lingkaran.

b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.

2. Kegiatan Inti (70 menit)a. Guru memberikan gambaran tentang garis singgung lingkaran.b. Guru menjelaskan hubungan antara garis singgung lingkaran dengan jari-jari lingkaran.c. Guru mengajak siswa mengingat kembali syarat kedua garis saling sejajar dan tegak lurus.d. Guru membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan garis singgung y = mx + c.e. Guru mengajak siswa diskusi menentukan persamaan garis singgung dengan cara mensubstitusikan

persamaan y = mx + c ke dalam persamaan lingkaran.f. Guru membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik P(a, b) dan garis singgung y = mx + c.g. Guru mengajak siswa diskusi menentukan persamaan garis singgung dengan cara mensubstitusikan

persamaan y = mx + c ke dalam persamaan lingkaran.h. Siswa menemukan konsep dan rumusan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui

gradiennya.


merumuskan persamaan garis singgung lingkaran.b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.


Teknik

Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik

Tes Pilihan Ganda dan Uraian

Kumpulan Laporan dan Produk

Bentuk Instrumen

Pengamatan Sikap

Tes Tertulis

Portofolio

Pertemuan IV (3 jp)

1. Pendahuluan (10 menit)a Guru mengingatkan kembali materi pada pertemuan sebelumnya tentang persamaan garis singgung

lingkaran yang diketahui gradiennya.b. Guru menyampaikan garis besar tujuan pembelajaran.

2. Kegiatan Inti (115 menit)a. Guru membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan memilih sembarang titik pada

lingkaran, misalkan T(x1, y1).b. Guru mengajak siswa menentukan gradien antara titik T(x1, y1) dan O(0, 0).c. Guru mengajak siswa untuk menggunakan sifat dua garis yang saling tegak lurus, untuk memperoleh

gradien garis singgung.d. Siswa merumuskan persamaan garis singgung lingkaran di titik T(x1, y1).e. Guru membimbing siswa menentukan persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di P(a, b)

dan titik singgung T(x1, y1).f. Guru membuat sebuah lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan memilih sembarang titik di luar

lingkaran, misalkan Q(x1, y1).g. Guru menjelaskan pengertian garis kutub dan kegunaannya.h. Guru mengajak siswa berlatih menentukan persamaan garis singgung lingkaran di suatu titik di luar

lingkaran.i. Siswa mampu menemukan konsep dan rumusan persamaan garis singgung di titik tertentu.


merumuskan persamaan garis singgung lingkaran di titik tertentu.b. Guru memberikan reward kepada seluruh siswa.c. Guru menyampaikan informasi bahwa pertemuan berikutnya diadakan ulangan harian bab persamaan

lingkaran.

Pertemuan V (2 jp)

1. Pendahuluan (10 menit)a. Guru meminta siswa memasukkan semua barang yang di atas meja ke laci atau tas dan siswa

menyiapkan bolpoin dan penggaris.b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.

2. Kegiatan Inti (70 menit)a. Guru memimpin siswa untuk berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian.b. Siswa mengerjakan soal evaluasi dengan teliti dan jujur, kemudian hasilnya dikumpulkan.

3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru meminta siswa untuk mengumpulkan hasil ulangan, kemudian memberikan penjelasan bahwa

hasil ulangan merupakan indikator tingkat penguasaan siswa terhadap materi persamaan lingkaran.b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.

G. Penilaian1. Teknik dan Bentuk Instrumen


2. Contoh Instrumena. Lembar Pengamatan Sikap

b. Rubrik Penilaian Sikap

1.

2.

3.

Aspek yang Dinilai Keterangan

Mengagumi konsep persamaan lingkarandalam perannya membantu menyelesaikanmasalah keseharian.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat,disiplin, dan percaya diri dalam menghadapidan menyelesaikan permasalahan tentangpersamaan lingkaran.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritisdalam menghadapi permasalahan sehari-hari.

No.

3 : Menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayatiterhadap peluang serta sepenuhnya mengetahui perananpersamaan lingkaran dalam membantu menyelesaikanmasalah nyata.

2 : Kurang menunjukkan ekspresi kekaguman danmenghayati terhadap persamaan lingkaran dan belumsepenuhnya mengetahui peranan peluang dalammembantu menyelesaikan masalah nyata.

1 : Tidak menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayatiterhadap peluang dan tidak mengetahui perananpersamaan lingkaran dalam membantu menyelesaikanmasalah nyata.

3 : Menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermat dalammengerjakan soal. Bersikap disiplin dan percaya diridalam menghadapi tantangan tanpa ada rasa takut.Justru merasa yakin bisa menyelesaikan permasalahan-nya.

