bab ii peubah acak dan distribusi peluang · pdf filepeubah acak & distribusi peluang page...
TRANSCRIPT
Peubah Acak & Distribusi Peluang Page 1
BAB II PEUBAH ACAK dan DISTRIBUSI PELUANG
A. PENGERTIAN PEUBAH ACAK adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logam ratusan (R) dan 2 logam lima puluhan (L).
3 uang diambil secara acak tanpa pengembalian, maka ruang sampel yang mungkin
adalah S = {RRR, RRL, RLR, RLL, LRR, LRL, LLR}. Apabila dari percobaan
pengambilan 3 uang logam tersebut, ditetapkan peubah acak X yang menyatakan
jumlah uang logam ratusan yang muncul, maka diperoleh hasil percobaan sebagai
berikut : Ruang sampel X
RRR 3 RRL 2 RLR 2 LRR 2 RLL 1 LRL 1 LLR 1
Apabila dari percobaan diatas, ditetapkan peubah Y yang menyatakan jumlah uang
logam lima puluhan yang muncul, maka diperoleh hasil percobaan sebagai berikut Ruang sampel Y
RRR 0 RRL 1 RLR 1 LRR 1 RLL 2 LRL 2 LLR 2
Jika Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, maka nilai dari setiap peubah
acak tersebut dinyatakan dengan huruf kecil, sehingga apabila ruang sampel
tersebut dinyatakan dengan cara pencirian adalah
S = { X | x adalah jumlah ulang logam ratusan yang muncul }
S = { Y | y adalah jumlah uang logam limapuluhan yang uncul }
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel diskrit
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang takberhingga banyaknya atau sederetan angka yang banyaknya sebanyak titik pada sepotong garis, maka ruang sampel itu disebut ruang sampel kontinu
Peubah Acak & Distribusi Peluang Page 2
B. DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT Himpunan pasangan terurut {x,f(x)} suatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atau distribusi peluang peubah acak x, bila untuk setiap kemungkinan hasil x, berlaku 1. 0)( ≥xf 2. 1)( =∑
xxf
3. )()( xfxXP == Suatu pengiriman 7 pesawat televisi berisi 2 yang rusak. Sebuah hotel membeli 3
pesawat televisi tersebut dan memilih secarak acak dari pengiriman tersebut. Bila X
menyatakan banyaknya pesawat rusak yang dibeli hotel tersebut, nyatakan hasilnya
dalam distribusi peluang.
Apabila pesawat televisi yang rusak dinyatakan dengan R dan yang tidak rusak
dinyatakan dengan B, maka ruang sampel yang mungkin adalah
S = { RRB,RBR.RBB,BRR,BRB,BBR,bbb }
Apabila X menyatakan jumlah pesawat televisi yang rusak, maka ruang sampel yang
mungkin dan jumlah pesawat televisi rusak yang dibeli adalah sebagai berikut : Ruang sampel X
BBB 0 RBB,BRB,BBR 1 RRB,RBR,BRR 2
Berdasarkan ruang sampel diatas, maka distribusi peluangnya adalah sebagai
berikut : X P(X=x) 0 1/7 1 3/7 2 3/7
Distribusi Kumulatif F(x) suatu peubah acak diskrit X dengan distribusi
peluang f(x) dinyatakan oleh
∑≤
=≤=xt
tfxXPxF )()()( untuk
Distribusi kumulatif dari percobaan pengiriman pesat televisi diatas adalah sebagai
berikut; X )( xXP ≤ 0 1/7 1 4/7 2 7/7
C. DISTRIBUSI PELUANG KONTINU Fungsi f(x) dalah fungsi padat peluang peUbah acak kontinu X yang didefinisikan diatas himpunan semua bilangan real R, bila
Peubah Acak & Distribusi Peluang Page 3
1. untuk semua 0)( ≥xf Rx∈
2. ∫ = 1)( dxxf
3. ∫=<<b
a
dxxfbxaP )()(
Jumlah jam, diukur dalam satuan 100 jam, suatu keluarga akan menggunakan mesin
pengisap debu setahun berbentuk peubah acak kontinu X dengan fungsi padat
⎪⎩
⎪⎨
⎧−=0
2)( xx
xfxlainnya
xx
210
<≤<≤
1
a. Tunjukkan bahwa syarat 2 dalam definisi terpenuhi
b. Tentukan P (X < 120 jam) dan P (50 < x < 100 )
a. ∫ ∫ =−+1
0
2
1
1)2( dxxxdx
12322
1)1211.2()22
12.2(121|)2
12(|21 222
2
1
21
0
2 =−+=−−−+=−+ xxx
=−+=−+ ∫∫2.1
1
21
0
22.1
1
1
0
|)212(|2
1)2( xxxdxxxdxb.
