1

BAB 4 : VEKTOR

Sesi 1

1. Vektor ialah suatu kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah.

2. Vektor boleh diwakili dengan AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ atau 𝑎 atau 𝒂 .

3. Vektor negatif XY⃗⃗ ⃗⃗ diwakili oleh YX⃗⃗ ⃗⃗ = −XY⃗⃗ ⃗⃗ . Vektor XY⃗⃗ ⃗⃗ dan YX⃗⃗ ⃗⃗ mempunyai magnitud yang

sama tetapi arah yang bertentangan.

4. Vektor sifar mempunyai magnitud sifar dan tidak mempunyai arah. Vektor sifar diwakili

oleh 0.

5. Vektor sama adalah vektor-vektor yang mempunyai magnitud dan arah yang sama.

𝑎 𝑏

𝑎 = 𝑏

Contoh 4 (m/s 84)

-Buat secara lisan

Y Y

X X

A

B 𝑎 AB⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑎

2

Mendarab vektor dengan skala

Contoh

Rajah menunjukkan vektor 𝑥. Lukis vektor bagi setiap yang berikut.

(a) PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ =1

2𝑥 (b) ST⃗⃗⃗⃗ = −2𝑥

Penyelesaian

(a)

PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ =1

2𝑥

(b)

ST⃗⃗⃗⃗ = −2𝑥

Vektor selari

Secara umum, dua vektor PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ dan RS⃗⃗ ⃗⃗ adalah selari jika dan hanya jika PQ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = λ RS⃗⃗ ⃗⃗ , dengan 𝜆

ialah pemalar.

Contoh 1

Diberi 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3𝑥 dan 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 6𝑥. Tunjukkan bahawa dua vektor itu adalah selari.

𝑥

3

Penyelesaian

Contoh 2

Vektor 𝑎 dan vektor 𝑏 adalah bukan sifar dan tidak selari. Diberi bahawa (𝑘 − 1)𝑎 = (2𝑡 + 3)𝑏.

Cari nilai k dan nilai t.

Penyelesaian

*Contoh 3

Diberi bahawa 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑥 + 3𝑦 dan 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3𝑥 + 9𝑦, tunjukkan bahawa A, B, dan C adalah segaris.

Penyelesaian

Nota: Untuk membuktikan A, B, dan C segaris, tunjukkan:

i. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ dan 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ adalah selari.

ii. wujud titik sepunya.

4

Sesi 2

Penambahan dan penolakan vektor-vektor selari

Contoh

Permudahkan vektor berikut:

(a) 5𝑥 + 8𝑥

(b) 𝑎 + 2𝑏 + 3𝑎 +1

3𝑏

(c) 8𝑎 + 3𝑎 − 5𝑎

(d) 7𝑠 − 8𝑡 − (𝑠 − 2𝑡)

Penyelesaian

(a) (c)

(b) (d)

5

Penambahan dan penolakan vektor-vektor tidak selari

Contoh 1

Diberi vektor 𝑎 dan 𝑏:

Tentukan,

(a) 𝑎 + 𝑏

(b) 𝑎 − 2𝑏

Penyelesaian

(a)

(b)

𝑎 𝑏

6

Contoh 2

Tentukan vektor 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗

Penyelesaian

Contoh 3

Tentukan vektor bagi setiap yang berikut:

(a) 𝑎 + 𝑏

(b) 𝑐 + 𝑑

(c) 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗

(d) 𝐷𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗

Penyelesaian

(a)

(c)

(b)

(d)

A

B

C

D

E

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

A

B C

D

E

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

7

Contoh 4

PQRS ialah sebuah segiempat selari. Tentukan :

(a) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝑆⃗⃗ ⃗⃗ (c) 𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑆𝑃⃗⃗ ⃗⃗

(b) 𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ (d) 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑅𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗

Penyelesaian

(a)

(c)

(b)

(d)

Contoh 5

ABCDE ialah sebuah pentagon. Tentukan :

(a) 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗

(b) 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ − 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