2 : Kurang menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermatdalam mengerjakan soal. Kurang bersikap disiplin dankurang percaya diri dalam menghadapi tantangan.

1 : Tidak menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermatdalam mengerjakan soal. Tidak bersikap disiplin dan tidakpercaya diri dalam menghadapi tantangan. Seringmerasa takut salah sehingga tidak bertindak menyelesai-kannya.

3 : Menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalammenghadapi permasalahan sehari-hari.

2 : Kurang menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritisdalam menghadapi permasalahan sehari-hari.

1 : Tidak menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritisdalam menghadapi permasalahan sehari-hari.

Aspek yang Dinilai3 2 1

KeteranganSkor

Mengagumi konsep persamaan lingkarandalam perannya membantu menyelesaikanmasalah keseharian.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat,disiplin, dan percaya diri dalam menghadapidan menyelesaikan permasalahan tentangpersamaan lingkaran.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritisdalam menghadapi permasalahan sehari-hari.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaanmempelajari persamaan lingkaran.

No.

1.

2.

3.

4.


Aspek yang Dinilai KeteranganNo.

3 : Menunjukkan sikap rasa keingintahuan yang tinggitentang kegunaan mempelajari persamaan lingkaran. Halini ditunjukkan dengan sering bertanya hal-hal yangbelum diketahui. Memiliki pola pikir yang kritis terhadapsesuatu yang baru.

2 : Kurang menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentangkegunaan mempelajari persamaan lingkaran. Hal iniditunjukkan dengan kurang aktif dalam bertanya jawab.Kurang kritis terhadap sesuatu yang baru diketahui.

1 : Tidak menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentangkegunaan mempelajari persamaan lingkaran. Hal iniditunjukkan dengan tidak aktif dalam bertanya jawab.Tidak peduli terhadap sesuatu yang baru diketahui.

MengetahuiKepala SMA/MA . . . . Guru Bidang

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .NIP__________________ NIP__________________

Memiliki rasa keingintahuan kegunaanmempelajari persamaan lingkaran.

4.


Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

Sekolah : SMA/MAMata Pelajaran : MatematikaKelas/Semester : XI/2Materi/Submateri Pokok : Transformasi GeometriAlokasi Waktu : 8 × 45 menit

A. Kompetensi Dasar dan Indikator1.1 Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.

Indikator:Menghayati dan mengamalkan konsep transformasi geometri dalam perannya membantu menyelesaikanmasalah

2.1 Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri, dansikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikanmasalah.

2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplindalam melakukan tugas belajar matematika.

2.3 Menunjukkan sikap bertanggung jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli lingkungan.Indikator:• Mampu menunjukkan sikap motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin,

rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan menerapkanstrategi menyelesaikan masalah.

• Mampu menunjukkan sikap berperilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalammelakukan tugas belajar matematika.

3.20 Menganalisis sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi garis, dilatasi, dan rotasi) denganpendekatan koordinat dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah.Indikator:• Mampu memahami konsep dasar transformasi geometri yang meliputi translasi, refleksi, dilatasi,

dan rotasi menggunakan sudut pandang koordinat• Mampu menjelaskan sifat-sifat transformasi geometri• Mampu menentukan bayangan titik oleh translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi

4.15 Menyajikan objek kontekstual, menganalisis informasi terkait sifat-sifat objek dan menerapkan aturantransformasi geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan rotasi) dalam memecahkan masalah.Indikator:• Mampu mendeskripsikan cara menggunakan sifat transformasi geometri untuk menentukan

persamaan bayangan kurva oleh sebuah transformasi geometri• Mampu menentukan persamaan bayangan kurva oleh sebuah transformasi geometri• Mampu menerapkan aturan transformasi geometri dan sifat objek untuk menyelesaikan transformasi

geometri terhadap kurva

B. Tujuan Pembelajaran1. Siswa mampu menganalisis sifat-sifat transformasi geometri (translasi, refleksi, dilatasi, dan rotasi)

dengan pendekatan koordinat dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah;2. Siswa mampu menyajikan objek kontekstual, menganalisis informasi terkait sifat-sifat objek dan

menerapkan aturan transformasi geometri (refleksi, translasi, dilatasi, dan rotasi) dalam memecahkanmasalah.