=−−−+ )12112())2.1(2
12.1.2((121 222 xx
68.0)5.02()72.04.2(5.0
+ − −− =
∫ =−==1
5.0
221
5.0
2 375.05.02112
1|21 xxdxc.
Distribusi Kumulatif (tumpukan) F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan fungsi padat f(x) diberikan oleh :
∫=≤=x
dttfxXPxF )()()( untuk
D. DISTRIBUSI EMPIRIS
Peubah Acak & Distribusi Peluang Page 4
terkecilterbesar DDR
Untuk menyajikan Tabel frekuensi dari data skala interval atau rasio dibutuhkan
tahapan penentuan kelas terlebih dahulu sebelum menjumlahkan data sesuai
dengan kelas yang dibuat. Secara lengkap prosedur pembuatan Tabel Frekuensi
untuk skala Interval dan Ratio adalah sebagai berikut :
1. Tentukan banyaknya kelas (K) yang diperlukan Ada 2 cara yang dapat dilakukan , yaitu (a) Tetapkan secara bebas antara 5-
15 kelas atau (b) Gunakan rumus Sturges K = 1 + 3.322 log N, yang mana K
adalah jumlah kelas dan N jumlah data
2. Tentukan Wilayah/Range (R) data tersebut, yang dihitung dari perbedaan
data terbesar dengan data terkecil ( −= )
3. Tentukan Interval Kelas (i) dengan membagi Wilayah dengan jumlah kelas
yang telah ditetapkan ( KR
=i )
4. Tentukan Limit Kelas.
Limit sebuah kelas memiliki desimal yang sama dengan data aslinya dan
terdiri dari Limit Kelas Bawah (LKB) dan Limit Kelas Kelas (LKA). LKB
sebuah kelas dan tidak boleh berimpit dengan LKA kelas berikutnya untuk
menghindari kebingungan dalam pengelompokkan data
5. Tentukan Batas Kelas
Untuk kepentingan pembuatan diagram untuk bilangan kontinu, maka dibuat
Batas Kelas sedemikian sehingga Batas Kelas Atas suatu kelas berimpit
dengan Batas Kelas Bawah kelas berikutnya.