A

B C

D

E

Q

P S

R

8

Penyelesaian

Contoh 6

ABCD ialah segi empat selari. AC dan BD menyilang di E. F ialah satu titik pada DC

dengan 𝐷𝐶: 𝐹𝐶 = 4 ∶ 3. Ungkapkan dalam sebutan 𝑎 dan/atau 𝑏 :

(a) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗

(b) 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗

(c) 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗

Penyelesaian

(a)

(b)

A

D

B

C

E

2𝑏

4𝑎

F 1 3

9

(c)

Sesi 3

Menyelesaikan masalah yang melibatkan penambahan dan penolakan vektor

Contoh

Diberi vektor 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = −𝑎 + 𝑏, 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑎 + 5𝑏 dan 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 4𝑎 + 11𝑏, tunjukkan A, B dan C adalah

segaris dan hitungkan AB : BC.

Penyelesaian

10

Mengungkapkan vektor dalam bentuk (𝒙𝒚) atau 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋

Contoh

Ungkapkan setiap vektor yang ditunjukkan dalam rajah di atas dalam bentuk:

(a) (𝑥𝑦), (b) 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗.

Penyelesaian

(a) (b)

𝑎

𝑐

𝑏

𝑒

𝑑

11

Magnitud sesuatu vektor

Contoh

Cari magnitud bagi setiap vektor berikut:

(a) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3

−4)

(b) 𝑣 = −4𝑖 − 2𝑗

Penyelesaian

Sesi 4

Vektor unit

Jika 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗, maka vektor unit pada arah 𝑟 diberi oleh: �̂� =1

|𝑟|⋅ 𝑟

Contoh

Pada setiap vektor berikut, carikan vekor unit

(a) 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3𝑖 + 4𝑗

(b) 𝑎 = (−68

)

12

Penyelesaian

Operasi gabungan ke atas vektor

Contoh 1

Diberi 𝑎 = 2𝑖 + 5𝑗, 𝑏 = 𝑖 − 4𝑗 dan 𝑐 = −3𝑖 + 7𝑗, carikan vektor-vektor berikut dalam sebutan 𝑖

dan 𝑗.

(a) 2𝑎 + 𝑏

(b) 4𝑐 +1

2𝑏 − 𝑎

13

Penyelesaian

Contoh 2

Diberi 𝑎 = (34), 𝑏 = (

−25

) dan 𝑐 = (6

−1), ungkapkan yang berikut dalam sebutan (

𝑥𝑦).

(a) 3𝑎 − 𝑏

(b) 𝑐 − 2𝑎 + 𝑏

Penyelesaian

14

Sesi 5

Masalah yang melibatkan vektor-vektor

Contoh 1

Ungkapkan :

(i) 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ dalam bentuk (𝑥𝑦).

(ii) Vektor unit pada arah 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Penyelesaian

x

Q (4,10)

P (-8,5)

0

y

15

Contoh 2

Diberi bahawa 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 6𝑖 + 4𝑗 dan 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝑖 + (𝑚 − 2)𝑗, carikan nilai m jika 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ selari dengan

𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗.

Penyelesaian

Contoh 3

Diberi 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 12𝑥, 𝑃𝑆⃗⃗ ⃗⃗ = 8𝑦 dan 𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2𝑥 + 2𝑦. Garis-garis lurus PR dan QS bersilang di T.

(a) Ungkapkan dalam sebutan 𝑥 dan/atau 𝑦.

i. 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗

ii. 𝑄𝑆⃗⃗⃗⃗ ⃗

(b) Diberi 𝑃𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ℎ𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ dan 𝑄𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑘𝑄𝑆⃗⃗⃗⃗ ⃗, ungkapkan 𝑃𝑇⃗⃗⃗⃗ ⃗

i. Dalam sebutan ℎ, 𝑥 dan 𝑦.

ii. Dalam sebutan 𝑘, 𝑥 dan 𝑦.

iii. Seterusnya, carikan nilai h dan k.

16

Penyelesaian

(a)

(b)