C. Materi Pembelajaran• Translasi dan refleksi terhadap titik• Translasi dan refleksi terhadap kurva• Rotasi dan dilatasi terhadap titik• Rotasi dan dilatasi terhadap kurva


D. Metode PembelajaranPendekatan : Scientific ApproachModel : Siklus Belajar (Learning Cycle)Metode : Problem Solving dan Diskusi

E. Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran

1. Alat dan Bahana. Kertasb. Alat tulisc. Komputer

2. Sumber Belajara. Buku Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesiab. Buku Guru Matematika SMA/MA Kelas XI, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik

Indonesiac. Buku PR Matematika Kelas XIB, PT Intan Pariwarad. Buku PG Matematika Kelas XIB, PT Intan Pariwara

F. Kegiatan Pembelajaran

Pertemuan I (3 jp)

1. Pendahuluan (15 menit)Guru mengajak siswa mengamati peristiwa atau fenomena dalam keseharian yang berhubungan dengantranslasi dan refleksi. Sebagai contoh, siswa mengamati fenomena bayangan saat bercermin danperpindahan manusia saat manusia bepergian.

2. Kegiatan Inti (110 menit)a. Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali materi tentang translasi. Sebagai contoh, guru

mengingatkan kembali prinsip perpindahan dalam translasi. Guru juga mengingatkan kembali materimengenai refleksi.

b. Guru melanjutkan pelajaran dengan menjelaskan notasi translasi pada sebuah titik, yaitu

A(x, y) aTb

= → A′(x + a, y + b).

c. Guru memberikan contoh permasalahan tentang translasi.d. Guru menjelaskan rotasi dan notasinya. Setelah itu guru memberikan gambar-gambar posisi sebuah

titik yang direfleksikan terhadap sumbu-sumbu tertentu. Guru juga memberikan tabel tentang hasilrefleksi sebuah titik terhadap sumbu-sumbu tertentu.

e. Guru menjelaskan konsep translasi dan refleksi yang diterapkan pada kurva. Guru memberikanlangkah-langkah yang dapat digunakan siswa untuk menentukan persamaan bayangan kurva.

f. Guru membimbing siswa untuk mengerjakan tugas Pemantapan.g. Guru membimbing siswa untuk berlatih mengerjakan soal tentang translasi dan refleksi. Guru dapat

menggunakan soal-soal pada bagian Contoh Soal, Latihan 1, mengambil dari sumber lain (misalnyadari internet), atau guru dapat membuat soal sendiri.

3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran yang berkaitan dengan translasi dan refleksi.

Guru juga dapat memberikan siswa soal-soal pekerjaan rumah yang diambil dari Latihan 1.b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.

Pertemuan II (3 jp)

1. Pendahuluan (15 menit)Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali materi mengenai rotasi dan dilatasi. Materi tersebutpernah dipelajari saat siswa duduk di bangku SMP. Sebagai contoh guru mengajak siswa mengamatiperistiwa atau fenomena dalam keseharian yang berhubungan dengan rotasi dan dilatasi.


2. Kegiatan Inti (110 menit)a. Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali materi tentang rotasi. Sebagai contoh guru

mengingatkan kembali hubungan antara tanda negatif sudut dan arah putaran dalam rotasi.b. Guru menjelaskan rotasi dan notasinya. Setelah itu guru memberikan tabel mengenai posisi sebuah

titik yang dirotasi terhadap titik O(0, 0) dan titik (a, b) serta dengan sudut rotasi tertentu.c. Guru memberikan contoh permasalahan tentang rotasi.d. Guru juga mengingatkan kembali materi mengenai dilatasi. Selanjutnya guru menjelaskan konsep

dilatasi dan notasinya.e. Guru melanjutkan pembelajaran dengan memberikan konsep luas benda yang dihasilkan setelah

benda tersebut dikenakan dilatasi.f. Guru menjelaskan konsep rotasi dan dilatasi yang diterapkan pada kurva. Guru memberikan langkah-

langkah yang dapat digunakan siswa untuk menentukan persamaan bayangan kurva. Guru memberi-kan contoh permasalahan mengenai persamaan bayangan lingkaran oleh sebuah rotasi.

g. Guru membimbing siswa untuk mengerjakan tugas Pemantapan.h. Guru membimbing siswa untuk berlatih mengerjakan soal tentang rotasi dan dilatasi. Guru dapat

menggunakan soal-soal pada bagian Contoh Soal, Latihan 2, mengambil dari sumber lain (misalnyadari internet), atau guru dapat membuat soal sendiri.

3. Kegiatan Penutup (10 menit)a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran yang berkaitan dengan rotasi dan dilatasi.

Guru dapat memberikan pekerjaan rumah kepada siswa untuk mengerjakan permasalahan dalamMari Berselancar di Internet.

b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa.

Pertemuan III (2 jp)

1. Pendahuluan (10 menit)a. Guru meminta siswa untuk menyiapkan bolpoin dan alat tulis lain guna menghadapi ulangan harian.b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.