2
1++= ii
iLKBLKA
BKA
2
1−+= ii
iLKALKB
BKB
6. Tentukan frekuensi bagi setiap kelas
Tingkat bunga antar Bank perbulan selama 40 bulan terakhir tercatat sebagai berikut
:
Peubah Acak & Distribusi Peluang Page 5
Periode % Periode % Periode % Periode % Mrt 2003 2.2 Jan2004 3.5 Nov 3.2 Sept 3.0 April 3.4 Febr 3.1 Des 3.8 Okt 3.0 Mei 2.5 Maret 3.4 Jan2005 2.9 Nov 4.7 Juni 3.3 April 3.7 Febr 3.2 Des 3.9 Juli 4.7 Mei 3.2 Marel 3.9 Jan2005 1.9 Agust 4.1 Juni 4.5 April 3.9 Februari 4.2 Sept 1.6 Juli 3.3 Mei 3.7 Maret 2.6 Okt 4.3 Agust 3.6 Juni 3.1 April 3.7 Nov 3.1 Sept 4.4 Juli 3.3 Mei 3.1 Des 3.8 Okt 2.6 Agust 4.1 Juni 3.4
Membuat tabel frekuensi dilakukan dengan tahapan berkut :
1. Tentukan banyaknya kelas (K), misalnya 7 kelas
2. Tentukan Range (R) = 4.7 – 1.6 = 3.1
3. Interval Kelas (i) = 443.071.3= , dibulatkan menjadi 0.5
4. Tentukan Limit Kelas dari ketujuh kelas tersebut dan hitung jumlah data yang
masuk dalam setiap kelas tersrbut. :
1.5 – 1.9 2.0 – 2.4 2.5 – 2.9 3.0 – 3.4 3.5 – 3.9 4.0 – 4.4 4.5 – 4.9
Frekuensi Suku Bunga Antar Bank Jml %
1.5 – 1.9 2 5.0 2.0 – 2.4 1 2.5 2.5 – 2.9 4 10.0 3.0 – 3.4 15 37.5 3.5 – 3.9 10 25.0 4.0 – 4.4 5 12.5 4.5 – 4.9 3 7.5 Jumlah 40 100
Bentuk tabel diatas dapat lebih disempurnakan dengan menambahkan data batas
kelas, nilai tengah kelas, kumulatif ”kurang dari” dan kumulatif ”lebih dari” seperti
ditunjukkan berikut ini.
Suku Bunga
Suku Bunga Antar Bank
Nilai Tengah Frekuensi Frek.Kumulatif
”kurang dari” Frek.Kumulatif
”lebih dari”
Peubah Acak & Distribusi Peluang Page 6
Antar Bank
Suku Bunga Jml % Jml % Jml %
1.5 – 1.9 1.45 – 1.95 1.7 2 5.0 2 5.0 40 100.0 2.0 – 2.4 1.95 – 2.45 2.2 1 2.5 3 7.5 38 95.0 2.5 – 2.9 2.45 – 2.95 2.7 4 10.0 7 17.5 37 92.5 3.0 – 3.4 2.95 – 3.45 3.2 15 37.5 22 55.0 33 82.5 3.5 – 3.9 3.45 – 3.95 3.7 10 25.0 32 80.0 18 45.0 4.0 – 4.4 3.95 – 4.45 4.2 5 12.5 37 92.5 8 20.0 4.5 – 4.9 4.45 – 4.95 4.7 3 7.5 40 100.0 3 7.5
E. DISTRIBUSI PELUANG GABUNGAN Fungsi f(x,y) adalah fungsi distribusi peluang gabungan atau fungsi massa peluang peubah acak diskrit X dan Y bila
0),(.1 ≥yxf untuk semua (x,y)
∑∑ =x y
yxf 1),(.2
),(),(.3 yxfyYxXP == =
∑ Untuk tiap daerah A di bidang xy, P(X,Y) ∑= ),( yxfA
2
∈
Dari suatu bungkus buah2an yang berisi 3 jeruk, 2 mangga dan 3 pisang dipilih
secara acak 4 buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y menyatakan mangga
dalam sampel tersebut, hitungkah
a. Distribusi peluang gabungan X dan Y
b. P {(X,Y)∈A}, bila A menyatakan daerah {(x,y)|x+y≤ }
Jawab :
a. Jumlah titik sampel jeruk yang terpilih adalah ⎜⎜ untuk x = 0, 1, 2, 3 ⎟⎟⎠
⎞
⎝
⎛x3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛y2
Jumlah titik sampel mangga yang terpilih adalah untuk y = 0,1,2
Jumlah titik sampel pisang yang dipilih adalah untuk x=0,1,2,3 dan y
= 0,1,2
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−− yx4
3
Jumlah titik sampel 4 buah yang diambil dari 8 buah yang tersedia adalah ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛48
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≤+≤
==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
48
402,1,03,2,1,0
4323
),( yxy
x
yxyxyxf
X F(x,y) 0 1 2 3
Jumlah baris
Peubah Acak & Distribusi Peluang Page 7
0 - 3/70 9/70 3/70 15/70 1 2/70 18/70 18/70 2/70 40/70 Y 2 3/70 9/70 3/70 - 15/70
Jumlah kolom 5/70 30/70 30/70 5/70 1
b. P {(X,Y)∈A}, bila A menyatakan daerah {(x,y)|x+y 2≤ }
f (0,0) + f (0,1) + f (0,2) + f (1,0) + f (1,1) + f (2,0) =
0 + 2/70 + 3/70 + 3/70 + 18/70 + 9/70 = 35/70
Fungsi f(x,y) adalah fungsi padat peluang peubah acak kontinu X dan Y bila 1. untuk semua 0),( ≥yxf Ryx ∈,
2. ∫ ∫ (f = 1), dxdyyx
∫ ∫=∈b
a
dxdyyxfAY ),(}){(
⎩⎨⎧
=0
4),(
xyyxf
ylainnyauntukxydanx
,1010
3. XP ,
Contoh : Dua peubah acak mempunyai fungsi padat gabungan sebagai berikut :
< < <<
}2/18/1,4/30{ < ≤ <Hitunglah ≤ yxP
∫ ∫4/3
0
2/1
8/1
4xydxdy4/3
0
22/1
8/1
|2 ydyx∫
= = ∫2/1
8/1 89 ydy =
2/1
8/1
2 |169 y
∑
= 9/16 (1/4-1/64) = 135/256
Distribusi marginal (pias) dari X sendiri dan Y sendiri didisefinisikan sebagai ∑==
y xyxfydanhyxfxg ),()(),()(
∫ ∫== dxyxfydydanhyxfxg ),()(),()(
untuk diskrit
untuk kontinu
Dari contoh percobaan pengambilan buah-buahan, maka P(X=0)= f (0,1) + f (0,2)=
2/70 + 3/70 = 5/70 .
Dari contoh berikutnya , sehingga g(1) = 2 xxyxydyxg 2|24)(1
0
21
0
=== ∫
∫ === yyxxydxyg 2|24)(1
0
2 , sehingga g(1) = 2
Misalkan X dan Y dua peubah acak, diskrit maupun kontinu. Distribusi bersyarat peubah acak Y bila diketahui X=x dinyatakan oleh
Peubah Acak & Distribusi Peluang Page 8
,)(
),()|(xgyxfxyf = syarat g(x) > 0
Begitu pula distribusi bersyarat peubah acak X bila diketahui Y=y dinyatakan
oleh ,)(
),()|(yh
yxfyxf = syarat h(y)>0
Kembali ke contoh percobaan pengambilan buah-buahan, maka untuk menghitung
probabilitas untuk y=1 adalah : )|( yxf
)1()1,()1|(
hxfxf = untuk x = 0,1,2,3
h(1) = 40/70
dengan demikian, maka
402
7040
702
)1()1,0()1|0( ===
hff
4018
7040
7018
)1()1,1()1|1( ===
hff
REFERENSI 1. Walpole, Ronald., H Myers, Raymond., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan., Penerbit
ITB., edidi keempat., 1989 2. David C Howell., Statistical Methods for Psychology., Duxbury Press., Third Edition., 1992 3. Riduwan.,Drs., MBA., Skala Pengukuran Variabel-Variabel Penelitian., Penerbit Alfabeta Bandung.,cetakan
ketiga Januari 2005 4. Ronald E. Walpole., Pengantar Statistika., PT Gramedia., Edisi ketiga., Jakarta., 1988 5. Sugiarto.,dkk., Teknik Sampling., Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama., Jakarta 2003