2. Kegiatan Inti (70 menit)a. Guru memimpin siswa berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian.b. Siswa mengerjakan soal ulangan harian dengan teliti dan jujur, kemudian hasilnya dikumpulkan.c. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya tentang soal-soal ulangan harian yang

belum dimengerti atau kurang jelas maksudnya.

3. Kegiatan Penutup (10 menit)Guru menginstruksikan kepada siswa untuk mengumpulkan pekerjaannya jika sudah selesai.

G. Penilaian

1. Teknik dan Bentuk Instrumen

Teknik

Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik

Tes Pilihan Ganda dan Uraian

Kumpulan Laporan dan Produk

Bentuk Instrumen

Pengamatan Sikap

Tes Tertulis

Portofolio


2. Contoh Instrumena. Lembar Penilaian Sikap

b. Rubrik Penilaian Sikap

Aspek yang Dinilai3 2 1

KeteranganSkor

Mengagumi dan menyadari manfaat ilmutransformasi geometri dalam keseharian danbersyukur atas nikmat tersebut.

Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi.

Bersikap kritis, disiplin, dan teliti dalammelakukan kegiatan baik secara individumaupun kelompok.

Memiliki sikap menghargai dan bekerja samadalam melakukan sesuatu hal denganorang lain.

No.

1.

2.

3.

4.

1.

2.

3.

Aspek yang Dinilai Keterangan

Mengagumi dan menyadari manfaat ilmutransformasi geometri dalam keseharian danbersyukur atas nikmat tersebut.

Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi.

Bersikap kritis, disiplin, dan teliti dalammelakukan kegiatan baik secara individumaupun kelompok.

No.

3 : menunjukkan ekspresi kekaguman terhadap transformasigeometri dan manfaatnya sehingga merasa sangat pentingdan perlu mempelajari transformasi geometri.

2 : belum menunjukkan ekspresi kekaguman terhadaptransformasi geometri dan manfaatnya sehingga kurangbersemangat dalam mempelajari transformasi geometri.

1 : tidak menunjukkan ekspresi kekaguman terhadaptransformasi geometri dan manfaatnya sehingga tidakbersemangat dalam mempelajari transformasi geometri.

3 : menunjukkan rasa ingin tahu yang tinggi dengan banyakbertanya, antusias, terlibat aktif dalam kegiatan belajar,berani mengemukakan pendapat, dan tidak takut salah.

2 : menunjukkan rasa ingin tahu, tetapi tidak terlalu antusias,terlibat aktif dalam kegiatan belajar ketika disuruh, danmasih takut atau ragu dalam mengungkapkan pertanyaanatau pendapat.

1 : tidak menunjukkan antusias dalam pengamatan, sulitterlibat aktif dalam kegiatan belajar meskipun telah didoronguntuk terlibat, dan tidak pernah mengemukakan pertanya-an atau pendapat.

3 : menunjukkan sikap kritis, disiplin, dan teliti dalam melaku-kan kegiatan baik secara individu maupun kelompokmisalnya sering bertanya hal-hal yang kurang jelas, disiplindan teliti dalam menghitung dan menyelesaikan masalah.

2 : kurang menunjukkan sikap kritis, disiplin, dan teliti dalammelakukan kegiatan baik secara individu maupunkelompok misalnya masih malu/takut bertanya hal-halyang kurang jelas, kurang disiplin dan kurang teliti dalammenghitung dan menyelesaikan masalah.

1 : tidak mempunyai sikap kritis, disiplin, dan teliti dalamkegiatan belajar maupun dalam menyelesaikan masalah.


Aspek yang Dinilai KeteranganNo.

MengetahuiKepala SMA/MA . . . . Guru Bidang

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .NIP.___________________ NIP.___________________

3 : Mempunyai sikap suka bekerja sama dan menghargaiyang tinggi kepada orang lain dan teman dalam berdiskusiatau melakukan tugas bersama. Meskipun ada beberapaperbedaan pendapat atau pemikiran.

2 : Kurang dalam bersikap bekerja sama dan menghargaiorang lain dan teman dalam berdiskusi atau melakukantugas bersama. Di sini bisa ditunjukkan dengan sikap agaksungkan kepada orang lain.

1 : Tidak mempunyai sikap bekerja sama dan tidak meng-hargai orang lain dan teman dalam berdiskusi atau melaku-kan tugas bersama. Segala sesuatu dikerjakan sendiripadahal membutuhkan pemikiran banyak teman. Tidakrespon terhadap pendapat orang lain.

Memiliki sikap menghargai dan bekerja samadalam melakukan sesuatu hal denganorang lain.

4.

suplemen bab 1 statistika (wajib) · 2017. 9. 7. · 4 statistika tabel distribusi frekuensi skor...

Documents